Sa video na ito, susuriin namin ang isang buong hanay ng mga linear na equation na nalutas gamit ang parehong algorithm - kaya't tinawag silang pinakasimple.
Una, tukuyin natin: ano ang linear equation at alin ang tinatawag na pinakasimple?
Ang isang linear na equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at hanggang sa unang antas lamang.
Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugan ng pagbuo:
Ang lahat ng iba pang mga linear na equation ay binabawasan sa pinakasimpleng gamit ang algorithm:
- Palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man;
- Ilipat ang mga terminong naglalaman ng variable sa isang gilid ng pantay na tanda, at mga terminong walang variable sa kabilang panig;
- Magbigay ng magkatulad na termino sa kaliwa at kanan ng equal sign;
- Hatiin ang resultang equation sa coefficient ng variable na $x$.
Siyempre, hindi palaging nakakatulong ang algorithm na ito. Ang katotohanan ay kung minsan pagkatapos ng lahat ng mga machinations na ito ang koepisyent ng variable na $x$ ay lumalabas na katumbas ng zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:
- Ang equation ay walang mga solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag lumabas ang isang bagay tulad ng $0\cdot x=8$, i.e. sa kaliwa ay zero, at sa kanan ay isang numero maliban sa zero. Sa video sa ibaba ay titingnan natin ang ilang mga dahilan kung bakit posible ang sitwasyong ito.
- Ang solusyon ay lahat ng numero. Ang tanging kaso kapag ito ay posible ay kapag ang equation ay nabawasan sa pagbuo $0\cdot x=0$. Ito ay lubos na lohikal na kahit anong $x$ ang ating palitan, ito ay lalabas pa rin na "zero ay katumbas ng zero", i.e. wastong pagkakapantay-pantay ng numero.
Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang lahat ng ito gamit ang mga halimbawa sa totoong buhay.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation
Ngayon ay nakikitungo tayo sa mga linear na equation, at ang mga pinakasimpleng equation lamang. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugan ng anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at ito ay napupunta lamang sa unang antas.
Ang ganitong mga konstruksyon ay nalutas sa humigit-kumulang sa parehong paraan:
- Una sa lahat, kailangan mong palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
- Pagkatapos ay pagsamahin ang katulad
- Panghuli, ihiwalay ang variable, i.e. ilipat ang lahat ng konektado sa variable—ang mga termino kung saan ito nakapaloob—sa isang panig, at ilipat ang lahat ng natitira nang wala nito sa kabilang panig.
Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magbigay ng mga katulad sa bawat panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ang natitira lamang ay hatiin sa koepisyent ng "x", at makukuha natin ang pangwakas na sagot.
Sa teorya, ito ay mukhang maganda at simple, ngunit sa pagsasagawa, kahit na ang mga may karanasang mag-aaral sa high school ay maaaring gumawa ng mga nakakasakit na pagkakamali sa medyo simpleng mga linear na equation. Kadalasan, ang mga error ay ginagawa alinman sa pagbubukas ng mga bracket o kapag kinakalkula ang "mga plus" at "minus".
Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang mga solusyon sa lahat, o ang solusyon ay ang buong linya ng numero, i.e. kahit anong numero. Titingnan natin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula tayo, gaya ng naunawaan mo na, sa pinaka mga simpleng gawain.
Scheme para sa paglutas ng mga simpleng linear equation
Una, hayaan mo akong isulat muli ang buong scheme para sa paglutas ng pinakasimpleng linear equation:
- Palawakin ang mga bracket, kung mayroon man.
- Ihiwalay namin ang mga variable, i.e. Inilipat namin ang lahat ng naglalaman ng "X" sa isang gilid, at lahat ng walang "X" sa kabilang panig.
- Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
- Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x".
Siyempre, ang pamamaraan na ito ay hindi palaging gumagana; mayroong ilang mga subtleties at trick dito, at ngayon ay makikilala natin sila.
Paglutas ng mga tunay na halimbawa ng simpleng linear equation
Gawain Blg. 1
Ang unang hakbang ay nangangailangan sa amin upang buksan ang mga bracket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya laktawan namin ang hakbang na ito. Sa pangalawang hakbang kailangan nating ihiwalay ang mga variable. Pakitandaan: ang pinag-uusapan lang natin ay tungkol sa mga indibidwal na termino. Isulat natin ito:
Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan, ngunit nagawa na ito dito. Samakatuwid, lumipat tayo sa ika-apat na hakbang: hatiin sa koepisyent:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Kaya nakuha namin ang sagot.
Gawain Blg. 2
Makikita natin ang mga panaklong sa problemang ito, kaya palawakin natin ang mga ito:
Parehong sa kaliwa at sa kanan nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong disenyo, ngunit kumilos tayo ayon sa algorithm, i.e. paghihiwalay ng mga variable:
Narito ang ilang katulad:
Sa anong mga ugat ito gumagana? Sagot: para sa alinman. Samakatuwid, maaari nating isulat na ang $x$ ay anumang numero.
Gawain Blg. 3
Ang ikatlong linear equation ay mas kawili-wili:
\[\kaliwa(6-x \kanan)+\kaliwa(12+x \kanan)-\kaliwa(3-2x \kanan)=15\]
Mayroong ilang mga bracket dito, ngunit hindi sila pinarami ng anuman, sila ay nauuna lamang ng iba't ibang mga palatandaan. Hatiin natin sila:
Ginagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na namin:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Gawin natin ang matematika:
Isinasagawa namin ang huling hakbang - hatiin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Mga Dapat Tandaan Kapag Nilulutas ang mga Linear Equation
Kung balewalain natin ang napakasimpleng gawain, gusto kong sabihin ang sumusunod:
- Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi lahat ng linear equation ay may solusyon - kung minsan ay walang mga ugat;
- Kahit na may mga ugat, maaaring mayroong zero sa kanila - walang mali doon.
Ang zero ay kapareho ng bilang ng iba; hindi mo dapat itangi ito sa anumang paraan o ipagpalagay na kung nakakuha ka ng zero, may nagawa kang mali.
Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagbubukas ng mga bracket. Pakitandaan: kapag may "minus" sa harap nila, inaalis namin ito, ngunit sa mga panaklong binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. At pagkatapos ay maaari nating buksan ito gamit ang mga karaniwang algorithm: makukuha natin ang nakita natin sa mga kalkulasyon sa itaas.
Ang pag-unawa sa simpleng katotohanang ito ay makatutulong sa iyo na maiwasan ang paggawa ng mga hangal at masasakit na pagkakamali sa mataas na paaralan, kapag ang paggawa ng mga bagay na ito ay pinababayaan.
Paglutas ng mga kumplikadong linear equation
Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga konstruksyon ay magiging mas kumplikado at kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo ay lilitaw ang isang quadratic function. Gayunpaman, hindi tayo dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa plano ng may-akda, nilulutas natin ang isang linear na equation, kung gayon sa proseso ng pagbabagong-anyo ang lahat ng monomial na naglalaman ng isang quadratic function ay tiyak na kanselahin.
Halimbawa Blg. 1
Malinaw, ang unang hakbang ay upang buksan ang mga bracket. Gawin natin ito nang maingat:
Ngayon tingnan natin ang privacy:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Narito ang ilang katulad:
Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya isusulat namin ito sa sagot:
\[\varnothing\]
o walang mga ugat.
Halimbawa Blg. 2
Nagsasagawa kami ng parehong mga aksyon. Unang hakbang:
Ilipat natin ang lahat na may variable sa kaliwa, at kung wala ito - sa kanan:
Narito ang ilang katulad:
Malinaw, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya isusulat namin ito sa ganitong paraan:
\[\varnothing\],
o walang mga ugat.
