Isaalang-alang ang isang linear homogenous differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent:
(1)
.
Ang solusyon nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsunod pangkalahatang pamamaraan pagbabawas ng order.
Gayunpaman, mas madaling makuha agad ang pangunahing sistema n mga linearly independent na solusyon at batay dito ay lumikha ng pangkalahatang solusyon. Sa kasong ito, ang buong pamamaraan ng solusyon ay nabawasan sa susunod na hakbang.
Naghahanap kami ng solusyon sa equation (1) sa form . Nakukuha namin katangian equation
:
(2)
.
Ito ay may n mga ugat. Nilulutas namin ang equation (2) at hinahanap ang mga ugat nito. Pagkatapos ang katangian equation (2) ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:
(3)
.
Ang bawat ugat ay tumutugma sa isa sa mga linearly independent na solusyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon sa equation (1). Pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon orihinal na equation(1) ay may anyo:
(4)
.
Mga tunay na ugat
Isaalang-alang natin ang mga tunay na ugat. Hayaang maging single ang ugat. Ibig sabihin, isang beses lang pumapasok ang factor sa characteristic equation (3). Pagkatapos ang ugat na ito ay tumutugma sa solusyon
.
Hayaang maging multiple root of multiplicity p. Yan ay
. Sa kasong ito, ang multiplier ay p beses:
.
Ang maramihang (pantay na) ugat na ito ay tumutugma sa p linearly independent na solusyon ng orihinal na equation (1):
;
;
;
...;
.
Mga kumplikadong ugat
Isaalang-alang ang mga kumplikadong ugat. Ipahayag natin ang kumplikadong ugat sa mga tuntunin ng tunay at haka-haka na mga bahagi:
.
Dahil ang mga coefficient ng orihinal ay totoo, pagkatapos ay bilang karagdagan sa ugat mayroong isang kumplikadong conjugate root
.
Hayaang maging maramihan ang kumplikadong ugat. Pagkatapos ang isang pares ng mga ugat ay tumutugma sa dalawang linearly independent na solusyon:
;
.
Hayaan ay isang maramihang kumplikadong ugat ng multiplicity p. Kung gayon ang kumplikadong halaga ng conjugate ay ang ugat din ng katangian na equation ng multiplicity p at ang multiplier ay pumapasok sa p beses:
.
Ito 2p tumutugma ang mga ugat 2p linearly independent na mga solusyon:
;
;
;
...
;
;
;
;
...
.
Matapos matagpuan ang pangunahing sistema ng mga linearly independent na solusyon, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon.
Mga halimbawa ng solusyon sa problema
Halimbawa 1
Lutasin ang equation:
.
Solusyon
.
Ibahin natin ito:
;
;
.
Tingnan natin ang mga ugat ng equation na ito. Nakakuha kami ng apat na kumplikadong ugat ng multiplicity 2:
;
.
Tumutugma ang mga ito sa apat na linearly independent na solusyon ng orihinal na equation:
;
;
;
.
Mayroon din kaming tatlong tunay na ugat ng maramihang 3:
.
Tumutugma ang mga ito sa tatlong linearly independent na solusyon:
;
;
.
Karaniwang desisyon ang orihinal na equation ay may anyo:
.
Sagot
Halimbawa 2
Lutasin ang equation
Solusyon
Naghahanap kami ng solusyon sa form. Binubuo namin ang katangian na equation:
.
Paglutas ng isang quadratic equation.
.
Mayroon kaming dalawang kumplikadong ugat:
.
Tumutugma ang mga ito sa dalawang linearly independent na solusyon:
.
Pangkalahatang solusyon sa equation:
.
Sa ilang mga problema ng pisika, hindi posible na magtatag ng direktang koneksyon sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa proseso. Ngunit posibleng makakuha ng pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga derivatives ng mga function na pinag-aaralan. Ganito sila bumangon differential equation at ang pangangailangan upang malutas ang mga ito upang mahanap ang hindi kilalang function.
Ang artikulong ito ay inilaan para sa mga nahaharap sa problema ng paglutas ng isang differential equation kung saan ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable. Ang teorya ay nakabalangkas sa paraang walang kaalaman sa mga differential equation, maaari mong makayanan ang iyong gawain.
