Wykłady z algebry i geometrii. 1 semestr.

Wykład 15. Elipsa.

Rozdział 15. Elipsa.

klauzula 1. Podstawowe definicje.

Definicja. Elipsa to GMT płaszczyzny, suma odległości do dwóch stałych punktów płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą.

Definicja. Odległość od dowolnego punktu M płaszczyzny do ogniska elipsy nazywa się promieniem ogniskowym punktu M.

Oznaczenia:
– ogniska elipsy,
– promienie ogniskowe punktu M.

Przez definicja elipsy, punkt M jest punktem elipsy wtedy i tylko wtedy, gdy
- stała wartość. Stała ta jest zwykle oznaczana jako 2a:

. (1)

Zauważ, że
.

Z definicji elipsy jej ogniska są punktami stałymi, więc odległość między nimi jest również wartością stałą dla danej elipsy.

Definicja. Odległość między ogniskami elipsy nazywa się ogniskową.

Przeznaczenie:
.

Z trójkąta
wynika z tego
, tj.

.

Oznaczmy przez b liczbę równą
, tj.

. (2)

Definicja. Postawa

(3)

nazywa się mimośrodem elipsy.

Wprowadźmy na tej płaszczyźnie układ współrzędnych, który nazwiemy kanonicznym dla elipsy.

Definicja. Oś, na której leżą ogniska elipsy, nazywana jest osią ogniskową.

Skonstruujmy kanoniczny PDSC dla elipsy, patrz ryc. 2.

Wybieramy oś ogniskową jako oś odciętych i rysujemy oś rzędnych przez środek odcinka
prostopadle do osi ogniskowej.

Wtedy ogniska mają współrzędne
,
.

klauzula 2. Równanie kanoniczne elipsy.

Twierdzenie. W kanonicznym układzie współrzędnych elipsy równanie elipsy ma postać:

. (4)

Dowód. Dowód przeprowadzamy w dwóch etapach. W pierwszym etapie udowodnimy, że współrzędne dowolnego punktu leżącego na elipsie spełniają równanie (4). W drugim etapie udowodnimy, że dowolne rozwiązanie równania (4) daje współrzędne punktu leżącego na elipsie. Z tego wynika, że ​​równanie (4) spełniają te i tylko te punkty płaszczyzny współrzędnych, które leżą na elipsie. Z tego oraz z definicji równania krzywej wynika, że ​​równanie (4) jest równaniem elipsy.

1) Niech punkt M(x, y) będzie punktem elipsy, tj. suma jego promieni ogniskowych wynosi 2a:

.

Skorzystajmy ze wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych i skorzystajmy z tego wzoru, aby znaleźć promienie ogniskowe danego punktu M:

,
, skąd otrzymujemy:

Przesuńmy jeden pierwiastek na prawą stronę równości i podnieśmy go do kwadratu:

Redukując otrzymujemy:

Przedstawiamy podobne, zmniejszamy o 4 i usuwamy pierwiastek:

.

Kwadrat

Otwórz nawiasy i skróć o
:

gdzie otrzymujemy:

Korzystając z równości (2) otrzymujemy:

.

Dzielenie ostatniej równości przez
, otrzymujemy równość (4) itd.

2) Niech teraz para liczb (x, y) spełnia równanie (4) i niech M(x, y) będzie odpowiednim punktem na płaszczyźnie współrzędnych Oxy.

Następnie z (4) wynika:

.

Podstawiamy tę równość do wyrażenia na promienie ogniskowe punktu M:

.

Tutaj użyliśmy równości (2) i (3).

Zatem,
. Podobnie,
.

Zauważmy teraz, że z równości (4) wynika to

Lub
i ponieważ
, to nierówność jest następująca:

.

Stąd wynika z kolei, że

Lub
I

,
. (5)

Z równości (5) wynika, że
, tj. punkt M(x, y) jest punktem elipsy itd.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja. Równanie (4) nazywa się równaniem kanonicznym elipsy.

Definicja. Kanoniczne osie współrzędnych elipsy nazywane są głównymi osiami elipsy.

Definicja. Początek kanonicznego układu współrzędnych elipsy nazywa się środkiem elipsy.

klauzula 3. Właściwości elipsy.

Twierdzenie. (Właściwości elipsy.)

1. W kanonicznym układzie współrzędnych elipsy wszystko

punkty elipsy leżą w prostokącie

,
.

2. Punkty leżą

3. Elipsa to krzywa symetryczna względem

ich główne osie.

4. Środek elipsy jest jej środkiem symetrii.

Dowód. 1, 2) Natychmiast wynika z kanonicznego równania elipsy.

3, 4) Niech M(x, y) będzie dowolnym punktem elipsy. Wtedy jego współrzędne spełniają równanie (4). Ale wtedy współrzędne punktów również spełniają równanie (4), a zatem są punktami elipsy, z której wynikają twierdzenia twierdzenia.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja. Wielkość 2a nazywana jest główną osią elipsy, wielkość a nazywa się półosią wielką elipsy.

Definicja. Wielkość 2b nazywa się małą osią elipsy, wielkość b nazywa się półmniejszą osią elipsy.

Definicja. Punkty przecięcia elipsy z jej głównymi osiami nazywane są wierzchołkami elipsy.

Komentarz. Elipsę można skonstruować w następujący sposób. W samolocie „wbijamy gwóźdź w ogniska” i mocujemy do nich długość nici
. Następnie bierzemy ołówek i za pomocą niego dokręcamy nić. Następnie przesuwamy grafit ołówkowy po płaszczyźnie, upewniając się, że nić jest napięta.

Z definicji ekscentryczności wynika, że

Ustalmy liczbę a i skierujmy liczbę c na zero. Następnie o godz
,
I
. W limicie, który otrzymujemy

Lub
– równanie okręgu.

Teraz pokierujmy
. Następnie
,
i widzimy, że w granicy elipsa degeneruje się w odcinek prosty
w zapisie rysunku 3.

klauzula 4. Równania parametryczne elipsy.

Twierdzenie. Pozwalać
– dowolne liczby rzeczywiste. Następnie układ równań

,
(6)

są równaniami parametrycznymi elipsy w kanonicznym układzie współrzędnych elipsy.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że układ równań (6) jest równoważny równaniu (4), czyli: mają ten sam zestaw rozwiązań.

1) Niech (x, y) będzie dowolnym rozwiązaniem układu (6). Podziel pierwsze równanie przez a, drugie przez b, podnieś oba równania do kwadratu i dodaj:

.

Te. każde rozwiązanie (x, y) układu (6) spełnia równanie (4).

2) I odwrotnie, niech para (x, y) będzie rozwiązaniem równania (4), tj.

.

Z tej równości wynika, że ​​punkt o współrzędnych
leży na okręgu o promieniu jednostkowym ze środkiem w początku, tj. jest punktem na okręgu trygonometrycznym, któremu odpowiada określony kąt
:

Z definicji sinusa i cosinusa wynika to bezpośrednio

,
, Gdzie
, z czego wynika, że ​​para (x, y) jest rozwiązaniem układu (6) itd.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Elipsę można otrzymać w wyniku równomiernego „ściśnięcia” okręgu o promieniu a w kierunku osi odciętych.

Pozwalać
– równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych. „Ściśnięcie” okręgu do osi odciętych to nic innego jak przekształcenie płaszczyzny współrzędnych, przeprowadzone według następującej zasady. Dla każdego punktu M(x, y) kojarzymy punkt na tej samej płaszczyźnie
, Gdzie
,
- Stopień sprężania.