Nuances ng solusyon
Ang parehong mga equation ay ganap na nalutas. Gamit ang dalawang expression na ito bilang isang halimbawa, muli kaming kumbinsido na kahit na sa pinakasimpleng linear equation, ang lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring mayroong alinman sa isa, o wala, o walang katapusan na maraming mga ugat. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang equation, parehong walang mga ugat.
Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano gumawa ng mga panaklong at kung paano buksan ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang expression na ito:
Bago buksan, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "X". Pakitandaan: dumami bawat indibidwal na termino. Sa loob mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.
At pagkatapos lamang na makumpleto ang mga tila elementarya, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong ito, maaari mong buksan ang bracket mula sa punto ng view ng katotohanan na mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag nakumpleto ang mga pagbabago, naaalala namin na mayroong isang minus sign sa harap ng mga bracket, na nangangahulugan na ang lahat sa ibaba ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Kasabay nito, ang mga bracket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, ang harap na "minus" ay nawawala din.
Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang equation:
Ito ay hindi nagkataon na binibigyang pansin ko ang maliliit, tila hindi gaanong kahalagahan na mga katotohanang ito. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabagong elementarya, kung saan ang kawalan ng kakayahang malinaw at mahusay na magsagawa ng mga simpleng aksyon ay humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at muling natutong lutasin ang gayong mga simpleng equation.
Siyempre, darating ang araw na mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa punto ng pagiging awtomatiko. Hindi mo na kailangang magsagawa ng napakaraming pagbabago sa bawat pagkakataon; isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang nag-aaral ka pa lang, kailangan mong isulat ang bawat aksyon nang hiwalay.
Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation
Ang lulutasin natin ngayon ay halos hindi matatawag na pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay nananatiling pareho.
Gawain Blg. 1
\[\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]
I-multiply natin ang lahat ng elemento sa unang bahagi:
Gumawa tayo ng ilang privacy:
Narito ang ilang katulad:
Kumpletuhin natin ang huling hakbang:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanan na sa proseso ng paglutas ay mayroon kaming mga coefficient na may quadratic function, kinansela nila ang isa't isa, na ginagawang linear ang equation at hindi quadratic.
Gawain Blg. 2
\[\kaliwa(1-4x \kanan)\kaliwa(1-3x \kanan)=6x\kaliwa(2x-1 \kanan)\]
Maingat nating gawin ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento mula sa unang bracket sa bawat elemento mula sa pangalawa. Dapat mayroong kabuuang apat na bagong termino pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo:
Ngayon, maingat nating isagawa ang multiplikasyon sa bawat termino:
Ilipat natin ang mga terminong may "X" sa kaliwa, at ang mga walang - sa kanan:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Narito ang mga katulad na termino:
Muli naming natanggap ang huling sagot.
Nuances ng solusyon
Ang pinakamahalagang tala tungkol sa dalawang equation na ito ay ang mga sumusunod: sa sandaling simulan nating paramihin ang mga bracket na naglalaman ng higit sa isang termino, ito ay ginagawa ayon sa sumusunod na panuntunan: kukunin natin ang unang termino mula sa una at i-multiply sa bawat elemento mula sa ang ikalawa; pagkatapos ay kinuha namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na dumami sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng apat na termino.
Tungkol sa algebraic sum
Sa huling halimbawang ito, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano ang algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa pamamagitan ng $1-7$ ang ibig naming sabihin ay isang simpleng konstruksyon: ibawas ang pito sa isa. Sa algebra, ibig sabihin namin ang sumusunod sa pamamagitan nito: sa numerong "isa" nagdaragdag kami ng isa pang numero, lalo na "minus pito". Ito ay kung paano naiiba ang isang algebraic sum mula sa isang ordinaryong arithmetic sum.
Sa sandaling, kapag isinasagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, bawat pagdaragdag at pagpaparami, nagsimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas, hindi ka na magkakaroon ng anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.
Sa wakas, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga nakita natin, at upang malutas ang mga ito kailangan nating bahagyang palawakin ang ating karaniwang algorithm.
Paglutas ng mga equation na may mga fraction
Upang malutas ang mga naturang gawain, kakailanganin naming magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang aming algorithm:
- Buksan ang mga bracket.
- Paghiwalayin ang mga variable.
- Magdala ng mga katulad.
- Hatiin sa ratio.
Sa kasamaang palad, ang kahanga-hangang algorithm na ito, para sa lahat ng pagiging epektibo nito, ay lumalabas na hindi ganap na angkop kapag mayroon tayong mga fraction sa harap natin. At sa makikita natin sa ibaba, mayroon tayong fraction sa parehong kaliwa at kanan sa parehong mga equation.
Paano magtrabaho sa kasong ito? Oo, ito ay napaka-simple! Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring gawin bago at pagkatapos ng unang aksyon, ibig sabihin, pag-alis ng mga fraction. Kaya ang algorithm ay magiging tulad ng sumusunod:
- Alisin ang mga fraction.
- Buksan ang mga bracket.
- Paghiwalayin ang mga variable.
- Magdala ng mga katulad.
- Hatiin sa ratio.
Ano ang ibig sabihin ng "alisin ang mga fraction"? At bakit ito magagawa pagkatapos at bago ang unang karaniwang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga fraction ay numerical sa kanilang denominator, i.e. Kahit saan ang denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa numerong ito, aalisin natin ang mga fraction.
Halimbawa Blg. 1
\[\frac(\kaliwa(2x+1 \kanan)\kaliwa(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]
Alisin natin ang mga fraction sa equation na ito:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Mangyaring tandaan: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, i.e. dahil lamang sa mayroon kang dalawang panaklong ay hindi nangangahulugang kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa "apat." Isulat natin:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ngayon palawakin natin:
Ibinubukod namin ang variable:
Ginagawa namin ang pagbabawas ng mga katulad na termino:
\[-4x=-1\kaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Nakakuha kami huling desisyon, lumipat tayo sa pangalawang equation.
Halimbawa Blg. 2
\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]
Dito ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon:
\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Ang problema ay nalutas.
Sa totoo lang, iyon lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayon.
Pangunahing puntos
Ang mga pangunahing natuklasan ay:
- Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
- Kakayahang magbukas ng mga bracket.
- Huwag kang mag-alala kung nakikita mo quadratic function, malamang, sa proseso ng mga karagdagang pagbabago ay bababa sila.
- May tatlong uri ng mga ugat sa mga linear na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, at walang mga ugat sa lahat.
Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na makabisado ang isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may hindi malinaw, pumunta sa site at lutasin ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, marami pang mga kawili-wiling bagay ang naghihintay sa iyo!
Linear na equation. Solusyon, mga halimbawa.
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Linear na equation.
Linear na equation- hindi ang pinakamahirap na paksa sa matematika ng paaralan. Ngunit may ilang mga trick doon na maaaring palaisipan kahit isang sinanay na estudyante. Alamin natin ito?)
Karaniwan ang isang linear equation ay tinukoy bilang isang equation ng form:
palakol + b = 0 saan a at b- anumang mga numero.
2x + 7 = 0. Dito a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Dito a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Dito a=12, b=1/2
Walang kumplikado, tama? Lalo na kung hindi mo napapansin ang mga salitang: "kung saan ang a at b ay anumang mga numero"... At kung mapapansin mo at walang ingat na iniisip?) Kung tutuusin, kung a=0, b=0(anumang mga numero ang posible?), pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang nakakatawang expression:
Ngunit hindi lang iyon! Kung, sabihin, a=0, A b=5, Ito ay lumalabas na isang bagay na ganap na hindi karaniwan:
Nakakainis at nakakasira ng tiwala sa mathematics, oo...) Lalo na pag exam. Ngunit sa mga kakaibang expression na ito kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat. At, nakakagulat, ang X na ito ay napakadaling mahanap. Matuto tayong gawin ito. Sa araling ito.
