kung saan ang λ ay ang intensity ng mga kahilingang natanggap ng QS.

Halimbawa.

Kalkulahin ang mga tagapagpahiwatig ng serbisyo para sa isang solong channel na QS, kung saan natatanggap ang mga kahilingan sa rate na λ = 1.2 na kahilingan kada oras, oras ng serbisyo t obs = 2.5 oras. Kinakalkula namin ang mga tagapagpahiwatig ng serbisyo para sa isang solong channel na QS:

Tindi ng pag-load.

ρ = λ t obs = 1.2 2.5 = 3

Ang intensity ng pag-load ρ=3 ay nagpapakita ng antas ng pagkakapare-pareho ng mga daloy ng input at output ng mga kahilingan ng channel ng serbisyo at tinutukoy ang katatagan ng system nakapila.

t pr = 15 min.

Proporsyon ng mga aplikasyon na tinanggihan. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0.25 = 0.75

Nangangahulugan ito na 75% ng mga natanggap na aplikasyon ay hindi tinatanggap para sa serbisyo.

Ang bahagi ng mga kahilingan sa serbisyo na natanggap sa bawat yunit ng oras:

Ganap na throughput.

A = Q λ = 0.25 1.2 = 0.3 application/min.

Average na downtime ng QS.

t pr = p bukas t obs = 0.75 2.5 = 1.88 min.

Average na bilang ng mga kahilingang naihatid.

L obs = ρ Q = 3 0.25 = 0.75 unit

Bilang ng mga aplikasyong tinanggihan sa loob ng ilang minuto: λ p 1 = 0.9 na aplikasyon kada minuto. Nominal na produktibidad ng system: 1 / 2.5 = 0.4 application kada minuto. Aktwal na pagganap ng SMO: 0.3 / 0.4 = 75% ng nominal na kapasidad.

Ganap na throughput cm. Halimbawang solusyon

Sa istasyon pagpapanatili isang simpleng daloy ng mga kahilingan ang natatanggap na may intensity na 1 kotse bawat 2 oras. Ang average na oras ng pag-aayos ay 2 oras. Suriin ang pagganap ng CMO at bumuo ng mga rekomendasyon para sa pagpapabuti ng serbisyo.

Solusyon: Tukuyin ang uri ng QS. Ang pariralang "Sa istasyon" ay nagsasalita ng isang solong aparato ng serbisyo, i.e. para lutasin ay gumagamit kami ng mga formula para sa single-channel na QS. Tinutukoy namin ang uri ng single-channel na QS. Dahil may nabanggit na queue, kaya pipiliin namin ang "Single-channel QS na may limitadong haba ng pila." Ang parameter na λ ay dapat ipahayag sa mga oras. Ang intensity ng mga aplikasyon ay 1 kotse bawat 2 oras o 0.5 bawat 1 oras.

Ang intensity ng daloy ng serbisyo μ ay hindi tahasang tinukoy. Ang oras ng serbisyo na ibinigay dito ay t obs = 2 oras.

Kinakalkula namin ang mga tagapagpahiwatig ng serbisyo para sa isang solong channel na QS:

Intensity ng daloy ng serbisyo:

Tindi ng pag-load.

ρ = λ t obs = 0.5 2 = 1

Ang intensity ng pagkarga ρ=1 ay nagpapakita ng antas ng pagkakapare-pareho ng mga daloy ng input at output ng mga kahilingan ng channel ng serbisyo at tinutukoy ang katatagan ng sistema ng pagpila.

Ang mga aplikasyon ay hindi tinatanggihan. Lahat ng natanggap na kahilingan ay naseserbisyuhan, p bukas = 0.

Kamag-anak na Bandwidth.

Ang bahagi ng mga serbisyong kahilingan na natanggap sa bawat yunit ng oras: Q = 1 - p bukas = 1 - 0 = 1

Dahil dito, 100% ng mga natanggap na aplikasyon ay maseserbisyuhan. Ang isang katanggap-tanggap na antas ng serbisyo ay dapat na higit sa 90%.

Bilang ng mga aplikasyong tinanggihan sa loob ng isang oras: λ p 1 = 0 aplikasyon kada oras. Nominal na produktibidad ng QS: 1 / 2 = 0.5 na aplikasyon kada oras. Aktwal na pagganap ng SMO: 0.5 / 0.5 = 100% ng nominal na pagganap.

Konklusyon: ang istasyon ay 100% load. Sa kasong ito, walang mga pagkabigo na sinusunod.

