Estymacja punktowa i jej właściwości. Oszacowanie matematycznego oczekiwania zmiennej losowej

s x =(1.11)

Rozważymy dalej ważny problem badania obserwowalnej zmiennej losowej. Niech będzie jakaś próbka (oznaczymy ją S) zmienna losowa X. Wymagane jest oszacowanie nieznanych wartości z istniejącej próbki. mx I .

Zajmuje się teorią szacunków różnych parametrów statystyka matematyczna znaczące miejsce. Dlatego rozważmy najpierw wspólne zadanie. Niech będzie konieczne oszacowanie jakiegoś parametru A według próbki S. Każda taka ocena A* jest jakąś funkcją a*=a*(S) z przykładowych wartości. Przykładowe wartości są losowe, stąd samo oszacowanie A* jest zmienną losową. Można zbudować wiele różne szacunki(tj. funkcje) A*, ale jednocześnie pożądana jest ocena „dobra”, a nawet „najlepsza”, w pewnym sensie. Na oceny zwykle nakładane są następujące trzy wymagania naturalne.

1. Nieprzemieszczeni. Matematyczne oczekiwanie oceny A* musi być równa dokładnej wartości parametru: M = a. Inaczej mówiąc ocena A* nie powinien zawierać błędu systematycznego.

2. Bogactwo. Przy nieskończonym wzroście wielkości próby oszacowanie A* powinien zbiegać się do dokładnej wartości, to znaczy wraz ze wzrostem liczby obserwacji błąd estymacji dąży do zera.

3. Wydajność. Stopień A* Mówi się, że jest efektywny, jeśli jest bezstronny i ma najmniejszą możliwą wariancję błędu. W tym przypadku rozrzut szacunków jest minimalny A* względem dokładnej wartości i oszacowanie jest w pewnym sensie „najbardziej dokładne”.

Niestety, nie zawsze możliwe jest skonstruowanie oceny spełniającej wszystkie trzy wymagania jednocześnie.

Do oszacowania oczekiwań matematycznych najczęściej stosuje się oszacowanie.

= , (1.12)

to znaczy średnia arytmetyczna próbki. Jeśli zmienna losowa X ma skończone mx I sx, to oszacowanie (1.12) nie jest stronnicze i spójne. Oszacowanie to jest skuteczne, na przykład, jeśli X ma rozkład normalny (Rysunek 1.4, Załącznik 1). W przypadku innych dystrybucji może to nie być skuteczne. Na przykład w przypadku rozkładu równomiernego (Rysunek 1.1, Załącznik 1) będzie można uzyskać bezstronne, spójne oszacowanie

(1.13)

Jednocześnie oszacowanie (1.13) rozkładu normalnego nie będzie ani spójne, ani efektywne, a nawet będzie się pogarszać wraz ze wzrostem liczebności próby.

Zatem dla każdego rodzaju rozkładu zmienna losowa X powinieneś użyć oszacowania oczekiwań matematycznych. Jednak w naszej sytuacji rodzaj dystrybucji można poznać jedynie wstępnie. Dlatego skorzystamy z oszacowania (1.12), które jest dość proste i ma najwięcej ważne właściwości bezstronność i konsekwencja.

Aby oszacować oczekiwanie matematyczne dla zgrupowanej próby, stosuje się następujący wzór:

= , (1.14)

które można uzyskać z poprzedniego, jeśli weźmiemy pod uwagę wszystko ja przykładowe wartości zawarte w I-ty przedział równy przedstawicielowi z ja ten interwał. To oszacowanie jest naturalnie bardziej przybliżone, ale wymaga znacznie mniej obliczeń, szczególnie w przypadku dużej próby.

Najczęściej stosowanym estymatorem do szacowania wariancji jest:

= , (1.15)

To oszacowanie nie jest obciążone i jest ważne dla dowolnej zmiennej losowej X, mający skończone momenty do czwartego rzędu włącznie.

W przypadku próby zbiorczej stosowanym oszacowaniem jest:

= (1.16)

Szacunki (1.14) i (1.16) są z reguły stronnicze i nie do utrzymania, ponieważ ich matematyczne oczekiwania i granice, do których zbiegają się, różnią się od mx oraz w związku z zastąpieniem wszystkich przykładowych wartości zawartych w I-ty przedział, na przedstawiciela przedziału z ja.

Pamiętaj, że dla dużych N, współczynnik n/(n – 1) w wyrażeniach (1.15) i (1.16) jest bliska jedności, zatem można ją pominąć.

Szacunki interwałowe.

Pozwalać Dokładna wartość jakiś parametr jest równy A i znaleziono jego oszacowanie Jak) według próbki S. Ocena A* odpowiada punktowi na osi liczbowej (ryc. 1.5), dlatego to oszacowanie nazywa się punkt. Wszystkie szacunki omówione w poprzednim akapicie są szacunkami punktowymi. Prawie zawsze przez przypadek

a* ¹ a i możemy mieć tylko nadzieję, że o to chodzi A* jest gdzieś w pobliżu A. Ale jak blisko? Każde inne oszacowanie punktowe będzie miało tę samą wadę - brak miary wiarygodności wyniku.

Ryc.1.5. Estymacja parametrów punktowych.

Bardziej szczegółowe w tym zakresie są szacunki interwałowe. Wynik interwałowy reprezentuje interwał Ja b = (a, b), w którym z zadanym prawdopodobieństwem znajduje się dokładną wartość szacowanego parametru B. Interwał Ib zwany przedział ufności i prawdopodobieństwo B zwany prawdopodobieństwo pewności i można je uznać za wiarygodność oceny.