Paano makilala ang isang linear equation sa pamamagitan ng hitsura nito? Depende kung ano hitsura.) Ang lansihin ay hindi lamang ang mga equation ng form ay tinatawag na linear equation palakol + b = 0 , ngunit gayundin ang anumang mga equation na maaaring bawasan sa form na ito sa pamamagitan ng mga pagbabago at pagpapasimple. At sino ang nakakaalam kung bumaba ito o hindi?)
Ang isang linear equation ay maaaring malinaw na makilala sa ilang mga kaso. Sabihin natin, kung mayroon tayong isang equation kung saan mayroon lamang mga hindi alam sa unang antas at mga numero. At sa equation ay wala mga fraction na hinati ng hindi kilala , ito ay mahalaga! At paghahati sa pamamagitan ng numero, o isang numerical fraction - malugod iyan! Halimbawa:
Ito ay isang linear equation. Mayroong mga fraction dito, ngunit walang mga x sa parisukat, kubo, atbp., at walang mga x sa mga denominator, i.e. Hindi paghahati sa pamamagitan ng x. At narito ang equation
hindi matatawag na linear. Narito ang mga X ay nasa unang antas, ngunit mayroon paghahati sa pamamagitan ng pagpapahayag na may x. Pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, maaari kang makakuha ng linear equation, quadratic equation, o anumang gusto mo.
Ito ay lumiliko na imposibleng makilala ang linear equation sa ilang kumplikadong halimbawa hanggang sa halos malutas mo ito. Nakakainis ito. Ngunit sa mga takdang-aralin, bilang panuntunan, hindi sila nagtatanong tungkol sa anyo ng equation, di ba? Ang mga takdang-aralin ay humihingi ng mga equation magpasya. Ito ang nagpapasaya sa akin.)
Paglutas ng mga linear na equation. Mga halimbawa.
Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay binubuo ng magkaparehong pagbabago ng mga equation. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga pagbabagong ito (dalawa sa kanila!) ay ang batayan ng mga solusyon lahat ng equation ng matematika. Sa madaling salita, ang solusyon anuman ang equation ay nagsisimula sa mismong mga pagbabagong ito. Sa kaso ng mga linear na equation, ito (ang solusyon) ay batay sa mga pagbabagong ito at nagtatapos sa isang buong sagot. Makatuwiran na sundin ang link, tama?) Bukod dito, mayroon ding mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation doon.
Una, tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa. Nang walang anumang mga pitfalls. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang equation na ito.
x - 3 = 2 - 4x
Ito ay isang linear equation. Ang mga X ay nasa unang kapangyarihan, walang dibisyon ng X's. Ngunit, sa katunayan, hindi mahalaga sa amin kung anong uri ng equation ito. Kailangan natin itong lutasin. Ang scheme dito ay simple. Kolektahin ang lahat ng may X sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng walang X (mga numero) sa kanan.
Upang gawin ito kailangan mong ilipat - 4x sa kaliwang bahagi, na may pagbabago ng sign, siyempre, at - 3 - sa kanan. Ito nga pala ang unang magkaparehong pagbabago ng mga equation. Nagulat? Nangangahulugan ito na hindi mo sinunod ang link, ngunit walang kabuluhan...) Nakukuha namin:
x + 4x = 2 + 3
Narito ang mga katulad, isinasaalang-alang namin:
Ano ang kailangan natin para sa ganap na kaligayahan? Oo, para may purong X sa kaliwa! Lima ang nasa daan. Pag-alis ng lima sa tulong ang pangalawang magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Ibig sabihin, hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 5. Makakakuha kami ng handa na sagot:
Isang halimbawa ng elementarya, siyempre. Ito ay para sa pag-init.) Hindi masyadong malinaw kung bakit ko naalala ang magkatulad na pagbabago dito? OK. Kunin natin ang toro sa pamamagitan ng mga sungay.) Magpasya tayo ng mas matatag.
Halimbawa, narito ang equation:
Saan tayo magsisimula? Sa X's - sa kaliwa, walang X's - sa kanan? Maaaring ganoon. Maliit na hakbang sa mahabang kalsada. O maaari mo kaagad, sa pangkalahatan at sa makapangyarihang paraan. Kung, siyempre, mayroon kang magkaparehong pagbabago ng mga equation sa iyong arsenal.
Nagtatanong ako sa iyo ng isang mahalagang tanong: Ano ang pinaka ayaw mo sa equation na ito?
95 sa 100 tao ang sasagot: mga fraction ! Tama ang sagot. Kaya tanggalin na natin sila. Samakatuwid, magsisimula kami kaagad sa ikalawang pagbabago ng pagkakakilanlan. Ano ang kailangan mong i-multiply ang fraction sa kaliwa upang ang denominator ay ganap na mabawasan? Tama, sa 3. At sa kanan? Sa pamamagitan ng 4. Ngunit pinapayagan tayo ng matematika na i-multiply ang magkabilang panig sa ang parehong numero. Paano tayo makakalabas? I-multiply natin ang magkabilang panig sa 12! Yung. sa isang common denominator. Tapos pareho silang tatlo at apat ay mababawasan. Huwag kalimutan na kailangan mong i-multiply ang bawat bahagi ganap. Narito ang hitsura ng unang hakbang:
Pagpapalawak ng mga bracket:
Tandaan! Numerator (x+2) Nilagay ko sa bracket! Ito ay dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang buong numerator ay pinarami! Ngayon ay maaari mong bawasan ang mga fraction:
Palawakin ang natitirang mga bracket:
Hindi isang halimbawa, ngunit purong kasiyahan!) Ngayon tandaan natin ang spell mula sa mga junior class: na may X - sa kaliwa, walang X - sa kanan! At ilapat ang pagbabagong ito:
Narito ang ilang katulad:
At hatiin ang parehong bahagi ng 25, i.e. ilapat muli ang pangalawang pagbabagong-anyo:
Iyon lang. Sagot: X=0,16
Mangyaring tandaan: upang dalhin ang orihinal na nakakalito na equation sa isang magandang anyo, gumamit kami ng dalawa (dalawa lang!) pagbabago ng pagkakakilanlan– pagsasalin kaliwa-kanan na may pagbabago ng sign at multiplication-division ng isang equation sa parehong numero. Ito ay isang unibersal na pamamaraan! Magtatrabaho kami sa ganitong paraan anuman mga equation! Ganap na kahit sino. Iyon ang dahilan kung bakit nakakapagod kong inuulit ang tungkol sa magkatulad na pagbabagong ito sa lahat ng oras.)
Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation ay simple. Kinukuha namin ang equation at pinasimple ito gamit ang magkatulad na pagbabago hanggang makuha namin ang sagot. Ang mga pangunahing problema dito ay nasa mga kalkulasyon, hindi sa prinsipyo ng solusyon.
Ngunit... May mga ganoong sorpresa sa proseso ng paglutas ng pinaka-elementarya na mga linear na equation na maaari silang magdulot sa iyo ng matinding pagkahilo...) Sa kabutihang palad, maaari lamang magkaroon ng dalawang ganoong sorpresa. Tawagin natin silang mga espesyal na kaso.
Mga espesyal na kaso sa paglutas ng mga linear na equation.
Unang sorpresa.
Ipagpalagay na nakatagpo ka ng isang napakapangunahing equation, tulad ng:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Bahagyang naiinip, inililipat namin ito ng X sa kaliwa, nang walang X - sa kanan... Sa pagbabago ng sign, lahat ay perpekto... Nakukuha namin:
2x-5x+3x=5-2-3
Nagbibilang kami, at... oops!!! Nakukuha namin:
Ang pagkakapantay-pantay na ito sa kanyang sarili ay hindi kanais-nais. Zero ay zero talaga. Pero nawawala si X! At dapat nating isulat sa sagot, ano ang katumbas ng x? Kung hindi, ang solusyon ay hindi mabibilang, tama...) Deadlock?
