Mga integer. Divisibility ng mga natural na numero

Ang artikulong ito ay nagsisimula sa materyal teorya ng divisibility ng mga integer. Dito ipinakilala namin ang konsepto ng divisibility at ipinapahiwatig ang mga tinatanggap na termino at notasyon. Ito ay magpapahintulot sa amin na ilista at bigyang-katwiran ang mga pangunahing katangian ng divisibility.

Pag-navigate sa pahina.

Ang konsepto ng divisibility

Ang konsepto ng divisibility ay isa sa mga pangunahing konsepto ng arithmetic at number theory. Pag-uusapan natin ang tungkol sa divisibility at sa mga espesyal na kaso - tungkol sa divisibility. Kaya, bigyan natin ng ideya ng divisibility sa hanay ng mga integer.

Integer a pagbabahagi sa pamamagitan ng isang integer b, na iba sa zero, kung mayroong isang integer (ipahiwatig ito sa pamamagitan ng q) upang ang pagkakapantay-pantay a=b·q ay totoo. Sa kasong ito, sinasabi rin natin na b naghahati a. Sa kasong ito, ang integer b ay tinatawag divisor mga numero a, ang integer a ay tinatawag maramihan ang numero b (para sa karagdagang impormasyon sa mga divisors at multiple, tingnan ang artikulong Divisors and Multiples), at ang integer q ay tinatawag pribado.

Kung ang isang integer a ay nahahati sa isang integer b sa kahulugan sa itaas, kung gayon ang a ay masasabing mahahati ng b ganap. Ang salitang "buong" sa kasong ito ay higit na binibigyang-diin na ang quotient ng paghahati ng integer a sa integer b ay isang integer.

Sa ilang mga kaso, para sa mga ibinigay na integer a at b, walang integer q kung saan ang pagkakapantay-pantay a=b·q ay totoo. Sa ganitong mga kaso, sinasabi namin na ang integer a ay hindi nahahati ng integer b (ibig sabihin, ang a ay hindi nahahati ng b). Gayunpaman, sa mga kasong ito ay ginagamit nila.

Unawain natin ang konsepto ng divisibility gamit ang mga halimbawa.

Anumang integer a ay nahahati sa numerong a, sa numero −a, a, sa isa at sa numerong −1.

Patunayan natin itong katangian ng divisibility.

Para sa anumang integer a, ang mga pagkakapantay-pantay na a=a·1 at a=1·a ay wasto, kung saan sumusunod na ang a ay nahahati ng a, at ang quotient ay katumbas ng isa, at ang a ay nahahati ng 1, at ang quotient ay katumbas ng a. Para sa anumang integer a ang mga pagkakapantay-pantay na a=(−a)·(−1) at a=(−1)·(−a) ay wasto din, kung saan sumusunod na ang a ay nahahati sa bilang na kabaligtaran ng a, pati na rin bilang a ay nahahati sa minus na yunit.

Tandaan na ang pag-aari ng divisibility ng isang integer a mismo ay tinatawag na pag-aari ng reflexivity.

Ang susunod na katangian ng divisibility ay nagsasaad na ang zero ay mahahati ng anumang integer b.

Sa katunayan, dahil 0=b·0 para sa anumang integer b, ang zero ay mahahati sa anumang integer.

Sa partikular, ang zero ay nahahati din sa zero. Kinukumpirma nito ang pagkakapantay-pantay 0=0·q, kung saan ang q ay anumang integer. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, sumusunod na ang quotient ng zero na hinati ng zero ay anumang integer.

Dapat ding tandaan na walang ibang integer maliban sa zero ang mahahati ng 0. Ipaliwanag natin ito. Kung hinati ng zero ang isang integer na naiiba sa zero, ang pagkakapantay-pantay a=0·q ay dapat totoo, kung saan ang q ay ilang integer, at ang huling pagkakapantay-pantay ay posible lamang kung a=0.

Kung ang isang integer a ay nahahati ng isang integer b at ang a ay mas mababa sa modulus ng b, kung gayon ang a ay katumbas ng zero. Sa literal na anyo, ang katangiang ito ng divisibility ay nakasulat tulad ng sumusunod: kung ab at , pagkatapos ay a=0.

Patunay.

Dahil ang a ay nahahati sa b, mayroong isang integer q kung saan ang pagkakapantay-pantay na a=b·q ay totoo. Kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay dapat ding totoo, at sa bisa ng pagkakapantay-pantay ng anyo ay dapat ding totoo. Kung ang q ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay sinusundan nito iyon. Isinasaalang-alang ang nakuha na hindi pagkakapantay-pantay, ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na . Ngunit ito ay sumasalungat sa kondisyon. Kaya, ang q ay maaari lamang maging katumbas ng zero, at makuha natin ang a=b·q=b·0=0, na siyang kailangan nating patunayan.

Kung ang isang integer a ay hindi-zero at nahahati sa isang integer b, kung gayon ang modulus ng a ay hindi bababa sa modulus ng b. Iyon ay, kung a≠0 at ab, kung gayon . Ang pag-aari na ito ng divisibility ay sumusunod nang direkta mula sa nauna.

Ang tanging mga divisors ng pagkakaisa ay ang integers 1 at −1.

Una, ipakita natin na ang 1 ay nahahati sa 1 at −1. Ito ay sumusunod mula sa mga pagkakapantay-pantay na 1=1·1 at 1=(−1)·(−1) .

Ito ay nananatiling upang patunayan na walang ibang integer ay isang divisor ng pagkakaisa.

Ipagpalagay na ang isang integer b, naiiba sa 1 at −1, ay isang divisor ng pagkakaisa. Dahil ang pagkakaisa ay nahahati ng b, kung gayon, dahil sa dating pag-aari ng divisibility, ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan, na katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay natutugunan lamang ng tatlong integer: 1, 0, at −1. Dahil ipinapalagay namin na ang b ay iba sa 1 at −1, kung gayon ang b=0 na lang ang natitira. Ngunit ang b=0 ay hindi maaaring maging isang divisor ng pagkakaisa (tulad ng ipinakita namin noong inilalarawan ang pangalawang pag-aari ng divisibility). Ito ay nagpapatunay na walang mga numero maliban sa 1 at −1 ang mga divisors ng pagkakaisa.

Para ang isang integer a ay mahahati ng isang integer b ito ay kinakailangan at sapat na ang modulus ng numero a ay mahahati sa modulus ng bilang b.

Patunayan muna natin ang pangangailangan.

Hayaang hatiin ang a sa b, pagkatapos ay mayroong isang integer q na ang a=b·q. Pagkatapos . Dahil ito ay isang integer, ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang modulus ng numero a ay nahahati sa modulus ng bilang b.

Ngayon kasapatan.

