I jeszcze jedna uwaga: wzorów redukcyjnych jest naprawdę sporo i od razu ostrzegamy, żeby nie uczyć się ich wszystkich na pamięć. Nie ma takiej potrzeby – jest taka, która pozwala z łatwością zastosować formuły redukcyjne.
Zapiszmy więc wszystkie formuły redukcyjne w formie tabeli.
Wzory te można przepisać za pomocą stopni i radianów. Aby to zrobić, pamiętaj tylko o relacji między stopniami i radianami i zamień π na 180 stopni wszędzie.
Przykłady wykorzystania wzorów redukcyjnych
Celem tego akapitu jest pokazanie, jak w praktyce stosuje się wzory redukcyjne do rozwiązywania przykładów.
Na początek warto powiedzieć, że jest nieskończona liczba sposoby przedstawiania kąta pod znakiem funkcji trygonometrycznych w formie i 
. Wynika to z faktu, że kąt może przyjmować dowolną wartość. Pokażmy to na przykładzie.
Weźmy na przykład kąt pod znakiem funkcja trygonometryczna równy Kąt ten można przedstawić jako 
, czy co 
, czy co 
lub na wiele innych sposobów.
Zobaczmy teraz, jakie wzory redukcyjne będziemy musieli zastosować w zależności od reprezentacji kąta. Weźmy.
Jeśli przedstawimy kąt jako , to przedstawienie to odpowiada formule redukcyjnej postaci , z której otrzymujemy 
. Tutaj możemy wskazać wartość funkcji trygonometrycznej: .
Do prezentacji skorzystamy już ze wzoru postaci 
, co prowadzi nas do następującego wyniku: .
Wreszcie, ponieważ odpowiedni wzór redukcji ma postać 
.
Na zakończenie tej dyskusji szczególnie warto zauważyć, że istnieją pewne udogodnienia w przypadku stosowania reprezentacji kąta, w której kąt ma wartość od 0 do 90 stopni (od 0 do pi w połowie radianów).
Spójrzmy na inny przykład użycia formuł redukcyjnych.
Przykład.
Korzystając ze wzorów redukcyjnych, przedstaw sinus i cosinus kąta ostrego.
Rozwiązanie.
Aby zastosować wzory redukcyjne, musimy przedstawić kąt 197 stopni w postaci lub 
i zgodnie z warunkami problemu kąt musi być ostry. Można to zrobić na dwa sposoby: 
Lub . Zatem, 
Lub 
.
Wracając do odpowiednich wzorów na redukcję i , otrzymujemy i .
Odpowiedź:
I 
.
Reguła mnemoniczna
Jak wspomnieliśmy powyżej, nie jest konieczne zapamiętywanie wzorów redukcyjnych. Jeśli przyjrzysz się im uważnie, możesz zidentyfikować wzorce, z których można uzyskać regułę pozwalającą uzyskać dowolny ze wzorów redukcyjnych. Wzywają go reguła mnemoniczna(mnemonika to sztuka zapamiętywania).
Reguła mnemoniczna składa się z trzech etapów:
Warto od razu powiedzieć, że aby zastosować regułę mnemoniczną, musisz być bardzo dobry w identyfikowaniu znaków sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensu przez ćwiartki, ponieważ będziesz musiał to robić stale.
Przyjrzyjmy się zastosowaniu reguły mnemonicznej na przykładach.
Przykład.
Używanie reguła mnemoniczna, zapisz wzory redukcyjne dla 
I 
, uznając kąt za kąt pierwszej ćwiartki.
Rozwiązanie.
Nie musimy wykonywać pierwszego kroku reguły, ponieważ kąty pod znakami funkcji trygonometrycznych są już zapisane w wymaganej formie.
Określmy znak funkcji I . Pod warunkiem, że - kąt pierwszej ćwiartki, kąt 
jest także kątem pierwszej ćwiartki i kątem 
- kąt drugiej ćwiartki. Cosinus w pierwszej ćwiartce ma znak plus, a tangens w drugiej ćwiartce ma znak minus. Na tym etapie wymagane formuły będą miały postać i . Teraz, gdy już ustaliliśmy znaki, możemy przejść do ostatniego kroku reguły mnemonicznej.