Dzięki tej transformacji każdy punkt na okręgu „przechodzi” do innego punktu na płaszczyźnie, który ma tę samą odciętą, ale mniejszą rzędną. Wyraźmy starą rzędną punktu poprzez nową:

i podstawiamy okręgi do równania:

.

Stąd otrzymujemy:

. (7)

Wynika z tego, że jeżeli przed transformacją „zaciskania” punkt M(x, y) leżał na okręgu, tj. jego współrzędne spełniały równanie okręgu, to po przekształceniu „ściskania” punkt ten „przekształcił się” w punkt
, którego współrzędne spełniają równanie elipsy (7). Jeśli chcemy otrzymać równanie elipsy z półosią b, musimy przyjąć współczynnik kompresji

.

klauzula 5. Styczna do elipsy.

Twierdzenie. Pozwalać
– dowolny punkt elipsy

.

Następnie równanie stycznej do tej elipsy w punkcie
ma postać:

. (8)

Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy punkt styczności leży w pierwszej lub drugiej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych:
. Równanie elipsy w górnej półpłaszczyźnie ma postać:

. (9)

Użyjmy równania stycznego do wykresu funkcji
w tym punkcie
:

Gdzie
– wartość pochodnej danej funkcji w punkcie
. Elipsę w pierwszej ćwiartce można uznać za wykres funkcji (8). Znajdźmy jego pochodną i jej wartość w punkcie styczności:

,

. Tutaj skorzystaliśmy z faktu, że punkt styczny
jest punktem elipsy i dlatego jego współrzędne spełniają równanie elipsy (9), tj.

.

Podstawiamy znalezioną wartość pochodnej do równania stycznego (10):

,

gdzie otrzymujemy:

Oznacza to:

Podzielmy tę równość przez
:

.

Pozostaje to zauważyć
, ponieważ kropka
należy do elipsy i jej współrzędne spełniają jej równanie.

Równanie styczne (8) dowodzi się w podobny sposób w punkcie styczności leżącym w trzeciej lub czwartej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych.

I wreszcie, możemy łatwo sprawdzić, że równanie (8) daje równanie styczne w punktach
,
:

Lub
, I
Lub
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

klauzula 6. Właściwość lustrzana elipsy.

Twierdzenie. Styczna do elipsy ma kąty równe promieniom ogniskowym punktu styczności.

Pozwalać
- punktem kontaktowym,
,
– promienie ogniskowe punktu stycznego, P i Q – rzuty ognisk na styczną poprowadzoną do elipsy w tym punkcie
.

Twierdzenie to stwierdza

. (11)

Równość tę można interpretować jako równość kątów padania i odbicia promienia światła od elipsy uwolnionej z jej ogniska. Ta właściwość nazywana jest właściwością lustrzaną elipsy:

Promień światła uwolniony z ogniska elipsy, po odbiciu od zwierciadła elipsy, przechodzi przez kolejne ognisko elipsy.

Dowód twierdzenia. Aby udowodnić równość kątów (11), udowodnimy podobieństwo trójkątów
I
, w którym strony
I
będzie podobne. Ponieważ trójkąty są prostokątne, wystarczy udowodnić równość

Definicja. Elipsa to geometryczne miejsce punktów na płaszczyźnie, których suma odległości każdego z dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą (pod warunkiem, że wartość ta jest większa niż odległość między ogniskami) .

Oznaczmy ogniska poprzez odległość między nimi - przez i wartość stałą, równa kwocie odległości od każdego punktu elipsy do ognisk poprzez (zgodnie z warunkiem).

Konstruujmy kartezjański układ współrzędnych tak, aby ogniska znajdowały się na osi odciętej, a początek współrzędnych pokrywał się ze środkiem odcinka (ryc. 44). Wtedy ogniska będą miały następujące współrzędne: lewy fokus i prawy fokus. Wyprowadźmy równanie elipsy w wybranym przez nas układzie współrzędnych. W tym celu rozważmy dowolny punkt elipsy. Z definicji elipsy suma odległości od tego punktu do ognisk jest równa:

Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami, otrzymujemy zatem

Aby uprościć to równanie, zapisujemy je w postaci

Następnie podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy

lub po oczywistych uproszczeniach:

Teraz ponownie podnosimy obie strony równania, po czym mamy:

lub po identycznych przekształceniach:

Ponieważ zgodnie z warunkiem w definicji elipsy liczba jest dodatnia. Wprowadźmy notację

Wówczas równanie przyjmie następującą postać:

Z definicji elipsy współrzędne dowolnego z jej punktów spełniają równanie (26). Ale równanie (29) jest konsekwencją równania (26). W związku z tym spełniają go również współrzędne dowolnego punktu elipsy.

Można wykazać, że współrzędne punktów nie leżących na elipsie nie spełniają równania (29). Zatem równanie (29) jest równaniem elipsy. Nazywa się to równaniem kanonicznym elipsy.

Ustalmy kształt elipsy, korzystając z jej równania kanonicznego.

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na fakt, że to równanie zawiera tylko nawet stopnie x i y. Oznacza to, że jeśli jakiś punkt należy do elipsy, to zawiera także punkt symetryczny do punktu względem osi odciętych oraz punkt symetryczny do punktu względem osi rzędnych. Zatem elipsa ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii, które w wybranym przez nas układzie współrzędnych pokrywają się z osiami współrzędnych. Osie symetrii elipsy będziemy odtąd nazywać osiami elipsy, a punkt ich przecięcia środkiem elipsy. Oś, na której znajdują się ogniska elipsy (w w tym przypadku oś x) nazywana jest osią ogniskową.

Najpierw określmy kształt elipsy w pierwszej ćwiartce. Aby to zrobić, rozwiążmy równanie (28) dla y:

Jest tu oczywiste, że , ponieważ y przyjmuje wartości urojone. W miarę zwiększania się od 0 do a y maleje od b do 0. Część elipsy leżąca w pierwszej ćwiartce będzie łukiem ograniczonym punktami B (0; b) i leżącym na osiach współrzędnych (ryc. 45). Korzystając teraz z symetrii elipsy, dochodzimy do wniosku, że elipsa ma kształt pokazany na ryc. 45.

Punkty przecięcia elipsy z osiami nazywane są wierzchołkami elipsy. Z symetrii elipsy wynika, że ​​oprócz wierzchołków elipsa ma jeszcze dwa wierzchołki (patrz ryc. 45).

Odcinki i łączące przeciwne wierzchołki elipsy, a także ich długości, nazywane są odpowiednio dużą i małą osią elipsy. Liczby a i b nazywane są odpowiednio dużą i małą półosią elipsy.

Stosunek połowy odległości ognisk do półosi wielkiej elipsy nazywany jest mimośrodem elipsy i jest zwykle oznaczany literą:

Ponieważ , mimośród elipsy jest mniejszy niż jedność: Ekscentryczność charakteryzuje kształt elipsy. Istotnie, ze wzoru (28) wynika, że ​​im mniejszy mimośród elipsy, tym mniej jej półoś mała b różni się od półosi wielkiej a, czyli tym mniej wydłużona jest elipsa (wzdłuż osi ogniskowej).

W skrajnym przypadku wynikiem jest okrąg o promieniu a: , lub . Jednocześnie ogniska elipsy wydają się łączyć w jednym punkcie - w środku koła. Mimośród okręgu wynosi zero:

Połączenie elipsy z okręgiem można ustalić z innego punktu widzenia. Pokażmy, że elipsę z półosiami a i b można uważać za rzut koła o promieniu a.