Przedział ufności opiera się na dostępnej próbie S, jest losowy w tym sensie, że jego granice są losowe Jak) I b(S), które obliczymy na podstawie (losowej) próbki. Dlatego B istnieje możliwość, że losowy interwał Ib obejmie nielosowy punkt A. Na ryc. 1.6. interwał Ib objęło tę kwestię A, A Ib*- NIE. Dlatego twierdzenie to nie jest do końca poprawne A " wpada” w przedział.

Jeśli prawdopodobieństwo ufności B duży (np. b = 0,999), to prawie zawsze jest to dokładna wartość A mieści się w skonstruowanym przedziale.

Ryc.1.6. Przedziały ufności parametru A dla różnych próbek.

Rozważmy metodę konstruowania przedziału ufności dla matematycznego oczekiwania zmiennej losowej X, oparte na centralne twierdzenie graniczne.

Niech zmienna losowa X ma nieznane oczekiwanie matematyczne mx I znana rozbieżność. Następnie, na mocy centralnego twierdzenia granicznego, średnia arytmetyczna wynosi:

= , (1.17)

wyniki N niezależne testy wielkości X jest zmienną losową, której rozkład jest ogólny N, blisko normalna dystrybucja ze średnią mx i odchylenie standardowe. Dlatego zmienna losowa

(1.18)

ma rozkład prawdopodobieństwa, który można uwzględnić standardowo normalnie z gęstością dystrybucji j(t), którego wykres pokazano na ryc. 1.7 (a także na ryc. 1.4, dodatek 1).

Ryc.1.7. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej T.

Niech będzie dane prawdopodobieństwo ufności B I t b - liczba spełniająca równanie

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Gdzie - Funkcja Laplace'a. Następnie prawdopodobieństwo wpadnięcia w przedział (-t b, t b) będzie równy zacieniowanemu na ryc. 1.7. obszar i na mocy wyrażenia (1.19) jest równy B. Stąd

b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =

= P( – tb< m x < + t b ) .(1.20)

Zatem jako przedział ufności możemy przyjąć ten przedział

ja b = ( – tb; +tb ) , (1.21)

ponieważ wyrażenie (1.20) oznacza, że ​​nieznana jest dokładna wartość mx jest w Ib z danym prawdopodobieństwem ufności B. Do budowy Ib potrzebne zgodnie z opisem B znajdować tb z równania (1.19). Podajmy kilka wartości tb potrzebne w przyszłości :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

Wyprowadzając wyrażenie (1.21) założono, że znana jest dokładna wartość odchylenia standardowego sx. Jednak nie zawsze jest to znane. Skorzystajmy zatem z jego oszacowania (1.15) i otrzymajmy:

ja b = ( – tb; + dob). (1.22)

W związku z tym szacunki zgrupowanej próby i uzyskane z niej dają następujący wzór na przedział ufności:

ja b = ( – tb; + dob). (1.23)

CEL WYKŁADU: wprowadzenie koncepcji estymacji nieznanego parametru rozkładu oraz klasyfikacja takich estymacji; uzyskać punktowe i przedziałowe oszacowania matematycznych oczekiwań i rozproszenia.

W praktyce w większości przypadków prawo rozkładu zmiennej losowej jest nieznane i wynika z wyników obserwacji
konieczne jest oszacowanie cech liczbowych (na przykład oczekiwań matematycznych, rozproszenia lub innych momentów) lub nieznanego parametru , które określa prawo dystrybucji (gęstość dystrybucji)
badana zmienna losowa. Zatem w przypadku rozkładu wykładniczego lub rozkładu Poissona wystarczy oszacować jeden parametr, ale w przypadku rozkładu normalnego należy oszacować dwa parametry - oczekiwanie matematyczne i wariancję.

Rodzaje ocen

Losowa wartość
ma gęstość prawdopodobieństwa
, Gdzie – nieznany parametr rozkładu. W wyniku eksperymentu otrzymano wartości tej zmiennej losowej:
. Dokonanie oceny zasadniczo oznacza, że ​​przykładowe wartości zmiennej losowej muszą być powiązane z określoną wartością parametru , czyli utwórz jakąś funkcję wyników obserwacji
, którego wartość przyjmuje się jako szacunkową parametr . Indeks wskazuje liczbę wykonanych eksperymentów.

Nazywa się dowolną funkcję zależną od wyników obserwacji Statystyka. Ponieważ wyniki obserwacji są zmiennymi losowymi, statystyka również będzie zmienną losową. Dlatego ocena
nieznany parametr należy traktować jako zmienną losową, a jej wartość obliczać na podstawie danych eksperymentalnych objętościowo , – jako jedna z możliwych wartości tej zmiennej losowej.

Oszacowania parametrów rozkładu (charakterystyki liczbowej zmiennej losowej) dzielimy na punktowe i przedziałowe. Punktowe oszacowanie parametr określona przez jedną liczbę , a jego dokładność charakteryzuje się wariancją oszacowania. Estymacja przedziałowa nazywany wynikiem określonym przez dwie liczby, I – końce przedziału obejmującego szacowany parametr z danym prawdopodobieństwem ufności.

Klasyfikacja szacunków punktowych

Do oszacowania punktowego nieznanego parametru
najlepsze pod względem dokładności, musi być spójne, bezstronne i skuteczne.

Bogaty zwane oceną
parametr , jeżeli zbiega się prawdopodobieństwem do oszacowanego parametru, tj.

. (8.8)

Na podstawie nierówności Czebyszewa można to wykazać warunek wystarczający spełnieniem relacji (8.8) jest równość

.

Spójność jest asymptotyczną cechą oszacowania przy
.

Bezinteresowny zwane oceną
(oszacowanie bez błędu systematycznego), którego oczekiwanie matematyczne jest równe oszacowanemu parametrowi, tj.

