Palitan natin ang orihinal na equation ng isang katumbas at bumuo ng mga pag-ulit ayon sa panuntunan 
. Kaya, ang simpleng paraan ng pag-ulit ay isang isang hakbang na proseso ng umuulit. Upang simulan ang prosesong ito, kailangan mong malaman ang paunang pagtatantya. Alamin natin ang mga kondisyon para sa convergence ng pamamaraan at ang pagpili ng paunang approximation.
Ticket#29
Paraan ng Seidel
Ang Seidel method (minsan tinatawag na Gauss-Seidel method) ay isang pagbabago ng simpleng paraan ng pag-ulit, na binubuo sa katotohanan na kapag kinakalkula ang susunod na approximation x (k+1) (tingnan ang mga formula (1.13), (1.14)) nito nakuha na ang mga bahagi x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) ay agad na ginagamit upang kalkulahin ang x i (k+1) .
Sa coordinate notation form, ang Seidel method ay may anyo:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
kung saan ang x (0) ay ilang paunang pagtataya sa solusyon.
Kaya, ang i-th na bahagi ng (k+1)-th approximation ay kinakalkula ng formula
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Ang kundisyon para sa pagtatapos ng prosesong umuulit ng Seidel kapag ang katumpakan ε ay nakamit sa isang pinasimpleng anyo ay may anyo:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Ticket#30
Pamamaraan ng pagpasa
Upang malutas ang mga system A x = b na may tridiagonal matrix, ang paraan ng sweep ay kadalasang ginagamit, na isang adaptasyon ng pamamaraang Gauss sa kasong ito.
Isulat natin ang sistema ng mga equation
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
sa anyong matrix: A x = b kung saan
A= 
Isulat natin ang mga formula ng paraan ng sweep sa pagkakasunud-sunod ng kanilang aplikasyon.
1. Direktang stroke ng paraan ng sweep (pagkalkula ng mga pantulong na dami):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Baliktarin ang stroke paraan ng sweep (paghanap ng solusyon):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Ticket No. 31
Simpleng paraan ng pag-ulit
Ang kakanyahan ng pamamaraan mga simpleng pag-ulit ay binubuo sa paglipat mula sa equation
f(x)= 0 (*)
sa katumbas na equation
x=φ(x). (**)
Ang paglipat na ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan, depende sa uri f(x). Halimbawa, maaari mong ilagay
φ(x) = x+bf(x),(***)
saan b= const, at ang mga ugat orihinal na equation hindi magbabago.
Kung ang paunang approximation sa ugat ay kilala x 0, pagkatapos ay ang bagong approximation
x 1=φx(0),
mga. pangkalahatang pamamaraan ng umuulit na proseso:
x k+1=φ(x k).(****)
Ang pinakasimpleng pamantayan para sa pagtatapos ng proseso
|x k +1 -x k |<ε.
Convergence criterion simpleng paraan ng pag-ulit:
kung malapit sa ugat | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, pagkatapos ay magtatagpo ang mga pag-ulit para sa anumang paunang pagtatantya.
Tuklasin natin ang pagpili ng pare-pareho b mula sa punto ng view ng pagtiyak ng maximum na bilis ng convergence. Alinsunod sa criterion ng convergence, ang pinakamataas na bilis ng convergence ay ibinibigay kapag |φ / (x)| = 0. Kasabay nito, batay sa (***), b = –1/f / (x), at ang formula ng pag-ulit (****) ay papasok x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- mga. sa pormula ng pamamaraan ni Newton. Kaya, ang pamamaraan ni Newton ay isang espesyal na kaso ng simpleng paraan ng pag-ulit, na nagbibigay ng pinakamataas na bilis ng convergence ng lahat ng posibleng opsyon para sa pagpili ng isang function. φ(x).
Ticket#32
Pamamaraan ni Newton
Ang pangunahing ideya ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: ang isang paunang pagtatantya ay tinukoy malapit sa hypothetical na ugat, pagkatapos kung saan ang isang tangent sa pag-andar sa ilalim ng pag-aaral ay itinayo sa punto ng pagtatantya, kung saan matatagpuan ang intersection sa abscissa axis. Ang puntong ito ay kinuha bilang susunod na pagtatantya. At iba pa hanggang sa makamit ang kinakailangang katumpakan.