Hayaang hatiin ang modulus ng numero a sa modulus ng numero b, pagkatapos ay mayroong isang integer q na ganoon . Kung ang mga numerong a at b ay positibo, kung gayon ang pagkakapantay-pantay a=b·q ay totoo, na nagpapatunay sa divisibility ng a sa b. Kung ang a at b ay negatibo, ang pagkakapantay-pantay na −a=(−b)·q ay totoo, na maaaring muling isulat bilang a=b·q. Kung ang - isang negatibong numero, at ang b ay positibo, pagkatapos ay mayroon tayong −a=b·q, ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng equality a=b·(−q) . Kung ang a ay positibo at ang b ay negatibo, kung gayon mayroon tayong a=(−b)·q , at a=b·(−q) . Dahil ang parehong q at −q ay mga integer, ang mga resultang pagkakapantay-pantay ay nagpapatunay na ang a ay nahahati sa b.

Bunga 1.

Kung ang isang integer a ay nahahati sa isang integer b, kung gayon ang a ay nahahati din sa kabaligtaran na numero −b.

Bunga 2.

Kung ang isang integer a ay nahahati sa isang integer b, kung gayon ang −a ay nahahati din ng b.

Ang kahalagahan ng tinalakay na pag-aari ng divisibility ay mahirap i-overestimate - ang teorya ng divisibility ay maaaring ilarawan sa set ng positive integers, at ang property na ito ng divisibility ay nagpapalawak nito sa mga negatibong integer.

Ang divisibility ay may katangian ng transitivity: kung ang isang integer a ay mahahati ng ilang integer m, at ang bilang na m naman ay hinati sa ilang integer b, kung gayon ang a ay mahahati ng b. Iyon ay, kung am at mb, pagkatapos ay ab.

Bigyan natin ng patunay ang divisibility property na ito.

Dahil ang a ay nahahati sa m, mayroong ilang integer a 1 na ang a=m·a 1. Katulad nito, dahil ang m ay nahahati sa b, mayroong ilang integer m 1 na ang m=b·m 1. Pagkatapos a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). Dahil ang produkto ng dalawang integer ay isang integer, kung gayon ang m 1 ·a 1 ay ilang integer. Tinutukoy ito q, nakarating tayo sa pagkakapantay-pantay na a=b·q, na nagpapatunay ng pag-aari ng divisibility na isinasaalang-alang.

Ang divisibility ay may pag-aari ng antisymmetry, iyon ay, kung ang a ay hinati ng b at sa parehong oras ang b ay hinati ng a, kung gayon ang alinman sa mga integer a at b, o ang mga numerong a at −b, ay pantay.

Mula sa divisibility ng a sa b at b sa a, maaari nating pag-usapan ang pagkakaroon ng mga integer q 1 at q 2 na ang a=b·q 1 at b=a·q 2. Ang pagpapalit ng b·q 1 sa halip na a sa pangalawang pagkakapantay-pantay, o pagpapalit ng a·q 2 sa halip na b sa unang pagkakapantay-pantay, makukuha natin na q 1 ·q 2 =1, at ibinigay na ang q 1 at q 2 ay mga integer, ito ay posible lamang kung q 1 =q 2 =1 o kapag q 1 =q 2 =−1. Kasunod nito na a=b o a=−b (o, ano ang pareho, b=a o b=−a ).

Para sa anumang integer at di-zero na numero b, mayroong isang integer a, hindi katumbas ng b, na nahahati sa b.

Ang numerong ito ay alinman sa mga numerong a=b·q, kung saan ang q ay anumang integer na hindi katumbas ng isa. Maaari tayong magpatuloy sa susunod na pag-aari ng divisibility.

Kung ang bawat isa sa dalawang terminong integer na a at b ay nahahati sa isang integer c, kung gayon ang kabuuan a+b ay mahahati din ng c.

Dahil ang a at b ay nahahati sa c, maaari nating isulat ang a=c·q 1 at b=c·q 2. Pagkatapos a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(ang huling paglipat ay posible dahil sa ). Dahil ang kabuuan ng dalawang integer ay isang integer, ang equality a+b=c·(q 1 +q 2) ay nagpapatunay sa divisibility ng sum a+b sa c.

Maaaring palawigin ang property na ito sa kabuuan ng tatlo, apat o higit pang termino.

Kung matatandaan din natin na ang pagbabawas ng isang integer b mula sa isang integer a ay ang pagdaragdag ng numero a na may numerong −b (tingnan), kung gayon ang katangiang ito ng divisibility ay totoo din para sa pagkakaiba ng mga numero. Halimbawa, kung ang mga integer a at b ay mahahati sa c, kung gayon ang pagkakaiba a−b ay mahahati din ng c.

Kung alam na sa isang pagkakapantay-pantay ng anyong k+l+…+n=p+q+…+s lahat ng mga termino maliban sa isa ay nahahati ng ilang integer b, kung gayon ang isang terminong ito ay mahahati din ng b.

Sabihin nating ang terminong ito ay p (maaari nating kunin ang alinman sa mga tuntunin ng pagkakapantay-pantay, na hindi makakaapekto sa pangangatwiran). Pagkatapos p=k+l+…+n−q−…−s . Ang expression na nakuha sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng b dahil sa nakaraang pag-aari. Samakatuwid, ang bilang na p ay nahahati din sa b.

Kung ang isang integer a ay nahahati sa isang integer b, kung gayon ang produkto a·k, kung saan ang k ay isang arbitrary na integer, ay hinati sa b.

Dahil ang a ay nahahati sa b, ang pagkakapantay-pantay na a=b·q ay totoo, kung saan ang q ay ilang integer. Pagkatapos ay a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (ang huling paglipat ay isinagawa dahil sa ). Dahil ang produkto ng dalawang integer ay isang integer, ang pagkakapantay-pantay na a·k=b·(q·k) ay nagpapatunay sa divisibility ng produkto a·k sa b.

Corollary: kung ang isang integer a ay nahahati sa isang integer b, kung gayon ang produkto a·k 1 ·k 2 ·…·k n, kung saan ang k 1, k 2, …, k n ay ilang integer, ay mahahati ng b.

Kung ang mga integer a at b ay nahahati sa c, kung gayon ang kabuuan ng mga produkto na a·u at b·v ng anyong a·u+b·v, kung saan ang u at v ay mga arbitrary na integer, ay hinati sa c.

Ang patunay ng divisibility property na ito ay katulad ng naunang dalawa. Mula sa kundisyon mayroon tayong a=c·q 1 at b=c·q 2. Pagkatapos a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Dahil ang kabuuan q 1 ·u+q 2 ·v ay isang integer, pagkatapos ay isang pagkakapantay-pantay ng form a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) nagpapatunay na ang a·u+b·v ay nahahati ng c.

Tinatapos nito ang aming pagsusuri sa mga pangunahing katangian ng divisibility.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. at iba pa. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.H. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa Koleksyon ng mga problema sa algebra at teorya ng numero: Pagtuturo para sa mga mag-aaral ng pisika at matematika. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.

Pangalanan ang mga numerong ginamit sa pagbibilang. Ang bawat bilang ng mga mabibilang na item ay tumutugma sa isang tiyak na natural na numero. Kung walang mga bagay na mabibilang, kung gayon ang numero 0 ay ginagamit, ngunit kapag nagbibilang ng mga bagay ay hindi tayo nagsisimula sa 0, at naaayon ang bilang 0 ay hindi maaaring mauri bilang natural. Malinaw na ang pinakamaliit na natural na numero ay isa. Walang pinakamalaking natural na numero, dahil gaano man kalaki ang isang numero, maaari mong palaging magdagdag ng 1 dito at isulat ang susunod na natural na numero.