QS na may mga pagkabigo (single at multi-channel)

Ang pinakasimpleng modelo ng single-channel na may probabilistikong daloy ng input at isang pamamaraan ng serbisyo ay isang modelo na "maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang exponential distribution ng mga tagal ng mga agwat sa pagitan ng pagdating ng mga kahilingan at pamamahagi ng mga tagal ng serbisyo." Sa kasong ito, ang density ng pamamahagi ng tagal ng mga agwat sa pagitan ng mga resibo ng mga kahilingan ay may form:

f 1 (t) = l*e (-l*t) , (1)

kung saan ang l ay ang intensity ng mga application na pumapasok sa system (ang average na bilang ng mga application na pumapasok sa system bawat yunit ng oras). Densidad ng pamamahagi ng tagal ng serbisyo:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t rev, (2)

kung saan ang µ ay ang intensity ng serbisyo, ang t about ay ang average na oras ng serbisyo para sa isang kliyente. Ang kamag-anak na throughput ng mga naserbisyuhan na kahilingan na nauugnay sa lahat ng mga papasok na kahilingan ay kinakalkula ng formula:

Ang halagang ito ay katumbas ng posibilidad na ang channel ng serbisyo ay libre. Ang absolute throughput (A) ay ang average na bilang ng mga kahilingan na maaaring ibigay ng isang queuing system bawat yunit ng oras:

Ang P value na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang average na bahagi ng mga hindi naihatid na application.

Halimbawa. Hayaang ang isang solong channel na QS na may mga pagkabigo ay kumakatawan sa isang pang-araw-araw na post ng pagpapanatili para sa paghuhugas ng kotse. Ang isang aplikasyon - isang kotse na dumating sa isang oras kung kailan ang post ay inookupahan - ay tinanggihan serbisyo. Intensity ng daloy ng sasakyan l = 1.0 (kotse kada oras). Average na tagal ng serbisyo t humigit-kumulang =1.8 oras. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang paglilimita ng mga halaga sa steady state: relative throughput q;

• - ganap na kapasidad A;
• - posibilidad ng pagkabigo P.

Tukuyin natin ang intensity ng daloy ng serbisyo gamit ang formula 2: Kalkulahin natin ang relatibong throughput: q = Ang halaga ng q ay nangangahulugan na sa steady state ang system ay magsisilbi sa humigit-kumulang 35% ng mga sasakyan na dumarating sa post. Tinutukoy namin ang absolute throughput gamit ang formula: A = lHq = 1H0.356 = 0.356. Iminumungkahi nito na ang sistema ay may kakayahang magsagawa ng average na 0.356 na serbisyo ng sasakyan kada oras. Probability ng pagkabigo: P reject =1-q=1-0.356=0.644. Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 65% ng mga sasakyang dumarating sa EO post ay tatanggihan ng serbisyo. Alamin natin ang nominal na kapasidad ng sistemang ito A nom: A nom = (mga kotse kada oras).

Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso, ang sistema ng pagpila ay multi-channel, iyon ay, maraming mga kahilingan ang maaaring ihatid nang magkatulad. Ang proseso ng QS na inilarawan ng modelong ito ay nailalarawan sa tindi ng daloy ng input l, habang hindi hihigit sa n mga kliyente ang maaaring ihatid nang magkatulad. Ang average na tagal ng paglilingkod sa isang kahilingan ay 1/m. “Ang operating mode ng servicing channel ay hindi nakakaapekto sa operating mode ng iba pang servicing channel ng system, at ang tagal ng servicing procedure para sa bawat channel ay isang random variable na napapailalim sa exponential distribution law. Ang pinakalayunin ng paggamit ng mga parallel connected servicing channels ay ang pataasin ang bilis ng servicing requests sa pamamagitan ng servicing n clients nang sabay-sabay." Ang solusyon sa naturang sistema ay:

Ang mga formula para sa pagkalkula ng mga probabilidad ay tinatawag na Erlang formula. Alamin natin ang mga probabilistikong katangian ng paggana ng isang multi-channel na QS na may mga pagkabigo sa isang nakatigil na mode. Ang posibilidad ng pagkabigo P ay katumbas ng:

P bukas =P n =*P 0 . (7)

Ang isang aplikasyon ay tinanggihan kung ito ay dumating sa oras na ang lahat ng mga channel ay abala. Ang halagang P bukas ay nagpapakilala sa pagkakumpleto ng pagseserbisyo sa papasok na daloy; ang posibilidad na ang kahilingan ay tatanggapin para sa serbisyo (ito rin ang kamag-anak na throughput ng system) ay umaakma sa P pagtanggi sa isa:

Ganap na throughput

Ang average na bilang ng mga channel na inookupahan ng serbisyo () ay ang mga sumusunod:

Ang halaga ay nagpapakilala sa antas ng pagkarga ng sistema ng pagpila. Halimbawa. Hayaang ang n-channel QS ay isang computer center na may tatlong (n=3) na maaaring palitan na mga computer para sa paglutas ng mga papasok na problema. Ang daloy ng mga gawaing dumarating sa computer center ay may intensity na l = 1 gawain kada oras. Average na tagal ng serbisyo t humigit-kumulang =1.8 oras.

Kailangan mong kalkulahin ang mga halaga:

• - posibilidad ng bilang ng mga sinasakop na mga channel ng CC;
• - posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo ng isang aplikasyon;
• - kamag-anak na kapasidad ng sentro ng computer;
• - ganap na kapasidad ng computer center;
• - ang average na bilang ng mga inookupahang PC sa computer center.

Tukuyin natin ang parameter ng daloy ng serbisyo:

Ang pinababang intensity ng daloy ng mga aplikasyon:

Nahanap namin ang paglilimita ng mga probabilidad ng mga estado gamit ang mga formula ng Erlang:

Posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo ng isang aplikasyon:

Relatibong kapasidad ng CC:

Ganap na kapasidad ng CC:

Average na bilang ng mga channel na inookupahan - PC:

Kaya, sa ilalim ng steady-state operating mode ng QS, sa karaniwan, 1.5 na mga computer sa tatlo ang sasakupin - ang natitirang isa at kalahati ay magiging idle. Ang throughput ng computer center para sa ibinigay na l at m ay maaari lamang tumaas sa pamamagitan ng pagtaas ng bilang ng mga personal na computer.

Ang pinakasimpleng single-channel na modelo. Ang nasabing modelo na may probabilistikong daloy ng input at pamamaraan ng serbisyo ay isang modelo na nailalarawan sa pamamagitan ng exponential distribution ng parehong mga tagal ng mga agwat sa pagitan ng pagdating ng mga kinakailangan at mga tagal ng serbisyo. Sa kasong ito, ang density ng pamamahagi ng tagal ng mga agwat sa pagitan ng mga resibo ng mga kahilingan ay may form

(1)

nasaan ang intensity ng mga application na pumapasok sa system.

Densidad ng pamamahagi ng mga tagal ng serbisyo:

, (2)

nasaan ang intensity ng serbisyo.

Ang mga daloy ng mga kahilingan at serbisyo ay simple.

Hayaang gumana ang system mga pagtanggi. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ganap at kamag-anak na throughput ng system.

Isipin natin ang queuing system na ito sa anyo ng isang graph (Fig. 1), na may dalawang estado:

S 0 - libreng channel (naghihintay);

S 1- ang channel ay abala (ang kahilingan ay sineserbisyuhan).

kanin. 1. State graph ng isang single-channel na QS na may mga pagkabigo

Tukuyin natin ang mga probabilidad ng mga estado:

P 0 (t) - posibilidad ng "channel free" na estado;

P 1 (t)- posibilidad ng "channel busy" na estado.

Gamit ang minarkahang graph ng estado (Larawan 1), lumikha kami ng isang sistema differential equation Kolmogorov para sa mga probabilidad ng estado:

(3)

Ang sistema ng linear differential equation (3) ay may solusyon na isinasaalang-alang ang normalization condition = 1. Ang solusyon ng sistemang ito ay tinatawag na unsteady, dahil ito ay direktang nakasalalay sa t at ganito ang hitsura:

(4)

(5)

Madaling i-verify na para sa isang single-channel na QS na may mga pagkabigo ang posibilidad P 0 (t) ay walang iba kundi ang relatibong kapasidad ng system q.

talaga, P 0- ang posibilidad na sa oras t ang channel ay libre at ang kahilingan na dumating sa oras t , ihahatid, at samakatuwid ay para sa sa sandaling ito oras t, ang average na ratio ng bilang ng mga naihatid na aplikasyon sa bilang ng mga natanggap ay katumbas din ng , i.e.

q = . (6)

Pagkatapos ng malaking agwat ng oras (), makakamit ang isang nakatigil (steady) na mode:

Ang pag-alam sa kamag-anak na throughput, madaling mahanap ang ganap. Ganap na throughput (A)- ang average na numero na maaaring ihatid ng queuing system bawat yunit ng oras:

Ang posibilidad ng pagtanggi na ibigay ang isang kahilingan ay magiging katumbas ng posibilidad ng "channel busy" na estado:

Ang halagang ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang average na bahagi ng hindi naihatid na mga aplikasyon sa mga isinumite.

Halimbawa 1. Hayaang ang isang solong channel na QS na may mga pagkabigo ay kumakatawan sa isang pang-araw-araw na maintenance post (DS) para sa paghuhugas ng kotse. Ang isang aplikasyon - isang kotse na dumating sa isang oras kung kailan ang post ay inookupahan - ay tinanggihan serbisyo. Rate ng daloy ng sasakyan = 1.0 (mga sasakyan kada oras). Ang average na tagal ng serbisyo ay 1.8 oras. Ang daloy ng sasakyan at daloy ng serbisyo ang pinakasimple.

Kinakailangan upang matukoy ang mga halaga ng limitasyon sa steady state:

relatibong kapasidad q;

ganap na throughput A;

posibilidad ng pagkabigo.

Ihambing ang aktwal na throughput ng service center sa nominal na isa, na kung ang bawat sasakyan ay sineserbisyuhan nang eksaktong 1.8 oras at ang mga sasakyan ay sumunod sa isa't isa nang walang pagkaantala.

Solusyon

1. Tukuyin natin ang intensity ng daloy ng serbisyo:

2. Kalkulahin natin ang kamag-anak na throughput:

Magnitude q nangangahulugan na sa steady state ang system ay magsisilbi sa humigit-kumulang 35% ng mga sasakyang dumarating sa EO post.

