Paano lutasin ang mga expression na may mga fraction. Paghahati ng karaniwang fraction sa fraction

Ang numerator, at ang nahahati sa ay ang denominator.

Upang magsulat ng fraction, isulat muna ang numerator, pagkatapos ay gumuhit ng pahalang na linya sa ilalim ng numero, at isulat ang denominator sa ibaba ng linya. Ang pahalang na linya na naghihiwalay sa numerator at denominator ay tinatawag na fraction line. Minsan ito ay inilalarawan bilang isang pahilig na "/" o "∕". Sa kasong ito, ang numerator ay nakasulat sa kaliwa ng linya, at ang denominator sa kanan. Kaya, halimbawa, ang fraction na "two thirds" ay isusulat bilang 2/3. Para sa kalinawan, ang numerator ay karaniwang nakasulat sa tuktok ng linya, at ang denominator sa ibaba, iyon ay, sa halip na 2/3 ay makikita mo ang: ⅔.

Upang kalkulahin ang produkto ng mga fraction, i-multiply muna ang numerator ng isa mga fraction sa numerator ay iba. Isulat ang resulta sa numerator ng bago mga fraction. Pagkatapos nito, paramihin ang mga denominador. Ilagay ang kabuuang halaga sa bago mga fraction. Halimbawa, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply muna ang numerator ng una sa denominator ng pangalawa. Gawin din ang pangalawang bahagi (divisor). O, bago isagawa ang lahat ng mga aksyon, unang "i-flip" ang divisor, kung ito ay mas maginhawa para sa iyo: ang denominator ay dapat lumitaw sa lugar ng numerator. Pagkatapos ay i-multiply ang denominator ng dibidendo sa bagong denominator ng divisor at i-multiply ang mga numerator. Halimbawa, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Mga Pinagmulan:

• Mga pangunahing problema sa fraction

Ang mga fractional na numero ay maaaring ipahayag sa iba't ibang paraan eksaktong halaga dami. Magagawa mo ang parehong mga operasyon sa matematika na may mga fraction gaya ng magagawa mo sa mga buong numero: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami, at paghahati. Para matutong magdesisyon mga fraction, dapat nating tandaan ang ilan sa kanilang mga tampok. Depende sila sa uri mga fraction, ang pagkakaroon ng isang integer na bahagi, isang karaniwang denominator. Ang ilan mga operasyon sa aritmetika pagkatapos ng pagpapatupad ay nangangailangan sila ng pagbawas ng fractional na bahagi ng resulta.

Kakailanganin mong

• - calculator

Mga tagubilin

Tingnang mabuti ang mga numero. Kung sa mga fraction ay may mga decimal at hindi regular, kung minsan ay mas maginhawang magsagawa muna ng mga operasyon na may mga decimal, at pagkatapos ay i-convert ang mga ito sa hindi regular na anyo. Maaari mong isalin ang mga fraction sa form na ito sa simula, isulat ang halaga pagkatapos ng decimal point sa numerator at paglalagay ng 10 sa denominator. Kung kinakailangan, bawasan ang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng mga numero sa itaas at ibaba ng isang divisor. Ang mga praksyon kung saan ang buong bahagi ay nakahiwalay ay dapat i-convert sa maling anyo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa denominator at pagdaragdag ng numerator sa resulta. Ang halagang ito ay magiging bagong numerator mga fraction. Upang pumili ng isang buong bahagi mula sa isang hindi tama sa una mga fraction, kailangan mong hatiin ang numerator sa denominator. Isulat ang buong resulta mula sa mga fraction. At ang natitirang bahagi ng dibisyon ay magiging bagong numerator, denominator mga fraction hindi ito nagbabago. Para sa mga fraction na may buong bahagi posibleng magsagawa ng mga aksyon nang hiwalay muna para sa integer at pagkatapos ay para sa mga fractional na bahagi. Halimbawa, ang kabuuan ng 1 2/3 at 2 ¾ ay maaaring kalkulahin:
- Pag-convert ng mga fraction sa maling anyo:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Pagsusuma ng magkahiwalay na integer at fractional na bahagi mga tuntunin:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Isulat muli ang mga ito gamit ang “:” separator at magpatuloy sa normal na paghahati.