Ayusin natin ito pinakasimpleng halimbawa dibisyon: hatiin ang numero 30 sa numero 5 (ang natitira kapag hinahati ang numero 30 sa numero 5 ay 0), dahil 30 = 5. 6. Kaya ang bilang na 30 ay nahahati sa bilang na 5. Ang bilang na 5 ay divider ang numero ay 30, at ang bilang 30 ay maramihan numero 5.

Natural na numero k n, kung mayroong ganoong natural na numero m, kung saan pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay k = n . m.

O sa madaling salita , upang hatiin ang isang numero sa isa pa, kailangan mong maghanap ng pangatlong numero na, kapag pinarami ng pangalawa, ay nagbibigay ng una

Kung natural na numero k nahahati sa natural na numero n, pagkatapos ay ang numero k tinawag multiple ng numero,

numero n — number divisor k.

Ang mga numerong 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 ay mga divisors din ng 30, at ang 30 ay multiple ng bawat isa sa mga numerong ito. Tandaan na ang numero 30 ay hindi nahahati ng, halimbawa, ang numero 7. Samakatuwid, ang numero 7 ay hindi isang divisor ng numero 30, at ang bilang 30 ay hindi isang multiple ng numero 7.

Pagkatapos magsagawa ng mga operasyon ng paghahati ay sinasabi nila: “Number k nahahati sa isang numero n", "Numero n ay isang divisor ng isang numero k", "Numero k maramihan ng isang numero n", "Numero k ay isang multiple ng numero n».

Madaling isulat ang lahat ng mga divisors ng numero 6. Ito ang mga numero 1, 2, 3 at 6. Posible bang ilista ang lahat ng mga numero na multiple ng numero 6? Ang mga numerong 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5, atbp. ay mga multiple ng numero 6. Nalaman namin na mayroong walang katapusang maraming mga numero na mga multiple ng numero 6. Samakatuwid, imposibleng ilista ang lahat ng ito.

Sa pangkalahatan, para sa anumang natural na numero k bawat isa sa mga numero

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

ay isang multiple ng numero k.

Pinakamababang divisor anumang natural na numero k ay ang numero 1, at pinakamalaking divisor- ang numero mismo k.

Kabilang sa mga numero na multiple ng k, walang pinakamalaki, ngunit ang pinakamaliit ay - ito ang numero mismo k.

Ang bawat isa sa mga numerong 21 at 36 ay nahahati sa numero 3, at ang kanilang kabuuan, ang bilang na 57, ay nahahati din sa bilang 3. Sa pangkalahatan, kung ang bawat isa sa mga numero k At n nahahati sa isang numero m, pagkatapos ay ang kabuuan k+n ay nahahati din sa isang numero m.

Ang bawat isa sa mga numero 4 at 8 ay hindi pagbabahagi ay isang integer sa pamamagitan ng numero 3, at ang kanilang kabuuan, ang numero 12, ay hindi pantay na nahahati sa bilang 3. Ang bawat isa sa mga numero 9 at 7 ay hindi pantay na nahahati sa bilang 5, at ang kanilang kabuuan, ang numero 16, ay hindi pantay na mahahati sa bilang na 5. Sa pangkalahatan, kung hindi man ang bilang k, ni numero n ay hindi pantay na nahahati sa isang numero m, pagkatapos ay ang kabuuan k + n maaaring mahahati o hindi sa isang buong bilang m.

Ang numero 35 ay nahahati sa numero 7 nang walang natitira, ngunit ang numero 17 ay hindi nahahati sa numero 7. Ang kabuuan na 35 + 17 ay hindi rin nahahati sa bilang na 7. Sa pangkalahatan, kung ang numero k nahahati sa isang numero m at numero n ay hindi nahahati sa isang numero m, pagkatapos ay ang kabuuan k + n ay hindi nahahati sa isang numero m.

Regional research conference para sa mga mag-aaral ng distrito ng munisipyo ng Lakhdenpokh

"Hakbang sa Hinaharap"

Proyekto sa matematika sa paksa:

Nakumpleto ni: Galkina Natalya

mag-aaral sa ika-7 baitang

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Pinuno: Vasilyeva

Larisa Vladimirovna

guro sa matematika

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Panimula 3 pahina

Mula sa kasaysayan ng matematika 4 na pahina.

Pangunahing konsepto 4 na pahina.

Pag-uuri ng mga palatandaan ng divisibility: 5 pahina.

1. Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng (mga) huling digit na 5 – 6 na pahina.

   Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero: 6 na pahina.

   Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon sa mga digit ng numerong 6 - 9 na pahina.

   Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ang iba pang mga palatandaan ay ginagamit 9 - 10 mga pahina.

Paglalapat ng pamantayan sa divisibility sa pagsasanay 10 – 11 na pahina.

Konklusyon 11 pahina

Bibliograpiya 12 pahina.

Panimula

Ang kaugnayan ng pananaliksik: Ang mga palatandaan ng divisibility ay palaging interesado sa mga siyentipiko ng iba't ibang panahon at mga tao. Kapag pinag-aaralan ang paksang "Mga palatandaan ng divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10" sa mga aralin sa matematika, naging interesado ako sa pag-aaral ng mga numero para sa divisibility. Ipinapalagay na kung posible na matukoy ang divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng mga numerong ito, dapat mayroong mga palatandaan kung saan matutukoy ng isa ang divisibility. natural na mga numero at para sa iba pang mga numero. Sa ilang mga kaso, upang malaman kung ang anumang natural na numero ay mahahati a sa isang natural na numero b nang walang natitira, hindi kinakailangang hatiin ang mga numerong ito. Ito ay sapat na upang malaman ang ilang mga palatandaan ng divisibility.

Hypothesis– kung mayroong mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10, kung gayon mayroong iba pang mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ang divisibility ng mga natural na numero.

Layunin ng pag-aaral – dagdagan ang mga kilalang palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa kabuuan, pinag-aralan sa paaralan at i-systematize ang mga palatandaang ito ng divisibility.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod mga gawain:

Malayang galugarin ang divisibility ng mga numero.

Mag-aral ng karagdagang literatura upang maging pamilyar sa iba pang mga palatandaan ng divisibility.

Pagsamahin at ibuod ang mga feature mula sa iba't ibang source.

Gumuhit ng konklusyon.

Layunin ng pag-aaral– pag-aaral ng lahat ng posibleng palatandaan ng divisibility.

Paksa ng pag-aaral- mga palatandaan ng divisibility.

Mga pamamaraan ng pananaliksik– koleksyon ng materyal, pagproseso ng data, paghahambing, pagsusuri, synthesis.

Bago: Sa panahon ng proyekto, pinalawak ko ang aking kaalaman tungkol sa mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Mula sa kasaysayan ng matematika

Blaise Pascal(ipinanganak noong 1623) - isa sa pinaka mga sikat na tao sa kasaysayan ng sangkatauhan. Pascalumer, noong siya ay 39 taong gulang, ngunit sa kabila nito maikling buhay, bumaba sa kasaysayan bilang isang natatanging matematiko, pisiko, pilosopo at manunulat. Ang yunit ng presyon (pascal) at isang napaka-tanyag na programming language ngayon ay ipinangalan sa kanya. Natagpuan ni Blaise Pascal ang isang karaniwan

Ang pagsusulit ni Pascal ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mga pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng anumang numero. Isang uri ng "universal sign of divisibility".

