Pagbubuo ng problema.
Hanapin ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa isang punto 
kamag-anak sa eroplano.
Plano ng solusyon.
1. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na patayo sa isang partikular na eroplano at dumadaan sa punto 
. Dahil ang isang tuwid na linya ay patayo sa isang naibigay na eroplano, kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay maaaring kunin bilang vector ng direksyon nito, i.e.
.
Samakatuwid ang equation ng tuwid na linya ay magiging
.
2. Hanapin ang punto 
intersection ng isang tuwid na linya 
at mga eroplano (tingnan ang problema 13).
3. Punto 
ay ang midpoint ng segment kung saan ang punto 
ay isang puntong simetriko sa punto 
, Kaya naman
Suliranin 14. Maghanap ng isang puntong simetriko sa puntong may kaugnayan sa eroplano.
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang naibigay na eroplano ay magiging:
.
Hanapin natin ang punto ng intersection ng linya at ng eroplano.
saan 
– ang punto ng intersection ng isang linya at isang eroplano ay ang gitna ng segment, samakatuwid
Yung. 
.
Homogeneous na mga coordinate ng eroplano. Affine transformations sa eroplano.
Hayaan M X At sa
M(X, saMae (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).
Mae (X, sa
Mae (X, sa hu.
(hx, hy, h), h 0,
Magkomento
h(Halimbawa, h
Sa katunayan, isinasaalang-alang h
Magkomento
Halimbawa 1.
b) sa isang anggulo (Larawan 9).
1st step.
ika-2 hakbang. Paikutin ayon sa anggulo
matrix ng kaukulang pagbabago.
ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b)
matrix ng kaukulang pagbabago.
Halimbawa 3
kasama ang x-axis at
1st step.
matrix ng kaukulang pagbabago.
ika-2 hakbang.
ika-3 hakbang.
makukuha natin sa wakas
Magkomento
[R],[D],[M],[T],
Hayaan M- di-makatwirang punto ng eroplano na may mga coordinate X At sa, kinakalkula na may kaugnayan sa isang ibinigay na rectilinear coordinate system. Ang mga homogenous na coordinate ng puntong ito ay anumang triple ng sabay-sabay na di-zero na mga numero x 1, x 2, x 3, na nauugnay sa mga ibinigay na numero x at y ng mga sumusunod na relasyon:
Kapag nilulutas ang mga problema sa computer graphics, ang mga homogenous na coordinate ay karaniwang ipinapasok tulad ng sumusunod: sa isang arbitrary na punto M(X, sa) ang eroplano ay nakatalaga ng isang punto Mae (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).
Tandaan na ang isang arbitrary na punto sa linya na nagkokonekta sa pinanggalingan, punto 0(0, 0, 0), kasama ang punto Mae (X, sa, 1), ay maaaring ibigay ng isang triple ng mga numero ng form (hx, hy, h).
Ang vector na may mga coordinate na hx, hy, ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na nagkokonekta sa mga punto 0 (0, 0, 0) at Mae (X, sa, 1). Ang linyang ito ay nag-intersect sa z = 1 na eroplano sa punto (x, y, 1), na natatanging tumutukoy sa punto (x, y) ng coordinate plane hu.
Kaya, sa pagitan ng isang arbitrary na punto na may mga coordinate (x, y) at isang set ng triple ng mga numero ng form
(hx, hy, h), h 0,
ang isang (one-to-one) na sulat ay itinatag na nagbibigay-daan sa amin na isaalang-alang ang mga numerong hx, hy, h bilang mga bagong coordinate ng puntong ito.
Magkomento
Malawakang ginagamit sa projective geometry, ginagawang posible ng mga homogenous na coordinate na epektibong ilarawan ang tinatawag na mga hindi wastong elemento (pangunahing yaong kung saan ang projective plane ay naiiba sa pamilyar na Euclidean plane). Higit pang mga detalye tungkol sa mga bagong posibilidad na ibinigay ng ipinakilalang homogenous na mga coordinate ay tinalakay sa ikaapat na seksyon ng kabanatang ito.
Sa projective geometry para sa mga homogenous na coordinate, tinatanggap ang sumusunod na notasyon:
x:y:1, o, sa pangkalahatan, x1:x2:x3
(tandaan na dito ito ay ganap na kinakailangan na ang mga numero x 1, x 2, x 3 ay hindi lumiko sa zero sa parehong oras).
