Zmienna losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu przyjmuje nieznaną wcześniej wartość.
Liczba studentów obecnych na wykładzie.
Liczba domów oddanych do użytku w bieżącym miesiącu.
Temperatura otoczenia.
Ciężar fragmentu eksplodującego pocisku.
Zmienne losowe dzielą się na dyskretne i ciągłe.
Dyskretny (nieciągły) zwana zmienną losową, która przyjmuje oddzielne, odizolowane od siebie wartości z określonym prawdopodobieństwem.
Liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej może być skończona lub policzalna.
Ciągły nazywana zmienną losową, która może przyjąć dowolną wartość z pewnego skończonego lub nieskończonego przedziału.
Oczywiście liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończona.
W podanych przykładach: 1 i 2 to dyskretne zmienne losowe, 3 i 4 to ciągłe zmienne losowe.
W przyszłości zamiast słów „zmienna losowa” będziemy często używać skrótu c. V.
Z reguły zmienne losowe będą oznaczane wielkimi literami, a ich możliwe wartości- mały.
W teorii mnogościowej podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa zmienna losowa X jest funkcją zdarzenia elementarnego: X =φ(ω), gdzie ω jest zdarzeniem elementarnym należącym do przestrzeni Ω (ω Ω). W tym przypadku zbiór Ξ możliwych wartości c. V. X składa się ze wszystkich wartości, jakie przyjmuje funkcja φ(ω).
Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna reguła (tabela, funkcja), która pozwala znaleźć prawdopodobieństwa wszelkiego rodzaju zdarzeń związanych ze zmienną losową (na przykład prawdopodobieństwo, że przyjmie ona jakąś wartość lub spadnie w pewnym przedziale).
Formularze do określania praw rozkładu zmiennych losowych. Seria dystrybucyjna.
Jest to tabela, w której w górnym wierszu wymienione są wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X w kolejności rosnącej: x 1, x 2, ..., x n, a w dolnym wierszu - prawdopodobieństwa tych wartości: p 1, p 2, ..., p n, gdzie p ja = Р(Х = x ja ).
Ponieważ zdarzenia (X = x 1), (X = x 2), ... są niespójne i tworzą kompletną grupę, suma wszystkich prawdopodobieństw w dolnym wierszu szeregu rozkładu jest równa jeden
Szereg rozkładowy służy do określenia prawa rozkładu tylko dyskretnych zmiennych losowych.
Wielokąt dystrybucji
Graficzna reprezentacja szeregu rozkładu nazywana jest wielokątem rozkładu. Jest ona skonstruowana w następujący sposób: dla każdej możliwej wartości c. V. przywracana jest prostopadła do osi x, na której wykreślane jest prawdopodobieństwo danej wartości c. V. Dla przejrzystości (i tylko dla przejrzystości!) powstałe punkty są połączone prostymi odcinkami.
Funkcja dystrybucji skumulowanej (lub po prostu funkcja dystrybucji).
Jest to funkcja, która dla każdej wartości argumentu x jest liczbowo równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa będzie mniejsza niż wartość argumentu x.
Dystrybuantę oznaczamy F(x): F(x) = P (X x).
Teraz możesz dać więcej precyzyjna definicja ciągła zmienna losowa: zmienną losową nazywamy ciągłą, jeśli jej rozkład jest funkcją ciągłą, różniczkowalną odcinkowo z ciągłą pochodną.
Funkcja dystrybucji jest najbardziej uniwersalną formą określenia c. v., którego można użyć do określenia praw dystrybucji zarówno dla dyskretnych, jak i ciągłych s. V.
Problem 14. W loterii pieniężnej rozgrywana jest 1 wygrana o wartości 1 000 000 rubli, 10 wygranych o wartości 100 000 rubli. i 100 wygranych po 1000 rubli każda. z łączną liczbą losów wynoszącą 10 000. Znajdź prawo podziału losowych wygranych X dla posiadacza jednego losu na loterię.
Rozwiązanie. Możliwe wartości dla X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;
X 4 = 1000000. Ich prawdopodobieństwa są odpowiednio równe: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
Dlatego prawo podziału wygranych X można podać w poniższej tabeli:
Zbuduj wielokąt rozkładu.
