5.2. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Wielokąt dystrybucji
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że do zdefiniowania dyskretnej zmiennej losowej wystarczy wypisanie wszystkich jej możliwych wartości. W rzeczywistości tak nie jest: zmienne losowe mogą mieć te same listy możliwa wartość, a ich prawdopodobieństwa są różne. Zatem, aby określić dyskretną zmienną losową, nie wystarczy podać wszystkie jej możliwe wartości, należy także wskazać ich prawdopodobieństwa.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej nazwać zgodność między możliwymi wartościami i ich prawdopodobieństwami; można to określić tabelarycznie, analitycznie (w formie wzoru) i graficznie.
Definicja. Dowolna reguła (tabela, funkcja, wykres), która pozwala znaleźć prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń A S (S– -algebra zdarzeń w przestrzeni ), w szczególności wskazująca prawdopodobieństwa poszczególnych wartości zmiennej losowej lub zbioru tych wartości, nazywa się Prawo rozkładu zmiennej losowej(lub po prostu: dystrybucja). O s.v. mówią, że „podlega danemu prawu podziału”.
Pozwalać X– d.s.v., który przyjmuje wartości X 1 , X 2 , …, X N,… (zbiór tych wartości jest skończony lub przeliczalny) z pewnym prawdopodobieństwem P I, Gdzie I = 1,2,…, N,… Prawo dystrybucyjne d.s.v. wygodne do ustawienia za pomocą wzoru P I = P{X = X I)Gdzie I = 1,2,…, N,..., co określa prawdopodobieństwo, że w wyniku eksperymentu r.v. X przyjmie wartość X I. Dla ds. d.s.v. X prawo dystrybucji można podać w formularzu tablice dystrybucyjne:
|
X N | |||||
|
R N |
Przy określaniu prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej w tabeli w pierwszym wierszu tabeli znajdują się możliwe wartości, a w drugim ich prawdopodobieństwa. nazywa się taka tabela blisko dystrybucji.
Biorąc pod uwagę, że w jednej próbie zmienna losowa przyjmuje jedną i tylko jedną możliwą wartość, wnioskujemy, że zdarzenia X = X 1 , X = X 2 , ..., X = X N tworzą kompletną grupę; zatem suma prawdopodobieństw tych zdarzeń, tj. suma prawdopodobieństw drugiego wiersza tabeli jest równa jeden, czyli .
Jeśli zbiór możliwych wartości X nieskończenie (policzalnie), to szereg R 1 + R 2 + ... zbiega się i jego suma jest równa jeden.
Przykład. Na loterię pieniężną wydano 100 losów. Wylosowana zostanie jedna wygrana o wartości 50 rubli. i dziesięć wygranych po 1 rublu. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej X– koszt ewentualnych wygranych dla posiadacza jednego losu na loterię.
Rozwiązanie. Zapiszmy możliwe wartości X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Prawdopodobieństwa tych możliwych wartości wynoszą: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Napiszmy wymagane prawo dystrybucji:
Kontrola: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Przykład. W urnie jest 8 kul, z czego 5 jest białych, a pozostałe są czarne. Wylosowano z niego 3 kule. Znajdź prawo rozkładu liczby białych kul w próbce.
Rozwiązanie. Możliwe wartości r.v. X– w próbce znajduje się liczba kul białych X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Ich prawdopodobieństwa będą odpowiednio
;
;
.
Zapiszmy prawo dystrybucji w formie tabeli.
|
|
|
|
|
Kontrola: 
.
Prawo dystrybucyjne d.s.v. można określić graficznie, jeśli możliwe wartości r.v. zostaną wykreślone na osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości na osi rzędnych. linia przerywana łącząca kolejne punkty ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... tzw wielokąt(Lub wielokąt) dystrybucja(patrz rys. 5.1).
Ryż. 5.1. Wielokąt dystrybucji
Teraz możesz dać więcej precyzyjna definicja DSV
Definicja. Losowa wartość X jest dyskretny, jeśli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór liczb X 1 , X 2 , ... takie że P{X = X I } = P I > 0 (I= 1,2,…) i P 1 + P 2 + R 3 +… = 1.