Ang paggamit ng mga homogenous na coordinate ay nagiging maginhawa kahit na nilutas ang pinakasimpleng mga problema.
Isaalang-alang, halimbawa, ang mga isyung nauugnay sa mga pagbabago sa laki. Kung ang display device ay gumagana lamang sa mga integer (o kung kailangan mo lamang na gumana sa mga integer), pagkatapos ay para sa isang arbitrary na halaga h(Halimbawa, h= 1) isang punto na may magkakatulad na mga coordinate
imposibleng isipin. Gayunpaman, sa isang makatwirang pagpili ng h, posibleng matiyak na ang mga coordinate ng puntong ito ay mga integer. Sa partikular, para sa h = 10 para sa halimbawang isinasaalang-alang na mayroon kami
Isaalang-alang natin ang isa pang kaso. Upang maiwasan ang mga resulta ng pagbabago na humahantong sa pag-apaw ng aritmetika, para sa isang puntong may mga coordinate (80000 40000 1000) maaari mong kunin, halimbawa, h=0.001. Bilang resulta, nakukuha namin ang (80 40 1).
Ang mga halimbawang ibinigay ay nagpapakita ng pagiging kapaki-pakinabang ng paggamit ng mga homogenous na coordinate kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang pangunahing layunin ng pagpapakilala ng mga homogenous na coordinate sa mga computer graphics ay ang kanilang walang alinlangan na kaginhawahan sa aplikasyon sa mga geometric na pagbabago.
Gamit ang mga triple ng homogenous na coordinate at third-order matrice, maaaring ilarawan ang anumang affine transformation ng isang eroplano.
Sa katunayan, isinasaalang-alang h= 1, ihambing ang dalawang entry: minarkahan ng simbolo * at ang sumusunod, matrix:
Madaling makita na pagkatapos i-multiply ang mga expression sa kanang bahagi ng huling kaugnayan, makukuha natin ang parehong mga formula (*) at ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 1=1.
Magkomento
Minsan sa panitikan ang isa pang notasyon ay ginagamit - columnar notation:
Ang notasyong ito ay katumbas ng linya-by-line na notasyon sa itaas (at nakuha mula rito sa pamamagitan ng transposing).
Ang mga elemento ng isang arbitrary na affine transformation matrix ay hindi nagdadala ng isang tahasang geometric na kahulugan. Samakatuwid, upang maipatupad ito o ang pagmamapa na iyon, iyon ay, upang mahanap ang mga elemento ng kaukulang matrix ayon sa isang ibinigay na paglalarawan ng geometriko, kinakailangan ang mga espesyal na pamamaraan. Karaniwan, ang pagtatayo ng matrix na ito, alinsunod sa pagiging kumplikado ng problema na isinasaalang-alang at ang mga espesyal na kaso na inilarawan sa itaas, ay nahahati sa ilang mga yugto.
Sa bawat yugto, hinahanap ang isang matrix na tumutugma sa isa o isa pa sa mga kaso sa itaas na A, B, C o D, na may mahusay na tinukoy na mga geometric na katangian.
Isulat natin ang kaukulang mga third-order matrice.
A. Rotation matrix
B. Dilatation matrix
B. Reflection matrix
D. Transfer matrix (pagsasalin)
Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng mga pagbabago sa affine ng eroplano.
Halimbawa 1.
Bumuo ng rotation matrix sa paligid ng point A (a,b) sa isang anggulo (Larawan 9).
1st step. Ilipat sa vector – A (-a, -b) upang ihanay ang gitna ng pag-ikot sa pinagmulan ng mga coordinate;
matrix ng kaukulang pagbabago.
ika-2 hakbang. Paikutin ayon sa anggulo
matrix ng kaukulang pagbabago.
ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang sentro ng pag-ikot sa dati nitong posisyon;
matrix ng kaukulang pagbabago.
I-multiply natin ang mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng nakasulat:
Bilang resulta, nalaman namin na ang kinakailangang pagbabago (sa matrix notation) ay magiging ganito:
Ang mga elemento ng nagresultang matrix (lalo na sa huling hilera) ay hindi madaling matandaan. Kasabay nito, ang bawat isa sa tatlong multiplied na matrice ay madaling binuo mula sa geometric na paglalarawan ng kaukulang pagmamapa.
