- — [] quadratic function Function ng form na y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graph K.f. - isang parabola, ang tuktok nito ay may mga coordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], na may a>0 na sanga ng parabola ... ...
QUADRATIC FUNCTION, isang mathematical FUNCTION na ang halaga ay nakasalalay sa parisukat ng independent variable, x, at ibinibigay, ayon sa pagkakabanggit, ng isang quadratic POLYNOMIAL, halimbawa: f(x) = 4x2 + 17 o f(x) = x2 + 3x + 2. tingnan din ang SQUARE EQUATION... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo
Quadratic function- Quadratic function - isang function ng form na y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graph K.f. - isang parabola, ang vertex nito ay may mga coordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], para sa a> 0 ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, para sa isang< 0 –вниз… …
- (quadratic) Isang function na may sumusunod na anyo: y=ax2+bx+c, kung saan ang a≠0 at ang pinakamataas na antas ng x ay isang parisukat. Quadratic equation y=ax2 +bx+c=0 ay maaari ding malutas gamit ang sumusunod na formula: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Ang mga ugat na ito ay totoo... Diksyonaryo ng ekonomiya
Ang affine quadratic function sa isang affine space S ay anumang function Q: S→K na may anyong Q(x)=q(x)+l(x)+c sa vectorized form, kung saan ang q ay quadratic function, l ay isang linear function, c ay isang pare-pareho. Mga Nilalaman 1 Paglipat ng reference point 2 ... ... Wikipedia
Ang isang affine quadratic function sa isang affine space ay anumang function na may anyo sa vectorized form, kung saan ay isang simetriko matrix, isang linear function, isang pare-pareho. Mga nilalaman... Wikipedia
Isang function sa isang vector space na tinukoy ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector. Mga Nilalaman 1 Depinisyon 2 Mga kaugnay na kahulugan... Wikipedia
- ay isang function na sa teorya mga solusyon sa istatistika nailalarawan ang mga pagkalugi dahil sa maling paggawa ng desisyon batay sa naobserbahang data. Kung ang problema sa pagtantya ng isang parameter ng signal laban sa isang background ng ingay ay nalutas, kung gayon ang pagkawala ng function ay isang sukatan ng pagkakaiba... ... Wikipedia
layunin function- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. English-Russian na diksyunaryo ng electrical engineering at power engineering, Moscow, 1999] layunin function Sa matinding mga problema, isang function na ang minimum o maximum ay kailangang mahanap. Ito…… Gabay ng Teknikal na Tagasalin
Layunin na pag-andar- sa matinding mga problema, isang function na ang minimum o maximum ay dapat matagpuan. Ito pangunahing konsepto pinakamainam na programming. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang extremum ng C.f. at, samakatuwid, nang matukoy ang mga halaga ng mga kinokontrol na variable na napupunta dito... ... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika
Mga libro
- Set ng mga mesa. Mathematics. Mga graph ng mga function (10 talahanayan), . Pang-edukasyon na album ng 10 mga sheet. Linear function. Graphical at analytical na pagtatalaga ng mga function. Quadratic function. Pagbabagong-anyo ng Graph quadratic function. Function y=sinx. Function y=cosx.…
- Ang pinakamahalagang function ng school mathematics ay quadratic - sa mga problema at solusyon, Petrov N.N.. Ang quadratic function ay ang pangunahing function ng school mathematics course. Hindi ito nakakagulat. Sa isang banda, ang pagiging simple ng function na ito, at sa kabilang banda, ang malalim na kahulugan. Maraming gawain sa paaralan...
Sa mga aralin sa matematika sa paaralan, nakilala mo na ang mga pinakasimpleng katangian at graph ng isang function y = x 2. Palawakin natin ang ating kaalaman sa quadratic function.
Gawain 1.
I-graph ang function y = x 2. Iskala: 1 = 2 cm Markahan ang isang punto sa Oy axis F(0; 1/4). Gamit ang isang compass o strip ng papel, sukatin ang distansya mula sa punto F sa ilang punto M mga parabola. Pagkatapos ay i-pin ang strip sa punto M at iikot ito sa paligid ng puntong iyon hanggang sa ito ay patayo. Ang dulo ng strip ay babagsak nang bahagya sa ibaba ng x-axis (Larawan 1). Markahan sa strip kung gaano kalayo ito lumalampas sa x-axis. Ngayon kumuha ng isa pang punto sa parabola at ulitin muli ang pagsukat. Gaano kalayo ang nahulog sa gilid ng strip sa ibaba ng x-axis?
