Kapag nagpapasya iba't ibang gawain pisika, kimika, matematika at iba pa eksaktong agham madalas ginagamit mga modelo ng matematika sa anyo ng mga equation na nauugnay sa isa o higit pang mga independiyenteng variable, isang hindi kilalang function ng mga variable na ito, at derivatives (o differentials) ng function na ito. Ang ganitong uri ang mga equation ay tinatawag na differential.
Kung mayroon lamang isang malayang variable, kung gayon ang equation ay tinatawag na ordinaryo; kung mayroong dalawa o higit pang mga independiyenteng variable, kung gayon ang equation ay tinatawag partial differential equation. Upang makakuha ng mataas na kwalipikadong mga espesyalista sa lahat ng unibersidad kung saan pinag-aaralan ang mga eksaktong disiplina, kinakailangan ang isang kurso sa differential equation. Para sa ilang mga mag-aaral, ang teorya ay mahirap, ang pagsasanay ay isang pakikibaka, para sa iba, ang parehong teorya at pagsasanay ay mahirap. Kung susuriin mo ang mga differential equation mula sa isang praktikal na pananaw, pagkatapos ay upang kalkulahin ang mga ito kailangan mo lamang na maging mahusay sa pagsasama at pagkuha ng mga derivatives. Ang lahat ng iba pang mga pagbabago ay bumaba sa ilang mga pamamaraan na maaaring maunawaan at mapag-aralan. Sa ibaba ay pag-aaralan natin ang mga pangunahing kahulugan at pamamaraan para sa paglutas ng simpleng DR.

Teorya ng differential equation

Kahulugan: Ordinaryong differential equation ay isang equation na nag-uugnay sa independent variable x, ang function na y(x), derivatives nito y"(x), y n (x) at may pangkalahatang anyoF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Differential equation(DR) ay tinatawag na alinman sa isang ordinaryong differential equation o isang partial differential equation. Pagkakasunud-sunod ng differential equation ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative (n), na kasama sa differential equation na ito.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation ay isang function na naglalaman ng kasing dami ng mga constant gaya ng pagkakasunud-sunod ng differential equation, at ang pagpapalit nito sa isang ibinigay na differential equation ay ginagawa itong isang pagkakakilanlan, iyon ay, mayroon itong anyong y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Ang isang pangkalahatang solusyon na hindi nalutas na may kinalaman sa y(x) at may anyong F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 ay tinatawag pangkalahatang integral ng isang differential equation.
Ang solusyon na natagpuan mula sa pangkalahatan para sa mga nakapirming halaga ng mga constants C 1 , C 2 , …, C n ay tinatawag pribadong solusyon ng isang differential equation.
Ang sabay-sabay na detalye ng isang differential equation at ang katumbas na bilang ng mga paunang kondisyon ay tinatawag Cauchy na problema.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Ordinaryong differential equation ng unang order tinatawag na equation ng form
F(x, y, y")=0. (1)
Integral ng equation Ang (1) ay tinatawag na kaugnayan ng anyong Ф (x,y)=0 kung ang bawat tuluy-tuloy na pagkakaiba-iba ng function na tahasang tinukoy nito ay isang solusyon sa equation (1).
Isang equation na may anyo (1) at hindi maaaring bawasan sa simpleng view tinatawag na equation undecidable na may kinalaman sa derivative. Kung ito ay maisusulat sa anyo
y" = f(x,y), pagkatapos ito ay tinatawag nalutas ang equation para sa derivative.
Cauchy na problema para sa isang first order equation naglalaman lamang ng isang paunang kondisyon at may anyo:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Mga equation ng form
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
kung saan ang mga variable na x i y ay "symmetric": maaari nating ipagpalagay na ang x ay isang independent variable at y ay isang dependent variable, o vice versa, y ay isang independent variable at x ay isang dependent variable, na tinatawag na equation sa simetriko na anyo.
Geometric na kahulugan ng isang first order differential equation
y"=f(x,y) (3)
ay ang mga sumusunod.
Ang equation na ito ay nagtatatag ng koneksyon (dependence) sa pagitan ng mga coordinate ng point (x;y) at ang angular coefficient y" ng tangent sa integral curve na dumadaan sa puntong ito. Kaya, ang equation na y"= f(x,y) ay isang set direksyon (patlang ng mga direksyon) sa eroplano ng Cartesian Oxy.
Ang isang kurba na ginawa sa mga punto kung saan ang direksyon ng patlang ay pareho ay tinatawag na isocline. Maaaring gamitin ang mga isoclin upang tantiyahin ang pagbuo ng mga integral na kurba. Ang isocline equation ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglalagay ng derivative na katumbas ng pare-parehong y"=C
f(x, y)=C - isocline equation..
Integral na linya ng equation(3) ay tinatawag na graph ng solusyon sa equation na ito.
Ang mga ordinaryong differential equation na ang mga solusyon ay maaaring tukuyin nang analytical y=g(x) ay tinatawag integrable equation.
Mga equation ng form
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
ay tinatawag mga equation na may hiwalay na interchangeables.
Mula sa kanila sisimulan natin ang ating kakilala sa mga differential equation. Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa DR ay tinatawag pagsasama ng isang differential equation.

Pinaghiwalay na Variable Equation

Halimbawa 1. Hanapin ang solusyon sa equation y"=x .
Suriin ang solusyon.
Solusyon: Isulat ang equation sa differentials
dy/dx=x o dy=x*dx.
Hanapin natin ang integral ng kanan at kaliwang bahagi ng equation
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
Ito ang integral ng DR.
Suriin natin ang kawastuhan nito at kalkulahin ang derivative ng function
y"=1/2*2x+0=x.
Tulad ng nakikita mo, natanggap namin ang orihinal na DR, kaya tama ang mga kalkulasyon.
Nakakita lang kami ng solusyon sa isang first order differential equation. Ito ay eksaktong mas simpleng equation, na maaaring isipin.