. (8.9)

Jeśli równość (8.9) nie jest spełniona, oszacowanie nazywa się obciążonym. Różnica
zwane błędem stronniczości lub błędem systematycznym w szacunkach. Jeśli równość (8.9) jest spełniona tylko dla
, wówczas odpowiednie oszacowanie nazywa się asymptotycznie nieobciążonym.

Należy zauważyć, że jeśli zgodność jest warunkiem niemal obowiązkowym dla wszystkich szacunków stosowanych w praktyce (oszacowania niespójne są stosowane niezwykle rzadko), to właściwość bezstronności jest jedynie pożądana. Wiele często używanych szacunków nie ma własności obiektywności.

W przypadek ogólny dokładność oszacowania jakiegoś parametru , otrzymane na podstawie danych eksperymentalnych
, charakteryzujący się błędem średniokwadratowym

,

co można sprowadzić do postaci

,

gdzie jest wariancja,
– kwadratowy błąd szacunkowy.

Jeżeli szacunki są bezstronne, to tak

Na koniec szacunki mogą się różnić średniokwadratowym błędem . Naturalnie, im mniejszy jest ten błąd, tym bardziej wartości oceny są zgrupowane wokół szacowanego parametru. Dlatego zawsze pożądane jest, aby błąd estymacji był jak najmniejszy, tj. warunek był spełniony

. (8.10)

Ocena , spełniający warunek (8.10), nazywany jest estymacją z minimalnym błędem kwadratowym.

Skuteczny zwane oceną
, dla którego błąd średniokwadratowy nie jest większy niż błąd średniokwadratowy dowolnego innego oszacowania, tj.

Gdzie – dowolne oszacowanie innego parametru .

Wiadomo, że wariancja dowolnego obiektywnego oszacowania jednego parametru spełnia nierówność Cramera – Rao

,

Gdzie
– warunkowy rozkład gęstości prawdopodobieństwa uzyskanych wartości zmiennej losowej przy prawdziwej wartości parametru .

Zatem bezstronne oszacowanie
, dla którego nierówność Cramera – Rao staje się równością, będzie skuteczna, tj. takie oszacowanie ma minimalną wariancję.

Punktowe oszacowania oczekiwań i wariancji

Jeśli weźmiemy pod uwagę zmienną losową
, który ma matematyczne oczekiwanie i wariancja , wówczas oba te parametry uważa się za nieznane. Dlatego nad zmienną losową
wytworzony niezależne eksperymenty, które dają wyniki:
. Konieczne jest znalezienie spójnych i bezstronnych szacunków nieznanych parametrów I .

Według szacunków I Zwykle wybiera się odpowiednio średnią statystyczną (próbkę) i wariancję statystyczną (próbkę):

; (8.11)

. (8.12)

Oszacowanie oczekiwania matematycznego (8.11) jest zgodne z prawem wielkich liczb (twierdzeniem Czebyszewa):

.

Oczekiwanie zmiennej losowej

.

Dlatego oszacowanie jest bezstronny.

Rozproszenie matematycznego oszacowania oczekiwań:

Jeśli zmienna losowa
rozkłada się zgodnie z prawem normalnym, następnie oszacowanie jest również skuteczny.

Oczekiwanie oszacowania wariancji

W tym samym czasie

.

Ponieważ
, A
, wtedy otrzymamy

. (8.13)

Zatem,
– ocena stronnicza, choć spójna i skuteczna.

Ze wzoru (8.13) wynika, że ​​należy uzyskać obiektywne oszacowanie
wariancję próbki (8.12) należy zmodyfikować w następujący sposób:

co jest uważane za „lepsze” w porównaniu z szacunkami (8.12), chociaż w dużym stopniu szacunki te są prawie sobie równe.

Metody uzyskiwania estymatorów parametrów rozkładu

Często w praktyce opiera się na analizie mechanizmu fizycznego generującego zmienną losową
, możemy wyciągnąć wniosek na temat prawa rozkładu tej zmiennej losowej. Jednakże parametry tego rozkładu są nieznane i należy je oszacować na podstawie wyników eksperymentów, zwykle przedstawianych w postaci skończonej próby
. Aby rozwiązać ten problem, najczęściej stosuje się dwie metody: metodę momentów i metodę największej wiarygodności.

Metoda momentów. Metoda polega na zrównywaniu momentów teoretycznych z odpowiadającymi im momentami empirycznymi tego samego rzędu.

Empiryczne punkty wyjścia -ty rząd wyznaczają wzory:

,

i odpowiadające im teoretyczne momenty początkowe -tego rzędu - formuły:

dla dyskretnych zmiennych losowych,

dla ciągłych zmiennych losowych,

Gdzie – szacowany parametr rozkładu.

Aby otrzymać estymaty parametrów rozkładu zawierającego dwa nieznane parametry I , tworzony jest układ dwóch równań

Gdzie I – teoretyczne i empiryczne momenty centralne drugiego rzędu.

Rozwiązaniem układu równań są szacunki I nieznane parametry dystrybucji I .

Zrównując teoretyczne i empiryczne momenty początkowe pierwszego rzędu, otrzymujemy to szacując matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej
, mający dowolny rozkład, będzie średnią z próby, tj.
. Następnie przyrównując teoretyczne i empiryczne momenty centralne drugiego rzędu otrzymujemy, że oszacowanie wariancji zmiennej losowej
, który ma dowolny rozkład, określa się ze wzoru

.

W podobny sposób można znaleźć oszacowania momentów teoretycznych dowolnego rzędu.

Metoda momentów jest prosta i nie wymaga skomplikowanych obliczeń, jednak szacunki uzyskane tą metodą są często nieskuteczne.

Metoda największej wiarygodności. Metoda największej wiarygodności punktowej estymacji nieznanych parametrów rozkładu sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji jednego lub większej liczby estymowanych parametrów.