Pascal's divisibility test: Natural na numero A ay hahatiin ng isa pang natural na numero b lamang kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numero A sa mga katumbas na natitira na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga digit na unit sa numero b, ay hinati sa numerong ito.

Halimbawa : ang bilang na 2814 ay nahahati sa 7, dahil ang 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 ay nahahati sa 7. (Narito ang 6 ay ang natitira sa dibisyon ng 1000 sa 7, ang 2 ay ang natitira sa paghahati ng 100 sa 7 at 3 ang natitira mula sa paghahati ng 10 sa 7).

Pangunahing Konsepto

Alalahanin natin ang ilang mga konsepto sa matematika na kakailanganin natin sa pag-aaral ng paksang ito.

Pagsusulit sa divisibility ay isang panuntunan kung saan, nang hindi nagsasagawa ng paghahati, matutukoy mo kung ang isang numero ay mahahati sa isa pa.

Divider natural na numero A pangalanan ang natural na numero kung saan A hinati nang walang natitira.

Simple ay tinatawag na natural na mga numero na walang ibang natural na natatanging divisors maliban sa isa at sa kanilang mga sarili.

Composite ay mga numerong may natural na divisors maliban sa 1 at sa kanilang sarili.

Mga palatandaan ng divisibility

Ang lahat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na isinasaalang-alang ko sa gawaing ito ay maaaring nahahati sa 4 na grupo:

Tingnan natin ang bawat isa sa mga pangkat na ito.

Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng huling digit (mga)

Ang unang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na aking isinasaalang-alang ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 at mga digit na unit 10, 100, atbp.

Subukan para sa divisibility ng 2: Ang isang numero ay nahahati sa 2 kapag ang huling digit ng numerong iyon ay nahahati sa 2 (ibig sabihin, ang huling digit ay isang even na numero).

Halimbawa: 32217864 : 2

Subukan para sa divisibility ng 4 : Ang isang numero ay nahahati sa 4 kapag ang huling dalawang digit nito ay mga zero, o kapag ang dalawang-digit na numero na nabuo ng huling dalawang digit nito ay nahahati sa 4.

Halimbawa, 35324 : 4; 6600 : 4

Pagsusuri sa divisibility ng 5 : Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay 5 o 0.

Halimbawa: 36780 : 5 o 12326 5 : 5

Subukan para sa divisibility ng 8: ang isang numero ay nahahati sa 8 kapag ito ay nahahati sa 8 tatlong digit na numero, nabuo mula sa huling tatlong digit ng numerong ito.

Halimbawa: 432240 : 8

Subukan para sa divisibility ng 20: ang isang numero ay nahahati sa 20 kapag ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 20. (Isa pang pagbabalangkas: ang isang numero ay nahahati ng 20 kapag ang huling digit ng numero ay 0 at ang penultimate digit ay pantay).

Halimbawa: 59640 : 20

Subukan para sa divisibility ng 25: Ang mga numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 25 ay nahahati sa 25.

Halimbawa: 667975 : 25 o 77689 00 : 25

Subukan para sa divisibility ng 50: Ang isang numero ay nahahati sa 50 kapag ang bilang na nabuo sa pamamagitan ng dalawang pinakamababang decimal na digit nito ay nahahati sa 50.

Halimbawa: 564350 :50 o 5543 00 :50

Pagsusuri sa divisibility ng 125: Ang isang numero ay nahahati ng 125 kung ang huling tatlong digit nito ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 125.

Halimbawa: 32157000 :125 o 3216 250 :125

yaong mga natural na numero na ang bilang ng mga zero ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang ng mga zero ng digit na yunit ay nahahati sa isang digit na yunit.

Halimbawa, 12,000 ay nahahati sa 10, 100 at 1000.

Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero

Kasama sa pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 3, 9, 11 na aking isinasaalang-alang.

Subukan para sa divisibility ng 3: Ang isang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Subukan para sa divisibility ng 9: Ang isang numero ay nahahati sa 9 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.

Halimbawa: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Subukan para sa divisibility ng 11: Ang mga numerong iyon ay nahahati sa 11 kung ang kabuuan ng mga digit sa mga kakaibang lugar ay alinman sa katumbas ng kabuuan ng mga digit sa kahit na mga lugar o naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang multiple ng 11.

Halimbawa: 865948732:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon sa mga digit ng numerong ito

Ang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Subukan para sa divisibility ng 6:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ang resulta ng pagbabawas ng dalawang beses sa bilang ng daan-daan mula sa numero pagkatapos ng daan-daan ay nahahati sa 6.

Halimbawa, 138: 6 dahil 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kasi 44 – 7·2=30, (30:6)

Lagda 2: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kung at kung apat na beses lamang ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 6.

Halimbawa, 768:6 kasi 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Divisibility ng 7:

Palatandaan 1: ang numero ay nahahati sa 7 kapag triple ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 7.

Halimbawa, bilang 154:7, dahil 15 3 + 4 = 49 (49:7) ay hinati sa 7

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 7 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang “+” sign, at kahit na mga numero na may “-” sign ay nahahati ng 7.

Halimbawa, 138689257:7, dahil ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Divisibility ng 11:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga kakaibang posisyon at ang kabuuan ng mga digit na sumasakop sa kahit na mga posisyon ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 9163627:11, dahil ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 103785:11, dahil 10+37+85=132 at 01+32=33 (33:11)

Divisibility ng 13:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati ng 13 kapag ang kabuuan ng sampu na numero kasama ang apat na beses na ang mga ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Lagda 2: Ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at siyam na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84-5 9=39 (39:13)

Subukan para sa divisibility ng 17: ang isang numero ay nahahati sa 17 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at limang beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 17.

Halimbawa, 221:17, dahil ǀ22-5·1ǀ=17

Mga palatandaan ng divisibility ng 19: Ang isang numero ay nahahati sa 19 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa dalawang beses sa bilang ng mga yunit ay nahahati sa 19.

Halimbawa, 646:19, dahil 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 23:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang daan-daang numero na idinagdag sa triple ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 28842:23, dahil 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Lagda 2: ang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa pitong beses ang bilang ng isa ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3 9+7 1=46 (46:23)

Palatandaan 3: ang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daan ay idinagdag sa pitong beses sa bilang ng sampu at triple ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Subukan para sa divisibility ng 27: ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 27.

Halimbawa, 2705427:27 kasi 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Subukan para sa divisibility ng 29: Ang isang numero ay nahahati sa 29 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa tatlong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 29.

Halimbawa, 261:29, dahil 26+3·1=29 (29:29)

Subukan para sa divisibility ng 31: Ang isang numero ay nahahati sa 31 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at tatlong beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 31.

