Ang derivative ng isang function ay isa sa mahirap na mga paksa V kurikulum ng paaralan. Hindi lahat ng graduate ay sasagutin ang tanong kung ano ang derivative.
Ipinapaliwanag ng artikulong ito sa simple at malinaw na paraan kung ano ang derivative at kung bakit ito kinakailangan.. Hindi na kami magsusumikap para sa mathematical rigor sa presentasyon. Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan ang kahulugan.
Tandaan natin ang kahulugan:
Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng isang function.
Ipinapakita ng figure ang mga graph ng tatlong function. Alin sa tingin mo ang mas mabilis na lumalaki?
Ang sagot ay halata - ang pangatlo. Ito ang may pinakamataas na rate ng pagbabago, iyon ay, ang pinakamalaking derivative.
Narito ang isa pang halimbawa.
Sina Kostya, Grisha at Matvey ay nakakuha ng mga trabaho sa parehong oras. Tingnan natin kung paano nagbago ang kanilang kita sa taon:
Ipinapakita ng graph ang lahat nang sabay-sabay, hindi ba? Ang kita ni Kostya ay higit sa doble sa anim na buwan. At tumaas din ang kita ni Grisha, ngunit kaunti lang. At ang kita ni Matvey ay bumaba sa zero. Ang mga panimulang kondisyon ay pareho, ngunit ang rate ng pagbabago ng function, iyon ay derivative, - iba. Para naman kay Matvey, ang kanyang income derivative ay karaniwang negatibo.
Intuitively, madali naming tinatantya ang rate ng pagbabago ng isang function. Ngunit paano natin ito gagawin?
Ang talagang tinitingnan natin ay kung gaano kataas (o pababa) ang graph ng isang function. Sa madaling salita, gaano kabilis ang pagbabago ng y habang nagbabago ang x? Malinaw, ang parehong function sa iba't ibang mga punto ay maaaring magkaroon magkaibang kahulugan derivative - iyon ay, maaari itong magbago nang mas mabilis o mas mabagal.
Ang derivative ng isang function ay denoted .
Ipapakita namin sa iyo kung paano hanapin ito gamit ang isang graph.
Ang isang graph ng ilang function ay iginuhit. Kumuha tayo ng isang punto na may abscissa dito. Gumuhit tayo ng tangent sa graph ng function sa puntong ito. Gusto naming tantiyahin kung gaano kabilis ang pag-akyat ng function graph. Ang isang maginhawang halaga para dito ay padaplis ng padaplis anggulo.
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng tangent angle na iginuhit sa graph ng function sa puntong ito.
Pakitandaan na bilang anggulo ng inclination ng tangent ay kinukuha namin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis.
Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent sa graph ng isang function. Ito ay isang tuwid na linya na may iisang karaniwang punto na may graph sa isang partikular na seksyon, at tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog.
Hanapin natin. Naaalala namin na ang padaplis ng isang matinding anggulo sa kanang tatsulok katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Mula sa tatsulok:
Natagpuan namin ang derivative gamit ang isang graph nang hindi alam ang formula ng function. Ang ganitong mga problema ay madalas na matatagpuan sa Unified State Examination sa matematika sa ilalim ng numero.
May isa pang mahalagang relasyon. Alalahanin na ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation
Ang dami sa equation na ito ay tinatawag slope ng isang tuwid na linya. Ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis.
.
Nakukuha namin iyon
Tandaan natin ang formula na ito. Nagpapahayag siya geometriko na kahulugan derivative.
Ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong iyon.
Sa madaling salita, ang derivative ay katumbas ng tangent ng tangent angle.
Nasabi na namin na ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga derivatives sa iba't ibang mga punto. Tingnan natin kung paano nauugnay ang derivative sa pag-uugali ng function.
Gumuhit tayo ng graph ng ilang function. Hayaang tumaas ang function na ito sa ilang lugar at bumaba sa iba, at sa iba't ibang rate. At hayaan ang function na ito na magkaroon ng maximum at minimum na mga puntos.
Sa isang punto ay tumataas ang function. Ang padaplis sa graph na iginuhit sa punto ay bumubuo ng isang matinding anggulo; na may positibong direksyon ng axis. Nangangahulugan ito na ang derivative sa punto ay positibo.
Sa puntong bumababa ang ating function. Ang tangent sa puntong ito ay bumubuo ng isang mahinang anggulo; na may positibong direksyon ng axis. Dahil negatibo ang tangent ng isang obtuse angle, negatibo ang derivative sa punto.
Narito kung ano ang mangyayari:
Kung ang isang function ay tumataas, ang derivative nito ay positibo.
Kung bumababa ito, negatibo ang derivative nito.
Ano ang mangyayari sa maximum at minimum na puntos? Nakikita natin na sa mga punto (maximum point) at (minimum point) ang tangent ay pahalang. Samakatuwid, ang tangent ng tangent sa mga puntong ito ay zero, at ang derivative ay zero din.