Rozważmy dwie płaszczyzny P i Q, tworzące między sobą taki kąt a, dla którego (ryc. 46). Skonstruujmy układ współrzędnych w płaszczyźnie P, a w płaszczyźnie Q układ Oxy o wspólnym początku O i wspólnej osi odciętych pokrywającej się z linią przecięcia płaszczyzn. Rozważmy okrąg na płaszczyźnie P

ze środkiem w początku układu współrzędnych i promieniem równym a. Niech będzie dowolnie wybranym punktem na okręgu, będzie jego rzutem na płaszczyznę Q i niech będzie rzutem punktu M na oś Ox. Pokażmy, że punkt leży na elipsie z półosiami a i b.

Linie drugiego rzędu.
Elipsa i jej równanie kanoniczne. Koło

Po dokładnym przestudiowaniu linie proste w płaszczyźnie Kontynuujemy badanie geometrii dwuwymiarowego świata. Stawka jest podwojona i zapraszam do malowniczej galerii elips, hiperboli, paraboli, które są typowymi przedstawicielami linie drugiego rzędu. Wycieczka już się rozpoczęła i to pierwsza krótka informacja o całej wystawie na poszczególnych piętrach muzeum:

Pojęcie prostej algebraicznej i jej porządek

Nazywa się linia na płaszczyźnie algebraiczny, jeśli w afiniczny układ współrzędnych jego równanie ma postać , gdzie jest wielomianem składającym się z wyrazów postaci ( – liczba rzeczywista, – liczby całkowite nieujemne).

Jak widać, równanie prostej algebraicznej nie zawiera sinusów, cosinusów, logarytmów i innych funkcji beau monde. W grę wchodzą tylko X i Y nieujemne liczby całkowite stopni.

Kolejność linii równa maksymalnej wartości warunków w niej zawartych.

Zgodnie z odpowiednim twierdzeniem pojęcie linii algebraicznej, a także jej porządek, nie zależą od wyboru afiniczny układ współrzędnych dlatego dla ułatwienia istnienia zakładamy, że wszystkie kolejne obliczenia odbywają się w współrzędne kartezjańskie.

Równanie ogólne linia drugiego rzędu ma postać , gdzie – dowolne liczby rzeczywiste (Zwyczajowo zapisuje się to ze współczynnikiem dwa), a współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.

Jeżeli , to równanie upraszcza się do , a jeśli współczynniki nie są jednocześnie równe zeru, to jest to dokładnie ogólne równanie „płaskiej” linii, które reprezentuje linia pierwszego zamówienia.

Wielu zrozumiało znaczenie nowych terminów, ale mimo to, aby w 100% przyswoić materiał, wkładamy palce w oczodół. Aby określić kolejność linii, musisz wykonać iterację wszystkie terminy jego równania i znajdź dla każdego z nich suma stopni przychodzące zmienne.

Na przykład:

termin zawiera „x” do pierwszej potęgi;
termin zawiera „Y” do pierwszej potęgi;
W wyrazie nie ma zmiennych, więc suma ich potęg wynosi zero.

Teraz zastanówmy się, dlaczego równanie definiuje linię drugi zamówienie:

termin zawiera „x” do drugiej potęgi;
suma ma sumę potęg zmiennych: 1 + 1 = 2;
termin zawiera „Y” do drugiej potęgi;
wszystkie inne warunki - mniej stopni.

Maksymalna wartość: 2

Jeśli dodatkowo dodamy, powiedzmy, do naszego równania, to już to ustali linia trzeciego rzędu. Jest oczywiste, że ogólna postać równania linii trzeciego rzędu zawiera „pełny zbiór” terminów, sumę potęg zmiennych, w których jest równa trzy:
, gdzie współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.

W przypadku dodania jednego lub większej liczby odpowiednich terminów zawierających , to już będziemy rozmawiać Linie czwartego rzędu itp.

Z liniami algebraicznymi trzeciego, czwartego i wyższego rzędu będziemy musieli spotkać się więcej niż raz, zwłaszcza przy zapoznawaniu się z biegunowy układ współrzędnych.

Wróćmy jednak do równania ogólnego i pamiętajmy o jego najprostszych odmianach szkolnych. Jako przykład sugeruje się parabola, której równanie można łatwo sprowadzić do Ogólny wygląd i hiperbola z równoważnym równaniem . Jednak nie wszystko układa się tak gładko...

Istotną wadą równania ogólnego jest to, że prawie zawsze nie jest jasne, którą linię definiuje. Nawet w najprostszym przypadku nie od razu zorientujesz się, że jest to hiperbola. Takie układy są dobre tylko na maskaradę, więc rozważamy je w trakcie geometrii analitycznej typowe zadanie doprowadzenie równania linii drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Jaka jest postać kanoniczna równania?

Jest to ogólnie przyjęte standardowy widok równaniu, gdy w ciągu kilku sekund staje się jasne, jaki obiekt geometryczny definiuje. Ponadto forma kanoniczna jest bardzo wygodna do rozwiązywania wielu zadania praktyczne. Na przykład zgodnie z równaniem kanonicznym „płaskie” proste po pierwsze od razu widać, że jest to linia prosta, a po drugie przynależący do niej punkt i wektor kierunku są łatwo widoczne.

Wiadomo, że jakikolwiek Linia pierwszego zamówienia jest linią prostą. Na drugim piętrze nie czeka już na nas stróż, ale znacznie bardziej zróżnicowane towarzystwo dziewięciu posągów:

Klasyfikacja linii drugiego rzędu

Używając specjalny kompleks działania, każde równanie linii drugiego rzędu sprowadza się do jednej z następujących postaci:

(i są dodatnimi liczbami rzeczywistymi)

1) – równanie kanoniczne elipsy;

2) – równanie kanoniczne hiperboli;

3) – równanie kanoniczne paraboli;

4) – wyimaginowany elipsa;

5) – para przecinających się linii;

6) – para wyimaginowany linie przecinające się (z jednym ważnym punktem przecięcia w początku);

7) – para linii równoległych;

8) – para wyimaginowany równoległe linie;

9) – para zbieżnych linii.

Niektórzy czytelnicy mogą odnieść wrażenie, że lista jest niekompletna. Przykładowo w punkcie nr 7 równanie określa parę bezpośredni, równolegle do osi i pojawia się pytanie: gdzie jest równanie wyznaczające proste równoległe do osi rzędnych? Odpowiedz na to nie uważane za kanoniczne. Linie proste reprezentują ten sam przypadek standardowy, obrócony o 90 stopni, a dodatkowy wpis w klasyfikacji jest zbędny, gdyż nie wnosi niczego zasadniczo nowego.

Zatem jest ich dziewięć i tylko dziewięć różne rodzaje linie drugiego rzędu, ale w praktyce są one najczęściej spotykane elipsa, hiperbola i parabola.

Przyjrzyjmy się najpierw elipsie. Jak zwykle skupiam się na tych punktach, które mają bardzo ważne do rozwiązywania problemów, a jeśli potrzebujesz szczegółowego wyprowadzenia wzorów, dowodów twierdzeń, sięgnij na przykład do podręcznika Bazyleva/Atanasjana lub Aleksandrowa.

Elipsa i jej równanie kanoniczne

Ortografia... proszę nie powtarzać błędów niektórych użytkowników Yandexa, zainteresowanych „jak zbudować elipsę”, „różnicą między elipsą a owalem” i „mimośród elipsy”.

