Paraan ng Lagrange Multiplier ay isang klasikong pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa programming sa matematika (sa partikular, convex programming). Sa kasamaang palad, ang praktikal na aplikasyon ng pamamaraan ay maaaring makatagpo ng mga makabuluhang paghihirap sa pagkalkula, na nagpapaliit sa saklaw ng paggamit nito. Isinasaalang-alang namin ang pamamaraang Lagrange dito pangunahin dahil ito ay isang kagamitan na aktibong ginagamit upang patunayan ang iba't ibang mga modernong pamamaraan ng numero na malawakang ginagamit sa pagsasanay. Tulad ng para sa Lagrange function at Lagrange multiplier, naglalaro sila ng isang independiyente at eksklusibo mahalagang papel sa teorya at aplikasyon hindi lamang ng mathematical programming.
Isaalang-alang ang klasikal na problema sa pag-optimize
max (min) z=f(x) (7.20)
Ang problemang ito ay namumukod-tangi mula sa problema (7.18), (7.19) na kabilang sa mga paghihigpit (7.21) ay walang mga hindi pagkakapantay-pantay, walang mga kondisyon para sa mga variable na maging non-negatibo, ang kanilang discreteness, at ang mga function na f(x) ay tuloy-tuloy at may mga partial derivatives ng hindi bababa sa pangalawang order.
Ang klasikal na diskarte sa paglutas ng problema (7.20), (7.21) ay nagbibigay ng isang sistema ng mga equation ( mga kinakailangang kondisyon), na dapat masiyahan sa puntong x*, na nagbibigay ng function na f(x) na may lokal na extremum sa hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa mga hadlang (7.21) (para sa problema sa convex programming, ang nahanap na punto x*, alinsunod sa Theorem 7.6, ay sabay-sabay na magiging punto ng global extremum).
Ipagpalagay natin na sa point x* function (7.20) ay may lokal na conditional extremum at ang ranggo ng matrix ay katumbas ng . Pagkatapos ang mga kinakailangang kondisyon ay isusulat sa form:
(7.22)
mayroong isang Lagrange function; - Mga multiplier ng Lagrange.
Mayroon ding sapat na mga kondisyon kung saan tinutukoy ng solusyon ng sistema ng mga equation (7.22) ang extremum point ng function na f(x). Ang tanong na ito ay nalutas batay sa pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function. Gayunpaman, ang mga sapat na kondisyon ay pangunahin sa teoretikal na interes.
Maaari mong tukuyin ang sumusunod na pamamaraan para sa paglutas ng problema (7.20), (7.21) gamit ang Lagrange multiplier method:
1) bumuo ng Lagrange function (7.23);
2) hanapin ang mga partial derivatives ng Lagrange function na may paggalang sa lahat ng mga variable 
at itakda ang mga ito katumbas ng zero. Magreresulta ito sa system (7.22), na binubuo ng mga equation. Lutasin ang resultang sistema (kung ito ay naging posible!) at sa gayon ay hanapin ang lahat ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function;
3) mula sa mga nakatigil na puntos na kinuha nang walang mga coordinate, piliin ang mga punto kung saan ang function na f(x) ay may kondisyonal na lokal na extrema sa pagkakaroon ng mga paghihigpit (7.21). Ang pagpipiliang ito ay ginawa, halimbawa, gamit sapat na kondisyon lokal na extremum. Kadalasan ang pag-aaral ay pinasimple kung ang mga tiyak na kondisyon ng problema ay ginagamit.
Halimbawa 7.3. Hanapin ang pinakamainam na pamamahagi ng isang limitadong mapagkukunan sa isang yunit. sa pagitan ng n mga mamimili, kung ang tubo na natanggap mula sa paglalaan ng x j na mga yunit ng mapagkukunan sa jth consumer ay kinakalkula ng formula .
Solusyon. Ang modelo ng matematika ng problema ay may sumusunod na anyo:
Binubuo namin ang Lagrange function:
.
Nahanap namin mga partial derivatives ng Lagrange function at i-equate ang mga ito sa zero:
Ang paglutas ng sistemang ito ng mga equation, nakukuha natin:
Kaya, kung ang jth consumer ay inilalaan ng mga yunit. mapagkukunan, kung gayon ang kabuuang kita ay aabot sa pinakamataas na halaga at halaga nito sa den. mga yunit
Sinuri namin ang pamamaraang Lagrange bilang inilapat sa isang klasikal na problema sa pag-optimize. Ang pamamaraang ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso kung saan ang mga variable ay hindi negatibo at ang ilang mga hadlang ay ibinibigay sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, ang generalization na ito ay pangunahing teoretikal at hindi humahantong sa mga partikular na computational algorithm.
Bilang konklusyon, bigyan natin ang mga multiplier ng Lagrange ng interpretasyong pang-ekonomiya. Upang gawin ito, buksan natin ang pinakasimpleng klasikal na problema sa pag-optimize
max (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)
𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)
Ipagpalagay natin na ang conditional extremum ay naabot sa punto . Ang katumbas na matinding halaga ng function f(x)
Ipagpalagay natin na sa mga paghihigpit (7.25) ang dami b maaaring magbago, pagkatapos ay ang mga coordinate ng extremum point, at samakatuwid ay ang matinding halaga f* mga function f(x) ay magiging mga dami depende sa b, ibig sabihin. 
,
, at samakatuwid ang derivative ng function (7.24)
Isaalang-alang ang isang linear inhomogeneous differential equation ng unang order:
(1)
.
Mayroong tatlong mga paraan upang malutas ang equation na ito:
- paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Isaalang-alang natin ang paglutas ng isang first-order linear differential equation gamit ang Lagrange method.
Paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange)
Sa pagkakaiba-iba ng pare-parehong pamamaraan, malulutas namin ang equation sa dalawang hakbang. Sa unang yugto ay pinasimple namin orihinal na equation at lutasin ang homogenous equation. Sa ikalawang yugto, pinapalitan namin ang pare-pareho ng pagsasama na nakuha sa unang yugto ng solusyon na may isang function. Pagkatapos ay hinahanap namin karaniwang desisyon orihinal na equation.
Isaalang-alang ang equation:
(1)
Hakbang 1 Paglutas ng isang homogenous na equation
Naghahanap kami ng solusyon sa homogenous na equation:
Ito ay isang separable equation
Pinaghiwalay namin ang mga variable - i-multiply sa dx, hatiin sa y:
Pagsamahin natin:
Integral sa y - tabular:
Pagkatapos
Gawin nating potentiate:
Palitan natin ang constant na e C ng C at tanggalin ang modulus sign, na bumababa sa pagpaparami ng pare-pareho. ±1, na isasama namin sa C:
Hakbang 2 Palitan ang pare-parehong C ng function
Ngayon palitan natin ang pare-parehong C ng isang function ng x:
C → u (x)
Ibig sabihin, maghahanap tayo ng solusyon sa orihinal na equation (1)
bilang:
(2)
Paghahanap ng derivative.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.
Ayon sa panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto:
.
Palitan sa orihinal na equation (1)
:
(1)
;
.
Dalawang miyembro ang nabawasan:
;
.
Pagsamahin natin:
.
Palitan sa (2)
:
.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng pangkalahatang solusyon sa isang first-order linear differential equation:
.
Isang halimbawa ng paglutas ng isang first-order linear differential equation sa pamamagitan ng Lagrange method
Lutasin ang equation
Solusyon
Nalulutas namin ang homogenous na equation:
Pinaghiwalay namin ang mga variable:
Multiply sa:
Pagsamahin natin:
Mga integral na tabular:
Gawin nating potentiate:
Palitan natin ang pare-parehong e C ng C at alisin ang mga modulus sign:
Mula rito:
Palitan natin ang pare-parehong C ng isang function ng x:
C → u (x)
Paghahanap ng derivative:
.
Palitan sa orihinal na equation:
;
;
O kaya:
;
.
Pagsamahin natin:
;
Solusyon ng equation:
.
| Pangalan ng parameter | Ibig sabihin |
| Paksa ng artikulo: | Paraan ng Lagrange. |
| Rubric (temang kategorya) | Mathematics |
Ang paghahanap ng isang polynomial ay nangangahulugan ng pagtukoy ng mga halaga ng koepisyent nito 
. Upang gawin ito, gamit ang kondisyon ng interpolation, maaari kang bumuo ng isang sistema ng linear algebraic equation(SLAU).
Ang determinant ng SLAE na ito ay karaniwang tinatawag na Vandermonde determinant. Ang determinant ng Vandermonde ay hindi katumbas ng zero para sa para sa , iyon ay, sa kaso kapag walang tumutugmang mga node sa lookup table. Gayunpaman, maaaring pagtalunan na ang SLAE ay may solusyon at ang solusyon na ito ay natatangi. Ang pagkakaroon ng lutasin ang SLAE at natukoy ang hindi kilalang coefficient maaari kang bumuo ng isang interpolation polynomial.
Ang isang polynomial na nakakatugon sa mga kondisyon ng interpolation, kapag na-interpolated ng pamamaraang Lagrange, ay binuo sa anyo ng isang linear na kumbinasyon ng mga polynomial ng ika-n degree:
Ang mga polynomial ay karaniwang tinatawag basic polynomials. Nang sa gayon Lagrange polynomial natutugunan ang mga kundisyon ng interpolation, napakahalaga na matugunan ng mga polynomial ang batayan nito sumusunod na mga kondisyon:
Para sa 
.
Kung matugunan ang mga kundisyong ito, kung gayon para sa anumang mayroon kami:
Bukod dito, ang katuparan ng mga tinukoy na kondisyon para sa mga batayang polynomial ay nangangahulugan na ang mga kondisyon ng interpolation ay nasiyahan din.
Tukuyin natin ang uri ng mga batayang polynomial batay sa mga paghihigpit na ipinataw sa kanila.
Unang kondisyon: sa .
ikalawang kondisyon: .
Sa wakas, para sa batayang polynomial maaari naming isulat:
Pagkatapos, pinapalitan ang nagresultang expression para sa mga batayang polynomial sa orihinal na polynomial, nakuha namin ang panghuling anyo ng Lagrange polynomial:
Ang isang partikular na anyo ng Lagrange polynomial at ay karaniwang tinatawag na linear interpolation formula:
.
Ang Lagrange polynomial na kinuha ay karaniwang tinatawag na quadratic interpolation formula:
Paraan ng Lagrange. - konsepto at mga uri. Pag-uuri at mga tampok ng kategoryang "Lagrange method." 2017, 2018.
Mga linear na remote control. Kahulugan. DU type i.e. linear na may paggalang sa isang hindi kilalang function at ang derivative nito ay tinatawag na linear. Para sa isang solusyon ng ganitong uri, isasaalang-alang namin ang dalawang pamamaraan: ang Lagrange method at ang Bernoulli method. Isaalang-alang ang isang homogenous differential equation. Ang equation na ito ay may separable variables. Ang solusyon ng equation ay General... .
Kahulugan. Ang isang control system ay tinatawag na homogenous kung ang function ay maaaring katawanin bilang ang relasyon sa pagitan ng mga argumento nito. Halimbawa. F-napatawag ako homogenous fth mga sukat kung Mga Halimbawa: 1) - 1st order ng homogeneity. 2) - 2nd order ng homogeneity. 3) - zero order ng homogeneity (simpleng homogenous... .
May matinding problema pinakamahalaga sa mga kalkulasyon ng ekonomiya. Ito ang pagkalkula, halimbawa, ng pinakamataas na kita, kita, pinakamababang gastos depende sa ilang mga variable: mga mapagkukunan, mga asset ng produksyon, atbp. Ang teorya ng paghahanap ng extrema ng mga function... .
3. 2. 1. DE na may mga separable variable S.R. 3. Sa mga likas na agham, teknolohiya at ekonomiya, ang isa ay madalas na humarap sa mga empirikal na pormula, i.e. mga formula na pinagsama-sama batay sa pagproseso ng istatistikal na data o...
LAGRANGE PARAAN
Isang paraan para sa pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa kabuuan ng mga parisukat, na ipinahiwatig noong 1759 ni J. Lagrange. Hayaan itong ibigay
mula sa mga variable x 0 , x 1 ,..., x p.
na may mga coefficient mula sa field k mga katangian Kinakailangang dalhin ang pormang ito sa kanonikal. isip
gamit ang isang non-degenerate linear transformation ng mga variable. Ang L. m. ay binubuo ng mga sumusunod. Maaari nating ipagpalagay na hindi lahat ng coefficient ng form (1) ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posible ang dalawang kaso.
1) Para sa ilan g, dayagonal Pagkatapos
kung saan ang anyo f 1 (x) ay walang variable x g . 2) Kung lahat 
Pero
yun
kung saan ang anyo f 2 (x) ay hindi naglalaman ng dalawang variable x g At x h . Ang mga form sa ilalim ng square sign sa (4) ay linearly independent. Sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pagbabago sa anyo (3) at (4), ang anyo (1) pagkatapos ng isang may hangganang bilang ng mga hakbang ay nababawasan sa kabuuan ng mga parisukat ng mga linearly independent linear form. Gamit ang mga partial derivatives, ang mga formula (3) at (4) ay maaaring isulat sa anyo
Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Theory of matrices, 2nd ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Mga Lektura sa analytical geometry..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.
Ensiklopedya sa matematika. - M.: Soviet Encyclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Tingnan kung ano ang "LAGRANGE METHOD" sa ibang mga diksyunaryo:
Paraan ng Lagrange- Ang pamamaraang Lagrange ay isang paraan para sa paglutas ng ilang klase ng mga problema sa mathematical programming sa pamamagitan ng paghahanap ng saddle point (x*, λ*) ng Lagrange function, na nakakamit sa pamamagitan ng pagtumbas sa zero ng partial derivatives ng function na ito na may paggalang sa ... ... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika
Paraan ng Lagrange- Isang paraan para sa paglutas ng ilang klase ng mga problema sa mathematical programming sa pamamagitan ng paghahanap ng saddle point (x*, ?*) ng Lagrange function, na nakakamit sa pamamagitan ng equating ang partial derivatives ng function na ito na may kinalaman sa xi at?i sa zero . Tingnan ang Lagrangian. )