Pozwalać
jest ciągłą zmienną losową, co w rezultacie testy przyjęły wartości
. Aby uzyskać oszacowanie nieznanego parametru konieczne jest znalezienie takiej wartości , przy którym prawdopodobieństwo wdrożenia otrzymanej próbki byłoby maksymalne. Ponieważ
reprezentują wzajemnie niezależne wielkości o tej samej gęstości prawdopodobieństwa
, To funkcja prawdopodobieństwa wywołaj funkcję argumentu :

Przez oszacowanie parametru z największą wiarygodnością wartość ta nazywa się , przy którym funkcja wiarygodności osiąga maksimum, czyli jest rozwiązaniem równania

,

co oczywiście zależy od wyników testu
.

Ponieważ funkcje
I
osiągnąć maksimum przy tych samych wartościach
, następnie dla uproszczenia obliczeń często korzystają z logarytmicznej funkcji wiarygodności i szukają pierwiastka odpowiedniego równania

,

który jest nazywany równanie prawdopodobieństwa.

Jeśli chcesz ocenić kilka parametrów
dystrybucja
, wówczas funkcja wiarygodności będzie zależeć od tych parametrów. Aby znaleźć szacunki
parametrów dystrybucji konieczne jest rozwiązanie układu równania prawdopodobieństwa

.

Metoda największej wiarygodności zapewnia spójne i asymptotycznie efektywne oszacowania. Jednak szacunki uzyskane metodą największej wiarygodności są obciążone, a ponadto, aby znaleźć szacunki, często konieczne jest rozwiązanie dość skomplikowanych układów równań.

Oszacowania parametrów przedziałowych

Dokładność oszacowań punktowych charakteryzuje się ich wariancją. Brakuje jednak informacji o tym, jak bliskie są otrzymane szacunki prawdziwym wartościom parametrów. W wielu zadaniach trzeba nie tylko znaleźć parametr odpowiednią wartość liczbową, ale także ocenę jego dokładności i wiarygodności. Trzeba dowiedzieć się, do jakich błędów może doprowadzić zamiana parametru jego oszacowanie punktowe oraz z jakim stopniem pewności powinniśmy oczekiwać, że błędy te nie przekroczą znanych granic.

Takie zadania są szczególnie istotne, gdy liczba eksperymentów jest niewielka. , gdy oszacowanie punktowe wymiana w dużej mierze losowa i przybliżona NA może prowadzić do istotnych błędów.

Bardziej kompletne i niezawodny sposób estymacja parametrów rozkładów polega na wyznaczeniu nie pojedynczej wartości punktowej, ale przedziału, który z zadanym prawdopodobieństwem pokrywa się z prawdziwą wartością szacowanego parametru.

Niech zgodnie z wynikami eksperymentach uzyskano bezstronne oszacowanie
parametr . Konieczne jest oszacowanie możliwego błędu. Wybierane jest dostatecznie duże prawdopodobieństwo
(na przykład), tak że zdarzenie z tym prawdopodobieństwem można uznać za zdarzenie praktycznie pewne i taką wartość można znaleźć , dla którego

. (8.15)

W tym przypadku zakres praktycznie możliwych wartości błędu występującego podczas wymiany NA , będzie
, a błędy o dużej wartości bezwzględnej pojawią się tylko z małym prawdopodobieństwem .

Wyrażenie (8.15) oznacza, że ​​z prawdopodobieństwem
nieznana wartość parametru wpada w interwał

. (8.16)

Prawdopodobieństwo
zwany prawdopodobieństwo pewności i interwał , obejmujące z prawdopodobieństwem wywoływana jest prawdziwa wartość parametru przedział ufności. Należy zauważyć, że błędne jest twierdzenie, że wartość parametru z prawdopodobieństwem mieści się w przedziale ufności . Zastosowane sformułowanie (obejmuje) oznacza, że ​​chociaż szacowany parametr jest nieznany, to ma on wartość stałą, a zatem nie ma rozrzutu, gdyż nie jest zmienną losową.

Oczekiwanie to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, próbka, oczekiwanie warunkowe, obliczenia, własności, problemy, szacowanie oczekiwań, rozproszenie, dystrybuanta, wzory, przykłady obliczeń

Rozwiń zawartość

Zwiń zawartość

Oczekiwanie matematyczne jest definicją

Jedno z najważniejszych pojęć statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. To ma ważny przy ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych, wykorzystuje się go przy opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorii hazardu.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.

Oczekiwanie matematyczne jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).

Oczekiwanie matematyczne jest

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.

Oczekiwanie matematyczne jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii hazardu oznacza średnią kwotę wygranych, jaką gracz może zarobić lub stracić w przypadku każdego zakładu. W żargonie hazardowym nazywa się to czasami „przewagą gracza” (jeśli jest pozytywna dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest ujemna dla gracza).

Oczekiwanie matematyczne jest procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teoria matematyczna

Jedną z ważnych liczbowych cech zmiennej losowej jest jej oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości układu, wówczas zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest prawem rozkładu łącznego. Funkcja ta umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń z. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest dane przez prawdopodobieństwa.

Termin „oczekiwanie matematyczne” został wprowadzony przez Pierre’a Simona Marquisa de Laplace’a (1795) i wywodzi się z koncepcji „oczekiwanej wartości wygranej”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w dziełach Blaise’a Pascala i Christiaana. Huygensa. Pierwszego jednak pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnuty Lwowicz Czebyszew (połowa XIX w.).