Równanie kanoniczne elipsy ma postać , gdzie są dodatnie liczby rzeczywiste i . Samą definicję elipsy sformułuję później, ale na razie czas odpocząć od gadaniny i rozwiązać powszechny problem:

Jak zbudować elipsę?

Tak, po prostu weź to i po prostu narysuj. Zadanie występuje często, a znaczna część uczniów nie radzi sobie poprawnie z rysunkiem:

Przykład 1

Skonstruuj elipsę określoną równaniem

Rozwiązanie: Najpierw sprowadźmy równanie do postaci kanonicznej:

Dlaczego przynieść? Jedną z zalet równania kanonicznego jest to, że pozwala na natychmiastowe określenie wierzchołki elipsy, które znajdują się w punktach. Łatwo zauważyć, że współrzędne każdego z tych punktów spełniają równanie.

W tym przypadku :


Odcinek zwany główna oś elipsa;
odcinek – oś mała;
numer zwany wał półgłówny elipsa;
numer – oś mała.
w naszym przykładzie: .

Aby szybko wyobrazić sobie, jak wygląda konkretna elipsa, wystarczy spojrzeć na wartości „a” i „be” jej równania kanonicznego.

Wszystko w porządku, schludnie i pięknie, ale jest jedno zastrzeżenie: rysunek zrobiłem za pomocą programu. I możesz wykonać rysunek za pomocą dowolnej aplikacji. Jednak w brutalna rzeczywistość Na stole leży kartka papieru w kratkę, a na naszych rękach myszy tańczą w kółko. Osoby z talentem artystycznym oczywiście mogą się kłócić, ale myszy też masz (choć te mniejsze). Nie na próżno ludzkość wymyśliła linijkę, kompas, kątomierz i inne proste urządzenia do rysowania.

Z tego powodu jest mało prawdopodobne, że będziemy w stanie dokładnie narysować elipsę, znając tylko jej wierzchołki. W porządku, jeśli elipsa jest mała, na przykład z półosiami. Alternatywnie możesz zmniejszyć skalę i odpowiednio wymiary rysunku. Ale w przypadek ogólny Znalezienie dodatkowych punktów jest wysoce pożądane.

Istnieją dwa podejścia do konstruowania elipsy – geometryczne i algebraiczne. Nie lubię konstrukcji z kompasu i linijki, bo algorytm nie jest najkrótszy, a rysunek jest mocno zaśmiecony. W nagłych przypadkach warto sięgnąć do podręcznika, jednak w rzeczywistości o wiele bardziej racjonalne jest skorzystanie z narzędzi algebry. Z równania elipsy w szkicu szybko wyrażamy:

Następnie równanie rozkłada się na dwie funkcje:
– definiuje górny łuk elipsy;
– definiuje dolny łuk elipsy.

Elipsa określona równaniem kanonicznym jest symetryczna zarówno względem osi współrzędnych, jak i względem początku. I to jest świetne – symetria prawie zawsze jest zwiastunem gratisów. Oczywiście wystarczy zająć się pierwszą ćwiartką współrzędnych, więc funkcja jest nam potrzebna . Aż prosi się o znalezienie dodatkowych punktów z odciętymi . Stuknijmy trzy wiadomości SMS na kalkulatorze:

Oczywiście miło jest również, że jeśli w obliczeniach zostanie popełniony poważny błąd, natychmiast stanie się to jasne podczas budowy.

Zaznacz punkty na rysunku (kolor czerwony), punkty symetryczne na pozostałych łukach ( Kolor niebieski) i ostrożnie połącz całą firmę linią:


Lepiej jest narysować początkowy szkic bardzo cienko, a dopiero potem zastosować nacisk ołówkiem. Rezultatem powinna być całkiem przyzwoita elipsa. Swoją drogą, chciałbyś wiedzieć, co to za krzywa?

Definicja elipsy. Ogniska elipsy i ekscentryczność elipsy

Elipsa jest szczególny przypadek owalny Słowa „owal” nie należy rozumieć w sensie filistyńskim („dziecko narysowało owal” itp.). Jest to termin matematyczny, który ma szczegółowe sformułowanie. Celem tej lekcji nie jest rozważanie teorii owali i ich różnych typów, na które praktycznie nie zwraca się uwagi kurs standardowy geometria analityczna. I według więcej aktualne potrzeby, od razu przechodzimy do ścisłej definicji elipsy:

Elipsa jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, sumą odległości do każdego z nich od dwóch danych punktów, tzw wydziwianie elipsa, jest wielkością stałą, liczbowo równą długości głównej osi tej elipsy: .
W tym przypadku odległości między ogniskami są mniejsze niż ta wartość: .

Teraz wszystko stanie się jaśniejsze:

Wyobraź sobie, że niebieska kropka „porusza się” po elipsie. Zatem niezależnie od tego, który punkt elipsy weźmiemy, suma długości odcinków będzie zawsze taka sama:

Upewnijmy się, że w naszym przykładzie wartość sumy jest rzeczywiście równa osiem. W myślach umieść punkt „um” w prawym wierzchołku elipsy, a następnie: , co należało sprawdzić.

Inny sposób rysowania opiera się na definicji elipsy. Wyższa matematyka jest czasami przyczyną napięcia i stresu, więc czas na kolejną sesję rozładowującą. Proszę wziąć papier whatmana lub duży arkusz tektury i przypiąć go do stołu dwoma gwoździami. To będą sztuczki. Przywiąż zieloną nitkę do wystających główek paznokci i pociągnij ją do końca ołówkiem. Grafit ołówka zakończy się w pewnym punkcie należącym do elipsy. Teraz zacznij przesuwać ołówek po kartce papieru, utrzymując zieloną nić napiętą. Kontynuuj proces, aż wrócisz do punkt wyjścia... świetnie... rysunek może sprawdzić lekarz i nauczyciel =)

Jak znaleźć ogniska elipsy?

W powyższym przykładzie zobrazowałem „gotowe” punkty ogniskowe, a teraz nauczymy się je wydobywać z głębin geometrii.

Jeśli elipsa jest dana równaniem kanonicznym, to jej ogniska mają współrzędne , gdzie to jest odległość każdego ogniska od środka symetrii elipsy.

Obliczenia są prostsze niż proste:

! Konkretnych współrzędnych ognisk nie można utożsamiać ze znaczeniem „tse”! Powtarzam, że tak ODLEGŁOŚĆ od każdego ogniska do środka(co w ogólnym przypadku nie musi znajdować się dokładnie w początku układu współrzędnych).
Dlatego odległości między ogniskami również nie można powiązać z kanonicznym położeniem elipsy. Innymi słowy, elipsę można przenieść w inne miejsce, a wartość pozostanie niezmieniona, natomiast ogniska w naturalny sposób zmienią swoje współrzędne. Proszę wziąć pod uwagę ten moment podczas dalszego studiowania tematu.

Ekscentryczność elipsy i jej znaczenie geometryczne

Ekscentryczność elipsy to stosunek, który może przyjmować wartości z zakresu .

W naszym przypadku:

Przekonajmy się, jak kształt elipsy zależy od jej mimośrodu. Dla tego napraw lewy i prawy wierzchołek rozważanej elipsy, czyli wartość półosi wielkiej pozostanie stała. Wtedy wzór na mimośrod będzie miał postać: .

Zacznijmy przybliżać wartość mimośrodu do jedności. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy . Co to znaczy? ...pamiętaj o sztuczkach . Oznacza to, że ogniska elipsy „odsuną się” wzdłuż osi odciętych do bocznych wierzchołków. A ponieważ „zielone segmenty nie są gumowe”, elipsa nieuchronnie zacznie się spłaszczać, zamieniając się w coraz cieńszą kiełbasę nawleczoną na oś.