Hayaan ang isang real-valued na function na tinukoy sa isang pagitan at naiba-iba dito. Pagkatapos ang formula para sa umuulit na approximation calculus ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:
kung saan ang α ay ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa punto.
Samakatuwid, ang kinakailangang expression para sa ay may anyo:
Ticket#33
Paraan ng gintong ratio
Ang paraan ng ginintuang ratio ay nagpapahintulot sa iyo na alisin ang mga agwat sa pamamagitan ng pagkalkula lamang ng isang halaga ng function sa bawat pag-ulit. Bilang resulta ng dalawang isinasaalang-alang na mga halaga ng function, ang agwat ay tinutukoy na dapat gamitin sa hinaharap. Ang agwat na ito ay maglalaman ng isa sa mga naunang punto at ang susunod na punto ay nakalagay nang simetriko dito. Hinahati ng punto ang pagitan sa dalawang bahagi upang ang ratio ng kabuuan sa mas malaking bahagi ay katumbas ng ratio ng mas malaking bahagi sa mas maliit, i.e. katumbas ng tinatawag na "golden ratio".
Ang paghahati ng agwat sa hindi pantay na mga bahagi ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng isang mas epektibong paraan. Kalkulahin natin ang function sa mga dulo ng segment [ a,b] at ilagay a=x 1 , b=x 2. Kalkulahin din natin ang function sa dalawang interior point x 3 , x 4. Ihambing natin ang lahat ng apat na halaga ng function at piliin ang pinakamaliit sa kanila. Hayaan, halimbawa, ang pinakamaliit na maging f(x 3). Malinaw, ang minimum ay dapat nasa isa sa mga segment na katabi nito. Samakatuwid ang segment [ x 4 ,b] ay maaaring itapon at iwanan ang segment. 
Ang unang hakbang ay ginawa. Sa segment, kailangan mong pumili muli ng dalawang panloob na punto, kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa kanila at sa mga dulo at gawin ang susunod na hakbang. Ngunit sa nakaraang hakbang ng mga kalkulasyon, natagpuan na namin ang function sa mga dulo ng bagong segment at sa isa sa mga panloob na punto nito x 4. Samakatuwid, ito ay sapat na upang pumili ng isa pang punto sa loob x 5 tukuyin ang halaga ng function sa loob nito at gawin ang mga kinakailangang paghahambing. Pinapalawak nito ang dami ng kinakailangang pagkalkula sa bawat hakbang ng proseso. Ano ang pinakamahusay na paraan upang maglagay ng mga puntos? Sa bawat oras na ang natitirang bahagi ay nahahati sa tatlong bahagi at pagkatapos ay isa sa mga panlabas na segment ay itatapon.
Tukuyin natin ang paunang agwat ng kawalan ng katiyakan sa pamamagitan ng D.
Dahil sa pangkalahatang kaso, maaaring itapon ang alinman sa mga segment X 1, X 3 o X 4, X 2 pagkatapos ay piliin ang mga puntos X 3 At X 4 upang ang mga haba ng mga segment na ito ay pareho:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Pagkatapos itapon, nakakakuha kami ng bagong agwat ng kawalan ng katiyakan sa haba D'.
Ipahiwatig natin ang kaugnayan D/D' titik φ:
ibig sabihin, itakda natin ang , kung saan ang susunod na agwat ng kawalan ng katiyakan. Pero
katumbas ng haba sa segment na itinapon sa nakaraang yugto, iyon ay
Samakatuwid nakukuha namin ang:
.
Ito ay humahantong sa equation o, katumbas nito 
.
Ang positibong ugat ng equation na ito ay nagbibigay
.
Ticket#34
interpolation ng mga function, i.e. Gamit ang isang ibinigay na function, pagbuo ng isa pang (karaniwang mas simple) function na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga ng ibinigay na function sa isang tiyak na bilang ng mga puntos. Bukod dito, ang interpolation ay may parehong praktikal at teoretikal na kahalagahan.