Kalmado! Sa ganitong mga kahina-hinalang kaso, ang pinaka-pangkalahatang mga patakaran ay magliligtas sa iyo. Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation? Ibig sabihin nito, hanapin ang lahat ng mga halaga ng x na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay sa atin ng tunay na pagkakapantay-pantay.
Ngunit mayroon tayong tunay na pagkakapantay-pantay na nangyari! 0=0, gaano pa katumpak?! Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang nangyayari sa x. Anong mga halaga ng X ang maaaring palitan orihinal equation kung ang mga x na ito mababawasan pa ba sila ng zero? Halika?)
Oo!!! Maaaring palitan ang mga X kahit ano! Alin ang gusto mo? Hindi bababa sa 5, hindi bababa sa 0.05, hindi bababa sa -220. Mangliliit pa sila. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin ito.) Palitan ang anumang mga halaga ng X sa orihinal equation at kalkulahin. Sa lahat ng oras ay makukuha mo ang dalisay na katotohanan: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 at iba pa.
Narito ang iyong sagot: x - anumang numero.
Ang sagot ay maaaring isulat sa iba't ibang mga simbolo ng matematika, ang kakanyahan ay hindi nagbabago. Ito ay isang ganap na tama at kumpletong sagot.
Pangalawang sorpresa.
Kunin natin ang parehong elementary linear equation at baguhin ang isang numero lamang dito. Ito ang ating pagpapasya:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Pagkatapos ng magkaparehong pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng nakakaintriga:
Ganito. Nalutas namin ang isang linear equation at nakakuha ng kakaibang pagkakapantay-pantay. nagsasalita wikang matematikal, Nakakuha kami maling pagkakapantay-pantay. At nagsasalita sa simpleng wika, hindi ito totoo. Rave. Ngunit gayunpaman, ang katarantaduhan na ito ay isang napakagandang dahilan para sa tamang solusyon ng equation.)
Muli nating iniisip batay sa pangkalahatang tuntunin. Kung ano ang x, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ang ibibigay sa atin totoo pagkakapantay-pantay? Oo, wala! Walang ganyang X. Kahit anong ilagay mo, lahat mababawasan, puro kalokohan lang ang mananatili.)
Narito ang iyong sagot: walang solusyon.
Ito rin ay isang ganap na kumpletong sagot. Sa matematika, madalas na matatagpuan ang mga ganitong sagot.
Ganito. Ngayon, umaasa ako, ang pagkawala ng X sa proseso ng paglutas ng anumang (hindi lamang linear) na equation ay hindi ka malito sa lahat. Ito ay isang pamilyar na bagay.)
Ngayong napag-usapan na natin ang lahat ng mga pitfalls sa mga linear na equation, makatuwirang lutasin ang mga ito.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Sa araling ito ay titingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation. Sa isang kurso ng mas mataas na matematika, ang mga sistema ng mga linear na equation ay kinakailangang lutasin kapwa sa anyo ng magkahiwalay na mga gawain, halimbawa, "Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer," at sa kurso ng paglutas ng iba pang mga problema. Ang mga sistema ng linear equation ay kailangang harapin sa halos lahat ng sangay ng mas mataas na matematika.
Una, isang maliit na teorya. Ano sa sa kasong ito ibig sabihin ay ang mathematical word na "linear"? Nangangahulugan ito na ang mga equation ng system Lahat kasama ang mga variable sa unang antas: nang walang anumang magarbong bagay tulad ng 
atbp., na tanging mga kalahok sa mathematical Olympiads ang natutuwa.
Sa mas mataas na matematika, hindi lamang mga titik na pamilyar mula sa pagkabata ang ginagamit upang tukuyin ang mga variable.
Ang isang medyo popular na opsyon ay mga variable na may mga index: .
O mga panimulang titik alpabetong Latin, maliit at malaki:
Hindi napakabihirang makahanap ng mga letrang Griyego: – kilala ng marami bilang “alpha, beta, gamma”. At isang set din na may mga indeks, sabihin, na may titik na "mu":
Ang paggamit ng isa o ibang hanay ng mga titik ay nakasalalay sa seksyon ng mas mataas na matematika kung saan tayo ay nahaharap sa isang sistema ng mga linear na equation. Kaya, halimbawa, sa mga sistema ng mga linear na equation na nakatagpo kapag nilulutas ang mga integral, differential equation Tradisyonal na gamitin ang notasyon
Ngunit gaano man itinalaga ang mga variable, ang mga prinsipyo, pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation ay hindi nagbabago. Kaya, kung makatagpo ka ng isang bagay na nakakatakot tulad ng , huwag magmadali upang isara ang libro ng problema sa takot, pagkatapos ng lahat, maaari mong iguhit ang araw sa halip, isang ibon sa halip, at isang mukha (ang guro) sa halip. At, kahit na mukhang nakakatawa, ang isang sistema ng mga linear na equation na may mga notasyong ito ay maaari ding lutasin.
Mayroon akong pakiramdam na ang artikulo ay magiging medyo mahaba, kaya isang maliit na talaan ng mga nilalaman. Kaya, ang sunud-sunod na "debriefing" ay magiging ganito:
– Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit (“ pamamaraan ng paaralan»)
;
– Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system;
– Solusyon ng system gamit ang mga formula ng Cramer;
– Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix;
– Paglutas ng system gamit ang Gaussian method.
Ang lahat ay pamilyar sa mga sistema ng linear equation mula sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Mahalaga, nagsisimula tayo sa pag-uulit.
Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit
Ang pamamaraang ito maaari ding tawaging "paraan ng paaralan" o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Sa matalinghagang pagsasalita, maaari din itong tawaging "isang hindi natapos na pamamaraan ng Gaussian."
Halimbawa 1
Dito binibigyan tayo ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Tandaan na ang mga libreng termino (mga numero 5 at 7) ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation. Sa pangkalahatan, hindi mahalaga kung nasaan sila, sa kaliwa o sa kanan, ngunit sa mga problema sa mas mataas na matematika ay madalas silang matatagpuan sa ganoong paraan. At ang gayong pag-record ay hindi dapat humantong sa pagkalito; kung kinakailangan, ang system ay maaaring palaging nakasulat "gaya ng dati": . Huwag kalimutan na kapag inililipat ang isang termino mula sa bahagi patungo sa bahagi, kailangan nitong baguhin ang sign nito.
Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation? Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng marami sa mga solusyon nito. Ang solusyon ng isang sistema ay isang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable na kasama dito, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang BAWAT equation ng system. Bilang karagdagan, ang sistema ay maaaring hindi magkasanib (walang solusyon).Huwag kang mag-alala, ito ay pangkalahatang kahulugan=) Magkakaroon lang tayo ng isang value na "x" at isang value na "y", na nakakatugon sa bawat equation na c-we.
Umiiral graphic na pamamaraan solusyon ng system, na makikita sa klase Ang pinakasimpleng problema sa isang linya. Doon ko napag-usapan geometric na kahulugan sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ngayon ito ang panahon ng algebra, at mga numero-numero, aksyon-aksyon.
Magdesisyon tayo: mula sa unang equation na ipinapahayag namin:
Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa pangalawang equation:
Binubuksan namin ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at hanapin ang halaga: 
Susunod, naaalala namin kung ano ang aming sinayaw:
Alam na natin ang halaga, ang natitira ay upang mahanap:
Sagot:
Matapos malutas ang ANUMANG sistema ng mga equation sa ANUMANG paraan, lubos kong inirerekomenda ang pagsuri (pasalita, sa isang draft o sa isang calculator). Sa kabutihang palad, ito ay ginagawa nang madali at mabilis.
1) Palitan ang nahanap na sagot sa unang equation:
– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.
2) Palitan ang nahanap na sagot sa pangalawang equation: 
– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.