Upang makuha ang pangwakas na resulta, bawasan ang resultang fraction sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa isang buong numero, ang pinakamalaking posible sa sa kasong ito. Sa kasong ito, dapat mayroong mga integer sa itaas at ibaba ng linya.

tala

Huwag magsagawa ng aritmetika na may mga praksyon na ang mga denominador ay magkaiba. Pumili ng isang numero na kapag pinarami mo ang numerator at denominator ng bawat fraction dito, ang resulta ay ang mga denominator ng parehong mga fraction ay pantay.

Nakatutulong na payo

Kapag nagsusulat ng mga fractional na numero, ang dibidendo ay nakasulat sa itaas ng linya. Ang dami na ito ay itinalaga bilang numerator ng fraction. Ang divisor, o denominator, ng fraction ay nakasulat sa ibaba ng linya. Halimbawa, isa at kalahating kilo ng bigas bilang isang bahagi ay isusulat ng mga sumusunod: 1 ½ kg ng bigas. Kung ang denominator ng isang fraction ay 10, ang fraction ay tinatawag na decimal. Sa kasong ito, ang numerator (dividend) ay nakasulat sa kanan ng buong bahagi, na pinaghihiwalay ng kuwit: 1.5 kg ng bigas. Para sa kadalian ng pagkalkula, ang nasabing fraction ay maaaring palaging nakasulat sa maling anyo: 1 2/10 kg ng patatas. Upang gawing simple, maaari mong bawasan ang mga halaga ng numerator at denominator sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang integer. Sa halimbawang ito, maaari mong hatiin sa 2. Ang magiging resulta ay 1 1/5 kg ng patatas. Siguraduhin na ang mga numerong gagawin mo sa aritmetika ay ipinakita sa parehong anyo.

) at denominator ayon sa denominator (nakukuha natin ang denominator ng produkto).

Formula para sa pagpaparami ng mga fraction:

Halimbawa:

Bago mo simulan ang pagpaparami ng mga numerator at denominator, kailangan mong suriin kung ang fraction ay maaaring bawasan. Kung maaari mong bawasan ang fraction, magiging mas madali para sa iyo na gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon.

Paghahati ng karaniwang fraction sa fraction.

Paghahati ng mga fraction na kinasasangkutan ng mga natural na numero.

Hindi ito nakakatakot gaya ng tila. Tulad ng sa kaso ng karagdagan, kino-convert namin ang integer sa isang fraction na may isa sa denominator. Halimbawa:

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction (halo-halong):

• i-convert ang mga mixed fraction sa hindi tamang fraction;
• pagpaparami ng mga numerator at denominador ng mga fraction;
• bawasan ang bahagi;
• Kung nakakuha ka ng hindi tamang fraction, iko-convert namin ang hindi tamang fraction sa isang mixed fraction.

Tandaan! Para dumami halo-halong bahagi sa isa pang mixed fraction, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa anyo ng mga hindi wastong fraction, at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang pangalawang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero.

Maaaring mas maginhawang gamitin ang pangalawang paraan ng pagpaparami karaniwang fraction bawat numero.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang fraction sa natural na numero Kinakailangan na hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na hindi nagbabago.

Mula sa halimbawang ibinigay sa itaas, malinaw na ang opsyong ito ay mas maginhawang gamitin kapag ang denominator ng isang fraction ay hinati nang walang nalalabi sa isang natural na numero.

Mga multistory fraction.

Sa mataas na paaralan, ang tatlong-kuwento (o higit pa) na mga praksyon ay madalas na nakatagpo. Halimbawa:

Upang dalhin ang naturang fraction sa karaniwang anyo nito, gamitin ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos:

Tandaan! Kapag naghahati ng mga fraction, ang pagkakasunud-sunod ng paghahati ay napakahalaga. Mag-ingat, madaling malito dito.

Tandaan, Halimbawa:

Kapag hinahati ang isa sa anumang fraction, ang resulta ay magiging parehong fraction, baligtad lamang:

Mga praktikal na tip para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction:

1. Ang pinakamahalagang bagay kapag nagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang maingat at tumpak, puro at malinaw. Mas mabuting magsulat ng ilang dagdag na linya sa iyong draft kaysa mawala sa mga kalkulasyon ng isip.