Ang bawat uri ng differential equation ay nauugnay sa isang paraan ng solusyon na may mga detalyadong paliwanag at solusyon sa mga tipikal na halimbawa at problema. Ang kailangan mo lang gawin ay tukuyin ang uri ng differential equation ng iyong problema, maghanap ng katulad na nasuri na halimbawa at magsagawa ng mga katulad na aksyon.
Upang matagumpay na malutas ang mga differential equation, kakailanganin mo rin ang kakayahang maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives ( hindi tiyak na integral) iba't ibang function. Kung kinakailangan, inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyon.
Una, isasaalang-alang natin ang mga uri ng ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod na maaaring malutas nang may kinalaman sa derivative, pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa mga pangalawang-order na ODE, pagkatapos ay tatalakayin natin ang mga equation na may mataas na pagkakasunud-sunod at magtatapos sa mga sistema ng differential equation.
Alalahanin na kung ang y ay isang function ng argumentong x.
First order differential equation.
Ang pinakasimpleng first order differential equation ng form.
Isulat natin ang ilang halimbawa ng naturang remote control 
.
Differential equation 
ay maaaring malutas na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng f(x) . Sa kasong ito, dumating tayo sa isang equation na magiging katumbas ng orihinal para sa f(x) ≠ 0. Ang mga halimbawa ng naturang mga ODE ay .
Kung mayroong mga halaga ng argumento x kung saan ang mga function na f(x) at g(x) ay sabay-sabay na nawawala, pagkatapos ay lilitaw ang mga karagdagang solusyon. Mga karagdagang solusyon sa equation 
ibinigay na x ay anumang mga function na tinukoy para sa mga halaga ng argumento na ito. Kabilang sa mga halimbawa ng naturang differential equation ang:
Mga equation ng pagkakaiba-iba ng pangalawang order.
Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.
Ang LDE na may pare-parehong coefficient ay isang napaka-karaniwang uri ng differential equation. Ang kanilang solusyon ay hindi partikular na mahirap. Una, ang mga ugat ng katangian na equation ay matatagpuan 
. Para sa magkaibang p at q, tatlong mga kaso ang posible: ang mga ugat ng katangian na equation ay maaaring maging totoo at magkaiba, totoo at magkakasabay. 
o kumplikadong conjugates. Depende sa mga halaga ng mga ugat ng katangian na equation, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay nakasulat bilang 
, o 
, o ayon sa pagkakabanggit.
Halimbawa, isaalang-alang ang isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga ugat ng katangiang equation nito ay k 1 = -3 at k 2 = 0. Ang mga ugat ay totoo at naiiba, samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng isang LODE na may pare-parehong mga koepisyent ay may anyo
Linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.
Ang pangkalahatang solusyon ng isang pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong mga coefficient y ay hinahanap sa anyo ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE 
at ang isang partikular na solusyon sa orihinal ay hindi homogenous na equation, yan ay, . Ang nakaraang talata ay nakatuon sa paghahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na differential equation na may pare-parehong coefficient. At ang isang partikular na solusyon ay natutukoy alinman sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent para sa isang tiyak na anyo ng function na f(x) sa kanang bahagi ng orihinal na equation, o sa pamamagitan ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant.
Bilang mga halimbawa ng mga second-order na LDDE na may pare-parehong coefficient, nagbibigay kami 
Upang maunawaan ang teorya at maging pamilyar sa mga detalyadong solusyon ng mga halimbawa, nag-aalok kami sa iyo sa pahina ng linear na hindi magkakatulad na pangalawang-order na mga equation ng kaugalian na may pare-parehong coefficient.
Linear homogeneous differential equation (LODE) 
at linear inhomogeneous differential equation (LNDEs) ng pangalawang order.
Ang isang espesyal na kaso ng mga differential equation ng ganitong uri ay ang LODE at LDDE na may pare-parehong coefficient.
Ang pangkalahatang solusyon ng LODE sa isang partikular na segment ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng dalawang linearly independent partial solution y 1 at y 2 ng equation na ito, iyon ay, 
.
Ang pangunahing kahirapan ay tiyak na nakasalalay sa paghahanap ng mga linearly independent na partial na solusyon sa isang differential equation ng ganitong uri. Karaniwan, ang mga partikular na solusyon ay pinili nang linear mula sa mga sumusunod na sistema mga independiyenteng pag-andar:
Gayunpaman, ang mga partikular na solusyon ay hindi palaging ipinakita sa form na ito.
Ang isang halimbawa ng LOD ay 
.
Ang pangkalahatang solusyon ng LDDE ay hinahanap sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE, at ang partikular na solusyon ng orihinal na differential equation. Napag-usapan lang namin ang tungkol sa paghahanap nito, ngunit maaari itong matukoy gamit ang paraan ng iba't ibang mga arbitrary na constant.
Maaaring magbigay ng isang halimbawa ng LNDU 
.
Differential equation ng mas matataas na order.
Differential equation na nagbibigay-daan sa pagbawas sa pagkakasunud-sunod.
Pagkakasunud-sunod ng differential equation 
, na hindi naglalaman ng nais na function at ang mga derivatives nito hanggang k-1 order, ay maaaring bawasan sa n-k sa pamamagitan ng pagpapalit ng .
Sa kasong ito, ang orihinal na differential equation ay babawasan sa . Matapos mahanap ang solusyon nito p(x), nananatili itong bumalik sa kapalit at matukoy ang hindi kilalang function na y.
Halimbawa, ang differential equation 
pagkatapos ng pagpapalit, ito ay magiging isang equation na may mga separable variable, at ang pagkakasunud-sunod nito ay mababawasan mula sa ikatlo hanggang sa una.
Tatalakayin ng talatang ito espesyal na kaso linear na equation pangalawang order, kapag ang mga coefficient ng equation ay pare-pareho, iyon ay, sila ay mga numero. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na mga equation na may pare-parehong coefficient. Ang ganitong uri ng mga equation ay nakakahanap ng partikular na malawak na aplikasyon.
1. Linear homogenous differential equation
pangalawang order na may pare-parehong coefficientIsaalang-alang ang equation
kung saan ang mga coefficient ay pare-pareho. Ipagpalagay na ang paghahati sa lahat ng mga termino ng equation sa pamamagitan ng at denoting
Isulat natin ang equation na ito sa form
Tulad ng nalalaman, upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous na pangalawang-order na equation, sapat na upang malaman ang pangunahing sistema ng mga bahagyang solusyon. Ipakita natin kung paano maghanap ng isang pangunahing sistema ng mga bahagyang solusyon para sa isang homogenous na linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Maghahanap tayo ng partikular na solusyon sa equation na ito sa anyo
Ang pag-iiba ng function na ito ng dalawang beses at pagpapalit ng mga expression para sa equation (59), nakuha namin
Dahil , pagkatapos, pagbabawas sa pamamagitan ng makuha namin ang equation
Mula sa equation na ito, ang mga halaga ng k ay tinutukoy kung saan ang function ay magiging solusyon sa equation (59).
Ang algebraic equation (61) para sa pagtukoy ng coefficient k ay tinatawag na characteristic equation ng differential equation na ito (59).
Ang katangiang equation ay isang equation ng ikalawang antas at samakatuwid ay may dalawang ugat. Ang mga ugat na ito ay maaaring maging tunay na naiiba, totoo at pantay, o kumplikadong conjugate.
Isaalang-alang natin kung ano ang anyo ng pangunahing sistema ng mga partikular na solusyon sa bawat isa sa mga kasong ito.
1. Ang mga ugat ng katangiang equation ay totoo at naiiba: . Sa kasong ito, gamit ang formula (60) makakahanap tayo ng dalawang bahagyang solusyon:
Ang dalawang partikular na solusyon na ito ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa buong numerical axis, dahil ang Wronski determinant ay hindi nawawala kahit saan:
Dahil dito, ang pangkalahatang solusyon ng equation ayon sa formula (48) ay may anyo
2. Ang mga ugat ng katangian equation ay pantay-pantay: . Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging totoo. Gamit ang formula (60), nakakuha lamang tayo ng isang partikular na solusyon
Ipakita natin na ang pangalawang partikular na solusyon, na kasama ng una ay bumubuo ng isang pangunahing sistema, ay may anyo
Una sa lahat, suriin natin na ang function ay isang solusyon sa equation (59). Talaga,
Ngunit, dahil mayroong ugat ng katangiang equation (61). Bilang karagdagan, ayon sa teorama ni Vieta, samakatuwid . Dahil dito, , ibig sabihin, ang function ay talagang isang solusyon sa equation (59).