O, sa madaling salita, "nagtagpo ang lahat"
Ang itinuturing na paraan ng solusyon ay hindi lamang isa; mula sa unang equation posible na ipahayag ang , at hindi .
Maaari mong gawin ang kabaligtaran - ipahayag ang isang bagay mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang pinaka-disadvantageous sa apat na mga pamamaraan ay upang ipahayag mula sa pangalawang equation:
Ang resulta ay mga fraction, ngunit bakit? Mayroong mas makatwirang solusyon.
Gayunpaman, sa ilang mga kaso hindi mo pa rin magagawa nang walang mga fraction. Sa bagay na ito, nais kong iguhit ang iyong pansin sa PAANO ko isinulat ang ekspresyon. Hindi tulad nito: at sa anumang kaso tulad nito: 
.
Kung sa higher mathematics ang kinakaharap mo mga fractional na numero, pagkatapos ay subukang isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon sa mga ordinaryong hindi wastong fraction.
Eksakto, at hindi o!
Magagamit lamang ang kuwit kung minsan, lalo na kung ito ang huling sagot sa ilang problema, at walang karagdagang aksyon na kailangang gawin sa numerong ito.
Marahil maraming mambabasa ang nag-iisip na “bakit ginagawa ito? detalyadong paliwanag, kung tungkol sa isang klase ng pagwawasto, at sa gayon ang lahat ay malinaw.” Walang ganoon, parang napakasimple halimbawa ng paaralan, at gaano karaming NAPAPAHALAGANG konklusyon! Narito ang isa pa:
Dapat mong sikaping kumpletuhin ang anumang gawain sa pinaka makatwirang paraan. Kung dahil lamang sa nakakatipid ito ng oras at nerbiyos, at binabawasan din ang posibilidad na magkamali.
Kung sa isang problema sa mas mataas na matematika ay nakatagpo ka ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam, pagkatapos ay maaari mong palaging gamitin ang paraan ng pagpapalit (maliban kung ito ay ipinahiwatig na ang sistema ay kailangang lutasin ng ibang paraan). Isipin mo na ikaw ay isang bastos at babawasan ang iyong marka sa paggamit ng “paraan ng paaralan” "
Bukod dito, sa ilang mga kaso ay ipinapayong gamitin ang paraan ng pagpapalit na may mas malaking bilang ng mga variable.
Halimbawa 2
Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam
Ang isang katulad na sistema ng mga equation ay madalas na lumitaw kapag ginagamit ang tinatawag na pamamaraan hindi tiyak na mga coefficient kapag nakita natin ang integral ng isang fractional rational function. Ang sistemang pinag-uusapan ay kinuha ko mula doon.
Kapag hinahanap ang integral, ang layunin ay mabilis hanapin ang mga halaga ng mga coefficient, at hindi gamitin ang mga formula ng Cramer, ang pamamaraan baligtad na matris atbp. Samakatuwid, sa kasong ito, ang paraan ng pagpapalit ay angkop.
Kapag ang anumang sistema ng mga equation ay ibinigay, una sa lahat ito ay kanais-nais upang malaman kung ito ay posible na kahit papaano ay gawing simple ito AGAD? Sa pagsusuri sa mga equation ng system, napansin namin na ang pangalawang equation ng system ay maaaring hatiin ng 2, na kung ano ang ginagawa namin:
Sanggunian: ang mathematical sign ay nangangahulugang "mula dito ay sumusunod na" at kadalasang ginagamit sa paglutas ng problema.
Ngayon suriin natin ang mga equation; kailangan nating ipahayag ang ilang variable sa mga tuntunin ng iba. Aling equation ang dapat kong piliin? Marahil ay nahulaan mo na na ang pinakamadaling paraan para sa layuning ito ay kunin ang unang equation ng system:
Dito, kahit anong variable ang ipahayag, ang isa ay madaling ipahayag o .
Susunod, pinapalitan namin ang expression para sa pangalawa at pangatlong equation ng system: 
Binubuksan namin ang mga bracket at nagpapakita ng mga katulad na termino: 
Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 2: 
Mula sa pangalawang equation ay ipinapahayag namin at pinapalitan sa ikatlong equation:
Halos lahat ay handa na, mula sa ikatlong equation na makikita natin:
Mula sa pangalawang equation: 
Mula sa unang equation:
Suriin: Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga variable sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:
1)
2)
3)
Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, kaya ang solusyon ay nahanap nang tama.
Halimbawa 3
Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may 4 na hindi alam
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon(sagot sa katapusan ng aralin).
Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system
Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, dapat mong subukang gamitin hindi ang "paraan ng paaralan", ngunit ang paraan ng term-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system. Bakit? Makakatipid ito ng oras at pinapasimple ang mga kalkulasyon, gayunpaman, ngayon ang lahat ay magiging mas malinaw.
Halimbawa 4
Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation: 
Kinuha ko ang parehong sistema tulad ng sa unang halimbawa.
Sa pagsusuri sa sistema ng mga equation, mapapansin natin na ang mga coefficient ng variable ay magkapareho sa magnitude at kabaligtaran sa sign (–1 at 1). Sa ganoong sitwasyon, ang mga equation ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino: 
Isinasagawa ang mga aksyon na binilogan ng pula.
Gaya ng nakikita mo, bilang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag, nawala namin ang variable. Ito, sa katunayan, ay kung ano ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang mapupuksa ang isa sa mga variable.
Ang mga linear na equation ay medyo hindi nakakapinsala at naiintindihan na paksa sa matematika ng paaralan. Ngunit, kakaiba, ang bilang ng mga error sa labas ng asul kapag ang paglutas ng mga linear equation ay bahagyang mas mababa kaysa sa iba pang mga paksa - quadratic equation, logarithms, trigonometry at iba pa. Ang mga sanhi ng karamihan sa mga pagkakamali ay ang mga karaniwang pagbabagong-anyo ng mga equation. Una sa lahat, ito ay pagkalito sa mga palatandaan kapag naglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, pati na rin ang mga error kapag nagtatrabaho sa mga fraction at fractional coefficient. Oo Oo! Lumilitaw din ang mga fraction sa mga linear equation! Sa paligid. Sa ibaba ay tiyak na susuriin natin ang gayong masasamang equation.)
Buweno, huwag nating hilahin ang pusa sa pamamagitan ng buntot at simulan natin itong alamin, hindi ba? Pagkatapos ay binasa namin at alamin ito.)
Ano ang isang linear equation? Mga halimbawa.
Karaniwan ang linear equation ay ganito ang hitsura:
palakol + b = 0,
Kung saan ang a at b ay anumang numero. Anumang uri: mga integer, fraction, negatibo, hindi makatwiran - maaaring magkaroon ng anuman!
Halimbawa:
7x + 1 = 0 (dito a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (dito a = 1, b = -3)
x/2 – 1.1 = 0 (dito a = 1/2, b = -1.1)
Sa pangkalahatan, naiintindihan mo, umaasa ako.) Ang lahat ay simple, tulad ng sa isang fairy tale. Pansamantala... At kung titingnan mo nang mabuti ang pangkalahatang notasyon ax+b=0, at mag-isip ng kaunti? Pagkatapos ng lahat, ang a at b ay anumang numero! At kung mayroon tayo, sabihin nating, a = 0 at b = 0 (maaaring kunin ang anumang numero!), ano ang makukuha natin?
0 = 0
Ngunit hindi iyon ang lahat ng kasiyahan! Paano kung, sabihin, a = 0, b = -10? Pagkatapos ito ay lumalabas na isang uri ng walang kapararakan:
0 = 10.