3. Ang absolute throughput ay tinutukoy ng formula:

1 0,356 = 0,356.

Nangangahulugan ito na ang system (EO post) ay may kakayahang magsagawa ng average na 0.356 na serbisyo ng sasakyan kada oras.

3. Probabilidad ng pagkabigo:

Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 65% ng mga sasakyang dumarating sa post ng EO ay tatanggihan ang serbisyo.

4. Tukuyin natin ang nominal throughput ng system:

(mga sasakyan kada oras).

Ito ay lumalabas na ito ay 1.5 beses na higit pa kaysa sa aktwal na throughput, na kinakalkula na isinasaalang-alang ang random na katangian ng daloy ng mga kahilingan at oras ng serbisyo.

Single-channel na QS na may paghihintay. Ang sistema ng pagpila ay may isang channel. Ang papasok na daloy ng mga kahilingan para sa serbisyo ay ang pinakasimpleng daloy na may intensity. Ang intensity ng daloy ng serbisyo ay pantay (ibig sabihin, sa karaniwan, ang patuloy na abalang channel ay maglalabas ng mga kahilingan sa serbisyo). Tagal ng serbisyo - random variable, napapailalim sa exponential distribution law. Ang daloy ng serbisyo ay ang pinakasimpleng daloy ng Poisson ng mga kaganapan. Ang isang kahilingan na natanggap kapag ang channel ay abala ay nakapila at naghihintay ng serbisyo.

Ipagpalagay natin na gaano man karaming mga kahilingan ang dumating sa input ng sistema ng serbisyo, ang sistemang ito(queue + mga kliyenteng inihahatid) ay hindi maaaring tumanggap ng higit sa N-requirements (mga aplikasyon), ibig sabihin, ang mga kliyenteng hindi naghihintay ay mapipilitang ihatid sa ibang lugar. Sa wakas, ang pinagmulan ng pagbuo ng mga kahilingan sa serbisyo ay may walang limitasyong (walang katapusan na malaki) na kapasidad.

Ang graph ng estado ng QS sa kasong ito ay may form na ipinapakita sa Fig. 2.

kanin. 2. State graph ng isang single-channel na QS na may paghihintay

(Skema ng kamatayan at pagpaparami)

Ang mga estado ng QS ay may sumusunod na interpretasyon:

S 0 - ang channel ay libre;

S 1 - abala sa channel (walang pila);

S 2 - abala ang channel (isang kahilingan ang nasa pila);

……………………

S n - abala ang channel (n - 1 mga kahilingan ang nasa pila);

…………………...

S N - abala ang channel (N- 1 application ang nasa pila).

Ang isang nakatigil na proseso sa sistemang ito ay ilalarawan ang sumusunod na sistema algebraic equation:

n- numero ng katayuan.

Ang solusyon sa itaas na sistema ng mga equation (10) para sa aming modelo ng QS ay may anyo

(11)

Dapat pansinin na ang katuparan ng kondisyon ng pagkatigil para sa isang naibigay na QS ay hindi kinakailangan, dahil ang bilang ng mga aplikasyon na pinapapasok sa sistema ng paghahatid ay kinokontrol sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang limitasyon sa haba ng pila (na hindi maaaring lumampas sa N- 1), at hindi ang ratio sa pagitan ng mga intensity ng daloy ng input, ibig sabihin, hindi ang ratio

Tukuyin natin mga katangian ng isang solong channel na QS na may paghihintay at limitadong haba ng pila na katumbas ng (N- 1):

posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo ng isang aplikasyon:

(13)

relatibong kapasidad ng system:

(14)

ganap na throughput:

A = q 𝝀; (15)

average na bilang ng mga application sa system:

(16)

Average na oras na nananatili ang isang application sa system:

average na tagal pananatili ng kliyente (application) sa pila:

average na bilang ng mga application (kliyente) sa pila (haba ng pila):

Lq= (1 - P N)W q .(19)

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang single-channel na QS na may paghihintay.

Halimbawa 2. Ang espesyal na diagnostic post ay isang single-channel na QS. Ang bilang ng mga paradahan para sa mga kotseng naghihintay ng diagnostic ay limitado at katumbas ng 3 [ (N- 1) = 3]. Kung ang lahat ng paradahan ay okupado, ibig sabihin, mayroon nang tatlong sasakyan sa pila, kung gayon ang susunod na sasakyan na darating para sa mga diagnostic ay hindi ilalagay sa pila para sa serbisyo. Ang daloy ng mga sasakyang dumarating para sa mga diagnostic ay ipinamamahagi ayon sa batas ng Poisson at may intensity na 𝝀 = 0.85 (mga sasakyan kada oras). Ang oras ng diagnostic ng sasakyan ay ibinahagi ayon sa isang exponential law at may average na 1.05 na oras.

Kailangang matukoy probabilistic na katangian ng isang diagnostic station na tumatakbo sa isang stationary mode.

Solusyon

1. Parameter ng daloy ng serbisyo ng sasakyan:

.

