Trabaho ng pananaliksik sa paksa: "Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero. Divisibility ng mga natural na numero

Gaya ng nabanggit na, ang natural na bilang a ay nahahati sa natural na bilang b kung mayroong natural na bilang c, na kapag pinarami ng b ay nagbubunga ng a:

Ang salitang "buong" ay karaniwang tinanggal para sa kapakanan ng kaiklian.

Kung ang a ay nahahati sa b, kung gayon sinasabi rin nila na ang a ay isang maramihang ng b. Halimbawa, ang bilang na 48 ay isang multiple ng 24.

Theorem 1. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay nahahati sa isang tiyak na numero, kung gayon ang produkto ay mahahati din sa numerong ito.

Halimbawa, ang 15 ay nahahati ng 3, na nangangahulugang ang 15∙11 ay nahahati ng 3, dahil ang 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ang mga argumentong ito ay nalalapat din sa pangkalahatang kaso. Hayaang ang bilang a ay mahahati sa c, pagkatapos ay mayroong natural na bilang n tulad na a = n∙c. Isaalang-alang ang produkto ng bilang a at isang di-makatwirang natural na numero b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Mula dito, ayon sa kahulugan, sumusunod na ang produktong a∙b ay nahahati din ng c. Q.E.D.

Theorem 2. Kung ang unang numero ay nahahati ng pangalawa, at ang pangalawa ay nahahati ng pangatlo, kung gayon ang unang numero ay mahahati ng pangatlo.

Halimbawa, ang 777 ay nahahati ng 111 dahil ang 777 = 7∙111, at ang 111 ay nahahati ng 3 dahil 111 = 3∙37. Ito ay sumusunod mula dito na ang 777 ay nahahati sa 3, dahil 777 = 3∙(37∙7).

SA pangkalahatang kaso Ang mga argumentong ito ay maaaring ulitin halos verbatim. Hayaang hatiin ang bilang a sa bilang b, at hatiin ang bilang b sa bilang c. Nangangahulugan ito na mayroong mga natural na numero n at m na ang a = n∙b at b = m∙c. Kung gayon ang numerong a ay maaaring katawanin bilang: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Ang pagkakapantay-pantay a = (n∙m)∙c ay nangangahulugan na ang bilang a ay nahahati din sa c.

Theorem 3. Kung ang bawat isa sa dalawang numero ay nahahati sa isang tiyak na numero, kung gayon ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay mahahati sa numerong ito.

Halimbawa, ang 100 ay nahahati sa 4 dahil 100=25∙4; Ang 36 ay nahahati din sa 4, dahil 36 = 9∙4. Kasunod nito na ang 136 ay nahahati sa 4 dahil

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Maari rin nating mahihinuha na ang bilang na 64 ay nahahati sa 4 dahil

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Patunayan natin ang teorama sa pangkalahatang kaso. Hayaan ang bawat isa sa mga numerong a at b ay mahahati sa bilang c. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, may mga natural na numero n at m tulad na
a = n∙c at b = m∙c. Isaalang-alang ang kabuuan ng mga bilang a at b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Kasunod nito na ang a + b ay nahahati sa c.

Katulad nito, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Samakatuwid, ang a – b ay hinati ng c.

Theorem 4. Kung ang isa sa dalawang numero ay nahahati sa isang tiyak na numero, at ang isa ay hindi nahahati nito, kung gayon ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay hindi mahahati sa numerong ito.

Halimbawa, ang 148 ay nahahati ng 37 dahil ang 148 = 4∙37, at ang 11 ay hindi nahahati ng 37. Malinaw, ang kabuuan ng 148 + 11 at ang pagkakaiba ng 148 – 11 ay hindi mahahati ng 37, kung hindi, ito ay sasalungat sa ari-arian 3 .

Mga palatandaan ng divisibility

Kung ang isang numero ay nagtatapos sa 0, kung gayon ito ay mahahati ng 10.

Halimbawa, ang bilang na 4560 ay nagtatapos sa bilang na 0, maaari itong katawanin bilang isang produkto ng 456∙10, na hinati sa 10 (ayon sa Theorem 1).

Ang bilang na 4561 ay hindi nahahati ng 10, dahil ang 4561 = 4560+1 ay ang kabuuan ng numerong 4560, nahahati ng 10, at ang numero 1, na hindi nahahati ng 10 (sa pamamagitan ng Theorem 4).

Kung ang isang numero ay nagtatapos sa isa sa mga digit na 0 o 5, kung gayon ito ay mahahati sa 5.

Halimbawa, ang bilang na 2300 ay nahahati sa 5 dahil ang numerong ito ay nahahati ng 10, at ang 10 ay nahahati ng 5 (sa pamamagitan ng Theorem 2).

Ang bilang na 2305 ay nagtatapos sa bilang na 5, ito ay nahahati sa 5, dahil maaari itong isulat bilang kabuuan ng mga numero na mahahati ng 5: 2300 + 5 (ayon sa Theorem 3).

Ang bilang na 52 ay hindi nahahati ng 5, dahil ang 52 = 50 + 2 ay ang kabuuan ng bilang na 50, nahahati ng 5, at ang bilang 2, na hindi nahahati ng 5 (sa pamamagitan ng Theorem 4).

Kung ang isang numero ay nagtatapos sa isa sa mga digit na 0, 2, 4, 6, 8, kung gayon ito ay mahahati sa 2.

Halimbawa, ang bilang na 130 ay nagtatapos sa 0, ito ay nahahati ng 10, at ang 10 ay nahahati ng 2, samakatuwid ang 130 ay nahahati ng 2.

Ang bilang na 136 ay nagtatapos sa bilang na 6, ito ay nahahati sa 2, dahil maaari itong isulat bilang kabuuan ng mga numero na nahahati ng 2: 130 + 6 (ayon sa Theorem 3).

Ang bilang na 137 ay hindi nahahati ng 2, dahil ang 137 = 130 + 7 ay ang kabuuan ng bilang na 130, nahahati ng 2, at ang bilang na 7, na hindi nahahati ng 2 (sa pamamagitan ng Theorem 4).

Ang isang numerong nahahati sa 2 ay tinatawag na even.

Ang isang numero na hindi nahahati sa 2 ay tinatawag na kakaiba.

Halimbawa, ang mga numerong 152 at 790 ay pantay, at ang mga numerong 111 at 293 ay kakaiba.

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero mismo ay mahahati ng 9..

Halimbawa, ang kabuuan ng mga digit na 7 + 2 + 4 + 5 = 18 ng numerong 7245 ay nahahati sa 9. Ang bilang na 7245 ay nahahati sa 9 dahil maaari itong irepresenta bilang kabuuan ng 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), kung saan ang kabuuan sa mga unang bracket ay nahahati sa 9, at sa pangalawang bracket - ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero - ay nahahati din sa 9 ( ayon sa Theorem 3).

Ang bilang na 375 ay hindi nahahati ng 9, dahil ang kabuuan ng mga digit nito na 3 + 7 + 5=15 ay hindi nahahati sa 9. Ito ay mapapatunayan sa mga sumusunod: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), kung saan ang kabuuan sa mga unang bracket ay nahahati ng 9, at sa pangalawang bracket - ang kabuuan ng mga digit ng numerong 375 - ay hindi mahahati. ng 9 (ayon sa Theorem 4).

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero mismo ay mahahati ng 3..

Halimbawa, ang numerong 375 ay may kabuuan ng mga digit na 3 + 7 + 5 = 15 na nahahati ng 3, at ito mismo ay nahahati ng 3 dahil 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), kung saan ang kabuuan ay nasa unang bracket ay nahahati sa 3, at sa pangalawang bracket - ang kabuuan ng mga digit ng numero 375 - ay nahahati din ng 3.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 679, katumbas ng 6 + 7 + 9 = 22, ay hindi nahahati ng 3, at ang numero mismo ay hindi nahahati ng 3, dahil 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), kung saan ang kabuuan sa mga unang bracket ay nahahati sa 3, at sa pangalawang bracket - ang kabuuan ng mga digit ng numero 679 - ay hindi nahahati ng 3.

Tandaan. Kapag sinabi nilang "ang isang numero ay nagtatapos sa isang digit..." ang ibig nilang sabihin ay "ang decimal na notasyon ng isang numero ay nagtatapos sa isang digit..."

Prime at composite na mga numero

Ang bawat natural na bilang p ay nahahati sa 1 at sa sarili nito:

p:1=p, p:p=1.

Ang prime number ay isang natural na numero na mas malaki sa isa at nahahati lang ng 1 at mismo..

Narito ang unang sampung prime number:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Ang di-prime natural na mga numero, malalaking unit, ay tinatawag na composite. Ang bawat pinagsama-samang numero ay nahahati sa 1, mismo at kahit isa pang natural na numero.

Narito ang lahat ng pinagsama-samang numero na mas mababa sa 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Kaya, ang hanay ng lahat natural na mga numero binubuo ng mga prime number, composite numbers at isa.

Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number; mayroong unang numero - 2, ngunit walang huling prime number.

Mga divisors ng natural na mga numero

Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa isang natural na bilang b, kung gayon ang bilang na b tinatawag na divisor mga numero a.

Halimbawa, ang mga divisor ng numero 13 ay ang mga numero 1 at 13, ang mga divisors ng numero 4 ay ang mga numero 1, 2, 4, at ang mga divisors ng numero 12 ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Ang bawat prime number ay may dalawang divisors lamang - isa at ang sarili nito, at bawat composite number, maliban sa isa at mismo, ay may iba pang divisors.

Kung ang divisor ay isang prime number, kung gayon ito ay tinatawag na prime divisor. Halimbawa, ang numero 13 ay may prime factor na 13, ang numero 4 ay may prime factor na 2, at ang numero 12 ay may prime factor na 2 at 3.

Ang bawat composite number ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga pangunahing divisors nito. Halimbawa,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Ang kanang bahagi ng mga resultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag na prime factorization ng mga numerong 28, 22, 81 at 100.

Ang pagsasaalang-alang sa isang naibigay na pinagsama-samang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nangangahulugan na kinakatawan ito bilang isang produkto ng iba't ibang mga pangunahing kadahilanan nito o ang kanilang mga kapangyarihan.

Ipakita natin kung paano mo maisasaliksik ang numerong 90 sa mga pangunahing kadahilanan.

1) 90 ay hinati sa 2, 90:2 = 45;

2) Ang 45 ay hindi nahahati ng 2, ngunit nahahati ng 3, 45:3= 15;

3) 15 ay hinati sa 3, 15:3 = 5;

4) Ang 5 ay nahahati sa 5, 5:5 = 1.

Kaya, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Pinakamahusay na karaniwang divisor

Ang bilang 12 ay may mga salik 1, 2, 3, 4, 12. Ang bilang 54 ay may mga salik 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Nakikita natin na ang mga numero 12 at 54 ay may mga karaniwang salik 1, 2 , 3 , 6.

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 12 at 54 ay ang numero 6.

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay tinutukoy ng: gcd (a, b).

Halimbawa, GCD (12, 54) = 6.

Hindi bababa sa karaniwang maramihang

Ang numerong nahahati sa 12 ay tinatawag na multiple ng 12. Ang numerong 12 ay multiple ng 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, atbp. Ang numerong 18 ay isang multiple ng 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, atbp.