Halimbawa 3
Bumuo ng stretch matrix na may mga stretch coefficient kasama ang x-axis at kasama ang ordinate axis at sa gitna sa punto A(a, b).
1st step. Ilipat sa vector -A(-a, -b) upang ihanay ang stretching center sa pinanggalingan ng mga coordinate;
matrix ng kaukulang pagbabago.
ika-2 hakbang. Pag-uunat sa mga coordinate axes na may mga coefficient at , ayon sa pagkakabanggit; ang transformation matrix ay may anyo
ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang stretch center sa dating posisyon nito; matrix ng kaukulang pagbabago -
Pagpaparami ng mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod
makukuha natin sa wakas
Magkomento
Nangangatuwiran sa katulad na paraan, iyon ay, paghiwa-hiwalayin ang iminungkahing pagbabago sa mga yugto na sinusuportahan ng mga matrice[R],[D],[M],[T], ang isa ay maaaring bumuo ng isang matrix ng anumang pagbabagong-anyo ng affine mula sa geometric na paglalarawan nito.
Ang shift ay ipinapatupad sa pamamagitan ng pagdaragdag, at ang pag-scale at pag-ikot ay ipinapatupad sa pamamagitan ng multiplikasyon.
Pagbabago ng Scaling Ang (dilatation) na nauugnay sa pinagmulan ay may anyo:
o sa matrix form: 
saan Dx,Dy ay ang mga scaling factor sa kahabaan ng axes, at
- scaling matrix.
Kapag D > 1, nangyayari ang pagpapalawak, kapag 0<=D<1- сжатие
Pagbabago ng pag-ikot may kaugnayan sa pinagmulan ay may anyo:
o sa matrix form: 
kung saan ang φ ay ang anggulo ng pag-ikot, at
- rotation matrix.
Komento: Ang mga column at row ng rotation matrix ay magkaparehong orthogonal unit vectors. Sa katunayan, ang mga parisukat ng mga haba ng mga row vector ay katumbas ng isa:
cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 at (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,
at ang scalar product ng row vectors ay
cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.
Dahil ang scalar product ng mga vectors A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kung saan | A| - haba ng vector A, |B| - haba ng vector B, at ang ψ ay ang pinakamaliit na positibong anggulo sa pagitan nila, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay 0 ng scalar product ng dalawang row vectors ng haba 1 sumusunod na ang anggulo sa pagitan nila ay 90 °.
Bigyan tayo ng isang tiyak na tuwid na linya, na tinukoy ng isang linear equation, at isang punto, na tinukoy ng mga coordinate nito (x0, y0) at hindi nakahiga sa linyang ito. Kinakailangang maghanap ng isang punto na magiging simetriko sa isang naibigay na punto tungkol sa isang ibinigay na tuwid na linya, iyon ay, ay magkakasabay dito kung ang eroplano ay nakabaluktot sa kalahati sa tuwid na linya na ito.
Mga tagubilin
1. Malinaw na ang parehong mga punto - ang ibinigay at ang nais - ay dapat na nasa parehong linya, at ang linyang ito ay dapat na patayo sa ibinigay. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay upang matuklasan ang equation ng isang linya na magiging patayo sa ilang partikular na linya at sa parehong oras ay dumaan sa isang ibinigay na punto.
2. Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan. Ang canonical equation ng isang linya ay ganito ang hitsura: Ax + By + C = 0, kung saan ang A, B, at C ay mga constant. Maaari mo ring matukoy ang isang tuwid na linya gamit ang isang linear na function: y = kx + b, kung saan ang k ay ang angular exponent, b ay ang displacement Ang dalawang pamamaraan na ito ay maaaring palitan, at maaari kang lumipat mula sa isa't isa. Kung Ax + By + C = 0, pagkatapos ay y = – (Ax + C)/B. Sa madaling salita, sa isang linear function na y = kx + b, ang angular exponent k = -A/B, at ang displacement b = -C/B. Para sa gawaing nasa kamay, mas komportable na mangatwiran batay sa canonical equation ng tuwid na linya.