Resulta: anumang punto sa parabola y = x 2 ang iyong kunin, ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa puntong F(0; 1/4) ay magiging mas malayo mula sa parehong punto hanggang sa x-axis palaging sa parehong numero - sa pamamagitan ng 1/4.
Masasabi natin ito nang iba: ang distansya mula sa anumang punto ng parabola hanggang sa punto (0; 1/4) ay katumbas ng distansya mula sa parehong punto ng parabola hanggang sa tuwid na linya y = -1/4. Ang kahanga-hangang puntong ito ay tinatawag na F(0; 1/4). focus parabola y = x 2, at tuwid na linya y = -1/4 – punong guro parabola na ito. Ang bawat parabola ay may directrix at focus.
Mga kagiliw-giliw na katangian ng isang parabola:
1. Anumang punto ng parabola ay katumbas ng layo mula sa ilang punto, na tinatawag na pokus ng parabola, at ilang tuwid na linya, na tinatawag na directrix nito.
2. Kung paikutin mo ang isang parabola sa paligid ng axis ng symmetry (halimbawa, ang parabola y = x 2 sa paligid ng Oy axis), makakakuha ka ng isang napaka-interesante na surface na tinatawag na paraboloid of revolution.
Ang ibabaw ng likido sa isang umiikot na sisidlan ay may hugis ng isang paraboloid ng pag-ikot. Maaari mong makita ang ibabaw na ito kung hinahalo mo nang masigla gamit ang isang kutsara sa isang hindi kumpletong baso ng tsaa, at pagkatapos ay alisin ang kutsara.
3. Kung ihagis mo ang isang bato sa walang laman sa isang tiyak na anggulo sa abot-tanaw, ito ay lilipad sa isang parabola (Larawan 2).
4. Kung i-intersect mo ang ibabaw ng isang kono na may isang eroplanong parallel sa alinman sa mga generatrice nito, ang cross section ay magreresulta sa isang parabola (Larawan 3).
5. Ang mga amusement park kung minsan ay may masayang biyahe na tinatawag na Paraboloid of Wonders. Tila sa lahat ng nakatayo sa loob ng umiikot na paraboloid ay nakatayo siya sa sahig, habang ang iba pang mga tao ay kahit papaano ay himalang nakakapit sa mga dingding.
6. Sa mga teleskopyo na sumasalamin, ginagamit din ang mga parabolic na salamin: ang liwanag ng isang malayong bituin, na dumarating sa isang parallel beam, na bumabagsak sa salamin ng teleskopyo, ay nakolekta sa focus.
7. Ang mga spotlight ay karaniwang may salamin sa hugis ng paraboloid. Kung maglalagay ka ng isang pinagmumulan ng liwanag sa pokus ng isang paraboloid, kung gayon ang mga sinag, na sinasalamin mula sa parabolic mirror, ay bumubuo ng isang parallel beam.
Pag-graph ng Quadratic Function
Sa mga aralin sa matematika, pinag-aralan mo kung paano kumuha ng mga graph ng mga function ng form mula sa graph ng function na y = x 2:
1) y = palakol 2– kahabaan ang graph y = x 2 kasama ang Oy axis sa |a| beses (na may |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, kanin. 4).
2) y = x 2 + n– shift ng graph sa pamamagitan ng n unit sa kahabaan ng Oy axis, at kung n > 0, ang shift ay paitaas, at kung n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– shift ng graph sa pamamagitan ng m unit sa kahabaan ng Ox axis: kung m< 0, то вправо, а если m >0, pagkatapos ay umalis, (Larawan 5).
4) y = -x 2– simetriko display na may kaugnayan sa Ox axis ng graph y = x 2 .
Tingnan natin ang mas malapit na pag-plot ng function y = a(x – m) 2 + n.
Ang isang quadratic function ng form na y = ax 2 + bx + c ay maaaring palaging bawasan sa anyo
y = a(x – m) 2 + n, kung saan m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Patunayan natin.
talaga,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Ipakilala natin ang mga bagong notasyon.
Hayaan m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
pagkatapos ay makuha natin ang y = a(x – m) 2 + n o y – n = a(x – m) 2.
Gumawa pa tayo ng ilang pamalit: hayaan ang y – n = Y, x – m = X (*).
