Label: lokal na maximum. Extrema, pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng mga pag-andar

Ang isang pagbabago sa isang function sa isang tiyak na punto ay tinukoy bilang ang limitasyon ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, na may posibilidad na maging zero. Upang mahanap ito, gamitin ang talahanayan ng mga derivatives. Halimbawa, ang derivative ng function na y = x3 ay magiging katumbas ng y’ = x2.

I-equate ang derivative na ito sa zero (in sa kasong ito x2=0).

Hanapin ang halaga ng ibinigay na variable. Ito ang magiging mga halaga kung saan ang ibinigay na derivative ay magiging katumbas ng 0. Upang gawin ito, palitan ang mga arbitrary na numero sa expression sa halip na x, kung saan ang buong expression ay magiging zero. Halimbawa:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

I-plot ang mga nakuhang halaga sa linya ng coordinate at kalkulahin ang sign ng derivative para sa bawat nakuhang halaga. Ang mga puntos ay minarkahan sa linya ng coordinate, na kinukuha bilang pinagmulan. Upang kalkulahin ang halaga sa mga pagitan, palitan ang mga arbitrary na halaga na tumutugma sa pamantayan. Halimbawa, para sa nakaraang function bago ang pagitan -1, maaari mong piliin ang halaga -2. Para sa mga value mula -1 hanggang 1, maaari kang pumili ng 0, at para sa mga value na higit sa 1, piliin ang 2. Ipalit ang mga numerong ito sa derivative at alamin ang sign ng derivative. Sa kasong ito, ang derivative na may x = -2 ay magiging katumbas ng -0.24, i.e. negatibo at magkakaroon ng minus sign sa pagitan na ito. Kung x=0, kung gayon ang halaga ay magiging katumbas ng 2, at isang palatandaan ang inilalagay sa pagitan na ito. Kung x=1, kung gayon ang derivative ay magiging katumbas din ng -0.24 at isang minus ang ilalagay.

Kung, kapag dumadaan sa isang punto sa linya ng coordinate, binago ng derivative ang sign nito mula minus hanggang plus, kung gayon ito ay isang minimum na punto, at kung mula sa plus hanggang minus, kung gayon ito ay isang maximum na punto.

Video sa paksa

Nakatutulong na payo

Upang mahanap ang derivative, may mga online na serbisyo na nagkalkula mga kinakailangang halaga at ipakita ang resulta. Sa mga naturang site makakahanap ka ng mga derivatives hanggang sa ika-5 order.

Mga Pinagmulan:

• Isa sa mga serbisyo para sa pagkalkula ng mga derivatives
• maximum na punto ng function

Ang pinakamataas na punto ng isang function, kasama ang pinakamababang puntos, ay tinatawag na extremum point. Sa mga puntong ito binabago ng function ang pag-uugali nito. Ang Extrema ay tinutukoy sa limitadong mga agwat ng numero at palaging lokal.

Mga tagubilin

Ang proseso ng paghahanap ng local extrema ay tinatawag na function at ginagawa sa pamamagitan ng pagsusuri sa una at pangalawang derivatives ng function. Bago simulan ang pag-aaral, siguraduhin na ang tinukoy na hanay ng mga halaga ng argumento ay nabibilang sa mga wastong halaga. Halimbawa, para sa function na F=1/x ang argumento x=0 ay hindi wasto. O para sa function na Y=tg(x) ang argument ay hindi maaaring magkaroon ng value na x=90°.

Siguraduhin na ang function na Y ay naiba-iba sa buong ibinigay na agwat. Hanapin ang unang derivative ng Y." Malinaw, bago maabot ang punto ng lokal na maximum, tumataas ang function, at kapag dumaan sa maximum, bumababa ang function. Ang unang derivative sa nito pisikal na kahulugan nailalarawan ang rate ng pagbabago ng isang function. Habang tumataas ang function, positibo ang rate ng prosesong ito. Kapag dumadaan sa lokal na maximum, nagsisimulang bumaba ang function, at nagiging negatibo ang rate ng pagbabago ng function. Ang paglipat ng rate ng pagbabago ng function sa pamamagitan ng zero ay nangyayari sa punto ng lokal na maximum.