2. Sa mga gawaing may iba't ibang uri fractions - pumunta sa anyo ng mga ordinaryong fraction.

3. Binabawasan natin ang lahat ng fraction hanggang sa hindi na posible na bawasan.

4. Binabago namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryo gamit ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos.

5. Hatiin ang isang yunit sa pamamagitan ng isang fraction sa iyong ulo, ibalik lamang ang fraction.

Nilalaman ng aralin

Pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominator

Mayroong dalawang uri ng pagdaragdag ng mga fraction:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may katulad na denominator
2. Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Una, alamin natin ang pagdaragdag ng mga fraction na may mga katulad na denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa, idagdag natin ang mga fraction at . Idagdag ang mga numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung naaalala natin ang pizza, na nahahati sa apat na bahagi. Kung magdagdag ka ng pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction at .

Ang sagot ay naging isang improper fraction. Kapag dumating ang katapusan ng gawain, kaugalian na alisin ang mga hindi wastong fraction. Upang mapupuksa ang isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi nito. Sa aming kaso, ang buong bahagi ay madaling ihiwalay - dalawang hinati sa dalawang katumbas ng isa:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung naaalala natin ang tungkol sa isang pizza na nahahati sa dalawang bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang pizza sa pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza:

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction at .

Muli, idinaragdag namin ang mga numerator at iiwan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung naaalala natin ang pizza, na nahahati sa tatlong bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:

Halimbawa 4. Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Ang mga numerator ay dapat idagdag at ang denominator ay iwanang hindi nagbabago:

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang drawing. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza at magdagdag ng higit pang mga pizza, makakakuha ka ng 1 buong pizza at higit pang mga pizza.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;

Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Ngayon, alamin natin kung paano magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Kapag nagdaragdag ng mga praksiyon, ang mga denominador ng mga praksiyon ay dapat na pareho. Ngunit hindi sila palaging pareho.

Halimbawa, ang mga fraction ay maaaring idagdag dahil mayroon sila parehong denominador.

Ngunit ang mga praksiyon ay hindi maaaring maidagdag kaagad, dahil ang mga praksiyon na ito ay may iba't ibang denominador. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Mayroong ilang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ngayon ay titingnan lamang natin ang isa sa mga ito, dahil ang iba pang mga pamamaraan ay maaaring mukhang kumplikado para sa isang baguhan.

Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay unang hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang LCM pagkatapos ay hinati sa denominator ng unang fraction upang makuha ang unang karagdagang salik. Ganoon din ang ginagawa nila sa pangalawang fraction - ang LCM ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik.

Ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pagkatapos ay i-multiply sa kanilang mga karagdagang kadahilanan. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction.

Halimbawa 1. Idagdag natin ang mga fraction at

Una sa lahat, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominator ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 6

LCM (2 at 3) = 6

Ngayon ay bumalik tayo sa mga fraction at . Una, hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction at kunin ang unang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 6 sa 3, makakakuha tayo ng 2.

Ang resultang numero 2 ay ang unang karagdagang multiplier. Isulat namin ito hanggang sa unang bahagi. Upang gawin ito, gumawa ng isang maliit na pahilig na linya sa ibabaw ng fraction at isulat ang karagdagang kadahilanan na matatagpuan sa itaas nito:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi at makuha ang pangalawang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng pangalawang bahagi ay ang numero 2. Hatiin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 3.

Ang resultang numero 3 ay ang pangalawang karagdagang multiplier. Isinulat namin ito hanggang sa pangalawang bahagi. Muli, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa pangalawang bahagi at isulat ang karagdagang kadahilanan na matatagpuan sa itaas nito:

Ngayon ay handa na namin ang lahat para sa karagdagan. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Tingnan mong mabuti kung ano ang aming narating. Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction. Dalhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Kinukumpleto nito ang halimbawa. Ito ay lumiliko upang magdagdag ng .

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang drawing. Kung magdagdag ka ng pizza sa isang pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza at isa pang ikaanim ng isang pizza:

Ang pagbabawas ng mga fraction sa parehong (karaniwang) denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagbabawas ng mga fraction at sa isang karaniwang denominator, nakuha namin ang mga fraction at . Ang dalawang fraction na ito ay kakatawanin ng parehong piraso ng pizza. Ang pagkakaiba lamang ay sa pagkakataong ito ay mahahati sila sa pantay na bahagi (binawasan sa parehong denominator).