3. Kung ang dalawang linya ay patayo sa isa't isa, at ang equation ng unang linya ay Ax + By + C = 0, kung gayon ang equation ng 2nd line ay dapat magmukhang Bx - Ay + D = 0, kung saan ang D ay isang pare-pareho. Upang matukoy ang isang tiyak na halaga ng D, kinakailangan din na malaman kung aling punto ang pumasa sa patayong linya. Sa kasong ito, ito ang punto (x0, y0 Dahil dito, dapat matugunan ng D ang pagkakapantay-pantay: Bx0 – Ay0 + D = 0, iyon ay, D = Ay0 – Bx0).
4. Matapos matuklasan ang patayong linya, kinakailangan upang kalkulahin ang mga coordinate ng punto ng intersection nito sa ibinigay na isa. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Ang solusyon nito ay magbibigay ng mga numero (x1, y1), na nagsisilbing mga coordinate ng ang punto ng intersection ng mga linya.
5. Ang nais na punto ay dapat na nasa nakitang linya, at ang distansya nito sa intersection point ay dapat na katumbas ng distansya mula sa intersection point hanggang sa punto (x0, y0). Ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa punto (x0, y0) ay makikita sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).
6. Ngunit magagawa mo ito nang mas madali. Kung ang mga puntos (x0, y0) at (x, y) ay nasa pantay na distansya mula sa punto (x1, y1), at lahat ng tatlong puntos ay nasa parehong tuwid na linya, kung gayon: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Dahil dito, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa pangalawang equation ng unang sistema at pagpapasimple ng mga expression, madaling matiyak na ang kanang bahagi nito ay magiging pareho sa kaliwa. Bilang karagdagan, walang saysay na isaalang-alang ang unang equation nang higit pa, dahil alam na ang mga puntos (x0, y0) at (x1, y1) ay nagbibigay-kasiyahan dito, at ang punto (x, y) ay malinaw na nasa parehong linya. .
Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya 
. Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:
1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: 
.
Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment mahanap namin.
Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.
Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga ordinaryong fraction. Pinayuhan kita ng maraming beses at irerekomenda muli.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa tingin ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.
Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya
Bawat sulok ay isang hamba: 
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o oppositely oriented"raspberry" na sulok.
Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .
Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga formula kung saan makikita natin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at ito ay hindi dapat magtaka sa iyo. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya
Solusyon At Pamamaraan isa
Isaalang-alang natin ang dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga equation sa pangkalahatang anyo: 
Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: 
Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.
Batay sa itaas, maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:
Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):
Sagot: 
Sa iyong sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan: 
Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.
Kung talagang nais mong makakuha ng isang positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation 
, at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .
Hindi ko ito itatago, ako mismo ang pumili ng mga tuwid na linya sa pagkakasunud-sunod upang ang anggulo ay lumabas na positibo. Mas maganda, pero wala na.
Upang suriin ang iyong solusyon, maaari kang kumuha ng protractor at sukatin ang anggulo.
Ikalawang pamamaraan
Kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation na may slope at hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan gamit ang formula:
Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay, kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ay sumusunod sa isang napaka-kapaki-pakinabang na ugnayan sa pagitan ng mga angular coefficient ng patayo na mga linya: , na ginagamit sa ilang mga problema.
Ang algorithm ng solusyon ay katulad ng nakaraang talata. Ngunit una, muling isulat natin ang ating mga tuwid na linya sa kinakailangang anyo: 
Kaya, ang mga slope ay: 
1) Suriin natin kung ang mga linya ay patayo: 
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.
2) Gamitin ang formula: 
Sagot:
Ang pangalawang paraan ay angkop na gamitin kapag ang mga equation ng mga tuwid na linya ay unang tinukoy na may isang angular coefficient. Dapat pansinin na kung hindi bababa sa isang tuwid na linya ay kahanay sa ordinate axis, kung gayon ang formula ay hindi naaangkop sa lahat, dahil para sa mga naturang tuwid na linya ang slope ay hindi tinukoy (tingnan ang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano).
May pangatlong solusyon. Ang ideya ay kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon ng mga linya gamit ang formula na tinalakay sa aralin Tuldok na produkto ng mga vector:
Dito hindi na natin pinag-uusapan ang isang oriented na anggulo, ngunit "halos isang anggulo," ibig sabihin, ang resulta ay tiyak na magiging positibo. Ang catch ay na maaari kang magkaroon ng isang mahinang anggulo (hindi ang kailangan mo). Sa kasong ito, kailangan mong gumawa ng reserbasyon na ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay isang mas maliit na anggulo, at ibawas ang resultang arc cosine mula sa "pi" radians (180 degrees).