Zatem, Jak bliższa wartość ekscentryczność elipsy do jedności, tym bardziej wydłużona elipsa.

Teraz zamodelujmy proces odwrotny: ogniska elipsy szli ku sobie, zbliżając się do centrum. Oznacza to, że wartość „ce” staje się coraz mniejsza, a zatem mimośród dąży do zera: .
W takim przypadku „zielone segmenty” przeciwnie, „staną się zatłoczone” i zaczną „popychać” linię elipsy w górę i w dół.

Zatem, Im wartość mimośrodu jest bliższa zeru, tym bardziej podobna jest elipsa... spójrz na przypadek ograniczający, w którym ogniska pomyślnie łączą się w miejscu pochodzenia:

Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy

Istotnie, w przypadku równości półosi kanoniczne równanie elipsy przyjmuje postać, która odruchowo przekształca się w znane ze szkoły równanie okręgu o środku w początku promienia „a”.

W praktyce częściej stosuje się zapis z „mówiącą” literą „er”: . Promień to długość odcinka, którego każdy punkt okręgu jest oddalony od środka o promień.

Należy zauważyć, że definicja elipsy pozostaje całkowicie poprawna: ogniska pokrywają się, a suma długości zbieżnych odcinków dla każdego punktu na okręgu jest stała. Ponieważ odległość między ogniskami wynosi , a następnie mimośród dowolnego okręgu wynosi zero.

Konstruowanie okręgu jest łatwe i szybkie, wystarczy użyć kompasu. Czasami jednak konieczne jest poznanie współrzędnych niektórych jego punktów, w tym przypadku idziemy znajomą drogą - sprowadzamy równanie do wesołej postaci Matanova:

– funkcja górnego półkola;
– funkcja dolnego półkola.

Po czym znajdujemy wymagane wartości, Rozróżniać, zintegrować i robić inne dobre rzeczy.

Artykuł ma oczywiście charakter poglądowy, ale jak można żyć w świecie bez miłości? Twórcze zadanie dla niezależna decyzja

Przykład 2

Ułóż równanie kanoniczne elipsy, jeśli znane jest jedno z jej ognisk i półmała oś (środek znajduje się w początku). Znajdź wierzchołki, dodatkowe punkty i narysuj linię na rysunku. Oblicz mimośród.

Rozwiązanie i rysunek na końcu lekcji

Dodajmy akcję:

Obróć i równolegle przesuń elipsę

Wróćmy do kanonicznego równania elipsy, a mianowicie do warunku, którego zagadka dręczy dociekliwe umysły od pierwszej wzmianki o tej krzywej. Przyjrzeliśmy się więc elipsie , ale czy w praktyce nie jest możliwe spełnienie równania ? Przecież tutaj jednak też wydaje się, że jest to elipsa!

Tego rodzaju równanie jest rzadkie, ale się zdarza. I faktycznie definiuje elipsę. Zdemistyfikujmy:

W wyniku konstrukcji uzyskano naszą rodzimą elipsę obróconą o 90 stopni. To jest, - Ten wpis niekanoniczny elipsa . Nagrywać!- równanie nie definiuje żadnej innej elipsy, ponieważ na osi nie ma punktów (ognisk), które spełniałyby definicję elipsy.

11.1. Podstawowe koncepcje

Rozważmy proste określone równaniami drugiego stopnia względem aktualnych współrzędnych

Współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi, ale co najmniej jedna z liczb A, B lub C jest różna od zera. Takie linie nazywane są liniami (krzywymi) drugiego rzędu. Poniżej zostanie ustalone, że równanie (11.1) definiuje okrąg, elipsę, hiperbolę lub parabolę na płaszczyźnie. Zanim przejdziemy do tego stwierdzenia, przeanalizujmy właściwości wymienionych krzywych.

11.2. Koło

Najprostszą krzywą drugiego rzędu jest okrąg. Przypomnijmy, że okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie to zbiór wszystkich punktów M płaszczyzny spełniającej warunek . Niech punkt w prostokątnym układzie współrzędnych ma współrzędne x 0, y 0 i - dowolny punkt na okręgu (patrz ryc. 48).

Następnie z warunku otrzymujemy równanie

(11.2)

Równanie (11.2) jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na danym okręgu, a nie przez współrzędne żadnego punktu nie leżącego na okręgu.

Równanie (11.2) nazywa się równanie kanoniczne okręgu

W szczególności, ustawiając i , otrzymujemy równanie okręgu ze środkiem w początku .

Równanie okręgu (11.2) po prostych przekształceniach przyjmie postać . Porównując to równanie z ogólnym równaniem (11.1) krzywej drugiego rzędu, łatwo zauważyć, że dla równania okręgu spełnione są dwa warunki:

1) współczynniki dla x 2 i y 2 są sobie równe;

2) nie ma pręta zawierającego iloczyn xy bieżących współrzędnych.

Rozważmy problem odwrotny. Umieszczając wartości i w równaniu (11.1), otrzymujemy

Przekształćmy to równanie:

(11.4)

Wynika z tego, że równanie (11.3) definiuje okrąg pod warunkiem . Jego środek znajduje się w punkcie i promień

.

Jeśli , wówczas równanie (11.3) ma postać

.

Spełniają to współrzędne pojedynczego punktu . W tym przypadku mówią: „okrąg zdegenerował się w punkt” (ma promień zerowy).

Jeśli , następnie równanie (11.4) i dlatego równoważne równanie(11.3) nie zdefiniuje żadnej linii, ponieważ prawa część równanie (11.4) jest ujemne, a lewe nie jest ujemne (powiedzmy: „okrąg jest urojony”).

11.3. Elipsa

Kanoniczne równanie elipsy

Elipsa to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, suma odległości każdego z nich do dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany wydziwianie , jest wartością stałą większą od odległości pomiędzy ogniskami.

Oznaczmy ogniska przez F 1 I F 2, odległość między nimi wynosi 2 C, a suma odległości od dowolnego punktu elipsy do ognisk - w 2 A(patrz rys. 49). Z definicji 2 A > 2C, tj. A > C.

Aby wyprowadzić równanie elipsy, wybieramy układ współrzędnych tak, aby ogniska F 1 I F 2 leżał na osi, a początek pokrywał się ze środkiem segmentu F 1 F 2. Wtedy ogniska będą miały następujące współrzędne: i .

Niech będzie dowolnym punktem elipsy. Następnie zgodnie z definicją elipsy, tj.

W istocie jest to równanie elipsy.

Przekształćmy równanie (11.5) na więcej prosty widok w następujący sposób:

Ponieważ A>Z, To . Włóżmy

(11.6)

Wtedy ostatnie równanie przybierze postać lub

(11.7)

Można udowodnić, że równanie (11.7) jest równoważne równaniu pierwotnemu. To jest nazwane kanoniczne równanie elipsy .

Elipsa jest krzywą drugiego rzędu.

Badanie kształtu elipsy za pomocą jej równania

Ustalmy kształt elipsy, korzystając z jej równania kanonicznego.

1. Równanie (11.7) zawiera x i y tylko w potęgach parzystych, więc jeśli punkt należy do elipsy, to punkty ,, również do niej należą. Wynika z tego, że elipsa jest symetryczna względem osi i oraz względem punktu, który nazywa się środkiem elipsy.