Ang simpleng paraan ng pag-ulit, na tinatawag ding sunud-sunod na paraan ng pagtatantya, ay isang mathematical algorithm para sa paghahanap ng halaga ng isang hindi kilalang dami sa pamamagitan ng unti-unting pagpino nito. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay, tulad ng iminumungkahi ng pangalan, unti-unting pagpapahayag ng mga kasunod mula sa paunang pagtatantya, higit pa at mas pinong mga resulta ang nakuha. Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang halaga ng isang variable sa isang naibigay na function, gayundin kapag nilulutas ang mga sistema ng mga equation, parehong linear at nonlinear.
Isaalang-alang natin kung paano ipinapatupad ang pamamaraang ito kapag nilulutas ang mga SLAE. Ang simpleng paraan ng pag-ulit ay may sumusunod na algorithm:
1. Sinusuri ang katuparan ng kondisyon ng convergence sa orihinal na matrix. Convergence theorem: kung ang orihinal na matrix ng system ay may dayagonal na dominasyon (i.e., sa bawat hilera, ang mga elemento ng pangunahing dayagonal ay dapat na mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa kabuuan ng mga elemento ng pangalawang diagonal sa ganap na halaga), kung gayon ang simpleng convergent ang paraan ng pag-ulit.
2. Ang matrix ng orihinal na sistema ay hindi palaging may dayagonal na pamamayani. Sa ganitong mga kaso, maaaring ma-convert ang system. Ang mga equation na nakakatugon sa kondisyon ng convergence ay naiwang hindi nagagalaw, at ang mga linear na kumbinasyon ay ginagawa sa mga hindi, i.e. multiply, subtract, magdagdag ng mga equation sa bawat isa hanggang sa makuha ang ninanais na resulta.
Kung sa nagresultang sistema ay may mga hindi maginhawang coefficient sa pangunahing dayagonal, kung gayon ang mga tuntunin ng form na may i * x i ay idinagdag sa magkabilang panig ng naturang equation, ang mga palatandaan kung saan ay dapat na tumutugma sa mga palatandaan ng mga elemento ng dayagonal.
3. Pagbabago ng resultang sistema sa normal na anyo:
x - =β - +α*x -
Magagawa ito sa maraming paraan, halimbawa, tulad nito: mula sa unang equation, ipahayag ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi alam, mula sa pangalawa - x 2, mula sa pangatlo - x 3, atbp. Sa kasong ito ginagamit namin ang mga formula:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
Dapat mong tiyaking muli na ang resultang sistema ng normal na anyo ay nakakatugon sa kondisyon ng convergence:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, habang i= 1,2,...n
4. Nagsisimula kaming mag-aplay, sa katunayan, ang paraan ng sunud-sunod na pagtatantya mismo.
Ang x (0) ay ang paunang pagtatantya, ipapahayag namin ang x (1) sa pamamagitan nito, pagkatapos ay ipahayag namin ang x (2) hanggang x (1). Ang pangkalahatang formula sa matrix form ay ganito ang hitsura:
x (n) = β - +α*x (n-1)
Kinakalkula namin hanggang sa makamit namin ang kinakailangang katumpakan:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
Kaya, isagawa natin ang simpleng paraan ng pag-ulit. Halimbawa:
Lutasin ang SLAE:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 na may katumpakan ε=10 -3
Tingnan natin kung ang mga elemento ng dayagonal ay nangingibabaw sa modulus.
Nakikita natin na ang ikatlong equation lamang ang nakakatugon sa kondisyon ng convergence. Binabago namin ang una at pangalawa, at idinagdag ang pangalawa sa unang equation:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
Mula sa pangatlo ay ibawas natin ang una:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
Na-convert namin ang orihinal na sistema sa isang katumbas:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
Ngayon, dalhin natin ang system sa normal nitong anyo:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Sinusuri namin ang convergence ng umuulit na proseso:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, ibig sabihin. ang kundisyon ay natutugunan.
