Prawo dystrybucji. Wielokąt dystrybucji

Strona 2

Graficznie prawo dystrybucji wartość dyskretna jest podawany w postaci tzw. wielokąta rozkładu.  

Graficzna reprezentacja szeregu rozkładu (patrz rys. 5) nazywana jest wielokątem rozkładu.  

Aby scharakteryzować prawo dystrybucji, nieciągłe zmienna losowa Często używany jest wiersz (tabela) i wielokąt rozkładu.  

Aby to zobrazować, punkty (Y Pi) (x - i Pa) są zbudowane w prostokątnym układzie współrzędnych i połączone odcinkami linii. Wielokąt rozkładu daje przybliżoną wizualną reprezentację charakteru rozkładu zmiennej losowej.  

Dla przejrzystości prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej można również przedstawić graficznie, dla którego punkty (x/, p) są konstruowane w prostokątnym układzie współrzędnych, a następnie łączone odcinkami linii.  

M (xn; pn) (KM - - możliwe wartości Xt pi - odpowiednie prawdopodobieństwa) i połącz je odcinkami prostymi. Wynikowa figura nazywana jest wielokątem rozkładu.  

Rozważ rozkład prawdopodobieństwa sumy punktów na kostka do gry. Poniższe rysunki przedstawiają wielokąty rozkładu dla przypadku jednej, dwóch i trzech kości.  

W tym przypadku zamiast wielokąta rozkładu zmiennej losowej konstruowana jest funkcja gęstości rozkładu, która nazywa się dystrybuantą różnicową i reprezentuje prawo rozkładu różniczkowego. W teorii prawdopodobieństwa gęstość rozkładu zmiennej losowej x (x Xr) rozumiana jest jako granica stosunku prawdopodobieństwa wartości x mieszczącej się w przedziale (x, x - Ax) do Ax, gdy Al; zmierza do zera. Oprócz funkcji różniczkowej do scharakteryzowania rozkładu zmiennej losowej używana jest dystrybuanta całkowa, często nazywana po prostu dystrybuantą lub prawem dystrybucji całkowej.  

Przy tej konstrukcji względne częstości wpadania w przedziały będą równe obszarom odpowiednich słupków histogramu, tak jak prawdopodobieństwa są równe obszarom odpowiednich trapezów krzywoliniowych, jeśli założony rozkład teoretyczny dobrze zgadza się z eksperymentem z wystarczająco dużym n i udanym wyborem przedziałów (YJ-I, y. Czasami dla przejrzystości porównania konstruuje się wielokąt rozkładu, łącząc szeregowo punkty środkowe górnych podstaw słupków histogramu.  

Podając m różnych wartości od 0 do i, uzyskuje się prawdopodobieństwa PQ, P RF - Pn, które nanosi się na wykres. Biorąc pod uwagę p; z11, skonstruuj wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa.  

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to dowolna zgodność między jej możliwymi wartościami a ich prawdopodobieństwami. Prawo można określić tabelarycznie (szereg rozkładów), graficznie (wielokąt rozkładu itp.) i analitycznie.  

Znalezienie krzywej rozkładu, czyli ustalenie rozkładu samej zmiennej losowej, pozwala na głębsze zbadanie zjawiska, które nie jest w pełni wyrażone przez dany konkretny szereg rozkładów. Rysując zarówno znalezioną krzywą rozkładu wyrównującego, jak i wielokąt rozkładu zbudowany z populacji częściowej, badacz może wyraźnie to zobaczyć cechy charakterystyczne charakterystyczne dla badanego zjawiska. Dzięki temu analiza statystyczna skupia uwagę badacza na odchyleniach obserwowanych danych od jakiejś naturalnej zmiany zjawiska, a badacz staje przed zadaniem znalezienia przyczyn tych odchyleń.  

Następnie ze środka przedziałów rysowane są odcięte (w skali) odpowiadające liczbie miesięcy ze zużyciem w tym przedziale. Końce tych odciętych są połączone i w ten sposób uzyskuje się wielokąt lub wielokąt rozkładu.  