2. Znajdź punkty przecięcia elipsy z osiami współrzędnych. Stawiając , znajdujemy dwa punkty i , w których oś przecina elipsę (patrz ryc. 50). Wstawiając równanie (11.7) znajdujemy punkty przecięcia elipsy z osią: oraz . Zwrotnica A 1 , 2 , B 1, B 2 są nazywane wierzchołki elipsy. Segmenty A 1 2 I B 1 B 2, a także ich długości 2 A i 2 B są odpowiednio nazywane oś większą i mniejszą elipsa. Liczby A I B nazywane są odpowiednio dużymi i małymi półosie elipsa.

3. Z równania (11.7) wynika, że ​​każdy wyraz po lewej stronie nie przekracza jedności, tj. nierówności i lub i mają miejsce. W rezultacie wszystkie punkty elipsy leżą wewnątrz prostokąta utworzonego przez linie proste.

4. W równaniu (11.7) suma wyrazów nieujemnych i jest równa jeden. W konsekwencji, gdy jeden wyraz wzrośnie, drugi będzie się zmniejszał, tj. jeśli wzrośnie, to maleje i odwrotnie.

Z powyższego wynika, że ​​elipsa ma kształt pokazany na ryc. 50 (owalna zamknięta krzywa).

Więcej informacji o elipsie

Kształt elipsy zależy od proporcji. Kiedy elipsa zamienia się w okrąg, równanie elipsy (11.7) przyjmuje postać . Stosunek jest często używany do scharakteryzowania kształtu elipsy. Stosunek połowy odległości ognisk do półosi wielkiej elipsy nazywany jest mimośrodem elipsy, a o6o oznacza się literą ε („epsilon”):

z 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

To pokazuje, że im mniejszy mimośród elipsy, tym mniej będzie ona spłaszczona; jeśli ustalimy ε = 0, wówczas elipsa zamienia się w okrąg.

Niech M(x;y) będzie dowolnym punktem elipsy z ogniskami F 1 i F 2 (patrz rys. 51). Długości odcinków F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Oczywiście,

Formuły się trzymają

Nazywa się linie bezpośrednie

Twierdzenie 11.1. Jeśli jest odległością od dowolnego punktu elipsy do jakiegoś ogniska, d jest odległością od tego samego punktu do kierownicy odpowiadającej temu ognisku, to stosunek jest stałą wartością równą mimośrodowi elipsy:

Z równości (11.6) wynika, że ​​. Jeżeli, to równanie (11.7) definiuje elipsę, której oś główna leży na osi Oy, a oś pomocnicza na osi Ox (patrz ryc. 52). Ogniska takiej elipsy znajdują się w punktach i , gdzie .

11.4. Hiperbola

Równanie kanoniczne hiperboli

Hiperbola to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, moduł różnicy odległości każdego z nich do dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany wydziwianie , jest wartością stałą mniejszą od odległości pomiędzy ogniskami.

Oznaczmy ogniska przez F 1 I F 2 odległość między nimi wynosi 2s oraz moduł różnicy odległości od każdego punktu hiperboli do ognisk 2a. A-przeorat 2a < 2s, tj. A < C.

Aby wyprowadzić równanie hiperboli, wybieramy układ współrzędnych tak, aby ogniska F 1 I F 2 leżał na osi, a początek pokrywał się ze środkiem segmentu F 1 F 2(patrz rys. 53). Wtedy ogniska będą miały współrzędne i

Niech będzie dowolnym punktem hiperboli. Następnie zgodnie z definicją hiperboli lub , tj. po uproszczeniu, jak to zrobiono przy wyprowadzaniu równania elipsy, otrzymujemy równanie kanoniczne hiperboli

(11.9)

(11.10)

Hiperbola jest linią drugiego rzędu.

Badanie kształtu hiperboli za pomocą jej równania

Ustalmy postać hiperboli za pomocą jej równania kakonicznego.

1. Równanie (11.9) zawiera x i y tylko w potęgach parzystych. W związku z tym hiperbola jest symetryczna względem osi i , a także względem punktu, który nazywa się środek hiperboli.

2. Znajdź punkty przecięcia hiperboli z osiami współrzędnych. Wstawiając równanie (11.9), znajdujemy dwa punkty przecięcia hiperboli z osią: i. Wstawiając (11.9) otrzymujemy , czego nie może być. Dlatego hiperbola nie przecina osi Oy.

Punkty to tzw szczyty hiperbole i odcinek

prawdziwa oś , odcinek - prawdziwa półoś hiperbola.

Odcinek łączący punkty nazywa się wyimaginowana oś , liczba b - wyimaginowana półoś . Prostokąt z bokami 2a I 2b zwany podstawowy prostokąt hiperboli .

3. Z równania (11.9) wynika, że ​​odjemna jest nie mniejsza niż jeden, tj. to lub . Oznacza to, że punkty hiperboli znajdują się na prawo od linii (prawa gałąź hiperboli) i na lewo od linii (lewa gałąź hiperboli).

4. Z równania (11.9) hiperboli wynika, że ​​gdy wzrasta, wzrasta. Wynika to z faktu, że różnica utrzymuje stałą wartość równą jedności.

Z powyższego wynika, że ​​hiperbola ma postać pokazaną na rysunku 54 (krzywa składająca się z dwóch nieograniczonych gałęzi).

Asymptoty hiperboli

Prostą L nazywamy asymptotą nieograniczonej krzywej K, jeśli odległość d od punktu M krzywej K do tej prostej dąży do zera, gdy odległość punktu M na krzywej K od początku jest nieograniczona. Rysunek 55 ilustruje koncepcję asymptoty: linia prosta L jest asymptotą krzywej K.

Pokażemy, że hiperbola ma dwie asymptoty:

(11.11)

Ponieważ linie proste (11.11) i hiperbola (11.9) są symetryczne względem osi współrzędnych, wystarczy wziąć pod uwagę tylko te punkty wskazanych linii, które znajdują się w pierwszej ćwiartce.

Weźmy punkt N na linii prostej, który ma tę samą odciętą x co punkt na hiperboli (patrz ryc. 56) i znajdź różnicę ΜΝ między rzędnymi prostej i gałęzi hiperboli:

Jak widać, wraz ze wzrostem x zwiększa się mianownik ułamka; licznik jest wartością stałą. Dlatego długość odcinka ΜΝ dąży do zera. Ponieważ MΝ jest większe niż odległość d od punktu M do prostej, to d jeszcze bardziej dąży do zera. Zatem linie są asymptotami hiperboli (11.9).

Konstruując hiperbolę (11.9), zaleca się najpierw skonstruować główny prostokąt hiperboli (patrz ryc. 57), narysować linie proste przechodzące przez przeciwne wierzchołki tego prostokąta - asymptoty hiperboli i zaznaczyć wierzchołki i , hiperboli.

Równanie hiperboli równobocznej.

których asymptoty są osiami współrzędnych

Hiperbolę (11.9) nazywa się równoboczną, jeśli jej półosie są równe (). Jego równanie kanoniczne

(11.12)

Asymptoty hiperboli równobocznej mają równania i dlatego są dwusiecznymi kątów współrzędnych.

Rozważmy równanie tej hiperboli w nowym układzie współrzędnych (patrz ryc. 58), uzyskanym ze starego poprzez obrót osi współrzędnych o kąt. Korzystamy ze wzorów na obracanie osi współrzędnych:

Podstawiamy wartości x i y do równania (11.12):

Równanie hiperboli równobocznej, dla której osie Ox i Oy są asymptotami, będzie miało postać .

