Ang mga equation sa pangkalahatan, ang mga linear algebraic equation at ang kanilang mga sistema, pati na rin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa matematika, parehong teoretikal at inilapat.
Ito ay dahil sa katotohanan na ang karamihan sa mga problemang pisikal, pang-ekonomiya, teknikal at maging sa pedagogical ay maaaring ilarawan at malutas gamit ang iba't ibang mga equation at kanilang mga sistema. SA Kamakailan lamang ay nakakuha ng partikular na katanyagan sa mga mananaliksik, siyentipiko at practitioner pagmomodelo ng matematika sa halos lahat ng mga paksa, na ipinaliwanag sa pamamagitan ng malinaw na mga pakinabang nito sa iba pang kilala at napatunayang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga bagay ng iba't ibang kalikasan, sa partikular, ang tinatawag na kumplikadong mga sistema. Mayroong maraming iba't ibang mga kahulugan ng modelo ng matematika na ibinigay ng mga siyentipiko sa magkaibang panahon, ngunit sa aming opinyon, ang pinakamatagumpay ay ang sumusunod na pahayag. Matematikal na modelo- ito ay isang ideya ipinahayag ng equation. Kaya, ang kakayahang bumuo at malutas ang mga equation at ang kanilang mga sistema ay isang mahalagang katangian ng isang modernong espesyalista.
Upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation Ang pinakakaraniwang ginagamit na pamamaraan ay ang Cramer, Jordan-Gauss at ang matrix method.
Ang matrix solution method ay isang paraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation na may nonzero determinant gamit ang inverse matrix.
Kung isusulat natin ang mga coefficient para sa hindi kilalang dami xi sa matrix A, kolektahin ang hindi kilalang mga dami sa column X ng vector, at ang mga libreng termino sa column B ng vector, kung gayon ang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring isulat sa anyo ng sumusunod sa matrix equation A · X = B, na may natatanging solusyon lamang kapag ang determinant ng matrix A ay hindi katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang solusyon sa sistema ng mga equation ay matatagpuan sa sumusunod na paraan X = A-1 · B, Saan A -1 - baligtad na matris.
Ang pamamaraan ng solusyon sa matrix ay ang mga sumusunod.
Ibigay ang sistema linear na equation Sa n hindi alam:
Maaari itong muling isulat sa anyong matrix: AX = B, Saan A- ang pangunahing matrix ng system, B At X- mga hanay ng mga libreng termino at solusyon ng system, ayon sa pagkakabanggit:
Paramihin natin ito equation ng matrix iniwan sa A-1 - matrix kabaligtaran ng matrix A: A -1 (AX) = A -1 B
kasi A -1 A = E, nakukuha namin X=A -1 B. kanang bahagi ng equation na ito ay magbibigay ng hanay ng mga solusyon sa orihinal na sistema. Kondisyon ng pagkakalapat ang pamamaraang ito(pati na rin ang pagkakaroon ng solusyon sa pangkalahatan homogenous na sistema linear equation na may bilang ng mga equation na katumbas ng bilang ng mga hindi alam) ay ang non-degeneracy ng matrix A. Kailangan at sapat na kondisyon Nangangahulugan ito na ang determinant ng matrix ay hindi katumbas ng zero A:det A≠ 0.
Para sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation, iyon ay, kapag ang vector B = 0 , sa katunayan ang kabaligtaran na tuntunin: ang sistema AX = 0 ay may di-trivial (iyon ay, non-zero) na solusyon lamang kung det A= 0. Ang ganitong koneksyon sa pagitan ng mga solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear equation ay tinatawag na Fredholm alternative.
Halimbawa mga solusyon sa isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear algebraic equation.
Siguraduhin natin na ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam ng sistema ng linear algebraic equation, ay hindi katumbas ng zero.
Ang susunod na hakbang ay ang pagkalkula algebraic na mga karagdagan para sa mga elemento ng isang matrix na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam. Kakailanganin ang mga ito upang mahanap ang inverse matrix.
(kung minsan ang pamamaraang ito ay tinatawag din pamamaraan ng matrix o ang inverse matrix method) ay nangangailangan ng paunang familiarization sa naturang konsepto bilang matrix form ng notation ng SLAE. Ang paraan ng inverse matrix ay inilaan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang determinant ng system matrix ay naiiba sa zero. Naturally, ipinapalagay nito na ang matrix ng system ay parisukat (ang konsepto ng isang determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice). Ang kakanyahan ng inverse matrix na pamamaraan ay maaaring ipahayag sa tatlong puntos:
- Isulat ang tatlong matrice: ang system matrix $A$, ang matrix ng mga hindi alam na $X$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$.
