Hindi ko susubukan na kumbinsihin ka na huwag magsulat ng mga cheat sheet. Sumulat! Kasama ang mga cheat sheet sa trigonometry. Sa ibang pagkakataon, plano kong ipaliwanag kung bakit kailangan ang mga cheat sheet at kung bakit kapaki-pakinabang ang mga cheat sheet. At narito ang impormasyon kung paano hindi matuto, ngunit tandaan ang ilang mga formula ng trigonometriko. Kaya - trigonometry nang walang cheat sheet. Gumagamit kami ng mga asosasyon para sa pagsasaulo.
1. Mga formula ng karagdagan:
Ang mga cosine ay palaging "dumating sa pares": cosine-cosine, sine-sine.
At isa pang bagay: ang mga cosine ay "hindi sapat". "Hindi tama ang lahat" para sa kanila, kaya binago nila ang mga palatandaan: "-" sa "+", at kabaliktaran.
Sinuses - "halo": sine-cosine, cosine-sine.
2. Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba:
ang mga cosine ay palaging "dumating sa pares". Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang cosine - "koloboks", nakakakuha tayo ng isang pares ng cosine - "koloboks". At sa pamamagitan ng pagbabawas, tiyak na hindi tayo makakakuha ng anumang kolobok. Nakakakuha kami ng ilang sine. May minus din sa unahan.
Sinuses - "halo" :
3. Mga formula para sa pag-convert ng isang produkto sa kabuuan at pagkakaiba.
Kailan tayo makakakuha ng cosine pair? Kapag nagdagdag kami ng mga cosine. kaya lang
Kailan tayo makakakuha ng ilang mga sine? Kapag binabawasan ang mga cosine. Mula rito:
Ang "paghahalo" ay nakuha sa parehong pagdaragdag at pagbabawas ng mga sine. Ano ang mas masaya: pagdaragdag o pagbabawas? Tama, tiklop. At para sa formula kumuha sila ng karagdagan:
Sa una at pangatlong formula, ang kabuuan ay nasa panaklong. Ang muling pagsasaayos ng mga lugar ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan. Ang pagkakasunud-sunod ay mahalaga lamang para sa pangalawang formula. Ngunit, upang hindi malito, para sa kadalian ng pag-alala, sa lahat ng tatlong mga formula sa unang mga bracket ay kinukuha natin ang pagkakaiba
at pangalawa - ang halaga
Ang mga cheat sheet sa iyong bulsa ay nagbibigay sa iyo ng kapayapaan ng isip: kung nakalimutan mo ang formula, maaari mo itong kopyahin. At binibigyan ka nila ng kumpiyansa: kung nabigo kang gamitin ang cheat sheet, madali mong maaalala ang mga formula.
Ang mga pormula ng karagdagan ay ginagamit upang ipahayag sa pamamagitan ng mga sine at cosine ng mga anggulo a at b, ang mga halaga ng mga function cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Mga formula ng pagdaragdag para sa mga sine at cosine
Theorem: Para sa alinmang a at b, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Patunayan natin ang teorama na ito. Isaalang-alang ang sumusunod na figure:
Dito, ang mga puntong Ma, M-b, M(a+b) ay nakuha sa pamamagitan ng umiikot na puntong Mo sa pamamagitan ng mga anggulo a, -b, at a+b, ayon sa pagkakabanggit. Mula sa mga kahulugan ng sine at cosine, ang mga coordinate ng mga puntong ito ay ang mga sumusunod: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, samakatuwid ang mga tatsulok na MoOM(a+b) at M-bOMa ay pantay, at sila ay isosceles. Nangangahulugan ito na ang mga baseng MoM(a-b) at M-bMa ay pantay. Samakatuwid, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang punto, nakukuha namin:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) at cos(-a) = cos(a). Baguhin natin ang ating pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang mga formula na ito at ang parisukat ng kabuuan at pagkakaiba, pagkatapos:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Ngayon inilalapat namin ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Bigyan natin ang mga katulad at bawasan ang mga ito ng -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Ang mga sumusunod na formula ay may bisa din:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Ang mga formula na ito ay maaaring makuha mula sa isang pinatunayan sa itaas gamit ang mga formula ng pagbabawas at pinapalitan ang b ng -b. Mayroon ding mga pormula ng karagdagan para sa mga tangent at cotangent, ngunit hindi ito magiging wasto para sa lahat ng mga argumento.