Ang unang drawing ay kumakatawan sa isang fraction (apat na piraso sa anim), at ang pangalawang drawing ay kumakatawan sa isang fraction (tatlong piraso sa anim). Ang pagdaragdag ng mga pirasong ito ay nakukuha natin (pitong piraso sa anim). Ang fraction na ito ay hindi wasto, kaya na-highlight namin ang buong bahagi nito. Bilang resulta, nakuha namin (isang buong pizza at isa pang ikaanim na pizza).

Pakitandaan na inilarawan namin ang halimbawang ito nang masyadong detalyado. SA institusyong pang-edukasyon Hindi kaugalian na magsulat ng ganoong detalye. Kailangan mong mabilis na mahanap ang LCM ng parehong mga denominator at karagdagang mga kadahilanan sa kanila, pati na rin mabilis na i-multiply ang mga nahanap na karagdagang mga kadahilanan sa iyong mga numerator at denominator. Kung tayo ay nasa paaralan, kailangan nating isulat ang halimbawang ito tulad ng sumusunod:

Pero meron din likurang bahagi mga medalya. Kung hindi ka kumuha ng mga detalyadong tala sa mga unang yugto ng pag-aaral ng matematika, pagkatapos ay magsisimulang lumitaw ang mga tanong ng uri. "Saan nagmula ang bilang na iyon?", "Bakit ang mga fraction ay biglang nagiging ganap na magkakaibang mga fraction? «.

Upang gawing mas madaling magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, maaari mong gamitin ang sumusunod na sunud-sunod na mga tagubilin:

1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction;
2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at kumuha ng karagdagang salik para sa bawat fraction;
3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang salik;
4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator;
5. Kung ang sagot ay lumabas na isang hindi wastong bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito;

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression .

Gamitin natin ang mga tagubiling ibinigay sa itaas.

Hakbang 1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng parehong mga fraction. Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 2, 3 at 4

Hakbang 2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang factor para sa bawat fraction

Hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 12 sa 2, makuha namin ang 6. Nakuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 6. Isinulat namin ito sa itaas ng unang fraction:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makuha namin ang 4. Nakukuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 4. Isinulat namin ito sa itaas ng pangalawang fraction:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Nakukuha natin ang ikatlong karagdagang salik 3. Isinulat natin ito sa itaas ng ikatlong bahagi:

Hakbang 3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa kanilang mga karagdagang salik

Pina-multiply namin ang mga numerator at denominator sa kanilang mga karagdagang salik:

Hakbang 4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominador ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. Ang natitira na lang ay idagdag ang mga fraction na ito. Idagdag ito:

Ang karagdagan ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inilipat namin ang natitirang expression sa susunod na linya. Ito ay pinapayagan sa matematika. Kapag ang isang expression ay hindi magkasya sa isang linya, ito ay inilipat sa susunod na linya, at ito ay kinakailangan upang maglagay ng pantay na tanda (=) sa dulo ng unang linya at sa simula ng bagong linya. Ang equal sign sa pangalawang linya ay nagpapahiwatig na ito ay isang pagpapatuloy ng expression na nasa unang linya.

Hakbang 5. Kung ang sagot ay lumabas na isang hindi tamang bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito

Ang aming sagot ay naging isang improper fraction. Kailangan nating i-highlight ang isang buong bahagi nito. I-highlight namin:

Nakatanggap kami ng sagot

Pagbabawas ng mga fraction na may katulad na denominator

Mayroong dalawang uri ng pagbabawas ng mga fraction:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may katulad na denominator
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Una, alamin natin kung paano ibawas ang mga fraction na may mga katulad na denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, ngunit iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression . Upang malutas ang halimbawang ito, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Gawin natin ito:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung naaalala natin ang pizza, na nahahati sa apat na bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng expression.

Muli, mula sa numerator ng unang fraction, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung naaalala natin ang pizza, na nahahati sa tatlong bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 3. Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Mula sa numerator ng unang fraction kailangan mong ibawas ang mga numerator ng natitirang mga fraction:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
2. Kung ang sagot ay lumabas na isang hindi wastong bahagi, kailangan mong i-highlight ang buong bahagi nito.

Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa, maaari mong ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction dahil ang mga fraction ay may parehong denominator. Ngunit hindi mo maaaring ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Ang common denominator ay matatagpuan gamit ang parehong prinsipyo na ginamit namin kapag nagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Una sa lahat, hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha, na nakasulat sa itaas ng unang fraction. Katulad nito, ang LCM ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik, na nakasulat sa itaas ng pangalawang fraction.

Ang mga fraction ay pagkatapos ay i-multiply sa kanilang mga karagdagang kadahilanan. Bilang resulta ng mga operasyong ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay na-convert sa mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction.

Halimbawa 1. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mong bawasan ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Una ay makikita natin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 12

LCM (3 at 4) = 12

Ngayon ay bumalik tayo sa mga fraction at

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Upang gawin ito, hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makakakuha tayo ng 4. Sumulat ng apat sa itaas ng unang fraction:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Sumulat ng tatlo sa pangalawang fraction:

Ngayon ay handa na kami para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Dalhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Nakatanggap kami ng sagot

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang drawing. Kung pinutol mo ang pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng pizza

Ito ang detalyadong bersyon ng solusyon. Kung tayo ay nasa paaralan, kailangan nating lutasin ang halimbawang ito nang mas maikli. Ang ganitong solusyon ay magiging ganito:

Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagbabawas ng mga fraction na ito sa isang karaniwang denominator, nakuha namin ang mga fraction at . Ang mga fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza, ngunit sa pagkakataong ito ay hahatiin sila sa pantay na bahagi (babawasan sa parehong denominator):

Ang unang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (walong piraso sa labindalawa), at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (tatlong piraso sa labindalawa). Sa pamamagitan ng pagputol ng tatlong piraso mula sa walong piraso, makakakuha tayo ng limang piraso sa labindalawa. Inilalarawan ng fraction ang limang pirasong ito.

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mo munang bawasan ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Hanapin natin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 10, 3 at 5. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang mga kadahilanan para sa bawat fraction. Upang gawin ito, hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction.

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 10. Hatiin ang 30 sa 10, makuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 3. Isinulat namin ito sa itaas ng unang fraction:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang kadahilanan para sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 30 sa 3, makuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 10. Isinulat namin ito sa itaas ng pangalawang fraction:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang salik para sa ikatlong bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 5. Hatiin ang 30 sa 5, makuha namin ang ikatlong karagdagang kadahilanan 6. Isinulat namin ito sa itaas ng ikatlong bahagi:

Ngayon ang lahat ay handa na para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominador ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Tapusin natin ang halimbawang ito.

Ang pagpapatuloy ng halimbawa ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inililipat namin ang pagpapatuloy sa susunod na linya. Huwag kalimutan ang tungkol sa equal sign (=) sa bagong linya:

Ang sagot ay naging isang regular na bahagi, at ang lahat ay tila nababagay sa amin, ngunit ito ay masyadong masalimuot at pangit. Dapat nating gawing mas simple. Ano ang maaaring gawin? Maaari mong paikliin ang fraction na ito.

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa (GCD) ng mga numerong 20 at 30.

Kaya, nakita namin ang gcd ng mga numero 20 at 30:

Ngayon ay bumalik tayo sa ating halimbawa at hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa natagpuang gcd, iyon ay, sa pamamagitan ng 10

Nakatanggap kami ng sagot

Pagpaparami ng fraction sa isang numero

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng ibinigay na fraction sa numerong iyon at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa 1. I-multiply ang isang fraction sa numero 1.

I-multiply ang numerator ng fraction sa numero 1

Ang pag-record ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahating 1 beses. Halimbawa, kung kumain ka ng pizza isang beses, makakakuha ka ng pizza

Mula sa mga batas ng pagpaparami alam natin na kung ang multiplicand at ang kadahilanan ay ipinagpalit, ang produkto ay hindi magbabago. Kung ang expression ay nakasulat bilang , kung gayon ang produkto ay magiging katumbas pa rin ng . Muli, gumagana ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang buong numero at isang fraction:

Ang notasyong ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahati ng isa. Halimbawa, kung mayroong 1 buong pizza at kunin namin ang kalahati nito, magkakaroon kami ng pizza:

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng fraction sa 4

Ang sagot ay isang improper fraction. I-highlight natin ang buong bahagi nito:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang quarters 4 na beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng 4 na pizza, makakakuha ka ng dalawang buong pizza

At kung ipagpalit natin ang multiplicand at ang multiplier, makukuha natin ang expression . Katumbas din ito ng 2. Ang expression na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang pizza mula sa apat na buong pizza:

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator. Kung ang sagot ay lumabas na isang hindi tamang bahagi, kailangan mong i-highlight ang buong bahagi nito.