Zdefiniujmy operacje matematyczne na dyskretnym r.v.
Definicja.Kwota (różnica, praca) ds. s.v. X, przyjmując wartości X I z prawdopodobieństwami P I = P{X = X I }, I = 1, 2, …, N i d.s.v. Y, przyjmując wartości y J z prawdopodobieństwami P J = P{Y = y J }, J = 1, 2, …, M, nazywa się ds. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), przyjmując wartości z ja = X I + y J (z ja = X I – y J , z ja = X I y J) z prawdopodobieństwem P ja = P{X = X I , Y = y J) dla wszystkich określonych wartości I I J. Jeśli niektóre kwoty się pokrywają X I + y J (różnice X I – y J, Pracuje X I y J) dodaje się odpowiednie prawdopodobieństwa.
Definicja.Praca DSV NA liczby zwany ds. d.s.v. cX, przyjmując wartości ZX I z prawdopodobieństwami P I = P{X = X I }.
Definicja. Dwa ds. s.v. X I Y są nazywane niezależny, jeśli zdarzenia ( X = X I } = A I I ( Y = y J } = B J niezależny od każdego I = 1, 2, …, N, J = 1, 2, …, M, to jest
W przeciwnym razie r.v. zwany zależny. Kilka r.v. nazywane są wzajemnie niezależnymi, jeżeli prawo podziału któregokolwiek z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęły inne wielkości.
Rozważmy kilka najczęściej stosowanych praw dystrybucji.
W części kursu poświęconej podstawowym pojęciom teorii prawdopodobieństwa wprowadziliśmy już niezwykle ważne pojęcie zmiennej losowej. Tutaj damy dalszy rozwój tę koncepcję oraz wskazać sposoby opisu i scharakteryzowania zmiennych losowych.
Jak już wspomniano, zmienna losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć tę lub inną wartość, ale nie wiadomo z góry jaką. Zgodziliśmy się także na rozróżnienie zmiennych losowych o charakterze ciągłym (dyskretnym) i typ ciągły. Możliwe wartości wielkości nieciągłych można z góry podać. Możliwe wartości wielkości ciągłych nie mogą być wyszczególnione z góry i w sposób ciągły wypełniać pewną lukę.
Przykłady nieciągłych zmiennych losowych:
1) liczbę wystąpień herbu podczas trzech rzutów monetą (możliwe wartości 0, 1, 2, 3);
2) częstotliwość pojawiania się herbu w tym samym doświadczeniu (możliwe wartości);
3) liczba uszkodzonych elementów w urządzeniu składającym się z pięciu elementów (możliwe wartości to 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) liczbę trafień w statek powietrzny wystarczającą do jego unieruchomienia (możliwe wartości 1, 2, 3, ..., n, ...);
5) liczbę samolotów zestrzelonych w walce powietrznej (możliwe wartości 0, 1, 2,…, N, gdzie oznacza całkowitą liczbę samolotów biorących udział w bitwie).
Przykłady ciągłych zmiennych losowych:
1) odcięta (rzędna) punktu uderzenia po strzale;
2) odległość miejsca uderzenia od środka celu;
3) błąd wysokościomierza;
4) czas bezawaryjnej pracy lampy radiowej.
Zgódźmy się w dalszej części na oznaczanie zmiennych losowych wielkimi literami, a ich możliwych wartości odpowiednimi małymi literami. Na przykład – liczba trafień trzema strzałami; możliwa wartość: .