- Hanapin ang inverse matrix na $A^(-1)$.
- Gamit ang pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$, kumuha ng solusyon sa ibinigay na SLAE.
Ang anumang SLAE ay maaaring isulat sa matrix form bilang $A\cdot X=B$, kung saan ang $A$ ay ang matrix ng system, ang $B$ ay ang matrix ng mga libreng termino, ang $X$ ay ang matrix ng mga hindi alam. Hayaang umiral ang matrix na $A^(-1)$. I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na $A\cdot X=B$ sa matrix na $A^(-1)$ sa kaliwa:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Dahil ang $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ay ang identity matrix), ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay nagiging:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Dahil $E\cdot X=X$, kung gayon:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Halimbawa Blg. 1
Lutasin ang SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ gamit ang inverse matrix.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Hanapin natin ang inverse matrix sa system matrix, i.e. Kalkulahin natin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa No. 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$
Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa equality $X=A^(-1)\cdot B$. Pagkatapos ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Kaya, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( array )\kanan)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayong: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Sagot: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Halimbawa Blg. 2
Lutasin ang SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ gamit ang inverse matrix method.
Isulat natin ang matrix ng system na $A$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$ at ang matrix ng mga hindi alam na $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Ngayon ay ang turn upang mahanap ang inverse matrix sa system matrix, i.e. hanapin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa No. 3 sa pahina na nakatuon sa paghahanap ng mga inverse matrice, natagpuan na ang inverse matrix. Gamitin natin ang natapos na resulta at isulat ang $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 at 37\end(array)\kanan). $$
Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$, at pagkatapos ay magsagawa ng matrix multiplication sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Kaya, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay na $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayong: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Isaalang-alang natin sistema ng mga linear algebraic equation(SLAU) medyo n hindi kilala x 1 , x 2 , ..., x n :
Ang sistemang ito sa isang "collapsed" na anyo ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Alinsunod sa panuntunan ng pagpaparami ng matrix, ang itinuturing na sistema ng mga linear na equation ay maaaring isulat sa anyo ng matris Ax=b, Saan
,
,.
Matrix A, ang mga column na kung saan ay ang mga coefficient para sa kaukulang mga hindi alam, at ang mga hilera ay ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa kaukulang equation ay tinatawag matrix ng system. Column matrix b, ang mga elemento nito ay ang kanang bahagi ng mga equation ng system, ay tinatawag na right-hand side matrix o simpleng kanang bahagi ng system. Column matrix x , na ang mga elemento ay ang hindi kilalang hindi alam, ay tinatawag solusyon sa sistema.
Isang sistema ng mga linear algebraic equation na nakasulat sa anyo Ax=b, ay equation ng matrix.
Kung ang system matrix hindi nabubulok, pagkatapos ay mayroon itong kabaligtaran na matrix at pagkatapos ay ang solusyon sa system ay Ax=b ay ibinigay ng formula:
x=A -1 b.
Halimbawa Lutasin ang sistema 
pamamaraan ng matrix.
Solusyon hanapin natin ang inverse matrix para sa coefficient matrix ng system
Kalkulahin natin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang linya:
Dahil ang Δ ≠ 0 , Iyon A -1 umiiral.
Nahanap nang tama ang inverse matrix.
Maghanap tayo ng solusyon sa sistema 
Kaya naman, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pagsusuri: 
7. Ang Kronecker-Capelli theorem sa compatibility ng isang sistema ng linear algebraic equation.
Sistema ng mga linear na equation ay may anyo:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Dito ang a i j at b i (i = ; j = ) ay ibinibigay, at ang x j ay hindi kilalang tunay na mga numero. Gamit ang konsepto ng produkto ng mga matrice, maaari nating muling isulat ang sistema (5.1) sa anyo:
kung saan ang A = (a i j) ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ng system (5.1), na tinatawag na matrix ng system, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ay mga column vector na binubuo ayon sa pagkakasunod-sunod ng mga hindi alam na x j at mga libreng termino b i .
Nag-order ng koleksyon n ang mga tunay na numero (c 1 , c 2 ,..., c n) ay tinatawag solusyon sa sistema(5.1), kung bilang resulta ng pagpapalit ng mga numerong ito sa halip na ang mga katumbas na variable x 1, x 2,..., x n, ang bawat equation ng system ay nagiging arithmetic identity; sa madaling salita, kung mayroong isang vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tulad na AC B.
System (5.1) ay tinatawag pinagsamang, o nalulusaw, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang sistema ay tinatawag hindi magkatugma, o hindi malulutas, kung wala itong mga solusyon.