Para sa isang function na f(x) ng maraming variable, ang point x ay isang vector, ang f'(x) ay isang vector ng mga unang derivatives (gradient) ng function na f(x), ang f ′′(x) ay isang simetriko matrix ng pangalawa. partial derivatives (Hessian matrix - Hessian) function na f(x).
Para sa isang function ng maraming mga variable, ang mga kondisyon ng pinakamainam ay binuo bilang mga sumusunod.
Isang kinakailangang kondisyon para sa lokal na pinakamainam. Hayaang maging differentiable ang f(x) sa puntong x * R n . Kung ang x * ay isang lokal na extremum point, kung gayon ang f’(x *) = 0.
Tulad ng dati, ang mga punto na solusyon sa isang sistema ng mga equation ay tinatawag na nakatigil. Ang likas na katangian ng nakatigil na puntong x * ay nauugnay sa tiyak na tanda ng Hessian matrix f′′(x).
Ang tanda ng matrix A ay nakasalalay sa mga palatandaan ng parisukat na anyo Q(α)=< α A, α >para sa lahat ng hindi zero α∈R n .
Dito at higit pa sa pamamagitan ng nagsasaad ng scalar product ng mga vectors x at y. A-priory,

Ang isang matrix A ay positibo (di-negatibo) na tiyak kung Q(α)>0 (Q(α)≥0) para sa lahat ng hindi-zero α∈R n ; negatibo (hindi positibo) tiyak kung Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 para sa ilang di-zero α∈R n at Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Sapat na kondisyon para sa lokal na pinakamainam. Hayaang ang f(x) ay dalawang beses na naiba-iba sa puntong x * R n, at f’(x *)=0, i.e. x * − nakatigil na punto. Pagkatapos, kung ang matrix f′′(x *) ay positibo (negatibo) na tiyak, kung gayon ang x * ay isang lokal na minimum (maximum) na punto; kung ang matrix f′′(x *) ay hindi natukoy, ang x * ay isang saddle point.
Kung ang matrix na f′′(x *) ay di-negatibong (di-positibo) na tiyak, kung gayon upang matukoy ang likas na katangian ng nakatigil na punto x * ay nangangailangan ng pag-aaral ng mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod.
Upang suriin ang tanda ng isang matrix, bilang panuntunan, ginagamit ang pamantayan ng Sylvester. Ayon sa pamantayang ito, ang isang simetriko matrix A ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng angular na menor de edad nito ay positibo. Sa kasong ito, ang angular minor ng matrix A ay ang determinant ng isang matrix na binuo mula sa mga elemento ng matrix A na matatagpuan sa intersection ng mga row at column na may parehong (at una) na mga numero. Upang suriin ang simetriko matrix A para sa negatibong definiteness, kailangan mong suriin ang matrix (−A) para sa positibong katiyakan.
Kaya, ang algorithm para sa pagtukoy ng mga lokal na extrema point ng isang function ng maraming mga variable ay ang mga sumusunod.
1. Hanapin ang f′(x).
2. Ang sistema ay nilulutas