Rozwiązanie. Zbudujmy prostokątny układ współrzędnych i narysujmy możliwe wartości wzdłuż osi odciętych x ja, i wzdłuż osi y - odpowiadające im prawdopodobieństwa p ja. Narysujmy punkty M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) i M 4 (8;0,3). Łącząc te punkty odcinkami prostymi uzyskujemy pożądany wielokąt rozkładu.
§2. Charakterystyki numeryczne zmiennych losowych
Zmienna losowa jest całkowicie scharakteryzowana przez prawo dystrybucji. Uśredniony opis zmiennej losowej można uzyskać wykorzystując jej charakterystykę numeryczną
2.1. Oczekiwanie. Dyspersja.
Niech zmienna losowa przyjmuje odpowiednio wartości z prawdopodobieństwem.
Definicja. Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw:
.
Właściwości oczekiwań matematycznych.
Rozproszenie zmiennej losowej wokół wartości średniej charakteryzuje się rozproszeniem i odchyleniem standardowym.
Wariancja zmiennej losowej to matematyczne oczekiwanie kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych:
Do obliczeń używany jest następujący wzór
Właściwości dyspersji.
2. , gdzie są wzajemnie niezależnymi zmiennymi losowymi.
3. Odchylenie standardowe 
.
Problem 16. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z = X+ 2Y, jeśli znane są matematyczne oczekiwania zmiennych losowych X I Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.
Rozwiązanie. Korzystamy z własności oczekiwań matematycznych. Następnie otrzymujemy:
M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.
Problem 17. Wariancja zmiennej losowej X jest równe 3. Znajdź wariancję zmiennych losowych: a) –3 X; b) 4 X + 3.
Rozwiązanie. Zastosujmy właściwości 3, 4 i 2 dyspersji. Mamy:
A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;
B) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.
Problem 18. Biorąc pod uwagę niezależną zmienną losową Y– liczba punktów utraconych podczas rzucania kostka do gry. Znajdź prawo dystrybucji, oczekiwanie matematyczne, rozproszenie i średnią odchylenie standardowe zmienna losowa Y.
Rozwiązanie. Tabela rozkładu zmiennych losowych Y ma postać:
| Y | ||||||
| R | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Następnie M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;
D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2,1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.
Odpowiedź: Rozważmy nieciągłą zmienną losową X z możliwymi wartościami. Każda z tych wartości jest możliwa, ale nie pewna, i wartość X każdy z nich może przyjąć z pewnym prawdopodobieństwem. W wyniku eksperymentu wartość X przyjmie jedną z tych wartości, czyli nastąpi jedno z pełnej grupy zdarzeń niezgodnych:
Oznaczmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń literami R z odpowiednimi indeksami:
Oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa różnych wartości można określić za pomocą tabeli rozkładów, w której w górnym wierszu wskazane są wszystkie wartości przyjęte przez daną dyskretną zmienną losową, a prawdopodobieństwa odpowiadających im wartości są wskazane w dolnej linii. Ponieważ niezgodne zdarzenia (3.1) tworzą kompletną grupę, to znaczy suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej jest równa jeden. Rozkładu prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych nie można przedstawić w formie tabeli, ponieważ liczba wartości takich zmiennych losowych jest nieskończona nawet w ograniczonym przedziale. Co więcej, prawdopodobieństwo otrzymania dowolnej wartości wynosi zero. Zmienna losowa będzie w pełni opisana z probabilistycznego punktu widzenia, jeśli zdefiniujemy ten rozkład, czyli wskażemy dokładnie, jakie prawdopodobieństwo ma każde ze zdarzeń. W ten sposób ustalimy tak zwane prawo rozkładu zmiennej losowej. Prawo dystrybucji zmiennej losowej to dowolna relacja, która ustanawia związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. O zmiennej losowej powiemy, że podlega ona danemu prawu rozkładu. Ustalmy postać, w jakiej można określić prawo rozkładu nieciągłej zmiennej losowej X. Najprostsza forma Definicja tego prawa to tabela, która zawiera listę możliwych wartości zmiennej losowej i odpowiadających im prawdopodobieństw:
| x ja | X 1 | X 2 | × × × | x rz |
| p ja | P 1 | P 2 | × × × | p.n |
Tablicę taką nazwiemy serią rozkładów zmiennej losowej X.