Ponieważ argument funkcji cosinus ma postać , to nazwę funkcji należy zmienić na cofunction, czyli na sinus. Argument styczny ma postać dlatego nazwę funkcji należy pozostawić taką samą.
W rezultacie mamy 
I . Możesz zajrzeć do tabeli wzorów redukcyjnych, aby upewnić się, że uzyskane wyniki są prawidłowe.
Odpowiedź:
I .
Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie przykładu z określonymi kątami.
Przykład.
Korzystając z reguły mnemonicznej, sprowadź do funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
Rozwiązanie.
Najpierw wyobraźmy sobie kąt 777 stopni w postaci niezbędnej do zastosowania reguły mnemonicznej. Można to zrobić na dwa sposoby: lub.
Pierwotnym kątem jest kąt w pierwszej ćwiartce, sinus tego kąta ma znak plus.
Na potrzeby prezentacji nazwę sinusa należy pozostawić taką samą, natomiast aby przedstawić typ, sinus należy zmienić na cosinus.
W rezultacie mamy i .
Odpowiedź:
I .
Na zakończenie rozważmy przykład ilustrujący znaczenie prawidłowego przedstawienia kąta pod znakiem funkcji trygonometrycznych dla zastosowania reguły mnemonicznej: kąt musi być ostry!!!
Obliczmy tangens kąta. W zasadzie odwołując się do materiału zawartego w artykule wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, możemy od razu odpowiedzieć na pytanie problemu: 
.
Jeśli reprezentujemy kąt jako lub jako , możemy użyć reguły mnemonicznej: 
I 
, co prowadzi nas do tego samego rezultatu.
Ale to właśnie może się zdarzyć, jeśli weźmiemy pod uwagę reprezentację kąta, na przykład formy. W tym przypadku reguła mnemoniczna doprowadzi nas do tego wyniku. Wynik ten jest błędny, co tłumaczy się faktem, że dla reprezentacji nie mieliśmy prawa zastosować reguły mnemonicznej, ponieważ kąt nie jest ostry.
Dowód wzorów redukcyjnych
Wzory redukcyjne odzwierciedlają okresowość, symetrię i właściwości przesunięcia według kątów i . Od razu zauważmy, że wszystkie wzory redukcyjne można udowodnić, odrzucając termin w argumentach, ponieważ oznacza to zmianę kąta o całkowitą liczbę pełnych obrotów, a to nie zmienia wartości funkcji trygonometrycznych. Termin ten służy jako odzwierciedlenie okresowości.
Pierwszy blok 16 wzorów redukcyjnych wynika bezpośrednio z właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Nie warto nawet się nad nimi rozwodzić.
Przejdźmy do kolejnego bloku formuł. Najpierw udowodnimy dwa pierwsze z nich. Reszta wynika z nich. Udowodnijmy zatem wzory redukcyjne postaci 
I 
.
Rozważmy okrąg jednostkowy. Niech początkowy punkt A po obrocie o kąt przejdzie do punktu A 1 (x, y), a po obrocie o kąt do punktu A 2. Narysujmy A 1 H 1 i A 2 H 2 – prostopadłe do prostej Ox.
Łatwo zauważyć, że trójkąty prostokątne OA 1 H 1 i OA 2 H 2 mają tę samą przeciwprostokątną i dwa sąsiednie kąty. Z równości trójkątów i położenia punktów A 1 i A 2 na okręgu jednostkowym wynika, że jeśli punkt A 1 ma współrzędne x i y, to punkt A 2 ma współrzędne -y i x. Następnie definicje sinusa i cosinusa pozwalają nam zapisać równości i 
, z czego to wynika I . Dowodzi to rozważanych wzorów redukcyjnych dla dowolnego kąta.