Ipakita natin ngayon na ang nahanap na mga bahagyang solusyon ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Talaga,
Kaya, sa kasong ito ang pangkalahatang solusyon ng homogenous linear equation ay may anyo
3. Ang mga ugat ng katangiang equation ay kumplikado. Tulad ng nalalaman, ang mga kumplikadong ugat ng isang parisukat na equation na may mga tunay na coefficient ay conjugate kumplikadong mga numero, ibig sabihin, kamukha nila: . Sa kasong ito, ang mga bahagyang solusyon ng equation (59), ayon sa formula (60), ay magkakaroon ng form:
Gamit ang mga formula ni Euler (tingnan ang Kabanata XI, § 5, talata 3), ang mga expression para sa ay maaaring isulat bilang:
Ang mga solusyong ito ay komprehensibo. Upang makakuha ng mga wastong solusyon, isaalang-alang ang mga bagong function
Ang mga ito ay mga linear na kumbinasyon ng mga solusyon at, samakatuwid, ay mga solusyon mismo sa equation (59) (tingnan ang § 3, aytem 2, Theorem 1).
Madaling ipakita na ang determinant ng Wronski para sa mga solusyong ito ay nonzero at, samakatuwid, ang mga solusyon ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na linear differential equation sa kaso ng mga kumplikadong ugat ng katangian na equation ay may anyo.
Sa konklusyon, nagpapakita kami ng talahanayan ng mga formula para sa pangkalahatang solusyon ng equation (59) depende sa uri ng mga ugat ng katangian na equation.
Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng linear inhomogeneous second order differential equation (LNDE-2) na may pare-parehong coefficient (PC)
Ang 2nd order na LDDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left(x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.
Tungkol sa LNDU 2 sa PC, ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo.
Ipagpalagay natin na ang ilang function na $U$ ay isang di-makatwirang partial na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay ang pangkalahatang solusyon (GS) ng kaukulang linear homogeneous differential equation (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang GR ng Ang LHDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang mga solusyon, iyon ay, $y=U+Y$.
Kung ang kanang bahagi ng isang 2nd order LMDE ay isang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap muna natin ang mga PD na $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ na katumbas sa bawat isa sa mga function $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos nito isulat ang CR LNDU-2 sa anyong $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Solusyon ng 2nd order LPDE sa PC
Malinaw na ang uri ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDU-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD LNDU-2 ay binuo sa anyo ng sumusunod na apat na panuntunan.
Panuntunan #1.
kanang bahagi Ang LNDU-2 ay may form na $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, tinatawag itong polynomial of degree $ n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2 na katumbas ng zero. Ang mga coefficient ng polynomial na $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients (UK).
Panuntunan Blg. 2.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng degree ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Panuntunan Blg. 3.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, kung nasaan sina $a$, $b$ at $\beta$ mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa form na $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan gamit ang non-destructive method.
Panuntunan Blg. 4.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right)$ at ang $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng mga polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Ang paraan ng NK ay binubuo ng paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial na bahagi ng bahagyang solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDU-2, kinakailangan:
- palitan ang PD $U$ na nakasulat pangkalahatang pananaw, V kaliwang bahagi LNDU-2;
- sa kaliwang bahagi ng LNDU-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may parehong kapangyarihan $x$;
- sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga coefficient ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang panig;
- lutasin ang resultang sistema ng mga linear equation para sa hindi kilalang coefficient.
Halimbawa 1
Gawain: hanapin O LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PD , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.
Isinulat namin ang kaukulang LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation ay: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay wasto at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang koepisyent ng exponent na $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangian na equation. Samakatuwid, ang PD ng LNDU-2 na ito ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Hahanapin namin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NC method.