Ryż. 3.1
Aby nadać szeregom rozkładu bardziej wizualny wygląd, często uciekają się do jego graficznej reprezentacji: możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych. Dla przejrzystości powstałe punkty są połączone prostymi odcinkami. Taka figura nazywana jest wielokątem rozkładu (ryc. 3.1). Wielokąt rozkładu, podobnie jak szereg rozkładów, całkowicie charakteryzuje zmienną losową. jest to jedna z form prawa dystrybucji. Czasami wygodna jest tak zwana „mechaniczna” interpretacja szeregu rozkładów. Wyobraźmy sobie, że pewna masa równa jedności jest rozłożona wzdłuż osi odciętych w taki sposób, że: N masy skupiają się odpowiednio w poszczególnych punktach 
. Następnie szereg rozkładów interpretujemy jako układ punktów materialnych, w których niektóre masy znajdują się na osi odciętych.
Doświadczenie to dowolne wdrożenie pewnych warunków i działań, w ramach których obserwuje się badane zjawisko losowe. Eksperymenty można charakteryzować jakościowo i ilościowo. Wielkość losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć taką lub inną wartość, ale nie wiadomo z góry jaką.
Zmienne losowe są zwykle oznaczane (X,Y,Z) i odpowiadające im wartości (x,y,z)
Dyskretne to zmienne losowe, które przyjmują pojedyncze wartości odizolowane od siebie, które mogą zostać przeszacowane. Ilości ciągłe których możliwe wartości stale wypełniają pewien zakres. Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna relacja, która ustanawia związek między możliwymi wartościami zmiennych losowych i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Rząd dystrybucji i wielokąt. Najprostszą formą prawa dystrybucji wielkości dyskretnej jest szereg dystrybucyjny. Graficzną interpretacją szeregu rozkładu jest wielokąt rozkładu.
Interesujące Cię informacje możesz także znaleźć w wyszukiwarce naukowej Otvety.Online. Skorzystaj z formularza wyszukiwania:
Więcej na temat 13. Dyskretna zmienna losowa. Wielokąt dystrybucji. Operacje na zmiennych losowych, przykład:
- 13. Dyskretna zmienna losowa i prawo jej rozkładu. Wielokąt dystrybucji. Operacje na zmiennych losowych. Przykład.
- Pojęcie „zmiennej losowej” i jej opis. Dyskretna zmienna losowa i jej prawo (szereg) rozkładu. Niezależne zmienne losowe. Przykłady.
- 14. Zmienne losowe, ich rodzaje. Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej (DRV). Metody konstruowania zmiennych losowych (RV).
- 16. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Charakterystyka numeryczna dyskretnej zmiennej losowej: oczekiwanie matematyczne, rozproszenie i odchylenie standardowe.
- Operacje matematyczne na dyskretnych zmiennych losowych i przykłady konstruowania praw rozkładu dla KX, X"1, X + K, XV na podstawie zadanych rozkładów niezależnych zmiennych losowych X i Y.
- Pojęcie zmiennej losowej. Prawo rozkładu przypadków dyskretnych. wielkie ilości. Operacje matematyczne na losowości. wielkie ilości.
5.2. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Wielokąt dystrybucji
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że do zdefiniowania dyskretnej zmiennej losowej wystarczy wypisanie wszystkich jej możliwych wartości. W rzeczywistości tak nie jest: zmienne losowe mogą mieć te same listy możliwych wartości, ale ich prawdopodobieństwa mogą być różne. Zatem, aby określić dyskretną zmienną losową, nie wystarczy podać wszystkie jej możliwe wartości, należy także wskazać ich prawdopodobieństwa.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej nazwać zgodność między możliwymi wartościami i ich prawdopodobieństwami; można to określić tabelarycznie, analitycznie (w formie wzoru) i graficznie.
Definicja. Dowolna reguła (tabela, funkcja, wykres), która pozwala znaleźć prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń A S (S– -algebra zdarzeń w przestrzeni ), w szczególności wskazująca prawdopodobieństwa poszczególnych wartości zmiennej losowej lub zbioru tych wartości, nazywa się Prawo rozkładu zmiennej losowej(lub po prostu: dystrybucja). O s.v. mówią, że „podlega danemu prawu podziału”.