Halimbawa 2. Hanapin ang pangkalahatang integral ng isang differential equation
(x+1)y"=y+3
Solusyon: Isulat natin ang orihinal na equation sa differentials
(x+1)dy=(y+3)dx.
Ang resultang equation ay nabawasan sa DR na may mga pinaghiwalay na variable

Ang natitira na lang ay kunin ang integral ng magkabilang panig

Gamit ang tabular na mga formula na nakikita namin
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Kung ilantad namin ang parehong bahagi, nakukuha namin
y+3=e ln|x+1|+C o y=e ​​ln|x+1|+C -3.
Tama ang notasyong ito, ngunit hindi compact.
Sa pagsasagawa, ang ibang pamamaraan ay ginagamit kapag kinakalkula ang integral, ang pare-pareho ay ipinasok sa ilalim ng logarithm
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Ayon sa mga katangian ng logarithm, pinapayagan ka nitong i-collapse ang huling dalawang termino
ln|y+3|=ln(C|x+1|).
Ngayon kapag expose paglutas ng differential equation magiging compact at madaling basahin
y=С|x+1|+3
Tandaan ang panuntunang ito; sa pagsasagawa ito ay ginagamit bilang pamantayan sa pagkalkula.

Halimbawa 3. Lutasin ang differential equation
y"=-y*sin(x).
Solusyon: Isulat natin ito equation sa differentials
dy/dx= y*sin(x)
o pagkatapos ayusin muli ang mga salik sa anyo pinaghiwalay na equation
dy/ y=-sin(x)dx.
Ito ay nananatiling upang isama ang equation
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Maginhawang ipasok ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm, at kahit na may negatibong halaga, upang mailipat ito sa kaliwang bahagi makuha
ln|С*y|=cos(x).
Inilalantad ang magkabilang panig ng pagtitiwala
С*y=exp(cos(x)).
Ito ay kung ano ito ay maaari mong iwanan ito bilang ay, o maaari mong permanenteng ilipat ito sa kanang bahagi

Ang mga kalkulasyon ay hindi kumplikado;

Halimbawa 4. Lutasin ang problemang Cauchy
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Solusyon: Hindi na magaganap dito ang mga paunang pagbabago. Gayunpaman, ang equation ay linear at medyo simple. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong ipakilala ang isang bagong variable
z=y+x.
Pag-alala na y=y(x) hanapin natin ang derivative ng z.
z"= y"+1,
mula sa kung saan ipinapahayag namin ang lumang derivative
y"= z"-1.
Ipalit natin ang lahat ng ito sa orihinal na equation
z"-1=z o z"=z+1.
Isulat natin ito differential equation sa pamamagitan ng differentials
dz=(z+1)dx.
Paghihiwalay ng mga variable sa equation

Ang natitira na lang ay upang kalkulahin ang mga simpleng integral na maaaring gawin ng sinuman

Inilalantad namin ang pagtitiwala upang maalis ang logarithm ng function
z+1=e x+C o z=e x+1 -1
Huwag kalimutang bumalik sa natapos na kapalit.
z=x+y= e x+С -1,
isulat ito mula rito karaniwang desisyon differential equation
y= e x+C -x-1.
Maghanap ng solusyon sa problemang Cauchy sa DR in sa kasong ito hindi mahirap. Isinulat namin ang kondisyon ng Cauchy
y(1)=e 3 -2
at palitan sa solusyon na nakita namin
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
Mula dito nakuha namin ang kondisyon para sa pagkalkula ng pare-pareho
1+C=3; C=3-1=2.
Ngayon ay maaari na tayong magsulat solusyon ng problemang Cauchy (bahagyang solusyon ng DR)
y= e x+2 -x-1.
Kung alam mo kung paano mag-integrate nang maayos, at mahusay ka rin sa mga derivatives, kung gayon ang paksa ng mga differential equation ay hindi magiging hadlang sa iyong pag-aaral.
Sa karagdagang pag-aaral, kakailanganin mong pag-aralan ang ilang mahahalagang diagram upang makilala mo ang pagitan ng mga equation at malaman kung aling pagpapalit o pamamaraan ang gumagana sa bawat kaso.
Pagkatapos nito, homogenous at inhomogeneous DR, ang mga differential equation ng una at mas mataas na mga order ay naghihintay sa iyo. Upang hindi ka mabigatan ng teorya, sa mga sumusunod na aralin ay ibibigay lamang namin ang uri ng mga equation at isang maikling pamamaraan para sa kanilang mga kalkulasyon. Mababasa mo ang buong teorya mula sa mga rekomendasyong metodolohikal mag-aral ng kurso" Differential equation" (2014) mga may-akda Bokalo Nikolay Mikhailovich, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Maaari kang gumamit ng iba pang mga mapagkukunan na naglalaman ng mga paliwanag ng teorya ng mga differential equation na naiintindihan mo. Handa nang mga halimbawa para sa kaugalian. mga equation na kinuha mula sa programa para sa mga mathematician ng LNU. I. Frank.
Alam namin kung paano lutasin ang mga differential equation at susubukan naming gawin madaling paraan itanim sa iyo ang kaalamang ito.

Differential equation (DE) - ito ang equation,
kung saan ang mga independiyenteng variable, y ang function at ang mga partial derivatives.

Ordinaryong differential equation ay isang differential equation na mayroon lamang isang independent variable, .

Partial differential equation ay isang differential equation na mayroong dalawa o higit pang independent variable.

Ang mga salitang "ordinaryo" at "mga partial derivatives" ay maaaring tanggalin kung malinaw kung aling equation ang isinasaalang-alang. Sa mga sumusunod, ang mga ordinaryong differential equation ay isinasaalang-alang.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative.

Narito ang isang halimbawa ng isang first order equation:

Narito ang isang halimbawa ng isang fourth order equation:

Minsan ang isang first order differential equation ay isinusulat sa mga tuntunin ng differentials:

Sa kasong ito, ang mga variable na x at y ay pantay. Ibig sabihin, ang malayang variable ay maaaring maging x o y. Sa unang kaso, ang y ay isang function ng x. Sa pangalawang kaso, ang x ay isang function ng y. Kung kinakailangan, maaari nating bawasan ang equation na ito sa isang form na tahasang kasama ang derivative y′.
Ang paghahati ng equation na ito sa dx ay nakukuha natin:
.
Since and , kasunod niyan
.