Pagkatapos ay makuha namin ang function na Y = aX 2, ang graph kung saan ay isang parabola.
Ang vertex ng parabola ay nasa pinanggalingan. X = 0; Y = 0.
Ang pagpapalit ng mga coordinate ng vertex sa (*), makuha namin ang mga coordinate ng vertex ng graph na y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Kaya, upang magplano ng isang quadratic function na kinakatawan bilang
y = a(x – m) 2 + n
sa pamamagitan ng mga pagbabago, maaari kang magpatuloy tulad ng sumusunod:
a) balangkasin ang function na y = x 2 ;
b) sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng Ox axis ng m unit at sa kahabaan ng Oy axis ng n units - ilipat ang vertex ng parabola mula sa pinanggalingan patungo sa punto na may mga coordinate (m; n) (Larawan 6).
Pag-record ng mga pagbabago:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Halimbawa.
Gamit ang mga pagbabago, bumuo ng graph ng function na y = 2(x – 3) 2 sa Cartesian coordinate system – 2.
Solusyon.
Chain ng mga pagbabago:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Ang plotting ay ipinapakita sa kanin. 7.
Maaari kang magsanay ng pag-graph ng mga quadratic na function nang mag-isa. Halimbawa, bumuo ng isang graph ng function na y = 2(x + 3) 2 + 2 sa isang coordinate system gamit ang mga pagbabagong-anyo Kung mayroon kang anumang mga katanungan o nais na makakuha ng payo mula sa isang guro, pagkatapos ay mayroon kang pagkakataon na magsagawa libreng 25 minutong aralin na may online na tutor pagkatapos ng . Para sa karagdagang trabaho sa isang guro, maaari mong piliin ang isa na nababagay sa iyo
May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano mag-graph ng isang quadratic function?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!
blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.
Tulad ng ipinapakita sa pagsasanay, ang mga gawain sa mga katangian at mga graph ng isang quadratic function ay nagdudulot ng malubhang kahirapan. Ito ay medyo kakaiba, dahil pinag-aaralan nila ang quadratic function sa ika-8 baitang, at pagkatapos ay sa buong unang quarter ng ika-9 na baitang ay "pinahihirapan" nila ang mga katangian ng parabola at bumuo ng mga graph nito para sa iba't ibang mga parameter.
Ito ay dahil sa ang katunayan na kapag pinipilit ang mga mag-aaral na gumawa ng mga parabola, halos hindi sila nag-uukol ng oras sa "pagbasa" ng mga graph, iyon ay, hindi sila nagsasanay sa pag-unawa sa impormasyong natanggap mula sa larawan. Tila, ipinapalagay na, pagkatapos makabuo ng isang dosenang o higit pang mga graph, ang isang matalinong mag-aaral mismo ang makakatuklas at makakapagbalangkas ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient sa formula at hitsura graphics. Sa pagsasagawa, hindi ito gumagana. Para sa naturang generalization, ang seryosong karanasan sa matematika na mini-research ay kinakailangan, na karamihan sa mga ika-siyam na baitang, siyempre, ay hindi nagtataglay. Samantala, ang State Inspectorate ay nagmumungkahi na tukuyin ang mga palatandaan ng mga coefficient gamit ang iskedyul.
Hindi namin hihilingin ang imposible mula sa mga mag-aaral at mag-aalok lamang ng isa sa mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema.
Kaya, isang function ng form y = ax 2 + bx + c tinatawag na quadratic, ang graph nito ay isang parabola. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pangunahing termino ay palakol 2. Iyon ay A hindi dapat katumbas ng zero, ang natitirang mga coefficient ( b At Sa) ay maaaring katumbas ng zero.
Tingnan natin kung paano nakakaapekto ang mga palatandaan ng mga coefficient nito sa hitsura ng isang parabola.
Ang pinakasimpleng pag-asa para sa koepisyent A. Karamihan sa mga mag-aaral ay kumpiyansa na sumasagot: “kung A> 0, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
SA sa kasong ito A = 0,5
At ngayon para sa A < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
Sa kasong ito A = - 0,5
Epekto ng koepisyent Sa Medyo madali din itong sundin. Isipin natin na gusto nating mahanap ang halaga ng isang function sa isang punto X= 0. Palitan ang zero sa formula:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Lumalabas na y = c. Iyon ay Sa ay ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola sa y-axis. Karaniwan, ang puntong ito ay madaling mahanap sa graph. At tukuyin kung ito ay nasa itaas ng zero o mas mababa. Iyon ay Sa> 0 o Sa < 0.