2. Ang pinababang intensity ng daloy ng trapiko ay tinukoy bilang ang ratio ng mga intensity at µ, i.e.

3. Kalkulahin natin ang mga huling probabilidad ng system:

4. Ang posibilidad ng pagkabigo sa serbisyo ng sasakyan:

5. Relatibong throughput ng diagnostic station:

6. Ganap na throughput ng diagnostic station

A= 𝝀 q= 0.85 0.842 = 0.716 (mga sasakyan kada oras).

7. Average na bilang ng mga sasakyan na sineserbisyuhan at nasa pila (ibig sabihin, sa sistema ng pagpila):

8. Average na oras na nananatili ang isang kotse sa system:

9. Average na haba ng oras na nananatili ang isang kahilingan sa pila para sa serbisyo:

10. Average na bilang ng mga application sa queue (haba ng pila):

Lq= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Ang gawain ng itinuturing na diagnostic post ay maaaring ituring na kasiya-siya, dahil ang diagnostic post ay hindi nagseserbisyo sa mga kotse sa karaniwan sa 15.8% ng mga kaso (P otk = 0.158).

Single-channel QS na may paghihintay nang walang limitasyon sa kapasidad ng waiting block(ibig sabihin). Ang natitirang mga kondisyon ng pagpapatakbo ng QS ay nananatiling hindi nagbabago.

Ang nakatigil na operating mode ng QS na ito ay umiiral para sa anumang n = 0, 1, 2,... at kapag 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого n=0,1,2,…, ay may anyo

Ang solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay may anyo

Ang mga katangian ng isang single-channel na QS na may paghihintay, nang walang mga paghihigpit sa haba ng pila, ay ang mga sumusunod:

average na bilang ng mga kliyente (mga kahilingan) para sa serbisyo sa system:

(22)

average na tagal ng pananatili ng isang kliyente sa system:

(23)

average na bilang ng mga kliyente sa pila para sa serbisyo:

Average na haba ng oras na ginugugol ng isang customer sa pila:

Halimbawa 3. Alalahanin natin ang sitwasyong isinasaalang-alang sa halimbawa 2, kung saan pinag-uusapan natin ang paggana ng isang diagnostic post. Hayaang ang diagnostic post na pinag-uusapan ay magkaroon ng walang limitasyong bilang ng mga parking area para sa mga sasakyang darating para sa serbisyo, ibig sabihin, ang haba ng pila ay walang limitasyon.

Kinakailangan upang matukoy ang mga pangwakas na halaga ng mga sumusunod na probabilistikong katangian:

Mga probabilidad ng mga estado ng system (diagnostic station);

Average na bilang ng mga sasakyan sa system (sa ilalim ng serbisyo at nasa pila);

Ang average na tagal ng pananatili ng sasakyan sa system (para sa serbisyo at sa pila);

Average na bilang ng mga sasakyan sa pila para sa serbisyo;

4. Average na tagal ng pananatili ng isang kliyente sa system:

5. Average na bilang ng mga sasakyan sa pila para sa serbisyo:

6. Average na haba ng oras na ginugugol ng kotse sa pila:

7. Kamag-anak na throughput ng system:

ibig sabihin, ang bawat application na papasok sa system ay maseserbisyuhan.

8 . Ganap na throughput:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Dapat tandaan na ang isang kumpanya na nag-diagnose ng mga kotse ay pangunahing interesado sa bilang ng mga customer na bibisita sa diagnostic post kapag ang paghihigpit sa haba ng pila ay inalis.

Sabihin nating sa orihinal na bersyon ang bilang ng mga parking space para sa mga darating na sasakyan ay katumbas ng tatlo (tingnan ang halimbawa 2). Dalas T ang mga sitwasyon ay lumitaw kapag ang isang kotse na dumarating sa isang diagnostic post ay hindi makasali sa pila:

T= λP N .

Sa aming halimbawa, na may N=3 + 1= 4 at ρ = 0.893,

t = λ P 0ρ 4 = 0.85 0.248 0.8934 = 0.134 na sasakyan kada oras.

Sa isang 12-hour operating mode ng diagnostic station, ito ay katumbas ng katotohanan na ang diagnostic station ay mawawalan ng 12 0.134 = 1.6 na sasakyan sa average bawat shift (araw).

Ang pag-alis ng paghihigpit sa haba ng pila ay nagbibigay-daan sa amin na madagdagan ang bilang ng mga kliyenteng inihatid sa aming halimbawa sa average na 1.6 na kotse bawat shift (12 oras na trabaho) sa diagnostic station. Malinaw na ang desisyon na palawakin ang parking area para sa mga sasakyang darating sa diagnostic station ay dapat na nakabatay sa pagtatasa ng pinsala sa ekonomiya na dulot ng pagkawala ng mga customer kapag mayroon lamang tatlong parking space para sa mga sasakyang ito.

Kaugnay na impormasyon.

Ganap na throughput nailalarawan ang intensity ng papalabas na daloy ng mga serbisyong aplikasyon.