W danych okolicznościach 
I 
(w razie potrzeby zobacz artykuł podstawowe tożsamości trygonometryczne), a także właśnie sprawdzone wzory, otrzymujemy i 
. Udowodniliśmy więc następujące dwa wzory redukcyjne.
Aby udowodnić wzory redukcyjne za pomocą argumentu, wystarczy przedstawić je jako , a następnie skorzystać ze sprawdzonych wzorów i własności funkcji trygonometrycznych z przeciwstawnymi argumentami. Na przykład, .
Wszystkie pozostałe wzory redukcyjne dowodzi się w podobny sposób na podstawie już udowodnionych przez podwójne zastosowanie. Na przykład pojawia się jako 
, i - jak 
. I i - odpowiednio i.
Referencje.
- Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. SA Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. wykształcenie ogólne instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa – wyd. 14 – M.: Edukacja, 2004. – 384 s.: il. – ISBN 5-09-013651-3.
- Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.
Definicja. Wzory redukcyjne to wzory umożliwiające przejście od funkcji trygonometrycznych formy do funkcji argumentu. Za ich pomocą sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta można zredukować do sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensu kąta z przedziału od 0 do 90 stopni (od 0 do radianów). Tym samym wzory redukcyjne pozwalają nam przejść do pracy z kątami w granicach 90 stopni, co niewątpliwie jest bardzo wygodne.
Wzory redukcyjne:
Istnieją dwie zasady stosowania wzorów redukcyjnych.
1. Jeśli kąt można przedstawić jako (π/2 ±a) lub (3*π/2 ±a), to zmiany nazwy funkcji grzech do cos, cos do grzechu, tg do ctg, ctg do tg. Jeżeli kąt można przedstawić w postaci (π ±a) lub (2*π ±a), to Nazwa funkcji pozostaje niezmieniona.
Spójrz na poniższy obrazek, schematycznie pokazuje, kiedy zmienić znak, a kiedy nie
2. Znak funkcji zredukowanej pozostaje taki sam. Jeśli pierwotna funkcja miała znak plus, to funkcja zredukowana również ma znak plus. Jeśli pierwotna funkcja miała znak minus, to funkcja zredukowana również ma znak minus.
Poniższy rysunek przedstawia znaki podstawowych funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki.
Przykład:
Obliczać
Skorzystajmy ze wzorów redukcyjnych:
Grzech (150˚) znajduje się w drugiej ćwiartce; z rysunku widzimy, że znak grzechu w tej ćwiartce jest równy „+”. Oznacza to, że dana funkcja będzie miała także znak „+”. Zastosowaliśmy drugą zasadę.
Teraz 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ to π/2. Czyli mamy do czynienia z przypadkiem π/2+60, zatem zgodnie z pierwszą zasadą zmieniamy funkcję z sin na cos. W rezultacie otrzymujemy Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
I kolejne zadanie B11 na ten sam temat - z prawdziwego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W tym krótkim samouczku wideo dowiemy się, jak złożyć wniosek formuły redukcyjne za rozwiązywanie rzeczywistych problemów B11 z Unified State Examination z matematyki. Jak widać, mamy dwa wyrażenia trygonometryczne, każde zawierające sinusy i cosinusy, a także kilka dość brutalnych argumentów numerycznych.
Zanim rozwiążemy te problemy, przypomnijmy sobie, jakie są wzory redukcyjne. Jeśli więc mamy wyrażenia takie jak:
Wtedy możemy pozbyć się pierwszego wyrazu (w postaci k · π/2) według specjalnych zasad. Narysujmy okrąg trygonometryczny i zaznaczmy na nim główne punkty: 0, π/2; π; 3π/2 i 2π. Następnie patrzymy na pierwszy wyraz pod znakiem funkcji trygonometrycznej. Mamy:
- Jeżeli interesujący nas wyraz leży na osi pionowej okręgu trygonometrycznego (np. 3π/2; π/2 itd.), wówczas pierwotną funkcję zastępuje się współfunkcją: sinus zastępuje się cosinus, a cosinus, przeciwnie, przez sinus.