Punkty dające graficzną reprezentację prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej na płaszczyźnie współrzędnych wartości wielkości - prawdopodobieństwa wartości, są zwykle połączone odcinkami prostymi, a wynikowy wynik nazywa się figura geometryczna wielokąt dystrybucyjny. Na ryc. 3 w tabeli 46 (oraz na rysunkach 4 i 5) pokazano wielokąty rozkładu.  

Oddzielny zwana zmienną losową, która może przyjmować indywidualne, izolowane wartości z określonym prawdopodobieństwem.

PRZYKŁAD 1. Liczba wystąpień herbu w trzech rzutach monetą. Możliwe wartości: 0, 1, 2, 3, ich prawdopodobieństwa są odpowiednio równe:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

PRZYKŁAD 2. Liczba uszkodzonych elementów w urządzeniu składającym się z pięciu elementów. Możliwe wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ich prawdopodobieństwa zależą od niezawodności każdego elementu.

Dyskretna zmienna losowa X można wyrazić za pomocą szeregu dystrybucyjnego lub funkcji dystrybucji (całkowe prawo dystrybucji).

Blisko dystrybucji jest zbiorem wszystkich możliwych wartości XI i odpowiadające im prawdopodobieństwa Rja = P(X = xI), można to określić jako tabelę:

x ja				x rz
p ja				р n

W tym przypadku prawdopodobieństwa RI spełnić warunek

RI= 1 ponieważ

gdzie jest liczbą możliwych wartości N może być skończony lub nieskończony.

Graficzne przedstawienie szeregu dystrybucyjnego zwany wielokątem rozkładu . Aby to skonstruować, możliwe wartości zmiennej losowej ( XI) wykreślono wzdłuż osi x i prawdopodobieństw RI- wzdłuż osi rzędnych; zwrotnica AI ze współrzędnymi ( Xja, rI) są połączone liniami przerywanymi.

Funkcja dystrybucji zmienna losowa X zwaną funkcją F(X), którego wartość w tym punkcie X jest równe prawdopodobieństwu zmiennej losowej X będzie mniejsza od tej wartości X, to jest

F(x) = P(X< х).

Funkcjonować F(X) Dla dyskretna zmienna losowa obliczone według wzoru

F(X) = RI , (1.10.1)

gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich wartościach I, dla którego XI< х.

PRZYKŁAD 3. Z partii składającej się ze 100 produktów, z czego 10 jest wadliwych, wybieranych jest losowo pięć produktów w celu sprawdzenia ich jakości. Skonstruuj szereg rozkładów liczba losowa X produkty wadliwe zawarte w próbce.

Rozwiązanie. Ponieważ w próbie liczba wadliwych produktów może być dowolną liczbą całkowitą z zakresu od 0 do 5 włącznie, wówczas możliwe wartości XI zmienna losowa X są równe:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Prawdopodobieństwo R(X = k) które dokładnie zawiera próbka k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produkty wadliwe, równe

P (X = k) = .

W wyniku obliczeń z wykorzystaniem tego wzoru z dokładnością do 0,001 otrzymujemy:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Używanie równości do sprawdzania Rk=1, upewniamy się, że obliczenia i zaokrąglenia zostały wykonane poprawnie (patrz tabela).

x ja
p ja

PRZYKŁAD 4. Biorąc pod uwagę szereg rozkładów zmiennej losowej X :

x ja
p ja

Znajdź funkcję rozkładu prawdopodobieństwa F(X) tej zmiennej losowej i skonstruuj ją.

Rozwiązanie. Jeśli X Zatem 10 funtów F(X)= P(X<X) = 0;

jeśli 10<X Zatem 20 funtów F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jeśli 20<X Wtedy 30 funtów F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jeśli 30<X Wtedy 40 funtów F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jeśli 40<X Wtedy 50 funtów F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jeśli X> 50, więc F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Odpowiedź: Rozważmy nieciągłą zmienną losową X z możliwymi wartościami. Każda z tych wartości jest możliwa, ale nie pewna, i wartość X każdy z nich może przyjąć z pewnym prawdopodobieństwem. W wyniku eksperymentu wartość X przyjmie jedną z tych wartości, czyli nastąpi jedno z pełnej grupy zdarzeń niezgodnych:

Oznaczmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń literami R z odpowiednimi indeksami:

Oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa różnych wartości można określić za pomocą tabeli rozkładów, w której w górnym wierszu wskazane są wszystkie wartości przyjęte przez daną dyskretną zmienną losową, a prawdopodobieństwa odpowiadających im wartości ​​są wskazane w dolnej linii. Ponieważ niezgodne zdarzenia (3.1) tworzą kompletną grupę, to znaczy suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej jest równa jeden. Rozkładu prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych nie można przedstawić w formie tabeli, ponieważ liczba wartości takich zmiennych losowych jest nieskończona nawet w ograniczonym przedziale. Co więcej, prawdopodobieństwo otrzymania dowolnej wartości wynosi zero. Zmienna losowa będzie w pełni opisana z probabilistycznego punktu widzenia, jeśli określimy ten rozkład, czyli wskażemy dokładnie, jakie prawdopodobieństwo ma każde ze zdarzeń. W ten sposób ustalimy tak zwane prawo rozkładu zmiennej losowej. Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna relacja, która ustanawia związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej a odpowiednimi prawdopodobieństwami. O zmiennej losowej powiemy, że podlega ona danemu prawu rozkładu. Ustalmy postać, w której można określić prawo rozkładu nieciągłej zmiennej losowej X. Najprostszą formą określenia tego prawa jest tabela, która zawiera listę możliwych wartości zmiennej losowej i odpowiadających im prawdopodobieństw:

x ja	X 1	X 2	× × ×	x rz
p ja	P 1	P 2	× × ×	p.n

Tablicę taką nazwiemy serią rozkładów zmiennej losowej X.

Ryż. 3.1

Aby nadać szeregom rozkładu bardziej wizualny wygląd, często uciekają się do jego graficznej reprezentacji: możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych. Dla przejrzystości powstałe punkty są połączone prostymi odcinkami. Taka figura nazywana jest wielokątem rozkładu (ryc. 3.1). Wielokąt rozkładu, podobnie jak szereg rozkładów, całkowicie charakteryzuje zmienną losową. jest to jedna z form prawa dystrybucji. Czasami wygodna jest tak zwana „mechaniczna” interpretacja szeregu rozkładów. Wyobraźmy sobie, że pewna masa równa jedności jest rozłożona wzdłuż osi odciętych w taki sposób, że: N masy skupiają się odpowiednio w poszczególnych punktach . Następnie szereg rozkładów interpretujemy jako układ punktów materialnych, w których niektóre masy znajdują się na osi odciętych.

Zmienna losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć taką lub inną wartość, która nie jest z góry znana. Istnieją zmienne losowe nieciągły (dyskretny) I ciągły typ. Możliwe wartości wielkości nieciągłych można z góry podać. Możliwe wartości wielkości ciągłych nie mogą być wyszczególnione z góry i w sposób ciągły wypełniać pewną lukę.

Przykład dyskretnych zmiennych losowych:

1) Ile razy herb pojawia się w trzech rzutach monetą. (możliwe wartości 0;1;2;3)

2) Częstotliwość pojawiania się herbu w tym samym doświadczeniu. (możliwe wartości)

3) Liczba uszkodzonych elementów w urządzeniu składającym się z pięciu elementów. (Możliwe wartości 0;1;2;3;4;5)

Przykłady ciągłych zmiennych losowych:

1) Odcięta (rzędna) punktu uderzenia po strzale.

2) Odległość od punktu uderzenia do środka celu.

3) Czas pracy urządzenia (lampy radiowej).

Zmienne losowe są oznaczone dużymi literami, a ich możliwe wartości są oznaczone odpowiednimi małymi literami. Na przykład X to liczba trafień trzema strzałami; możliwe wartości: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Rozważmy nieciągłą zmienną losową X o możliwych wartościach X 1, X 2, ..., X n. Każda z tych wartości jest możliwa, ale nie pewna, a wartość X może przyjąć każdą z nich z pewnym prawdopodobieństwem. W wyniku eksperymentu wartość X przyjmie jedną z tych wartości, czyli nastąpi jedno z pełnej grupy zdarzeń niezgodnych.

Oznaczmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń literami p z odpowiednimi wskaźnikami:

Ponieważ niezgodne zdarzenia tworzą kompletną grupę, a następnie

to znaczy suma prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej jest równa 1. To całkowite prawdopodobieństwo jest w jakiś sposób rozdzielone pomiędzy poszczególne wartości. Zmienna losowa będzie w pełni opisana z probabilistycznego punktu widzenia, jeśli zdefiniujemy ten rozkład, czyli wskażemy dokładnie, jakie prawdopodobieństwo ma każde ze zdarzeń. (To ustali tak zwane prawo rozkładu zmiennych losowych.)

Prawo rozkładu zmiennej losowej to dowolna relacja ustanawiająca związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej a odpowiednim prawdopodobieństwem. (O zmiennej losowej powiemy, że podlega ona danemu prawu rozkładu)

Najprostszą formą określenia prawa rozkładu zmiennej losowej jest tabela, która zawiera listę możliwych wartości zmiennej losowej i odpowiadających im prawdopodobieństw.

Tabela 1.

X ja	X 1	X2	…	Xn
P ja	P 1	P2	…	Pn

Ta tabela nazywa się blisko dystrybucji zmienne losowe.

Aby nadać szeregom rozkładu bardziej wizualny wygląd, uciekają się do jego graficznej reprezentacji: możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych. (Dla przejrzystości powstałe punkty są połączone odcinkami linii prostych.)

Rysunek 1 – wielokąt rozkładu

Ta liczba nazywa się wielokąt dystrybucyjny. Wielokąt rozkładu, podobnie jak szereg rozkładów, całkowicie charakteryzuje zmienną losową; jest to jedna z form prawa dystrybucji.

Przykład:

przeprowadza się jedno doświadczenie, w którym zdarzenie A może wystąpić lub nie. Prawdopodobieństwo zdarzenia A = 0,3. Rozważamy zmienną losową X - liczbę wystąpień zdarzenia A w danym eksperymencie. Należy skonstruować szereg i wielokąt rozkładu wartości X.

Tabela 2.

X ja
P ja	0,7	0,3

Rysunek 2 – Funkcja rozkładu

Funkcja dystrybucji jest uniwersalną cechą zmiennej losowej. Występuje dla wszystkich zmiennych losowych: zarówno nieciągłych, jak i nieciągłych. Funkcja dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową z probabilistycznego punktu widzenia, czyli jest jedną z postaci prawa dystrybucji.

Aby ilościowo scharakteryzować ten rozkład prawdopodobieństwa, wygodnie jest użyć nie prawdopodobieństwa zdarzenia X=x, ale prawdopodobieństwa zdarzenia X

Funkcja dystrybucji F(x) jest czasami nazywana także dystrybuantą lub prawem dystrybucji skumulowanej.

Własności funkcji rozkładu zmiennej losowej

1. Dystrybucja F(x) jest niemalejącą funkcją jej argumentu, czyli dla ;

2. W minus nieskończoności:

3. On plus nieskończoność:

Rysunek 3 – wykres funkcji rozkładu

Wykres funkcji rozkładu ogólnie jest to wykres niemalejącej funkcji, której wartości zaczynają się od 0 i zmierzają do 1.

Znając szereg rozkładowy zmiennej losowej, można skonstruować dystrybuantę zmiennej losowej.

Przykład:

dla warunków z poprzedniego przykładu skonstruuj funkcję rozkładu zmiennej losowej.

Skonstruujmy dystrybuantę X:

Rysunek 4 – dystrybuanta X

Funkcja dystrybucji każdej nieciągłej dyskretnej zmiennej losowej zawsze istnieje nieciągła funkcja schodkowa, której skoki występują w punktach odpowiadających możliwym wartościom zmiennej losowej i są równe prawdopodobieństwom tych wartości. Suma wszystkich skoków funkcji rozkładu jest równa 1.

W miarę wzrostu liczby możliwych wartości zmiennej losowej i zmniejszania się odstępów między nimi liczba skoków staje się większa, a same skoki stają się mniejsze:

Rysunek 5

Krzywa schodkowa staje się gładsza:

Rysunek 6

Zmienna losowa stopniowo zbliża się do wartości ciągłej, a jej funkcja rozkładu zbliża się do funkcji ciągłej. Istnieją również zmienne losowe, których możliwe wartości w sposób ciągły wypełniają pewien przedział, ale dla których funkcja rozkładu nie jest wszędzie ciągła. I w pewnych momentach pęka. Takie zmienne losowe nazywane są mieszanymi.