Halimbawa. Ang istasyon ng serbisyo ay tumatanggap ng isang simpleng daloy ng mga kahilingan na may intensity ng 1 kotse bawat 2 oras. Ang average na oras ng pag-aayos ay 2 oras. Suriin ang pagganap ng CMO at bumuo ng mga rekomendasyon para sa pagpapabuti ng serbisyo.

Solusyon:
Tukuyin ang uri ng QS. Ang pariralang "Sa istasyon" ay nagsasalita ng isang solong aparato ng serbisyo, i.e. Upang suriin ang solusyon, ginagamit namin ang serbisyo ng Single-Channel Query Service.
Tinutukoy namin ang uri ng single-channel na QS. Dahil may nabanggit na queue, kaya pipiliin namin ang "Single-channel QS na may limitadong haba ng pila."
Ang parameter na λ ay dapat ipahayag sa mga oras. Ang intensity ng mga aplikasyon ay 1 kotse bawat 2 oras o 0.5 bawat 1 oras.
Ang intensity ng daloy ng serbisyo μ ay hindi tahasang tinukoy. Ang oras ng serbisyo na ibinigay dito ay t obs = 2 oras.

Kinakalkula namin ang mga tagapagpahiwatig ng serbisyo para sa isang solong channel na QS:
Intensity ng daloy ng serbisyo:

1. Tindi ng pagkarga.
ρ = λ t obs = 0.5 2 = 1
Ang intensity ng pagkarga ρ=1 ay nagpapakita ng antas ng pagkakapare-pareho ng mga daloy ng input at output ng mga kahilingan ng channel ng serbisyo at tinutukoy ang katatagan ng sistema ng pagpila.

3. Probability na ang channel ay libre(proporsyon ng downtime ng channel).


Dahil dito, 20% ng channel ay magiging idle sa loob ng isang oras, ang idle time ay katumbas ng t pr = 12 minuto.

4. Proporsyon ng mga aplikasyon na tinanggihan.
Ang mga aplikasyon ay hindi tinatanggihan. Lahat ng natanggap na kahilingan ay naseserbisyuhan, p bukas = 0.

5. Relatibong throughput.
Ang bahagi ng mga kahilingan sa serbisyo na natanggap sa bawat yunit ng oras:
Q = 1 - p bukas = 1 - 0 = 1
Dahil dito, 100% ng mga natanggap na aplikasyon ay maseserbisyuhan. Ang isang katanggap-tanggap na antas ng serbisyo ay dapat na higit sa 90%.

6. Ganap na throughput.
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 na kahilingan/oras.

8. Average na bilang ng mga application sa pila(average na haba ng pila).

mga yunit

9. Average na downtime ng QS(average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon na ihain sa pila).
oras.

10. Average na bilang ng mga application na inihatid.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 unit.

12. Average na bilang ng mga application sa system.
L CMO = L och + L obs = 1.2 + 1 = 2.2 unit.

13. Karaniwang oras na nananatili ang isang aplikasyon sa CMO.
oras.

Bilang ng mga aplikasyong tinanggihan sa loob ng isang oras: λ p 1 = 0 mga aplikasyon kada oras.
Nominal na produktibidad ng QS: 1 / 2 = 0.5 na aplikasyon kada oras.
Aktwal na pagganap ng SMO: 0.5 / 0.5 = 100% ng nominal na pagganap.

Konklusyon: ang istasyon ay 100% load. Sa kasong ito, walang mga pagkabigo na sinusunod.

Bilang mga tagapagpahiwatig ng pagiging epektibo ng isang QS na may mga pagkabigo, isasaalang-alang namin ang:

1) A - ganap na kapasidad ng QS, ibig sabihin. average na bilang ng mga aplikasyon na inihatid sa bawat yunit ng oras;

2) Q - relatibong throughput, ibig sabihin. ang average na bahagi ng mga papasok na application na sineserbisyuhan ng system;

3) P_(\text(otk)) - posibilidad ng pagkabigo, ibig sabihin. na iiwan ng aplikasyon ang QS na hindi naihatid;

4) \overline(k) - average na bilang ng mga abalang channel(para sa isang multi-channel system).

Single-channel system (SMS) na may mga pagkabigo

Isaalang-alang natin ang problema. May isang channel na tumatanggap ng daloy ng mga kahilingan na may intensity \lambda. Ang daloy ng serbisyo ay may intensity na \mu . Hanapin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado ng system at mga tagapagpahiwatig ng kahusayan nito.

Tandaan. Dito at sa mga sumusunod, ipinapalagay na ang lahat ng daloy ng mga kaganapan na naglilipat ng QS mula sa estado patungo sa estado ang magiging pinakasimple. Kasama rin dito ang daloy ng serbisyo - isang daloy ng mga kahilingang inihahatid ng isang patuloy na abalang channel. Ang average na oras ng serbisyo ay inversely batay sa halaga ng intensity \mu, i.e. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Ang System S (SMO) ay may dalawang estado: S_0 - libre ang channel, S_1 - abala ang channel. Ang may label na graph ng estado ay ipinapakita sa Fig. 6.