0,3947
Paunang hula x(0) = 0.4762
0,8511
Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa normal na equation ng anyo, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga:
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
Ang pagpapalit ng mga bagong halaga, makakakuha tayo ng:
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
Nagpapatuloy kami sa mga kalkulasyon hanggang sa lumapit kami sa mga halaga na nakakatugon sa ibinigay na kondisyon.
x(7) = 0.441091
Suriin natin ang kawastuhan ng mga resultang nakuha:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Ang mga resulta na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa orihinal na mga equation ay ganap na nakakatugon sa mga kondisyon ng equation.
Tulad ng nakikita natin, ang simpleng paraan ng pag-ulit ay nagbibigay ng medyo tumpak na mga resulta, ngunit upang malutas ang equation na ito kailangan naming gumugol ng maraming oras at gumawa ng masalimuot na mga kalkulasyon.
Hayaang magbigay ng isang sistema ng n algebraic equation na may n hindi alam:
Algorithm para sa simpleng paraan ng pag-ulit:
Tandaan na dito at sa mga sumusunod, ang subscript ay tumutukoy sa kaukulang bahagi ng vector ng mga hindi alam, at ang superscript ay tumutukoy sa numero ng pag-ulit (approximation).
Pagkatapos ay nabuo ang isang paikot na proseso ng matematika, na ang bawat cycle ay kumakatawan sa isang pag-ulit. Bilang resulta ng bawat pag-ulit, ang isang bagong halaga ng vector ng mga hindi alam ay nakuha. Upang ayusin ang umuulit na proseso, isinusulat namin ang system (1) sa pinababang anyo. Sa kasong ito, ang mga termino sa pangunahing dayagonal ay na-normalize at nananatili sa kaliwa ng pantay na tanda, at ang iba ay inilipat sa kanang bahagi. Pinababang sistema ng mga equation ay may anyo:
Tandaan na ay hindi kailanman makakamit, ngunit sa bawat kasunod na pag-ulit ang vector ng mga hindi alam ay lumalapit sa eksaktong solusyon.
12. Ang pangunahing formula ng pag-ulit na ginamit sa simpleng paraan ng pag-ulit upang malutas ang isang hindi linear na equation:
13. Pamantayan para sa paghinto ng umuulit na proseso sa simpleng paraan ng pag-ulit para sa paglutas ng isang hindi linear na equation:
Ang umuulit na proseso ay nagtatapos kung para sa bawat i-th na bahagi ng vector ng mga hindi alam ang kundisyon para sa pagkamit ng katumpakan ay natutugunan.
Tandaan na eksaktong solusyon sa simpleng paraan ng pag-ulit ay hindi kailanman makakamit, gayunpaman, sa bawat kasunod na pag-ulit ang vector ng mga hindi alam ay papalapit at papalapit sa eksaktong solusyon
14. Pamantayan para sa pagpili ng auxiliary function na F(x) para sa umuulit na segment ng interval:
Kapag kumukuha ng pagsusulit sa matematika sa paglutas ng simpleng paraan ng pag-ulit, dapat munang suriin ang kondisyon ng convergence. Para sa paraan upang mag-converge, kinakailangan at sapat na sa matrix A ang mga ganap na halaga ng lahat ng mga elemento ng dayagonal ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng moduli ng lahat ng iba pang mga elemento sa kaukulang hilera:
Kahinaan ng umuulit na pamamaraan Ito ay isang medyo mahigpit na kondisyon ng convergence, na hindi nasiyahan para sa lahat ng mga sistema ng mga equation.
Kung ang kondisyon ng convergence ay natutugunan, pagkatapos ay sa susunod na yugto kinakailangan upang tukuyin ang isang paunang pagtatantya ng vector ng mga hindi alam, na kadalasang pinipili bilang zero vector:
15. Ang pamamaraang Gauss, na ginagamit upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation, ay nagbibigay ng:
Ang pamamaraan ay batay sa pag-convert ng isang matrix sa isang tatsulok na anyo. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.