Nakita namin na may mga numero na multiple ng parehong 12 at 18. Halimbawa, 36, 72, 108, .... Ang mga numerong ito ay tinatawag na common multiple ng 12 at 18.

Ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati ng a at b. Ang numerong ito ay tinutukoy ng: LOC (a, b).

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay karaniwang makikita sa isa sa dalawang paraan. Tingnan natin sila.

Hanapin natin ang LCM(18, 24).

Pamamaraan I Isusulat namin ang mga numero na multiple ng 24 (ang mas malaki sa mga numerong ito), titingnan kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati ng 18: 24∙1=24 – hindi nahahati ng 18, 24∙2 = 48 – hindi nahahati ng 18, 24∙3 = 72 – ay nahahati sa 18, kaya LCM (24, 18) =
= 72.

II pamamaraan. I-factor natin ang mga numerong 24 at 18 sa prime factor: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

Ang LCM(24, 18) ay dapat na mahahati sa parehong 24 at 18. Samakatuwid, ang kinakailangang numero ay naglalaman ng lahat ng prime factor ng mas malaking bilang 24 (ibig sabihin, ang mga numero 2, 2, 2, 3) at ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng mas maliit na numero 18 (isa pang numero 3). Samakatuwid LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime factor, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, ang 24 at 25 ay medyo prime number. Samakatuwid LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Kung ang isa sa dalawang numero ay nahahati ng isa, kung gayon ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito ay katumbas ng mas malaki sa kanila. Halimbawa, ang 120 ay nahahati sa 24, samakatuwid ang LCM (120, 24) = 120.

Buong mga numero

Paalala. Tinatawag ang mga numerong ginamit upang mabilang ang bilang ng mga bagay natural na mga numero. Ang zero ay hindi itinuturing na isang natural na numero. Ang mga natural na numero at zero, na nakasulat sa pataas na pagkakasunud-sunod at walang mga puwang, ay bumubuo ng isang serye ng mga hindi negatibong integer:

Ang mga bagong numero ay ipakikilala sa seksyong ito - mga negatibong integer.

Mga negatibong integer

Ang isang pangunahing halimbawa sa totoong buhay ay isang thermometer. Sabihin nating nagpapakita ito ng temperatura na 7°C. Kung ang temperatura ay bumaba ng 4°, ang thermometer ay magpapakita ng 3° na init. Ang pagbaba sa temperatura ay tumutugma sa pagkilos ng pagbabawas: 7 – 4 = 3. Kung bumaba ang temperatura ng 7°, ang thermometer ay magpapakita ng 0°: 7 – 7 = 0.

Kung ang temperatura ay bumaba ng 8°, ang thermometer ay magpapakita ng –1° (1° sa ibaba ng zero). Ngunit ang resulta ng pagbabawas ng 7 – 8 ay hindi maaaring isulat gamit ang natural na mga numero at zero, bagama't ito ay may tunay na kahulugan.

Imposibleng magbilang ng 8 numero mula sa numero 7 hanggang kaliwa sa isang serye ng mga hindi negatibong integer. Upang gawing posible ang pagkilos 7 – 8, palawakin natin ang hanay ng mga hindi negatibong integer. Upang gawin ito, sa kaliwa ng zero, isinusulat namin (mula kanan pakaliwa) sa pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga natural na numero, pagdaragdag sa bawat isa sa kanila ng isang "-" na senyas, na nagpapahiwatig na ang numerong ito ay nasa kaliwa ng zero.

Ang mga entry –1, –2, –3, ... basahin ang “minus 1”, “minus 2”, “minus 3”, atbp.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Ang resultang serye ng mga numero ay tinatawag na serye ng mga integer. Ang mga tuldok sa kaliwa at kanan sa entry na ito ay nangangahulugan na ang serye ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan sa kanan at kaliwa.

Sa kanan ng numerong 0 sa row na ito ay mga numerong tinatawag na natural na mga numero o positive integer.

Regional research conference para sa mga mag-aaral ng Lakhdenpokh municipal district

"Hakbang sa Hinaharap"

Proyekto sa matematika sa paksa:

Nakumpleto ni: Galkina Natalya

mag-aaral sa ika-7 baitang

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Pinuno: Vasilyeva

Larisa Vladimirovna

guro sa matematika

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Panimula 3 pahina

Mula sa kasaysayan ng matematika 4 na pahina.

Pangunahing konsepto 4 na pahina.

Pag-uuri ng mga palatandaan ng divisibility: 5 pahina.

1. Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng huling digit (mga) 5 – 6 na pahina.

   Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero: 6 na pahina.

   Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon sa mga digit ng numero 6 - 9 na pahina.

   Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ang iba pang mga palatandaan ay ginagamit 9 - 10 mga pahina.

Paglalapat ng pamantayan sa divisibility sa pagsasanay 10 – 11 na pahina.

Konklusyon 11 pahina

Bibliograpiya 12 pahina.

Panimula

Ang kaugnayan ng pananaliksik: Ang mga palatandaan ng divisibility ay palaging interesado sa mga siyentipiko ng iba't ibang panahon at mga tao. Kapag pinag-aaralan ang paksang "Mga palatandaan ng divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10" sa mga aralin sa matematika, naging interesado ako sa pag-aaral ng mga numero para sa divisibility. Ipinapalagay na kung posible na matukoy ang divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng mga numerong ito, dapat mayroong mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ng isa ang divisibility ng mga natural na numero ng iba pang mga numero. Sa ilang mga kaso, upang malaman kung ang anumang natural na numero ay mahahati a sa isang natural na numero b nang walang natitira, hindi kinakailangang hatiin ang mga numerong ito. Ito ay sapat na upang malaman ang ilang mga palatandaan ng divisibility.

Hypothesis– kung mayroong mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10, kung gayon mayroong iba pang mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ang divisibility ng mga natural na numero.

Layunin ng pag-aaral – dagdagan ang mga kilalang palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa kabuuan, pinag-aralan sa paaralan at i-systematize ang mga palatandaang ito ng divisibility.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod mga gawain:

Malayang siyasatin ang divisibility ng mga numero.

Mag-aral ng karagdagang literatura upang maging pamilyar sa iba pang mga palatandaan ng divisibility.

Pagsamahin at ibuod ang mga feature mula sa iba't ibang source.

Gumuhit ng konklusyon.

Layunin ng pag-aaral– pag-aaral ng lahat ng posibleng palatandaan ng divisibility.

Paksa ng pag-aaral- mga palatandaan ng divisibility.

Mga pamamaraan ng pananaliksik– koleksyon ng materyal, pagproseso ng data, paghahambing, pagsusuri, synthesis.

Bago: Sa panahon ng proyekto, pinalawak ko ang aking kaalaman tungkol sa mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Mula sa kasaysayan ng matematika

Blaise Pascal(ipinanganak noong 1623) - isa sa pinaka mga sikat na tao sa kasaysayan ng sangkatauhan. Pascalumer, noong siya ay 39 taong gulang, ngunit sa kabila nito maikling buhay, bumaba sa kasaysayan bilang isang natatanging matematiko, pisiko, pilosopo at manunulat. Ang yunit ng presyon (pascal) at isang napaka-tanyag na programming language ngayon ay ipinangalan sa kanya. Natagpuan ni Blaise Pascal ang isang karaniwan

Ang pagsusulit ni Pascal ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mga pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng anumang numero. Isang uri ng "universal sign of divisibility".

Pascal's divisibility test: Natural na numero A ay hahatiin ng isa pang natural na numero b lamang kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numero A sa mga katumbas na natitira na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga digit na unit sa numero b, ay hinati sa numerong ito.

Halimbawa : ang bilang na 2814 ay nahahati sa 7, dahil ang 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 ay nahahati sa 7. (Narito ang 6 ay ang natitira sa dibisyon ng 1000 sa 7, ang 2 ay ang natitira sa paghahati ng 100 sa 7 at 3 ang natitira mula sa paghahati ng 10 sa 7).

Pangunahing Konsepto

Alalahanin natin ang ilang mga konsepto sa matematika na kakailanganin natin sa pag-aaral ng paksang ito.

Pagsusulit sa divisibility ay isang panuntunan kung saan, nang hindi nagsasagawa ng paghahati, matutukoy mo kung ang isang numero ay mahahati sa isa pa.

Divider natural na numero A pangalanan ang natural na numero kung saan A hinati nang walang natitira.

Simple ay tinatawag na natural na mga numero na walang ibang natural na natatanging divisors maliban sa isa at sa kanilang mga sarili.

Composite ay mga numerong may natural na divisors maliban sa 1 at sa kanilang sarili.

Mga palatandaan ng divisibility

Ang lahat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na isinasaalang-alang ko sa gawaing ito ay maaaring nahahati sa 4 na grupo:

Tingnan natin ang bawat isa sa mga pangkat na ito.

Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng huling digit (mga)

Ang unang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na aking isinasaalang-alang ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 at mga digit na unit 10, 100, atbp.

Subukan para sa divisibility ng 2: Ang isang numero ay nahahati sa 2 kapag ang huling digit ng numerong iyon ay nahahati sa 2 (ibig sabihin, ang huling digit ay isang even na numero).

Halimbawa: 32217864 : 2

Subukan para sa divisibility ng 4 : ang isang numero ay nahahati sa 4 kapag ang huling dalawang digit nito ay mga zero, o kapag ang isang dalawang-digit na numero ay nabuo ng dalawa nito mga huling numero, ay nahahati sa 4.

Halimbawa, 35324 : 4; 6600 : 4

Pagsusuri sa divisibility ng 5 : Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay 5 o 0.

Halimbawa: 36780 : 5 o 12326 5 : 5

Subukan para sa divisibility ng 8: ang isang numero ay nahahati sa 8 kapag ito ay nahahati sa 8 tatlong digit na numero, nabuo mula sa huling tatlong digit ng numerong ito.

Halimbawa: 432240 : 8

Subukan para sa divisibility ng 20: ang isang numero ay nahahati ng 20 kapag ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 20. (Isa pang pagbabalangkas: ang isang numero ay nahahati sa 20 kapag ang huling digit ng numero ay 0 at ang penultimate digit ay kahit na).

Halimbawa: 59640 : 20

Subukan para sa divisibility ng 25: Ang mga numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 25 ay nahahati sa 25.

Halimbawa: 667975 : 25 o 77689 00 : 25

Subukan para sa divisibility ng 50: Ang isang numero ay nahahati sa 50 kapag ang bilang na nabuo sa pamamagitan ng dalawang pinakamababang decimal na digit nito ay nahahati sa 50.

Halimbawa: 564350 :50 o 5543 00 :50

Pagsusuri sa divisibility ng 125: Ang isang numero ay nahahati ng 125 kung ang huling tatlong digit nito ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 125.

Halimbawa: 32157000 :125 o 3216 250 :125

Ang mga natural na numero na ang bilang ng mga zero ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang ng mga zero ng digit na yunit ay nahahati sa isang digit na yunit.

Halimbawa, 12,000 ay nahahati sa 10, 100 at 1000.

Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero

Kasama sa pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 3, 9, 11 na aking isinasaalang-alang.