Na sobrang nakakainis at nakakasira ng tiwala sa matematika na natamo natin sa pamamagitan ng pawis at dugo... Lalo na sa mga pagsusulit at pagsusulit. Ngunit sa mga hindi maintindihan at kakaibang pagkakapantay-pantay na ito, kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat! At dito, kahit na ang mga mag-aaral na handa nang mabuti ay maaaring mahulog kung minsan sa tinatawag na stupor... Ngunit huwag mag-alala! Sa araling ito ay titingnan din natin ang lahat ng gayong mga sorpresa. At tiyak na makakahanap tayo ng X mula sa gayong mga pagkakapantay-pantay.) Bukod dito, ang parehong X na ito ay mahahanap nang napakasimple. Oo Oo! Nakakagulat pero totoo.)
Okay, understandable naman. Ngunit paano mo masasabi sa hitsura ng gawain na ito ay isang linear equation at hindi ibang equation? Sa kasamaang palad, hindi laging posible na makilala ang uri ng equation sa pamamagitan lamang ng hitsura. Ang punto ay hindi lamang ang mga equation ng form na ax + b = 0 ay tinatawag na linear, kundi pati na rin ang anumang iba pang mga equation na, sa isang paraan o iba pa, ay maaaring mabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago. Paano mo malalaman kung nagdadagdag ito o hindi? Hanggang sa halos hindi mo malutas ang halimbawa - halos hindi lahat. Nakakainis ito. Ngunit para sa ilang uri ng mga equation, masasabi mo kaagad nang may kumpiyansa kung ito ay linear o hindi sa isang mabilis na sulyap.
Upang gawin ito, tingnan natin muli ang pangkalahatang istraktura ng anumang linear equation:
palakol + b = 0
Pakitandaan: sa linear equation Laging tanging variable x ang naroroon sa unang antas at ilang mga numero! Iyon lang! Walang iba. Kasabay nito, walang mga X sa parisukat, sa kubo, sa ilalim ng ugat, sa ilalim ng logarithm at iba pang mga kakaibang bagay. At (pinaka-mahalaga!) walang mga fraction na may X sa mga denominador! Ngunit ang mga praksyon na may mga numero sa mga denominador o dibisyon bawat numero- madali!
Halimbawa:
Ito ay isang linear equation. Ang equation ay naglalaman lamang ng mga X sa unang kapangyarihan at mga numero. At walang mga X sa mas mataas na kapangyarihan - squared, cubed, at iba pa. Oo, mayroong mga fraction dito, ngunit sa parehong oras ang mga denominator ng mga fraction ay naglalaman mga numero lamang. Ibig sabihin, dalawa at tatlo. Sa madaling salita, wala paghahati sa pamamagitan ng x.
At narito ang equation
Hindi na ito matatawag na linear, bagama't dito rin, mayroon lamang mga numero at X sa unang kapangyarihan. Dahil, bukod sa iba pang mga bagay, mayroon ding mga fraction na may mga X sa mga denominador. At pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, ang gayong equation ay maaaring maging anuman: linear, quadratic - kahit ano.
Paano malutas ang mga linear na equation? Mga halimbawa.
Kaya paano mo malulutas ang mga linear na equation? Magbasa at mabigla.) Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay nakabatay lamang sa dalawang pangunahing bagay. Ilista natin sila.
1) Isang hanay ng mga elementarya na aksyon at panuntunan ng matematika.
Ang mga ito ay gumagamit ng mga panaklong, pambungad na panaklong, nagtatrabaho sa mga fraction, nagtatrabaho sa mga negatibong numero, mga talahanayan ng pagpaparami, at iba pa. Ang kaalaman at kasanayang ito ay kinakailangan hindi lamang para sa paglutas ng mga linear na equation, ngunit para sa lahat ng matematika sa pangkalahatan. At, kung mayroon kang mga problema dito, tandaan ang mas mababang mga marka. Kung hindi, mahihirapan ka...
2)
Dalawa lang sila. Oo Oo! Higit pa rito, ang mga napakapangunahing pagbabagong ito ng pagkakakilanlan ay sumasailalim sa solusyon ng hindi lamang linear, ngunit sa pangkalahatan ay anumang mathematical equation! Sa isang salita, ang solusyon sa anumang iba pang equation - quadratic, logarithmic, trigonometric, irrational, atbp. – bilang panuntunan, ito ay nagsisimula sa mga pangunahing pagbabagong ito. Ngunit ang solusyon ng mga linear na equation, sa katunayan, ay nagtatapos sa kanila (mga pagbabagong-anyo). Handa nang sagot.) Kaya huwag maging tamad at tingnan ang link.) Bukod dito, ang mga linear equation ay sinusuri din nang detalyado doon.
Buweno, sa palagay ko ay oras na upang simulan ang pagtingin sa mga halimbawa.
Upang magsimula, bilang isang warm-up, tingnan natin ang ilang mga pangunahing bagay. Nang walang anumang mga fraction o iba pang mga kampana at sipol. Halimbawa, ang equation na ito:
x – 2 = 4 – 5x
Ito ay isang klasikong linear equation. Ang lahat ng X ay nasa pinakaunang kapangyarihan at walang dibisyon ng X kahit saan. Ang scheme ng solusyon sa mga naturang equation ay palaging pareho at napakasimple: lahat ng terminong may X ay dapat kolektahin sa kaliwa, at lahat ng terminong walang X's (i.e. mga numero) ay dapat kolektahin sa kanan. Kaya simulan na natin ang pagkolekta.
Para magawa ito, inilunsad namin ang unang pagbabago ng pagkakakilanlan. Kailangan nating ilipat -5x sa kaliwa, at ilipat -2 sa kanan. Sa pagbabago ng sign, siyempre.) Kaya inilipat namin:
x + 5x = 4 + 2
Eto na. Ang kalahati ng labanan ay tapos na: ang mga X ay nakolekta sa isang tumpok, at gayundin ang mga numero. Ngayon ay ipinakita namin ang mga katulad sa kaliwa, at binibilang namin ang mga ito sa kanan. Nakukuha namin:
6x = 6
Ano ang kulang natin ngayon para sa ganap na kaligayahan? Oo, para manatili ang purong X sa kaliwa! At humarang ang anim. Paano ito mapupuksa? Ngayon ay pinapatakbo namin ang pangalawang pagbabago ng pagkakakilanlan - hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 6. At - voila! Handa na ang sagot.)
x = 1
Siyempre, ang halimbawa ay ganap na primitive. Upang makuha ang pangkalahatang ideya. Well, magpasya tayo ng isang bagay na mas makabuluhan. Halimbawa, tingnan natin ang equation na ito:
Tingnan natin ito nang detalyado.) Ito rin ay isang linear na equation, bagama't tila may mga fraction dito. Ngunit sa mga fraction ay mayroong paghahati ng dalawa at mayroong paghahati ng tatlo, ngunit walang paghahati sa pamamagitan ng isang expression na may X! Kaya magdesisyon tayo. Gamit ang magkaparehong pagbabago, oo.)
Ano ang dapat nating gawin muna? Sa X's - sa kaliwa, walang X's - sa kanan? Sa prinsipyo, posible ito. Lumipad sa Sochi sa pamamagitan ng Vladivostok.) O maaari mong gawin ang pinakamaikling ruta, kaagad gamit ang isang unibersal at makapangyarihang paraan. Kung alam mo ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan, siyempre.)