Bilang resulta, ang mga nakatigil na puntos x i ay kinakalkula.
3. Hanapin ang f′′(x), itakda ang i=1.
4. Hanapin ang f′′(x i)
5. Ang mga angular na minor ng matrix f′′(x i) ay kinakalkula. Kung hindi lahat ng angular minor ay nonzero, kung gayon ang pagtukoy sa likas na katangian ng nakatigil na punto x i ay nangangailangan ng pag-aaral ng mga derivatives na may mataas na pagkakasunud-sunod. Sa kasong ito, ang paglipat sa hakbang 8 ay isinasagawa.
Kung hindi, pumunta sa hakbang 6.
6. Ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad f′′(x i) ay sinusuri. Kung ang f′′(x i) ay positibong tiyak, kung gayon ang x i ay isang lokal na pinakamababang punto. Sa kasong ito, ang paglipat sa hakbang 8 ay isinasagawa.
Kung hindi, pumunta sa hakbang 7.
7. Ang mga angular na menor de edad ng matrix -f′′(x i) ay kinakalkula at ang kanilang mga palatandaan ay sinusuri.
Kung ang -f′′(x i) − ay positibong tiyak, kung gayon ang f′′(x i) ay negatibong tiyak at x i ay isang lokal na pinakamataas na punto.
Kung hindi, ang f′′(x i) ay hindi natukoy at ang x i ay isang saddle point.
8. Ang kondisyon para sa pagtukoy sa katangian ng lahat ng nakatigil na mga punto i=N ay nasuri.
Kung ito ay natupad, pagkatapos ay ang mga kalkulasyon ay nakumpleto.
Kung ang kundisyon ay hindi natugunan, pagkatapos ay i=i+1 ay ipinapalagay at ang paglipat sa hakbang 4 ay isinasagawa.

Halimbawa Blg. 1. Tukuyin ang mga punto ng lokal na extrema ng function f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2









Dahil ang lahat ng angular na menor ay hindi zero, ang karakter ng x 2 ay tinutukoy gamit ang f′′(x).
Dahil ang matrix f′′(x 2) ay positibong tiyak, ang x 2 ay isang lokal na pinakamababang punto.
Sagot: ang function na f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ay may lokal na minimum sa puntong x = (5/3; 8/3).

MAXIMUM AT MINIMUM POINTS

mga punto kung saan tumatagal ang pinakamalaking o pinakamaliit na halaga sa domain ng kahulugan; ang mga ganyang punto ay tinatawag mga punto din ng absolute maximum o absolute minimum. Kung ang f ay tinukoy sa isang topological space X, pagkatapos ay ang punto x 0 tinawag punto ng lokal na maximum (lokal na minimum), kung mayroong ganoong punto x 0, na para sa paghihigpit ng function na isinasaalang-alang sa lugar na ito ang punto x 0 ay ang absolute maximum (minimum) point. May mga punto ng mahigpit at hindi mahigpit na maximum (minimum) (parehong ganap at lokal). Halimbawa, tinatawag na tuldok isang punto ng isang hindi mahigpit (mahigpit) na lokal na maximum ng isang function f, kung mayroong ganoong kapitbahayan ng punto x 0, na humahawak para sa lahat (ayon sa pagkakabanggit f(x) x 0). )/

Para sa mga function na tinukoy sa finite-dimensional na mga domain, sa mga tuntunin ng differential calculus, may mga kundisyon at palatandaan para ang isang partikular na punto ay maging isang punto ng lokal na maximum (minimum). Hayaang tukuyin ang function f sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto x 0 ng axis ng numero. Kung x 0 - isang punto ng hindi mahigpit na lokal na maximum (minimum) at sa puntong ito mayroong f"( x 0), pagkatapos ito ay katumbas ng zero.

Kung ang isang ibinigay na function f ay naiba sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 , maliban, marahil, ang puntong ito mismo, kung saan ito ay tuloy-tuloy, at ang hinalaw na f" sa bawat panig ng punto x 0 sa kapitbahayan na ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, pagkatapos ay upang x 0 ay isang punto ng mahigpit na lokal na maximum (lokal na minimum), ito ay kinakailangan at sapat para sa derivative na baguhin ang sign mula plus hanggang minus, iyon ay, para sa f" (x)>0 sa x<.x 0 at f"(x)<0 при x>x 0(mula sa minus hanggang plus: f"(X) <0 sa x<x 0 at f"(x)>0 sa x>x 0). Gayunpaman, hindi para sa bawat function na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 , maaari nating pag-usapan ang tanda ng pagbabago ng derivative sa puntong ito. . "