Rozważmy nieciągłą zmienną losową o możliwych wartościach. Każda z tych wartości jest możliwa, ale nie pewna, a wartość X może przyjąć każdą z nich z pewnym prawdopodobieństwem. W wyniku eksperymentu wartość X przyjmie jedną z tych wartości, tj. Wystąpi jedno z całej grupy niezgodnych zdarzeń:
Oznaczmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń literami p z odpowiednimi wskaźnikami:
Ponieważ zdarzenia niezgodne (5.1.1) tworzą kompletną grupę, zatem
te. suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej jest równa jeden. To całkowite prawdopodobieństwo jest w jakiś sposób rozdzielone pomiędzy poszczególne wartości. Zmienna losowa będzie w pełni opisana z probabilistycznego punktu widzenia, jeśli określimy ten rozkład, tj. Wskażmy dokładnie, jakie prawdopodobieństwo ma każde ze zdarzeń (5.1.1). W ten sposób ustalimy tak zwane prawo rozkładu zmiennej losowej.
Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna relacja, która ustanawia związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej a odpowiednimi prawdopodobieństwami. O zmiennej losowej powiemy, że podlega ona danemu prawu rozkładu.
Ustalmy postać, w jakiej można określić prawo rozkładu nieciągłej zmiennej losowej. Najprostsza forma Definicja tego prawa to tabela, która zawiera listę możliwych wartości zmiennej losowej i odpowiadających im prawdopodobieństw:
Tablicę taką nazwiemy szeregiem rozkładowym zmiennej losowej.
Aby nadać szeregom rozkładu bardziej wizualny wygląd, często uciekają się do jego graficznej reprezentacji: możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych. Dla przejrzystości powstałe punkty są połączone prostymi odcinkami. Taka figura nazywana jest wielokątem rozkładu (ryc. 5.1.1). Wielokąt rozkładu, podobnie jak szereg rozkładów, całkowicie charakteryzuje zmienną losową; jest to jedna z form prawa dystrybucji.
Czasami wygodna jest tak zwana „mechaniczna” interpretacja szeregu rozkładów. Wyobraźmy sobie, że pewna masa równa jedności jest rozłożona na osi odciętych w taki sposób, że masy skupiają się odpowiednio w poszczególnych punktach. Następnie szereg rozkładów interpretujemy jako układ punktów materialnych, w których niektóre masy znajdują się na osi odciętych.
Rozważmy kilka przykładów nieciągłych zmiennych losowych wraz z ich prawami rozkładu.
Przykład 1. Przeprowadzono jeden eksperyment, w którym zdarzenie może wystąpić lub nie. Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0,3. Rozważana jest zmienna losowa - liczba wystąpień zdarzenia w danym eksperymencie (czyli charakterystyczna zmienna losowa zdarzenia, przyjmująca wartość 1, jeśli występuje i 0, jeśli nie występuje). Skonstruuj szereg rozkładów i wielokąt rozkładu wielkości.
Rozwiązanie. Wartość ma tylko dwie wartości: 0 i 1.
Wielokąt rozkładu pokazano na ryc. 5.1.2.
Przykład 2. Strzelec oddaje trzy strzały do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem wynosi 0,4. Za każde trafienie strzelec otrzymuje 5 punktów. Skonstruuj szereg rozkładów liczby zdobytych punktów.
Rozwiązanie. Oznaczmy liczbę zdobytych punktów. Możliwa wartość: .
Prawdopodobieństwo tych wartości znajdujemy za pomocą twierdzenia o powtarzaniu eksperymentów:
Szereg rozkładu wartości ma postać:
Wielokąt rozkładu pokazano na ryc. 5.1.3.
Przykład 3. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w jednym eksperymencie wynosi . Przeprowadza się serię niezależnych eksperymentów, które trwają aż do pierwszego wystąpienia zdarzenia, po czym eksperymenty przerywa się. Zmienna losowa – liczba przeprowadzonych eksperymentów. Skonstruuj szereg rozkładów wartości.
Rozwiązanie. Możliwe wartości: 1, 2, 3, ... (teoretycznie nie są niczym ograniczone). Aby wielkość przyjęła wartość 1, konieczne jest, aby zdarzenie zaszło w pierwszym doświadczeniu; prawdopodobieństwo tego jest równe. Aby wielkość przyjęła wartość 2, konieczne jest, aby zdarzenie nie wystąpiło w pierwszym doświadczeniu, ale wystąpiło w drugim; prawdopodobieństwo tego jest równe , gdzie , itd. Szereg rozkładu wartości ma postać:
Pierwsze pięć rzędnych wielokąta rozkładu dla przypadku pokazano na ryc. 5.1.4.