,
na nabuo sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang hanay ng mga libreng termino sa kanang bahagi ng matrix A ay tinatawag pinahabang matrix ng system.
Ang tanong ng compatibility ng system (5.1) ay malulutas ng sumusunod na theorem.
Kronecker-Capelli theorem . Ang isang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at lamang kung ang mga ranggo ng mga matrice A atA ay nagtutugma, i.e. r(A) = r(A) = r.
Para sa set M ng mga solusyon ng system (5.1) mayroong tatlong mga posibilidad:
1) M = (sa kasong ito ang sistema ay hindi pare-pareho);
2) M ay binubuo ng isang elemento, i.e. ang sistema ay may natatanging solusyon (sa kasong ito ang sistema ay tinatawag na tiyak);
3) M ay binubuo ng higit sa isang elemento (pagkatapos ay tinawag ang system hindi sigurado). Sa ikatlong kaso, ang system (5.1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Ang sistema ay may natatanging solusyon lamang kung r(A) = n. Sa kasong ito, ang bilang ng mga equation ay hindi bababa sa bilang ng mga hindi alam (mn); kung m>n, kung gayon m-n equation ay mga kahihinatnan ng iba. Kung 0 Upang malutas ang isang di-makatwirang sistema ng mga linear na equation, kailangan mong malutas ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam - ang tinatawag na Mga sistema ng uri ng cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Ang mga system (5.3) ay nalutas sa isa sa mga sumusunod na paraan: 1) ang Gauss method, o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam; 2) ayon sa mga formula ni Cramer; 3) pamamaraan ng matrix. Halimbawa 2.12. Galugarin ang sistema ng mga equation at lutasin ito kung ito ay pare-pareho: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solusyon. Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system:
Kalkulahin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system. Malinaw na, halimbawa, ang pangalawang-order na menor sa kaliwang sulok sa itaas = 7 0; ang mga third-order na menor de edad na naglalaman nito ay katumbas ng zero: Dahil dito, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2, i.e. r(A) = 2. Upang kalkulahin ang ranggo ng pinalawig na matrix A, isaalang-alang ang karatig na menor nangangahulugan ito na ang ranggo ng pinalawig na matrix r(A) = 3. Dahil r(A) r(A), ang sistema ay hindi pare-pareho. Paksa 2. MGA SISTEMA NG LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS. Pangunahing konsepto. Kahulugan 1. Sistema m linear equation na may n Ang unknowns ay isang sistema ng anyo: saan at mga numero. Kahulugan 2. Ang solusyon sa system (I) ay isang hanay ng mga hindi alam kung saan ang bawat equation ng system na ito ay nagiging pagkakakilanlan. Kahulugan 3. System (I) ay tinatawag magkadugtong, kung mayroon itong kahit isang solusyon at hindi magkasanib, kung wala itong mga solusyon. Ang pinagsamang sistema ay tinatawag tiyak, kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi sigurado kung hindi. Kahulugan 4. Equation ng form tinawag sero, at ang equation ay nasa anyo tinawag hindi magkatugma. Malinaw, ang isang sistema ng mga equation na naglalaman ng isang hindi magkatugma na equation ay hindi pare-pareho. Kahulugan 5. Dalawang sistema ng linear equation ang tinatawag katumbas, kung ang bawat solusyon ng isang sistema ay nagsisilbing solusyon sa isa pa at, sa kabaligtaran, ang bawat solusyon ng pangalawang sistema ay isang solusyon sa una. Matrix na representasyon ng isang sistema ng mga linear na equation. Isaalang-alang natin ang sistema (I) (tingnan ang §1). Tukuyin natin: Coefficient matrix para sa mga hindi alam Matrix - haligi ng mga libreng termino Matrix – haligi ng mga hindi alam Kahulugan 1. Ang matrix ay tinatawag pangunahing matrix ng system(I), at ang matrix ay ang pinalawig na matrix ng system (I). Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga matrice, ang sistema (I) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay ng matrix: Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng mga matrice ( tingnan ang kahulugan 3 § 5 kabanata 1) ay maaaring i-factor: Pagkakapantay-pantay (2)
tinawag matrix notation ng system (I). Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang pamamaraan ni Cramer. Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n, ibig sabihin. ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang pangunahing matrix ng system ay hindi isahan, i.e. . Pagkatapos ang system (I) mula sa §1 ay may natatanging solusyon kung saan Δ = det A tinatawag na pangunahing determinant ng sistema(Ako), Δ i ay nakuha mula sa determinant Δ sa pamamagitan ng pagpapalit i ika column sa isang column ng mga libreng miyembro ng system (I). Halimbawa: Lutasin ang system gamit ang paraan ng Cramer: Sa pamamagitan ng mga formula (3)