Kung ang function na f ay nasa isang punto x 0 t derivatives, at pagkatapos ay upang x 0 ay isang punto ng mahigpit na lokal na maximum, ito ay kinakailangan at sapat na ang te ay maging pantay at ang f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Hayaan ang function na f( x 1 ..., x n] ay tinukoy sa isang n-dimensional na kapitbahayan ng isang punto at naiba sa puntong ito. Kung ang x (0) ay isang punto ng hindi mahigpit na lokal na maximum (minimum), kung gayon ang function na f sa puntong ito ay katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay katumbas ng pagkakapantay-pantay sa zero sa puntong ito ng lahat ng partial derivatives ng 1st order ng function f. Kung ang isang function ay may 2nd continuous partial derivatives sa x(0), lahat ng 1st derivatives nito sa x(0) ay maglalaho, at ang 2nd order differential sa x(0) ay isang negative (positive) quadratic form, kung gayon ang x (0) ay isang punto ng mahigpit na lokal na maximum (minimum). Kilala ang mga kundisyon para sa mga function na M. at M.T, kapag ang ilang mga paghihigpit ay ipinataw sa mga pagbabago sa mga argumento: ang mga equation ng koneksyon ay nasiyahan. Ang kailangan at sapat na mga kondisyon para sa maximum (minimum) ng isang tunay na function, na may mas kumplikadong istraktura, ay pinag-aralan sa mga espesyal na sangay ng matematika: halimbawa, sa matambok na pagsusuri, mathematical programming(Tingnan din Maximization at pag-minimize ng mga function). Ang mga function ng M. at m.t na tinukoy sa mga manifold ay pinag-aaralan sa calculus ng mga pagkakaiba-iba sa pangkalahatan, a M. at m.t. para sa mga function na tinukoy sa mga function space, ibig sabihin, para sa mga functional sa calculus ng mga pagkakaiba-iba. Meron din iba't ibang pamamaraan numerical approximate determinasyon ng m at m.t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Mga Pangunahing Kaalaman pagsusuri sa matematika, 3rd ed., part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Ensiklopedya sa matematika. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "MAXIMUM AT MINIMUM POINTS" sa iba pang mga diksyunaryo:

Ang discrete maximum na prinsipyo ng Pontryagin para sa time-discrete control na mga proseso. Para sa ganoong proseso, maaaring hindi humawak ang operator ng finite difference, bagama't para sa tuluy-tuloy na analogue nito, nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng operator ng finite difference ng isang differential... ... Mathematical Encyclopedia

Isang theorem na nagpapahayag ng isa sa mga pangunahing katangian ng analytic module. mga function. Hayaang ang f(z) ay isang regular na analytic, o holomorphic, na function ng mga kumplikadong variable sa isang domain ng D-complex number space na iba sa isang constant, M.m.p sa... ... Mathematical Encyclopedia

Ang pinakamalaki at, nang naaayon, ang pinakamaliit na halaga ng isang function na kumukuha ng mga tunay na halaga. Ang punto sa domain ng kahulugan ng function na isinasaalang-alang, kung saan ito ay tumatagal ng isang maximum o minimum, ay tinatawag na. ayon sa pagkakabanggit, isang pinakamataas na punto o isang minimum na punto... ... Mathematical Encyclopedia

Tingnan ang Maximum at Minimum ng isang Function, Maximum at Minimum ng isang Point... Mathematical Encyclopedia

Ang halaga ng tuluy-tuloy na function na ang maximum o minimum (tingnan ang Maximum at Minimum Points). Ang katagang lE... Mathematical Encyclopedia

Tagapagpahiwatig- (Tagapagpahiwatig) Ang tagapagpahiwatig ay Sistema ng impormasyon, substance, device, device na nagpapakita ng mga pagbabago sa anumang parameter ng Forex currency market indicator indicators, ano ang mga ito at saan sila mada-download? Paglalarawan ng mga tagapagpahiwatig ng MACD,... ... Investor Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extremum (mga kahulugan). Ang Extremum (lat. extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum... ... Wikipedia

Ang differential calculus ay isang sangay ng mathematical analysis na nag-aaral ng mga konsepto ng derivative at differential at kung paano ito inilalapat sa pag-aaral ng mga function. Mga Nilalaman 1 Differential calculus ng mga function ng isang variable ... Wikipedia

Lemniscate at ang mga focus nito Ang lemniscate ni Bernoulli ay isang plane algebraic curve. Tinukoy bilang locus ng mga puntos, produkto ... Wikipedia

Divergence- (Divergence) Divergence bilang indicator Diskarte sa kalakalan na may MACD divergence Mga Nilalaman Seksyon 1. sa. Seksyon 2. Divergence kung paano. Ang divergence ay isang terminong ginagamit sa ekonomiks upang tukuyin ang paggalaw kasama ang divergent... ... Investor Encyclopedia

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sabi nila $f$ meron lokal na maximum sa puntong $x_(0) \sa E$, kung mayroong kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan ) \leqslant f ay nasiyahan \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na maximum ay tinatawag mahigpit , kung mapipili ang neighborhood na $U$ para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Kahulugan
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sabi nila $f$ meron lokal na minimum sa puntong $x_(0) \sa E$, kung mayroong kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na minimum ay tinatawag na mahigpit kung ang isang kapitbahayan na $U$ ay maaaring mapili upang sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Pinagsasama ng local extremum ang mga konsepto ng lokal na minimum at lokal na maximum.

Teorama ( kinakailangang kondisyon extremum ng differentiable function)
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kung sa puntong $x_(0) \sa E$ ang function na $f$ ay mayroon lokal na extremum at sa puntong ito, pagkatapos ay $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Ang pagkakapantay-pantay ng differential sa zero ay katumbas ng katotohanan na ang lahat ay katumbas ng zero, i.e. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Sa one-dimensional na kaso ito ay – . Tukuyin natin ang $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kung saan ang $h$ ay isang arbitrary vector. Ang function na $\phi$ ay tinukoy para sa mga halaga ng $t$ na sapat na maliit sa ganap na halaga. Bilang karagdagan, may kinalaman sa , ito ay naiba-iba, at $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Hayaang magkaroon ng lokal na maximum ang $f$ sa puntong x $0$. Nangangahulugan ito na ang function na $\phi$ sa $t = 0$ ay may lokal na maximum at, sa pamamagitan ng Fermat's theorem, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Kaya, nakuha namin na $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero sa anumang vector na $h$.

Kahulugan
Mga punto kung saan ang pagkakaiba ay zero, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng bahagyang derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag na nakatigil. Mga kritikal na puntos ang mga function na $f$ ay ang mga punto kung saan ang $f$ ay hindi naiba o katumbas ng zero. Kung ang punto ay nakatigil, pagkatapos ay hindi sumusunod mula dito na ang function ay may isang extremum sa puntong ito.

Halimbawa 1.
Hayaan ang $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Pagkatapos ay $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, kaya ang $\left(0,0\right)$ ay isang nakatigil na punto, ngunit ang function ay walang extremum sa puntong ito. Sa katunayan, $f \left(0,0\right) = 0$, ngunit madaling makita na sa anumang kapitbahayan ng puntong $\left(0,0\right)$ ang function ay tumatagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga.

Halimbawa 2.
Ang function na $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ay may nakatigil na punto sa pinagmulan nito, ngunit malinaw na walang extremum sa puntong ito.

Theorem (sapat na kondisyon para sa extremum).
Hayaang ang function na $f$ ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa bukas na hanay na $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hayaang ang $x_(0) \sa E$ ay isang nakatigil na punto at $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Pagkatapos

1. kung $Q_(x_(0))$ – , kung gayon ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay may lokal na extremum, ibig sabihin, minimum kung positive definite ang form, at maximum kung ang form ay negatibong tiyak;
2. kung ang quadratic form na $Q_(x_(0))$ ay hindi natukoy, ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay walang extremum.

Gamitin natin ang pagpapalawak ayon sa pormula ni Taylor (12.7 p. 292). Isinasaalang-alang na ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivative sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero, nakukuha namin ang $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kung saan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, at $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para sa $h \rightarrow 0$, pagkatapos kanang bahagi magiging positibo para sa anumang vector na $h$ na may sapat na maliit na haba.
Kaya, kami ay dumating sa konklusyon na sa ilang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay na $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ay nagtataglay, kung $ x \neq x_ (0)$ (inilalagay namin ang $x=x_(0)+h$\kanan). Nangangahulugan ito na sa puntong $x_(0)$ ang function ay may mahigpit na lokal na minimum, at sa gayon ang unang bahagi ng aming theorem ay napatunayan.
Ipagpalagay ngayon na $Q_(x_(0))$ – hindi tiyak na anyo. Pagkatapos ay mayroong mga vectors na $h_(1)$, $h_(2)$ na $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para sa sapat na maliit na $t>0$, ang kanang kamay positibo ang panig. Nangangahulugan ito na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halaga $f \left(x\right)$ mas malaki kaysa sa $f \left(x_(0)\right)$.
Katulad nito, nalaman namin na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halagang mas mababa sa $f \left(x_(0)\right)$. Ito, kasama ng nauna, ay nangangahulugan na sa puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay walang extremum.

Isaalang-alang natin espesyal na kaso ng theorem na ito para sa isang function na $f \left(x,y\right)$ ng dalawang variable na tinukoy sa isang partikular na kapitbahayan ng puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$ at pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng una sa lugar na ito at pangalawang order. Ipagpalagay na ang $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ay isang nakatigil na punto at nagsasaad ng $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \kaliwa(x_(0), y_(0)\kanan ) .$$ Pagkatapos ang nakaraang theorem ay tumatagal ng sumusunod na anyo.

Teorama
Hayaan ang $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pagkatapos:

1. kung $\Delta>0$, ang function na $f$ ay may lokal na extremum sa puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ibig sabihin, isang minimum kung $a_(11)> 0$ , at maximum kung $a_(11)<0$;
2. kung $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function ng maraming variable:

1. Paghahanap ng mga nakatigil na puntos;
2. Hanapin ang 2nd order differential sa lahat ng nakatigil na punto
3. Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng maraming variable, isinasaalang-alang namin ang 2nd order differential sa bawat stationary point

1. Siyasatin ang function para sa extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Solusyon

   Hanapin natin ang 1st order partial derivatives: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Buuin at lutasin natin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Mula sa 2nd equation ipinapahayag namin ang $x=4 \cdot y^(2)$ - palitan ito sa 1st equation: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Bilang resulta, 2 nakatigil na puntos ang nakuha:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kaliwa(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Suriin natin kung ang sapat na kondisyon para sa isang extremum ay nasiyahan:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Para sa puntong $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Para sa puntong $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, na nangangahulugang sa puntong $M_(2)$ mayroong extremum, at dahil $A_(2)> 0$, kung gayon ito ang pinakamababa.
   Sagot: Ang puntong $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $f$.
   

2. Siyasatin ang function para sa extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Solusyon

   Maghanap tayo ng mga nakatigil na punto: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Buuin natin at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   Ang $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ay isang nakatigil na punto.
   Suriin natin kung nasiyahan ang sapat na kundisyon para sa extremum: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Sagot: walang extremes.
   

Limitasyon sa oras: 0

Navigation (mga numero ng trabaho lamang)

0 sa 4 na gawain ang natapos

Impormasyon

Sagutan ang pagsusulit na ito upang subukan ang iyong kaalaman sa paksang kababasa mo lang: Lokal na Extrema ng Mga Pag-andar ng Maramihang mga Variable.

Nakapag-test ka na dati. Hindi mo na ito masisimulan muli.

Pagsubok sa paglo-load...

Dapat kang mag-log in o magparehistro upang simulan ang pagsusulit.

Dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na pagsubok upang simulan ang isang ito:

resulta

Mga tamang sagot: 0 sa 4

Oras mo:

Tapos na ang oras

Nakakuha ka ng 0 sa 0 puntos (0)

Ang iyong resulta ay naitala sa leaderboard

1. Sa sagot
2. May marka ng pagtingin

Gawain 1 ng 4

1 .

Bilang ng mga puntos: 1

Siyasatin ang function na $f$ para sa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Tama


mali


1. Gawain 2 ng 4

   2 .

   Bilang ng mga puntos: 1

   May extremum ba ang function na $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sabi nila $f$ meron lokal na maximum sa puntong $x_(0) \sa E$, kung mayroong kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan ) \leqslant f ay nasiyahan \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na maximum ay tinatawag mahigpit , kung mapipili ang neighborhood na $U$ para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Kahulugan
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sabi nila $f$ meron lokal na minimum sa puntong $x_(0) \sa E$, kung mayroong kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na minimum ay tinatawag na mahigpit kung ang isang kapitbahayan na $U$ ay maaaring mapili upang sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Pinagsasama ng local extremum ang mga konsepto ng lokal na minimum at lokal na maximum.

Theorem (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang differentiable function)
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kung sa puntong $x_(0) \sa E$ ang function na $f$ ay may lokal na extremum sa puntong ito, pagkatapos ay $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Ang katumbas ng zero differential ay katumbas ng katotohanan na ang lahat ay katumbas ng zero, i.e. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Sa one-dimensional na kaso ito ay – . Tukuyin natin ang $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kung saan ang $h$ ay isang arbitrary vector. Ang function na $\phi$ ay tinukoy para sa mga halaga ng $t$ na sapat na maliit sa ganap na halaga. Bilang karagdagan, may kinalaman sa , ito ay naiba-iba, at $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Hayaang magkaroon ng lokal na maximum ang $f$ sa puntong x $0$. Nangangahulugan ito na ang function na $\phi$ sa $t = 0$ ay may lokal na maximum at, sa pamamagitan ng Fermat's theorem, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Kaya, nakuha namin na $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero sa anumang vector na $h$.

Kahulugan
Mga punto kung saan ang pagkakaiba ay zero, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng bahagyang derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag na nakatigil. Mga kritikal na puntos ang mga function na $f$ ay ang mga punto kung saan ang $f$ ay hindi naiba o katumbas ng zero. Kung ang punto ay nakatigil, pagkatapos ay hindi sumusunod mula dito na ang function ay may isang extremum sa puntong ito.

Halimbawa 1.
Hayaan ang $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Pagkatapos ay $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, kaya ang $\left(0,0\right)$ ay isang nakatigil na punto, ngunit ang function ay walang extremum sa puntong ito. Sa katunayan, $f \left(0,0\right) = 0$, ngunit madaling makita na sa anumang kapitbahayan ng puntong $\left(0,0\right)$ ang function ay tumatagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga.

Halimbawa 2.
Ang function na $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ay may nakatigil na punto sa pinagmulan nito, ngunit malinaw na walang extremum sa puntong ito.

Theorem (sapat na kondisyon para sa extremum).
Hayaang ang function na $f$ ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa bukas na hanay na $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hayaang ang $x_(0) \sa E$ ay isang nakatigil na punto at $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Pagkatapos

1. kung $Q_(x_(0))$ – , kung gayon ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay may lokal na extremum, ibig sabihin, minimum kung positive definite ang form, at maximum kung ang form ay negatibong tiyak;
2. kung ang quadratic form na $Q_(x_(0))$ ay hindi natukoy, ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay walang extremum.