Punto - pinakamataas na punto. Sa puntong ito, ang pagtaas sa function ay pinapalitan ng pagbaba. Dahil dito, ang tanda ng derivative ay nagbabago sa punto mula sa "plus" hanggang sa "minus".
Sa punto - ang pinakamababang punto - ang derivative ay zero din, ngunit ang tanda nito ay nagbabago mula sa "minus" hanggang sa "plus".
Konklusyon: gamit ang derivative maaari nating malaman ang lahat ng bagay na interesado sa atin tungkol sa pag-uugali ng isang function.
Kung positibo ang derivative, tataas ang function.
Kung negatibo ang derivative, bababa ang function.
Sa pinakamataas na punto, ang derivative ay zero at nagbabago ng sign mula sa "plus" hanggang sa "minus".
Sa pinakamababang punto, ang derivative ay katumbas din ng zero at nagbabago ng sign mula sa "minus" patungo sa "plus".
Isulat natin ang mga konklusyong ito sa anyo ng isang talahanayan:
| nadadagdagan | pinakamataas na punto | bumababa | pinakamababang punto | nadadagdagan | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Gumawa tayo ng dalawang maliliit na paglilinaw. Kakailanganin mo ang isa sa kanila kapag nilutas ang problema. Isa pa - sa unang taon, na may mas seryosong pag-aaral ng mga function at derivatives.
Posible na ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero, ngunit ang function ay walang maximum o minimum sa puntong ito. Ito ang tinatawag na :
Sa isang punto, ang tangent sa graph ay pahalang at ang derivative ay zero. Gayunpaman, bago ang punto ay tumaas ang function - at pagkatapos ng punto ay patuloy itong tumataas. Ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago - ito ay nananatiling positibo tulad ng dati.
Nangyayari din na sa punto ng maximum o minimum ang derivative ay wala. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na pahinga, kapag imposibleng gumuhit ng isang tangent sa isang naibigay na punto.
Paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula? Sa kasong ito nalalapat ito
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.
Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. . Ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives ay sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi mo kailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan mo lamang gamitin ang talahanayan ng derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.
Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng prime sign hatiin ang mga simpleng function sa mga bahagi at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, kusyente) magkaugnay ang mga function na ito. Susunod, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ibinibigay ang derivative table at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.
Halimbawa 1. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng isang kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives nalaman natin na ang derivative ng "x" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 2. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Nag-iiba kami bilang isang derivative ng isang kabuuan kung saan ang pangalawang termino ay may pare-parehong kadahilanan;
Kung may mga tanong pa rin tungkol sa kung saan nagmumula ang isang bagay, kadalasang nililinaw ang mga ito pagkatapos na maging pamilyar sa talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Kami ay lumipat sa kanila ngayon.
Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function
| 1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Palaging katumbas ng zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan | |
| 2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "X". Palaging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan sa mahabang panahon | |
| 3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa mga kapangyarihan. | |
| 4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan -1 | |
| 5. Derivative parisukat na ugat | |
| 6. Derivative ng sine | |
| 7. Derivative ng cosine |  |
| 8. Derivative ng padaplis |  |
| 9. Derivative ng cotangent |  |
| 10. Derivative ng arcsine |  |
| 11. Derivative ng arccosine |  |
| 12. Derivative ng arctangent |  |
| 13. Derivative ng arc cotangent |  |
| 14. Derivative ng natural logarithm | |
| 15. Derivative ng isang logarithmic function |  |
| 16. Derivative ng exponent | |
| 17. Derivative ng isang exponential function |
Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan
| 1. Derivative ng isang kabuuan o pagkakaiba |  |
| 2. Derivative ng produkto |  |
| 2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan | |
| 3. Derivative ng quotient |  |
| 4. Derivative ng isang kumplikadong function |  |
Panuntunan 1.Kung ang mga function
ay naiba-iba sa isang punto, pagkatapos ang mga pag-andar ay naiba sa parehong punto
at
mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.
Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa isang pare-parehong termino, kung gayon ang kanilang mga derivative ay pantay, ibig sabihin.
Panuntunan 2.Kung ang mga function
ay naiba-iba sa isang punto, pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba sa parehong punto
at
mga. Ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.
Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:
Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat factor at lahat ng iba pa.
Halimbawa, para sa tatlong multiplier:
Panuntunan 3.Kung ang mga function
naiba sa isang punto At , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiableu/v , at
mga. ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng ang dating numerator.
Kung saan hahanapin ang mga bagay sa ibang mga pahina
Kapag naghahanap ng derivative ng isang produkto at isang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya mayroong higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito sa artikulo."Derivative ng produkto at quotient ng mga function".
Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa isang kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Ito tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa unang yugto ng pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang ang karaniwang mag-aaral ay nilulutas ang ilang isa at dalawang bahagi na halimbawa, hindi na siya nagkakamali.
At kung, kapag iniiba ang isang produkto o quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang kasong ito ay tinalakay sa halimbawa 10).
Iba pa karaniwang pagkakamali- mekanikal na solusyon ng derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function ang isang hiwalay na artikulo ay nakatuon. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives mga simpleng function.