Sa nililimitahan, nakatigil na mode, ang sistema ng mga algebraic equation para sa mga probabilidad ng mga estado ay may anyo (tingnan sa itaas para sa panuntunan para sa pagbuo ng mga naturang equation)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(cases)

mga. ang sistema ay bumababa sa isang equation. Isinasaalang-alang ang kondisyon ng normalisasyon p_0+p_1=1, nahanap namin mula sa (18) ang paglilimita ng mga probabilidad ng mga estado

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

na nagpapahayag ng average na relatibong oras na nananatili ang system sa estadong S_0 (kapag libre ang channel) at S_1 (kapag abala ang channel), i.e. matukoy, ayon sa pagkakabanggit, ang relatibong kapasidad Q ng system at ang posibilidad ng pagkabigo P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Nahanap namin ang ganap na throughput sa pamamagitan ng pagpaparami ng kamag-anak na throughput Q sa rate ng daloy ng pagkabigo

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Halimbawa 5. Alam na ang mga kahilingan para sa mga pag-uusap sa telepono sa isang studio sa telebisyon ay natatanggap na may intensity \lambda na katumbas ng 90 mga kahilingan bawat oras, at ang average na tagal ng isang pag-uusap sa telepono ay min. Tukuyin ang mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng QS (komunikasyon sa telepono) na may isang numero ng telepono.

Solusyon. Mayroon kaming \lambda=90 (1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Rate ng daloy ng serbisyo \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/h). Ayon sa (20), ang relatibong kapasidad ng QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, ibig sabihin. sa karaniwan, 25% lamang ng mga papasok na aplikasyon ang makikipag-usap sa pamamagitan ng telepono. Alinsunod dito, ang posibilidad ng pagtanggi sa serbisyo ay magiging P_(\text(otk))=0,\!75(tingnan ang (21)). Ganap na throughput ng QS ayon sa (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, ibig sabihin. Sa karaniwan, 22.5 na kahilingan para sa mga negosasyon ang iseserbisyo kada oras. Malinaw, kung mayroon lamang isang numero ng telepono, ang CMO ay hindi makakayanan ng mabuti ang daloy ng mga aplikasyon.

Multichannel system (MSS) na may mga pagkabigo

Isaalang-alang natin ang klasiko Erlang problema. Mayroong n channel na tumatanggap ng daloy ng mga kahilingan na may intensity \lambda. Ang daloy ng serbisyo ay may intensity na \mu . Hanapin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado ng system at mga tagapagpahiwatig ng kahusayan nito.

Ang System S (SMO) ay may mga sumusunod na estado (binibilang namin ang mga ito ayon sa bilang ng mga application sa system): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, kung saan ang S_k ay ang estado ng system kapag mayroong mga k application dito, i.e. k channel ay inookupahan.

Ang graph ng estado ng QS ay tumutugma sa proseso ng kamatayan at pagpaparami at ipinapakita sa Fig. 7.

Ang daloy ng mga kahilingan ay sunud-sunod na inililipat ang system mula sa anumang kaliwang estado patungo sa katabing kanan na may parehong intensity \lambda. Ang intensity ng daloy ng serbisyo na naglilipat ng system mula sa anumang kanang estado patungo sa katabing kaliwang estado ay patuloy na nagbabago depende sa estado. Sa katunayan, kung ang QS ay nasa S_2 na estado (dalawang channel ang abala), pagkatapos ay maaari itong pumunta sa S_1 na estado (isang channel ay abala) kapag ang una o ang pangalawang channel ay natapos ng serbisyo, i.e. ang kabuuang intensity ng kanilang mga daloy ng serbisyo ay magiging 2\mu. Katulad nito, ang kabuuang daloy ng serbisyo na naglilipat ng QS mula sa estado S_3 (tatlong channel ang abala) patungo sa S_2 ay magkakaroon ng intensity na 3\mu, i.e. alinman sa tatlong channel ay maaaring maging libre, atbp.

Sa pormula (16) para sa pamamaraan ng kamatayan at pagpaparami ay nakuha namin para sa paglilimita ng posibilidad ng estado

P_0=(\kaliwa(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

nasaan ang mga tuntunin ng pagpapalawak \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), ay kumakatawan sa mga coefficient para sa p_0 sa mga expression para sa marginal na probabilidad p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Magnitude

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

tinawag ibinigay na intensity ng daloy ng mga aplikasyon o intensity ng pag-load ng channel. Ito ay nagpapahayag ng average na bilang ng mga kahilingang natanggap sa panahon ng average na oras ng paglilingkod sa isang kahilingan. Ngayon

P_0=(\kaliwa(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Tinatawag ang mga formula (25) at (26) para sa paglilimita ng mga probabilidad Erlang formula bilang parangal sa nagtatag ng teorya ng pila.