Subukan para sa divisibility ng 3: Ang isang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Subukan para sa divisibility ng 9: Ang isang numero ay nahahati sa 9 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.

Halimbawa: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Subukan para sa divisibility ng 11: Ang mga numerong iyon ay nahahati sa 11 kung ang kabuuan ng mga digit sa mga kakaibang lugar ay alinman sa katumbas ng kabuuan ng mga digit sa kahit na mga lugar o naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang multiple ng 11.

Halimbawa: 865948732:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon sa mga digit ng numerong ito

Ang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Subukan para sa divisibility ng 6:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ang resulta ng pagbabawas ng dalawang beses sa bilang ng daan-daan mula sa numero pagkatapos ng daan-daan ay nahahati sa 6.

Halimbawa, 138: 6 dahil 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kasi 44 – 7·2=30, (30:6)

Lagda 2: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kung at kung apat na beses lamang ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 6.

Halimbawa, 768:6 kasi 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Divisibility ng 7:

Palatandaan 1: ang numero ay nahahati sa 7 kapag tatlong beses ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng isa ay nahahati ng 7.

Halimbawa, bilang 154:7, dahil 15 3 + 4 = 49 (49:7) ay hinati sa 7

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 7 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang “+” sign, at kahit na mga numero na may “-” sign ay nahahati ng 7.

Halimbawa, 138689257:7, dahil ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Divisibility ng 11:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga kakaibang posisyon at ang kabuuan ng mga digit na sumasakop sa kahit na mga posisyon ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 9163627:11, dahil ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 103785:11, dahil 10+37+85=132 at 01+32=33 (33:11)

Divisibility ng 13:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati ng 13 kapag ang kabuuan ng sampu na numero kasama ang apat na beses na ang mga ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Lagda 2: Ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at siyam na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84-5 9=39 (39:13)

Subukan para sa divisibility ng 17: ang isang numero ay nahahati sa 17 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at limang beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 17.

Halimbawa, 221:17, dahil ǀ22-5·1ǀ=17

Mga palatandaan ng divisibility ng 19: Ang isang numero ay nahahati sa 19 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa dalawang beses sa bilang ng mga yunit ay nahahati sa 19.

Halimbawa, 646:19, dahil 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 23:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang daan-daang numero na idinagdag sa triple ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 28842:23, dahil 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Lagda 2: ang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa pitong beses ang bilang ng isa ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3 9+7 1=46 (46:23)

Palatandaan 3: ang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daan ay idinagdag sa pitong beses sa bilang ng sampu at triple ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Subukan para sa divisibility ng 27: ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 27.

Halimbawa, 2705427:27 kasi 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Subukan para sa divisibility ng 29: Ang isang numero ay nahahati sa 29 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa tatlong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 29.

Halimbawa, 261:29, dahil 26+3·1=29 (29:29)

Subukan para sa divisibility ng 31: Ang isang numero ay nahahati sa 31 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at tatlong beses ang bilang ng isa ay nahahati sa 31.

Halimbawa, 217:31, dahil ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Pamantayan sa divisibility ng 33: Kung ang kabuuan na binubuo sa pamamagitan ng paghahati ng isang numero mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng dalawang digit ay nahahati sa 33, kung gayon ang numero ay mahahati sa 33.

Halimbawa, 396:33, dahil 96+3=99 (99:33)

Pamantayan sa divisibility ng 37:

Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag, kapag hinahati ang numero sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), ang kabuuan ng mga pangkat na ito ay isang multiple ng 37.

Halimbawa, bilang 100048:37, dahil 100+048=148, (148:37)

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag ang modulus ng triple ang bilang ng daan-daan ay idinagdag sa apat na beses ang bilang ng sampu minus ang bilang ng mga yunit na pinarami ng pito ay hinati sa 37.

Halimbawa, ang numero ay 481:37, dahil nahahati ito ng 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Pamantayan sa divisibility ng 41:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati ng 41 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 41.

Halimbawa, 369:41, dahil ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Lagda 2: Upang suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 41, dapat itong hatiin mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng 5 digit bawat isa. Pagkatapos sa bawat pangkat, i-multiply ang unang digit sa kanan ng 1, i-multiply ang pangalawang digit sa 10, ikatlo sa 18, ikaapat ng 16, ikalima ng 37 at idagdag ang lahat ng mga resultang produkto. Kung ang resultaay mahahati sa 41, pagkatapos ang numero mismo ay mahahati sa 41.

Subukan para sa divisibility ng 59: Ang isang numero ay nahahati sa 59 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 6 ay nahahati sa 59.

Halimbawa, 767:59, dahil 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Subukan para sa divisibility ng 79: Ang isang numero ay nahahati sa 79 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 8 ay nahahati sa 79.

Halimbawa, 711:79, dahil 71+8·1=79, (79:79)

Pagsusuri sa divisibility ng 99: ang isang numero ay nahahati sa 99 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 99.

Halimbawa, 12573:99, dahil 1+25+73=99, (99:99)

Pagsusuri sa divisibility ng 101: ang isang numero ay nahahati ng 101 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng dalawang digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang "+" sign, at kahit na mga numero na may "–" sign ay nahahati ng 101.

Halimbawa

Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ginagamit ang iba pang pamantayan sa divisibility

Ang pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, atbp. Ang lahat ng ito ay pinagsama-samang mga numero. Ang pamantayan sa divisibility para sa mga composite na numero ay batay sa mga pamantayan sa divisibility para sa mga prime number, kung saan maaaring mabulok ang anumang composite number.

Subukan para sa divisibility ng 6:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ito ay nahahati sa parehong 2 at 3, iyon ay, kung ito ay kahit na at ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 768:6, dahil 7+6+8=21 (21:3) at ang huling digit sa numerong 768 ay pantay.

Pagsusuri sa divisibility ng 12: Ang isang numero ay nahahati sa 12 kapag ito ay nahahati ng 3 at 4 sa parehong oras.

Halimbawa, 408:12, dahil 4+0+8=12 (12:3) at ang huling dalawang digit ay nahahati sa 4 (08:4)

Subukan para sa divisibility ng 14: Ang isang numero ay nahahati sa 14 kapag ito ay nahahati sa 2 at 7.

Halimbawa, ang bilang na 45612:14 dahil ito ay nahahati sa parehong 2 at 7, na nangangahulugang ito ay nahahati ng 14.

Subukan para sa divisibility ng 15: Ang isang numero ay nahahati sa 15 kapag ito ay nahahati sa 3 at 5.

Halimbawa, 1146795:15 kasi Ang numerong ito ay nahahati sa parehong 3 at 5.

Mga pagsubok para sa divisibility ng 27: Ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ito ay nahahati sa 3 at 9.

Halimbawa, 511704:27 kasi 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 at 18:9)

Mga palatandaan ng divisibility ng 30: Ang isang numero ay nahahati sa 30 kapag ito ay nagtatapos sa 0 at ang kabuuan ng lahat ng mga numero ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 510:30 kasi 5+1+0=6 (6:3) at sa numerong 510 (huling digit 0)

Mga palatandaan ng divisibility ng 60: Upang ang isang numero ay mahahati ng 60, kinakailangan at sapat na ito ay mahahati ng 4, 3, o 5.

Halimbawa, 1620:60 kasi 1+6+2+0=9 (9:3), ang bilang na 1620 ay nagtatapos sa 0, i.e. ay nahahati sa 5 at 1620: 4 dahil huling dalawang digit 20:4

Ang gawain ay may praktikal na aplikasyon. Maaari itong gamitin ng mga mag-aaral at matatanda kapag nilulutas ang mga totoong sitwasyon; guro, kapwa kapag nagsasagawa ng mga aralin sa matematika at sa mga elektibong kurso at karagdagang mga klase para sa pag-uulit.

Itong pag aaral ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral kapag pagsasanay sa sarili para sa final at entrance exams. Magiging kapaki-pakinabang din ito para sa mga mag-aaral na ang layunin ay matataas na lugar sa mga Olympiad ng lungsod.

Gawain Blg. 1 . Posible bang, gamit lamang ang mga numero 3 at 4, na isulat:

isang numero na nahahati sa 10;

kahit na numero;

isang numero na isang multiple ng 5;

kakaibang numero

Problema Blg. 2

Sumulat ng ilang siyam na digit na numero na walang umuulit na digit (lahat ng digit ay iba) at nahahati sa 1 nang walang natitira.

Isulat ang pinakamalaki sa mga bilang na ito.

Isulat ang pinakamaliit sa mga numerong ito.

Sagot: 987652413; 102347586

Problema Blg. 3

Hanapin ang pinakamalaking apat na digit na numero, ang lahat ng mga digit ay iba at nahahati sa 2, 5, 9, 11.

Sagot: 8910

Problema Blg. 4

Nakagawa si Olya ng isang simpleng tatlong-digit na numero, na ang lahat ng mga digit ay iba. Sa anong digit ito magtatapos kung ang huling digit nito ay katumbas ng kabuuan ng unang dalawa. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bilang.

Sagot: sa pamamagitan lamang ng 7. Mayroong 4 na numero na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: 167, 257, 347, 527

Problema Blg. 5

Mayroong 70 mag-aaral sa dalawang klase na magkasama. Sa isang klase, 7/17 na mag-aaral ang hindi sumipot sa mga klase, at sa isa pa, 2/9 ang nakatanggap ng mahuhusay na marka sa matematika. Ilang estudyante ang bawat klase?

Solusyon: Sa una sa mga klaseng ito ay maaaring mayroong: 17, 34, 51... - mga numero na multiple ng 17. Sa pangalawang klase: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - mga numero na multiple ng 9. Kailangan nating pumili ng 1 numero mula sa unang pagkakasunud-sunod , at ang 2 ay isang numero mula sa pangalawa upang sila ay magdagdag ng hanggang 70. Bukod dito, sa mga pagkakasunud-sunod na ito ay maliit na bilang lamang ng mga termino ang maaaring magpahayag ng posibleng bilang ng mga bata sa klase. Ang pagsasaalang-alang na ito ay makabuluhang naglilimita sa pagpili ng mga opsyon. Ang tanging posibleng opsyon ay ang pares (34, 36).

Problema Blg. 6

Sa ika-9 na baitang para sa pagsusulit 1/7 na mag-aaral ang nakatanggap ng A's, 1/3 - B's, ½ - C's. Ang natitirang gawain ay naging hindi kasiya-siya. Ilang ganoong trabaho ang naroon?

Solusyon: Ang solusyon sa problema ay dapat na isang numero na isang multiple ng mga numero: 7, 3, 2. Hanapin muna natin ang pinakamaliit sa mga numerong ito. LCM (7, 3, 2) = 42. Maaari kang lumikha ng expression ayon sa mga kondisyon ng problema: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 hindi matagumpay. Ipinapalagay ng mga problema sa relasyong matematika na ang bilang ng mga mag-aaral sa klase ay 84, 126, atbp. Tao. Ngunit ang sentido komun ay nagpapahiwatig na ang pinakakatanggap-tanggap na sagot ay ang numero 42.

Sagot: 1 trabaho.