Przykład 4. Strzelec strzela do celu aż do pierwszego trafienia, mając 4 sztuki amunicji. Prawdopodobieństwo trafienia przy każdym strzale wynosi 0,6. Skonstruuj szereg dystrybucji ilości niewykorzystanej amunicji.
Rozwiązanie. Zmienna losowa – liczba niewykorzystanych nabojów – ma cztery możliwe wartości: 0, 1, 2 i 3. Prawdopodobieństwa tych wartości są odpowiednio równe:
Szereg rozkładu wartości ma postać:
Wielokąt rozkładu pokazano na ryc. 5.1.5.
Przykład 5. Urządzenie techniczne może być użytkowane w różnych warunkach i w zależności od tego wymaga okresowej regulacji. Przy jednorazowym użyciu urządzenie może losowo przejść w tryb korzystny lub niekorzystny. W trybie korzystnym urządzenie wytrzymuje trzy użycia bez regulacji; przed czwartym należy go wyregulować. W trybie niekorzystnym urządzenie należy wyregulować po pierwszym użyciu. Prawdopodobieństwo, że urządzenie przejdzie w tryb korzystny wynosi 0,7, a że w tryb niekorzystny wynosi 0,3. Uwzględniana jest zmienna losowa – liczba użyć urządzenia przed regulacją. Skonstruuj jego szereg dystrybucyjny.
Rozwiązanie. Zmienna losowa ma trzy możliwe wartości: 1, 2 i 3. Prawdopodobieństwo, że , jest równe prawdopodobieństwu, że przy pierwszym użyciu urządzenie przejdzie w niekorzystny tryb, tj. . Aby wartość przyjęła wartość 2, urządzenie przy pierwszym użyciu musi znajdować się w trybie korzystnym, a przy drugim użyciu w trybie niekorzystnym; prawdopodobieństwo tego 
. Aby wartość przyjęła wartość 3, urządzenie musi być w trybie korzystnym przez pierwsze dwa razy (po trzecim razie trzeba będzie je jeszcze wyregulować). Prawdopodobieństwo tego jest równe 
.
Szereg rozkładu wartości ma postać:
Wielokąt rozkładu pokazano na ryc. 5.1.6.
Funkcja dystrybucyjna
W poprzednim numerze wprowadziliśmy szeregi dystrybucyjne jako wyczerpującą charakterystykę (prawo dystrybucji) nieciągłej zmiennej losowej. Jednak ta cecha nie jest uniwersalna; istnieje tylko dla nieciągłych zmiennych losowych. Łatwo zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej nie da się skonstruować takiej charakterystyki. Rzeczywiście, ciągła zmienna losowa ma nieskończoną liczbę możliwych wartości, całkowicie wypełniając pewien przedział (tzw. „Zbiór przeliczalny”). Nie da się stworzyć tabeli zawierającej wszystkie możliwe wartości takiej zmiennej losowej. Co więcej, jak zobaczymy później, każda indywidualna wartość ciągłej zmiennej losowej zwykle nie ma niezerowego prawdopodobieństwa. W konsekwencji dla ciągłej zmiennej losowej nie ma szeregu rozkładów w tym sensie, w jakim istnieje dla zmiennej nieciągłej. Jednak różne obszary możliwych wartości zmiennej losowej nadal nie są jednakowo prawdopodobne, a dla zmiennej ciągłej istnieje „rozkład prawdopodobieństwa”, chociaż nie w tym samym sensie, co dla zmiennej nieciągłej.