Ang mga nagnanais ay maaaring malutas ang problema sa ikatlong paraan. Ngunit inirerekumenda ko pa rin na manatili sa unang diskarte na may isang oriented na anggulo, sa kadahilanang ito ay laganap.
Halimbawa 11
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Subukang lutasin ito sa dalawang paraan.
Kahit papaano namatay ang fairy tale sa daan... Dahil walang Kashchei the Immortal. Nandiyan ako, at hindi ako masyadong nasingaw. Sa totoo lang, naisip ko na ang artikulo ay mas mahaba. Ngunit kukunin ko pa rin ang aking kamakailang nakuha na sumbrero at baso at lumangoy sa tubig ng lawa ng Setyembre. Perpektong pinapawi ang pagkapagod at negatibong enerhiya.
Hanggang sa muli!
At tandaan, ang Baba Yaga ay hindi nakansela =)
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 3:Solusyon
: Hanapin natin ang vector ng direksyon ng linya
:
Buuin natin ang equation ng nais na linya gamit ang punto
at vector ng direksyon . Dahil ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, Eq.
isulat muli natin ito sa anyo:
Sagot
:
Halimbawa 5:Solusyon
:
1) Equation ng isang linya
gumawa tayo ng dalawang puntos 
:
2) Equation ng isang linya
gumawa tayo ng dalawang puntos 
:
3) Mga kaukulang coefficient para sa mga variable
hindi proporsyonal:
, na nangangahulugang ang mga linya ay nagsalubong.
4) Maghanap ng isang punto
:
Tandaan
: dito ang unang equation ng system ay pinarami ng 5, pagkatapos ang ika-2 ay binabawasan ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa 1st equation.
Sagot
:
Ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring palaging tukuyin bilang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano. Kung ang equation ng isang eroplano ay ang equation ng pangalawang eroplano, kung gayon ang equation ng linya ay ibinibigay bilang
Dito 
hindi collinear 
. Ang mga equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation
diretso sa kalawakan.
Canonical equation ng linya
Anumang di-zero na vector na nakahiga sa isang linya o kahanay nito ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang ito.
Kung alam ang punto 
tuwid na linya at ang vector ng direksyon nito 
, pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linya ay may anyo:
.
(9)
Parametric equation ng isang linya
Hayaang ibigay ang mga canonical equation ng linya
.
Mula dito, nakukuha natin ang mga parametric equation ng linya:
(10)
Ang mga equation na ito ay kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng intersection point ng isang linya at isang eroplano.
Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos 
At 
ay may anyo:
.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
At 
katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Samakatuwid, maaari itong kalkulahin gamit ang formula (4):
Kondisyon para sa mga parallel na linya:
.
Kundisyon para sa mga eroplano na patayo:
Distansya ng isang punto mula sa isang linya
P 
sabihin natin ang punto ay ibinigay 
at tuwid
.
Mula sa mga canonical equation ng tuwid na linya alam natin ang punto 
, na kabilang sa isang linya, at vector ng direksyon nito 
. Tapos ang layo ng point 
mula sa isang tuwid na linya ay katumbas ng taas ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors 
At 
. Kaya naman,
.
Kondisyon para sa intersection ng mga linya
Dalawang hindi magkatulad na linya
,
bumalandra kung at kung lamang
.
Ang relatibong posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Hayaang ibigay ang tuwid na linya 
at eroplano. Sulok 
sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan gamit ang formula
.
Suliranin 73. Isulat ang mga canonical equation ng linya
(11)
Solusyon. Upang maisulat ang mga canonical equation ng linya (9), kailangang malaman ang anumang puntong kabilang sa linya at ang vector ng direksyon ng linya.
Hanapin natin ang vector 
, parallel sa linyang ito. Dahil dapat itong patayo sa mga normal na vector ng mga eroplanong ito, i.e.
,
, Iyon
.
Mula sa mga pangkalahatang equation ng tuwid na linya mayroon tayo na 
,
. Pagkatapos
.
Since the point 
anumang punto sa isang linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang mga equation ng linya at ang isa sa mga ito ay maaaring tukuyin, halimbawa, 
, nakita namin ang iba pang dalawang coordinate mula sa system (11):
Mula rito, 
.