Ang simpleng paraan ng pag-ulit ay batay sa pagpapalit ng orihinal na equation ng katumbas na equation:
Hayaang malaman ang paunang approximation sa ugat x = x 0. Ang pagpapalit nito sa kanang bahagi ng equation (2.7), makakakuha tayo ng bagong approximation 
, pagkatapos ay sa katulad na paraan nakukuha namin 
atbp.:
. (2.8)
 |
Hindi sa ilalim ng lahat ng mga kondisyon ang umuulit na proseso ay nagtatagpo sa ugat ng equation X. Tingnan natin ang prosesong ito nang mas malapitan. Ipinapakita ng Figure 2.6 ang isang graphical na interpretasyon ng isang one-way na convergent at divergent na proseso. Ipinapakita ng Figure 2.7 ang two-way convergent at divergent na mga proseso. Ang isang divergent na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mabilis na pagtaas sa mga halaga ng argumento at pag-andar at ang abnormal na pagwawakas ng kaukulang programa.
 |
Sa pamamagitan ng dalawang-daan na proseso, ang pagbibisikleta ay posible, iyon ay, walang katapusang pag-uulit ng parehong function at mga halaga ng argumento. Ang pag-loop ay naghihiwalay sa isang divergent na proseso mula sa isang convergent.
Malinaw mula sa mga graph na para sa parehong isang panig at dalawang panig na proseso, ang convergence sa ugat ay tinutukoy ng slope ng curve malapit sa ugat. Ang mas maliit ang slope, mas mahusay ang convergence. Tulad ng nalalaman, ang tangent ng slope ng isang curve ay katumbas ng derivative ng curve sa isang naibigay na punto.
Samakatuwid, mas maliit ang bilang na malapit sa ugat, mas mabilis ang prosesong nagtatagpo.
Upang ang proseso ng pag-ulit ay maging convergent, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sa paligid ng ugat:
Ang paglipat mula sa equation (2.1) hanggang sa equation (2.7) ay maaaring isagawa sa iba't ibang paraan depende sa uri ng function. f(x). Sa gayong paglipat, kinakailangan na buuin ang function upang ang kondisyon ng convergence (2.9) ay nasiyahan.
Isaalang-alang natin ang isa sa mga pangkalahatang algorithm para sa paglipat mula sa equation (2.1) hanggang sa equation (2.7).
I-multiply natin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation (2.1) sa isang arbitrary constant b at idagdag ang hindi alam sa parehong bahagi X. Sa kasong ito, ang mga ugat ng orihinal na equation ay hindi magbabago:
Ipakilala natin ang notasyon 
at lumipat tayo mula sa kaugnayan (2.10) patungo sa equation (2.8).
 |
Arbitrary na pagpili ng pare-pareho b titiyakin ang katuparan ng kondisyon ng convergence (2.9). Ang criterion para sa pagtatapos ng umuulit na proseso ay magiging kondisyon (2.2). Ang Figure 2.8 ay nagpapakita ng isang graphical na interpretasyon ng paraan ng mga simpleng pag-ulit gamit ang inilarawang paraan ng representasyon (ang mga kaliskis sa kahabaan ng X at Y axes ay magkaiba).
Kung ang isang function ay pinili sa form , kung gayon ang derivative ng function na ito ay . Ang pinakamataas na bilis ng convergence ay nasa , kung gayon 
at ang formula ng pag-ulit (2.11) ay napupunta sa formula ni Newton. Kaya, ang pamamaraan ni Newton ay may pinakamataas na antas ng convergence ng lahat ng umuulit na proseso.
Ang pagpapatupad ng software ng simpleng paraan ng pag-ulit ay ginawa sa anyo ng isang subroutine na pamamaraan Iteras(PROGRAMA 2.1).
Ang buong pamamaraan ay halos binubuo ng isang Repeat ... Hanggang sa cycle, ang pagpapatupad ng formula (2.11) na isinasaalang-alang ang kondisyon para sa paghinto ng umuulit na proseso (formula (2.2)).