Prawo rozkładu losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg dystrybucyjny lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Ale w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niego) w celu odpowiedzi na zadane pytanie. Głównymi cechami liczbowymi zmiennych losowych są matematyczne oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że ​​jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Oczekiwanie matematyczne ma prostą konstrukcję znaczenie fizyczne: jeśli umieścisz masę jednostkową na linii prostej, umieszczając pewną masę w niektórych punktach (np dyskretna dystrybucja) lub „rozmazanie” go określoną gęstością (dla absolutnie ciągłego rozkładu), wówczas punkt odpowiadający oczekiwaniu matematycznemu będzie współrzędną „środka ciężkości” linii.

Wartość średnia zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „przedstawicielem” i zastępuje ją w mniej więcej przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „średni punkt trafienia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi liczbowej, tj. „charakterystyka pozycji”.

Z charakterystyki pozycji w teorii prawdopodobieństwa Istotną rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, które czasami nazywane jest po prostu średnią wartością zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, mający możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pkt. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi x, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. Naturalne jest w tym celu wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każdą wartość xi podczas uśredniania należy uwzględnić z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które oznaczamy M |X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. Tym samym wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa – pojęcie oczekiwań matematycznych. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z nich wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawiał się wiele razy. Obliczmy średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości wartości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| oznaczamy M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżał się (zbiegał się pod względem prawdopodobieństwa) do swoich matematycznych oczekiwań. Sformułowany powyżej związek średniej arytmetycznej z oczekiwaniem matematycznym stanowi treść jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że niektóre średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nielosowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - oczekiwania matematycznego.

Stabilność średnich w dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Przykładowo ważąc ciało w laboratorium na wagach precyzyjnych, w wyniku ważenia za każdym razem uzyskujemy nową wartość; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby doświadczeń (ważeń) średnia arytmetyczna coraz mniej reaguje na ten wzrost i przy odpowiednio dużej liczbie doświadczeń praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć że najważniejsza cecha pozycja zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można ułożyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Przypadki takie nie mają jednak większego znaczenia dla praktyki. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.

Oprócz najważniejszych cech położenia zmiennej losowej – oczekiwania matematycznego – w praktyce czasami wykorzystuje się inne cechy położenia, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.

Modą zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobna wartość. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość” ściśle rzecz biorąc odnosi się tylko do wielkości nieciągłych; Dla wartość ciągła Tryb to wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach przedstawiono odpowiednio tryb nieciągłej i ciągłej zmiennej losowej.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „multimodalnym”.

Czasami istnieją rozkłady, które mają minimum pośrodku, a nie maksimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i istnieje oczekiwanie matematyczne, to pokrywa się on z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystuje się inną charakterystykę pozycji – tzw. medianę zmiennej losowej. Cecha ta jest zwykle stosowana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar objęty krzywą rozkładu jest podzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matematycznym oczekiwaniem i modą.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej – numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) definiuje się jako całkę Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Oczekiwanie matematyczne można również obliczyć jako całkę Lebesgue’a X poprzez rozkład prawdopodobieństwa pikseli wielkie ilości X:

Pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu matematycznym można zdefiniować w sposób naturalny. Typowy przykład służą jako godziny powrotu podczas niektórych przypadkowych spacerów.

Za pomocą oczekiwań matematycznych można zastosować wiele metod numerycznych i cechy funkcjonalne rozkłady (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji od zmiennej losowej), np. funkcja generująca, funkcja charakterystyczna, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersja, kowariancja.

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średniej wartości jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako „typowy” parametr rozkładu i jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisywany w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwanie matematyczne, różni się tym, że ma większą wartość, jaką ona i odpowiadająca jej cecha rozpraszania - dyspersja - mają w twierdzeniach granicznych teorii prawdopodobieństwa. Znaczenie oczekiwań matematycznych najpełniej ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?

Powiedzmy, że jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (lub nawet uczestniczyć wielokrotnie, regularnie), czy nie. Załóżmy, że co czwarty los jest zwycięzcą, nagroda wyniesie 300 rubli, a cena każdego losu wyniesie 100 rubli. Tak właśnie się dzieje przy nieskończenie dużej liczbie udziałów. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery uczestnictwo tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostka do gry. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile średnio będziemy mieli punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, po prostu bierzemy średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, to nie ma co się oburzyć, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Spójrzmy na właśnie podany obraz. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych znaczeń. Pod każdym możliwe znaczenie jego prawdopodobieństwo jest zapisane poniżej. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (z dużą próbą) średnia wartość będzie zgodna z tymi samymi oczekiwaniami matematycznymi.

Wróćmy jeszcze raz do tej samej kostki do gry. Matematyczne oczekiwanie liczby punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz to sam, korzystając ze wzoru, jeśli mi nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wyniki wyniosły 4 i 6. Średnia wyniosła 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili jeszcze raz, dostali 3, czyli średnio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Trochę daleko od matematycznych oczekiwań. A teraz wykonaj szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! I nawet jeśli średnia nie wyniesie dokładnie 3,5, to będzie blisko tej wartości.

Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla opisanej powyżej loterii. Płytka będzie wyglądać następująco:

Wtedy oczekiwanie matematyczne będzie takie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że ​​zrobienie tego „na palcach”, bez przepisu, byłoby trudne, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że będzie 75% losów przegranych, 20% losów zwycięskich i 5% losów szczególnie zwycięskich.

Teraz niektóre właściwości oczekiwań matematycznych.

Łatwo to udowodnić:

Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości oczekiwań matematycznych.

Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:

oznacza to, że matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:

Można to również łatwo udowodnić) Praca XY sama w sobie jest zmienną losową i czy wartości początkowe mogą przyjąć N I M wartości zatem odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej wartości oblicza się w oparciu o fakt, że prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń są mnożone. W rezultacie otrzymujemy to:

Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje to zasadniczo sytuację, że zmienna losowa pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych przyjmuje częściej, a inne rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- rzeczywista zmienna losowa, k(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zera. Szanse zostały przekroczone 3 lub być mniejszy -3 raczej czysto teoretyczny.