Konklusyon:

Bilang resulta ng gawaing ito, nalaman ko na bilang karagdagan sa mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10 na alam ko, mayroon ding iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero. Ang kaalamang nakuha ay makabuluhang nagpapabilis sa solusyon ng maraming problema. At magagamit ko ang kaalamang ito sa aking mga aktibidad na pang-edukasyon, kapwa sa mga aralin sa matematika at sa mga gawaing ekstrakurikular. Dapat ding tandaan na ang mga pormulasyon ng ilang pamantayan sa divisibility ay kumplikado. Kaya siguro hindi sila nag-aaral sa school. Inaasahan kong patuloy na magtrabaho sa pag-aaral ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa hinaharap.

encyclopedic Dictionary batang mathematician. Savin A.P. Moscow "Pedagogy" 1989.

Mathematics. Karagdagang materyales para sa mga aralin sa matematika, mga baitang 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.

Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukasyon, 1989.

Mga gawaing extracurricular sa matematika sa grade 6-8. Moscow. "Enlightenment" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

“1001 tanong at sagot. Malaking aklat ng kaalaman" Moscow. "Mundo ng mga Aklat" 2004.

Opsyonal na kurso sa matematika. Nikolskaya I.L. - Moscow. Enlightenment 1991.

Mga problema sa Olympiad sa matematika at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Farkov A.V. 2003

Mga mapagkukunan ng Internet.

Tingnan ang nilalaman ng presentasyon
"Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero"

Regional research conference para sa mga mag-aaral

Lakhdenpokh munisipal na distrito "Hakbang sa hinaharap"

"Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero"

Nakumpleto ni: Galkina Natalya

mag-aaral sa ika-7 baitang

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Pinuno: Vasilyeva Larisa Vladimirovna

guro ng matematika sa MKOU "Elisenvaarskaya" Secondary School"

2014

Ang kaugnayan ng pananaliksik : Ang mga palatandaan ng divisibility ay palaging interesado sa mga siyentipiko ng iba't ibang panahon at mga tao. Kapag pinag-aaralan ang paksang "Mga palatandaan ng divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10" sa mga aralin sa matematika, naging interesado ako sa pag-aaral ng mga numero para sa divisibility. Ipinapalagay na kung posible na matukoy ang divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng mga numerong ito, dapat mayroong mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ng isa ang divisibility ng mga natural na numero ng iba pang mga numero. Sa ilang mga kaso, upang malaman kung ang anumang natural na numero ay mahahati a sa isang natural na numero b nang walang natitira, hindi kinakailangang hatiin ang mga numerong ito. Ito ay sapat na upang malaman ang ilang mga palatandaan ng divisibility. Hypothesis – kung mayroong mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10, kung gayon mayroong iba pang mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ang divisibility ng mga natural na numero. Layunin ng pag-aaral – dagdagan ang mga kilalang palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa kabuuan, pinag-aralan sa paaralan at i-systematize ang mga palatandaang ito ng divisibility. Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod mga gawain:

• Malayang siyasatin ang divisibility ng mga numero.
• Mag-aral ng karagdagang literatura upang maging pamilyar sa iba pang mga palatandaan ng divisibility.
• Pagsamahin at ibuod ang mga feature mula sa iba't ibang source.
• Gumuhit ng konklusyon. Layunin ng pag-aaral – divisibility ng mga natural na numero. Paksa ng pag-aaral - mga palatandaan ng divisibility. Mga pamamaraan ng pananaliksik – koleksyon ng materyal, pagproseso ng data, paghahambing, pagsusuri, paglalahat. Kabago-bago : Sa panahon ng proyekto ay pinalawak ko ang aking kaalaman sa pamantayan para sa divisibility ng mga natural na numero.

Mula sa kasaysayan ng matematika

Blaise Pascal (ipinanganak 1623) - isa sa mga pinakatanyag na tao sa kasaysayan ng sangkatauhan. Namatay si Pascal noong siya ay 39 taong gulang, ngunit sa kabila ng napakaikling buhay, bumaba siya sa kasaysayan bilang isang natatanging matematiko, pisiko, pilosopo at manunulat. Ang yunit ng presyon (pascal) at isang napaka-tanyag na programming language ngayon ay ipinangalan sa kanya. Natagpuan ni Blaise Pascal ang isang karaniwan isang algorithm para sa paghahanap ng mga palatandaan ng divisibility ng anumang integer ng anumang iba pang integer.

Ang pagsusulit ni Pascal ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mga pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng anumang numero. Isang uri ng "universal sign of divisibility".

Pascal's divisibility test: Ang isang natural na numero a ay hahatiin ng isa pang natural na numero b kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numerong a sa mga katumbas na natitirang nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga yunit ng digit sa numerong b ay mahahati sa numerong ito.

Halimbawa : ang bilang na 2814 ay nahahati sa 7, dahil ang 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 ay nahahati sa 7. (Narito ang 6 ay ang natitira sa dibisyon ng 1000 sa 7, ang 2 ay ang natitira sa paghahati ng 100 sa 7 at 3 ang natitira mula sa paghahati ng 10 sa 7).

Pangunahing Konsepto

Tandaan natin ang ilang mga konsepto sa matematika na kakailanganin natin sa pag-aaral ng paksang ito:

• Pagsusulit sa divisibility ay isang panuntunan kung saan, nang hindi nagsasagawa ng paghahati, matutukoy mo kung ang isang numero ay mahahati sa isa pa.

• Divider natural na numero A tumawag sa isang natural na numero b , kung saan A hinati nang walang natitira.

• Simple ay tinatawag na natural na mga numero na walang ibang natural na natatanging divisors maliban sa isa at sa kanilang mga sarili.

• Composite ay mga numerong may natural na divisors maliban sa 1 at sa kanilang sarili.

Mga palatandaan ng divisibility

Ang lahat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na isinasaalang-alang ko sa gawaing ito ay maaaring nahahati sa 4 na grupo:

ako

• ako . Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng huling digit (mga)

Ang unang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na aking isinasaalang-alang ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 at mga digit na unit 10, 100, atbp.

• Subukan para sa divisibility ng 2 : Ang isang numero ay nahahati sa 2 kapag ang huling digit ng numerong iyon ay nahahati sa 2 (ibig sabihin, ang huling digit ay isang even na numero).

Halimbawa : 3221786 4 : 2

• Subukan para sa divisibility ng 4 : Ang isang numero ay nahahati sa 4 kapag ang huling dalawang digit nito ay mga zero, o kapag ang dalawang-digit na numero na nabuo ng huling dalawang digit nito ay nahahati sa 4.

Halimbawa: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Pagsusuri sa divisibility ng 5 : Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay 5 o 0.

Halimbawa: 3678 0 : 5 o 12326 5 : 5

• Subukan para sa divisibility ng 8: Ang isang numero ay nahahati sa 8 kapag ang isang tatlong-digit na numero na nabuo mula sa huling tatlong digit ng numerong iyon ay nahahati sa 8.

Halimbawa: 432 240 : 8

• Subukan para sa divisibility ng 20: ang isang numero ay nahahati sa 20 kapag ang bilang ay nabuo ng dalawa huli mga numero, nahahati sa 20. (Isa pang pormulasyon: ang numero ay nahahati sa pamamagitan ng 20 kapag ang huling digit ng numero ay 0, at ang pangalawa hanggang huling digit ay pantay).

Halimbawa: 596 40 : 20

• Subukan para sa divisibility ng 25: Ang mga numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 25 ay nahahati sa 25.

Halimbawa: 6679 75 : 25 o 77689 00 : 25

• Subukan para sa divisibility ng 50: Ang isang numero ay nahahati sa 50 kapag ang bilang na nabuo sa pamamagitan ng dalawang pinakamababang decimal na digit nito ay nahahati sa 50.

Halimbawa : 5643 50 : 50 o 5543 00 : 50

• Pagsusuri sa divisibility ng 125: Ang isang numero ay nahahati ng 125 kung ang huling tatlong digit nito ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 125.

Halimbawa: 32157 000 : 125 o 3216 250 : 125

• Mga palatandaan ng divisibility ayon sa digit na unit 10, 100, 1000, atbp.: Ang mga natural na numero na ang bilang ng mga zero ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang ng mga zero ng digit na yunit ay nahahati sa isang digit na yunit.

Halimbawa, ang 12,000 ay nahahati sa 10, 100 at 1000

II

• II . Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero

Kasama sa pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 3, 9, 11 na aking isinasaalang-alang.

• Subukan para sa divisibility ng 3: Ang isang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Subukan para sa divisibility ng 9: Ang isang numero ay nahahati sa 9 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.

Halimbawa: 653022: 9 kasi 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Subukan para sa divisibility ng 11: Ang mga numerong iyon ay nahahati sa 11 kung ang kabuuan ng mga digit sa mga kakaibang lugar ay alinman sa katumbas ng kabuuan ng mga digit sa kahit na mga lugar o naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang multiple ng 11.

Halimbawa: 865948732:11 dahil 8+5+4+7+2=26 at 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon

sa itaas ng mga digit ng numerong ito

Ang pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Subukan para sa divisibility ng 6:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ang resulta ng pagbabawas ng dalawang beses sa bilang ng daan-daan mula sa numero pagkatapos ng daan-daan ay nahahati ng 6.

Halimbawa: 138: 6 dahil 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kasi 44 – 7·2=30, (30:6)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 6 kung at kung ang apat na beses na bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 6.

Halimbawa: 768:6 kasi 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Divisibility ng 7:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 7 kapag triple ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng isa ay nahahati ng 7.

Halimbawa: ang bilang na 154:7, dahil 15 3 + 4 = 49 (49:7) ay hinati sa 7

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati ng 7 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang "+" sign, at kahit na mga numero na may "-" sign ay nahahati ng 7.

Halimbawa, 138689257:7, dahil ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Divisibility ng 11:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga kakaibang posisyon at ang kabuuan ng mga digit na sumasakop sa kahit na mga posisyon ay nahahati ng 11.

Halimbawa, 9163627:11, dahil ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 103785:11, dahil 10+37+85=132 at 01+32=33 (33:11)

Divisibility ng 13:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang kabuuan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13

Halimbawa, 845:13, dahil 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at siyam na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84-5 9=39 (39:13)

Subukan para sa divisibility ng 17: ang isang numero ay nahahati sa 17 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at limang beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 17.

Halimbawa, 221:17, dahil ǀ22-5·1ǀ=17

Mga palatandaan ng divisibility ng 19: ang isang numero ay nahahati sa 19 kapag ang bilang ay sampu, na may huwad na may doblehin ang bilang ng mga yunit, nahahati sa 19.

Halimbawa, 646:19, dahil 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 23:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daang idinagdag sa triple ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 28842:23, dahil 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa pitong beses ng bilang ng mga yunit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 39+7·1=46 (46:23)

• Palatandaan 3: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daan, idinagdag sa pitong beses ang bilang ng sampu at triple ang bilang ng mga yunit, mahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Subukan para sa divisibility ng 27: ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 27.

Halimbawa, 2705427:27 dahil 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Subukan para sa divisibility ng 29: ang isang numero ay nahahati sa 29 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa tatlong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 29

Halimbawa, 261:29, dahil 26+3·1=29 (29:29)

Subukan para sa divisibility ng 31: ang isang numero ay nahahati sa 31 kapag ang modulus ng pagkakaiba ng bilang ng sampu at tatlong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 31.