Halimbawa, 217:31, dahil ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Pamantayan sa divisibility ng 33: Kung ang kabuuan na binubuo sa pamamagitan ng paghahati ng isang numero mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng dalawang digit ay nahahati sa 33, kung gayon ang numero ay mahahati sa 33.

Halimbawa, 396:33, dahil 96+3=99 (99:33)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 37:

Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag, kapag hinahati ang numero sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), ang kabuuan ng mga pangkat na ito ay isang multiple ng 37.

Halimbawa, bilang 100048:37, dahil 100+048=148, (148:37)

Lagda 2: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag ang modulus ng triple ang bilang ng daan-daan ay idinagdag sa apat na beses ang bilang ng sampu minus ang bilang ng mga yunit na pinarami ng pito ay hinati sa 37.

Halimbawa, ang numero ay 481:37, dahil nahahati ito ng 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Pamantayan sa divisibility ng 41:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati ng 41 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 41.

Halimbawa, 369:41, dahil ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Lagda 2: Upang suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 41, dapat itong hatiin mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng 5 digit bawat isa. Pagkatapos sa bawat pangkat, i-multiply ang unang digit sa kanan ng 1, i-multiply ang pangalawang digit sa 10, ikatlo sa 18, ikaapat ng 16, ikalima ng 37 at idagdag ang lahat ng mga resultang produkto. Kung ang resultaay mahahati sa 41, pagkatapos ang numero mismo ay mahahati sa 41.

Subukan para sa divisibility ng 59: Ang isang numero ay nahahati sa 59 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 6 ay nahahati sa 59.

Halimbawa, 767:59, dahil 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Subukan para sa divisibility ng 79: Ang isang numero ay nahahati sa 79 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 8 ay nahahati sa 79.

Halimbawa, 711:79, dahil 71+8·1=79, (79:79)

Pagsusuri sa divisibility ng 99: Ang isang numero ay nahahati sa 99 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 99.

Halimbawa, 12573:99, dahil 1+25+73=99, (99:99)

Pagsusuri sa divisibility ng 101: ang isang numero ay nahahati sa 101 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng dalawang digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang "+" sign, at kahit na mga numero na may "–" sign ay nahahati ng 101.

Halimbawa

Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ginagamit ang iba pang pamantayan sa divisibility

Ang pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, atbp. Ang lahat ng ito ay pinagsama-samang mga numero. Ang pamantayan sa divisibility para sa mga composite na numero ay batay sa mga pamantayan sa divisibility para sa mga prime number, kung saan maaaring mabulok ang anumang composite number.

Subukan para sa divisibility ng 6:

Palatandaan 1: Ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ito ay nahahati sa parehong 2 at 3, iyon ay, kung ito ay kahit na at ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 768:6, dahil 7+6+8=21 (21:3) at ang huling digit sa numerong 768 ay pantay.

Pagsusuri sa divisibility ng 12: Ang isang numero ay nahahati sa 12 kapag ito ay nahahati ng 3 at 4 sa parehong oras.

Halimbawa, 408:12, dahil 4+0+8=12 (12:3) at ang huling dalawang digit ay nahahati sa 4 (08:4)

Subukan para sa divisibility ng 14: Ang isang numero ay nahahati sa 14 kapag ito ay nahahati sa 2 at 7.

Halimbawa, ang bilang na 45612:14 dahil ito ay nahahati sa parehong 2 at 7, na nangangahulugang ito ay nahahati ng 14.

Subukan para sa divisibility ng 15: Ang isang numero ay nahahati sa 15 kapag ito ay nahahati sa 3 at 5.

Halimbawa, 1146795:15 kasi Ang numerong ito ay nahahati sa parehong 3 at 5.

Mga pagsubok para sa divisibility ng 27: Ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ito ay nahahati sa 3 at 9.

Halimbawa, 511704:27 kasi 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 at 18:9)

Mga palatandaan ng divisibility ng 30: Ang isang numero ay nahahati sa 30 kapag ito ay nagtatapos sa 0 at ang kabuuan ng lahat ng mga numero ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 510:30 kasi 5+1+0=6 (6:3) at sa numerong 510 (huling digit 0)

Mga palatandaan ng divisibility ng 60: Upang ang isang numero ay mahahati sa 60, kinakailangan at sapat na ito ay mahahati ng 4, 3, o 5.

Halimbawa, 1620:60 kasi 1+6+2+0=9 (9:3), ang bilang na 1620 ay nagtatapos sa 0, i.e. ay nahahati sa 5 at 1620: 4 dahil huling dalawang digit 20:4

Ang gawain ay may praktikal na aplikasyon. Maaari itong gamitin ng mga mag-aaral at matatanda kapag nilulutas ang mga totoong sitwasyon; mga guro, kapwa kapag nagsasagawa ng mga aralin sa matematika at sa mga elektibong kurso at karagdagang mga klase para sa pag-uulit.

Itong pag aaral ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral kapag pagsasanay sa sarili para sa final at entrance exams. Magiging kapaki-pakinabang din ito para sa mga mag-aaral na ang layunin ay matataas na lugar sa mga Olympiad ng lungsod.

Gawain Blg. 1 . Posible bang, gamit lamang ang mga numero 3 at 4, na isulat:

isang numero na nahahati sa 10;

kahit na numero;

isang numero na isang multiple ng 5;

kakaibang numero

Problema Blg. 2

Sumulat ng ilang siyam na digit na numero na walang umuulit na digit (lahat ng digit ay iba) at nahahati sa 1 nang walang natitira.

Isulat ang pinakamalaki sa mga bilang na ito.

Isulat ang pinakamaliit sa mga bilang na ito.

Sagot: 987652413; 102347586

Gawain Blg. 3

Hanapin ang pinakamalaking apat na digit na numero, ang lahat ng mga digit ay iba at nahahati sa 2, 5, 9, 11.

Sagot: 8910

Problema Blg. 4

Nakagawa si Olya ng isang simpleng tatlong-digit na numero, na ang lahat ng mga digit ay iba. Sa anong digit ito magtatapos kung ang huling digit nito ay katumbas ng kabuuan ng unang dalawa. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bilang.

Sagot: sa pamamagitan lamang ng 7. Mayroong 4 na numero na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: 167, 257, 347, 527

Problema Blg. 5

Mayroong 70 mag-aaral sa dalawang klase na magkasama. Sa isang klase, 7/17 na mag-aaral ang hindi sumipot sa mga klase, at sa isa pa, 2/9 ang nakatanggap ng mahuhusay na marka sa matematika. Ilang estudyante ang bawat klase?

Solusyon: Sa una sa mga klaseng ito ay maaaring mayroong: 17, 34, 51... - mga numero na multiple ng 17. Sa pangalawang klase: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - mga numero na multiple ng 9. Kailangan nating pumili ng 1 numero mula sa unang pagkakasunud-sunod , at ang 2 ay isang numero mula sa pangalawa upang sila ay magdagdag ng hanggang 70. Bukod dito, sa mga pagkakasunud-sunod na ito ay maliit na bilang lamang ng mga termino ang maaaring magpahayag ng posibleng bilang ng mga bata sa klase. Ang pagsasaalang-alang na ito ay makabuluhang naglilimita sa pagpili ng mga opsyon. Ang tanging posibleng opsyon ay ang pares (34, 36).