Ang posibilidad ng pagkabigo ng QS ay ang pinakamataas na posibilidad na ang lahat ng i channel ng system ay magiging abala, i.e.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Relative throughput - ang posibilidad na maihatid ang isang kahilingan:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Ganap na throughput:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Ang average na bilang ng mga channel na inookupahan \overline(k) ay inaasahan sa matematika bilang ng mga abalang channel:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

kung saan ang p_k ay ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado na tinutukoy ng mga formula (25), (26).

Gayunpaman, ang average na bilang ng mga inookupahang channel ay mas madaling mahanap kung isasaalang-alang namin na ang ganap na kapasidad ng system A ay walang iba kundi ang intensity. daloy ng inihain sistema ng aplikasyon (bawat yunit ng oras). Dahil ang bawat abalang channel ay naghahatid sa average na \mu kahilingan (bawat yunit ng oras), ang average na bilang ng mga abalang channel

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

O, ibinigay (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Halimbawa 6. Sa mga kundisyon ng halimbawa 5, tukuyin ang pinakamainam na bilang ng mga numero ng telepono sa isang studio sa telebisyon, kung ang kondisyon ng pinakamainam ay itinuturing na kasiyahan sa average ng hindi bababa sa 90 mga kahilingan para sa mga negosasyon sa bawat 100 kahilingan.

Solusyon. Intensity ng pag-load ng channel ayon sa formula (25) \rho=\frac(90)(30)=3, ibig sabihin. sa average na oras (sa tagal) pag-uusap sa telepono \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Isang average ng 3 kahilingan para sa negosasyon ang natatanggap.

Unti-unti naming tataas ang bilang ng mga channel (mga numero ng telepono) n=2,3,4,\ldots at tutukuyin ang mga katangian ng serbisyo para sa magreresultang n-channel na QS gamit ang mga formula (25), (28), (29). Halimbawa, sa n=2 mayroon tayo

З_0=(\kaliwa(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} atbp.

Binubuod namin ang mga halaga ng mga katangian ng QS sa Talahanayan. 1.

Ayon sa kondisyon ng pinakamainam na Q\geqslant0,\!9, samakatuwid, kinakailangang mag-install ng 5 numero ng telepono sa studio ng telebisyon (sa kasong ito, Q = 0,\!9 - tingnan ang Talahanayan 1). Sa kasong ito, isang average na 80 kahilingan (A=80,\!1) ang maseserbisyuhan bawat oras, at ang average na bilang ng mga inookupahang numero ng telepono (mga channel) ayon sa formula (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Halimbawa 7. Ang isang shared computing center na may tatlong computer ay tumatanggap ng mga order mula sa mga negosyo para sa computing work. Kung ang lahat ng tatlong mga computer ay gumagana, pagkatapos ay ang bagong natanggap na order ay hindi tinatanggap, at ang enterprise ay napipilitang makipag-ugnay sa isa pang computer center. Ang average na oras ng trabaho sa isang order ay 3 oras Ang intensity ng daloy ng mga aplikasyon ay 0.25 (1/hour). Hanapin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado at mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng sentro ng computer.

Solusyon. Sa pamamagitan ng kondisyon n=3,~\lambda=0,\!25(1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (h). Rate ng daloy ng serbisyo \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Intensity ng pag-load ng computer ayon sa formula (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Hanapin natin ang naglilimita sa mga probabilidad ng mga estado:

– ayon sa formula (25) p_0=(\kaliwa(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2)+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– ayon sa formula (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

mga. sa nakatigil na mode ng pagpapatakbo ng computer center, sa average na 47.6% ng oras na walang kahilingan, 35.7% - mayroong isang kahilingan (isang computer ang inookupahan), 13.4% - dalawang kahilingan (dalawang computer), 3.3% ng ang oras - tatlong kahilingan (tatlong computer ang inookupahan).

Ang posibilidad ng pagkabigo (kapag ang lahat ng tatlong mga computer ay abala) ay gayon P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Ayon sa formula (28), ang relatibong kapasidad ng sentro Q=1-0,\!033=0,\!967, ibig sabihin. Sa karaniwan, sa bawat 100 kahilingan, ang computer center ay nagseserbisyo ng 96.7 kahilingan.

Ayon sa formula (29), ang ganap na kapasidad ng sentro A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, ibig sabihin. isang oras sa average na inihain. 0.242 application.

Ayon sa formula (30), ang average na bilang ng mga inookupahang computer \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, ibig sabihin. bawat isa sa tatlong computer ay magiging abala sa pagseserbisyo ng mga kahilingan sa karaniwan para lamang \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

Kapag tinatasa ang kahusayan ng isang computer center, kinakailangang ihambing ang kita mula sa pagpapatupad ng mga kahilingan sa mga pagkalugi mula sa downtime ng mga mamahaling computer (sa isang banda, mayroon kaming mataas na throughput ng QS, at sa kabilang banda , mayroong makabuluhang downtime ng mga channel ng serbisyo) at pumili ng solusyon sa kompromiso.

Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.
Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, dapat mong paganahin ang mga kontrol ng ActiveX!