Halimbawa 1. Hanapin ang halaga ng expression.

Nakatanggap kami ng sagot. Maipapayo na bawasan ang fraction na ito. Ang fraction ay maaaring bawasan ng 2. Pagkatapos huling desisyon kukuha ng sumusunod na anyo:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng isang pizza mula sa kalahati ng isang pizza. Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Paano kumuha ng dalawang-katlo mula sa kalahating ito? Una kailangan mong hatiin ang kalahati sa tatlong pantay na bahagi:

At kumuha ng dalawa sa tatlong pirasong ito:

Gagawa tayo ng pizza. Tandaan kung ano ang hitsura ng pizza kapag nahahati sa tatlong bahagi:

Ang isang piraso ng pizza na ito at ang dalawang piraso na kinuha namin ay magkakaroon ng parehong sukat:

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang parehong laki ng pizza. Samakatuwid ang halaga ng expression ay

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Ang sagot ay isang improper fraction. I-highlight natin ang buong bahagi nito:

Halimbawa 3. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Ang sagot ay naging isang regular na bahagi, ngunit ito ay mabuti kung ito ay paikliin. Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa greatest common divisor (GCD) ng mga numerong 105 at 450.

Kaya, hanapin natin ang gcd ng mga numero 105 at 450:

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng aming sagot sa gcd na nahanap namin ngayon, iyon ay, sa pamamagitan ng 15

Kinakatawan ang isang buong bilang bilang isang fraction

Anumang buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, ang numero 5 ay maaaring katawanin bilang . Hindi nito babaguhin ang kahulugan ng lima, dahil ang ekspresyon ay nangangahulugang "ang bilang na lima na hinati ng isa," at ito, gaya ng alam natin, ay katumbas ng lima:

Mga katumbas na numero

Ngayon ay makikilala natin ang napaka kawili-wiling paksa sa matematika. Ito ay tinatawag na "reverse number".

Kahulugan. Baliktarin sa numeroa ay isang numero na, kapag pinarami nga nagbibigay ng isa.

Palitan natin ang kahulugang ito sa halip na ang variable a numero 5 at subukang basahin ang kahulugan:

Baliktarin sa numero 5 ay isang numero na, kapag pinarami ng 5 nagbibigay ng isa.

Posible bang makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 5, ay nagbibigay ng isa? Posible pala. Isipin natin ang lima bilang isang fraction:

Pagkatapos ay i-multiply ang fraction na ito sa kanyang sarili, palitan lamang ang numerator at denominator. Sa madaling salita, paramihin natin ang fraction sa sarili nito, baligtad lamang:

Ano ang mangyayari bilang resulta nito? Kung patuloy nating lutasin ang halimbawang ito, makakakuha tayo ng isa:

Nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ng numerong 5 ay ang numero , dahil kapag nag-multiply ka ng 5 ay makakakuha ka ng isa.

Ang reciprocal ng isang numero ay maaari ding matagpuan para sa anumang iba pang integer.

Maaari mo ring mahanap ang kapalit ng anumang iba pang fraction. Upang gawin ito, ibalik lamang ito.

Paghahati ng fraction sa isang numero

Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Hatiin natin ito ng pantay sa dalawa. Gaano karaming pizza ang makukuha ng bawat tao?

Makikita na pagkatapos hatiin ang kalahati ng pizza, dalawang pantay na piraso ang nakuha, na ang bawat isa ay bumubuo ng isang pizza. Kaya lahat ay nakakakuha ng pizza.

Ang paghahati ng mga fraction ay ginagawa gamit ang reciprocals. Ang mga katumbas na numero ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang dibisyon ng multiplikasyon.

Upang hatiin ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang fraction sa kabaligtaran ng divisor.

Gamit ang panuntunang ito, isusulat namin ang paghahati ng aming kalahati ng pizza sa dalawang bahagi.