Problema Blg. 6

Sa ika-9 na baitang para sa pagsusulit 1/7 na mag-aaral ang nakatanggap ng A's, 1/3 - B's, ½ - C's. Ang natitirang gawain ay naging hindi kasiya-siya. Ilang ganoong trabaho ang naroon?

Solusyon: Ang solusyon sa problema ay dapat na isang numero na isang multiple ng mga numero: 7, 3, 2. Hanapin muna natin ang pinakamaliit sa mga numerong ito. LCM (7, 3, 2) = 42. Maaari kang lumikha ng expression ayon sa mga kondisyon ng problema: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 hindi matagumpay. Ipinapalagay ng mga problema sa relasyong matematika na ang bilang ng mga mag-aaral sa klase ay 84, 126, atbp. Tao. Ngunit ang sentido komun ay nagpapahiwatig na ang pinakakatanggap-tanggap na sagot ay ang numero 42.

Sagot: 1 trabaho.

Konklusyon:

Bilang resulta ng gawaing ito, nalaman ko na bilang karagdagan sa mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10 na alam ko, mayroon ding iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero. Ang kaalamang nakuha ay makabuluhang nagpapabilis sa solusyon ng maraming problema. At magagamit ko ang kaalamang ito sa aking mga aktibidad na pang-edukasyon, kapwa sa mga aralin sa matematika at sa mga gawaing ekstrakurikular. Dapat ding tandaan na ang mga pormulasyon ng ilang pamantayan sa divisibility ay kumplikado. Kaya lang siguro hindi sila nag-aaral sa school. Inaasahan kong patuloy na magtrabaho sa pag-aaral ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa hinaharap.

encyclopedic Dictionary batang mathematician. Savin A.P. Moscow "Pedagogy" 1989.

Mathematics. Karagdagang materyales para sa mga aralin sa matematika, mga baitang 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.

Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukasyon, 1989.

Extracurricular work sa matematika sa grade 6-8. Moscow. "Enlightenment" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

“1001 tanong at sagot. Malaking aklat ng kaalaman" Moscow. "World of Books" 2004.

Opsyonal na kurso sa matematika. Nikolskaya I.L. - Moscow. Enlightenment 1991.

Mga problema sa Olympiad sa matematika at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Farkov A.V. 2003

Mga mapagkukunan ng Internet.

Tingnan ang nilalaman ng presentasyon
"Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero"

Regional research conference para sa mga mag-aaral

Lakhdenpokh munisipal na distrito "Hakbang sa hinaharap"

"Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero"

Nakumpleto ni: Galkina Natalya

mag-aaral sa ika-7 baitang

MKOU "Elisenvaara Secondary School"

Pinuno: Vasilyeva Larisa Vladimirovna

guro ng matematika sa MKOU "Elisenvaarskaya" Secondary School"

2014

Ang kaugnayan ng pananaliksik : Ang mga palatandaan ng divisibility ay palaging interesado sa mga siyentipiko ng iba't ibang panahon at mga tao. Kapag pinag-aaralan ang paksang "Mga palatandaan ng divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9, 10" sa mga aralin sa matematika, naging interesado ako sa pag-aaral ng mga numero para sa divisibility. Ipinapalagay na kung posible na matukoy ang divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng mga numerong ito, dapat mayroong mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ng isa ang divisibility ng natural na mga numero ng iba pang mga numero. Sa ilang mga kaso, upang malaman kung ang anumang natural na numero ay mahahati a sa isang natural na numero b nang walang natitira, hindi kinakailangang hatiin ang mga numerong ito. Ito ay sapat na upang malaman ang ilang mga palatandaan ng divisibility. Hypothesis – kung mayroong mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10, kung gayon mayroong iba pang mga palatandaan kung saan maaaring matukoy ang divisibility ng mga natural na numero. Layunin ng pag-aaral – dagdagan ang mga kilalang palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero sa kabuuan, pinag-aralan sa paaralan at i-systematize ang mga palatandaang ito ng divisibility. Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod mga gawain:

• Malayang galugarin ang divisibility ng mga numero.
• Mag-aral ng karagdagang literatura upang maging pamilyar sa iba pang mga palatandaan ng divisibility.
• Pagsamahin at ibuod ang mga feature mula sa iba't ibang source.
• Gumuhit ng konklusyon. Layunin ng pag-aaral – divisibility ng mga natural na numero. Paksa ng pag-aaral - mga palatandaan ng divisibility. Mga pamamaraan ng pananaliksik – koleksyon ng materyal, pagproseso ng data, paghahambing, pagsusuri, paglalahat. Kabago-bago : Sa panahon ng proyekto ay pinalawak ko ang aking kaalaman sa pamantayan para sa divisibility ng mga natural na numero.

Mula sa kasaysayan ng matematika

Blaise Pascal (ipinanganak 1623) - isa sa mga pinakatanyag na tao sa kasaysayan ng sangkatauhan. Namatay si Pascal noong siya ay 39 taong gulang, ngunit sa kabila ng napakaikling buhay, bumaba siya sa kasaysayan bilang isang natatanging matematiko, pisiko, pilosopo at manunulat. Ang yunit ng presyon (pascal) at isang napaka-tanyag na programming language ngayon ay ipinangalan sa kanya. Natagpuan ni Blaise Pascal ang isang karaniwan isang algorithm para sa paghahanap ng mga palatandaan ng divisibility ng anumang integer ng anumang iba pang integer.

Ang pagsusulit ni Pascal ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mga pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng anumang numero. Isang uri ng "universal sign of divisibility".

Pascal's divisibility test: Ang isang natural na numero a ay hahatiin ng isa pang natural na numero b kung ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numerong a sa mga katumbas na natitirang nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng mga yunit ng digit sa numerong b ay mahahati sa numerong ito.

Halimbawa : ang bilang na 2814 ay nahahati sa 7, dahil ang 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 ay nahahati sa 7. (Narito ang 6 ay ang natitira sa dibisyon ng 1000 sa 7, ang 2 ay ang natitira sa paghahati ng 100 sa 7 at 3 ang natitira mula sa paghahati ng 10 sa 7).

Pangunahing Konsepto

Tandaan natin ang ilang mga konsepto sa matematika na kakailanganin natin sa pag-aaral ng paksang ito:

• Pagsusulit sa divisibility ay isang panuntunan kung saan, nang hindi nagsasagawa ng paghahati, matutukoy mo kung ang isang numero ay mahahati sa isa pa.

• Divider natural na numero A tumawag sa isang natural na numero b , kung saan A hinati nang walang natitira.

• Simple ay tinatawag na natural na mga numero na walang ibang natural na natatanging divisors maliban sa isa at sa kanilang mga sarili.

• Composite ay mga numerong may natural na divisors maliban sa 1 at sa kanilang sarili.

Mga palatandaan ng divisibility

Ang lahat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na isinasaalang-alang ko sa gawaing ito ay maaaring nahahati sa 4 na grupo:

ako

• ako . Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng huling digit (mga)

Ang unang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero na aking isinasaalang-alang ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 at mga digit na unit 10, 100, atbp.