Sa daan, hindi mo magagawa nang hindi binabago ang mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan ang manual sa mga bagong window. Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat At Mga operasyon na may mga fraction .
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives ng mga fraction na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang 
, pagkatapos ay sundan ang aralin na “Derivative of sums of fractions with powers and roots.”
Kung mayroon kang gawain tulad ng 
, pagkatapos ay kukunin mo ang aralin na "Derivatives ng mga simpleng trigonometric function".
Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative
Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa isang produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng isang pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito sa pamamagitan ng derivative ng isa pa:
Susunod, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan ang pangalawang termino ay may minus sign. Sa bawat kabuuan makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "X" ay nagiging isa, at ang minus 5 ay nagiging zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na derivative value:
Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 4. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator kung saan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denamineytor ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:
Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha gamit ang minus sign:
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at kapangyarihan, tulad ng, halimbawa, 
, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Derivative ng mga kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at mga ugat" .
Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng sines, cosines, tangents at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay isang aral para sa iyo "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .
Halimbawa 5. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito nakikita natin ang isang produkto, isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, ang derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto at ang tabular na halaga ng derivative ng square root, nakukuha namin ang:
Halimbawa 6. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito makikita natin ang isang quotient na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang tabulated na halaga ng derivative ng square root, nakuha namin:
Upang maalis ang isang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .
Petsa: 11/20/2014
Ano ang derivative?
Talaan ng mga derivatives.
Ang derivative ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mas mataas na matematika. Sa araling ito ay ipakikilala natin ang konseptong ito. Kilalanin natin ang isa't isa, nang walang mahigpit na mathematical formulations at proofs.
Ang kakilalang ito ay magpapahintulot sa iyo na:
Unawain ang kakanyahan ng mga simpleng gawain na may mga derivatives;
Matagumpay na lutasin ang mga pinakasimpleng gawain;
Maghanda para sa mas seryosong mga aralin sa mga derivatives.
Una - isang maayang sorpresa.)
Ang mahigpit na kahulugan ng derivative ay batay sa teorya ng mga limitasyon at ang bagay ay medyo kumplikado. Nakakainis ito. Ngunit ang praktikal na aplikasyon ng mga derivatives, bilang panuntunan, ay hindi nangangailangan ng ganoong malawak at malalim na kaalaman!
Upang matagumpay na makumpleto ang karamihan sa mga gawain sa paaralan at unibersidad, sapat na upang malaman ilang terms na lang- upang maunawaan ang gawain, at ilang rules lang- upang malutas ito. Iyon lang. Ito ang nagpapasaya sa akin.
Magsimula tayong magkakilala?)
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Mayroong maraming iba't ibang mga pagpapatakbo ng matematika sa elementarya na matematika. Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, pagpaparami, logarithm, atbp. Kung magdaragdag tayo ng isa pang operasyon sa mga operasyong ito, ang elementarya na matematika ay nagiging mas mataas. Ito bagong operasyon tinawag pagkita ng kaibhan. Ang kahulugan at kahulugan ng operasyong ito ay tatalakayin sa magkakahiwalay na mga aralin.
Mahalagang maunawaan dito na ang pagkita ng kaibhan ay isang mathematical operation lamang sa isang function. Nagsasagawa kami ng anumang pag-andar at, ayon sa ilang mga patakaran, binabago ito. Ang resulta ay magiging isang bagong function. Ang bagong function na ito ay tinatawag na: derivative.
Differentiation- aksyon sa isang function.
Derivative- ang resulta ng pagkilos na ito.
Tulad na lang, halimbawa, kabuuan- ang resulta ng karagdagan. O kaya pribado- ang resulta ng paghahati.
Ang pag-alam sa mga termino, maaari mong maunawaan ang mga gawain.) Ang mga pormulasyon ay ang mga sumusunod: hanapin ang derivative ng isang function; kunin ang derivative; ibahin ang pag-andar; kalkulahin ang derivative at iba pa. Ito lang pareho. Siyempre, mayroon ding mas kumplikadong mga gawain, kung saan ang paghahanap ng derivative (differentiation) ay isa lamang sa mga hakbang sa paglutas ng problema.
Ang derivative ay ipinahiwatig ng isang gitling sa kanang tuktok ng function. Ganito: y" o f"(x) o S"(t) at iba pa.
Nagbabasa igrek stroke, ef stroke mula sa x, es stroke mula sa te, well, naiintindihan mo...)
Maaari ding ipahiwatig ng prime ang derivative ng isang partikular na function, halimbawa: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" atbp. Kadalasan ang mga derivative ay tinutukoy gamit ang mga kaugalian, ngunit hindi namin isasaalang-alang ang gayong notasyon sa araling ito.
Ipagpalagay natin na natutunan nating maunawaan ang mga gawain. Ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito.) Paalalahanan kita muli: ang paghahanap ng derivative ay pagbabago ng isang function ayon sa ilang mga patakaran. Nakapagtataka, napakakaunti sa mga panuntunang ito.