- Jeśli nasz wyraz leży na osi poziomej, to pierwotna funkcja się nie zmienia. Po prostu usuwamy pierwszy człon z wyrażenia i to wszystko.
W ten sposób otrzymujemy funkcję trygonometryczną, która nie zawiera wyrazów w postaci k · π/2. Na tym jednak praca ze wzorami redukcyjnymi się nie kończy. Faktem jest, że nasza nowa funkcja, otrzymana po „odrzuceniu” pierwszego członu, może mieć przed sobą znak plus lub minus. Jak rozpoznać ten znak? Teraz się dowiemy.
Wyobraźmy sobie, że kąt α pozostający wewnątrz funkcji trygonometrycznej po przekształceniach ma bardzo małą miarę stopnia. Ale co oznacza „mała miara”? Powiedzmy α ∈ (0; 30°) - to w zupełności wystarczy. Weźmy przykład funkcji:
Następnie, wychodząc z założenia, że α ∈ (0; 30°), dochodzimy do wniosku, że kąt 3π/2 − α leży w trzeciej ćwiartce współrzędnych, tj. 3π/2 - α ∈ (π; 3π/2). Zapamiętajmy znak funkcji pierwotnej, czyli tzw. y = grzech x w tym przedziale. Oczywiście sinus w trzeciej ćwiartce współrzędnych jest ujemny, ponieważ z definicji sinus jest rzędną końca ruchomego promienia (w skrócie sinus jest współrzędną y). Cóż, współrzędna y w dolnej połowie płaszczyzny zawsze przyjmuje wartości ujemne. Oznacza to, że w trzecim kwartale y jest również ujemne.
Na podstawie tych refleksji możemy zapisać końcowe wyrażenie:
Zadanie B11 – Opcja 1
Te same techniki są całkiem odpowiednie do rozwiązania problemu B11 z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jedyna różnica polega na tym, że w wielu rzeczywistych problemach B11 zamiast miary radianu (tj. liczb π, π/2, 2π itp.) używana jest miara stopnia (tj. 90°, 180°, 270° itd.). Spójrzmy na pierwsze zadanie:
Najpierw spójrzmy na licznik. bo 41° nie wartość tabeli, więc nie możemy nic z tym zrobić. Zostawmy to tak na razie.
Teraz spójrzmy na mianownik:
grzech 131° = grzech (90° + 41°) = cos 41°
Oczywiście jest to wzór redukcyjny, więc sinus zastępuje się cosinusem. Dodatkowo kąt 41° leży na odcinku (0°; 90°), tj. w pierwszej ćwiartce współrzędnych - dokładnie tak, jak jest to wymagane do zastosowania wzorów redukcyjnych. Ale wtedy 90° + 41° to druga ćwiartka współrzędnych. Oryginalna funkcja y = sin x jest tam dodatnia, więc w ostatnim kroku stawiamy znak plus przed cosinusem (innymi słowy, nie wstawialiśmy niczego).
Pozostaje zająć się ostatnim elementem:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Tutaj widzimy, że jest to 180° oś pozioma. W konsekwencji sama funkcja się nie zmieni: był cosinus - i cosinus również pozostanie. Ale znowu pojawia się pytanie: czy przed otrzymanym wyrażeniem cos 60° pojawi się plus czy minus? Zauważ, że 180° to trzecia ćwiartka współrzędnych. Cosinus jest tam ujemny, dlatego cosinus ostatecznie będzie miał przed sobą znak minus. W sumie otrzymujemy konstrukcję −cos 60° = −0,5 – jest to wartość tabelaryczna, więc wszystko łatwo policzyć.
Teraz podstawiamy otrzymane liczby do pierwotnego wzoru i otrzymujemy:
Jak widać, liczbę cos 41° w liczniku i mianowniku ułamka można łatwo zmniejszyć i pozostaje zwykłe wyrażenie, które wynosi -10. W takim przypadku minus można wyjąć i umieścić przed znakiem ułamka lub „trzymać” obok drugiego współczynnika aż do ostatniego etapu obliczeń. W każdym razie odpowiedź będzie wynosić -10. To wszystko, problem B11 został rozwiązany!