Rysunek 7

Pojęcie zmiennej losowej. Prawo rozkładu zmiennej losowej

Zmienne losowe (w skrócie r.v.) oznacza się dużymi literami łacińskimi X, Y, Z,...(lub małe litery greckie ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi) itp.), a wartości, które przyjmują, są odpowiednio pisane małymi literami x 1 , x 2 ,…, o 1 , o 2 , o 3 …

Przykłady Z. V. może służyć: 1) X- liczba punktów, które pojawiają się przy rzucie kostką; 2) Y - liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w tarczę; 3) Z- czas bezproblemowej pracy urządzenia itp. (wzrost osoby, kurs dolara, liczba wadliwych części w partii, temperatura powietrza, wygrana gracza, współrzędna punktu w przypadku jego losowego wyboru, zysk firmy, . ..).

Zmienna losowa XΏ w

X(w), tj. X= X(w), wО Ώ (lub X = f(w)) (31)

Przykład 1. Doświadczenie polega na 2-krotnym rzucie monetą. Na PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), gdzie w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, możesz rozważyć p. V. X- liczba wystąpień herbu. S.v. X jest funkcją zdarzenia elementarnego w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- ds. V. o wartościach x 1 = 0,x2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- ds. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

pi, Gdzie ja = 1,2,3, ..., n,… .

Prawo dystrybucji ds. V. p ja =P(X=x ja}, i=1,2,3,... ,n,...,

Z. V. X X I. :

X	x 1	x 2	….	x rz	…
P	str. 1	p2	….	p.n	…

Od wydarzeń (X = x 1 ), (X = x2 ),…, (X = x n ), tj. .

(x1 , str. 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) są wywoływane wielokąt(Lub rozkład wielokątny(patrz ryc. 17).

Zmienna losowa X jest dyskretny, jeśli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór liczb x 1 , x 2 , ..., x n takie, że P(X = x ja ) = p ja > 0 (ja = 1,2,...) s. 1 + p2 + str. 3 +…= 1 (32)

Kwota ds. V. X, przyjmując wartości x i z prawdopodobieństwami p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n i d.s. V. Y, przyjmując wartości y j z prawdopodobieństwami p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, nazywa się d.s. V. Z = X + Y, przyjmując wartości z ij = x i + y j z prawdopodobieństwami p ij = P( X = x i,Y = y j), dla wszystkich określonych wartości I i j. Jeżeli pewne sumy x i + y j pokrywają się, dodawane są odpowiednie prawdopodobieństwa.

Przez różnicę ds. V. X, przyjmując wartości x i z prawdopodobieństwami p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n i d.s. V. Y, przyjmując wartości y j z prawdopodobieństwami p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, nazywa się d.s. V. Z = X - Y, przyjmując wartości z ij = x i – y j z prawdopodobieństwami p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), dla wszystkich określonych wartości I i j. Jeśli pewne różnice x i – y j pokrywają się, dodawane są odpowiednie prawdopodobieństwa.

Praca ds. V. X, przyjmując wartości x i z prawdopodobieństwami p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n i d.s. V. Y, przyjmując wartości y j z prawdopodobieństwami p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, nazywa się d.s. V. Z = X × Y, przyjmując wartości z ij = x i × y j z prawdopodobieństwami p ij = P( X = x i,Y = y j), dla wszystkich określonych wartości I i j. Jeśli niektóre iloczyny x i × y j pokrywają się, dodawane są odpowiednie prawdopodobieństwa.

ds. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

Zdarzenia X i Y (X = x i) = A i oraz (Y = y j) = B j są niezależne dla dowolnego i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, tj.

P(X = x ja ;Y = y jot ) =P(X = x ja ) ×P (Y = y jot ) (33)

Przykład 2. W urnie jest 8 kul, z czego 5 jest białych, a pozostałe są czarne. Wylosowano z niego 3 kule. Znajdź prawo rozkładu liczby białych kul w próbce.