Kinakalkula namin ang mga determinant ng system: Upang makuha ang determinant, pinalitan namin ang unang column sa determinant ng column ng mga libreng termino; pinapalitan ang 2nd column sa determinant na may column ng mga libreng termino, makukuha natin; sa katulad na paraan, pinapalitan ang ika-3 column sa determinant na may column ng mga libreng termino, nakukuha namin . Solusyon ng system: Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang isang inverse matrix. Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n at ang pangunahing matrix ng system ay hindi isahan. Isulat natin ang system (I) sa anyong matrix ( tingnan ang §2): kasi matris A non-singular, pagkatapos ay mayroon itong kabaligtaran na matrix ( tingnan ang Theorem 1 §6 ng Kabanata 1). Paramihin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (2)
sa matrix, kung gayon Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang inverse matrix. Mula sa pagkakapantay-pantay (3)
meron kami Lutasin ang system gamit ang inverse matrix Tukuyin natin Sa halimbawa (§ 3) kinakalkula namin ang determinant, samakatuwid, ang matrix A may inverse matrix. Pagkatapos ay may bisa (4)
, ibig sabihin. Hanapin natin ang matrix ( tingnan ang §6 kabanata 1) Pamamaraan ng Gauss. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation: Kinakailangang hanapin ang lahat ng solusyon ng system (I) o i-verify na hindi pare-pareho ang system. Kahulugan 1.Tawagin natin ang elementarya na pagbabago ng sistema(I) alinman sa tatlong aksyon: 1) pagtawid sa zero equation; 2) pagdaragdag sa magkabilang panig ng equation ng mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng numero l; 3) pagpapalit ng mga termino sa mga equation ng system upang ang mga hindi alam na may parehong mga numero sa lahat ng mga equation ay sumasakop sa parehong mga lugar, i.e. kung, halimbawa, sa 1st equation binago natin ang 2nd at 3rd terms, kung gayon ang parehong dapat gawin sa lahat ng equation ng system. Ang pamamaraan ng Gauss ay binubuo sa katotohanan na ang sistema (I) sa tulong ng mga pagbabagong elementarya ay nabawasan sa isang katumbas na sistema, ang solusyon na kung saan ay matatagpuan nang direkta o ang unsolvability nito ay itinatag. Gaya ng inilarawan sa §2, ang system (I) ay natatanging tinutukoy ng pinalawig na matrix nito at anumang elementarya na pagbabago ng system (I) ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng pinalawig na matrix: Ang pagbabagong-anyo 1) ay tumutugma sa pagtanggal ng zero na hilera sa matrix, ang pagbabagong-anyo 2) ay katumbas ng pagdaragdag ng isa pang hilera sa kaukulang hilera ng matrix, na pinarami ng numero l, pagbabagong-anyo 3) ay katumbas ng muling pagsasaayos ng mga haligi sa matrix. Madaling makita na, sa kabaligtaran, ang bawat elementarya na pagbabago ng matrix ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng sistema (I). Dahil sa nabanggit, sa halip na mga operasyon na may system (I), gagana kami sa pinalawig na matrix ng system na ito. Sa matrix, ang 1st column ay binubuo ng mga coefficient para sa x 1, 2nd column - mula sa coefficients para sa x 2 atbp. Kung ang mga haligi ay muling inayos, dapat itong isaalang-alang na ang kundisyong ito ay nilabag. Halimbawa, kung papalitan natin ang 1st at 2nd column, ngayon ang 1st column ay maglalaman ng mga coefficient para sa x 2, at sa 2nd column - ang mga coefficient para sa x 1. Lutasin natin ang system (I) gamit ang Gaussian method. 1. I-cross out ang lahat ng zero row sa matrix, kung mayroon man (i.e., cross out ang lahat ng zero equation sa system (I). 2. Suriin natin kung sa mga hilera ng matrix ay mayroong isang hilera kung saan ang lahat ng mga elemento maliban sa huli ay katumbas ng zero (tawagin natin ang gayong hilera na hindi pare-pareho). Malinaw, ang gayong linya ay tumutugma sa isang hindi pantay na equation sa system (I), samakatuwid, ang system (I) ay walang mga solusyon at dito nagtatapos ang proseso. 