Layunin ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang makahanap ng isang hindi mahalaga at pangunahing solusyon sa SLAE. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file (tingnan ang halimbawang solusyon).
Mga tagubilin. Pumili ng dimensyon ng matrix:
Mga katangian ng mga sistema ng mga linear homogenous na equation
Upang magkaroon ng sistema mga di-maliit na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix nito ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.Teorama. Ang isang sistema sa kaso na m=n ay may isang hindi mahalaga na solusyon kung at kung ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.
Teorama. Ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang system ay isa ring solusyon sa system na iyon.
Kahulugan. Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear na homogenous na equation ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon, kung ang set na ito ay binubuo ng mga linearly independent na solusyon at anumang solusyon sa system ay isang linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito.
Teorama. Kung ang ranggo r ng system matrix ay mas mababa sa bilang n ng mga hindi alam, kung gayon mayroong isang pangunahing sistema ng mga solusyon na binubuo ng (n-r) na mga solusyon.
Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng linear homogeneous equation
- Paghahanap ng ranggo ng matrix.
- Pinipili namin ang pangunahing menor de edad. Tinutukoy namin ang dependent (basic) at libreng hindi alam.
- Tinatawid namin ang mga equation ng system na ang mga coefficient ay hindi kasama sa batayang minor, dahil ang mga ito ay mga kahihinatnan ng iba (ayon sa theorem sa batayang minor).
- Inilipat namin ang mga tuntunin ng mga equation na naglalaman ng mga libreng hindi alam sa kanang bahagi. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga r equation na may r hindi alam, katumbas ng ibinigay, ang determinant nito ay nonzero.
- Niresolba namin ang resultang sistema sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakikita namin ang mga relasyon na nagpapahayag ng mga umaasang variable sa pamamagitan ng mga libre.
- Kung ang ranggo ng matrix ay hindi katumbas ng bilang ng mga variable, makikita natin ang pangunahing solusyon ng system.
- Sa kaso rang = n mayroon kaming isang maliit na solusyon.
Halimbawa. Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vectors (a 1, a 2,...,a m), ranggo at ipahayag ang mga vectors batay sa base. Kung ang isang 1 =(0,0,1,-1), at 2 =(1,1,2,0), at 3 =(1,1,1,1), at 4 =(3,2,1 ,4), at 5 =(2,1,0,3).
Isulat natin ang pangunahing matrix ng system:
I-multiply ang ika-3 linya sa (-3). Idagdag natin ang ika-4 na linya sa ika-3:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
I-multiply ang ika-4 na linya sa (-2). I-multiply natin ang 5th line sa (3). Idagdag natin ang ika-5 na linya sa ika-4:
Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:
Hanapin natin ang ranggo ng matrix.
Ang sistema na may mga coefficient ng matrix na ito ay katumbas ng orihinal na sistema at may anyo:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Gamit ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam, nakahanap kami ng isang hindi mahalaga na solusyon:
Nakuha namin ang mga relasyon na nagpapahayag ng mga umaasang variable x 1 , x 2 , x 3 sa pamamagitan ng mga libre x 4 , iyon ay, nakakita kami ng isang pangkalahatang solusyon:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; Ang pamamaraan ni Gauss ay hindi angkop para sa mga sistemang may mga titik na koepisyent.
Isaalang-alang natin ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pare-parehong sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ng Cramer.
Halimbawa 1. Maghanap ng pangkalahatang solusyon susunod na sistema linear equation gamit ang isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon sa inhomogeneous na sistema.
1. Paggawa ng matrix A at pinalawig na system matrix (1)
2. Galugarin ang system (1) para sa pagkakaisa. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang compatibility study ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).
a. Nahanap namin rA.
Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.
M1=1≠0 (kumukuha kami ng 1 mula sa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A).
Border kami M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. 
. Patuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.
Meron kami: 
(dahil ang unang dalawang column ay pareho)
(dahil ang pangalawa at pangatlong linya ay proporsyonal).
Nakikita natin yan rA=2, a ay ang batayang minor ng matrix A.
b. Nahanap namin.
Medyo basic minor M2′ matrice A border na may column ng mga libreng termino at lahat ng row (mayroon lang kaming huling row).
. Sinusundan nito iyon M3′′ nananatiling pangunahing minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
kasi M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).
(3)
Dahil ang pangunahing menor de edad https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Sa sistemang ito mayroong dalawang libreng hindi alam ( x2 At x4 ). kaya lang FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam sa (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .
Sa x2=1 , x4=0 nakukuha natin:
.
Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (matatagpuan ito gamit ang panuntunan ng Cramer o anumang iba pang pamamaraan). Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:
Ang magiging solusyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 At x4 , na idinagdag namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .
Ngayon naniniwala kami sa (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:
.
Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorema ng Cramer:
.
Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .
Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Dito C1 , C2 – di-makatwirang mga pare-pareho.
4. Maghanap tayo ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) Isaalang-alang natin ang isang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .
(5)
Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 At x4.
(6)
Bigyan natin ng libreng mga hindi kilala x2 At x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at ilagay ang mga ito sa (6) . Kunin natin ang sistema
Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito M2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer's theorem o Gauss's method), makuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 At x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ngayon ang natitira na lang ay isulat ito pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong solusyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ibig sabihin nito: 
(7)
6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan natin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 At C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.