Zadanie B14 – opcja 2
Przejdźmy do drugiego zadania. Znowu mamy przed sobą ułamek:
No cóż, 27° leży w pierwszej ćwiartce współrzędnych, więc niczego tutaj nie będziemy zmieniać. Ale grzech 117° trzeba zapisać (na razie bez kwadratu):
grzech 117° = grzech (90° + 27°) = cos 27°
Oczywiście znowu przed nami formuła redukcyjna: 90° to oś pionowa, dlatego sinus zmieni się na cosinus. Ponadto kąt α = 117° = 90° + 27° leży w drugiej ćwiartce współrzędnych. Pierwotna funkcja y = sin x jest tam dodatnia, dlatego po wszystkich przekształceniach przed cosinusem nadal znajduje się znak plus. Innymi słowy, nic tam nie jest dodawane - zostawiamy to tak: cos 27°.
Wracamy do pierwotnego wyrażenia, które należy obliczyć:
Jak widzimy, po przekształceniach w mianowniku powstała główna tożsamość trygonometryczna: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Razem -4: 1 = -4 - znaleźliśmy więc odpowiedź na drugie zadanie B11.
Jak widać, za pomocą formuł redukcyjnych takie problemy z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki rozwiązuje się dosłownie w kilku wierszach. Żadnych sinusów sumy i cosinusów różnicy. Jedyne o czym musimy pamiętać to okrąg trygonometryczny.
Artykuł ten poświęcony jest szczegółowym badaniom wzory trygonometryczne duchy Dan pełna lista przedstawiono wzory redukcyjne, przedstawiono przykłady ich użycia oraz podano dowód poprawności wzorów. W artykule podano także regułę mnemoniczną, która umożliwia wyprowadzanie wzorów redukcyjnych bez zapamiętywania poszczególnych wzorów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formuły redukcyjne. Lista
Wzory redukcyjne pozwalają na redukcję podstawowych funkcji trygonometrycznych kątów o dowolnej wielkości do funkcji kątów mieszczących się w zakresie od 0 do 90 stopni (od 0 do π 2 radianów). Operowanie kątami od 0 do 90 stopni jest znacznie wygodniejsze niż praca z dowolnie dużymi wartościami, dlatego też wzory redukcyjne są szeroko stosowane przy rozwiązywaniu problemów trygonometrycznych.
Zanim zapiszemy same formuły, wyjaśnijmy kilka ważnych punktów dla zrozumienia.
- Argumentami funkcji trygonometrycznych we wzorach redukcyjnych są kąty postaci ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Tutaj z jest dowolną liczbą całkowitą, a α jest dowolnym kątem obrotu.
- Nie trzeba uczyć się wszystkich formuł redukcyjnych, których liczba jest imponująca. Istnieje zasada mnemoniczna, która ułatwia wyprowadzenie pożądanej formuły. O regule mnemonicznej porozmawiamy później.
Przejdźmy teraz bezpośrednio do wzorów redukcyjnych.
Formuły redukcyjne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi i dowolnie dużymi kątami do pracy z kątami z zakresu od 0 do 90 stopni. Zapiszmy wszystkie formuły w formie tabeli.
Formuły redukcyjne
grzech α + 2 π z = grzech α , sałata α + 2 π z = cos α t sol α + 2 π z = t sol α , do t sol α + 2 π z = do t sol α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t sol - α + 2 π z = - t sol α , do t sol - α + 2 π z = - do t sol α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t sol π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol π 2 + α + 2 π z = - t sol α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t sol π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t sol π + α + 2 π z = t sol α , do t sol π + α + 2 π z = do t sol α grzech π - α + 2 π z = sin α , sałata π - α + 2 π z = - cos α t sol π - α + 2 π z = - t sol α , do t sol π - α + 2 π z = - do t sol α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = grzech α t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - do t sol α , do t sol 3 π 2 + α + 2 π z = - t sol α grzech 3 π 2 - α + 2 π z = - sałata α , sałata 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t sol 3 π 2 - α + 2 π z = do t sol α , do t sol 3 π 2 - α + 2 π z = t sol α
W w tym przypadku formuły zapisywane są w radianach. Można je jednak zapisać również za pomocą stopni. Wystarczy przeliczyć radiany na stopnie, zastępując π o 180 stopni.