Upang mahanap ang derivative ng isang function, kailangan mong malaman lamang ang tatlong bagay. Tatlong haligi kung saan nakatayo ang lahat ng pagkakaiba-iba. Ito ang tatlong haligi:
1. Talaan ng mga derivatives (differentiation formula).
3. Derivative kumplikadong pag-andar.
Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod. Sa araling ito ay titingnan natin ang talahanayan ng mga derivatives.
Talaan ng mga derivatives.
Mayroong walang katapusang bilang ng mga function sa mundo. Kabilang sa set na ito ay may mga function na pinakamahalaga para sa praktikal na paggamit. Ang mga tungkuling ito ay matatagpuan sa lahat ng batas ng kalikasan. Mula sa mga function na ito, tulad ng mula sa mga brick, maaari mong gawin ang lahat ng iba pa. Ang klase ng mga function na ito ay tinatawag elementarya na pag-andar. Ang mga pag-andar na ito ay pinag-aaralan sa paaralan - linear, quadratic, hyperbola, atbp.
Ang pagkita ng kaibhan ng mga function "mula sa simula", i.e. Batay sa kahulugan ng derivative at ang teorya ng mga limitasyon, ito ay isang bagay na matrabaho. At ang mga mathematician ay tao rin, oo, oo!) Kaya pinasimple nila ang kanilang (at tayo) na buhay. Kinakalkula nila ang mga derivatives ng elementary functions bago sa amin. Ang resulta ay isang talahanayan ng mga derivatives, kung saan handa na ang lahat.)
Narito ito, ang plato na ito para sa pinakasikat na mga pag-andar. Kaliwa - elementarya function, sa kanan ay ang derivative nito.
| Function y |
Derivative ng function y y" |
|
| 1 | C (pare-parehong halaga) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - anumang numero) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | kasalanan x | (kasalanan x)" = cosx |
| kasi x | (cos x)" = - kasalanan x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Inirerekomenda ko ang pagbibigay pansin sa ikatlong pangkat ng mga function sa talahanayan ng mga derivatives na ito. Derivative function ng kapangyarihan- isa sa mga pinakakaraniwang formula, kung hindi ang pinakakaraniwan! Naiintindihan mo ba ang pahiwatig?) Oo, ipinapayong malaman ang talahanayan ng mga derivatives sa puso. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi bilang mahirap bilang ito ay tila. Subukang lutasin ang higit pang mga halimbawa, ang talahanayan mismo ay maaalala!)
Hanapin halaga ng talahanayan derivative, tulad ng naiintindihan mo, ang gawain ay hindi ang pinakamahirap. Samakatuwid, napakadalas sa gayong mga gawain ay may mga karagdagang chips. Alinman sa mga salita ng gawain, o sa orihinal na function, na tila wala sa talahanayan...
Tingnan natin ang ilang halimbawa:
1. Hanapin ang derivative ng function na y = x 3
Walang ganoong function sa talahanayan. Ngunit mayroong isang derivative ng power function sa pangkalahatang pananaw(ikatlong pangkat). Sa aming kaso n=3. Kaya't pinapalitan namin ang tatlo sa halip na n at maingat na isulat ang resulta:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Iyon lang.
Sagot: y" = 3x 2
2. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na y = sinx sa puntong x = 0.
Ang gawaing ito ay nangangahulugan na kailangan mo munang hanapin ang derivative ng sine, at pagkatapos ay palitan ang halaga x = 0 sa napaka derivative na ito. Eksakto sa ayos na iyon! Kung hindi man, nangyayari na agad nilang pinapalitan ang zero sa orihinal na function... Hinihiling sa amin na hanapin hindi ang halaga ng orihinal na function, ngunit ang halaga hinango nito. Ipaalala ko sa iyo na ang derivative ay isang bagong function.
Gamit ang tablet nahanap namin ang sine at ang kaukulang derivative:
y" = (sin x)" = cosx
Pinapalitan namin ang zero sa derivative:
y"(0) = cos 0 = 1
Ito ang magiging sagot.
3. Pag-iba-iba ang function:
Ano, nakaka-inspire ba?) Walang ganoong function sa table ng derivatives.
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pag-iiba ng isang function ay ang paghahanap lamang ng derivative ng function na ito. Kung nakalimutan mo ang elementarya na trigonometrya, ang paghahanap ng derivative ng aming function ay medyo mahirap. Hindi nakakatulong ang mesa...
Ngunit kung nakikita natin na ang ating tungkulin ay cosine dobleng anggulo , pagkatapos ay bubuti kaagad ang lahat!
Oo Oo! Tandaan na ang pagbabago ng orihinal na function bago ang pagkita ng kaibhan medyo katanggap-tanggap! At nangyayari ito upang gawing mas madali ang buhay. Gamit ang double angle cosine formula:
Yung. ang aming nakakalito na function ay walang iba kundi y=cosx. At ito ay isang function ng talahanayan. Nakuha namin kaagad:
Sagot: y" = - kasalanan x.