Halimbawa, 217:31, dahil ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Pamantayan sa divisibility ng 33: Kung ang kabuuan na binubuo sa pamamagitan ng paghahati ng isang numero mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng dalawang digit ay nahahati sa 33, kung gayon ang numero ay mahahati sa 33.

Halimbawa, 396:33, dahil 96+3=99 (99:33)

Pamantayan sa divisibility ng 37:

• Palatandaan 1 : ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag, kapag hinahati ang numero sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), ang kabuuan ng mga pangkat na ito ay isang multiple ng 37.

Halimbawa , bilang 100048:37, dahil 100+048=148, (148:37)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag ang module ng triple ang bilang ng daan-daan, idinagdag sa apat na beses ang bilang ng sampu, binawasan ang bilang ng mga yunit na pinarami ng pito, ay nahahati sa 37.

Halimbawa, ang bilang na 481:37, dahil ang ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 ay nahahati ng 37

Pamantayan sa divisibility ng 41:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 41 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 41.

Halimbawa, 369:41, dahil ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Palatandaan 2: upang suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 41, dapat itong hatiin mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng 5 digit bawat isa. Pagkatapos sa bawat pangkat, i-multiply ang unang digit sa kanan ng 1, i-multiply ang pangalawang digit sa 10, ikatlo sa 18, ikaapat ng 16, ikalima ng 37 at idagdag ang lahat ng mga resultang produkto. Kung ang resulta ay nahahati sa 41, kung gayon ang numero mismo ay mahahati sa 41.

Subukan para sa divisibility ng 59: Ang isang numero ay nahahati sa 59 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 6 ay nahahati sa 59.

Halimbawa, 767:59, dahil 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Subukan para sa divisibility ng 79: Ang isang numero ay nahahati sa 79 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 8 ay nahahati sa 79.

Halimbawa, 711:79, dahil 71+8·1=79, (79:79)

Pagsusuri sa divisibility ng 99: ang isang numero ay nahahati sa 99 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 99.

Halimbawa, 12573:99, dahil 1+25+73=99, (99:99)

Pagsusuri sa divisibility ng 101: ang isang numero ay nahahati ng 101 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng dalawang digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang "+" sign, at kahit na mga numero na may "–" sign ay nahahati ng 101.

Halimbawa, 590547:101, dahil ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ginagamit ang iba pang pamantayan sa divisibility

Ang pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, atbp. Ang lahat ng ito ay pinagsama-samang mga numero. Ang pamantayan sa divisibility para sa mga composite na numero ay batay sa mga pamantayan sa divisibility para sa mga prime number, kung saan maaaring mabulok ang anumang composite number.

Subukan para sa divisibility ng 6: Ang isang numero ay nahahati ng 6 kapag ito ay nahahati sa parehong 2 at 3, iyon ay, kung ito ay kahit na at ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 768:6, dahil 7+6+8=21 (21:3) at ang huling digit sa numerong 768 ay pantay.

Pagsusuri sa divisibility ng 12 : Ang isang numero ay nahahati sa 12 kapag ito ay nahahati ng 3 at 4 sa parehong oras.

Halimbawa, 408:12, dahil 4+0+8=12 (12:3) at ang huling dalawang digit ay nahahati sa 4 (08:4)

Subukan para sa divisibility ng 14: Ang isang numero ay nahahati sa 14 kapag ito ay nahahati sa 2 at 7.

Halimbawa, ang bilang na 45612:14 dahil ito ay nahahati sa parehong 2 at 7, na nangangahulugang ito ay nahahati ng 14.

Subukan para sa divisibility ng 15: Ang isang numero ay nahahati sa 15 kapag ito ay nahahati sa 3 at 5.

Halimbawa, 1146795:15 dahil ang numerong ito ay nahahati sa parehong 3 at 5

Mga pagsubok para sa divisibility ng 27: Ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ito ay nahahati sa 3 at 9. Halimbawa, 511704:27 dahil 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 at 18:9)

Mga palatandaan ng divisibility ng 30: Ang isang numero ay nahahati sa 30 kapag ito ay nagtatapos sa 0 at ang kabuuan ng lahat ng mga numero ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 510:30 kasi 5+1+0=6 (6:3) at sa numerong 510 (huling digit 0)

Mga palatandaan ng divisibility ng 60: Upang ang isang numero ay mahahati ng 60, kinakailangan at sapat na ito ay mahahati ng 4, 3, o 5.

Halimbawa, 1620:60 kasi 1+6+2+0=9 (9:3), ang bilang na 1620 ay nagtatapos sa 0, i.e. ay nahahati sa 5 at 1620: 4 dahil huling dalawang digit 20:4

Paglalapat ng pamantayan sa divisibility sa pagsasanay

Ang gawain ay may praktikal na aplikasyon. Maaari itong gamitin ng mga mag-aaral at matatanda kapag nilulutas ang mga totoong sitwasyon; mga guro, kapwa sa panahon ng mga aralin sa matematika at sa mga elektibong kurso at karagdagang mga klase sa rebisyon.

Ang pag-aaral na ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa kanilang independiyenteng paghahanda para sa mga panghuling pagsusulit at pasukan. Magiging kapaki-pakinabang din ito para sa mga mag-aaral na ang layunin ay matataas na lugar sa mga Olympiad ng lungsod.

Gawain Blg. 1 . Posible bang, gamit lamang ang mga numero 3 at 4, na isulat:

• isang numero na nahahati sa 10;
• kahit na numero;
• isang numero na isang multiple ng 5;
• kakaibang numero

Problema Blg. 3 : Hanapin ang pinakamalaking apat na digit na numero, ang lahat ng mga digit ay iba at nahahati sa 2, 5, 9, 11.

Sagot: 8910

Gawain #4: Nakagawa si Olya ng isang simpleng tatlong-digit na numero, na ang lahat ng mga digit ay iba. Sa anong digit ito magtatapos kung ang huling digit nito ay katumbas ng kabuuan ng unang dalawa. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bilang.

Sagot: sa pamamagitan lamang ng 7. Mayroong 4 na numero na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: 167, 257, 347, 527

Problema Blg. 5 : Mayroong 70 mag-aaral sa dalawang klase na magkasama. Sa isang klase, 7/17 na mag-aaral ang hindi sumipot sa mga klase, at sa isa pa, 2/9 ang nakatanggap ng mahuhusay na marka sa matematika. Ilang estudyante ang bawat klase?

Solusyon: Sa una sa mga klaseng ito ay maaaring mayroong: 17, 34, 51... - mga numero na multiple ng 17. Sa pangalawang klase: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - mga numero na multiple ng 9. Kailangan nating pumili ng 1 numero mula sa unang pagkakasunud-sunod , at ang 2 ay isang numero mula sa pangalawa upang sila ay magdagdag ng hanggang 70. Bukod dito, sa mga pagkakasunud-sunod na ito ay maliit na bilang lamang ng mga termino ang maaaring magpahayag ng posibleng bilang ng mga bata sa klase. Ang pagsasaalang-alang na ito ay makabuluhang naglilimita sa pagpili ng mga opsyon. Ang tanging posibleng opsyon ay ang pares (34, 36).

Problema Blg. 6 : Sa ika-9 na baitang, 1/7 estudyante ang nakatanggap ng A para sa pagsusulit, 1/3 ang natanggap apat, ½ - tatlo. Ang natitirang gawain ay naging hindi kasiya-siya. Gaano karaming mga gawain ang naroon?

Solusyon: Ang solusyon sa problema ay dapat na isang numero na maramihang mga numero: 7, 3, 2. Hanapin muna natin ang pinakamaliit sa mga numerong ito. LCM (7, 3, 2) = 42. Maaari kang gumawa ng expression ayon sa mga kondisyon ng problema: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 hindi matagumpay. Ang mga problema sa relasyon sa matematika ay ipinapalagay na ang bilang mga mag-aaral sa klase 84, 126, atbp. Tao. Ngunit para sa mga kadahilanan ng bait Kasunod nito na ang pinakakatanggap-tanggap na sagot ay ang numero 42.

Sagot: 1 trabaho.

Konklusyon:

Bilang resulta ng gawaing ito, nalaman ko na bilang karagdagan sa mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10 na alam ko, mayroon ding iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero. Ang kaalamang nakuha ay makabuluhang nagpapabilis sa solusyon ng maraming problema. At magagamit ko ang kaalamang ito sa aking mga gawaing pang-edukasyon, kapwa sa mga aralin sa matematika at sa mga ekstrakurikular na aktibidad. Dapat ding tandaan na ang mga pormulasyon ng ilang pamantayan sa divisibility ay kumplikado. Kaya lang siguro hindi sila nag-aaral sa school. Inaasahan kong patuloy na magtrabaho sa pag-aaral ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa hinaharap.

• Encyclopedic dictionary ng isang batang mathematician. Savin A.P. Moscow "Pedagogy" 1989.
• Mathematics. Karagdagang materyales para sa mga aralin sa matematika, mga baitang 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.
• Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukasyon, 1989.
• Extracurricular work sa matematika sa grade 6-8. Moscow. "Enlightenment" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
• “1001 tanong at sagot. Malaking aklat ng kaalaman" Moscow. "Mundo ng mga Aklat" 2004.
• Opsyonal na kurso sa matematika. Nikolskaya I.L. - Moscow. Enlightenment 1991.
• Mga problema sa Olympiad sa matematika at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Farkov A.V. 2003
• Mga mapagkukunan ng Internet.

Mga integer

Isang set ng mga natural na numero na ginagamit para sa pagbibilang o paglilipat.

Pormal, ang hanay ng mga natural na numero ay maaaring tukuyin gamit ang Peano axiom system.

SAPeano axiom system

1. Yunit - isang natural na numero na hindi sumusunod sa anumang numero.

2. Para sa anumang natural na numero umiiral isahan
na agad na sumunod.

3. Bawat natural na numero
isang numero lang ang sinusundan agad.

4. Kung ilang set
naglalaman at kasama ng bawat natural na numero ay naglalaman ng numero na kaagad na sumusunod dito
(axiom ng induction).

Mga operasyon sa isang set

Pagpaparami

Pagbabawas :

Mga Katangian ng Pagbabawas: Kung
yun

Kung
yun

Divisibility ng mga natural na numero

Dibisyon : hinati ng
ganyan

Ari-arianmga operasyon:

1. Kung
ay nahahati sa yun
hinati ng

2. Kung
At
ay nahahati sa yun
hinati ng

3. Kung
At nahahati sa na nahahati sa

4. Kung mahahati na noon
hinati ng

5. Kung
ay nahahati ng a ay hindi nahahati sa ganito at ganyan
hindi mahahati ng

6. Kung o hinati niyan
hinati ng

7. Kung mahahati ng
pagkatapos ito ay hinati ng at hinati ng

Teoramatungkol sa paghahati sa natitira Para sa anumang natural na numero
may mga positibong numero lamang
ganyan
at

Patunay. Hayaan
Isaalang-alang ang sumusunod na algorithm:

	Kung Kung pagkatapos ay gawin natin ang isa pang pagbabawas Ipinagpapatuloy namin ang proseso ng pagbabawas hanggang ang natitira ay mas mababa sa numero May numero ganyan
	Pagsamahin natin ang lahat ng linya ng algorithm na ito at kunin ang kinakailangang expression, kung saan

Patunayan natin ang pagiging natatangi ng representasyon sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ipagpalagay na mayroong dalawang representasyon

At
Ibawas ang isang expression mula sa isa at
Ang huling pagkakapantay-pantay sa mga integer ay posible lamang sa kaso mula noon
sa
□

Bunga 1. Ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang:
o o

Bunga 2. Kung
magkakasunod na natural na mga numero, pagkatapos ay ang isa sa mga ito ay mahahati ng

Bunga 3. Kung
dalawang magkasunod na even na numero, pagkatapos ang isa sa mga ito ay mahahati ng

Kahulugan. Natural na numero ay tinatawag na prime kung ito ay walang divisors maliban sa isa at mismo.