Papalitan natin (7) halimbawa, ang huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Saan –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .
Magkomento. Ang tseke ay kadalasang medyo mahirap. Maaaring irekomenda ang sumusunod na "partial check": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan ang nagresultang bahagyang solusyon lamang sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) , na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng kumpletong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan.
Halimbawa 2. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.
Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa pangunahing minor na ito (i.e., mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng mga ito, katumbas ng system (1).
Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.
sistema (9) Nilulutas namin ang pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang kanang bahagi bilang mga libreng termino.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opsyon 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opsyon 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opsyon 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsyon 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Homogeneous na sistema ng mga linear na equation sa isang field
DEPINISYON. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation (1) ay isang walang laman na linearly independent na sistema ng mga solusyon nito, ang linear span na kung saan ay tumutugma sa hanay ng lahat ng solusyon sa system (1).
Tandaan na ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na mayroon lamang isang zero na solusyon ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.
PANUKALA 3.11. Anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay binubuo ng parehong bilang ng mga solusyon.
Patunay. Sa katunayan, anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon sa homogenous na sistema ng mga equation (1) ay katumbas at linearly independyente. Samakatuwid, ayon sa Proposisyon 1.12, ang kanilang mga ranggo ay pantay. Dahil dito, ang bilang ng mga solusyon na kasama sa isang pangunahing sistema ay katumbas ng bilang ng mga solusyon na kasama sa anumang iba pang pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kung ang pangunahing matrix A ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay zero, kung gayon ang anumang vector mula sa ay isang solusyon sa system (1); sa kasong ito, ang anumang koleksyon ay linear mga independiyenteng vector ng ay isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Kung ang ranggo ng hanay ng matrix A ay katumbas ng , kung gayon ang sistema (1) ay may isang solusyon lamang - zero; samakatuwid, sa kasong ito, ang sistema ng mga equation (1) ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.
TEOREM 3.12. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation (1) ay mas mababa sa bilang ng mga variable , kung gayon ang system (1) ay may pangunahing sistema ng solusyon na binubuo ng mga solusyon.
Patunay. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix A ng homogenous system (1) ay katumbas ng zero o , pagkatapos ay ipinakita sa itaas na ang teorama ay totoo. Samakatuwid, sa ibaba ay ipinapalagay na Sa pag-aakalang , ipapalagay natin na ang mga unang column ng matrix A ay linearly independent. Sa kasong ito, ang matrix A ay rowwise na katumbas ng isang pinababang stepwise matrix, at ang system (1) ay katumbas ng sumusunod na pinababang stepwise na sistema ng mga equation:
Madaling suriin kung ang anumang sistema ng mga libreng halaga mga variable ng system(2) ay tumutugma sa isa at isang solusyon lamang sa system (2) at, samakatuwid, sa system (1). Sa partikular, tanging ang zero na solusyon ng system (2) at system (1) ang tumutugma sa isang sistema ng mga zero na halaga.
Sa system (2) itatalaga namin ang isa sa libre halaga ng mga variable, katumbas ng 1, at ang natitirang mga variable ay may mga zero na halaga. Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga solusyon sa sistema ng mga equation (2), na isinusulat namin sa anyo ng mga hilera ng sumusunod na matrix C:
Ang row system ng matrix na ito ay linearly independent. Sa katunayan, para sa anumang mga scalar mula sa pagkakapantay-pantay
sumusunod ang pagkakapantay-pantay
at, samakatuwid, pagkakapantay-pantay
Patunayan natin na ang linear span ng sistema ng mga hilera ng matrix C ay tumutugma sa hanay ng lahat ng mga solusyon sa system (1).
Arbitrary na solusyon ng system (1). Tapos yung vector
ay isa ring solusyon sa system (1), at
Hayaan M 0 – set ng mga solusyon sa isang homogenous system (4) ng mga linear equation.
Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR), kung
1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (ibig sabihin, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);
2) anumang iba pang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.
Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p– anumang f.n.r., pagkatapos ay ang expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + k p× may p maaari mong ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).
Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:
Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation;
Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;
Isulat pangkalahatang anyo mga solusyon na kasama sa M 0 .
Halimbawa 6.5. Maghanap ng pangunahing hanay ng mga solusyon sa sumusunod na sistema:
Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Mayroong limang hindi alam sa sistemang ito ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), mayroong tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 – libreng hindi alam
Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. ng sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous system na ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, ibig sabihin, hindi tiyak kung
1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).
Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation 
may mga non-zero na solusyon?
Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero sa a = –4.
Sagot: –4.
7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector
Pangunahing Konsepto
Sa mga nakaraang seksyon ay nakatagpo na natin ang konsepto ng isang hanay ng mga tunay na numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.
Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.
ibig sabihin A= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n– pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat vectors, at mga numero a i ay tinatawag na kanya mga coordinate.
Halimbawa: A= (1, –8, 7, 4, ) – limang-dimensional na vector.
All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang Rn.
Kahulugan 7.2. Dalawang vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga katumbas na coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Kahulugan 7.3.Halaga dalawa n-dimensional na mga vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).
Kahulugan 7.4. Ang trabaho totoong numero k sa vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null vector).
Madaling i-verify na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Kahulugan 7.6. Isang grupo ng Rn sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.