Halimbawa para sa mga advanced na nagtapos at mga mag-aaral:
4. Hanapin ang derivative ng function:
Walang ganoong function sa derivatives table, siyempre. Ngunit kung naaalala mo ang elementarya na matematika, mga operasyong may kapangyarihan... Kung gayon, posible na gawing simple ang pagpapaandar na ito. Ganito:
At ang x sa kapangyarihan ng isang ikasampu ay isa nang table function! Ikatlong pangkat, n=1/10. Sumulat kami nang direkta ayon sa formula:
Iyon lang. Ito ang magiging sagot.
Umaasa ako na ang lahat ay malinaw sa unang haligi ng pagkita ng kaibhan - ang talahanayan ng mga derivatives. Ito ay nananatiling upang harapin ang dalawang natitirang mga balyena. Sa susunod na aralin ay malalaman natin ang mga tuntunin ng pagkakaiba-iba.
Ano ang derivative?
Kahulugan at kahulugan ng isang derivative function
Marami ang magugulat sa hindi inaasahang paglalagay ng artikulong ito sa kurso ng aking may-akda sa derivative ng isang function ng isang variable at mga aplikasyon nito. Pagkatapos ng lahat, tulad ng ito ay mula noong paaralan: ang karaniwang aklat-aralin una sa lahat ay nagbibigay ng kahulugan ng isang hinalaw, ang geometriko, mekanikal na kahulugan nito. Susunod, ang mga mag-aaral ay nakakahanap ng mga derivatives ng mga function ayon sa kahulugan, at, sa katunayan, pagkatapos lamang nilang gawing perpekto ang pamamaraan ng pagkita ng kaibhan gamit ang mga derivative table.
Ngunit mula sa aking pananaw, ang sumusunod na diskarte ay mas pragmatic: una sa lahat, ipinapayong UNAWAIN NG MABUTI limitasyon ng isang function, at, lalo na, infinitesimal na dami. Sa katotohanan ay ang kahulugan ng derivative ay batay sa konsepto ng limitasyon, na hindi gaanong isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang makabuluhang bahagi ng mga batang mamimili ng granite ng kaalaman ay hindi nauunawaan ang mismong kakanyahan ng derivative. Kaya, kung mayroon kang kaunting kaalaman sa differential calculus o isang matalinong utak para sa mahabang taon matagumpay na naalis ang bagahe na ito, mangyaring magsimula sa mga limitasyon sa pag-andar. Sa parehong oras, master / tandaan ang kanilang solusyon.
Ang parehong praktikal na kahulugan ay nagdidikta na ito ay may pakinabang muna matutong maghanap ng mga derivatives, kasama ang derivatives ng mga kumplikadong function. Ang teorya ay teorya, ngunit, tulad ng sinasabi nila, gusto mong laging magkaiba. Sa pagsasaalang-alang na ito, mas mahusay na magtrabaho sa pamamagitan ng mga pangunahing aralin na nakalista, at marahil master ng pagkita ng kaibhan nang hindi man lang napagtanto ang kakanyahan ng kanilang mga aksyon.
Inirerekomenda kong magsimula sa mga materyales sa pahinang ito pagkatapos basahin ang artikulo. Ang pinakasimpleng mga problema sa mga derivatives, kung saan, sa partikular, ang problema ng tangent sa graph ng isang function ay isinasaalang-alang. Ngunit maaari kang maghintay. Ang katotohanan ay maraming mga aplikasyon ng derivative ay hindi nangangailangan ng pag-unawa dito, at hindi nakakagulat na ang teoretikal na aralin ay lumitaw nang huli - kapag kailangan kong ipaliwanag paghahanap ng pagtaas/pagbaba ng mga pagitan at extrema mga function. Bukod dito, siya ay nasa paksa sa loob ng mahabang panahon. Mga function at graph”, hanggang sa napagdesisyunan kong ilagay ito kanina.
Samakatuwid, mahal na mga teapot, huwag magmadali upang makuha ang kakanyahan ng hinalaw tulad ng mga gutom na hayop, dahil ang saturation ay magiging walang lasa at hindi kumpleto.
Ang konsepto ng pagtaas, pagbaba, maximum, minimum ng isang function
marami pantulong sa pagtuturo humantong sa konsepto ng derivative gamit ang ilang praktikal na problema, at nakaisip din ako ng isang kawili-wiling halimbawa. Isipin na malapit na tayong maglakbay sa isang lungsod na maaaring maabot sa iba't ibang paraan. Agad nating itapon ang mga hubog na paikot-ikot na landas at isaalang-alang lamang ang mga tuwid na daan. Gayunpaman, iba rin ang mga direksyon sa tuwid na linya: maaari kang makarating sa lungsod sa isang maayos na highway. O sa kahabaan ng maburol na highway - pataas at pababa, pataas at pababa. Ang isa pang kalsada ay pataas lamang, at ang isa ay pababa sa lahat ng oras. Ang mga matinding mahilig ay pipili ng ruta sa isang bangin na may matarik na bangin at matarik na pag-akyat.