Ang pamamaraan ay may built-in na proteksyon ng loop sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang ng mga loop gamit ang Niter variable. Sa mga praktikal na klase, kailangan mong tiyakin sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng programa kung paano nakakaapekto ang pagpili ng koepisyent b at paunang approximation sa proseso ng paghahanap para sa ugat. Kapag binabago ang koepisyent b ang kalikasan ng proseso ng pag-ulit para sa function sa ilalim ng pag-aaral ay nagbabago. Ito ay unang nagiging dalawang panig, at pagkatapos ay mga loop (Larawan 2.9). Mga kaliskis ng axis X At Y ay magkaiba. Ang isang mas malaking halaga ng modulus b ay humahantong sa isang divergent na proseso.
Paghahambing ng mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng mga equation
Ang paghahambing ng mga pamamaraan na inilarawan sa itaas para sa numerical na solusyon ng mga equation ay isinasagawa gamit ang isang programa na nagbibigay-daan sa iyo upang obserbahan ang proseso ng paghahanap ng ugat sa graphical na anyo sa screen ng PC. Ang mga pamamaraang kasama sa programang ito at ang pagpapatupad ng mga inihambing na pamamaraan ay ibinibigay sa ibaba (PROGRAM 2.1).
kanin. Ang 2.3-2.5, 2.8, 2.9 ay mga kopya ng PC screen sa dulo ng proseso ng pag-ulit.
Sa lahat ng kaso, ang quadratic equation x 2 -x-6 = 0 ay kinuha bilang function sa ilalim ng pag-aaral, pagkakaroon ng analytical solution x 1 = -2 at x 2 = 3. Ang error at mga paunang approximation ay ipinapalagay na pantay para sa lahat ng mga pamamaraan. Mga resulta ng paghahanap sa ugat x= 3, na ipinakita sa mga numero, ay ang mga sumusunod. Ang pamamaraan ng dichotomy ay nagtatagpo ng pinakamabagal - 22 na pag-ulit, ang pinakamabilis ay ang simpleng paraan ng pag-ulit na may b = -0.2 - 5 na pag-ulit. Walang kontradiksyon dito sa pahayag na ang pamamaraan ni Newton ang pinakamabilis.
Derivative ng function na pinag-aaralan sa punto X= 3 ay katumbas ng -0.2, iyon ay, ang pagkalkula sa kasong ito ay isinasagawa nang praktikal sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton na may halaga ng derivative sa punto ng ugat ng equation. Kapag binabago ang koepisyent b bumababa ang rate ng convergence at ang unti-unting convergence na proseso ay unang napupunta sa mga cycle at pagkatapos ay nagiging divergent.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa (2.1), ang sistema (5.1) ay maaaring katawanin sa sumusunod na katumbas na anyo:
kung saan ang g(x) ay isang iterative vector function ng vector argument. Ang mga sistema ng mga nonlinear na equation ay madalas na direktang lumilitaw sa anyo (5.2) (halimbawa, sa mga numerical na scheme para sa mga differential equation sa kasong ito, walang karagdagang pagsisikap ang kinakailangan upang baguhin ang mga equation (5.1) sa system (5.2). Kung ipagpapatuloy natin ang pagkakatulad sa simpleng paraan ng pag-ulit para sa isang equation, kung gayon ang proseso ng pag-ulit batay sa equation (5.2) ay maaaring isaayos tulad ng sumusunod:
- 1) ilang paunang vector x ((,) e 5 o (x 0, A)(pinapalagay na x* e 5„(x 0, A));
- 2) ang mga kasunod na approximation ay kinakalkula gamit ang formula
pagkatapos ay ang proseso ng pag-ulit ay nakumpleto at
Tulad ng dati, kailangan nating malaman sa ilalim ng kung anong mga kondisyon
Talakayin natin ang isyung ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng simpleng pagsusuri. Una naming ipinakilala ang error ng ith approximation bilang e(^ = x(i) - x*. Pagkatapos ay maaari naming isulat
Ipalit natin ang mga ekspresyong ito sa (5.3) at palawakin ang g(x* + e (/i)) sa mga kapangyarihan e(k> sa kapitbahayan ng x* bilang isang function ng vector argument (ipagpalagay na ang lahat ng mga partial derivatives ng function na g(x) ay tuluy-tuloy). Isinasaalang-alang din na ang x* = g(x*), nakukuha natin
o sa anyo ng matrix
B = (bnm)= I (x*)1 - iteration matrix.