Una, nagtatanong ako ng isang mahalagang tanong: ano ang pinaka namumukod-tangi sa iyo at pinaka-ayaw tungkol sa equation na ito? 99 sa 100 tao ang magsasabi: mga fraction! At magiging tama sila.) Kaya tanggalin muna natin sila. Safe para sa equation mismo.) Samakatuwid, simulan natin kaagad sa ikalawang pagbabago ng pagkakakilanlan- mula sa pagpaparami. Ano ang dapat nating i-multiply sa kaliwang bahagi upang matagumpay na mabawasan ang denominator? Tama, dalawa. A kanang bahagi? Para sa tatlo! Ngunit... Ang matematika ay isang pabagu-bagong babae. Siya, makikita mo, ay nangangailangan ng pagpaparami ng magkabilang panig lamang para sa parehong numero! Ang pagpaparami ng bawat bahagi sa sarili nitong numero ay hindi gumagana... Ano ang gagawin natin? Isang bagay... Maghanap ng kompromiso. Upang masiyahan ang ating mga hangarin (upang alisin ang mga praksyon) at hindi masaktan ang matematika.) I-multiply natin ang parehong bahagi sa anim!) Iyon ay, sa pamamagitan ng karaniwang denominator ng lahat ng mga praksiyon na kasama sa equation. Pagkatapos ay sa isang iglap ay mababawasan ang dalawa at ang tatlo!)
Kaya paramihin natin. Ang buong kaliwang bahagi at ang buong kanang bahagi! Samakatuwid, gumagamit kami ng mga panaklong. Ganito ang hitsura ng mismong pamamaraan:
Ngayon binuksan namin ang parehong mga bracket:
Ngayon, na kumakatawan sa 6 bilang 6/1, i-multiply natin ang anim sa bawat isa sa mga fraction sa kaliwa at kanan. Ito ang karaniwang multiplikasyon ng mga fraction, ngunit gayon pa man, ilalarawan ko ito nang detalyado:
At narito - pansin! Inilagay ko ang numerator (x-3) sa mga bracket! Ito ay lahat dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami nang buo, ganap! At ang x-3 expression ay dapat na gumana bilang isang mahalagang istraktura. Ngunit kung isusulat mo ang numerator tulad nito:
6x – 3,
Ngunit mayroon kaming lahat ng tama at kailangan naming tapusin ito. Ano ang susunod na gagawin? Buksan ang mga panaklong sa numerator sa kaliwa? Sa anumang kaso! Ikaw at ako ay pinarami ang magkabilang panig ng 6 upang maalis ang mga fraction, at huwag mag-alala tungkol sa pagbubukas ng mga panaklong. Sa yugtong ito kailangan natin bawasan ang ating mga fraction. Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan, binabawasan namin ang lahat ng mga denominator at nakakuha ng isang equation na walang anumang mga fraction, sa isang ruler:
3(x-3) + 6x = 30 – 4x
At ngayon ang natitirang mga bracket ay maaaring mabuksan:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
Ang equation ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay! Ngayon, tandaan natin muli ang tungkol sa unang magkaparehong pagbabago. Sa isang tuwid na mukha inuulit namin ang spell mula sa mga junior class: may X - sa kaliwa, walang X - sa kanan. At ilapat ang pagbabagong ito:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Nagpapakita kami ng mga katulad sa kaliwa at binibilang sa kanan:
13x = 39
Ito ay nananatiling hatiin ang parehong bahagi ng 13. Iyon ay, ilapat muli ang pangalawang pagbabago. Hinahati namin at makuha ang sagot:
x = 3
Tapos na ang trabaho. Tulad ng nakikita mo, sa equation na ito kailangan naming ilapat ang unang pagbabagong-anyo nang isang beses (paglilipat ng mga termino) at ang pangalawa ay dalawang beses: sa simula ng solusyon ginamit namin ang multiplikasyon (sa pamamagitan ng 6) upang mapupuksa ang mga fraction, at sa dulo ng solusyon na ginamit namin ang paghahati (sa pamamagitan ng 13), upang mapupuksa ang koepisyent sa harap ng X. At ang solusyon sa alinmang (oo, anuman!) na linear na equation ay binubuo ng kumbinasyon ng mga parehong pagbabagong ito sa isang sequence o iba pa. Kung saan eksaktong magsisimula ay depende sa tiyak na equation. Sa ilang mga lugar ay mas kumikita ang magsimula sa paglipat, at sa iba pa (tulad ng halimbawang ito) na may multiplikasyon (o dibisyon).
Nagtatrabaho kami mula sa simple hanggang sa kumplikado. Isaalang-alang natin ngayon ang tahasang kalupitan. Sa isang bungkos ng mga fraction at panaklong. At sasabihin ko sa iyo kung paano huwag pilitin ang iyong sarili.)
Halimbawa, narito ang equation:
Tinitingnan namin ang equation sa loob ng isang minuto, natakot, ngunit pinagsasama-sama pa rin ang aming sarili! Ang pangunahing problema ay kung saan magsisimula? Maaari kang magdagdag ng mga fraction sa kanang bahagi. Maaari mong ibawas ang mga fraction sa panaklong. Maaari mong i-multiply ang parehong bahagi sa isang bagay. O hatiin... Kaya ano pa ang posible? Sagot: lahat ay posible! Hindi ipinagbabawal ng matematika ang alinman sa mga nakalistang aksyon. At anuman ang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon at pagbabagong pipiliin mo, ang sagot ay palaging pareho - ang tama. Maliban kung, siyempre, sa ilang hakbang ay nilalabag mo ang pagkakakilanlan ng iyong mga pagbabago at, sa gayon, nagkakamali...
At, upang hindi magkamali, sa mga sopistikadong halimbawa tulad ng isang ito, ito ay palaging pinaka-kapaki-pakinabang upang suriin ang hitsura nito at malaman sa iyong isip: kung ano ang maaaring gawin sa halimbawa upang maximum pasimplehin ito sa isang hakbang?
Kaya't alamin natin ito. Sa kaliwa ay anim sa mga denominador. Sa personal, hindi ko gusto ang mga ito, at napakadaling alisin. I-multiply ko ang magkabilang panig ng equation sa 6! Pagkatapos ang mga anim sa kaliwa ay matagumpay na mababawasan, ang mga fraction sa mga bracket ay hindi pa mapupunta kahit saan. Well, okay lang. Haharapin natin sila sa ibang pagkakataon.) Ngunit sa kanan, mayroon tayong pagkansela ng denominator 2 at 3. Sa pagkilos na ito (multiply sa 6) na nakakamit natin ang pinakamataas na pagpapasimple sa isang hakbang!
Pagkatapos ng multiplikasyon, ang ating buong masamang equation ay magiging ganito:
Kung hindi mo eksaktong naiintindihan kung paano nangyari ang equation na ito, hindi mo pa naiintindihan nang mabuti ang pagsusuri ng nakaraang halimbawa. At sinubukan ko nga pala...
Kaya, ibunyag natin:
Ngayon ang pinakalohikal na hakbang ay ang paghiwalayin ang mga fraction sa kaliwa, at ipadala ang 5x sa kanang bahagi. Kasabay nito, ipapakita namin ang mga katulad sa kanang bahagi. Nakukuha namin:
Much better na. Ngayon ang kaliwang bahagi ay inihanda ang sarili para sa pagpaparami. Ano ang dapat nating i-multiply sa kaliwang bahagi upang ang lima at ang apat ay mabawasan nang sabay-sabay? sa 20! Ngunit mayroon din kaming mga disadvantages sa magkabilang panig ng equation. Samakatuwid, ito ay magiging pinaka-maginhawa upang i-multiply ang magkabilang panig ng equation hindi sa pamamagitan ng 20, ngunit sa pamamagitan ng -20. Pagkatapos, sa isang iglap ay mawawala ang parehong mga minus at ang mga fraction.