Niech na przykład będzie rozkład równomierny:

Jest to całkiem zgodne ze zrozumieniem intuicyjnym. Powiedzmy, że dotrzemy do celu równomierny rozkład wiele losowych liczb rzeczywistych, każda z segmentu |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Mają tu także zastosowanie właściwości oczekiwań matematycznych – liniowość itp., mające zastosowanie dla dyskretnych zmiennych losowych.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Wskaźniki zmienności często nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.

Stopień zmienności lub stabilności procesów w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Bardzo ważny wskaźnik, charakteryzująca zmienność zmiennej losowej, wynosi Dyspersja, co jest najściślej i bezpośrednio związane z oczekiwaniami matematycznymi. Parametr ten jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również stopień rozproszenia danych wokół wartości średniej.

Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie obliczana jest różnica między każdą wartością pierwotną i średnią, podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia podniesiono do kwadratu i obliczono średnią. Odpowiedź na magiczne słowo „dyspersja” kryje się w zaledwie trzech słowach.

Jednak w czysta forma, takie jak średnia arytmetyczna lub wskaźnik wariancji, nie jest używany. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?

Albo rzucimy kostką wiele razy. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – oczekiwania matematycznego Mx. W w tym przypadku Mx = 3,5.

Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy n1 gdy zdobędziesz 1 punkt, n2 raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których spadł jeden punkt:

Podobnie w przypadku wyników, gdy wyrzucono 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pk.

Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x jest równe:

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc, aby oszacować średnią wynagrodzenie rozsądniej jest posługiwać się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących wynagrodzenie niższe od mediany i wyższe pokrywała się.

Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.

Standard lub odchylenie standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zbiorów od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane skupiają się wokół średniej, natomiast duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe znajdują się daleko od niej. Odchylenie standardowe równa się pierwiastek kwadratowy wielkość zwana dyspersją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych, które odbiegają od wartości średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości cechy pomiędzy jednostkami populacji. Oddzielny wartości liczbowe cechy występujące w badanej populacji nazywane są wariantami znaczenia. Niewystarczająca średnia wartość dla pełna charakterystyka populacja zmusza nas do uzupełnienia wartości średnich wskaźnikami, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (wariacji) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się ze wzoru:

Zakres zmienności(R) reprezentuje różnicę między maksymalną i minimalną wartością atrybutu w badanej populacji. Ten wskaźnik daje najwięcej główny pomysł o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między wartościami granicznymi opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności charakter niestabilny, losowy.

Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwanie matematyczne w teorii hazardu

Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia kwota pieniędzy, jaką gracz może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo ważna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie matematyczne jest również optymalnym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grach.

Załóżmy, że grasz ze znajomym w grę na monety i za każdym razem obstawiasz po 1 dolara, niezależnie od tego, co się wydarzy. Reszka oznacza wygraną, reszka oznacza przegraną. Szanse są 1 do 1, że wypadnie orzeł, więc obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem Twoje matematyczne oczekiwania wynoszą zero, ponieważ Z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach, czy po 200, będziesz prowadził, czy przegrał.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrane godzinowe to kwota pieniędzy, jaką możesz wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ... Twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Jeśli spojrzeć na to z punktu widzenia poważnego gracza, ten system zakładów nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.

Załóżmy jednak, że ktoś chce postawić 2 USD przeciwko Twojemu 1 USD w tej samej grze. Wtedy od razu będziesz miał pozytywne oczekiwanie na 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara, a stracisz 1 dolara, postaw drugiego, a wygrasz 2 dolary. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz przewagę o 1 $. Zatem każdy z Twoich jednodolarowych zakładów dał ci 50 centów.

Jeśli moneta pojawi się 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinna wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ... Przeciętnie przegrałeś jednego dolara 250 razy i wygrałeś dwa dolary 250 razy. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Należy pamiętać, że wartość oczekiwana, czyli średnia kwota wygranej w zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając dolara 500 razy, co równa się 50 centom za zakład.

Oczekiwania matematyczne nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko Tobie 2 $, mógłby Cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale Ty, mając przewagę w zakładach 2 do 1, przy wszystkich pozostałych czynnikach bez zmian, zarobisz 50 centów za każdy zakład o wartości 1 $ w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład czy kilka zakładów, o ile masz wystarczającą ilość gotówki, aby wygodnie pokryć koszty. Jeśli nadal będziesz obstawiać w ten sam sposób, to dla długi okres Z czasem Twoje wygrane zbliżą się do sumy oczekiwanych wartości w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w podana ręka. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład na słabszego gracza (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse są przeciwko tobie, coś stracisz, niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.

Stawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i jest on pozytywny, jeśli szanse są po Twojej stronie. Kiedy stawiasz zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko najlepszy wynik; jeśli zdarzy się najgorszy, spasują. Co oznacza kurs na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż oferują rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na wylądowanie orła wynoszą 1 do 1, ale dzięki ilorazowi szans otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie najlepszy wynik uzyskasz przy pozytywnym oczekiwaniu 50 centów na zakład.

Oto bardziej złożony przykład oczekiwań matematycznych. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 dolarów przeciwko Twojemu 1 dolara, że ​​nie odgadniesz liczby. Czy warto zgodzić się na taki zakład? Jakie jest tutaj oczekiwanie?

Średnio mylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, wynosi 4 do 1. Szansa, że ​​stracisz dolara przy jednej próbie. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio cztery razy stracisz 1 dolara i raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 dolara, przy dodatnim oczekiwaniu matematycznym wynoszącym 20 centów za zakład.