Więcej informacji o hiperboli

Ekscentryczność hiperbola (11.9) to stosunek odległości ognisk do wartości osi rzeczywistej hiperboli, oznaczony przez ε:

Ponieważ dla hiperboli ekscentryczność hiperboli jest większa niż jeden: . Ekscentryczność charakteryzuje kształt hiperboli. Rzeczywiście z równości (11.10) wynika, że ​​tj. I .

Z tego widać, że im mniejszy mimośród hiperboli, tym mniejszy jest stosunek jej półosi, a zatem tym bardziej wydłużony jest jej główny prostokąt.

Ekscentryczność hiperboli równobocznej wynosi . Naprawdę,

Promienie ogniskowe I dla punktów prawej gałęzi hiperbole mają postać i , a dla lewej gałęzi - I .

Linie proste nazywane są kierownicami hiperboli. Ponieważ dla hiperboli ε > 1, to . Oznacza to, że prawa kierownica znajduje się między środkiem a prawym wierzchołkiem hiperboli, lewa - między środkiem a lewym wierzchołkiem.

Kierownice hiperboli mają tę samą właściwość, co kierownice elipsy.

Krzywa określona równaniem jest jednocześnie hiperbolą, której oś rzeczywista 2b leży na osi Oy, a oś urojona 2 A- na osi Wołu. Na rysunku 59 pokazano to linią przerywaną.

Jest oczywiste, że hiperbole mają wspólne asymptoty. Takie hiperbole nazywane są koniugatami.

11,5. Parabola

Równanie kanoniczne paraboli

Parabola to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, z których każdy jest jednakowo oddalony od danego punktu zwanego ogniskiem i danej linii zwanej kierownicą. Odległość od ogniska F do kierownicy nazywana jest parametrem paraboli i oznaczana przez p (p > 0).

Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy układ współrzędnych Oxy tak, aby oś Ox przechodziła przez ognisko F prostopadle do kierownicy w kierunku od kierownicy do F, a początek współrzędnych O znajdował się pośrodku między ognisko i kierownica (patrz ryc. 60). W wybranym układzie ognisko F ma współrzędne , a równanie kierownicy ma postać , lub .

1. W równaniu (11.13) zmienna y występuje w stopniu parzystym, co oznacza, że ​​parabola jest symetryczna względem osi Wółu; Oś Wół jest osią symetrii paraboli.

2. Ponieważ ρ > 0, z (11.13) wynika, że ​​. W związku z tym parabola znajduje się na prawo od osi Oy.

3. Gdy mamy y = 0. Zatem parabola przechodzi przez początek.

4. Gdy x rośnie w nieskończoność, moduł y również rośnie w nieskończoność. Parabola ma postać (kształt) pokazaną na rysunku 61. Punkt O(0; 0) nazywany jest wierzchołkiem paraboli, odcinek FM = r nazywany jest promieniem ogniskowym punktu M.

Równania , , ( p>0) definiują także parabole, pokazano je na rysunku 62

Łatwo pokazać, że wykres trójmian kwadratowy, gdzie , B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest parabolą w znaczeniu definicji podanej powyżej.

11.6. Równanie ogólne prostych drugiego rzędu

Równania krzywych drugiego rzędu o osiach symetrii równoległych do osi współrzędnych

Znajdźmy najpierw równanie elipsy ze środkiem w punkcie, którego osie symetrii są równoległe do osi współrzędnych Ox i Oy, a półosie są odpowiednio równe A I B. Umieśćmy w środku elipsy O 1 początek nowego układu współrzędnych, którego osie i półosie A I B(patrz rys. 64):

Wreszcie parabole pokazane na rysunku 65 mają odpowiednie równania.

Równanie

Równania elipsy, hiperboli, paraboli i równania okręgu po przekształceniach (otwierać nawiasy, przesuwać wszystkie wyrazy równania na jedną stronę, wprowadzać wyrazy podobne, wprowadzać nowe oznaczenia współczynników) można zapisać za pomocą pojedynczego równania formularz

gdzie współczynniki A i C nie są jednocześnie równe zeru.

Powstaje pytanie: czy każde równanie postaci (11.14) wyznacza jedną z krzywych (okrąg, elipsa, hiperbola, parabola) drugiego rzędu? Odpowiedź daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 11.2. Równanie (11.14) zawsze definiuje: albo okrąg (dla A = C), albo elipsę (dla A C > 0), albo hiperbolę (dla A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ogólne równanie drugiego rzędu

Rozważmy teraz równanie ogólne stopień drugi z dwiema niewiadomymi:

Różni się ono od równania (11.14) obecnością składnika z iloczynem współrzędnych (B¹ 0). Można, obracając osie współrzędnych o kąt a, przekształcić to równanie w taki sposób, że nie ma członu z iloczynem współrzędnych.

Korzystanie ze wzorów na obrót osi

Wyraźmy stare współrzędne za pomocą nowych:

Wybierzmy kąt a tak, aby współczynnik dla x" · y" wyniósł zero, czyli aby równość

Zatem, gdy osie zostaną obrócone o kąt a spełniający warunek (11.17), równanie (11.15) sprowadza się do równania (11.14).

Wniosek: ogólne równanie drugiego rzędu (11.15) definiuje na płaszczyźnie (z wyjątkiem przypadków degeneracji i zaniku) następujące krzywe: okrąg, elipsa, hiperbola, parabola.

Uwaga: Jeśli A = C, to równanie (11.17) traci sens. W tym przypadku cos2α = 0 (patrz (11.16)), wówczas 2α = 90°, czyli α = 45°. Zatem, gdy A = C, układ współrzędnych należy obrócić o 45°.

Elipsa to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich do dwóch danych punktów F_1, a F_2 to stała wartość (2a) większa od odległości (2c) pomiędzy tymi punktami dane punkty(ryc. 3.36, a). Ta geometryczna definicja wyraża ogniskowa właściwość elipsy.

Ogniskowa właściwość elipsy

Punkty F_1 i F_2 nazywane są ogniskami elipsy, odległość między nimi 2c=F_1F_2 to ogniskowa, środek O odcinka F_1F_2 to środek elipsy, liczba 2a to długość głównej osi elipsy elipsa (odpowiednio liczba a jest półoś wielką elipsy). Odcinki F_1M i F_2M łączące dowolny punkt M elipsy z jej ogniskami nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Odcinek łączący dwa punkty elipsy nazywa się cięciwą elipsy.

Stosunek e=\frac(c)(a) nazywany jest mimośrodem elipsy. Z definicji (2a>2c) wynika, że ​​0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometryczna definicja elipsy, wyrażający jej właściwość ogniskową, jest równoznaczny z jej definicją analityczną - linią określoną przez równanie kanoniczne elipsy:

Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.36c). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy środek O elipsy; za oś odciętych przyjmujemy linię prostą przechodzącą przez ogniska (oś ogniskową lub pierwszą oś elipsy) (kierunek dodatni biegnie od punktu F_1 do punktu F_2); przyjmijmy prostą prostopadłą do osi ogniskowej i przechodzącą przez środek elipsy (druga oś elipsy) jako oś rzędnych (kierunek na osi rzędnych dobieramy tak, aby prostokątny układ współrzędnych Oxy był prawidłowy) .