Paglutas ng mga differential equation

Derivatives mula sa mga pag-andar ng elementarya ay ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya function. Ang mga integral ng elementary function ay madalas na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementary function. Sa mga differential equation ay mas malala pa ang sitwasyon. Bilang resulta ng solusyon maaari kang makakuha ng:

• tahasang pagdepende ng isang function sa isang variable;

  Paglutas ng differential equation ay ang function na y = u (x), na kung saan ay tinukoy, n beses differentiable, at .

• implicit dependence sa anyo ng isang equation ng uri Φ (x, y) = 0 o mga sistema ng mga equation;

  Integral ng isang differential equation ay isang solusyon sa isang differential equation na may implicit na anyo.

• dependence na ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya function at integral mula sa kanila;

  Paglutas ng differential equation sa mga quadrature - ito ay paghahanap ng isang solusyon sa anyo ng isang kumbinasyon ng mga elementarya function at integrals ng mga ito.

• ang solusyon ay maaaring hindi maipahayag sa pamamagitan ng elementarya na pag-andar.

Dahil ang paglutas ng mga differential equation ay bumaba sa pagkalkula ng mga integral, kasama sa solusyon ang isang set ng mga constant C 1, C 2, C 3, ... C n. Ang bilang ng mga constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Bahagyang integral ng isang differential equation ay ang pangkalahatang integral para sa mga ibinigay na halaga ng mga constants C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Ordinaryong differential equation ay isang equation na nag-uugnay ng isang independent variable, isang hindi kilalang function ng variable na ito at ang mga derivatives nito (o mga differential) ng iba't ibang order.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay tinatawag na pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na nakapaloob dito.

Bilang karagdagan sa mga ordinaryong, ang mga partial differential equation ay pinag-aralan din. Ito ay mga equation na nauugnay sa mga independyenteng variable, isang hindi kilalang function ng mga variable na ito at ang mga partial derivatives nito na may kinalaman sa parehong mga variable. Ngunit isasaalang-alang lamang namin ordinaryong differential equation at samakatuwid, para sa kapakanan ng kaiklian, aalisin natin ang salitang "karaniwan".

Mga halimbawa ng differential equation:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ang equation (1) ay pang-apat na pagkakasunud-sunod, ang equation (2) ay ikatlong pagkakasunud-sunod, ang mga equation (3) at (4) ay pangalawang pagkakasunud-sunod, ang equation (5) ay ang unang pagkakasunud-sunod.

Differential equation n Ang pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangang maglaman ng isang tahasang function, ang lahat ng mga derivatives nito mula sa una hanggang n-ika-order at malayang baryabol. Maaaring hindi ito tahasang naglalaman ng mga derivative ng ilang partikular na order, function, o independent variable.

Halimbawa, sa equation (1) ay malinaw na walang pangatlo at pangalawang-order na derivatives, pati na rin ang isang function; sa equation (2) - ang second-order derivative at ang function; sa equation (4) - ang independent variable; sa equation (5) - mga function. Tanging ang equation (3) ay malinaw na naglalaman ng lahat ng derivatives, ang function at ang independent variable.

Paglutas ng differential equation bawat function ay tinatawag y = f(x), kapag pinalitan sa equation ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa isang differential equation ay tinatawag na nito pagsasama.

Halimbawa 1. Hanapin ang solusyon sa differential equation.

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa form . Ang solusyon ay upang mahanap ang function mula sa hinango nito. Ang orihinal na function, gaya ng nalalaman mula sa integral calculus, ay isang antiderivative para sa, i.e.

Iyon na iyon solusyon sa differential equation na ito . Nagbabago sa loob nito C, makakakuha tayo ng iba't ibang solusyon. Nalaman namin na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang first order differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation n Ang ika-utos ay ang solusyon nito, na tahasang ipinahayag na may paggalang sa hindi kilalang function at naglalaman n independiyenteng mga arbitrary na pare-pareho, ibig sabihin.

Ang solusyon sa differential equation sa Halimbawa 1 ay pangkalahatan.

Bahagyang solusyon ng isang differential equation ang isang solusyon kung saan ang mga di-makatwirang constant ay binibigyan ng mga tiyak na halaga ng numero ay tinatawag.

Halimbawa 2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation at isang partikular na solusyon para sa .

Solusyon. Isama natin ang magkabilang panig ng equation ng ilang beses na katumbas ng pagkakasunud-sunod ng differential equation.

,

.

Bilang resulta, nakatanggap kami ng pangkalahatang solusyon -

ng isang ibinigay na third order differential equation.

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon. Upang gawin ito, palitan ang kanilang mga halaga sa halip na mga di-makatwirang coefficient at makuha

.

Kung, bilang karagdagan sa differential equation, ang paunang kondisyon ay ibinibigay sa form , kung gayon ang ganitong problema ay tinatawag na Cauchy na problema . Palitan ang mga halaga at sa pangkalahatang solusyon ng equation at hanapin ang halaga ng isang arbitrary na pare-pareho C, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon ng equation para sa nahanap na halaga C. Ito ang solusyon sa problemang Cauchy.

Halimbawa 3. Lutasin ang problemang Cauchy para sa differential equation mula sa Halimbawa 1 na paksa sa .

Solusyon. Palitan natin ang mga halaga mula sa paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon y = 3, x= 1. Nakukuha namin

Isinulat namin ang solusyon sa problemang Cauchy para sa first-order differential equation na ito:

Ang paglutas ng mga differential equation, kahit na ang pinakasimpleng mga equation, ay nangangailangan ng mahusay na integration at derivative na kasanayan, kabilang ang mga kumplikadong function. Ito ay makikita sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 4. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation.