• Subukan para sa divisibility ng 2 : Ang isang numero ay nahahati sa 2 kapag ang huling digit ng numerong iyon ay nahahati sa 2 (ibig sabihin, ang huling digit ay isang even na numero).

Halimbawa : 3221786 4 : 2

• Subukan para sa divisibility ng 4 : Ang isang numero ay nahahati sa 4 kapag ang huling dalawang digit nito ay mga zero, o kapag ang dalawang-digit na numero na nabuo ng huling dalawang digit nito ay nahahati sa 4.

Halimbawa: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Pagsusuri sa divisibility ng 5 : Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay 5 o 0.

Halimbawa: 3678 0 : 5 o 12326 5 : 5

• Subukan para sa divisibility ng 8: Ang isang numero ay nahahati sa 8 kapag ang isang tatlong-digit na numero na nabuo mula sa huling tatlong digit ng numerong iyon ay nahahati sa 8.

Halimbawa: 432 240 : 8

• Subukan para sa divisibility ng 20: ang isang numero ay nahahati sa 20 kapag ang bilang ay nabuo ng dalawa huli mga numero, nahahati sa 20. (Isa pang pormulasyon: ang numero ay nahahati sa pamamagitan ng 20 kapag ang huling digit ng numero ay 0, at ang pangalawa hanggang huling digit ay pantay).

Halimbawa: 596 40 : 20

• Subukan para sa divisibility ng 25: Ang mga numero na ang huling dalawang digit ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 25 ay nahahati sa 25.

Halimbawa: 6679 75 : 25 o 77689 00 : 25

• Subukan para sa divisibility ng 50: Ang isang numero ay nahahati sa 50 kapag ang bilang na nabuo sa pamamagitan ng dalawang pinakamababang decimal na digit nito ay nahahati sa 50.

Halimbawa : 5643 50 : 50 o 5543 00 : 50

• Pagsusuri sa divisibility ng 125: Ang isang numero ay nahahati ng 125 kung ang huling tatlong digit nito ay mga zero o bumubuo ng isang numero na nahahati sa 125.

Halimbawa: 32157 000 : 125 o 3216 250 : 125

• Mga palatandaan ng divisibility ayon sa digit na unit 10, 100, 1000, atbp.: yaong mga natural na numero na ang bilang ng mga zero ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang ng mga zero ng digit na yunit ay nahahati sa isang digit na yunit.

Halimbawa, ang 12,000 ay nahahati sa 10, 100 at 1000

II

• II . Ang divisibility ng mga numero ay tinutukoy ng kabuuan ng mga digit ng numero

Kasama sa pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 3, 9, 11 na aking isinasaalang-alang.

• Subukan para sa divisibility ng 3: Ang isang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Subukan para sa divisibility ng 9: Ang isang numero ay nahahati sa 9 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.

Halimbawa: 653022: 9 kasi 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Subukan para sa divisibility ng 11: Ang mga numerong iyon ay nahahati sa 11 kung ang kabuuan ng mga digit sa mga kakaibang lugar ay alinman sa katumbas ng kabuuan ng mga digit sa kahit na mga lugar o naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang multiple ng 11.

Halimbawa: 865948732:11 dahil 8+5+4+7+2=26 at 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kasi 8+5+4+7+2=26 at 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Natutukoy ang divisibility ng mga numero pagkatapos magsagawa ng ilang aksyon

sa itaas ng mga digit ng numerong ito

Ang pangkat ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Subukan para sa divisibility ng 6:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 6 kapag ang resulta ng pagbabawas ng dalawang beses sa bilang ng daan-daan mula sa numero pagkatapos ng daan-daan ay nahahati ng 6.

Halimbawa: 138: 6 dahil 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kasi 44 – 7·2=30, (30:6)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 6 kung at kung ang apat na beses na bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng mga yunit ay mahahati ng 6.

Halimbawa: 768:6 kasi 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Divisibility ng 7:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 7 kapag triple ang bilang ng sampu na idinagdag sa bilang ng isa ay nahahati ng 7.

Halimbawa: ang bilang na 154:7, dahil 15 3 + 4 = 49 (49:7) ay hinati sa 7

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 7 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), na kinuha gamit ang "+" na sign, at kahit na mga numero na may "-" sign ay nahahati ng 7.

Halimbawa, 138689257:7, dahil ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Divisibility ng 11:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga digit na sumasakop sa mga kakaibang posisyon at ang kabuuan ng mga digit na sumasakop sa kahit na mga posisyon ay nahahati ng 11.

Halimbawa, 9163627:11, dahil ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 11 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 11.

Halimbawa, 103785:11, dahil 10+37+85=132 at 01+32=33 (33:11)

Divisibility ng 13:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang kabuuan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13

Halimbawa, 845:13, dahil 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 13 kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at siyam na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 13.

Halimbawa, 845:13, dahil 84-5 9=39 (39:13)

Subukan para sa divisibility ng 17: ang isang numero ay nahahati sa 17 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at limang beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 17.

Halimbawa, 221:17, dahil ǀ22-5·1ǀ=17

Mga palatandaan ng divisibility ng 19: ang isang numero ay nahahati sa 19 kapag ang bilang ay sampu, na may huwad na may doble ang bilang ng mga yunit, nahahati sa 19.

Halimbawa, 646:19, dahil 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 23:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daang idinagdag sa triple ang bilang na nabuo ng huling dalawang digit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 28842:23, dahil 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa pitong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 39+7·1=46 (46:23)

• Palatandaan 3: ang isang numero ay nahahati sa 23 kapag ang bilang ng daan-daan, idinagdag sa pitong beses ang bilang ng sampu at triple ang bilang ng mga yunit, mahahati sa 23.

Halimbawa, 391:23, dahil 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Subukan para sa divisibility ng 27: ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 27.

Halimbawa, 2705427:27 dahil 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Subukan para sa divisibility ng 29: ang isang numero ay nahahati sa 29 kapag ang bilang ng sampu ay idinagdag sa tatlong beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 29

Halimbawa, 261:29, dahil 26+3·1=29 (29:29)

Subukan para sa divisibility ng 31: ang isang numero ay nahahati sa 31 kapag ang modulus ng pagkakaiba ng bilang ng sampu at tatlong beses ang bilang ng mga yunit ay nahahati sa 31.

Halimbawa, 217:31, dahil ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Pamantayan sa divisibility ng 33: Kung ang kabuuan na binubuo sa pamamagitan ng paghahati ng isang numero mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng dalawang digit ay nahahati sa 33, kung gayon ang numero ay mahahati sa 33.

Halimbawa, 396:33, dahil 96+3=99 (99:33)

Mga pagsubok para sa divisibility ng 37:

• Palatandaan 1 : ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag, kapag hinahati ang numero sa mga pangkat ng tatlong digit (nagsisimula sa isa), ang kabuuan ng mga pangkat na ito ay isang multiple ng 37.

Halimbawa , bilang 100048:37, dahil 100+048=148, (148:37)

• Palatandaan 2: ang isang numero ay nahahati sa 37 kapag ang module ng triple ang bilang ng daan-daan, idinagdag sa apat na beses ang bilang ng sampu, binawasan ang bilang ng mga yunit na pinarami ng pito, ay nahahati sa 37.