Sa > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Sa < 0
y = x 2 + 4x - 3
Alinsunod dito, kung Sa= 0, kung gayon ang parabola ay kinakailangang dumaan sa pinanggalingan:
y = x 2 + 4x
Mas mahirap sa parameter b. Ang punto kung saan natin makikita ito ay nakasalalay hindi lamang sa b ngunit mula rin sa A. Ito ang tuktok ng parabola. Ang abscissa nito (axis coordinate X) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula x sa = - b/(2a). kaya, b = - 2ax in. Iyon ay, nagpapatuloy kami tulad ng sumusunod: nakita namin ang vertex ng parabola sa graph, tinutukoy ang tanda ng abscissa nito, iyon ay, tumingin kami sa kanan ng zero ( x sa> 0) o sa kaliwa ( x sa < 0) она лежит.
Gayunpaman, hindi lang iyon. Kailangan din nating bigyang pansin ang tanda ng koepisyent A. Iyon ay, tingnan kung saan nakadirekta ang mga sanga ng parabola. At pagkatapos lamang nito, ayon sa pormula b = - 2ax in tukuyin ang tanda b.
Tingnan natin ang isang halimbawa:
Ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, ibig sabihin A> 0, ang parabola ay nag-intersect sa axis sa below zero ibig sabihin Sa < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sa> 0. Kaya b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Sa < 0.
Isang function ng form kung saan tinatawag quadratic function.
Graph ng isang quadratic function - parabola.
Isaalang-alang natin ang mga kaso:
KASO KO, CLASSICAL PARABOLA
Iyon ay, ,
Upang bumuo, punan ang talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng x sa formula:
Markahan ang mga puntos (0;0); (1;1); (-1;1), atbp. sa coordinate plane (mas maliit ang hakbang na ginagawa namin ang mga halaga ng x (sa kasong ito, hakbang 1), at mas maraming mga x na halaga ang gagawin namin, magiging mas makinis ang kurba), nakakakuha kami ng parabola:
Madaling makita na kung kukunin natin ang case , , , iyon ay, makakakuha tayo ng parabola na simetriko sa axis (oh). Madaling i-verify ito sa pamamagitan ng pagpuno ng katulad na talahanayan:
II KASO, IBA ANG “a” SA YUNIT
Ano ang mangyayari kung kukuha tayo , , ? Paano magbabago ang pag-uugali ng parabola? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Sa unang larawan (tingnan sa itaas) malinaw na nakikita na ang mga puntos mula sa talahanayan para sa parabola (1;1), (-1;1) ay binago sa mga puntos (1;4), (1;-4), ibig sabihin, na may parehong mga halaga, ang ordinate ng bawat punto ay pinarami ng 4. Ito ay mangyayari sa lahat ng mga pangunahing punto ng orihinal na talahanayan. Pareho kaming nangangatuwiran sa mga kaso ng mga larawan 2 at 3.
At kapag ang parabola ay "naging mas malawak" kaysa sa parabola:
Ibuod natin:
1)Ang tanda ng koepisyent ay tumutukoy sa direksyon ng mga sanga. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Ganap na halaga ang koepisyent (modulus) ay may pananagutan para sa "pagpapalawak" at "compression" ng parabola. Kung mas malaki , mas makitid ang parabola, mas maliit |a|, mas malawak ang parabola.
III KASO, "C" ang lalabas
Ngayon ipakilala natin sa laro (iyon ay, isaalang-alang ang kaso kung kailan), isasaalang-alang natin ang mga parabola ng form . Hindi mahirap hulaan (maaari kang palaging sumangguni sa talahanayan) na ang parabola ay lilipat pataas o pababa sa axis depende sa sign:
IV CASE, LUMITAW ang “b”.
Kailan "hihiwalay" ang parabola mula sa axis at sa wakas ay "lalakad" kasama ang buong coordinate plane? Kailan ito titigil sa pagiging pantay-pantay?
Narito upang bumuo ng isang parabola na kailangan namin formula para sa pagkalkula ng vertex: , .