Gracz, który wygra więcej, niż postawił, jak w powyższym przykładzie, ryzykuje. Wręcz przeciwnie, rujnuje swoje szanse, gdy spodziewa się wygranej mniejszej niż stawia. Gracz może mieć albo pozytywne, albo negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy wygra, czy zrujnuje kursy.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $, mając szansę na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemną oczekiwaną wartość 2 $, ponieważ Średnio cztery razy wygrasz 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy takich samych szansach na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz dodatnie oczekiwanie na 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz 10 $ cztery razy i tracisz 30 $ raz, co daje zysk w wysokości 10 $. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Oczekiwania matematyczne stanowią sedno każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca kibiców piłki nożnej do postawienia 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, ma pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w kościach, wówczas pozytywne oczekiwanie kasyna wyniesie około 1,40 dolara na każde 100 dolarów, ponieważ Ta gra jest tak skonstruowana, że ​​każdy, kto obstawia tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Bez wątpienia to właśnie te pozornie minimalne pozytywne oczekiwania przynoszą ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak, „negatywne prawdopodobieństwo wynoszące jedną tysięczną jednego procenta na wystarczająco dużej odległości zrujnuje najbogatszy człowiek na świecie".

Oczekiwania podczas gry w pokera

Gra w pokera jest przykładem najbardziej ilustracyjnym i ilustracyjnym z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości oczekiwań matematycznych.

Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i odległości. Udana gra w pokera polega na tym, aby zawsze akceptować ruchy o dodatniej wartości oczekiwanej.

Matematyczne znaczenie oczekiwań matematycznych podczas gry w pokera polega na tym, że podczas podejmowania decyzji często spotykamy się ze zmiennymi losowymi (nie wiemy, jakie karty ma w ręku przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która głosi, że przy dostatecznie dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie zmierzać do jej matematycznych oczekiwań.

Spośród konkretnych wzorów obliczania oczekiwań matematycznych w pokerze najbardziej przydatne są następujące:

Podczas gry w pokera oczekiwaną wartość można obliczyć zarówno w przypadku zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę krotność equity, w drugim szanse własne banku. Oceniając matematyczne oczekiwania dotyczące konkretnego ruchu, powinieneś pamiętać, że spasowanie zawsze wiąże się z zerowymi oczekiwaniami. Zatem odrzucenie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwania mówią Ci, czego możesz się spodziewać (zysku lub straty) w odniesieniu do każdego ryzykowanego dolara. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ matematyczne oczekiwania dotyczące wszystkich gier w nich rozgrywanych są na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier możesz spodziewać się, że klient straci swoje pieniądze, ponieważ „szanse” są na korzyść kasyna. Jednakże profesjonalni gracze w kasynie ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo tyczy się inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Na pokera można również spojrzeć z punktu widzenia oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Załóżmy, że trafiłeś fulla w pokerze pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia zakład. Wiesz, że jeśli podbijesz zakład, on zareaguje. Dlatego podbicie wydaje się najlepszą taktyką. Jeśli jednak podbijesz zakład, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz, masz całkowitą pewność, że pozostali dwaj gracze za tobą zrobią to samo. Kiedy podbijesz swój zakład, otrzymasz jedną jednostkę, a kiedy po prostu sprawdzisz, otrzymasz dwie. Zatem sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i będzie najlepszą taktyką.

Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i myślisz, że Twoja strata wyniesie średnio 75 centów, włączając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 dolara.

Innym ważnym powodem, dla którego warto zrozumieć koncepcję wartości oczekiwanej, jest to, że daje ona poczucie spokoju ducha niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawiłeś dobry zakład lub spasowałeś we właściwym czasie, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub nie. zaoszczędził pewną ilość pieniędzy, której słabszy gracz nie był w stanie zaoszczędzić. Znacznie trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, ponieważ przeciwnik ma silniejszą rękę. Dzięki temu pieniądze, które zaoszczędzisz, nie grając zamiast obstawiać, zostaną dodane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że gdybyś zmienił ręce, przeciwnik by cię sprawdził, a jak zobaczysz w artykule o Podstawowych twierdzeniach pokera, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać przyjemność z przegrywania rozdania, ponieważ wiesz, że inni gracze na twojej pozycji straciliby znacznie więcej.

Jak omówiono na początku w przykładzie gry o monety, godzinowy współczynnik zysku jest powiązany z oczekiwaniami matematycznymi, oraz tę koncepcję szczególnie ważne dla profesjonalnych graczy. Kiedy idziesz grać w pokera, powinieneś w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też posłużyć się matematyką. Na przykład, grasz w remis lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 dolarów, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką. Możesz się dowiedzieć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 dolarów, tracą około 2 dolarów. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, których liczba jest mniej więcej równa, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 $, a każdy z nich zarabia 12 $ na godzinę. Twoje szanse godzinowe w tym przypadku są po prostu równe Twojemu udziałowi w kwocie pieniędzy przegranej przez trzech złych graczy w ciągu godziny.

W długim okresie łączne wygrane gracza stanowią sumę jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej rąk rozegrasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrasz i odwrotnie, im więcej rąk rozegrasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrasz. W rezultacie powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować Twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinne wygrane.

Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gier

Jeśli umiesz liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, o ile cię nie zauważy i nie wyrzuci. Kasyna kochają pijanych graczy i nie tolerują graczy liczących karty. Przewaga pozwoli Ci wygrać z czasem. większa liczba razy niż przegrać. Dobre zarządzanie kapitału podczas korzystania z obliczeń wartości oczekiwanej może pomóc Ci wydobyć większy zysk ze swojej przewagi i zmniejszyć straty. Bez korzyści lepiej przekazać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje większe zyski niż straty, różnice cenowe i prowizje. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie jest w stanie uratować złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie definiuje się jako wartość większą od zera. Im większa jest ta liczba, tym silniejsze jest oczekiwanie statystyczne. Jeżeli wartość jest mniejsza od zera, wówczas oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne i rozsądny system gry. Granie intuicją prowadzi do katastrofy.