Pozwalać X– d.s.v., który przyjmuje wartości X 1 , X 2 , …, X N,… (zbiór tych wartości jest skończony lub przeliczalny) z pewnym prawdopodobieństwem P I, Gdzie I = 1,2,…, N,… Prawo dystrybucyjne d.s.v. wygodne do ustawienia za pomocą wzoru P I = P{X = X I)Gdzie I = 1,2,…, N,..., co określa prawdopodobieństwo, że w wyniku eksperymentu r.v. X przyjmie wartość X I. Dla ds. d.s.v. X prawo dystrybucji można podać w formularzu tablice dystrybucyjne:
|
X N | |||||
|
R N |
Przy określaniu prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej w tabeli w pierwszym wierszu tabeli znajdują się możliwe wartości, a w drugim ich prawdopodobieństwa. nazywa się taka tabela blisko dystrybucji.
Biorąc pod uwagę, że w jednej próbie zmienna losowa przyjmuje jedną i tylko jedną możliwą wartość, wnioskujemy, że zdarzenia X = X 1 , X = X 2 , ..., X = X N tworzą kompletną grupę; zatem suma prawdopodobieństw tych zdarzeń, tj. suma prawdopodobieństw drugiego wiersza tabeli jest równa jeden, czyli .
Jeśli zbiór możliwych wartości X nieskończenie (policzalnie), to szereg R 1 + R 2 + ... zbiega się i jego suma jest równa jeden.
Przykład. Na loterię pieniężną wydano 100 losów. Wylosowana zostanie jedna wygrana o wartości 50 rubli. i dziesięć wygranych po 1 rublu. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej X– koszt ewentualnych wygranych dla posiadacza jednego losu na loterię.
Rozwiązanie. Zapiszmy możliwe wartości X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Prawdopodobieństwa tych możliwych wartości wynoszą: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Napiszmy wymagane prawo dystrybucji:
Kontrola: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Przykład. W urnie jest 8 kul, z czego 5 jest białych, a pozostałe są czarne. Wylosowano z niego 3 kule. Znajdź prawo rozkładu liczby białych kul w próbce.
Rozwiązanie. Możliwe wartości r.v. X– w próbce znajduje się liczba kul białych X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Ich prawdopodobieństwa będą odpowiednio
;
;
.
Zapiszmy prawo dystrybucji w formie tabeli.
|
|
|
|
|
Kontrola: 
.
Prawo dystrybucyjne d.s.v. można określić graficznie, jeśli możliwe wartości r.v. zostaną wykreślone na osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości na osi rzędnych. linia przerywana łącząca kolejne punkty ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... tzw wielokąt(Lub wielokąt) dystrybucja(patrz rys. 5.1).
Ryż. 5.1. Wielokąt dystrybucji
Teraz możemy podać bardziej precyzyjną definicję d.s.v.
Definicja. Zmienna losowa X jest dyskretny, jeśli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór liczb X 1 , X 2 , ... takie że P{X = X I } = P I > 0 (I= 1,2,...) i P 1 + P 2 + R 3 +… = 1.
Zdefiniujmy operacje matematyczne na dyskretnym r.v.
Definicja.Kwota (różnica, praca) ds. s.v. X, przyjmując wartości X I z prawdopodobieństwami P I = P{X = X I }, I = 1, 2, …, N i d.s.v. Y, przyjmując wartości y J z prawdopodobieństwami P J = P{Y = y J }, J = 1, 2, …, M, nazywa się ds. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), przyjmując wartości z ja = X I + y J (z ja = X I – y J , z ja = X I y J) z prawdopodobieństwem P ja = P{X = X I , Y = y J) dla wszystkich określonych wartości I I J. Jeśli niektóre kwoty się pokrywają X I + y J (różnice X I – y J, działa X I y J) dodaje się odpowiednie prawdopodobieństwa.
Definicja.Praca DSV NA liczba s zwany ds. d.s.v. cX, przyjmując wartości ZX I z prawdopodobieństwami P I = P{X = X I }.
Definicja. Dwa ds. s.v. X I Y są nazywane niezależny, jeśli zdarzenia ( X = X I } = A I I ( Y = y J } = B J niezależny od każdego I = 1, 2, …, N, J = 1, 2, …, M, to jest
W przeciwnym razie r.v. zwany zależny. Kilka r.v. nazywane są wzajemnie niezależnymi, jeśli prawo podziału któregokolwiek z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęły inne wielkości.
Rozważmy kilka najczęściej stosowanych praw dystrybucji.