Kung ang rate ng error ||e®|| ay sapat na maliit, kung gayon ang pangalawang termino sa kanang bahagi ng expression (5.4) ay maaaring mapabayaan, at pagkatapos ay kasabay ito ng expression (2.16). Dahil dito, ang kondisyon para sa convergence ng umuulit na proseso (5.3) malapit sa eksaktong solusyon ay inilarawan ng Theorem 3.1.
Convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit. Kailangan at sapat na kondisyon para sa convergence ng umuulit na proseso (5.3): 
at sapat na kondisyon:
Ang mga kundisyong ito ay may teoretikal sa halip na praktikal na kahalagahan, dahil hindi natin alam ang x'. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa (1.11), nakakakuha tayo ng kundisyon na maaaring maging kapaki-pakinabang. Hayaan ang x* e 5 o (x 0, A) at ang Jacobian matrix para sa function na g(x)
umiiral para sa lahat ng x e S n (x 0 , a) (tandaan na C(x*) = B). Kung ang mga elemento ng matrix C(x) ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay
para sa lahat ng x e 5"(x 0, A), pagkatapos ay ang sapat na kondisyon (5.5) ay nasiyahan din para sa anumang matrix norm.
Halimbawa 5.1 (simpleng paraan ng pag-ulit) Isaalang-alang ang sumusunod na sistema mga equation:
Ang isang posibilidad na kumatawan sa sistemang ito sa katumbas na anyo (5.2) ay upang ipahayag X mula sa unang equation at x 2 mula sa pangalawang equation: 
Pagkatapos ang scheme ng pag-ulit ay may form
Ang eksaktong solusyon ay x* e 5„((2, 2), 1). Piliin natin ang inisyal na vector x (0) = (2,2) at ? p = CT 5. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa talahanayan. 5.1.
Talahanayan 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Ang mga resultang ito ay nagpapakita na ang convergence ay medyo mabagal. Upang makakuha ng quantitative na katangian ng convergence, nagsasagawa kami ng isang simpleng pagsusuri, na isinasaalang-alang ang x (1/) bilang isang eksaktong solusyon. Ang Jacobian matrix C(x) para sa aming iterative function ay may form
pagkatapos ay ang matrix B ay tinatantya bilang
Madaling suriin na walang kundisyon (5.5) o kundisyon (5.6) ang natutugunan, ngunit nagaganap ang convergence, dahil 5(B) ~ 0.8.
Kadalasan ay posible na pabilisin ang convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit sa pamamagitan ng bahagyang pagbabago sa proseso ng pagkalkula. Ang ideya ng pagbabagong ito ay napaka-simple: upang makalkula n ika-vektor na bahagi x (A+1) maaaring gamitin hindi lamang (t = n,..., N), ngunit pati na rin ang nakalkula na mga bahagi ng susunod na approximation vector x k^ (/= 1,p - 1). Kaya, ang binagong simpleng paraan ng pag-ulit ay maaaring katawanin bilang sumusunod na scheme ng pag-ulit:
Kung ang mga pagtatantya na nabuo ng umuulit na proseso (5.3) ay nagtatagpo, kung gayon ang umuulit na proseso (5.8) ay may posibilidad na magsalubong nang mas mabilis dahil sa mas kumpletong paggamit ng impormasyon.
Halimbawa 5.2 (binagong simpleng paraan ng pag-ulit) Ang binagong simpleng pag-ulit para sa system (5.7) ay kinakatawan bilang
Tulad ng dati, pipiliin natin ang inisyal na vector x (0) = (2, 2) at g r = = 10 -5. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa talahanayan. 5.2.
Talahanayan 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Ang malaking pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon ay humantong sa isang paghati sa bilang ng mga pag-ulit, at samakatuwid ay isang paghahati ng bilang ng mga operasyon.