Przykłady wykorzystania wzorów redukcyjnych
Pokażemy, jak korzystać ze wzorów redukcyjnych i jak te wzory są wykorzystywane do rozwiązywania praktycznych przykładów.
Kąt pod znakiem funkcji trygonometrycznej można przedstawić nie na jeden, ale na wiele sposobów. Na przykład argument funkcji trygonometrycznej można przedstawić w postaci ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Zademonstrujmy to.
Weźmy kąt α = 16 π 3. Kąt ten można zapisać w następujący sposób:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
W zależności od przedstawienia kąta stosuje się odpowiedni wzór redukcyjny.
Weźmy ten sam kąt α = 16 π 3 i obliczmy jego tangens
Przykład 1: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 , t sol α =?
Przedstawmy kąt α = 16 π 3 jako α = π + π 3 + 2 π 2
To przedstawienie kąta będzie odpowiadać wzorowi redukcyjnemu
t sol (π + α + 2 π z) = t g α
t sol 16 π 3 = t sol π + π 3 + 2 π 2 = t sol π 3
Korzystając z tabeli, wskazujemy wartość tangensa
Teraz używamy innej reprezentacji kąta α = 16 π 3.
Przykład 2: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 , t sol α =? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t sol 16 π 3 = t sol - 2 π 3 + 2 π 3 = - t sol 2 π 3 = - (- 3) = 3
Wreszcie dla trzeciej reprezentacji kąta piszemy
Przykład 3. Stosowanie wzorów redukcyjnych
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t sol 3 π 2 - α + 2 π z = do t sol α t sol α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = do t g π 6 = 3
Podajmy teraz przykład zastosowania bardziej złożonych formuł redukcyjnych
Przykład 4: Korzystanie ze wzorów redukcyjnych
Wyobraźmy sobie grzech 197° poprzez sinus i cosinus kąta ostrego.
Aby móc zastosować wzory redukcyjne należy przedstawić kąt α = 197° w jednej z postaci
± α + 360° z, 90° ± α + 360° z, 180° ± α + 360° z, 270° ± α + 360° z. Zgodnie z warunkami problemu kąt musi być ostry. W związku z tym mamy dwa sposoby przedstawienia tego:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Dostajemy
grzech 197° = grzech (180° + 17°) grzech 197° = grzech (270° - 73°)
Przyjrzyjmy się teraz wzorom redukcji sinusów i wybierzmy odpowiednie
grzech (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = grzech (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - grzech 17 ° grzech 197 ° = grzech (270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Reguła mnemoniczna
Formuł redukcyjnych jest wiele i na szczęście nie trzeba ich zapamiętywać. Istnieją prawidłowości, dzięki którym można wyprowadzić wzory redukcyjne dla różnych kątów i funkcji trygonometrycznych. Wzorce te nazywane są regułami mnemonicznymi. Mnemonika to sztuka zapamiętywania. Reguła mnemoniczna składa się z trzech części lub zawiera trzy etapy.
Reguła mnemoniczna
1. Argument pierwotnej funkcji jest reprezentowany w jednej z następujących postaci:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Kąt α musi mieścić się w przedziale od 0 do 90 stopni.
2. Wyznacza się znak pierwotnej funkcji trygonometrycznej. Funkcja zapisana po prawej stronie wzoru będzie miała ten sam znak.
3. Dla kątów ± α + 2 πz i π ± α + 2 πz nazwa pierwotnej funkcji pozostaje niezmieniona, a dla kątów odpowiednio π 2 ± α + 2 πz i 3 π 2 ± α + 2 πz zmienia się na „współfunkcja”. Sinus - cosinus. Tangens - kotangens.