3. Hayaang ang matrix ay hindi maglaman ng hindi magkatugma na mga hilera (ang system (I) ay hindi naglalaman ng hindi magkatugma na mga equation). Kung a 11 =0, pagkatapos ay makikita natin sa 1st row ang ilang elemento (maliban sa huling isa) maliban sa zero at muling ayusin ang mga column upang sa 1st row ay walang zero sa 1st place. Ipagpalagay na natin ngayon na (i.e., ipapalit natin ang mga kaukulang termino sa mga equation ng system (I)). 4. I-multiply ang 1st line at idagdag ang resulta sa 2nd line, pagkatapos ay i-multiply ang 1st line at idagdag ang resulta sa 3rd line, atbp. Malinaw, ang prosesong ito ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 1 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st. Sa bagong matrix nakakakuha tayo ng mga zero sa 1st column sa ilalim ng elemento isang 11: 5. I-cross out natin ang lahat ng zero row sa matrix, kung mayroon man, at suriin kung mayroong hindi pantay-pantay na row (kung mayroon man, inconsistent ang system at doon nagtatapos ang solusyon). Tingnan natin kung magkakaroon isang 22 / =0, kung oo, makikita natin sa ika-2 hilera ang isang elemento maliban sa zero at muling ayusin ang mga hanay upang . Susunod, i-multiply ang mga elemento ng 2nd row sa pamamagitan ng Ang mga aksyon na ginawa ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 2 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st at 2nd. Dahil ang bilang ng mga hilera ay may hangganan, samakatuwid pagkatapos ng isang may hangganan na bilang ng mga hakbang ay makukuha natin na ang system ay hindi pare-pareho, o napupunta tayo sa isang step matrix ( tingnan ang kahulugan 2 §7 kabanata 1) : Isulat natin ang sistema ng mga equation na naaayon sa matrix . Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (I) Mula sa huling equation na ipinapahayag namin; palitan sa nakaraang equation, hanapin, atbp., hanggang makuha natin ang . Tandaan 1. Kaya, kapag nilulutas ang system (I) gamit ang Gaussian method, nakarating tayo sa isa sa mga sumusunod na kaso. 1. Ang sistema (I) ay hindi pare-pareho. 2. Ang System (I) ay may natatanging solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam (). 3. Ang System (I) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam (). Samakatuwid ang sumusunod na teorama ay humahawak. Teorama. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring hindi pare-pareho, may natatanging solusyon, o may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mga halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method o patunayan ang hindi pagkakapare-pareho nito: b) a) Isulat muli natin ang ibinigay na sistema sa anyo: Pinalitan namin ang 1st at 2nd equation ng orihinal na system upang pasimplehin ang mga kalkulasyon (sa halip na mga fraction, gagana lang kami sa mga integer gamit ang muling pagsasaayos na ito). Gumawa tayo ng pinahabang matrix: Walang mga null na linya; walang mga linyang hindi magkatugma, ; Huwag nating isama ang 1st unknown sa lahat ng equation ng system maliban sa 1st. Upang gawin ito, i-multiply ang mga elemento ng 1st row ng matrix sa pamamagitan ng "-2" at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang elemento ng 2nd row, na katumbas ng multiply ng 1st equation sa "-2" at idagdag ito sa 2nd equation. Pagkatapos ay i-multiply namin ang mga elemento ng 1st line sa pamamagitan ng "-3" at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang elemento ng ikatlong linya, i.e. I-multiply natin ang 2nd equation ng ibinigay na system sa "-3" at idagdag ito sa 3rd equation. Nakukuha namin Ang matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation). - (tingnan ang kahulugan 3§7 ng Kabanata 1). Ang inverse matrix method ay isang espesyal na kaso equation ng matrix Lutasin ang system gamit ang matrix method Solusyon: Sinusulat namin ang sistema sa anyo ng matrix Nahanap namin ang solusyon ng system gamit ang formula (tingnan ang huling formula). Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula: Una, tingnan natin ang determinant: Dito pinalawak ang determinant sa unang linya. Pansin! Kung, kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema gamit ang paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi kilalang paraan (Gaussian method). Ngayon kailangan nating kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa matrix ng mga menor de edad Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang bilang ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang bilang ng column kung saan matatagpuan ang elemento: Sa panahon ng solusyon, mas mainam na ilarawan ang pagkalkula ng mga menor de edad nang detalyado, kahit na may ilang karanasan maaari kang masanay sa pagkalkula sa kanila ng mga error nang pasalita. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga menor de edad ay kalkulahin ay ganap na hindi mahalaga; Posibleng kalkulahin ang mga menor de edad sa pamamagitan ng mga hanay (ito ay mas maginhawa). kaya: – matrix ng algebraic na mga karagdagan. – transposed matrix ng mga algebraic na karagdagan. Uulitin ko, tinalakay namin ang mga hakbang na isinagawa nang detalyado sa aralin. Paano mahahanap ang kabaligtaran ng isang matrix? Ngayon isinusulat namin ang kabaligtaran na matrix: Sa anumang pagkakataon ay hindi natin ito dapat ipasok sa matrix, ito ay seryosong magpapalubha sa karagdagang mga kalkulasyon. Ang paghahati ay kailangang maisagawa kung ang lahat ng mga numero sa matrix ay mahahati ng 60 nang walang natitira. Ngunit sa kasong ito ito ay lubhang kinakailangan upang magdagdag ng isang minus sa matrix sa kabaligtaran, ito ay gawing simple ang karagdagang mga kalkulasyon. Ang natitira na lang ay ang magsagawa ng matrix multiplication. Maaari mong malaman kung paano i-multiply ang mga matrice sa klase. Mga aksyon na may mga matrice. Sa pamamagitan ng paraan, eksakto ang parehong halimbawa ay nasuri doon. Tandaan na ang paghahati sa pamamagitan ng 60 ay tapos na huli sa lahat. Sagot: Halimbawa 12 Lutasin ang system gamit ang inverse matrix. Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (isang sample ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin). Ang pinaka-unibersal na paraan upang malutas ang sistema ay paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam (pamamaraang Gaussian). Hindi gaanong madaling ipaliwanag ang algorithm nang malinaw, ngunit sinubukan ko! Nais kong tagumpay ka! Mga sagot: Halimbawa 3:
Halimbawa 6:
Halimbawa 8:
,
. Maaari mong tingnan o i-download ang isang sample na solusyon para sa halimbawang ito (link sa ibaba). Mga halimbawa 10, 12: Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang araling ito ay ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear na equation sa pangkalahatan, kung sa tingin mo ay tulad ng isang tsarera, pagkatapos ay inirerekumenda kong magsimula sa mga pangunahing kaalaman sa pahina Susunod, ito ay kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin. Ang Gaussian method ay madali! Bakit? Ang sikat na German mathematician na si Johann Carl Friedrich Gauss, noong nabubuhay pa siya, ay tumanggap ng pagkilala bilang pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, isang henyo, at maging ang palayaw na "Hari ng Mathematics." At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga sucker ang nakakakuha ng pera, kundi pati na rin ang mga henyo - ang larawan ni Gauss ay nasa 10 Deutschmark banknote (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay nakangiti pa rin nang misteryoso sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo. Ang pamamaraan ng Gauss ay simple dahil SAPAT NA ANG KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL para makabisado ito. Dapat marunong kang magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang mga guro ay madalas na isinasaalang-alang ang paraan ng sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi alam sa mga elective sa matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit hinahanap ng mga mag-aaral ang pamamaraang Gaussian na pinakamahirap. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong pag-usapan ang algorithm ng pamamaraan sa isang naa-access na form. Una, i-systematize natin ang kaunting kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring: 1) Magkaroon ng natatanging solusyon. Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at unibersal na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin, Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. At ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam Anyway hahantong tayo sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang isang artikulo ay nakatuon sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana nang pareho sa lahat ng tatlong mga kaso. Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation? Ang unang hakbang ay isulat pinahabang system matrix: Sanggunian:
Inirerekomenda kong tandaan momga tuntunin
linear algebra.System Matrix
ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito ang system matrix:
.