Bunga4. Ang bawat prime number ay may anyo
o

Sa katunayan, ang anumang numero ay maaaring katawanin sa anyo gayunpaman, ang lahat ng mga numero sa seryeng ito, maliban
ay tiyak na composite. □

Bunga5 . Kung
prime number noon
hinati ng

Talaga,
tatlong magkakasunod na natural na numero, at
kahit, at
kakaibang prime. Samakatuwid, ang isa sa kahit na mga numero
At
ay nahahati sa 4, at ang isa ay nahahati din ng □

Halimbawa 2 . Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. Ang parisukat ng isang kakaibang numero kapag hinati sa 8 ay nagbibigay ng natitira

2. Para sa walang natural na numero n ang numero n 2 +1 ay nahahati ng 3.

3. Gamit lamang ang mga numero 2, 3, 7, 8 (maaaring ilang beses), imposibleng i-square ang isang natural na numero.

Patunay1. Ang anumang kakaibang numero ay maaaring ilarawan bilang
o
I-square natin ang bawat isa sa mga numerong ito at makuha ang kinakailangang pahayag.

Patunay 2. Ang bawat natural na numero ay maaaring ilarawan bilang
Tapos yung expression
ay magiging katumbas ng isa sa mga expression
na hindi nahahati sa

Patunay3. Sa katunayan, ang huling digit ng parisukat ng isang natural na numero ay hindi maaaring magtapos sa alinman sa mga digit na ito.

Mga palatandaan ng divisibility

Kahulugan. Ang decimal na representasyon ng isang natural na numero ay ang representasyon ng isang numero sa form

Shorthand notation

Mga palatandaan ng divisibility sa

Naaprubahan 6 Hayaan
decimal na representasyon ng numerong numero Pagkatapos:

1. Ang numero ay nahahati sa
kapag ang pigura - kahit;

2. Ang bilang ay nahahati sa kapag ang bilang ay dalawang digit
hinati ng

3. Ang bilang ay nahahati sa Kailan
o

4. Ang bilang ay nahahati sa
Kailan

5. Ang bilang ay nahahati sa
kapag ang bilang ay dalawang digit
- hinati ng

6. Ang bilang ay nahahati sa

7. Ang bilang ay nahahati ng kapag ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hinati ng

8. Ang bilang ay nahahati sa
kapag ang kabuuan ng mga digit ng isang numero na may mga alternating sign ay hinati ng

Patunay. Ang patunay ng mga palatandaan 1)-5) ay madaling makuha mula sa decimal notation ng numero. Talaga,

Kasunod nito na kung mahahati (o
pagkatapos ay ang kabuuan ng mga digit ng numero ay nahahati din ng

Patunayan natin 11). Let it be divisible by Let us represent the number in the form

Dahil ang lahat ng idinagdag na kabuuan ay nahahati sa
pagkatapos ang halaga ay hinati din sa □

Halimbawa 3 . Hanapin ang lahat ng limang-digit na numero ng form
, na nahahati sa 45.

Patunay.
Samakatuwid, ang numero ay nahahati sa 5, at ang huling digit nito ay 0 o 5, i.e.
o
Ang orihinal na numero ay nahahati din ng 9, kaya ito ay nahahati sa 9, i.e.
o mahahati ng 9, i.e.

Sagot:

Pagsusulit sa divisibility sa At

Naaprubahan 7 Hayaang mahahati ang decimal na representasyon ng numero ng numero
kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng isang numero na walang huling tatlong digit at isang numero na binubuo ng huling tatlong digit ay hinati sa

Patunay. Katawanin natin ito sa anyong Since the number
hinati ng at
yun
mahahati ng at □

Halimbawa 4 . Hayaan
Pagkatapos
ay nahahati sa at samakatuwid ang numero
hinati ng

Hayaan
Pagkatapos

divisible by Then the number
hinati ng

Pangunahing numero

Salaan ng Eratosthenes

(Simple algorithm para sa pagkuha ng lahat ng prime number)

Algorithm. Isinulat namin ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang 100 at i-cross out muna ang lahat ng mga even. Pagkatapos, mula sa mga natitira ay tinatanggal namin ang mga nahahati sa 3, 5, 7, atbp. Bilang resulta, ang mga prime number lamang ang mananatili.

Ang teorama ni Euclid. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang katapusan.

Patunay"sa pamamagitan ng kontradiksyon." Hayaang may hangganan ang bilang ng mga prime number -
Isaalang-alang ang numero
Tanong: numero - simple o tambalan?

Kung ito ay isang pinagsama-samang numero, kung gayon ito ay mahahati sa ilang prime number at samakatuwid ang isa ay nahahati sa prime number na ito. Kontradiksyon.

Kung ito ay isang prime number, kung gayon ito ay mas malaki kaysa sa anumang prime number
at isinulat namin at binilang ang lahat ng mga prime number. Muli isang kontradiksyon. □

Naaprubahan 8 Kung ang isang numero ay composite, kung gayon mayroon itong pangunahing divisor na ganoon

Patunay. Kung ang pinakamaliit na prime divisor ng isang composite number
yun

Bunga. Upang matukoy kung ang isang numero ay prime, kailangan mong matukoy kung mayroon itong mga pangunahing kadahilanan

Halimbawa 5 . Hayaan
Upang suriin kung ang isang numero ay
simple, kailangan mong suriin kung ito ay nahahati sa mga pangunahing numero Sagot: numero
simple lang.

Mga generator ng pangunahing numero

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
- ito ang mga pangunahing numero
Para sa
Ito ay napatunayan nang manu-mano at sa tulong ng isang computer na ang lahat ng mga numero ay pinagsama-sama.

Halimbawa, (Euler)

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
totoo naman yun eh
mahahati sa 17.

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
totoo naman yun eh

Hypothesis: Ang lahat ng mga numero ng form ay prime. Sa
totoo naman yun eh

Teorama.(Fermat method of factoring) Ang kakaibang integer ay hindi prime
may mga natural na numero na ganyan
Patunay.

□

Halimbawa 6 . I-factor ang mga numero sa prime factor

Halimbawa 7 . I-factor ang isang numero
Ang numerong ito ay nahahati sa 3
Dagdag pa, ayon sa paraan ng pagpili ng mga kadahilanan,

Halimbawa 8 . Sa anong mga integer

simple?

Tandaan na mula noon
simple, pagkatapos ay alinman
o
Sagot:

Naaprubahan 10 Ang isang natural na numero ba ay may kakaibang bilang ng mga divisors kapag ito ay isang perpektong parisukat?

Patunay. Kung
divisor
pagkatapos ay may dalawang magkaibang pares ng divisors
At
At kailan
ang parehong pares ay magiging pantay.

Halimbawa 9 . Ang mga numero ay may eksaktong 99 divisors. Maaari bang magkaroon ng eksaktong 100 divisors ang isang numero?

Sagot: hindi. Sa katunayan, sa pamamagitan ng nakaraang pag-aari at - perpektong mga parisukat, ngunit ang kanilang trabaho ay hindi.

Halimbawa 10 . Numero
simple lang. Hanapin

Solusyon. Anumang numero ay maaaring katawanin bilang
Kung
pagkatapos ay makakakuha ka ng tatlong pangunahing numero
matugunan ang mga kondisyon ng problema. Kung
yun
pinagsama-sama. Kung
ang numerong iyon
hinati ng at kung
ang numerong iyon
ay nahahati sa pamamagitan ng Kaya, sa lahat ng isinasaalang-alang na mga opsyon ay hindi maaaring makuha ang tatlong pangunahing numero. Sagot:

Kahulugan. Numero ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero at kung ito ay naghahati at at ang pinakamalaki sa naturang mga numero.

pagtatalaga:

Kahulugan . Mga numero at sinasabing medyo prime kung

Halimbawa 1 2 . Lutasin ang equation sa natural na mga numero

Solusyon. Hayaan

Samakatuwid, ang equation ay mukhang Sagot: Walang mga solusyon.

TUNGKOL SApangunahing teorama ng arithmetic

Teorama. Anumang natural na numerong mas malaki kaysa sa prime number o maaaring isulat bilang produkto ng prime numbers, at ang produktong ito ay natatangi hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga salik.

Bunga 1. Hayaan

Pagkatapos
ay katumbas ng produkto ng lahat ng karaniwang prime factor na may pinakamaliit na degree.

Bunga 2. Hayaan
Pagkatapos
ay katumbas ng produkto ng lahat ng iba't ibang pangunahing salik na may pinakamalaking kapangyarihan. hinati ng

10. Hanapin ang huling digit ng numero 7 2011 + 9 2011.

11. Hanapin ang lahat ng natural na mga numero na tumaas ng 9 na beses kung ang isang zero ay ipinasok sa pagitan ng units digit at ang tens digit.

12. Sa ilang dalawang-digit na numero, idinagdag ang isa sa kaliwa at kanan. Ang resulta ay isang numero na 23 beses na mas malaki kaysa sa orihinal. Hanapin ang numerong ito.

Ang mga tanong tungkol sa teorya o pagsasanay ay maaaring itanong kay Valery Petrovich Chuvakov

chv @ uriit . ru

karagdagang panitikan

1. Vilenkin N.Ya. at iba pa. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Arithmetic. Algebra. –M.: Edukasyon, 2008.

2. Sevryukov P.F. Paghahanda para sa paglutas ng mga problema sa Olympiad sa matematika. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Kung paano sila magdesisyon mga hindi karaniwang gawain. –M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Mathematical Olympiads ng rehiyon ng Moscow. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbachev N.V. Koleksyon ng mga problema sa Olympiad, –M.:MCNMO, 2004

Lecture

Mga tala sa panayam para sa kursong "teorya ng numero"

Lecture

Ang mga sumusunod na seksyon ng teorya numero: teorya divisibility, simple at composite... Theorem. Hayaan ang x>0, xR, dN. Dami naturalnumero, multiple ng d at hindi hihigit sa x, katumbas... Lecture 12 13 Lecture 13 15 Panitikan. 17 Abstractmga lecture sa kursong "Teorya" numero" ...

Mga tala sa panayam tungkol sa ulturolohiya

Abstract

Pavlyuchenkov Abstractmga lecture sa cultural studies... hindi pantay at umiral sa loob natural mga sakahan. Ito ay nasa polis... pananaliksik ng mga infinitesimal numero higit na natapos ang paglikha... habang ang materyal mahahati sa kawalang-hanggan. Espirituwal...