Nakita namin ang unang derivative ng Czech Republic:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Nakita namin ang pangalawang derivative ng Czech Republic:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ Bukod dito, dahil ang exponent na $e^(3\cdot x) $ ay kasama bilang salik sa lahat ng mga bahagi, maaari itong alisin.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Ginagawa namin ang mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Ginagamit namin ang paraan ng NDT. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ ng OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Nakatanggap kami ng isang sistema ng mga equation:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Solusyonan natin ito. Nahanap namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at $C_(2) $ ang tinutukoy namin mula sa unang equation:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay may anyo: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.
Dito namin ilalapat ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ng Lagrange upang malutas ang mga linear na hindi magkakatulad na second-order na differential equation. Detalyadong Paglalarawan ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga equation ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod ay inilarawan sa pahina
Solusyon ng linear inhomogeneous differential equation ng mas matataas na order sa pamamagitan ng Lagrange method >>>.
Halimbawa 1
Lutasin ang isang second-order differential equation na may constant coefficients gamit ang paraan ng variation ng Lagrange constants:
(1)
Solusyon
Una naming lutasin ang homogenous differential equation:
(2)
Ito ay isang pangalawang order equation.
Paglutas ng quadratic equation:
.
Maramihang mga ugat: . Pangunahing sistema ang mga solusyon sa equation (2) ay may anyo:
(3)
.
Mula dito nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa homogenous na equation (2):
(4)
.
Pag-iiba-iba ng mga pare-pareho C 1
at C 2
. Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (4) ng mga function:
.
Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (1) sa anyo:
(5)
.
Paghahanap ng derivative:
.
Ikonekta natin ang mga function at ang equation:
(6)
.
Pagkatapos
.
Natagpuan namin ang pangalawang derivative:
.
Palitan sa orihinal na equation (1):
(1)
;
.
Dahil at natugunan ang homogenous equation (2), ang kabuuan ng mga termino sa bawat column ng huling tatlong row ay nagbibigay ng zero at ang nakaraang equation ay nasa anyo:
(7)
.
Dito .
Kasama ng equation (6) nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(6)
:
(7)
.
Paglutas ng isang sistema ng mga equation
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7). Sumulat tayo ng mga expression para sa mga function at:
.
Nakikita namin ang kanilang mga derivatives:
;
.
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7) gamit ang paraan ng Cramer. Kinakalkula namin ang determinant ng system matrix:
.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.
Kaya, natagpuan namin ang mga derivatives ng mga function:
;
.
Pagsamahin natin (tingnan ang Mga Paraan para sa pagsasama ng mga ugat). Paggawa ng pagpapalit
;
;
;
.
.
.
;
.
Sagot
Halimbawa 2
Lutasin ang differential equation sa pamamagitan ng paraan ng variation ng Lagrange constants:
(8)
Solusyon
Hakbang 1. Paglutas ng homogenous equation
Nalulutas namin ang homogenous differential equation:
(9)
Naghahanap kami ng solusyon sa form. Binubuo namin ang katangian na equation:
Ang equation na ito ay may mga kumplikadong ugat:
.
Ang pangunahing sistema ng mga solusyon na naaayon sa mga ugat na ito ay may anyo:
(10)
.
Pangkalahatang solusyon ng homogenous equation (9):
(11)
.
Hakbang 2. Pagkakaiba-iba ng mga constant - pinapalitan ang mga constant ng mga function
Ngayon ay pinag-iiba namin ang mga constants C 1
at C 2
. Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (11) ng mga function:
.
Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (8) sa anyo:
(12)
.
Dagdag pa, ang pag-unlad ng solusyon ay kapareho ng sa halimbawa 1. Nakarating kami sa susunod na sistema mga equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(13)
:
(14)
.
Dito .
Paglutas ng isang sistema ng mga equation
Solusyonan natin ang sistemang ito. Isulat natin ang mga expression para sa mga function at :
.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.
Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (13-14) gamit ang paraan ng Cramer. Determinant ng system matrix:
.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.
.
Dahil , ang modulus sign sa ilalim ng logarithm sign ay maaaring tanggalin. I-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:
.
Pagkatapos
.
Pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation:
.