Aby skorzystać z mnemonicznego przewodnika po wzorach redukcyjnych, musisz umieć wyznaczać znaki funkcji trygonometrycznych na podstawie ćwiartek koła jednostkowego. Spójrzmy na przykłady użycia reguły mnemonicznej.
Przykład 1: Użycie reguły mnemonicznej
Zapiszmy wzory redukcyjne dla cos π 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. α jest logarytmem pierwszego kwartału.
1. Ponieważ według warunku α jest logarytmem pierwszego kwartału, pomijamy pierwszy punkt reguły.
2. Zdefiniuj znaki funkcje cosπ 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. Kąt π 2 - α + 2 πz jest także kątem pierwszej ćwiartki, a kąt π - α + 2 πz należy do drugiej ćwiartki. W pierwszym kwartale funkcja cosinus jest dodatnia, a tangens w drugim kwartale ma znak minus. Zapiszmy jak na tym etapie będą wyglądać wymagane formuły.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Zgodnie z trzecim punktem, dla kąta π 2 - α + 2 π nazwa funkcji zmienia się na Konfucjusz, a dla kąta π - α + 2 πz pozostaje taka sama. Zapiszmy:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t sol π - α + 2 πz = - t sol α
Przyjrzyjmy się teraz podanym powyżej wzorom i upewnijmy się, że reguła mnemoniczna działa.
Spójrzmy na przykład z określonym kątem α = 777°. Sprowadźmy sinus alfa do funkcji trygonometrycznej kąta ostrego.
Przykład 2: Użycie reguły mnemonicznej
1. Wyobraź sobie kąt α = 777 ° w wymaganej formie
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Kąt pierwotny to kąt pierwszej ćwiartki. Oznacza to, że sinus kąta ma znak pozytywny. W rezultacie mamy:
3. grzech 777° = grzech (57° + 360° 2) = grzech 57° grzech 777° = grzech (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Spójrzmy teraz na przykład, który pokazuje, jak ważne jest prawidłowe określenie znaku funkcji trygonometrycznej i prawidłowe przedstawienie kąta podczas korzystania z reguły mnemonicznej. Powtórzmy to jeszcze raz.
Ważny!
Kąt α musi być ostry!
Obliczmy tangens kąta 5 π 3. Z tabeli wartości głównych funkcji trygonometrycznych możesz od razu przyjąć wartość t g 5 π 3 = - 3, ale zastosujemy regułę mnemoniczną.
Przykład 3: Użycie reguły mnemonicznej
Wyobraźmy sobie kąt α = 5 π 3 w wymaganej postaci i skorzystajmy z reguły
t sol 5 π 3 = t sol 3 π 2 + π 6 = - do t sol π 6 = - 3 t sol 5 π 3 = t sol 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Jeśli kąt alfa przedstawimy w postaci 5 π 3 = π + 2 π 3, to wynik zastosowania reguły mnemonicznej będzie nieprawidłowy.
t sol 5 π 3 = t sol π + 2 π 3 = - t sol 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nieprawidłowy wynik wynika z faktu, że kąt 2 π 3 nie jest ostry.
Dowód wzorów redukcyjnych opiera się na własnościach okresowości i symetrii funkcji trygonometrycznych, a także na własności przesunięcia o kąty π 2 i 3 π 2. Dowód słuszności wszystkich wzorów redukcyjnych można przeprowadzić bez uwzględnienia członu 2 πz, ponieważ oznacza on zmianę kąta o całkowitą liczbę pełnych obrotów i dokładnie odzwierciedla właściwość okresowości.
Pierwsze 16 wzorów wynika bezpośrednio z własności podstawowych funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Oto dowód wzorów na redukcje sinusów i cosinusów
grzech π 2 + α = cos α i cos π 2 + α = - sin α
Spójrzmy na okrąg jednostkowy, którego punkt początkowy po obrocie o kąt α przechodzi do punktu A 1 x, y, a po obrocie o kąt π 2 + α - do punktu A 2. Z obu punktów rysujemy prostopadłe do osi odciętych.