Kaya, kailangan mong hatiin ang fraction sa numero 2. Dito ang dibidendo ay ang fraction at ang divisor ay ang numero 2.

Upang hatiin ang isang fraction sa numero 2, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor 2. Ang reciprocal ng divisor 2 ay ang fraction. Kaya kailangan mong magparami

Ngayong natutunan na natin kung paano magdagdag at magparami ng mga indibidwal na fraction, maaari tayong tumingin ng higit pa kumplikadong mga disenyo. Halimbawa, paano kung ang parehong problema ay nagsasangkot ng pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami ng mga fraction?

Una sa lahat, kailangan mong i-convert ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto. Pagkatapos ay isinasagawa namin ang mga kinakailangang aksyon nang sunud-sunod - sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng para sa mga ordinaryong numero. Namely:

1. Ginagawa muna ang exponentiation - alisin ang lahat ng expression na naglalaman ng mga exponent;
2. Pagkatapos - dibisyon at pagpaparami;
3. Ang huling hakbang ay ang pagdaragdag at pagbabawas.

Siyempre, kung mayroong mga panaklong sa expression, ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay nagbabago - lahat ng nasa loob ng mga panaklong ay dapat mabilang muna. At tandaan ang tungkol sa mga hindi wastong fraction: kailangan mong i-highlight ang buong bahagi lamang kapag ang lahat ng iba pang mga aksyon ay nakumpleto na.

I-convert natin ang lahat ng mga fraction mula sa unang expression sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay gawin ang mga sumusunod na hakbang:

Ngayon hanapin natin ang halaga ng pangalawang expression. Walang mga fraction na may integer na bahagi, ngunit may mga panaklong, kaya nagsasagawa muna kami ng karagdagan, at pagkatapos ay paghahati. Tandaan na 14 = 7 · 2. Pagkatapos:

Panghuli, isaalang-alang ang ikatlong halimbawa. Mayroong mga bracket at isang degree dito - mas mahusay na bilangin ang mga ito nang hiwalay. Isinasaalang-alang na 9 = 3 3, mayroon tayong:

Bigyang-pansin ang huling halimbawa. Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, dapat mong hiwalay na itaas ang numerator sa kapangyarihan na ito, at hiwalay, ang denominator.

Maaari kang magdesisyon nang iba. Kung aalalahanin natin ang kahulugan ng isang degree, ang problema ay mababawasan sa karaniwang multiplikasyon ng mga fraction:

Mga multistory fraction

Hanggang ngayon, isinasaalang-alang lamang natin ang mga "purong" fraction, kapag ang numerator at denominator ay mga ordinaryong numero. Ito ay medyo pare-pareho sa kahulugan ng isang bilang na fraction na ibinigay sa pinakaunang aralin.

Ngunit paano kung maglagay ka ng mas kumplikadong bagay sa numerator o denominator? Halimbawa, isa pang numerical fraction? Ang ganitong mga konstruksyon ay madalas na lumitaw, lalo na kapag nagtatrabaho sa mahabang expression. Ito ang ilang mga halimbawa:

Mayroon lamang isang panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga multi-level na fraction: dapat mong alisin kaagad ang mga ito. Ang pag-alis ng mga "dagdag" na sahig ay medyo simple, kung naaalala mo na ang slash ay nangangahulugan ng karaniwang operasyon ng dibisyon. Samakatuwid, ang anumang fraction ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Gamit ang katotohanang ito at pagsunod sa pamamaraan, madali nating mababawasan ang anumang bahaging maraming palapag sa isang ordinaryong bahagi. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. I-convert ang mga multistory fraction sa ordinaryo:

Sa bawat kaso, muling isinulat namin ang pangunahing bahagi, pinapalitan ang linya ng paghahati ng isang tanda ng dibisyon. Tandaan din na ang anumang integer ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na 1. Ibig sabihin 12 = 12/1; 3 = 3/1. Nakukuha namin:

Sa huling halimbawa, ang mga fraction ay kinansela bago ang huling multiplikasyon.

Mga detalye ng pagtatrabaho sa mga multi-level na fraction

Mayroong isang subtlety sa mga multi-level na fraction na dapat palaging tandaan, kung hindi, makakakuha ka ng maling sagot, kahit na tama ang lahat ng mga kalkulasyon. Tingnan mo:

1. Ang numerator ay naglalaman ng solong numero 7, at ang denominator ay naglalaman ng fraction na 12/5;
2. Ang numerator ay naglalaman ng fraction 7/12, at ang denominator ay naglalaman ng hiwalay na numero 5.