Utwórzmy równanie elipsy, korzystając z jej definicji geometrycznej, która wyraża właściwość ogniskową. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ognisk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Dla dowolnego punktu M(x,y) należącego do elipsy mamy:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Zapisując tę ​​równość w postaci współrzędnych, otrzymujemy:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Przesuwamy drugi pierwiastek na prawą stronę, podnosimy obie strony równania i wprowadzamy podobne wyrazy:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dzieląc przez 4, podnosimy obie strony równania:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Mając wyznaczone b=\sqrt(a^2-c^2)>0, otrzymujemy b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dzieląc obie strony przez a^2b^2\ne0, otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Dlatego wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny.

Jeśli ogniska elipsy pokrywają się, wówczas elipsa jest okręgiem (ryc. 3.36,6), ponieważ a=b. W tym przypadku każdy prostokątny układ współrzędnych, którego początek znajduje się w tym punkcie, będzie kanoniczny O\równoważnik F_1\równoważnik F_2, a równanie x^2+y^2=a^2 jest równaniem okręgu o środku w punkcie O i promieniu równym a.

Rozumując Odwrotna kolejność, można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.49), i tylko one, należą do geometrycznego miejsca punktów zwanego elipsą. Innymi słowy, analityczna definicja elipsy jest równoważna jej definicji geometrycznej, która wyraża ogniskową właściwość elipsy.

Właściwość reżyserska elipsy

Kierownice elipsy to dwie linie proste biegnące równolegle do osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych, w tej samej odległości od niej \frac(a^2)(c). W c=0, gdy elipsa jest okręgiem, nie ma kierownic (możemy założyć, że kierownice są w nieskończoności).

Elipsa z mimośrodem 0 miejsce punktów na płaszczyźnie, dla każdego z których stosunek odległości do danego punktu F (ogniska) do odległości do danej prostej d (kierownicy) nieprzechodzącej przez dany punkt jest stały i równy mimośrodowi e ( właściwość reżyserska elipsy). Tutaj F i d są jednym z ognisk elipsy i jedną z jej kierownic, umieszczonymi po jednej stronie osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych, tj. F_1,d_1 lub F_2,d_2 .

Faktycznie, np. dla ogniska F_2 i kierownicy d_2 (ryc. 3.37,6) warunek \frac(r_2)(\rho_2)=e można zapisać w postaci współrzędnych:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Pozbycie się irracjonalności i zastąpienie e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dochodzimy do kanonicznego równania elipsy (3.49). Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla fokusu F_1 i reżysera d_1\dwukropek\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych

Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych F_1r\varphi (rys. 3.37, c i 3.37 (2)) ma postać

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

gdzie p=\frac(b^2)(a) jest parametrem ogniskowym elipsy.

W rzeczywistości wybierzmy lewe ognisko F_1 elipsy jako biegun biegunowego układu współrzędnych i promień F_1F_2 jako oś biegunową (ryc. 3.37, c). Wtedy dla dowolnego punktu M(r,\varphi), zgodnie z geometryczną definicją (właściwością ogniskową) elipsy, mamy r+MF_2=2a. Wyrażamy odległość pomiędzy punktami M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (patrz akapit 2 uwag 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(wyrównane)

Zatem w postaci współrzędnych równanie elipsy F_1M+F_2M=2a ma postać

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolujemy pierwiastek, podnosimy obie strony równania, dzielimy przez 4 i przedstawiamy podobne wyrażenia:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Wyrażamy promień biegunowy r i dokonujemy zamiany e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

co było do okazania

Znaczenie geometryczne współczynników w równaniu elipsy

Znajdźmy punkty przecięcia elipsy (patrz ryc. 3.37, a) z osiami współrzędnych (wierzchołkami elipsy). Podstawiając do równania y=0, znajdujemy punkty przecięcia elipsy z osią odciętych (z osią ogniskową): x=\pm a. Zatem długość odcinka osi ogniskowej zawartej wewnątrz elipsy wynosi 2a. Odcinek ten, jak zauważono powyżej, nazywany jest główną osią elipsy, a liczba a jest półosią wielką elipsy. Podstawiając x=0, otrzymujemy y=\pm b. Zatem długość odcinka drugiej osi elipsy zawartego wewnątrz elipsy jest równa 2b. Odcinek ten nazywany jest małą osią elipsy, a liczba b jest półmniejszą osią elipsy.

Naprawdę, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a równość b=a uzyskujemy tylko w przypadku c=0, gdy elipsą jest okrąg. Postawa k=\frac(b)(a)\leqslant1 nazywa się współczynnikiem kompresji elipsy.

Uwagi 3.9

1. Proste x=\pm a,~y=\pm b ograniczają główny prostokąt na płaszczyźnie współrzędnych, wewnątrz którego znajduje się elipsa (patrz ryc. 3.37, a).

2. Elipsę można zdefiniować jako miejsce punktów uzyskane przez ściśnięcie koła do jego średnicy.

Rzeczywiście, niech równanie okręgu w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy będzie wynosić x^2+y^2=a^2. Po skompresowaniu do osi x ze współczynnikiem 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Podstawiając do równania okręgi x=x" i y=\frac(1)(k)y" otrzymujemy równanie na współrzędne obrazu M"(x",y") punktu M(x, y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ponieważ b=k\cdot a . To jest równanie kanoniczne elipsy.

3. Osie współrzędnych (kanonicznego układu współrzędnych) są osiami symetrii elipsy (zwanymi głównymi osiami elipsy), a jej środek jest środkiem symetrii.

Rzeczywiście, jeśli punkt M(x,y) należy do elipsy. wówczas punkty M”(x,-y) i M””(-x,y), symetryczne do punktu M względem osi współrzędnych, również należą do tej samej elipsy.

4. Z równania elipsy w biegunowym układzie współrzędnych r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(patrz ryc. 3.37, c), okazuje się znaczenie geometryczne parametr ogniskowej to połowa długości cięciwy elipsy przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej ( r = p w \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Mimośród e charakteryzuje kształt elipsy, czyli różnicę między elipsą a okręgiem. Im większe e, tym bardziej wydłużona elipsa i im e jest bliższe zeru, tym elipsa jest bliżej okręgu (ryc. 3.38a). Rzeczywiście, biorąc pod uwagę, że e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2 , otrzymujemy

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

gdzie k jest współczynnikiem kompresji elipsy, 0

6. Równanie \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 o godz

7. Równanie \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiuje elipsę ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0), której osie są równoległe do osi współrzędnych (ryc. 3.38, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36).

Gdy a=b=R równanie (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0) .

Równanie parametryczne elipsy

Równanie parametryczne elipsy w kanonicznym układzie współrzędnych ma postać

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Rzeczywiście, podstawiając te wyrażenia do równania (3.49), dochodzimy do głównej tożsamości trygonometrycznej \cos^2t+\sin^2t=1 .

Przykład 3.20. Narysuj elipsę \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 w kanonicznym układzie współrzędnych Oxy. Znajdź półosie, ogniskową, mimośrodowość, stopień kompresji, parametr ogniskowej, równania kierownicy.

Rozwiązanie. Porównując podane równanie z równaniem kanonicznym wyznaczamy półosie: a=2 - półoś wielka, b=1 - półoś mała elipsy. Budujemy główny prostokąt o bokach 2a=4,~2b=2 ze środkiem w początku układu współrzędnych (ryc. 3.39). Biorąc pod uwagę symetrię elipsy, wpasowujemy ją w główny prostokąt. Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów elipsy. Na przykład, podstawiając x=1 do równania elipsy, otrzymujemy

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Dlatego punkty ze współrzędnymi \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- należą do elipsy.

Obliczanie stopnia sprężania k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); długość ogniskowa 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentryczność e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametr ogniskowy p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Tworzymy równania kierownicy: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!