Oczekiwania matematyczne i handel akcjami

Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie stosowanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym przy przeprowadzaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handlu. Nietrudno zgadnąć, że im wyższa jest ta wartość, tym więcej powodów, by uważać badaną branżę za udaną. Oczywiście analizy pracy tradera nie można przeprowadzić na podstawie samego tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.

Oczekiwanie matematyczne jest często obliczane w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Wyjątkiem są strategie wykorzystujące nierentowne transakcje typu „przesiadywanie”. Trader może przez jakiś czas mieć szczęście i dlatego w jego pracy może w ogóle nie być strat. W takim przypadku nie będzie można kierować się wyłącznie oczekiwaniami matematycznymi, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu rynkowym oczekiwania matematyczne są najczęściej wykorzystywane do przewidywania rentowności dowolnej strategii handlowej lub do przewidywania dochodu tradera na podstawie danych statystycznych z jego poprzednich transakcji.

Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że dokonując transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który z pewnością przyniósłby wysokie zyski. Jeśli będziesz nadal grać na giełdzie w takich warunkach, niezależnie od tego, jak będziesz zarządzać swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, niezależnie od tego, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdziwy w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedyną szansą na osiągnięcie zysku w dłuższej perspektywie jest zawarcie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.

Różnica między negatywnymi i pozytywnymi oczekiwaniami jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; Ważne jest tylko to, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego zanim rozważysz zarządzanie pieniędzmi, powinieneś znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie Cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz – poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi – przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na pojedynczym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt na transakcję (po prowizji i poślizgu), możesz zastosować techniki zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej zyskownym niż system, w którym średnio 1000 USD na transakcję (po odjęciu prowizji i poślizgu).

Liczy się nie to, jak rentowny był system, ale to, jak pewna jest pewność, że system wykaże w przyszłości przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie może poczynić trader, jest upewnienie się, że system będzie w przyszłości wykazywał dodatnią wartość oczekiwaną.

Aby w przyszłości uzyskać dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów podlegających optymalizacji, ale także poprzez redukcję jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana dokonana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie ważne jest, abyś zrozumiał, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, ważne, aby był on opłacalny. Pieniądze, które zarobisz na handlu, zostaną zarobione poprzez Efektywne zarządzanie pieniądze.

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które zapewnia dodatnią wartość oczekiwaną, dzięki czemu można zarządzać pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym wystarczająco długo. Problem większości traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że poświęcają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizację różne zasady i wartości parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.

Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa wymagająca pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” w handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlu, dowiedzieć się, jak logiczna jest ta metoda i czy daje pozytywne oczekiwania. Prawidłowe metody zarządzanie pieniędzmi, zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, resztę pracy wykona samodzielnie.

Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: . Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przewyższa nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, abyś miał możliwość zarabiania pieniędzy tak często, jak to możliwe; Osiągaj stabilne, pozytywne wyniki swojej działalności.

I tutaj, dla nas, pracujących traderów, oczekiwania matematyczne mogą być bardzo pomocne. Termin ten jest jednym z kluczowych w teorii prawdopodobieństwa. Za jego pomocą możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej do oceny jej efektywności najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiuje się jako sumę iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a pozostała część – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 dolarów, a średnia strata wyniesie 1,4 dolara. Obliczmy matematyczne oczekiwania dotyczące handlu za pomocą tego systemu:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1708 dolarów. Ponieważ uzyskana wydajność jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń matematyczne oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę i taki handel doprowadzi do ruiny.

Kwotę zysku na transakcję można również wyrazić jako wartość względną w postaci %. Na przykład:

– procent dochodu na 1 transakcję – 5%;

– odsetek udanych operacji handlowych – 62%;

– procent straty na 1 transakcję – 3%;

– odsetek nieudanych transakcji – 38%;

Oznacza to, że średni handel przyniesie 1,96%.

Możliwe jest opracowanie systemu, który pomimo przewagi nierentownych transakcji da wynik pozytywny, ponieważ jego MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku jego rentowność będzie porównywalna z oprocentowaniem banku. Niech każda operacja generuje średnio tylko 0,5 dolara, ale co, jeśli system obejmuje 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo znacząca kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że można wziąć pod uwagę inną charakterystyczną cechę dobrego systemu transakcyjnego krótkoterminowy zajmowania stanowisk.

Źródła i linki

dic.academic.ru – akademicki słownik internetowy

matematyka.ru – edukacyjny portal matematyczny

nsu.ru – edukacyjny portal Nowosybirska Uniwersytet stanowy

webmath.ru – portalu edukacyjnego dla studentów, kandydatów i uczniów.

exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna

ru.tradimo.com – bezpłatna szkoła handlu online

crypto.hut2.ru – multidyscyplinarne źródło informacji

poker-wiki.ru – darmowa encyklopedia pokera

sernam.ru – Biblioteka Naukowa wybrane publikacje przyrodnicze

reshim.su – strona internetowa ROZWIĄZUJEMY problemy z zajęciami testowymi

unfx.ru – Forex na UNFX: szkolenia, sygnały handlowe, zarządzanie zaufaniem

slovopedia.com – Duży słownik encyklopedyczny Słowopedia

pokermansion.3dn.ru – Twój przewodnik po świecie pokera

statanaliz.info – blog informacyjny „Analiza danych statystycznych”

forex-trader.rf – portal Forex-Trader

megafx.ru – aktualna analityka Forex

fx-by.com – wszystko dla tradera