Aby ilościowo scharakteryzować ten rozkład prawdopodobieństwa, wygodnie jest użyć nieprawdopodobieństwa zdarzenia i prawdopodobieństwa zdarzenia, gdzie jest jakaś bieżąca zmienna. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy oczywiście od , istnieje pewna funkcja . Funkcja ta nazywana jest dystrybuantą zmiennej losowej i jest oznaczona wzorem:
. (5.2.1)
Funkcja dystrybucji jest czasami nazywana także funkcją dystrybucji skumulowanej lub prawem dystrybucji skumulowanej.
Funkcja rozkładu jest najbardziej uniwersalną cechą zmiennej losowej. Występuje dla wszystkich zmiennych losowych: zarówno nieciągłych, jak i ciągłych. Funkcja rozkładu w pełni charakteryzuje zmienną losową z probabilistycznego punktu widzenia, tj. jest jedną z form prawa dystrybucji.
Sformułujmy kilka ogólnych własności funkcji rozkładu.
1. Funkcja dystrybucji jest niemalejącą funkcją jej argumentu, tj. Na .
2. Przy minus nieskończoności funkcja rozkładu jest równa zeru: .
3. Przy plus nieskończoności funkcja rozkładu jest równa jeden: .
Nie podając rygorystycznego dowodu tych właściwości, zilustrujemy je za pomocą wizualnej interpretacji geometrycznej. Aby to zrobić, rozważymy zmienną losową jako losowy punkt na osi Wołu (ryc. 5.2.1), który w wyniku eksperymentu może zająć tę lub inną pozycję. Wówczas dystrybuantą jest prawdopodobieństwo, że losowy punkt w wyniku eksperymentu spadnie na lewo od punktu.
Zwiększymy, czyli przesuniemy punkt w prawo wzdłuż osi odciętej. Oczywiście w tym przypadku prawdopodobieństwo, że losowy punkt spadnie w lewo, nie może się zmniejszyć; dlatego funkcja dystrybucji nie może maleć wraz ze wzrostem.
Aby się o tym przekonać, przesuniemy punkt w lewo wzdłuż odciętej w nieskończoność. W takim przypadku trafienie w losowy punkt w lewo w limicie staje się zdarzeniem niemożliwym; Naturalne jest przekonanie, że prawdopodobieństwo tego zdarzenia dąży do zera, tj. .
Podobnie przesuwając punkt w prawo w nieskończoność upewniamy się, że zdarzenie staje się w pewnym sensie wiarygodne.
Wykres funkcji rozkładu w przypadek ogólny jest wykresem funkcji niemalejącej (ryc. 5.2.2), której wartości zaczynają się od 0 i osiągają 1, a w pewnych punktach funkcja może mieć skoki (nieciągłości).
Znając szereg dystrybucyjny nieciągłej zmiennej losowej, można łatwo skonstruować dystrybuantę tej zmiennej. Naprawdę,
,
gdzie nierówność pod znakiem sumy wskazuje, że sumowanie dotyczy wszystkich wartości mniejszych niż .
Kiedy bieżąca zmienna przechodzi przez którąkolwiek z możliwych wartości wartości nieciągłej, funkcja rozkładu zmienia się gwałtownie, a wielkość skoku jest równa prawdopodobieństwu tej wartości.
Przykład 1. Przeprowadzono jeden eksperyment, w którym zdarzenie może wystąpić lub nie. Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0,3. Zmienna losowa – liczba wystąpień zdarzenia w eksperymencie (charakterystyczna zmienna losowa zdarzenia). Skonstruuj jego dystrybuantę.
Doświadczenie to dowolne wdrożenie pewnych warunków i działań, w ramach których obserwuje się badane zjawisko losowe. Eksperymenty można charakteryzować jakościowo i ilościowo. Wielkość losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć taką lub inną wartość, ale nie wiadomo z góry jaką.
Zmienne losowe są zwykle oznaczane (X,Y,Z) i odpowiadające im wartości (x,y,z)
Dyskretne to zmienne losowe, które przyjmują pojedyncze wartości odizolowane od siebie, które mogą zostać przeszacowane. Ilości ciągłe których możliwe wartości stale wypełniają pewien zakres. Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna relacja, która ustanawia związek między możliwymi wartościami zmiennych losowych i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Rząd dystrybucji i wielokąt. Najprostsza postać prawa dystrybucji wartość dyskretna to szereg dystrybucyjny. Graficzną interpretacją szeregu rozkładu jest wielokąt rozkładu.
Interesujące Cię informacje możesz także znaleźć w wyszukiwarce naukowej Otvety.Online. Skorzystaj z formularza wyszukiwania:
Więcej na temat 13. Dyskretna zmienna losowa. Wielokąt dystrybucji. Operacje na zmiennych losowych, przykład:
- 13. Dyskretna zmienna losowa i prawo jej rozkładu. Wielokąt dystrybucji. Operacje na zmiennych losowych. Przykład.
- Pojęcie „zmiennej losowej” i jej opis. Dyskretna zmienna losowa i jej prawo (szereg) rozkładu. Niezależne zmienne losowe. Przykłady.
- 14. Zmienne losowe, ich rodzaje. Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej (DRV). Metody konstruowania zmiennych losowych (SV).
- 16. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Charakterystyka numeryczna dyskretnej zmiennej losowej: oczekiwanie matematyczne, rozproszenie i odchylenie standardowe.
- Operacje matematyczne na dyskretnych zmiennych losowych i przykłady konstruowania praw rozkładu dla KX, X"1, X + K, XV na podstawie zadanych rozkładów niezależnych zmiennych losowych X i Y.
- Pojęcie zmiennej losowej. Prawo rozkładu przypadków dyskretnych. wielkie ilości. Operacje matematyczne na losowości. wielkie ilości.
Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe.
Podczas przeprowadzania eksperymentu stochastycznego tworzy się przestrzeń zdarzeń elementarnych - możliwe rezultaty ten eksperyment. Uważa się, że na tej przestrzeni zdarzeń elementarnych jest dane wartość losowa X, jeśli podane jest prawo (reguła), zgodnie z którym każde zdarzenie elementarne jest powiązane z liczbą. Zatem zmienną losową X można uznać za funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych.
▪ Zmienna losowa- ilość, która pobiera jedną lub drugą dla każdego testu wartość numeryczna(nie wiadomo z góry jaki), w zależności od przyczyn losowych, których nie można z góry uwzględnić. Zmienne losowe są oznaczone wielkimi literami Alfabet łaciński, a możliwe wartości zmiennej losowej są małe. Zatem podczas rzucania kostką następuje zdarzenie powiązane z liczbą x, gdzie x jest liczbą wyrzuconych punktów. Liczba punktów jest zmienną losową, a liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 są możliwymi wartościami tej wartości. Odległość, jaką pokona pocisk po wystrzeleniu z działa, jest również zmienną losową (w zależności od montażu celownika, siły i kierunku wiatru, temperatury i innych czynników), a możliwe wartości tej wartości należą do do pewnego przedziału (a; b).
▪ Dyskretna zmienna losowa– zmienna losowa, która przyjmuje oddzielne, izolowane możliwe wartości z określonym prawdopodobieństwem. Liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej może być skończona lub nieskończona.
▪ Ciągła zmienna losowa– zmienna losowa, która może przyjmować wszystkie wartości z jakiegoś skończonego lub nieskończonego przedziału. Liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończona.
Na przykład liczba punktów uzyskanych podczas rzutu kostką, wynik testu to dyskretne zmienne losowe; odległość, na jaką leci pocisk podczas wystrzeliwania z broni, błąd pomiaru wskaźnika czasu opanowania materiału edukacyjnego, wzrost i waga osoby są ciągłymi zmiennymi losowymi.
Prawo rozkładu zmiennej losowej– zgodność pomiędzy możliwymi wartościami zmiennej losowej a ich prawdopodobieństwami, tj. Każda możliwa wartość x i jest powiązana z prawdopodobieństwem pi, z jakim zmienna losowa może przyjąć tę wartość. Prawo rozkładu zmiennej losowej można określić tabelarycznie (w formie tabeli), analitycznie (w formie wzoru) i graficznie.
Niech dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości x 1 , x 2 , …, x n z prawdopodobieństwami odpowiednio p 1 , p 2 , …, p n, tj. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Podając prawo rozkładu tej wielkości w tabeli, pierwszy wiersz tabeli zawiera możliwe wartości x 1 , x 2 , ..., x n , a drugi wiersz zawiera ich prawdopodobieństwa
| X | x 1 | x 2 | … | x rz |
| P | str. 1 | p2 | … | p.n |
W wyniku testu dyskretna zmienna losowa X przyjmuje jedną i tylko jedną z możliwych wartości, zatem zdarzenia X=x 1, X=x 2, ..., X=x n tworzą kompletną grupę par niekompatybilnych zdarzenia, a zatem suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden , tj. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Wielokąt rozkładu (wielokąt).
Jak wiadomo zmienna losowa to zmienna, która w zależności od przypadku może przyjmować określone wartości. Zmienne losowe oznaczają wielkimi literami Alfabet łaciński (X, Y, Z) i ich znaczenie - odpowiednimi małymi literami (x, y, z). Zmienne losowe dzielą się na nieciągłe (dyskretne) i ciągłe.
Dyskretna zmienna losowa to zmienna losowa, która przyjmuje tylko skończony lub nieskończony (przeliczalny) zbiór wartości z pewnymi niezerowymi prawdopodobieństwami.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to funkcja, która łączy wartości zmiennej losowej z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Prawo dystrybucji można określić na jeden z następujących sposobów.
1. Prawo dystrybucji można podać w tabeli:
gdzie λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) korzystając z funkcji rozkładu F(x), która dla każdej wartości x wyznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x, tj. F(x) = P(X< x).
 |
Własności funkcji F(x)
3. Prawo rozkładu można określić graficznie - poprzez wielokąt rozkładu (wielokąt) (patrz zadanie 3).
Należy pamiętać, że aby rozwiązać niektóre problemy, nie jest konieczna znajomość prawa dystrybucji. W niektórych przypadkach wystarczy znać jedną lub więcej liczb, które najlepiej odzwierciedlają sytuację Ważne cechy prawo dystrybucyjne. Może to być liczba, która ma znaczenie „średniej” zmiennej losowej lub liczba wskazująca średni rozmiar odchylenie zmiennej losowej od jej wartości średniej. Liczby tego rodzaju nazywane są charakterystykami numerycznymi zmiennej losowej.
Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnej zmiennej losowej:
- Matematyczne oczekiwanie (wartość średnia) dyskretnej zmiennej losowej M(X)=Σ x i p i .
Dla rozkładu dwumianowego M(X)=np, dla rozkładu Poissona M(X)=λ - Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej D(X)= M 2 lub D(X) = M(X 2)− 2. Różnicę X–M(X) nazywa się odchyleniem zmiennej losowej od jej oczekiwanie matematyczne.
Dla rozkładu dwumianowego D(X)=npq, dla rozkładu Poissona D(X)=λ - Odchylenie standardowe ( odchylenie standardowe) σ(X)=√D(X).
· Dla przejrzystości prezentacji serii odmian bardzo ważne mieć jego graficzne obrazy. Graficznie serię zmian można przedstawić jako wielokąt, histogram i kumulować.
· Wielokąt rozkładu (dosłownie wielokąt rozkładu) nazywany jest linią łamaną, która jest zbudowana w prostokątnym układzie współrzędnych. Wartość atrybutu nanoszona jest na odciętą, odpowiednie częstotliwości (lub częstotliwości względne) – na rzędnej. Punkty (lub) łączy się odcinkami prostymi i uzyskuje się wielokąt rozkładu. Najczęściej wielokąty służą do przedstawiania dyskretnych seria odmian, ale można je również wykorzystać seria interwałowa. W tym przypadku punkty odpowiadające środkom tych przedziałów są wykreślane na osi odciętych.