Kaya sa puntong ito (tulad ng sa punto (0;0) bagong sistema coordinates) gagawa tayo ng parabola, na magagawa na natin. Kung tayo ay nakikitungo sa kaso, pagkatapos ay mula sa vertex inilalagay namin ang isang yunit ng segment sa kanan, isa pataas, - ang resultang punto ay sa amin (katulad nito, isang hakbang sa kaliwa, isang hakbang pataas ang aming punto); kung tayo ay nakikitungo sa, halimbawa, pagkatapos ay mula sa vertex inilalagay namin ang isang yunit ng segment sa kanan, dalawa - pataas, atbp.
Halimbawa, ang vertex ng isang parabola:
Ngayon ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay na sa vertex na ito ay bubuo tayo ng isang parabola ayon sa pattern ng parabola, dahil sa ating kaso.
Kapag gumagawa ng parabola matapos mahanap ang mga coordinate ng vertex veryMaginhawang isaalang-alang ang mga sumusunod na punto:
1) parabola tiyak na dadaan sa punto . Sa katunayan, ang pagpapalit ng x=0 sa formula, nakuha natin iyon. Iyon ay, ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) ay . Sa aming halimbawa (sa itaas), ang parabola ay nagsalubong sa ordinate sa punto , dahil .
2) axis ng simetrya mga parabola ay isang tuwid na linya, kaya ang lahat ng mga punto ng parabola ay magiging simetriko tungkol dito. Sa aming halimbawa, agad naming kinuha ang punto (0; -2) at itinatayo ito ng simetriko na may kaugnayan sa axis ng symmetry ng parabola, nakuha namin ang punto (4; -2) kung saan dadaan ang parabola.
3) Equating to , nalaman natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (oh). Upang gawin ito, lutasin namin ang equation. Depende sa discriminant, makakakuha tayo ng isa (, ), dalawa ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Sa nakaraang halimbawa, ang ating ugat ng discriminant ay hindi isang integer; kapag gumagawa, hindi gaanong makatuwiran para sa atin na hanapin ang mga ugat, ngunit malinaw nating makikita na magkakaroon tayo ng dalawang punto ng intersection sa axis (oh) (since title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Kaya't ayusin natin ito
Algorithm para sa pagbuo ng isang parabola kung ito ay ibinigay sa form
1) tukuyin ang direksyon ng mga sanga (a>0 – pataas, a<0 – вниз)
2) hinahanap natin ang mga coordinate ng vertex ng parabola gamit ang formula , .
3) nahanap namin ang punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) gamit ang libreng termino, bumuo ng isang puntong simetriko sa puntong ito na may kaugnayan sa symmetry axis ng parabola (dapat tandaan na nangyayari na hindi kapaki-pakinabang na markahan ito point, halimbawa, dahil malaki ang value... nilalaktawan namin ang puntong ito...)
4) Sa nahanap na punto - ang vertex ng parabola (tulad ng sa punto (0;0) ng bagong coordinate system) gumawa kami ng parabola. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Nahanap namin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) (kung hindi pa sila "lumalabas") sa pamamagitan ng paglutas ng equation
Halimbawa 1
Halimbawa 2
Tandaan 1. Kung ang parabola ay unang ibinigay sa amin sa anyo , kung saan ang ilang mga numero (halimbawa, ), kung gayon ito ay magiging mas madali upang mabuo ito, dahil nabigyan na kami ng mga coordinate ng vertex . bakit naman
Kunin natin quadratic trinomial at pumili ng isang kumpletong parisukat sa loob nito: Tingnan, nakuha namin iyon , . Ikaw at ako dati ay tinawag ang vertex ng isang parabola, iyon ay, ngayon,.
Halimbawa, . Minarkahan namin ang vertex ng parabola sa eroplano, naiintindihan namin na ang mga sanga ay nakadirekta pababa, ang parabola ay pinalawak (kamag-anak sa ). Iyon ay, isinasagawa namin ang mga puntos 1; 3; 4; 5 mula sa algorithm para sa pagbuo ng isang parabola (tingnan sa itaas).
Tandaan 2. Kung ang parabola ay ibinigay sa isang form na katulad nito (iyon ay, ipinakita bilang isang produkto ng dalawang linear na mga kadahilanan), pagkatapos ay makikita natin kaagad ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (ox). Sa kasong ito - (0;0) at (4;0). Para sa natitira, kumikilos kami ayon sa algorithm, binubuksan ang mga bracket.