Kaya, ang mga canonical equation ng nais na linya ay may anyo:
o 
.
Suliranin 74.
At 
.
Solusyon. Mula sa mga canonical equation ng unang linya, ang mga coordinate ng punto ay kilala 
na kabilang sa linya, at ang mga coordinate ng vector ng direksyon 
. Mula sa mga canonical equation ng pangalawang linya ang mga coordinate ng punto ay kilala rin 
at mga coordinate ng vector ng direksyon 
.
Ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya ay katumbas ng distansya ng punto 
mula sa pangalawang tuwid na linya. Ang distansya na ito ay kinakalkula ng formula
.
Hanapin natin ang mga coordinate ng vector 
.
Kalkulahin natin ang produkto ng vector 
:
.
Suliranin 75. Humanap ng punto 
simetriko punto 
medyo tuwid
.
Solusyon. Isulat natin ang equation ng isang eroplanong patayo sa isang naibigay na linya at dumadaan sa isang punto 
. Bilang normal na vector nito 
maaari mong kunin ang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya. Pagkatapos 
. Kaya naman,
Maghanap tayo ng punto 
ang punto ng intersection ng linyang ito at eroplano P. Upang gawin ito, isulat namin ang mga parametric equation ng linya gamit ang mga equation (10), nakukuha namin
Kaya naman, 
.
Hayaan 
punto simetriko sa punto 
kaugnay sa linyang ito. Pagkatapos ay ituro 
gitnang punto 
. Upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto 
Ginagamit namin ang mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment:
,
,
.
Kaya, 
.
Suliranin 76. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang linya 
At
a) sa pamamagitan ng isang punto 
;
b) patayo sa eroplano.
Solusyon. Isulat natin ang mga pangkalahatang equation ng linyang ito. Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang pagkakapantay-pantay:
Nangangahulugan ito na ang nais na eroplano ay kabilang sa isang bundle ng mga eroplano na may mga generator at ang equation nito ay maaaring isulat sa form (8):
a) Hanapin natin 
At 
mula sa kondisyon na ang eroplano ay dumaan sa punto 
, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano. Palitan natin ang mga coordinate ng punto 
sa equation ng isang grupo ng mga eroplano:
Nakahanap ng halaga 
I-substitute natin ito sa equation (12). makuha namin ang equation ng nais na eroplano:
b) Hanapin natin 
At 
mula sa kondisyon na ang nais na eroplano ay patayo sa eroplano. Ang normal na vector ng isang naibigay na eroplano 
, normal na vector ng nais na eroplano (tingnan ang equation ng isang grupo ng mga eroplano (12).
Dalawang vector ay patayo kung at kung ang kanilang tuldok na produkto ay zero. Kaya naman,
Palitan natin ang nahanap na halaga 
sa equation ng isang grupo ng mga eroplano (12). Nakukuha namin ang equation ng nais na eroplano:
Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa
Suliranin 77. Dalhin sa canonical form ng equation ng mga linya:
1)
2)
Suliranin 78. Sumulat ng mga parametric equation ng isang linya 
, Kung:
1)
,
;
2)
,
.
Suliranin 79. Isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto 
patayo sa isang tuwid na linya 
Problema 80. Isulat ang mga equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto 
patayo sa eroplano.
Suliranin 81. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya:
1)
At 
;
2)
At 
Suliranin 82. Patunayan ang mga parallel na linya:
At 
.
Suliranin 83. Patunayan ang perpendicularity ng mga linya:
At 
Suliranin 84. Kalkulahin ang distansya ng punto 
mula sa tuwid na linya:
1)
;
2)
.
Suliranin 85. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya:
At 
.
Suliranin 86. Sa mga equation ng linya 
tukuyin ang parameter 
upang ang linyang ito ay bumalandra sa linya at mahanap ang punto ng kanilang intersection.
Suliranin 87. Ipakita na ito ay tuwid 
parallel sa eroplano 
, at ang tuwid na linya 
namamalagi sa eroplanong ito.
Suliranin 88. Humanap ng punto 
simetriko punto 
kamag-anak sa eroplano 
, Kung:
1)
,
;
2)
,
;.
Suliranin 89. Isulat ang equation ng isang patayo na nahulog mula sa isang punto 
direkta 
.
Problema 90. Humanap ng punto 
simetriko punto 
medyo tuwid 
.