Solusyon. Ang equation ay nakasulat sa isang form na maaari mong agad na isama ang magkabilang panig.

.

Inilapat namin ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagbabago ng variable (pagpapalit). Hayaan mo na.

Kinakailangang kunin dx at ngayon - pansin - ginagawa namin ito ayon sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, dahil x at mayroong kumplikadong pag-andar("mansanas" - pagkuha parisukat na ugat o, ano ang parehong bagay - pagtaas sa kapangyarihan "isang-kalahati", at "minced meat" ay ang mismong expression sa ilalim ng ugat):

Natagpuan namin ang integral:

Pagbabalik sa variable x, nakukuha namin ang:

.

Ito ang pangkalahatang solusyon sa first degree differential equation na ito.

Hindi lamang mga kasanayan mula sa mga nakaraang seksyon ng mas mataas na matematika ang kakailanganin sa paglutas ng mga differential equation, kundi pati na rin ang mga kasanayan mula sa elementarya, iyon ay, matematika ng paaralan. Tulad ng nabanggit na, sa isang differential equation ng anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang isang malayang variable, iyon ay, isang variable x. Ang kaalaman tungkol sa mga proporsyon mula sa paaralan na hindi nakalimutan (gayunpaman, depende sa kung sino) mula sa paaralan ay makakatulong sa paglutas ng problemang ito. Ito ang susunod na halimbawa.

First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon.
Differential equation na may mga separable variable

Differential equation (DE). Ang dalawang salitang ito ay karaniwang nakakatakot sa karaniwang tao. Ang mga differential equation ay tila isang bagay na nagbabawal at mahirap i-master para sa maraming mga mag-aaral. Uuuuuu... differential equation, paano ako makakaligtas sa lahat ng ito?!

Ang opinyon at saloobing ito ay sa panimula ay mali, dahil sa katunayan DIFFERENTIAL EQUATIONS - SIMPLE ITO AT MASAYA PA. Ano ang kailangan mong malaman at magagawa upang matutunan kung paano lutasin ang mga differential equation? Upang matagumpay na pag-aralan ang mga diffuse, dapat kang maging mahusay sa pagsasama at pagkakaiba. Mas mahusay na pinag-aaralan ang mga paksa Derivative ng isang function ng isang variable At Indefinite integral, mas magiging madaling maunawaan ang mga differential equation. Sasabihin ko pa, kung mayroon kang higit pa o hindi gaanong disenteng mga kasanayan sa pagsasama, kung gayon ang paksa ay halos pinagkadalubhasaan! Ang higit pang mga integral iba't ibang uri alam mo kung paano magpasya - mas mabuti. Bakit? Marami kang kailangang isama. At magkaiba. Gayundin lubos na inirerekomenda matuto kang maghanap.

Sa 95% ng mga kaso sa mga pagsubok Mayroong 3 uri ng first order differential equation: mapaghihiwalay na equation na ating titingnan sa araling ito; homogenous equation At linear inhomogeneous equation. Para sa mga nagsisimulang mag-aral ng mga diffuser, ipinapayo ko sa iyo na basahin ang mga aralin sa eksaktong pagkakasunud-sunod na ito, at pagkatapos pag-aralan ang unang dalawang artikulo, hindi masasaktan na pagsamahin ang iyong mga kasanayan sa isang karagdagang workshop - ang mga equation ay bumababa sa homogenous.

Mayroong mas bihirang uri ng mga differential equation: kabuuang differential equation, Bernoulli equation at ilang iba pa. Ang pinakamahalaga sa huling dalawang uri ay ang mga equation sa kabuuang differentials, dahil bilang karagdagan sa differential equation na ito ay isinasaalang-alang ko bagong materyal – bahagyang pagsasama.

Kung isa o dalawang araw na lang ang natitira, Iyon para sa napakabilis na paghahanda meron kursong blitz sa pdf format.

Kaya, nakatakda na ang mga palatandaan - tayo:

Una, tandaan natin ang mga karaniwang algebraic equation. Naglalaman ang mga ito ng mga variable at numero. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang ordinaryong equation? Nangangahulugan ito ng paghahanap set ng mga numero, na nakakatugon sa equation na ito. Madaling mapansin na ang equation ng mga bata ay may iisang ugat: . Para lamang sa kasiyahan, suriin at palitan natin ang natagpuang ugat sa ating equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang mga diffuser ay dinisenyo sa halos parehong paraan!

Differential equation unang order V pangkalahatang kaso naglalaman ng:
1) malayang variable;
2) dependent variable (function);
3) ang unang derivative ng function: .

Sa ilang 1st order equation maaaring walang "x" at/o "y", ngunit hindi ito makabuluhan - mahalaga para pumunta sa control room ay unang hinalaw, at ay walang derivatives ng mas mataas na mga order – , atbp.

Anong ibig sabihin? Ang paglutas ng differential equation ay nangangahulugan ng paghahanap set ng lahat ng function, na nakakatugon sa equation na ito. Ang ganitong hanay ng mga function ay madalas na may anyo (– isang arbitrary na pare-pareho), na tinatawag pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang differential equation

Buong bala. Kung saan magsisimula solusyon?

Una sa lahat, kailangan mong muling isulat ang derivative sa isang bahagyang naiibang anyo. Naaalala namin ang masalimuot na pagtatalaga, na marahil ay katawa-tawa at hindi kailangan ng marami sa inyo. Ito ang panuntunan sa mga diffuser!

Sa pangalawang hakbang, tingnan natin kung posible magkahiwalay na variable? Ano ang ibig sabihin ng paghiwalayin ang mga variable? Sa madaling salita, sa kaliwang bahagi kailangan na nating umalis tanging "mga Griyego", A sa kanang bahagi ayusin "X's" lang. Ang paghahati ng mga variable ay isinasagawa gamit ang mga manipulasyon ng "paaralan": pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, paglilipat ng mga kadahilanan mula sa bahagi patungo sa bahagi ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp.