Pinalawak na System Matrix
– ito ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng termino, sa kasong ito:
. Para sa kaiklian, alinman sa mga matrice ay maaaring tawaging isang matrix. Matapos isulat ang pinahabang sistema ng matrix, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya. Ang mga sumusunod na pagbabagong elementarya ay umiiral: 1) Mga string matrice maaaring muling ayusin sa ilang lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong walang sakit na muling ayusin ang una at pangalawang hilera: 2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, dapat mong tanggalin Ang lahat ng mga row na ito ay mula sa matrix maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix 3) Kung ang isang zero na hilera ay lilitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, dapat din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan lahat ng mga zero. 4) Ang matrix row ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya sa -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: 5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa isang hilera ng isang matrix maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Tingnan natin ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko ang pagbabago nang detalyado. I-multiply ang unang linya sa –2: Sa pagsasagawa, siyempre, hindi nila ito isinulat nang detalyado, ngunit isulat ito nang maikli: "Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang linya: " “Unang column. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang isa sa itaas sa –2: , at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (–2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: “Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas, pinaparami ko ang -1 sa -2: . Idinagdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: " “At ang ikatlong column. Sa tuktok pinarami ko ang -5 sa -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: –7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: Mangyaring maingat na maunawaan ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, kung gayon ang Gaussian na pamamaraan ay halos nasa iyong bulsa. Ngunit, siyempre, gagawin pa rin natin ang pagbabagong ito. Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation ! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung bibigyan ka ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinibigay "sa kanilang sarili." Halimbawa, sa "klasikal" mga operasyon na may mga matrice Sa anumang pagkakataon dapat mong muling ayusin ang anumang bagay sa loob ng mga matrice! Balik tayo sa ating sistema. Ito ay halos nalutas na. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, bawasan ito sa stepped view: (1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Nga pala, bakit natin i-multiply ang unang linya sa –2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya. (2) Hatiin ang pangalawang linya ng 3. Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya–
bawasan ang matrix sa stepwise form: Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation: Ngayon ang system ay kailangang "makawala" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba hanggang sa itaas, ang prosesong ito ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian. Sa mas mababang equation mayroon na tayong handa na resulta: . Isaalang-alang natin ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito: Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang pamamaraang Gaussian ay nangangailangan ng paglutas ng isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam. Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method: Isulat natin ang pinahabang matrix ng system: Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa panahon ng solusyon: Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero: Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na. Nakaayos ang unit sa kaliwang sulok sa itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito: Nakukuha namin ang mga zero gamit ang isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa –2: (–2, –4, 2, –18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa isip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya, na pinarami na ng –2: Isinulat namin ang resulta sa pangalawang linya: Haharapin namin ang ikatlong linya sa parehong paraan (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa –3: (–3, –6, 3, –27). AT sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng –3: Isinulat namin ang resulta sa ikatlong linya: Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa nang pasalita at nakasulat sa isang hakbang: Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "pagpasok" ng mga resulta pare-pareho at kadalasan ay ganito: una nating isusulat muli ang unang linya, at dahan-dahang ibinuga ang ating sarili - KONSISTENTO at MAPANSIN: Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin; hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya sa pamamagitan ng -2, dahil mas maliit ang mga numero, mas simple ang solusyon: Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, kailangan mong makakuha ng isa pang zero dito: Para dito sa ikatlong linya idinaragdag namin ang pangalawang linya na pinarami ng –2: Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3. Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na sistema ng mga linear na equation: Ngayon ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba hanggang sa itaas. Sa ikatlong equation mayroon na tayong handa na resulta: Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "zet" ay kilala na, kaya: At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Igrek" at "zet" ay kilala, ito ay isang bagay lamang ng maliliit na bagay: Sagot: Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation posible at kinakailangan upang suriin ang solusyon na natagpuan, sa kabutihang palad, ito ay madali at mabilis. Halimbawa 2 Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, isang sample ng huling disenyo at isang sagot sa pagtatapos ng aralin. Dapat tandaan na ang iyong progreso ng desisyon maaaring hindi tumutugma sa proseso ng aking desisyon, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho! Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo: Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Dapat meron tayo doon. Ang problema ay walang mga yunit sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idinaragdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago. Ngayon ang kaliwang itaas ay -1, na angkop sa amin. Maaaring magsagawa ng karagdagang paggalaw ang sinumang gustong makakuha ng +1: i-multiply ang unang linya sa –1 (palitan ang sign nito). (2) Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya. (3) Ang unang linya ay pinarami ng –1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat ito sa pangalawang lugar, upang sa pangalawang "hakbang" ay mayroon kaming kinakailangang yunit. (4) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 2. (5) Ang ikatlong linya ay hinati ng 3. Ang isang masamang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas bihira, isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng tulad ng , sa ibaba, at, nang naaayon, Sinisingil namin ang kabaligtaran, sa disenyo ng mga halimbawa ay madalas nilang hindi muling isinusulat ang system mismo, ngunit ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang reverse move, ipinaaalala ko sa iyo, ay gumagana, mula sa ibaba hanggang sa itaas: Sagot: Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa aking solusyon. Sa huling bahagi ay titingnan natin ang ilang mga tampok ng Gaussian algorithm. Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang mayroong iba pang mga numero doon? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming dalawa. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at ang isa ay dalawa at anim. At ang dalawa sa kaliwang itaas ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo: idagdag ang unang linya na pinarami ng –1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3. Sa ganitong paraan makukuha natin ang mga kinakailangang zero sa unang column. O isa pang karaniwang halimbawa: Ang pamamaraan ni Gauss ay pangkalahatan, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan upang malutas ang mga system gamit ang iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal sa unang pagkakataon - mayroon silang isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gaussian, dapat mong "ipasok ang iyong mga ngipin" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring magkaroon ng pagkalito at mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya tungkol dito. Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana.... Samakatuwid, para sa lahat na gustong malutas nang mag-isa ang isang mas kumplikadong halimbawa: Halimbawa 5 Lutasin ang isang sistema ng 4 na linear equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method. Ang ganitong gawain ay hindi bihira sa pagsasanay. Sa tingin ko kahit na ang isang teapot na lubusang nag-aral sa pahinang ito ay mauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Sa panimula, ang lahat ay pareho - mayroon lamang higit pang mga aksyon. Ang mga kaso kung saan ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon) o may walang katapusang maraming solusyon ay tinatalakay sa aralin Mga hindi tugmang system at system na may karaniwang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gaussian. Nais kong tagumpay ka! Mga solusyon at sagot: Halimbawa 2: Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepwise na anyo. Reverse:
Halimbawa 4: Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepwise form: Ginawa ang mga conversion: Sa pangalawang "hakbang" lahat ay lumalala
, ang mga "kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –1.