Ngunit anuman ang iyong mga kagustuhan, ipinapayong malaman ang lugar o hindi bababa sa magkaroon ng isang topographic na mapa nito. Paano kung ang naturang impormasyon ay nawawala? Pagkatapos ng lahat, maaari kang pumili, halimbawa, ng isang maayos na landas, ngunit bilang isang resulta ay natitisod sa isang ski slope na may masasayang Finns. Ito ay hindi isang katotohanan na ang isang navigator o kahit isang satellite image ay magbibigay ng maaasahang data. Samakatuwid, mainam na gawing pormal ang kaluwagan ng landas gamit ang matematika.
Tingnan natin ang ilang kalsada (side view): 
Kung sakali, ipinaaalala ko sa iyo ang isang elementarya na katotohanan: nangyayari ang paglalakbay mula kaliwa hanggang kanan. Para sa pagiging simple, ipinapalagay namin na ang function tuloy-tuloy sa lugar na isinasaalang-alang.
Ano ang mga tampok ng graph na ito?
Sa mga pagitan 
function nadadagdagan, ibig sabihin, bawat susunod na halaga nito higit pa nauna. Sa halos pagsasalita, ang iskedyul ay nasa baba taas(umakyat kami sa burol). At sa pagitan ang pag-andar bumababa– bawat susunod na halaga mas mababa nakaraan, at ang aming iskedyul ay nakabukas itaas pababa(bumaba kami sa dalisdis).
Bigyang-pansin din natin ang mga espesyal na puntos. Sa puntong narating natin maximum, yan ay umiiral tulad ng isang seksyon ng path kung saan ang halaga ang magiging pinakamalaki (pinakamataas). Sa parehong punto ito ay nakamit pinakamababa, At umiiral kapitbahayan nito kung saan ang halaga ay ang pinakamaliit (pinakamababa).
Titingnan natin ang mas mahigpit na terminolohiya at mga kahulugan sa klase. tungkol sa extrema ng function, ngunit sa ngayon mag-aral pa tayo ng isa mahalagang katangian: sa mga pagitan 
tumataas ang function, ngunit tumataas ito sa iba't ibang bilis. At ang unang bagay na nakakaakit sa iyong mata ay ang graph ay tumataas habang nasa pagitan mas cool, kaysa sa pagitan. Posible bang sukatin ang matarik na kalsada gamit ang mga kasangkapang pangmatematika?
Rate ng pagbabago ng function
Ang ideya ay ito: magkaroon tayo ng kaunting halaga (basahin ang "delta x"), na tatawagin natin pagtaas ng argumento, at simulan natin ang "subukan ito" sa iba't ibang punto sa ating landas: 
1) Tingnan natin ang pinakakaliwang punto: pagpasa sa distansya, umakyat tayo sa slope sa isang taas (berdeng linya). Ang dami ay tinatawag pagtaas ng function, at sa sa kasong ito ang pagtaas na ito ay positibo (ang pagkakaiba sa mga halaga sa kahabaan ng axis ay mas malaki kaysa sa zero). Gumawa tayo ng ratio na magiging sukatan ng tirik ng ating kalsada. Malinaw, ito ay isang napaka-tiyak na numero, at dahil ang parehong mga pagtaas ay positibo, kung gayon .
Pansin! Ang mga pagtatalaga ay ISA simbolo, iyon ay, hindi mo maaaring "punitin" ang "delta" mula sa "X" at isaalang-alang ang mga titik na ito nang hiwalay. Siyempre, ang komento ay may kinalaman din sa simbolo ng pagtaas ng function.
Tuklasin natin nang mas makabuluhan ang likas na katangian ng resultang fraction. Hayaan muna tayong nasa taas na 20 metro (sa kaliwang itim na punto). Ang pagkakaroon ng sakop na distansya ng mga metro (kaliwang pulang linya), makikita natin ang ating sarili sa taas na 60 metro. Pagkatapos ay ang pagtaas ng function ay magiging 
metro (berdeng linya) at: . kaya, sa bawat metro itong bahagi ng kalsada tumataas ang taas karaniwan sa pamamagitan ng 4 na metro...nakalimutan ang iyong kagamitan sa pag-akyat? =) Sa madaling salita, ang nabuong relasyon ay nagpapakilala sa AVERAGE RATE NG PAGBABAGO (sa kasong ito, paglago) ng function.
Tandaan : mga numerong halaga Ang halimbawang pinag-uusapan ay tumutugma sa mga proporsyon ng pagguhit ng humigit-kumulang lamang.
2) Ngayon, pumunta tayo sa parehong distansya mula sa pinakakanang itim na punto. Dito ay mas unti-unti ang pagtaas, kaya ang pagtaas (crimson line) ay medyo maliit, at ang ratio kumpara sa nakaraang kaso ay magiging napakahinhin. Relatibong magsalita, 
metro at rate ng paglago ng function ay . Ibig sabihin, narito para sa bawat metro ng landas mayroong karaniwan kalahating metro ang taas.