Mga pagkakaiba at ganap na multiplier at aktibong kalahok sa labanan. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ang mga variable ay madaling paghiwalayin sa pamamagitan ng paghagis ng mga kadahilanan ayon sa tuntunin ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghihiwalay. Sa kaliwang bahagi ay mayroon lamang "Y's", sa kanang bahagi - tanging "X's".

Susunod na yugto - pagsasama ng differential equation. Simple lang, naglalagay kami ng mga integral sa magkabilang panig:

Siyempre, kailangan nating kumuha ng mga integral. Sa kasong ito ang mga ito ay tabular:

Tulad ng naaalala natin, ang isang pare-pareho ay itinalaga sa anumang antiderivative. Mayroong dalawang integral dito, ngunit sapat na upang isulat ang pare-pareho nang isang beses (dahil ang constant + constant ay katumbas pa rin ng isa pang constant). Sa karamihan ng mga kaso ito ay inilalagay sa kanang bahagi.

Sa mahigpit na pagsasalita, pagkatapos kunin ang mga integral, ang differential equation ay itinuturing na nalutas. Ang tanging bagay ay ang aming "y" ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng "x", iyon ay, ang solusyon ay ipinakita sa isang implicit anyo. Ang solusyon sa isang differential equation sa implicit form ay tinatawag pangkalahatang integral ng differential equation. Iyon ay, ito ay isang pangkalahatang integral.

Ang sagot sa form na ito ay lubos na katanggap-tanggap, ngunit mayroon bang mas mahusay na pagpipilian? Subukan nating makuha karaniwang desisyon.

pakiusap, tandaan ang unang pamamaraan, ito ay karaniwan at kadalasang ginagamit sa mga praktikal na gawain: kung ang isang logarithm ay lilitaw sa kanang bahagi pagkatapos ng pagsasama, kung gayon sa maraming mga kaso (ngunit hindi palaging!) Maipapayo rin na isulat ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm.

Yan ay, SA halip na karaniwang isinusulat ang mga entry .

Bakit kailangan ito? At para mas madaling ipahayag ang "laro". Gamit ang ari-arian ng logarithms . Sa kasong ito:

Ngayon ang mga logarithm at module ay maaaring alisin:

Ang function ay tahasang ipinakita. Ito ang pangkalahatang solusyon.

Sagot: karaniwang desisyon: .

Ang mga sagot sa maraming differential equation ay medyo madaling suriin. Sa aming kaso, ito ay ginagawa nang simple, kinukuha namin ang solusyon na natagpuan at iniiba ito:

Pagkatapos ay pinapalitan namin ang derivative sa orihinal na equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang solusyon ay nakakatugon sa equation, na kung ano ang kailangang suriin.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng patuloy na magkakaibang mga halaga, maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng pribadong solusyon differential equation. Malinaw na ang alinman sa mga function , , atbp. natutugunan ang differential equation.

Minsan ang pangkalahatang solusyon ay tinatawag pamilya ng mga tungkulin. Sa halimbawang ito, ang pangkalahatang solusyon - ito ay isang pamilya mga linear na function, o sa halip, isang pamilya na may direktang proporsyonalidad.

Pagkatapos ng masusing pagsusuri sa unang halimbawa, angkop na sagutin ang ilang mga walang muwang na tanong tungkol sa mga differential equation:

1)Sa halimbawang ito, nagawa naming paghiwalayin ang mga variable. Magagawa ba ito palagi? Hindi hindi palagi. At mas madalas, ang mga variable ay hindi maaaring paghiwalayin. Halimbawa, sa homogenous na first order equation, kailangan mo muna itong palitan. Sa ibang mga uri ng equation, halimbawa, sa isang first order linear inhomogeneous equation, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga pamamaraan at mga pamamaraan para sa paghahanap ng pangkalahatang solusyon. Mga equation na may mga separable variable, na isinasaalang-alang natin sa unang aralin - pinakasimpleng uri differential equation.

2) Palagi bang posible na isama ang isang differential equation? Hindi hindi palagi. Napakadaling makabuo ng isang "magarbong" equation na hindi maaaring isama bilang karagdagan, may mga integral na hindi maaaring kunin. Ngunit ang mga katulad na DE ay maaaring malutas nang humigit-kumulang gamit mga espesyal na pamamaraan. Ginagarantiyahan ni D’Alembert at Cauchy... ...ugh, lurkmore.para magbasa ng marami ngayon, muntik ko nang idagdag ang "mula sa kabilang mundo."

3) Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang solusyon sa anyo ng isang pangkalahatang integral . Palagi bang posible na makahanap ng isang pangkalahatang solusyon mula sa isang pangkalahatang integral, iyon ay, upang ipahayag ang "y" nang tahasan? Hindi hindi palagi. Halimbawa: . Well, paano mo maipapahayag ang "Greek" dito?! Sa ganitong mga kaso, ang sagot ay dapat na nakasulat bilang isang pangkalahatang integral. Bilang karagdagan, kung minsan posible na makahanap ng isang pangkalahatang solusyon, ngunit ito ay nakasulat na napakahirap at clumsily na mas mahusay na iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral.

4) ...marahil sapat na iyon sa ngayon. Sa unang halimbawa na aming nakatagpo Isa pa mahalagang punto , ngunit upang hindi masakop ang mga "dummies" na may avalanche bagong impormasyon, iiwan ko ito hanggang sa susunod na aralin.

Hindi kami magmamadali. Isa pang simpleng remote control at isa pang tipikal na solusyon:

Halimbawa 2

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon

Solusyon: ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin pribadong solusyon DE na nakakatugon sa isang ibinigay na paunang kondisyon. Ang pormulasyon na ito ng tanong ay tinatawag din Cauchy na problema.

Una naming mahanap ang isang pangkalahatang solusyon. Walang variable na "x" sa equation, ngunit hindi ito dapat malito, ang pangunahing bagay ay mayroon itong unang derivative.