Dwa prawy trójkąt O A 1 H 1 i O A 2 H 2 są równe w przeciwprostokątnej i sąsiednich kątach. Z położenia punktów na okręgu i równości trójkątów możemy wywnioskować, że punkt A 2 ma współrzędne A 2 - y, x. Korzystając z definicji sinusa i cosinusa piszemy:
grzech α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
grzech π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Biorąc pod uwagę podstawowe tożsamości trygonometrii i to, co właśnie zostało udowodnione, możemy pisać
t sol π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - do t g α do t sol π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
Aby udowodnić wzory redukcyjne z argumentem π 2 - α, należy go przedstawić w postaci π 2 + (- α). Na przykład:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - grzech (- α) = grzech α
Dowód wykorzystuje właściwości funkcji trygonometrycznych z argumentami o przeciwnych znakach.
Wszystkie inne wzory redukcyjne można udowodnić w oparciu o te zapisane powyżej.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Lekcja i prezentacja na temat: „Zastosowanie wzorów redukcyjnych w rozwiązywaniu problemów”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10
1C: Szkoła. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
1C: Szkoła. Rozwiązywanie problemów z geometrii. Interaktywne zadania dotyczące budowania w przestrzeni dla klas 10–11
Co będziemy studiować:
1. Powtórzmy trochę.
2. Zasady formuł redukcyjnych.
3. Tabela przeliczeniowa wzorów redukcyjnych.
4. Przykłady.
Przegląd funkcji trygonometrycznych
Chłopaki, spotkaliście się już z formułami duchów, ale jeszcze ich tak nie nazwaliście. Jak myślisz: gdzie?
Spójrz na nasze rysunki. Słusznie, gdy wprowadzono definicje funkcji trygonometrycznych.
Reguła wzorów redukcyjnych
Wprowadźmy podstawową zasadę: Jeżeli pod znakiem funkcji trygonometrycznej znajduje się liczba w postaci π×n/2 + t, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, to naszą funkcję trygonometryczną można sprowadzić do większej prosty widok, który będzie zawierał tylko argument t. Takie formuły nazywane są formułami duchami.
Przypomnijmy sobie kilka formuł:
- grzech(t + 2π*k) = grzech(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- grzech(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- grzech(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
istnieje wiele wzorów duchów, zróbmy regułę, według której wyznaczymy nasze funkcje trygonometryczne przy użyciu formuły duchów:
- Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby w postaci: π + t, π - t, 2π + t i 2π - t, to funkcja nie ulegnie zmianie, czyli np. sinus pozostanie sinusem, kotangens pozostanie kotangentem.
- Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby postaci: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t i 3π/2 - t, wówczas funkcja zmieni się na pokrewną, czyli sinus stanie się cosinusem, cotangens stanie się styczną. - Przed funkcją wynikową należy postawić znak, jaki miałaby przekształcona funkcja pod warunkiem 0
Zasady te obowiązują również wtedy, gdy argument funkcji podany jest w stopniach!
Możemy także stworzyć tablicę przekształceń funkcji trygonometrycznych:
Przykłady wykorzystania wzorów redukcyjnych
1. Przekształć cos(π + t). Pozostaje nazwa funkcji, tj. otrzymujemy cos(t). Załóżmy dalej, że π/2 
2. Przekształć grzech(π/2 + t). Zmienia się nazwa funkcji, tj. otrzymujemy cos(t). Następnie załóżmy, że 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Przekształć tg(π + t). Pozostaje nazwa funkcji, tj. opalamy się(t). Załóżmy dalej, że 0 
4. Przekształć ctg(270 0 + t). Zmienia się nazwa funkcji, czyli otrzymujemy tg(t). Załóżmy dalej, że 0 
Zagadnienia ze wzorami redukcyjnymi do samodzielnego rozwiązania
Chłopaki, przekonwertujcie to sami, korzystając z naszych zasad:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) łóżeczko(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) grzech(2π + t),
7) grzech(π/2 + 5t),
8) grzech(π/2 - t),
9) grzech(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