3) Isang maliit na pakikipagsapalaran sa gilid ng bundok. Tingnan natin ang tuktok itim na tuldok, na matatagpuan sa ordinate axis. Ipagpalagay natin na ito ang 50 metrong marka. Muli naming napagtagumpayan ang distansya, bilang isang resulta kung saan nakita namin ang aming sarili na mas mababa - sa antas na 30 metro. Dahil ang kilusan ay isinasagawa itaas pababa(sa "counter" na direksyon ng axis), pagkatapos ay ang pangwakas ang pagtaas ng function (taas) ay magiging negatibo: 
metro (kayumanggi na segment sa pagguhit). At sa kasong ito ay pinag-uusapan na natin rate ng pagbaba Mga Tampok: 
, iyon ay, para sa bawat metro ng landas ng seksyong ito, ang taas ay bumababa karaniwan sa pamamagitan ng 2 metro. Alagaan ang iyong mga damit sa ikalimang punto.
Ngayon itanong natin sa ating sarili ang tanong: anong halaga ng "pamantayan sa pagsukat" ang pinakamahusay na gamitin? Ito ay lubos na nauunawaan, ang 10 metro ay napakahirap. Ang isang dosenang hummock ay madaling magkasya sa kanila. Anuman ang mga bumps, maaaring may malalim na bangin sa ibaba, at pagkaraan ng ilang metro ay may kabilang panig nito na may mas matarik na pagtaas. Kaya, sa isang sampung metro hindi kami makakakuha ng isang maliwanag na paglalarawan ng mga naturang seksyon ng landas sa pamamagitan ng ratio .
Mula sa talakayan sa itaas, ang sumusunod na konklusyon ay sumusunod: paano mas kaunting halaga , mas tumpak na ilalarawan natin ang topograpiya ng kalsada. Bukod dito, ang mga sumusunod na katotohanan ay totoo:
– Para kahit kanino nakakataas na puntos 
maaari kang pumili ng isang halaga (kahit na napakaliit) na akma sa loob ng mga hangganan ng isang partikular na pagtaas. Nangangahulugan ito na ang katumbas na pagtaas ng taas ay garantisadong positibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay wastong magsasaad ng paglaki ng function sa bawat punto ng mga agwat na ito.
- Gayundin, para sa anumang slope point mayroong isang halaga na ganap na magkasya sa slope na ito. Dahil dito, ang katumbas na pagtaas ng taas ay malinaw na negatibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magpapakita ng tama ng pagbaba sa function sa bawat punto ng ibinigay na pagitan.
– Ang isang partikular na kawili-wiling kaso ay kapag ang rate ng pagbabago ng function ay zero: . Una, ang zero height increment () ay tanda ng isang maayos na landas. At pangalawa, may iba pang mga kagiliw-giliw na sitwasyon, mga halimbawa kung saan nakikita mo sa figure. Isipin na dinala tayo ng tadhana sa pinakatuktok ng burol na may mga umaambon na agila o sa ilalim ng bangin na may umaalingawngaw na mga palaka. Kung gumawa ka ng isang maliit na hakbang sa anumang direksyon, ang pagbabago sa taas ay magiging bale-wala, at maaari naming sabihin na ang rate ng pagbabago ng function ay talagang zero. Ito ang eksaktong larawan na naobserbahan sa mga punto.
Kaya, nakarating kami sa isang kamangha-manghang pagkakataon upang ganap na tumpak na makilala ang rate ng pagbabago ng isang function. Kung tutuusin pagsusuri sa matematika nagbibigay-daan sa iyo na idirekta ang pagtaas ng argumento sa zero: , ibig sabihin, gawin ito infinitesimal.
Bilang resulta, lumitaw ang isa pang lohikal na tanong: posible bang makahanap ng kalsada at iskedyul nito isa pang function, na ipaalam sa amin tungkol sa lahat ng patag na seksyon, pag-akyat, pagbaba, taluktok, lambak, pati na rin ang rate ng paglaki/pagbaba sa bawat punto sa daan?
Ano ang derivative? Kahulugan ng derivative.
Geometric na kahulugan ng derivative at differential
Mangyaring basahin nang mabuti at hindi masyadong mabilis - ang materyal ay simple at naa-access sa lahat! Okay lang kung sa ilang lugar ay may tila hindi masyadong malinaw, maaari mong palaging bumalik sa artikulo sa ibang pagkakataon. Sasabihin ko pa, kapaki-pakinabang na pag-aralan ang teorya nang maraming beses upang lubusang maunawaan ang lahat ng mga punto (ang payo ay partikular na nauugnay para sa mga "teknikal" na mag-aaral, kung saan ang mas mataas na matematika ay may mahalagang papel sa proseso ng edukasyon).
Naturally, sa mismong kahulugan ng derivative sa isang punto ay pinapalitan namin ito ng:
Ano ang narating natin? At kami ay dumating sa konklusyon na para sa pag-andar ayon sa batas 
ay inilalagay alinsunod ibang function, na tinatawag na derivative function(o simple lang hinango).