Kaya tayo ay dumami:
Ang sinumang hindi pa rin nakakaunawa sa hakbang na ito ay nangangahulugan na ang problema ay wala sa mga equation. Ang mga problema ay nasa mga pangunahing kaalaman! Alalahanin natin muli Golden Rule pambungad na mga bracket:
Kung ang isang numero ay pinarami ng ilang expression sa mga bracket, dapat na sunud-sunod na i-multiply ang numerong ito sa bawat termino ng mismong expression na ito. Bukod dito, kung ang numero ay positibo, kung gayon ang mga palatandaan ng mga expression ay napanatili pagkatapos ng pagpapalawak. Kung negatibo, baguhin sa kabaligtaran:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Ang aming mga kahinaan ay nawala pagkatapos na i-multiply ang magkabilang panig sa -20. At ngayon pinarami namin ang mga bracket na may mga fraction sa kaliwa ng medyo positibong numero 20. Samakatuwid, kapag ang mga bracket na ito ay binuksan, ang lahat ng mga palatandaan na nasa loob ng mga ito ay napanatili. Ngunit kung saan nagmula ang mga bracket sa mga numerator ng mga fraction, ipinaliwanag ko nang detalyado sa nakaraang halimbawa.
Ngayon ay maaari mong bawasan ang mga fraction:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Buksan ang natitirang mga bracket. Muli, inihayag namin ito nang tama. Ang mga unang bracket ay pinarami ng positibong numero 4 at, samakatuwid, ang lahat ng mga palatandaan ay napanatili kapag binuksan ang mga ito. Ngunit ang pangalawang bracket ay pinarami ng negatibo ang numero ay -5 at, samakatuwid, ang lahat ng mga palatandaan ay baligtad:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
May mga natitira na lamang. May X's sa kaliwa, walang X's sa kanan:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Halos lahat yan. Sa kaliwa kailangan mo ng isang purong X, ngunit ang numero -35 ay nasa daan. Kaya hinati namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng (-35). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pangalawang pagbabago ng pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na dumami at hatiin ang magkabilang panig kahit ano numero. Kasama ang mga negatibo.) Hangga't hindi ito zero! Huwag mag-atubiling hatiin at makuha ang sagot:
X = 2/35
Sa pagkakataong ito ang X ay naging fractional. ayos lang. Isang halimbawa.)
Tulad ng nakikita natin, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation (kahit na ang pinaka-kumplikado) ay medyo simple: kinukuha natin ang orihinal na equation at, gamit ang magkatulad na pagbabago, sunud-sunod na pinasimple ito hanggang sa makuha natin ang sagot. Sa mga pangunahing kaalaman, siyempre! Ang mga pangunahing problema dito ay tiyak ang kabiguan na sundin ang mga pangunahing kaalaman (halimbawa, mayroong isang minus sa harap ng mga bracket, at nakalimutan nilang baguhin ang mga palatandaan kapag lumalawak), pati na rin sa banal na aritmetika. Kaya huwag pabayaan ang mga pangunahing kaalaman! Sila ang pundasyon ng lahat ng iba pang matematika!
Ilang nakakatuwang bagay na maaaring gawin kapag nilulutas ang mga linear equation. O mga espesyal na okasyon.
Magiging maayos ang lahat. Gayunpaman... Kabilang sa mga linear na equation ay mayroon ding mga nakakatawang perlas na sa proseso ng paglutas ng mga ito ay maaaring magdala sa iyo sa isang malakas na pagkahilo. Kahit na isang mahusay na mag-aaral.)
Halimbawa, narito ang isang hindi nakapipinsalang equation:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Humikab ng malawak at bahagyang naiinip, kinokolekta namin ang lahat ng X sa kaliwa at lahat ng numero sa kanan:
7x-4x-3x = 5-2-3
Nagpapakita kami ng mga katulad, binibilang at nakuha:
0 = 0
Ayan yun! Nagbigay ako ng sample trick! Ang pagkakapantay-pantay na ito sa kanyang sarili ay hindi nagtataas ng anumang pagtutol: ang zero ay talagang katumbas ng zero. Pero nawawala si X! Walang bakas! At dapat nating isulat sa sagot, ano ang katumbas ng x. Kung hindi, ang desisyon ay hindi binibilang, oo.) Ano ang gagawin?
Huwag mag-panic! Sa ganitong mga hindi karaniwang mga kaso, ang pinaka pangkalahatang konsepto at mga prinsipyo ng matematika. Ano ang isang equation? Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation?
Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap Lahat mga halaga ng variable x, na, kapag pinalitan sa orihinal ang equation ay magbibigay sa atin ng tamang pagkakapantay-pantay (identity)!
Ngunit mayroon tayong tunay na pagkakapantay-pantay nangyari na! 0=0, o sa halip, wala kahit saan!) Maaari lamang nating hulaan kung ano ang X na nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay na ito. Anong uri ng X ang maaaring palitan orihinal equation, kung sa pagpapalit ng lahat ng mga ito mababawasan pa ba sila ng zero? Hindi mo pa ba naiisip?
Tiyak! Maaaring palitan ang mga X anuman!!! Ganap na kahit ano. Isumite ang anumang gusto mo. Hindi bababa sa 1, hindi bababa sa -23, hindi bababa sa 2.7 - anuman! Mababawasan pa rin sila at dahil dito, mananatili ang dalisay na katotohanan. Subukan ito, palitan ito at tingnan para sa iyong sarili.)
Narito ang iyong sagot:
x – anumang numero.
SA siyentipikong talaan ang pagkakapantay-pantay na ito ay nakasulat tulad nito:
Ang entry na ito ay nagbabasa ng ganito: "Ang X ay anumang totoong numero."
O sa ibang anyo, sa pagitan:
Idisenyo ito sa paraang gusto mo. Ito ay isang tama at ganap na kumpletong sagot!
Ngayon ay babaguhin ko lamang ang isang numero sa aming orihinal na equation. Ngayon, lutasin natin ang equation na ito:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2
Muli naming inilipat ang mga tuntunin, bilangin at makuha:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
At ano sa tingin mo ang biro na ito? Nagkaroon ng ordinaryong linear equation, ngunit ito ay naging isang hindi maintindihang pagkakapantay-pantay
0 = 1…
Sa scientifically speaking, nakuha namin maling pagkakapantay-pantay. Ngunit sa Russian ito ay hindi totoo. kalokohan. Kalokohan.) Dahil ang zero ay hindi katumbas ng isa!
At ngayon, alamin nating muli kung anong uri ng mga X, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ang ibibigay sa atin tunay na pagkakapantay-pantay? alin? Pero wala! Kahit anong X ang palitan mo, maiikli pa rin ang lahat at mananatiling kalokohan ang lahat.)
Narito ang sagot: walang solusyon.
SA mathematical notation ang ganitong tugon ay naka-format tulad nito:
May nakasulat na: "X belongs to the empty set."
Ang ganitong mga sagot sa matematika ay madalas ding nangyayari: hindi palaging ang anumang mga equation ay may mga ugat sa prinsipyo. Ang ilang mga equation ay maaaring walang mga ugat. Sa lahat.
Narito ang dalawang sorpresa. Umaasa ako na ngayon ang biglaang pagkawala ng X mula sa equation ay hindi mag-iiwan sa iyo na maguguluhan magpakailanman. Ito ay medyo pamilyar.)
At pagkatapos ay nakarinig ako ng isang lohikal na tanong: sila ba ay nasa OGE o sa Unified State Exam? Sa Unified State Examination sa sarili nito bilang isang gawain - hindi. Masyadong simple. Ngunit sa OGE o sa mga problema sa salita - madali! Kaya ngayon, magsanay tayo at magpasya:
Mga sagot (magulo): -2; -1; kahit anong numero; 2; walang solusyon; 7/13.
Nagtagumpay ang lahat? Malaki! Malaki ang tsansa mo sa pagsusulit.
May hindi ba nakakadagdag? Hm... Ang lungkot, syempre. Nangangahulugan ito na may mga puwang pa rin sa isang lugar. Alinman sa mga pangunahing kaalaman o sa magkatulad na pagbabago. O ito ay isang bagay lamang ng simpleng kawalan ng pansin. Basahin muli ang aralin. Dahil hindi ito isang paksa na madaling ibigay sa matematika...
Good luck! Siguradong ngingiti siya sa iyo, maniwala ka sa akin!)