Muli naming isinusulat ang derivative sa kinakailangang form:

Malinaw, ang mga variable ay maaaring paghiwalayin, mga lalaki sa kaliwa, mga babae sa kanan:

Isama natin ang equation:

Nakuha ang pangkalahatang integral. Narito ako ay gumuhit ng isang pare-pareho na may asterisk, ang katotohanan ay sa lalong madaling panahon ito ay magiging isa pang pare-pareho.

Ngayon ay sinusubukan naming baguhin ang pangkalahatang integral sa isang pangkalahatang solusyon (ipahayag ang "y" nang tahasan). Alalahanin natin ang magagandang bagay mula sa paaralan: . Sa kasong ito:

Ang pare-pareho sa tagapagpahiwatig ay mukhang hindi tama, kaya karaniwan itong ibinababa sa lupa. Sa detalye, ganito ang nangyayari. Gamit ang pag-aari ng mga degree, muling isinulat namin ang function tulad ng sumusunod:

Kung ito ay isang pare-pareho, kung gayon ay isang pare-pareho din, baguhin natin ito sa pamamagitan ng titik :

Tandaan ang "pagwawasak" ay isang pare-pareho pangalawang teknik, na kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga differential equation.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ay: . Ito ay isang magandang pamilya ng mga exponential function.

Sa huling yugto, kailangan mong makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa ibinigay na paunang kondisyon. Ito ay simple din.

Ano ang gawain? Kailangang kunin ganyan ang halaga ng pare-pareho upang ang kondisyon ay nasiyahan.

Maaari itong i-format sa iba't ibang paraan, ngunit ito ay marahil ang pinakamalinaw na paraan. Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang isang zero, at sa halip na "Y" ay pinapalitan namin ang dalawa:



Yan ay,

Standard na bersyon ng disenyo:

Ngayon pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon:
– ito ang partikular na solusyon na kailangan natin.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin natin. Ang pagsuri sa isang pribadong solusyon ay may kasamang dalawang yugto:

Una kailangan mong suriin kung ang partikular na solusyon na natagpuan ay talagang nakakatugon sa paunang kondisyon? Sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang zero at tingnan kung ano ang mangyayari:
– oo, nakakuha ka talaga ng dalawa, ibig sabihin ang paunang kondisyon ay natutugunan.

Ang ikalawang yugto ay pamilyar na. Kinukuha namin ang resultang partikular na solusyon at hanapin ang derivative:

Pinapalitan namin ang orihinal na equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Konklusyon: ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Lumipat tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 3

Lutasin ang differential equation

Solusyon: Isinulat namin muli ang derivative sa form na kailangan namin:

Sinusuri namin kung posible bang paghiwalayin ang mga variable? Pwede. Inilipat namin ang pangalawang termino sa kanang bahagi na may pagbabago ng tanda:

At inililipat namin ang mga multiplier ayon sa panuntunan ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghiwalay, isama natin ang parehong bahagi:

Dapat kong balaan ka, nalalapit na ang araw ng paghuhukom. Kung hindi ka nag-aral ng mabuti hindi tiyak na integral, ay nalutas ang ilang mga halimbawa, pagkatapos ay wala nang mapupuntahan - kailangan mong makabisado ang mga ito ngayon.

Ang integral ng kaliwang bahagi ay madaling mahanap; nakikitungo tayo sa integral ng cotangent gamit ang karaniwang pamamaraan na tiningnan natin sa aralin Pagsasama ng mga function ng trigonometriko noong nakaraang taon:

Sa kanang bahagi mayroon kaming logarithm, at, ayon sa aking unang teknikal na rekomendasyon, ang pare-pareho ay dapat ding isulat sa ilalim ng logarithm.

Ngayon sinusubukan naming gawing simple ang pangkalahatang integral. Dahil mayroon lamang kaming mga logarithms, posible (at kinakailangan) na alisin ang mga ito. Sa pamamagitan ng paggamit mga kilalang katangian"I-pack" namin ang logarithms hangga't maaari. Isusulat ko ito nang detalyado:

Ang packaging ay tapos na sa barbarically tattered:

Posible bang ipahayag ang "laro"? Pwede. Ito ay kinakailangan upang parisukat ang parehong bahagi.

Ngunit hindi mo kailangang gawin ito.

Pangatlong teknikal na tip: kung upang makakuha ng isang pangkalahatang solusyon ito ay kinakailangan upang itaas sa isang kapangyarihan o kumuha ng mga ugat, pagkatapos Sa karamihan ng mga kaso dapat mong iwasan ang mga pagkilos na ito at iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Ang katotohanan ay ang pangkalahatang solusyon ay magiging kakila-kilabot lamang - na may malalaking ugat, palatandaan at iba pang basura.

Samakatuwid, isinusulat namin ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Itinuturing na magandang kasanayan na ipakita ito sa anyo , iyon ay, sa kanang bahagi, kung maaari, mag-iwan lamang ng isang pare-pareho. Hindi kinakailangan na gawin ito, ngunit palaging kapaki-pakinabang na pasayahin ang propesor ;-)

Sagot: pangkalahatang integral:

! Tandaan: Ang pangkalahatang integral ng anumang equation ay maaaring isulat sa higit sa isang paraan. Kaya, kung ang iyong resulta ay hindi tumutugma sa naunang alam na sagot, hindi ito nangangahulugan na nalutas mo nang mali ang equation.

Ang pangkalahatang integral ay medyo madaling suriin, ang pangunahing bagay ay upang mahanap derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Ibahin natin ang sagot:

I-multiply namin ang parehong termino sa pamamagitan ng:

At hatiin sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay eksaktong nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 4

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon. Magsagawa ng check.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon.

Ipaalala ko sa iyo na ang algorithm ay binubuo ng dalawang yugto:
1) paghahanap ng pangkalahatang solusyon;
2) paghahanap ng kinakailangang partikular na solusyon.

Isinasagawa din ang pagsusuri sa dalawang hakbang (tingnan ang sample sa Halimbawa Blg. 2), kailangan mong:
1) siguraduhin na ang partikular na solusyon na natagpuan ay nakakatugon sa paunang kondisyon;
2) suriin na ang isang partikular na solusyon sa pangkalahatan ay nakakatugon sa kaugalian equation.