Kaya, para sa isang pag-record nakakuha kami ng dalawang ganap na magkakaibang interpretasyon. Kung magbibilang ka, iba rin ang mga sagot:

Upang matiyak na ang talaan ay palaging binabasa nang hindi malabo, gumamit ng isang simpleng panuntunan: ang linya ng paghahati ng pangunahing fraction ay dapat na mas mahaba kaysa sa linya ng nested fraction. Mas mabuti ng ilang beses.

Kung susundin mo ang panuntunang ito, ang mga fraction sa itaas ay dapat na isulat bilang mga sumusunod:

Oo, marahil ito ay hindi magandang tingnan at tumatagal ng masyadong maraming espasyo. Pero magbibilang ka ng tama. Sa wakas, ilang mga halimbawa kung saan ang mga multi-story fraction ay aktwal na lumitaw:

Gawain. Hanapin ang mga kahulugan ng mga expression:

Kaya, magtrabaho tayo sa unang halimbawa. I-convert natin ang lahat ng mga fraction sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at paghahati:

Gawin din natin ang pangalawang halimbawa. I-convert natin ang lahat ng fraction sa hindi wasto at gawin ang mga kinakailangang operasyon. Upang hindi mainip ang mambabasa, aalisin ko ang ilang malinaw na mga kalkulasyon. Meron kami:

Dahil sa katotohanan na ang numerator at denominator ng mga pangunahing fraction ay naglalaman ng mga kabuuan, ang panuntunan para sa pagsulat ng mga multi-story na fraction ay awtomatikong sinusunod. Gayundin, sa huling halimbawa, sinadya naming umalis sa 46/1 sa fraction form upang maisagawa ang paghahati.

Mapapansin ko rin na sa parehong mga halimbawa ay talagang pinapalitan ng fraction bar ang mga panaklong: una sa lahat, nakita namin ang kabuuan, at pagkatapos lamang ang quotient.

Ang ilan ay magsasabi na ang paglipat sa mga hindi wastong fraction sa pangalawang halimbawa ay malinaw na kalabisan. Marahil ito ay totoo. Ngunit sa paggawa nito, sinisiguro natin ang ating sarili laban sa mga pagkakamali, dahil sa susunod na pagkakataon ang halimbawa ay maaaring maging mas kumplikado. Piliin para sa iyong sarili kung ano ang mas mahalaga: bilis o pagiging maaasahan.

Maliit na bahagi- isang anyo ng kumakatawan sa isang numero sa matematika. Ang fraction bar ay nagpapahiwatig ng operasyon ng paghahati. Numerator fraction ay tinatawag na dibidendo, at denominador- divider. Halimbawa, sa isang fraction ang numerator ay 5 at ang denominator ay 7.

Tama Ang isang fraction ay tinatawag na kung saan ang modulus ng numerator ay mas malaki kaysa sa modulus ng denominator. Kung ang isang fraction ay wasto, kung gayon ang modulus ng halaga nito ay palaging mas mababa sa 1. Ang lahat ng iba pang mga fraction ay mali.

Ang fraction ay tinatawag magkakahalo, kung ito ay nakasulat bilang isang integer at isang fraction. Ito ay kapareho ng kabuuan ng numerong ito at ang fraction:

Ang pangunahing katangian ng isang fraction

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa,

Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Para magdala ng dalawang fraction sa isang common denominator, kailangan mo:

1. I-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa
2. I-multiply ang numerator ng pangalawang fraction sa denominator ng una
3. Palitan ang mga denominator ng parehong fraction ng kanilang produkto

Mga operasyon na may mga fraction

Dagdag. Upang magdagdag ng dalawang fraction na kailangan mo

1. Idagdag ang mga bagong numerator ng parehong mga fraction at iwanan ang denominator na hindi nagbabago

Halimbawa:

Pagbabawas. Upang ibawas ang isang fraction mula sa isa pa, kailangan mo

1. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator
2. Ibawas ang numerator ng pangalawa mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.

Halimbawa:

Pagpaparami. Upang i-multiply ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator:

Dibisyon. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa: