∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b), x 1 Sinusundan nito iyon. Kaya, para sa paraan upang magtagpo ito ay sapat na ∀ x ∈ [ a , b ] |

φ ′ (x) |[ | ]

≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.) Pangkalahatang algorithm para sa sunud-sunod na pagtatantya Kapag inilapat sa pangkalahatang kaso ng mga equation ng operator, ang pamamaraang ito ay tinatawag paraan ng sunud-sunod na approximation o

sa pamamagitan ng simpleng paraan ng pag-ulit[ | ]

. Gayunpaman, ang equation ay maaaring mabago sa isang contraction map na may parehong ugat sa iba't ibang paraan. Nagbibigay ito ng ilang partikular na pamamaraan na may parehong linear at mas mataas na mga rate ng convergence.

Kaugnay ng SLAU

Isaalang-alang ang sistema:

( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(array))\kanan.)

Para dito, ang umuulit na pagkalkula ay magiging ganito: (x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (array))\kanan)^(i+1)=\left((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\kanan )\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left( (\begin(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(array))\right))< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

Ang pamamaraan ay magtatagpo sa linear na bilis kung

‖ a 1 + 1 … a 1 n ⋮ 1 naging ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖

Ang mga double vertical bar ay nagpapahiwatig ng ilang pamantayan ng matrix.[ | ]

Solusyon ng equation f(x)=0 gamit ang Newton's method, initial approximation: x 1 =a.[ | ]

Paraan ni Newton (paraan ng tangent) Isang-dimensional na kaso Pag-optimize ng pagbabago ng orihinal na equation f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) sa isang compressive display

x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng isang pamamaraan na may isang parisukat na rate ng convergence. Para maging pinakaepektibo ang pagmamapa, kinakailangan na sa punto ng susunod na pag-ulit x ∗ (\displaystyle x^(*)) natupad φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Maghahanap tayo ng solusyon sa equation na ito sa form

Gamitin natin ang katotohanang iyon Isang-dimensional na kaso, at makuha namin ang panghuling formula para sa α (x) (\displaystyle \alpha (x)):

Isinasaalang-alang ito, ang compression function ay kukuha ng form:

Pagkatapos ay ang algorithm para sa paghahanap ng isang numerical na solusyon sa equation Isang-dimensional na kaso binabawasan sa isang umuulit na pamamaraan ng pagkalkula:

Palitan natin ang orihinal na equation ng isang katumbas at bumuo ng mga pag-ulit ayon sa panuntunan . Kaya, ang simpleng paraan ng pag-ulit ay isang isang hakbang na proseso ng umuulit. Upang simulan ang prosesong ito, kailangan mong malaman ang paunang pagtatantya. Alamin natin ang mga kondisyon para sa convergence ng pamamaraan at ang pagpili ng paunang approximation.

Ticket#29

Paraan ng Seidel

Ang Seidel method (minsan tinatawag na Gauss-Seidel method) ay isang pagbabago ng simpleng paraan ng pag-ulit, na binubuo sa katotohanan na kapag kinakalkula ang susunod na approximation x (k+1) (tingnan ang mga formula (1.13), (1.14)) nito nakuha na ang mga bahagi x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) ay agad na ginagamit upang kalkulahin ang x i (k+1) .

Sa coordinate notation form, ang Seidel method ay may anyo:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
kung saan ang x (0) ay ilang paunang pagtataya sa solusyon.

Kaya, ang i-th na bahagi ng (k+1)-th approximation ay kinakalkula ng formula

Ang kundisyon para sa pagtatapos ng prosesong umuulit ng Seidel kapag ang katumpakan ε ay nakamit sa isang pinasimpleng anyo ay may anyo:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Ticket#30

Pamamaraan ng pagpasa

Upang malutas ang mga system A x = b na may isang tridiagonal matrix, ang paraan ng sweep ay kadalasang ginagamit, na isang adaptasyon ng pamamaraang Gauss sa kasong ito.

Isulat natin ang sistema ng mga equation

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

sa anyong matrix: A x = b kung saan

A=

Isulat natin ang mga formula ng paraan ng sweep sa pagkakasunud-sunod ng kanilang aplikasyon.

1. Direktang stroke ng paraan ng sweep (pagkalkula ng mga pantulong na dami):

2. Baligtarin ang paraan ng sweep (paghanap ng solusyon):

Ticket#31

Simpleng paraan ng pag-ulit

Ang kakanyahan ng simpleng paraan ng pag-ulit ay ang paglipat mula sa equation

f(x)= 0 (*)

sa katumbas na equation

x=φ(x). (**)

Ang paglipat na ito ay maaaring magawa sa iba't ibang paraan, depende sa uri f(x). Halimbawa, maaari mong ilagay

φ(x) = x+bf(x),(***)

saan b= const, habang ang mga ugat ng orihinal na equation ay hindi magbabago.

Kung ang paunang approximation sa ugat ay kilala x 0, pagkatapos ay ang bagong approximation

x 1=φx(0),

mga. pangkalahatang pamamaraan ng umuulit na proseso:

x k+1=φ(x k).(****)

Ang pinakasimpleng criterion para sa pagtatapos ng proseso

|x k +1 -x k |<ε.

Convergence criterion simpleng paraan ng pag-ulit:

kung malapit sa ugat | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, pagkatapos ay magtatagpo ang mga pag-ulit para sa anumang paunang pagtatantya.

Tuklasin natin ang pagpili ng pare-pareho b mula sa punto ng view ng pagtiyak ng maximum na bilis ng convergence. Alinsunod sa criterion ng convergence, ang pinakamataas na bilis ng convergence ay ibinibigay kapag |φ / (x)| = 0. Kasabay nito, batay sa (***), b = –1/f / (x), at ang formula ng pag-ulit (****) ay papasok x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- mga. sa pormula ng pamamaraan ni Newton. Kaya, ang pamamaraan ni Newton ay isang espesyal na kaso ng simpleng paraan ng pag-ulit, na nagbibigay ng pinakamataas na bilis ng convergence ng lahat ng posibleng opsyon para sa pagpili ng isang function. φ(x).

Ticket#32

Pamamaraan ni Newton

Ang pangunahing ideya ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: ang isang paunang pagtatantya ay tinukoy malapit sa hypothetical na ugat, pagkatapos kung saan ang isang tangent sa pag-andar sa ilalim ng pag-aaral ay itinayo sa punto ng pagtatantya, kung saan matatagpuan ang intersection sa abscissa axis. Ang puntong ito ay kinuha bilang susunod na pagtatantya. At iba pa hanggang sa makamit ang kinakailangang katumpakan.

Hayaan ang isang real-valued function na tinukoy sa isang agwat at naiba-iba dito. Pagkatapos ang formula para sa umuulit na approximation calculus ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:

kung saan ang α ay ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa punto.

Samakatuwid, ang kinakailangang expression para sa ay may anyo:

Ticket#33

Paraan ng gintong ratio
Ang paraan ng ginintuang ratio ay nagpapahintulot sa iyo na alisin ang mga agwat sa pamamagitan ng pagkalkula lamang ng isang halaga ng function sa bawat pag-ulit. Bilang resulta ng dalawang itinuturing na value ng function, tinutukoy ang agwat na dapat gamitin sa hinaharap. Ang agwat na ito ay maglalaman ng isa sa mga naunang punto at ang susunod na punto ay nakalagay nang simetriko dito. Hinahati ng punto ang pagitan sa dalawang bahagi upang ang ratio ng kabuuan sa mas malaking bahagi ay katumbas ng ratio ng mas malaking bahagi sa mas maliit, i.e. katumbas ng tinatawag na "golden ratio".

Ang paghahati ng agwat sa hindi pantay na mga bahagi ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng isang mas epektibong paraan. Kalkulahin natin ang function sa mga dulo ng segment [ a,b] at ilagay a=x 1 , b=x 2. Kalkulahin din natin ang function sa dalawang interior point x 3 , x 4. Ihambing natin ang lahat ng apat na halaga ng function at piliin ang pinakamaliit sa kanila. Hayaan, halimbawa, ang pinakamaliit na maging f(x 3). Malinaw, ang minimum ay dapat nasa isa sa mga segment na katabi nito. Samakatuwid ang segment [ x 4 ,b] ay maaaring itapon at iwanan ang segment.

Nagawa na ang unang hakbang. Sa segment, kailangan mong pumili muli ng dalawang panloob na punto, kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa kanila at sa mga dulo at gawin ang susunod na hakbang. Ngunit sa nakaraang hakbang ng mga kalkulasyon, natagpuan na namin ang function sa mga dulo ng bagong segment at sa isa sa mga panloob na punto nito x 4. Samakatuwid, ito ay sapat na upang pumili ng isa pang punto sa loob x 5 tukuyin ang halaga ng function sa loob nito at gawin ang mga kinakailangang paghahambing. Ito ay apat na beses ang halaga ng pagkalkula na kinakailangan sa bawat hakbang ng proseso. Ano ang pinakamahusay na paraan upang maglagay ng mga puntos? Sa bawat oras na ang natitirang bahagi ay nahahati sa tatlong bahagi at pagkatapos ay isa sa mga panlabas na segment ay itatapon.
Tukuyin natin ang paunang agwat ng kawalan ng katiyakan sa pamamagitan ng D.

Dahil sa pangkalahatang kaso, maaaring itapon ang alinman sa mga segment X 1, X 3 Kapag inilapat sa pangkalahatang kaso ng mga equation ng operator, ang pamamaraang ito ay tinatawag X 4, X 2 pagkatapos ay piliin ang mga puntos X 3 At X 4 upang ang mga haba ng mga segment na ito ay pareho:

x 3 -x 1 =x 4 -x 2.

Pagkatapos itapon, nakakakuha kami ng bagong agwat ng kawalan ng katiyakan sa haba D'.
Ipahiwatig natin ang kaugnayan D/D' may titik φ:

ibig sabihin, itakda natin ang , kung saan ang susunod na agwat ng kawalan ng katiyakan. Pero

katumbas ng haba sa segment na itinapon sa nakaraang yugto, iyon ay

Samakatuwid nakukuha namin ang:

.
Ito ay humahantong sa equation o, katumbas nito
.

Ang positibong ugat ng equation na ito ay nagbibigay

.

Ticket#34

interpolation ng mga function, i.e. Gamit ang isang ibinigay na function, pagbuo ng isa pang (karaniwang mas simple) function na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga ng ibinigay na function sa isang tiyak na bilang ng mga puntos. Bukod dito, ang interpolation ay may parehong praktikal at teoretikal na kahalagahan.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng n algebraic equation na may n hindi alam:

Algorithm para sa simpleng paraan ng pag-ulit:

Tandaan na dito at mula ngayon ang mas mababang index ay tumutukoy sa kaukulang bahagi ng vector ng mga hindi alam, at sa itaas na index ang numero ng pag-ulit (approximation).

Pagkatapos ay nabuo ang isang paikot na proseso ng matematika, na ang bawat cycle ay kumakatawan sa isang pag-ulit. Bilang resulta ng bawat pag-ulit, ang isang bagong halaga ng vector ng mga hindi alam ay nakuha. Upang ayusin ang umuulit na proseso, isinusulat namin ang system (1) sa pinababang anyo. Sa kasong ito, ang mga termino sa pangunahing dayagonal ay na-normalize at nananatili sa kaliwa ng pantay na tanda, at ang iba ay inilipat sa kanang bahagi. Pinababang sistema ng mga equation ay may anyo:

Tandaan na ay hindi kailanman makakamit, ngunit sa bawat kasunod na pag-ulit ang vector ng mga hindi alam ay lumalapit sa eksaktong solusyon.

12. Ang pangunahing formula ng pag-ulit na ginamit sa simpleng paraan ng pag-ulit upang malutas ang isang hindi linear na equation:

13. Pamantayan para sa paghinto ng umuulit na proseso sa simpleng paraan ng pag-ulit para sa paglutas ng isang nonlinear equation:

Ang umuulit na proseso ay nagtatapos kung para sa bawat i-th na bahagi ng vector ng mga hindi alam ang kundisyon para sa pagkamit ng katumpakan ay natutugunan.
Tandaan na eksaktong solusyon sa simpleng paraan ng pag-ulit ay hindi kailanman makakamit, gayunpaman, sa bawat kasunod na pag-ulit ang vector ng mga hindi alam ay papalapit at papalapit sa eksaktong solusyon

14. Pamantayan para sa pagpili ng auxiliary function na F(x) para sa umuulit na segment ng interval:

Kapag kumukuha ng pagsusulit sa matematika sa paglutas ng simpleng paraan ng pag-ulit, dapat munang suriin ang kondisyon ng convergence. Para sa paraan upang mag-converge, kinakailangan at sapat na sa matrix A ang mga ganap na halaga ng lahat ng mga elemento ng dayagonal ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng moduli ng lahat ng iba pang mga elemento sa kaukulang hilera:

Disadvantage ng mga umuulit na pamamaraan Ito ay isang medyo mahigpit na kondisyon ng convergence, na hindi nasiyahan para sa lahat ng mga sistema ng mga equation.

Kung ang kondisyon ng convergence ay natutugunan, pagkatapos ay sa susunod na yugto kinakailangan upang tukuyin ang isang paunang pagtatantya ng vector ng mga hindi alam, na kadalasang pinipili bilang zero vector:

15. Ang pamamaraang Gauss, na ginagamit upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation, ay nagbibigay ng:

Ang pamamaraan ay batay sa pag-convert ng isang matrix sa isang tatsulok na anyo. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.

Ang simpleng paraan ng pag-ulit ay batay sa pagpapalit ng orihinal na equation ng katumbas na equation:

Hayaang malaman ang paunang pagtatantya sa ugat x = x 0. Ang pagpapalit nito sa kanang bahagi ng equation (2.7), makakakuha tayo ng bagong approximation , pagkatapos ay sa katulad na paraan nakukuha natin atbp.:

. (2.8)

Hindi sa ilalim ng lahat ng mga kondisyon ang umuulit na proseso ay nagtatagpo sa ugat ng equation X. Tingnan natin ang prosesong ito nang mas malapitan. Ipinapakita ng Figure 2.6 ang isang graphical na interpretasyon ng isang one-way na convergent at divergent na proseso. Ipinapakita ng Figure 2.7 ang two-way convergent at divergent na mga proseso. Ang isang divergent na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mabilis na pagtaas sa mga halaga ng argumento at pag-andar at ang abnormal na pagwawakas ng kaukulang programa.

Sa pamamagitan ng two-way na proseso, ang pagbibisikleta ay posible, iyon ay, walang katapusang pag-uulit ng parehong function at mga halaga ng argumento. Ang pag-loop ay naghihiwalay sa isang divergent na proseso mula sa isang convergent.

Malinaw mula sa mga graph na para sa parehong isang panig at dalawang panig na proseso, ang convergence sa ugat ay tinutukoy ng slope ng curve malapit sa ugat. Ang mas maliit ang slope, mas mahusay ang convergence. Tulad ng nalalaman, ang tangent ng slope ng isang curve ay katumbas ng derivative ng curve sa isang naibigay na punto.

Samakatuwid, mas maliit ang bilang na malapit sa ugat, mas mabilis ang prosesong nagtatagpo.

Upang ang proseso ng pag-ulit ay maging convergent, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sa kapitbahayan ng ugat:

Ang paglipat mula sa equation (2.1) hanggang sa equation (2.7) ay maaaring isagawa sa iba't ibang paraan depende sa uri ng function. f(x). Sa gayong paglipat, kinakailangan na buuin ang function upang ang kondisyon ng convergence (2.9) ay nasiyahan.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga pangkalahatang algorithm para sa paglipat mula sa equation (2.1) hanggang sa equation (2.7).

I-multiply natin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation (2.1) sa isang arbitrary constant b at idagdag ang hindi alam sa parehong bahagi X. Sa kasong ito, ang mga ugat ng orihinal na equation ay hindi magbabago:

Ipakilala natin ang notasyon at lumipat tayo mula sa kaugnayan (2.10) patungo sa equation (2.8).

Arbitrary na pagpili ng pare-pareho b titiyakin ang katuparan ng kondisyon ng convergence (2.9). Ang criterion para sa pagtatapos ng umuulit na proseso ay magiging kondisyon (2.2). Ang Figure 2.8 ay nagpapakita ng isang graphical na interpretasyon ng paraan ng mga simpleng pag-ulit gamit ang inilarawang paraan ng representasyon (ang mga kaliskis sa kahabaan ng X at Y axes ay magkaiba).

Kung ang isang function ay pinili sa form , kung gayon ang derivative ng function na ito ay . Ang pinakamataas na bilis ng convergence ay nasa , kung gayon at ang formula ng pag-ulit (2.11) ay nagiging formula ni Newton. Kaya, ang pamamaraan ni Newton ay may pinakamataas na antas ng convergence ng lahat ng umuulit na proseso.

Ang pagpapatupad ng software ng simpleng paraan ng pag-ulit ay ginawa sa anyo ng isang subroutine na pamamaraan Iteras(PROGRAMA 2.1).

Ang buong pamamaraan ay halos binubuo ng isang Repeat ... Hanggang sa cycle, ang pagpapatupad ng formula (2.11) na isinasaalang-alang ang kondisyon para sa paghinto ng umuulit na proseso (formula (2.2)).

Ang pamamaraan ay may built-in na proteksyon ng loop sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang ng mga loop gamit ang Niter variable. Sa mga praktikal na klase, kailangan mong tiyakin sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng programa kung paano nakakaapekto ang pagpili ng koepisyent b at paunang approximation sa proseso ng paghahanap para sa ugat. Kapag binabago ang koepisyent b ang kalikasan ng proseso ng pag-ulit para sa function sa ilalim ng pag-aaral ay nagbabago. Ito ay unang nagiging dalawang panig, at pagkatapos ay mga loop (Larawan 2.9). Mga kaliskis ng axis X At Y ay magkaiba. Ang isang mas malaking halaga ng modulus b ay humahantong sa isang divergent na proseso.

Paghahambing ng mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng mga equation

Ang paghahambing ng mga pamamaraan na inilarawan sa itaas para sa numerical na solusyon ng mga equation ay isinasagawa gamit ang isang programa na nagbibigay-daan sa iyo upang obserbahan ang proseso ng paghahanap ng ugat sa graphical na anyo sa screen ng PC. Ang mga pamamaraang kasama sa programang ito at ang pagpapatupad ng mga inihambing na pamamaraan ay ibinibigay sa ibaba (PROGRAM 2.1).

kanin. Ang 2.3-2.5, 2.8, 2.9 ay mga kopya ng PC screen sa dulo ng proseso ng pag-ulit.

Sa lahat ng kaso, ang quadratic equation x 2 -x-6 = 0 ay kinuha bilang function sa ilalim ng pag-aaral, pagkakaroon ng analytical solution x 1 = -2 at x 2 = 3. Ang error at mga paunang approximation ay ipinapalagay na pantay para sa lahat ng mga pamamaraan. Mga resulta ng paghahanap sa ugat x= 3, na ipinakita sa mga numero, ay ang mga sumusunod. Ang pamamaraan ng dichotomy ay nagtatagpo ng pinakamabagal - 22 na pag-ulit, ang pinakamabilis ay ang simpleng paraan ng pag-ulit na may b = -0.2 - 5 na pag-ulit. Walang kontradiksyon dito sa pahayag na ang pamamaraan ni Newton ang pinakamabilis.

Derivative ng function na pinag-aaralan sa punto X= 3 ay katumbas ng -0.2, iyon ay, ang pagkalkula sa kasong ito ay isinasagawa nang praktikal sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton na may halaga ng derivative sa punto ng ugat ng equation. Kapag binabago ang koepisyent b bumababa ang rate ng convergence at ang unti-unting convergence na proseso ay unang napupunta sa mga cycle at pagkatapos ay nagiging divergent.

Mga pamamaraang umuulit

Sa mga umuulit na pamamaraan, ang sumusunod na tatlong yugto ay ipinapalagay: pagtatayo para sa pagkalkula ng sunud-sunod na mga pagtatantya ng isang umuulit na proseso na nagtatagpo sa isang eksaktong solusyon (i.e., pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga vector na nagtatagpo sa isang eksaktong solusyon ; pagtukoy ng convergence criterion para sa prosesong ito, na nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang sandali kung kailan nakamit ang kinakailangang katumpakan; pag-aaral ng bilis ng convergence at optimization ng umuulit na proseso upang mabawasan ang bilang ng mga operasyon na kinakailangan upang makamit ang kinakailangang katumpakan.

Ginagawang posible ng mga paulit-ulit na pamamaraan na makakuha ng solusyon na may paunang natukoy na katumpakan kung ang convergence ng pamamaraan ay napatunayan. Ang mga iterative na pamamaraan ay hindi nagbibigay ng isang mahigpit na tumpak na solusyon, dahil ito ay nakamit bilang limitasyon ng isang sequence ng mga vector. Ang direktang paraan, sa pangkalahatan, ay nagbibigay ng eksaktong solusyon, ngunit dahil sa mga error sa pag-ikot na nangyayari sa lahat ng mga computer, hindi ito makakamit, at isang priori Ito ay kahit na mahirap upang masuri kung magkano ang solusyon na ito ay naiiba mula sa eksaktong isa. Kaugnay ng nasa itaas, ang mga umuulit na pamamaraan ay minsan ay nagpapahintulot sa isa na makakuha ng isang solusyon na may higit na katumpakan kaysa sa mga direkta.

Isaalang-alang natin ang ilang mga umuulit na pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation.

Simpleng paraan ng pag-ulit

Sa simpleng paraan ng pag-ulit, sistema (2.1) ng mga linear algebraic equation Ax = b bumababa sa isang katumbas na sistema ng anyo

Ang solusyon sa system (2.9) at, dahil dito, ang solusyon sa orihinal na system (2.1) ay hinahangad bilang limitasyon ng isang sequence ng mga vectors sa:

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

kung saan ang paunang pagtatantya para sa vector ng solusyon.

Ang sapat na kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit ay tinutukoy ng sumusunod na theorem.

THEOREM 1. Kung ang anumang norm ng matrix , na naaayon sa norm ng vector na isinasaalang-alang, ay mas mababa sa isa (), kung gayon ang sequence sa simpleng paraan ng pag-ulit ay nagtatagpo sa eksaktong solusyon ng system (2.9) sa bilis na hindi bababa sa. kaysa sa bilis ng geometric progression na may denominator para sa anumang paunang pagtataya.

PATUNAY. Upang patunayan ang teorama, ipinakilala namin ang isang error. Ang pagbabawas ng pagkakapantay-pantay (2.10) mula sa kaugnayan, makakakuha tayo ng . Bumaling sa mga pamantayan, mayroon tayo

Tandaan na ang hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang expression ay ang kondisyon para sa pagkakapare-pareho ng pamantayan ng matrix at ang vector. Kung , pagkatapos ay para sa anumang vector ng paunang error (o kung hindi man, para sa anumang paunang vector) ang pamantayan ng error ay may posibilidad na zero na hindi mas mabagal kaysa sa isang geometric na pag-unlad na may denominator .

Kung pipiliin natin ang pamantayan bilang pamantayan ng matris Kapag inilapat sa pangkalahatang kaso ng mga equation ng operator, ang pamamaraang ito ay tinatawag pagkatapos ay upang malutas ang isyu ng convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit, maaari mong gamitin ang corollary mula sa Theorem 1: ang simpleng paraan ng pag-ulit ay nagtatagpo kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa matrix:

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Ang pinakasimple at pinakakaraniwang paraan upang magdala ng isang sistema Ax=b sa form (2.9), na maginhawa para sa mga pag-ulit, ay ang pumili ng mga elemento ng dayagonal, sa bawat isa i-th ang equation ay nalutas na may kinalaman sa i-th hindi alam:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

at ang simpleng paraan ng pag-ulit ay isusulat bilang

Ang matrix pagkatapos ay mukhang

.

Ang isang elemento ng matrix na ito ay maaaring isulat bilang nasaan ang simbolo ng Kronecker. Sa kasong ito, ang sapat na kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit ay maaaring mabalangkas bilang kondisyon para sa pamamayani ng mga elemento ng dayagonal ng matrix. A, na sumusunod mula sa (2.11) at ang notasyon ng matrix, i.e.

i = 1, 2, …, n.

Muli nating bigyang-diin na ang mga itinuturing na anyo ng kondisyon ng convergence para sa paraan ng pag-ulit ay sapat lamang. Ang kanilang katuparan ay ginagarantiyahan ang convergence ng pamamaraan, ngunit ang kanilang kabiguan sa pangkalahatang kaso ay hindi nangangahulugan na ang simpleng paraan ng pag-ulit ay nag-iiba. Ang isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit ay ang kundisyon na ang bahagi ng integer (kung saan ang pinakamataas na modulo eigenvalue ng matrix A); ang kundisyong ito ay bihirang ginagamit sa pagsasanay sa pag-compute.

Lumipat tayo sa tanong ng pagtatantya ng error sa solusyon. Dalawang ugnayan para sa pagtatantya ng error sa solusyon ay interesado: ang una ay nag-uugnay sa pamantayan ng error sa pamantayan ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang sunud-sunod na pagtatantya at maaaring magamit upang tantyahin ang error lamang sa proseso ng mga kalkulasyon; ang pangalawa ay nag-uugnay sa pamantayan ng error sa mga pamantayan ng paunang approximation vector at ang vector ng libreng termino sa system (2.9). Ang mga kinakailangang relasyon ay ibinibigay ng sumusunod na dalawang theorems.

THEOREM 2. Kung ang anumang pamantayan ng matrix ay naaayon sa pamantayan ng vector na isinasaalang-alang X

. (2.13)

PATUNAY. Ibawas natin ang pagkakapantay-pantay (2.10) sa pagkakapantay-pantay:

Ang pagbabawas ng approximation value mula sa magkabilang panig, binabago namin ang kaugnayang ito sa form

Ang pagpasa sa mga pamantayan, nakukuha natin

Dahil ayon sa mga kondisyon ng teorama, kung gayon

Gamit ang kaugnayan kung saan sinusundan iyon nakuha namin sa wakas:

TEOREM 3. Kung ang anumang pamantayan ng matrix ay naaayon sa pamantayan ng vector na isinasaalang-alang X, ay mas mababa sa isa (), pagkatapos ay magaganap ang sumusunod na pagtatantya ng error:

Gumawa tayo ng dalawang komento. Una, ang kaugnayan (2.13) ay maaaring isulat sa anyo

na nagpapahintulot sa amin na makakuha ng pagtatantya ng error batay sa mga resulta ng unang dalawang pag-ulit. Una, kapag ginagamit ang paraan ng pag-ulit, minsan ay inirerekomenda na gamitin ang pamantayan ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagtatantya bilang isang pagtatantya ng error sa pagkalkula. Mula sa mga relasyon para sa pagkakamali ay sumusunod na sa pangkalahatang kaso ito ay hindi totoo. Kung ang pamantayan ay malapit sa pagkakaisa, kung gayon ang koepisyent sa ay maaaring medyo malaki.

Ang mga pagkakamali ng sunud-sunod na pag-ulit ay nauugnay sa kaugnayan

mga. linearly nagbabago ang error sa panahon ng hakbang. Sinasabi na ang pamamaraan ay may linear convergence o unang order ng convergence. Gayunpaman, ang bilang ng mga pag-ulit na kinakailangan upang makamit ang kinakailangang katumpakan ay nakasalalay sa halaga at paunang pagtatantya.

Kaya, gamit ang simpleng paraan ng pag-ulit bilang isang halimbawa, ang tatlong yugto ng mga pamamaraan ng umuulit ay ipinapakita: pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga vector na nabuo ng formula (1.10); pagtukoy ng convergence condition gamit ang Theorem 1 at pagtantya ng rate ng convergence gamit ang Theorems 2 at 3.

Paraan ng Seidel

Ang simpleng paraan ng pag-ulit ay hindi gumagamit ng tila malinaw na posibilidad ng pagpapabuti ng convergence ng umuulit na proseso - ang agarang pagpapakilala ng mga bagong kalkuladong bahagi ng vector sa pagkalkula. Ang tampok na ito ay ginagamit sa umuulit na pamamaraan ng Seidel. Ang umuulit na proseso para sa system (2.9) ay natutupad ayon sa kaugnayan

i = 1, 2, …, n (2.14)

o para sa system (1.1)

Nang walang mga detalye, napapansin namin na ang Seidel iteration method ay kadalasang humahantong sa mas mabilis na convergence kaysa sa simpleng paraan ng iteration. Gayunpaman, maaaring may mga kaso kung saan ang paraan ng pag-ulit ng Seidel ay nagtatagpo nang mas mabagal kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit, at kahit na ang mga kaso kung saan ang simpleng paraan ng pag-iiba ay nagtatagpo, ngunit ang paraan ng pag-ulit ng Seidel ay nag-iiba.

Tandaan na Ang pamamaraan ni Seidel ay nagtatagpo kung matrix A positibong tiyak at simetriko.

Ipakita natin na ang paraan ng pag-ulit ng Seidel ay katumbas ng ilang simpleng paraan ng pag-ulit na may espesyal na itinayong matrix at vector na may kaugnayan (2.10). Upang gawin ito, isinulat namin ang system (2.14) sa anyo kung saan ang F ay ang itaas na tatsulok na matrix ng mga coefficient ng matrix, at Isinulat namin muli ang system sa anyo kung saan ang E ay ang identity matrix. Matrix (E-N)- mas mababang triangular matrix na may mga elemento ng dayagonal na katumbas ng isa. Dahil dito, ang determinant ng matrix na ito ay nonzero (katumbas ng isa) at mayroon itong inverse matrix. Pagkatapos

Kung ihahambing ang kaugnayang ito sa solusyon (2.10), maaari nating tapusin na ang Seidel iteration method ay talagang katumbas ng simpleng paraan ng pag-ulit sa kahulugan na upang maitaguyod ang kundisyon at pamantayan para sa convergence ng Seidel iteration method, maaari nating gamitin ang mga theorems ibinigay para sa simpleng paraan ng pag-ulit, kung ilalagay natin Ang proseso ng pag-ulit para sa system (2.12) ay nakasulat din sa isang mas pangkalahatang anyo, ibig sabihin