Kumpletong solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 5

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa isang differential equation , nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon. Magsagawa ng check.

Solusyon: Una, maghanap tayo ng isang pangkalahatang solusyon Ang equation na ito ay naglalaman na ng mga yari na kaugalian at, na nangangahulugan na ang solusyon ay pinasimple. Pinaghiwalay namin ang mga variable:

Isama natin ang equation:

Ang integral sa kaliwa ay tabular, ang integral sa kanan ay kinuha paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng differential sign:

Nakuha ang pangkalahatang integral; posible bang matagumpay na ipahayag ang pangkalahatang solusyon? Pwede. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig. Dahil ang mga ito ay positibo, ang mga palatandaan ng modulus ay hindi kailangan:

(Sana maintindihan ng lahat ang pagbabago, dapat alam na ang mga ganyan)

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ay:

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon.
Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang zero, at sa halip na "Y" pinapalitan namin ang logarithm ng dalawa:

Mas pamilyar na disenyo:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin: Una, suriin natin kung natugunan ang paunang kundisyon:
- lahat ay mabuti.

Ngayon suriin natin kung ang nahanap na partikular na solusyon ay nakakatugon sa pagkakaiba-iba ng equation. Paghahanap ng derivative:

Tingnan natin ang orihinal na equation: - ito ay ipinakita sa mga pagkakaiba-iba. Mayroong dalawang paraan upang suriin. Posibleng ipahayag ang pagkakaiba mula sa nahanap na derivative:

Ipalit natin ang nahanap na partikular na solusyon at ang resultang kaugalian sa orihinal na equation :

Ginagamit namin ang pangunahing logarithmic identity:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang pangalawang paraan ng pagsuri ay naka-mirror at mas pamilyar: mula sa equation Ipahayag natin ang derivative, upang gawin ito, hatiin natin ang lahat ng mga piraso sa pamamagitan ng:

At sa nabagong DE ay pinapalitan natin ang nakuhang partial solution at ang nahanap na derivative. Bilang resulta ng mga pagpapasimple, dapat ding makuha ang tamang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 6

Lutasin ang differential equation. Ilahad ang sagot sa anyong pangkalahatang integral.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, kumpletong solusyon at sagutin sa pagtatapos ng aralin.

Anong mga paghihirap ang naghihintay sa paglutas ng mga differential equation na may mga separable variable?

1) Hindi palaging halata (lalo na sa isang "teapot") na ang mga variable ay maaaring paghiwalayin. Isaalang-alang natin kondisyonal na halimbawa: . Dito kailangan mong alisin ang mga kadahilanan sa mga bracket: at paghiwalayin ang mga ugat: . Malinaw kung ano ang susunod na gagawin.

2) Mga kahirapan sa pagsasama mismo. Ang mga integral ay madalas na hindi ang pinakasimpleng, at kung may mga bahid sa mga kasanayan sa paghahanap hindi tiyak na integral, pagkatapos ay magiging mahirap sa maraming mga diffuser. Bilang karagdagan, ang lohika na "dahil ang differential equation ay simple, pagkatapos ay hayaan ang mga integral na maging mas kumplikado" ay popular sa mga compiler ng mga koleksyon at mga manwal ng pagsasanay.

3) Mga pagbabagong-anyo na may pare-pareho. Tulad ng napansin ng lahat, ang pare-pareho sa mga differential equation ay maaaring mahawakan nang malaya, at ang ilang pagbabago ay hindi palaging malinaw sa isang baguhan. Tingnan natin ang isa pang kondisyonal na halimbawa: . Maipapayo na i-multiply ang lahat ng termino dito sa 2: . Ang resultang pare-pareho ay isa ring uri ng pare-pareho, na maaaring tukuyin ng: . Oo, at dahil may logarithm sa kanang bahagi, ipinapayong muling isulat ang pare-pareho sa anyo ng isa pang pare-pareho: .

Ang problema ay madalas na hindi sila nag-abala sa mga index at gumagamit ng parehong titik. Bilang resulta, ang rekord ng desisyon ay tumatagal sa sumusunod na anyo:

Anong uri ng maling pananampalataya? May mga pagkakamali doon! Mahigpit na nagsasalita, oo. Gayunpaman, mula sa isang mahalagang punto ng view, walang mga pagkakamali, dahil bilang isang resulta ng pagbabago ng isang variable na pare-pareho, ang isang variable na pare-pareho ay nakuha pa rin.

O isa pang halimbawa, ipagpalagay na sa kurso ng paglutas ng equation isang pangkalahatang integral ay nakuha. Mukhang pangit ang sagot na ito, kaya ipinapayong baguhin ang tanda ng bawat termino: . Pormal, may isa pang pagkakamali dito - dapat itong nakasulat sa kanan. Ngunit impormal na ipinahihiwatig na ang "minus ce" ay pare-pareho pa rin ( na maaaring madaling magkaroon ng anumang kahulugan!), kaya walang saysay ang paglalagay ng "minus" at maaari mong gamitin ang parehong titik.

Susubukan kong iwasan ang isang walang ingat na diskarte, at magtatalaga pa rin ng iba't ibang mga indeks sa mga constant kapag kino-convert ang mga ito.

Halimbawa 7

Lutasin ang differential equation. Magsagawa ng check.

Solusyon: Ang equation na ito ay nagbibigay-daan para sa paghihiwalay ng mga variable. Pinaghiwalay namin ang mga variable:

Pagsamahin natin:

Hindi kinakailangan na tukuyin ang pare-pareho dito bilang isang logarithm, dahil walang kapaki-pakinabang na darating dito.

Sagot: pangkalahatang integral:

Suriin: Ibahin ang pagkakaiba sa sagot (implicit function):

Inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong termino sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 8

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng DE.
,

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang tanging pahiwatig ay na dito makakakuha ka ng isang pangkalahatang integral, at, mas tama sa pagsasalita, kailangan mong mag-isip upang makahanap ng hindi isang partikular na solusyon, ngunit bahagyang integral. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa ilang mga problema ng pisika, hindi posible na magtatag ng direktang koneksyon sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa proseso. Ngunit posibleng makakuha ng pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga derivatives ng mga function na pinag-aaralan. Ito ay kung paano lumitaw ang mga differential equation at ang pangangailangan upang malutas ang mga ito upang makahanap ng hindi kilalang function.

Ang artikulong ito ay inilaan para sa mga nahaharap sa problema ng paglutas ng isang differential equation kung saan ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable. Ang teorya ay nakabalangkas sa paraang walang kaalaman sa mga differential equation, maaari mong makayanan ang iyong gawain.

Ang bawat uri ng differential equation ay nauugnay sa isang paraan ng solusyon na may mga detalyadong paliwanag at solusyon sa mga tipikal na halimbawa at problema. Ang kailangan mo lang gawin ay tukuyin ang uri ng differential equation ng iyong problema, maghanap ng katulad na nasuri na halimbawa at magsagawa ng mga katulad na aksyon.

Upang matagumpay na malutas ang mga differential equation, kakailanganin mo rin ang kakayahang maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives ( hindi tiyak na integral) iba't ibang function. Kung kinakailangan, inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyon.

Una, isasaalang-alang natin ang mga uri ng ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod na maaaring malutas nang may kinalaman sa derivative, pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa mga pangalawang-order na ODE, pagkatapos ay tatalakayin natin ang mga equation na may mataas na pagkakasunud-sunod at magtatapos sa mga sistema ng differential equation.

Alalahanin na kung ang y ay isang function ng argumentong x.

First order differential equation.

Ang pinakasimpleng first order differential equation ng form.

Isulat natin ang ilang halimbawa ng naturang remote control .

Differential equation maaaring lutasin na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng f(x) . Sa kasong ito, dumating tayo sa isang equation na magiging katumbas ng orihinal para sa f(x) ≠ 0. Ang mga halimbawa ng naturang mga ODE ay .

Kung mayroong mga halaga ng argumentong x kung saan ang mga function na f(x) at g(x) ay sabay-sabay na nawawala, pagkatapos ay lilitaw ang mga karagdagang solusyon. Mga karagdagang solusyon sa equation ibinigay na x ay anumang mga function na tinukoy para sa mga halaga ng argumento na ito. Kabilang sa mga halimbawa ng naturang differential equation ang:

Mga equation ng pagkakaiba-iba ng pangalawang order.

Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Ang LDE na may pare-parehong coefficient ay isang napaka-karaniwang uri ng differential equation. Ang kanilang solusyon ay hindi partikular na mahirap. Una ang mga ugat ay matatagpuan katangian equation . Para sa magkaibang p at q, tatlong mga kaso ang posible: ang mga ugat ng katangian na equation ay maaaring maging totoo at magkaiba, totoo at magkakasabay. o kumplikadong conjugates. Depende sa mga halaga ng mga ugat ng katangian na equation, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay nakasulat bilang , o , o ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga ugat ng katangiang equation nito ay k 1 = -3 at k 2 = 0. Ang mga ugat ay totoo at naiiba, samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng LODE na may pare-parehong mga koepisyent ay may anyo


Linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong mga koepisyent y ay hinahanap sa anyo ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE at isang partikular na solusyon sa orihinal hindi magkakatulad na equation, yan ay, . Ang nakaraang talata ay nakatuon sa paghahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na differential equation na may pare-parehong coefficient. At ang isang partikular na solusyon ay tinutukoy alinman sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient para sa isang tiyak na anyo ng function na f(x) sa kanang bahagi orihinal na equation, o sa pamamagitan ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant.

Bilang mga halimbawa ng mga second-order na LDDE na may pare-parehong coefficient, nagbibigay kami


Upang maunawaan ang teorya at maging pamilyar sa mga detalyadong solusyon ng mga halimbawa, nag-aalok kami sa iyo sa pahina ng linear na hindi magkakatulad na pangalawang-order na mga equation ng kaugalian na may pare-parehong coefficient.

Linear homogeneous differential equation (LODE) at linear inhomogeneous differential equation (LNDEs) ng pangalawang order.

Ang isang espesyal na kaso ng mga differential equation ng ganitong uri ay ang LODE at LDDE na may pare-parehong coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng LODE sa isang partikular na segment ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng dalawang linearly independent partial solution y 1 at y 2 ng equation na ito, iyon ay, .

Ang pangunahing kahirapan ay tiyak na nakasalalay sa paghahanap ng mga linearly independent na partial na solusyon sa isang differential equation ng ganitong uri. Karaniwan, ang mga partikular na solusyon ay pinili mula sa ang mga sumusunod na sistema linear mga independiyenteng pag-andar:


Gayunpaman, ang mga partikular na solusyon ay hindi palaging ipinakita sa form na ito.

Ang isang halimbawa ng LOD ay .

Ang pangkalahatang solusyon ng LDDE ay hinahanap sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE, at ang partikular na solusyon ng orihinal na differential equation. Napag-usapan lang namin ang tungkol sa paghahanap nito, ngunit maaari itong matukoy gamit ang paraan ng iba't ibang mga arbitrary na constant.

Maaaring magbigay ng isang halimbawa ng LNDU .

Differential equation ng mas matataas na order.

Differential equation na nagbibigay-daan sa pagbawas ng order.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation , na hindi naglalaman ng nais na function at ang mga derivatives nito hanggang sa k-1 order, ay maaaring bawasan sa n-k sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Sa kasong ito, ang orihinal na differential equation ay babawasan sa . Matapos mahanap ang solusyon nito p(x), nananatili itong bumalik sa kapalit at matukoy ang hindi kilalang function na y.

Halimbawa, ang differential equation pagkatapos ng pagpapalit, ito ay magiging isang equation na may mga separable variable, at ang pagkakasunud-sunod nito ay mababawasan mula sa ikatlo hanggang sa una.