Gamitin natin ang pagpapalawak ayon sa pormula ni Taylor (12.7 p. 292). Isinasaalang-alang na ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivative sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero, nakukuha namin ang $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kung saan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, at $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para sa $h \rightarrow 0$, pagkatapos ay ang kanang bahagi ay magiging positibo para sa anumang vector na $h$ na may sapat na maliit na haba.
Kaya, kami ay dumating sa konklusyon na sa ilang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay na $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ay nagtataglay, kung $ x \neq x_ (0)$ (inilalagay namin ang $x=x_(0)+h$\kanan). Nangangahulugan ito na sa puntong $x_(0)$ ang function ay may mahigpit na lokal na minimum, at sa gayon ang unang bahagi ng aming theorem ay napatunayan.
Ipagpalagay natin ngayon na ang $Q_(x_(0))$ ay isang hindi tiyak na anyo. Pagkatapos ay mayroong mga vectors na $h_(1)$, $h_(2)$ na $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para sa sapat na maliit na $t>0$, ang kanang kamay positibo ang panig. Nangangahulugan ito na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halaga $f \left(x\right)$ mas malaki kaysa sa $f \left(x_(0)\right)$.
Katulad nito, nalaman namin na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halagang mas mababa sa $f \left(x_(0)\right)$. Ito, kasama ng nauna, ay nangangahulugan na sa puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay walang extremum.

Isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso ng theorem na ito para sa function na $f \left(x,y\right)$ ng dalawang variable, na tinukoy sa ilang kapitbahayan ng point $\left(x_(0),y_(0)\right )$ at pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng una at pangalawang order. Ipagpalagay na ang $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ay isang nakatigil na punto at nagsasaad ng $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \kaliwa(x_(0), y_(0)\kanan ) .$$ Pagkatapos ang nakaraang theorem ay tumatagal ng sumusunod na anyo.

Teorama
Hayaan ang $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pagkatapos:

1. kung $\Delta>0$, ang function na $f$ ay may lokal na extremum sa puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ibig sabihin, isang minimum kung $a_(11)> 0$ , at maximum kung $a_(11)<0$;
2. kung $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function ng maraming variable:

1. Paghahanap ng mga nakatigil na puntos;
2. Hanapin ang 2nd order differential sa lahat ng nakatigil na punto
3. Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng maraming variable, isinasaalang-alang namin ang 2nd order differential sa bawat stationary point

1. Siyasatin ang function para sa extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Solusyon

   Hanapin natin ang 1st order partial derivatives: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Buuin at lutasin natin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Mula sa 2nd equation ipinapahayag namin ang $x=4 \cdot y^(2)$ - palitan ito sa 1st equation: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Bilang resulta, 2 nakatigil na puntos ang nakuha:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kaliwa(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Suriin natin kung ang sapat na kondisyon para sa isang extremum ay nasiyahan:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Para sa puntong $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Para sa puntong $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, na nangangahulugang sa puntong $M_(2)$ mayroong extremum, at dahil $A_(2)> 0$, kung gayon ito ang pinakamababa.
   Sagot: Ang puntong $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $f$.
   

2. Siyasatin ang function para sa extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Solusyon

   Maghanap tayo ng mga nakatigil na punto: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Buuin natin at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   Ang $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ay isang nakatigil na punto.
   Suriin natin kung nasiyahan ang sapat na kundisyon para sa extremum: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Sagot: walang extremes.
   

Limitasyon sa oras: 0

Navigation (mga numero ng trabaho lamang)

0 sa 4 na gawain ang natapos

Impormasyon

Sagutan ang pagsusulit na ito upang subukan ang iyong kaalaman sa paksang kababasa mo lang: Lokal na Extrema ng Mga Pag-andar ng Maramihang mga Variable.

Nakapag-test ka na dati. Hindi mo na ito masisimulan muli.

Pagsubok sa paglo-load...

Dapat kang mag-log in o magparehistro upang simulan ang pagsusulit.

Dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na pagsubok upang simulan ang isang ito:

resulta

Mga tamang sagot: 0 sa 4

Oras mo:

Tapos na ang oras

Nakakuha ka ng 0 sa 0 puntos (0)

Ang iyong resulta ay naitala sa leaderboard

1. Sa sagot
2. May marka ng pagtingin

Gawain 1 ng 4

1 .

Bilang ng mga puntos: 1

Siyasatin ang function na $f$ para sa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Tama


mali


1. Gawain 2 ng 4

   2 .

   Bilang ng mga puntos: 1

   May extremum ba ang function na $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$