Mga formula para sa pagdaragdag ng mga tangent at cotangent
Para sa anumang anggulo a,b maliban sa a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n at a+b =pi/2 +pi*m, para sa anumang integer k,n,m ang sumusunod na formula ay magiging wasto:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Para sa anumang mga anggulo a,b maliban sa a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n at a-b =pi/2 +pi*m, para sa anumang integer na k,n,m ang sumusunod na formula ay magiging wasto:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Para sa anumang mga anggulo a,b maliban sa a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m at para sa anumang integers k,n,m ang sumusunod na formula ay magiging wasto:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Ipinagpapatuloy namin ang aming pag-uusap tungkol sa mga pinaka ginagamit na formula sa trigonometrya. Ang pinakamahalaga sa kanila ay mga pormula ng karagdagan.
Kahulugan 1
Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng karagdagan na ipahayag ang mga function ng pagkakaiba o kabuuan ng dalawang anggulo na ginagamit trigonometriko function ang mga anggulong ito.
Upang magsimula sa, kami ay magbibigay buong listahan mga pormula ng karagdagan, pagkatapos ay patunayan namin ang mga ito at pag-aaralan ang ilang mga halimbawa ng paglalarawan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pangunahing mga formula ng karagdagan sa trigonometrya
Mayroong walong pangunahing pormula: sine ng kabuuan at sine ng pagkakaiba ng dalawang anggulo, mga cosine ng kabuuan at pagkakaiba, mga tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba, ayon sa pagkakabanggit. Nasa ibaba ang kanilang mga karaniwang formulation at kalkulasyon.
1. Ang sine ng kabuuan ng dalawang anggulo ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:
Kinakalkula namin ang produkto ng sine ng unang anggulo at ang cosine ng pangalawa;
I-multiply ang cosine ng unang anggulo sa sine ng una;
Magdagdag ng mga resultang halaga.
Ang graphical na pagsulat ng formula ay ganito ang hitsura: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Ang sine ng pagkakaiba ay kinakalkula sa halos parehong paraan, tanging ang mga resultang produkto ay hindi dapat idagdag, ngunit ibawas sa bawat isa. Kaya, kinakalkula namin ang mga produkto ng sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa at hanapin ang kanilang pagkakaiba. Ang formula ay nakasulat tulad nito: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosine ng kabuuan. Para dito, nakita namin ang mga produkto ng cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa, ayon sa pagkakabanggit, at hanapin ang kanilang pagkakaiba: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosine ng pagkakaiba: kalkulahin ang mga produkto ng mga sine at cosine ng mga anggulong ito, tulad ng dati, at idagdag ang mga ito. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent ng kabuuan. Ang formula na ito ay ipinahayag bilang isang fraction, ang numerator kung saan ay ang kabuuan ng mga tangent ng mga kinakailangang anggulo, at ang denominator ay isang yunit kung saan ang produkto ng mga tangent ng mga nais na anggulo ay ibinabawas. Malinaw ang lahat sa graphical notation nito: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangent ng pagkakaiba. Kinakalkula namin ang mga halaga ng pagkakaiba at produkto ng mga tangent ng mga anggulong ito at magpatuloy sa kanila sa katulad na paraan. Sa denominator ay nagdaragdag tayo sa isa, at hindi kabaligtaran: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangent ng halaga. Upang kalkulahin gamit ang formula na ito, kakailanganin namin ang produkto at ang kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito, na magpapatuloy kami bilang mga sumusunod: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangent ng pagkakaiba . Ang formula ay katulad ng nauna, ngunit ang numerator at denominator ay minus, hindi plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Marahil ay napansin mo na ang mga formula na ito ay magkapareho sa mga pares. Gamit ang mga sign na ± (plus-minus) at ∓ (minus-plus), maaari naming pangkatin ang mga ito para sa kadalian ng pag-record:
kasalanan (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Alinsunod dito, mayroon kaming isang formula sa pag-record para sa kabuuan at pagkakaiba ng bawat halaga, sa isang kaso lang na binibigyang pansin namin itaas na tanda, sa isa pa – hanggang sa ibaba.
Kahulugan 2
Maaari tayong kumuha ng anumang mga anggulo α at β, at ang mga pormula ng karagdagan para sa cosine at sine ay gagana para sa kanila. Kung maaari nating matukoy nang tama ang mga halaga ng mga tangent at cotangent ng mga anggulong ito, kung gayon ang mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent ay magiging wasto din para sa kanila.
Tulad ng karamihan sa mga konsepto sa algebra, ang mga pormula ng karagdagan ay maaaring mapatunayan. Ang unang formula na papatunayan natin ay ang difference ng cosine formula. Ang iba pang ebidensya ay madaling mahihinuha mula rito.
Linawin natin ang mga pangunahing konsepto. Kakailanganin namin ang isang bilog ng yunit. Gagana ito kung kukuha tayo ng isang tiyak na punto A at paikutin ang mga anggulo α at β sa paligid ng gitna (punto O). Pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O A → 2 ay magiging katumbas ng (α - β) + 2 π · z o 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ay anumang integer). Ang mga nagreresultang vector ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng α - β o 2 π - (α - β), o maaaring naiiba ito sa mga halagang ito sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga buong rebolusyon. Tingnan ang larawan:
Ginamit namin ang mga formula ng pagbabawas at nakuha ang mga sumusunod na resulta:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resulta: ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O A 2 → ay katumbas ng cosine ng anggulo α - β, samakatuwid, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Alalahanin natin ang mga kahulugan ng sine at cosine: ang sine ay isang function ng anggulo, katumbas ng ratio ng binti ng kabaligtaran na anggulo sa hypotenuse, ang cosine ay ang sine ng komplementaryong anggulo. Samakatuwid, ang mga puntos A 1 At A 2 may mga coordinate (cos α, sin α) at (cos β, sin β).
Nakukuha namin ang sumusunod:
O A 1 → = (cos α, sin α) at O A 2 → = (cos β, sin β)
Kung hindi malinaw, tingnan ang mga coordinate ng mga punto na matatagpuan sa simula at dulo ng mga vector.
Ang mga haba ng mga vector ay katumbas ng 1, dahil Mayroon kaming bilog na yunit.
Suriin natin ngayon ang scalar product ng mga vectors O A 1 → at O A 2 → . Sa mga coordinate, ganito ang hitsura:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Mula dito maaari nating makuha ang pagkakapantay-pantay:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kaya, ang pagkakaiba ng formula ng cosine ay napatunayan.
Ngayon ay patunayan natin ang sumusunod na formula - ang cosine ng kabuuan. Mas madali ito dahil magagamit natin ang mga nakaraang kalkulasyon. Kunin natin ang representasyon α + β = α - (- β) . Meron kami:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ito ang patunay ng formula ng cosine sum. Ang huling linya ay gumagamit ng pag-aari ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo.
Ang formula para sa sine ng isang kabuuan ay maaaring makuha mula sa formula para sa cosine ng isang pagkakaiba. Kunin natin ang formula ng pagbabawas para dito:
ng anyong sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Kaya
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
At narito ang patunay ng pagkakaiba ng sine formula:
kasalanan (α - β) = kasalanan (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Pansinin ang paggamit ng mga katangian ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo sa huling pagkalkula.
Susunod na kailangan namin ng mga patunay ng mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent. Tandaan natin ang mga pangunahing kahulugan (ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cotangent ay vice versa) at kunin ang mga formula na nakuha nang maaga. Ginawa namin ito:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mayroon kaming isang kumplikadong fraction. Susunod, kailangan nating hatiin ang numerator at denominator nito sa cos α · cos β, dahil sa cos α ≠ 0 at cos β ≠ 0, nakukuha natin ang:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Ngayon ay binabawasan natin ang mga fraction at makuha ang sumusunod na formula: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Nakuha namin ang t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ito ang patunay ng pormula ng tangent karagdagan.
Ang susunod na formula na ating papatunayan ay ang padaplis ng formula ng pagkakaiba. Ang lahat ay malinaw na ipinapakita sa mga kalkulasyon:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Ang mga formula para sa cotangent ay napatunayan sa katulad na paraan:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Dagdag pa:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