.
.
.
, ibig sabihin.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (ako) .
.
at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-3 linya, pagkatapos - ang mga elemento ng ika-2 linya at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-4 na linya, atbp., hanggang sa makakuha tayo ng mga zero sa ilalim isang 22/
.
,
.
;
.
.
.
, kung saan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.
Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, at, halimbawa, ang elemento ay nasa 3 hilera, 2 hanay.
– matrix ng mga menor de edad ng mga kaukulang elemento ng matrix.
Minsan hindi ito maaaring ganap na maghiwalay, i.e. maaaring magresulta sa "masamang" fraction. Sinabi ko na sa iyo kung ano ang gagawin sa mga ganitong kaso nang tingnan natin ang panuntunan ng Cramer.
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Walang mga solusyon (maging hindi magkasanib).
at lutasin ito gamit ang Gaussian method.
. Sa palagay ko makikita ng lahat sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang isinulat ng mga coefficient. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay walang anumang mathematical na kahulugan - ito ay simpleng strikethrough para sa kadalian ng disenyo.
. Sa matrix na ito, ang huling tatlong hilera ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: 
.
. Ang pagkilos na ito ay lubhang kapaki-pakinabang dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.
, At sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng –2: . Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" sa pamamagitan ng –2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADD LI – hindi nagbago. Laging nagbabago ang linyang TO WHICH IS ADDED UT.
Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang linya na pinarami ng –2. Ang isang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, kung saan ang proseso ng pagkalkula ng pag-iisip ay nangyayari tulad nito:
» »
. Sa disenyo ng gawain, minarkahan lamang nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal sa pang-agham at pang-edukasyon na panitikan ito ay madalas na tinatawag trapezoidal view o tatsulok na view.
At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepwise form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimula?
Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, gagawin ang -1 (at kung minsan ay iba pang mga numero), ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isa ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya: 
At napag-usapan ko na ang mental na proseso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.
Subukang alamin ang aksyon na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at gawin ang karagdagan.
Malamig.
, pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na masasabi nating isang error ang ginawa sa panahon ng elementarya na pagbabago.
Oo, narito ang isang regalo: 
.
Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation ng system, halimbawa: 
Paano isulat nang tama ang pinalawig na matrix ng system? Napag-usapan ko na ang puntong ito sa klase. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa halip ng mga nawawalang variable: 
Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil ang unang hanay ay mayroon nang isang zero, at mayroong mas kaunting mga pagbabagong elementarya na gagawin. .
. Narito ang tatlo sa pangalawang "hakbang" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati ng 3 nang walang natitira. Kinakailangang isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: idagdag ang pangalawang linya sa ikatlong linya, na pinarami ng –4, bilang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.
Ginawa ang mga pagbabago sa elementarya:
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.Pansin!
Dito maaari kang matukso na ibawas ang una mula sa ikatlong linya. Tiklupin mo lang!
(2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa –1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na.tala
, na sa mga "hakbang" kami ay nasiyahan hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa.
(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 5.
(4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa –1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.
Sagot: 
.
(1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang".
(2) Ang unang linya na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang linya Ang unang linya na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong linya.
(4) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –3.
Natanggap na ang kinakailangang item sa ikalawang hakbang
.
(5) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng 6.
(6) Ang pangalawang linya ay pinarami ng –1, ang ikatlong linya ay hinati sa -83. Malinaw na ang eroplano ay natatanging tinukoy ng tatlong magkakaibang mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya. Samakatuwid, ang tatlong-titik na pagtatalaga ng mga eroplano ay medyo popular - sa pamamagitan ng mga puntos na kabilang sa kanila, halimbawa, ; .Kung libreng miyembro