Ang derivative ay nagpapakilala rate ng pagbabago mga function Paano? Ang ideya ay tumatakbo tulad ng isang pulang sinulid mula pa sa simula ng artikulo. Isaalang-alang natin ang ilang punto domain ng kahulugan mga function Hayaang maging differentiable ang function sa isang naibigay na punto. Pagkatapos:
1) Kung , pagkatapos ay tumataas ang function sa puntong . At halatang meron pagitan(kahit isang napakaliit), na naglalaman ng isang punto kung saan lumalaki ang function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas".
2) Kung , pagkatapos ay bumababa ang function sa puntong . At mayroong isang agwat na naglalaman ng isang punto kung saan bumababa ang function (ang graph ay "itaas hanggang ibaba").
3) Kung , kung gayon malapit nang walang katapusan malapit sa isang punto ang function ay nagpapanatili ng bilis nito na pare-pareho. Nangyayari ito, tulad ng nabanggit, na may patuloy na pag-andar at sa mga kritikal na punto ng pag-andar, sa partikular sa minimum at maximum na mga puntos.
Medyo semantics. Ano ang ibig sabihin ng pandiwa na "magkaiba" sa malawak na kahulugan? Ang ibig sabihin ng pagkakaiba-iba ay i-highlight ang isang feature. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng isang function, "inihiwalay" namin ang rate ng pagbabago nito sa anyo ng isang derivative ng function. Ano nga pala ang ibig sabihin ng salitang "derivative"? Function nangyari mula sa function.
Ang mga termino ay matagumpay na binibigyang kahulugan ng mekanikal na kahulugan ng derivative
:
Isaalang-alang natin ang batas ng pagbabago sa mga coordinate ng katawan, depende sa oras, at ang pag-andar ng bilis ng paggalaw ibinigay na katawan. Tinutukoy ng function ang rate ng pagbabago ng body coordinate, samakatuwid ito ang unang derivative ng function na may paggalang sa oras: . Kung ang konsepto ng "kilos ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative konsepto ng "bilis ng katawan".
Ang acceleration ng isang katawan ay ang rate ng pagbabago ng bilis, samakatuwid: 
. Kung ang mga unang konsepto ng "galaw ng katawan" at "bilis ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative konsepto ng “body acceleration”.
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x)\) sa isang tiyak na pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0\). Bigyan natin ang argumento ng pagtaas \(\Delta x \) upang hindi ito umalis sa agwat na ito. Hanapin natin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag lumilipat mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Kung mayroong limitasyon sa ratio na ito sa \(\Delta x \rightarrow 0\), kung gayon ang tinukoy na limitasyon ay tinatawag derivative ng isang function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang hinango. Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y = f(x).
Geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod. Kung posibleng gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong may abscissa x=a, na hindi parallel sa y-axis, kung gayon ang f(a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent :
\(k = f"(a)\)
Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tan(a) \) ay totoo.
Ngayon bigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative mula sa punto ng view ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x)\) sa isang partikular na punto \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Ang makabuluhang kahulugan ng nagresultang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa ibinigay na punto X. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2\) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay wasto. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng isang derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.
Buuin natin ito.
Paano mahanap ang derivative ng function na y = f(x)?
1. Ayusin ang halaga ng \(x\), hanapin ang \(f(x)\)
2. Bigyan ang argumento \(x\) ng pagtaas \(\Delta x\), pumunta sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin ang \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang increment ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Lumikha ng kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa point x.
Kung ang isang function na y = f(x) ay may derivative sa isang point x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa isang point x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y = f(x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).
Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang pagpapatuloy at pagkakaiba-iba ng isang function sa isang punto sa isa't isa?
Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa point M(x; f(x)), at, alalahanin, ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang ganitong graph ay hindi maaaring "masira" sa puntong M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuluy-tuloy sa punto x.
Ang mga ito ay "hands-on" na mga argumento. Magbigay tayo ng mas mahigpit na pangangatwiran. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, kung gayon ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ay hawak. Kung sa pagkakapantay-pantay na ito \(\Delta x Ang \) ay may posibilidad na zero, pagkatapos ay ang \(\Delta y \) ay magiging zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.
Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon.
Ang baligtad na pahayag ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, partikular sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “junction point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto ang isang tangent ay hindi maaaring iguhit sa graph ng isang function, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral sa puntong iyon.
Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x)\) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 . Ngunit sa puntong ito ang padaplis ay tumutugma sa y-axis, ibig sabihin, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo na x = 0. Ang nasabing tuwid na linya ay walang isang angle coefficient, na nangangahulugang \(f "(0)\) ay wala.
Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - pagkakaiba-iba. Paano mahihinuha mula sa graph ng isang function na ito ay naiba?
Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto ay posible na gumuhit ng isang tangent sa graph ng isang function na hindi patayo sa abscissa axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng isang function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa abscissa axis, kung gayon sa puntong ito ang function ay hindi naiiba.
Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag isinasagawa ang operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho kasama ang mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin ang "mga function ng mga function," iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong kumuha ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga naiba-iba na function, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