D A Shadrin Logic lecture notes

Abstract

Kumakatawan abstractmga lecture sa disiplina na "Logic". Abstractmga lecture pinagsama-sama sa... ito ang kahulugan naturalnumero. Kaya, kung 1 - natural numero at n - natural numero, pagkatapos ay 1 ... maubos ang buong volume mahahati mga konsepto, kaya...

Larangan ng edukasyon: natural na agham.

Seksyon: "Matematika"

Pananaliksik sa paksa:

"Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero"

Pinuno: Lapko I.V.

guro sa matematika

Panimula:

1. Mga katotohanan mula sa kasaysayan ng matematika.

2. Mga palatandaan ng divisibility ng 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10.

3. Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

4. Paglutas ng mga problema gamit ang pamantayan sa divisibility.

6. Listahan ng mga ginamit na panitikan (mga mapagkukunan).

Kaugnayan: Natutunan nating lahat sa paaralan ang mga palatandaan ng divisibility, na hanggang ngayon ay tumutulong sa amin, nang hindi nag-aaksaya ng hindi kinakailangang oras, mabilis at tumpak na hatiin ito o ang numerong iyon. Hindi pa nagtagal, naaalala ang paksang ito, nagsimula akong magtaka kung may iba pang mga palatandaan ng pagkahati sa pamamagitan ng natural na mga numero. At ang kaisipang ito ang nagtulak sa akin na magsulat ng isang research paper.
Hypothesis: Kung matutukoy mo ang divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10, malamang na mayroong mga palatandaan kung saan maaari mong matukoy ang divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng iba pang mga numero.
Layunin ng pag-aaral: divisibility ng mga natural na numero.

Paksa ng pag-aaral: mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Target: dagdagan ang alam na mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero, na pinag-aralan sa paaralan.

Mga gawain:
1. Tukuyin at ulitin ang napag-aralan nang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3. 5, 9, 10.
2. Pag-aralan ang karagdagang literatura na nagpapatunay sa kawastuhan ng tanong na ibinangon tungkol sa pagkakaroon ng iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero.
3. Malayang suriin at kumuha ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 4, 6, 8, 15, 25.
4. Maghanap mula sa karagdagang panitikan ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa pamamagitan ng 7, 11,12,13,14.
5. Gumuhit ng konklusyon.
Bago: Sa panahon ng proyekto, pinalawak ko ang aking kaalaman tungkol sa mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Mga pamamaraan ng pananaliksik: koleksyon ng materyal, pagproseso ng data, pagmamasid, paghahambing, pagsusuri, synthesis.

1. Mga katotohanan mula sa kasaysayan ng matematika

1. Tanda ng divisibility- isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyong medyo mabilis na matukoy kung ang isang numero ay isang multiple ng isang paunang natukoy na isa
Ang pagsubok ng divisibility ay isang panuntunan kung saan, nang hindi nagsasagawa ng paghahati, matutukoy ng isa kung ang isang natural na numero ay mahahati sa isa pa. Ang mga palatandaan ng divisibility ay palaging interesado sa mga siyentipiko iba't-ibang bansa Ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10 ay kilala mula noong sinaunang panahon. Ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 2 ay kilala sa mga sinaunang Egyptian 2 libong taon BC, at ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5 ay inilarawan nang detalyado ng Italian mathematician na si Leonardo Pisanus (Latin Leonardus Pisanus, Italian Leonardo Pisano, sa paligid ng 1170, Pisa - sa paligid ng 1250 taon, ibid.) - ang unang pangunahing matematiko ng medyebal na Europa. Kilala siya sa kanyang palayaw na Fibonacci. Ang Alexandrian scientist na si Eratosthenes, na nabuhay noong ika-3 siglo BC, ay minsang naisip ang parehong tanong. Ang kanyang paraan ng pag-iipon ng isang listahan ng mga prime number ay tinawag na "sieve of Eratosthenes". Sabihin nating kailangan nating hanapin ang lahat ng prime number hanggang 100. Isulat natin ang lahat ng numero hanggang 100 sa isang hilera.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Aalis sa numero 2, i-cross out ang lahat ng iba pang even na numero. Ang unang mabubuhay na numero pagkatapos ng 2 ay magiging 3. Ngayon, iiwan ang numerong 3, ekis natin ang mga numero na mahahati ng 3. Pagkatapos ay ekis ang mga numerong mahahati ng 5. Bilang resulta, ang lahat ng pinagsama-samang numero ay e-cross out at ang mga prime number lamang mananatili: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Gamit ang paraang ito, maaari kang gumawa ng mga listahan ng mga prime number , higit sa 100.

Ang mga isyu ng divisibility ng mga numero ay isinasaalang-alang ng mga Pythagorean. Sa teorya ng numero, gumawa sila ng maraming trabaho sa tipolohiya ng mga natural na numero. Hinati sila ng mga Pythagorean sa mga klase. Ang mga klase ay nakikilala: perpektong mga numero (numero katumbas ng kabuuan kanilang sariling mga divisors, halimbawa: 6=1+2+3), friendly na mga numero (bawat isa ay katumbas ng kabuuan ng iba pang divisors, halimbawa 220 at 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), may figure na numero (triangular number, square number), prime number, atbp. Si Blaise Pascal (1623-1662) ay gumawa ng mahusay kontribusyon sa pag-aaral ng mga palatandaan ng divisibility ng mga numero ). Maagang nagpakita ang batang si Blaise kasanayan sa matematika, matutong magbilang bago magbasa. Sa pangkalahatan, ang kanyang halimbawa ay isang klasikong kaso ng childhood mathematical genius. Isinulat niya ang kanyang unang mathematical treatise, "An Experience in the Theory of Conic Sections," sa edad na 24. Sa paligid ng parehong oras, siya ay nagdisenyo ng isang mekanikal na pagdaragdag ng makina, ang prototype ng pagdaragdag ng makina. SA maagang panahon Sa kanyang malikhaing gawain (1640-1650), ang maraming nalalamang siyentipiko ay nakahanap ng isang algorithm para sa paghahanap ng mga palatandaan ng divisibility ng anumang integer sa pamamagitan ng anumang iba pang integer, kung saan sumusunod ang lahat ng partikular na palatandaan. Ang tanda nito ay ang mga sumusunod: Ang isang natural na numero a ay hahatiin sa isa pang natural na bilang b kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numerong a sa mga katumbas na natitirang nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga yunit ng digit sa bilang b ay mahahati nito. numero.
Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, kailangan mong malaman ang mga konsepto ng divisor, multiple, prime at composite na mga numero ng isang numero sa pamamagitan ng isang numero b ay ipinahayag sa iba pang katumbas na mga salita: a ay isang multiple ng b, b ay isang divisor ng a, b divides a ay natural na mga numero na may dalawang divisors: 1 at ang numero mismo. Halimbawa, ang mga numerong 5,7,19 ay mga pangunahing numero dahil ay nahahati sa 1 at sa sarili nito. Ang mga numero na mayroong higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite numbers. Halimbawa, ang numero 14 ay may 4 na divisors: 1, 2, 7, 14, na nangangahulugang ito ay pinagsama-sama.

2. Mga palatandaan ng divisibility

Upang gawing simple ang paghahati ng mga natural na numero, ang mga panuntunan para sa paghahati sa mga numero ng unang sampu at mga numero 11, 25 ay hinango, na pinagsama sa isang seksyon sa mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero. Nasa ibaba ang mga alituntunin ayon sa kung saan ang pagsusuri ng isang numero nang hindi hinahati ito sa isa pang natural na numero ay sasagutin ang tanong, ay isang natural na numero ng maramihang ng mga numero 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 at ang digit na unit?

Ang mga natural na numero na may mga digit (nagtatapos sa) 2,4,6,8,0 sa unang digit ay tinatawag na even.

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 2

Ang lahat ng natural na numero ay nahahati sa 2, halimbawa: 172, 94.67, 838, 1670.

Halimbawa, ang bilang na 52,738 ay nahahati sa 2 dahil ang huling digit, 8, ay pantay; Ang 7691 ay hindi mahahati ng 2, dahil ang 1 ay isang kakaibang numero; Ang 1250 ay nahahati sa 2 dahil ang huling digit ay zero.

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 3

Ang lahat ng natural na numero na ang kabuuan ng mga digit ay nahahati sa 3 ay nahahati sa 3. Halimbawa:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Mga halimbawa.

Ang numerong 52632 ay nahahati sa 9 dahil ang kabuuan ng mga digit nito (18) ay nahahati sa 9.

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 4

Ang lahat ng natural na numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o isang multiple ng 4 ay nahahati sa 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Mga halimbawa.
Ang 31,700 ay nahahati sa 4 dahil nagtatapos ito sa dalawang zero;
Ang 215,634 ay hindi nahahati sa 4, dahil ang huling dalawang numero ay nagbibigay ng bilang na 34, na hindi nahahati sa 4;
Ang 16,608 ay nahahati ng 4 dahil ang huling dalawang digit ng 08 ay nagbibigay ng numerong 8, na nahahati sa 4.

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 5

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 6

Ang mga natural na numerong iyon na nahahati sa 2 at 3 sa parehong oras ay nahahati sa 6 (lahat ng mga numerong pantay na nahahati sa 3). Halimbawa: 126 (b - kahit, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 8

Ang mga iyon at ang mga numero lamang na nagtatapos sa tatlong zero o ang huling tatlong digit ay nagpapahayag ng isang numero na nahahati sa 8 ay nahahati sa 8. Halimbawa

Ang bilang na 853,000 ay nagtatapos sa tatlong zero, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 8

Ang bilang na 381,864 ay nahahati sa 8 dahil ang bilang na nabuo ng huling tatlong digit ng 864 ay nahahati sa 8.

atbpSign ng divisibility para sa mga numero ng 9

Ang mga natural na numero na ang kabuuan ng mga digit ay isang multiple ng 9 ay nahahati sa 9. Halimbawa:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Mga halimbawa.
Ang bilang na 17835 ay nahahati ng 3 at hindi nahahati ng 9, dahil ang kabuuan ng mga digit nito na 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 ay nahahati ng 3 at hindi nahahati ng 9.
Ang bilang na 105,499 ay hindi nahahati sa alinman sa 3 o 9, dahil ang kabuuan ng mga digit nito (29) ay hindi nahahati sa alinman sa 3 o 9.
Ang numerong 52632 ay nahahati sa 9 dahil ang kabuuan ng mga digit nito (18) ay nahahati sa 9

Pagsusuri sa divisibility para sa mga numero ng 10

Mga halimbawa.
Ang 8200 ay nahahati sa 10 at 100;
Ang 542000 ay nahahati sa 10, 100, 1000.

3. Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

Mula sa karagdagang literatura nakita namin ang kumpirmasyon ng kawastuhan ng mga pamantayan na aming binuo para sa divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Natagpuan din namin ang ilang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 7:
1) Ang isang natural na numero ay nahahati sa 7 kung at kung ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng libo-libo at ang bilang na ipinahayag ng huling tatlong digit ay mahahati ng 7.
Mga halimbawa:
Ang 478009 ay nahahati sa 7 dahil 478-9=469, 469 ay nahahati sa 7.
Ang 479345 ay hindi nahahati ng 7, dahil 479-345=134, 134 ay hindi nahahati ng 7.
2) Ang isang natural na numero ay nahahati sa 7 kung ang kabuuan ng dobleng numero sa sampu at ang natitirang bilang ay nahahati sa 7.
Mga halimbawa:
Ang 4592 ay nahahati sa 7 dahil 45·2=90, 90+92=182, 182 ay nahahati sa 7.
Ang 57384 ay hindi nahahati sa 7, dahil 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 ay hindi nahahati ng 7.
3) Ang tatlong-digit na natural na numero ng anyong aba ay mahahati sa 7 kung ang a+b ay mahahati ng 7.
Mga halimbawa:
Ang 252 ay nahahati sa 7 dahil 2+5=7, 7/7.
Ang 636 ay hindi nahahati ng 7 dahil 6+3=9, ang 9 ay hindi nahahati ng 7.
4) Ang tatlong-digit na natural na numero ng form na baa ay mahahati sa 7 kung ang kabuuan ng mga digit ng numero ay mahahati sa 7.
Mga halimbawa:
Ang 455 ay nahahati sa 7 dahil 4+5+5=14, 14/7.
Ang 244 ay hindi nahahati sa 7, dahil 2+4+4=12, 12 ay hindi nahahati sa 7.
5) Ang tatlong-digit na natural na numero ng anyong aab ay mahahati ng 7 kung ang 2a-b ay mahahati ng 7.
Mga halimbawa:
Ang 882 ay nahahati sa 7 dahil 8+8-2=14, 14/7.
Ang 996 ay hindi nahahati sa 7, dahil 9+9-6=12, ang 12 ay hindi nahahati ng 7.
6) Ang isang apat na digit na natural na numero ng anyong baa, kung saan ang b ay isang dalawang-digit na numero, ay mahahati sa 7 kung ang b+2a ay mahahati ng 7.
Mga halimbawa:
Ang 2744 ay nahahati sa 7 dahil 27+4+4=35, 35/7.
Ang 1955 ay hindi nahahati sa 7, dahil 19+5+5=29, 29 ay hindi nahahati ng 7.
7) Ang natural na numero ay nahahati sa 7 kung at kung ang resulta ng pagbabawas ng dalawang beses sa huling digit mula sa numerong iyon na walang huling digit ay mahahati ng 7.
Mga halimbawa:
Ang 483 ay nahahati sa 7 dahil 48-3·2=42, 42/7.
Ang 564 ay hindi nahahati sa 7 dahil 56-4 2=48, 48 ay hindi nahahati ng 7.
8) Ang isang natural na numero ay nahahati sa 7 kung at kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numero sa pamamagitan ng mga katumbas na natitirang nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga yunit ng digit sa numero 7 ay mahahati sa 7.
Mga halimbawa:
10׃7=1 (ost 3)
100׃7=14 (ost 2)
1000׃7=142 (ost 6)
10000׃7=1428 (ost 4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (pahinga 1) at ang mga natitira ay inuulit muli.
Ang bilang na 1316 ay nahahati sa 7 dahil 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 na natitira mula sa paghahati ng 1000 sa 7; 2 natitira mula sa paghahati ng 100 sa 7; 3 natitira mula sa paghahati ng 10 sa 7) .
Ang numerong 354722 ay hindi nahahati sa 7, dahil... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 ay hindi nahahati sa 7 (5 ang natitira sa paghahati ng 100,000 sa 7; 4 ang natitira sa paghahati ng 10,000 sa 7 ; 6-pahinga mula sa paghahati ng 1000 sa 7;
Divisibility ng 11.
1) Ang isang numero ay nahahati sa 11 kung ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga digit sa mga kakaibang lugar at ang kabuuan ng mga digit sa kahit na mga lugar ay isang multiple ng 11.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibong numero o 0, ngunit dapat ay isang multiple ng 11. Ang pagnunumero ay mula kaliwa pakanan.
Halimbawa:
Ang 2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 ay hindi multiple ng 11, na nangangahulugang ang numerong ito ay hindi nahahati sa 11.
Ang 1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 ay isang multiple ng 11, na nangangahulugang ang numerong ito ay nahahati sa 11.
2) Ang isang natural na numero ay hinati mula kanan pakaliwa sa mga grupo ng 2 digit bawat isa at ang mga pangkat na ito ay idinagdag. Kung ang resultang kabuuan ay isang multiple ng 11, kung gayon ang numerong sinusuri ay isang multiple ng 11.
Halimbawa: Tukuyin kung ang numerong 12561714 ay nahahati sa 11.
Hatiin natin ang numero sa mga pangkat ng dalawang digit bawat isa: 12/56/17/14; Ang 12+56+17+14=99, 99 ay nahahati sa 11, na nangangahulugang ang numerong ito ay nahahati sa 11.
3) Ang tatlong-digit na natural na numero ay nahahati sa 11 kung ang kabuuan ng mga side digit ng numero ay katumbas ng digit sa gitna. Ang sagot ay bubuuin ng mga parehong numero sa gilid.
Mga halimbawa:
Ang 594 ay nahahati sa 11 dahil 5+4=9, 9 ang nasa gitna.
Ang 473 ay nahahati sa 11 dahil 4+3=7, 7- sa gitna.
Ang 861 ay hindi nahahati sa 11 dahil 8+1=9, at sa gitna ay may 6.
Pagsusuri sa divisibility ng 12
Ang isang natural na numero ay nahahati sa 12 kung at kung ito ay nahahati sa 3 at 4 sa parehong oras.
Mga halimbawa:
Ang 636 ay nahahati sa 3 at 4, kaya nahahati ito ng 12.
Ang 587 ay hindi nahahati sa 3 o 4, na nangangahulugang hindi ito nahahati sa 12.
Ang 27126 ay nahahati ng 3 ngunit hindi nahahati ng 4, na nangangahulugang hindi ito nahahati ng 12.
Mga pagsubok para sa divisibility ng 13
1) Ang isang natural na numero ay nahahati sa 13 kung ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng libo at ang bilang na nabuo ng huling tatlong digit ay nahahati sa 13.
Mga halimbawa:
Ang bilang na 465400 ay nahahati sa 13 dahil... 465 - 400 = 65, 65 na hinati sa 13.
Ang numerong 256184 ay hindi nahahati sa 13, dahil... 256 - 184 = 72, 72 ay hindi nahahati ng 13.
2) Ang isang natural na numero ay nahahati sa 13 kung at kung ang resulta ng pagbabawas ng huling digit na pinarami ng 9 mula sa numerong ito na walang huling digit ay nahahati sa 13.
Mga halimbawa:
Ang 988 ay nahahati sa 13 dahil 98 - 9 8 = 26, 26 ay hinati sa 13.
Ang 853 ay hindi nahahati sa 13 dahil 85 - 3 9 = 58, 58 ay hindi mahahati ng 13.
Pagsusuri sa divisibility ng 14
Ang isang natural na numero ay nahahati sa 14 kung at kung ito ay nahahati sa 2 at 7 sa parehong oras.
Mga halimbawa:
Ang bilang na 45826 ay nahahati ng 2 ngunit hindi nahahati ng 7, na nangangahulugang hindi ito nahahati ng 14.
Ang bilang na 1771 ay nahahati sa 7 ngunit hindi nahahati sa 2, na nangangahulugang hindi ito nahahati sa 14.
Ang bilang na 35882 ay nahahati sa 2 at 7, na nangangahulugang nahahati ito ng 14.
Pagsusuri sa divisibility ng 19
Ang isang natural na numero ay nahahati sa 19 na walang nalalabi kung at kung ang bilang ng mga sampu nito ay idinagdag sa dalawang beses sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 19.
Dapat itong isaalang-alang na ang bilang ng sampu sa isang numero ay hindi dapat bilangin sa pamamagitan ng digit sa sampung lugar, ngunit sa kabuuang bilang ng buong sampu sa buong bilang.
Mga halimbawa:
Ang 1534 sampu ay 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 ay hindi nahahati ng 19, ibig sabihin, ang 1534 ay hindi nahahati ng 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, ibig sabihin ang numero ay 1824/19.
Subukan para sa divisibility ng 25 at 50
Ang hatiin sa 25 o 50 ay ang mga numerong iyon lamang na nagtatapos sa dalawang zero o ang huling dalawang digit ay nagpapahayag ng isang numero na nahahati sa 25 o 50, ayon sa pagkakabanggit.

Ang bilang na 97300 ay nagtatapos sa dalawang zero, na nangangahulugang nahahati ito sa parehong 25 at 50.

Ang bilang na 79,450 ay nahahati sa 25 at 50, dahil ang bilang na nabuo sa huling dalawang digit na 50 ay nahahati sa parehong 25 at 50.

4. Paglutas ng mga problema gamit ang pamantayan sa divisibility.

Tindero sa tindahan.

Kinuha ng mamimili mula sa tindahan ang isang pakete ng gatas na nagkakahalaga ng 34.5 rubles, isang kahon ng cottage cheese na nagkakahalaga ng 36 rubles, 6 na cake at 3 kilo ng asukal. Nang i-knock out ng cashier ang isang tseke para sa 296 rubles, hiniling ng mamimili na suriin ang pagkalkula at itama ang error. Paano natukoy ng mamimili na mali ang invoice?

Solusyon: Ang halaga ng mga biniling kalakal ng bawat uri ay ipinahayag bilang isang numero na nahahati ng 3 (para sa unang dalawang uri ng mga kalakal ang presyo ay isang multiple ng 3, at para sa iba pa - ang bilang ng mga biniling kalakal ay isang maramihang ng 3 Kung ang bawat isa sa mga tuntunin ay nahahati ng 3, kung gayon ang halaga ay dapat na mahahati ng 3. Ang bilang na 296 ay hindi nahahati ng 3, samakatuwid ang pagkalkula ay hindi tama.

Mga mansanas sa isang kahonke.

Ang bilang ng mga mansanas sa kahon ay mas mababa sa 200. Maaari silang hatiin nang pantay sa pagitan ng 2,3,4,5 at 6 na bata. Ano ang maximum na bilang ng mga mansanas na maaaring nasa isang kahon?

Solusyon.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60s< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Sagot: 180 mansanas.

5. Konklusyon:

Habang ginagawa ang gawain, nakilala ko ang kasaysayan ng pagbuo ng mga palatandaan ng divisibility, nabuo ang mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa pamamagitan ng 4, 6, 8, 15, 25,50 at natagpuan ang kumpirmasyon nito mula sa karagdagang panitikan. Nakumbinsi rin ako na may iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero (sa pamamagitan ng 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), na nakumpirma ang kawastuhan ng hypothesis tungkol sa pagkakaroon ng iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero.

Listahan ng mga ginamit na literatura (mga mapagkukunan):

1. Galkin V.A. Mga problema sa paksang "Pamamantayan sa divisibility". // Mathematics, 1999.-№5.-P.9.

2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Extracurricular work sa matematika sa grade 6-8 - M.: Education, 1984.

3. Kaplun L.M. GCD at LCM sa mga problema. // Mathematics, 1999.- No. 7. - P. 4-6.

4.​ Pelman Ya.I. Ang matematika ay kawili-wili! - M.: TERRA - Book Club, 2006

5.​ Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician./ Comp. Savin A.P. - M.: Pedagogy, 1989. - P. 352.

6.​ Mga Mapagkukunan - Internet.