Halimbawa, ang bilang na 481:37, dahil ang ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 ay nahahati ng 37

Pamantayan sa divisibility ng 41:

• Palatandaan 1: ang isang numero ay nahahati sa 41 kapag ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng sampu at apat na beses ang bilang ng isa ay nahahati ng 41.

Halimbawa, 369:41, dahil ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Palatandaan 2: upang suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 41, dapat itong hatiin mula kanan pakaliwa sa mga pangkat ng 5 digit bawat isa. Pagkatapos sa bawat pangkat, i-multiply ang unang digit sa kanan ng 1, i-multiply ang pangalawang digit sa 10, ikatlo sa 18, ikaapat ng 16, ikalima ng 37 at idagdag ang lahat ng mga resultang produkto. Kung ang resulta ay nahahati sa 41, kung gayon ang numero mismo ay mahahati sa 41.

Subukan para sa divisibility ng 59: Ang isang numero ay nahahati sa 59 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 6 ay nahahati sa 59.

Halimbawa, 767:59, dahil 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Subukan para sa divisibility ng 79: Ang isang numero ay nahahati sa 79 kapag ang bilang ng mga sampu na idinagdag sa bilang ng mga pinarami ng 8 ay nahahati sa 79.

Halimbawa, 711:79, dahil 71+8·1=79, (79:79)

Pagsusuri sa divisibility ng 99: Ang isang numero ay nahahati sa 99 kapag ang kabuuan ng mga numero na bumubuo sa mga pangkat ng dalawang digit (nagsisimula sa isa) ay nahahati sa 99.

Halimbawa, 12573:99, dahil 1+25+73=99, (99:99)

Pagsusuri sa divisibility ng 101: ang isang numero ay nahahati sa 101 kapag ang modulus ng algebraic na kabuuan ng mga numero na bumubuo ng mga kakaibang grupo ng dalawang digit (nagsisimula sa isa), na kinukuha gamit ang "+" sign, at kahit na mga numero na may "–" sign ay nahahati ng 101.

Halimbawa, 590547:101, dahil ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Upang matukoy ang divisibility ng isang numero, ginagamit ang iba pang pamantayan sa divisibility

Ang pangkat na ito ng mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero ay kinabibilangan ng mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, atbp. Ang lahat ng ito ay pinagsama-samang mga numero. Ang mga pamantayan sa divisibility para sa mga composite na numero ay batay sa mga pamantayan ng divisibility para sa mga prime number, kung saan maaaring mabulok ang anumang composite number.

Subukan para sa divisibility ng 6: Ang isang numero ay nahahati ng 6 kapag ito ay nahahati sa parehong 2 at 3, iyon ay, kung ito ay kahit na at ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 768:6, dahil 7+6+8=21 (21:3) at ang huling digit sa numerong 768 ay pantay.

Pagsusuri sa divisibility ng 12 : Ang isang numero ay nahahati sa 12 kapag ito ay nahahati ng 3 at 4 sa parehong oras.

Halimbawa, 408:12, dahil 4+0+8=12 (12:3) at ang huling dalawang digit ay nahahati sa 4 (08:4)

Subukan para sa divisibility ng 14: Ang isang numero ay nahahati sa 14 kapag ito ay nahahati sa 2 at 7.

Halimbawa, ang numerong 45612:14 dahil ito ay nahahati sa parehong 2 at 7, na nangangahulugang ito ay nahahati ng 14.

Subukan para sa divisibility ng 15: Ang isang numero ay nahahati sa 15 kapag ito ay nahahati sa 3 at 5.

Halimbawa, 1146795:15 dahil ang numerong ito ay nahahati sa parehong 3 at 5

Mga pagsubok para sa divisibility ng 27: Ang isang numero ay nahahati sa 27 kapag ito ay nahahati sa 3 at 9. Halimbawa, 511704:27 dahil 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 at 18:9)

Mga palatandaan ng divisibility ng 30: Ang isang numero ay nahahati sa 30 kapag ito ay nagtatapos sa 0 at ang kabuuan ng lahat ng mga numero ay nahahati sa 3.

Halimbawa, 510:30 kasi 5+1+0=6 (6:3) at sa numerong 510 (huling digit 0)

Mga palatandaan ng divisibility ng 60: Upang ang isang numero ay mahahati sa 60, kinakailangan at sapat na ito ay mahahati ng 4, 3, o 5.

Halimbawa, 1620:60 kasi 1+6+2+0=9 (9:3), ang bilang na 1620 ay nagtatapos sa 0, i.e. ay nahahati sa 5 at 1620: 4 dahil huling dalawang digit 20:4

Paglalapat ng pamantayan sa divisibility sa pagsasanay

Ang gawain ay may praktikal na aplikasyon. Maaari itong gamitin ng mga mag-aaral at matatanda kapag nilulutas ang mga totoong sitwasyon; mga guro, kapwa sa panahon ng mga aralin sa matematika at sa mga elektibong kurso at karagdagang mga klase sa rebisyon.

Ang pag-aaral na ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa kanilang independiyenteng paghahanda para sa pangwakas at pasukan na mga pagsusulit. Magiging kapaki-pakinabang din ito para sa mga mag-aaral na ang layunin ay matataas na lugar sa mga Olympiad ng lungsod.

Gawain Blg. 1 . Posible bang, gamit lamang ang mga numero 3 at 4, na isulat:

• isang numero na nahahati sa 10;
• kahit na numero;
• isang numero na isang multiple ng 5;
• kakaibang numero

Gawain Blg. 3 : Hanapin ang pinakamalaking apat na digit na numero, ang lahat ng mga digit ay iba at nahahati sa 2, 5, 9, 11.

Sagot: 8910

Gawain #4: Nakagawa si Olya ng isang simpleng tatlong-digit na numero, na ang lahat ng mga digit ay iba. Sa anong digit ito magtatapos kung ang huling digit nito ay katumbas ng kabuuan ng unang dalawa. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bilang.

Sagot: sa pamamagitan lamang ng 7. Mayroong 4 na numero na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: 167, 257, 347, 527

Problema Blg. 5 : Mayroong 70 mag-aaral sa dalawang klase na magkasama. Sa isang klase, 7/17 na mag-aaral ang hindi sumipot sa mga klase, at sa isa pa, 2/9 ang nakatanggap ng mahuhusay na marka sa matematika. Ilang estudyante ang bawat klase?

Solusyon: Sa una sa mga klaseng ito ay maaaring mayroong: 17, 34, 51... - mga numero na multiple ng 17. Sa pangalawang klase: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - mga numero na multiple ng 9. Kailangan nating pumili ng 1 numero mula sa unang pagkakasunud-sunod , at ang 2 ay isang numero mula sa pangalawa upang sila ay magdagdag ng hanggang 70. Bukod dito, sa mga pagkakasunud-sunod na ito ay maliit na bilang lamang ng mga termino ang maaaring magpahayag ng posibleng bilang ng mga bata sa klase. Ang pagsasaalang-alang na ito ay makabuluhang naglilimita sa pagpili ng mga opsyon. Ang tanging posibleng opsyon ay ang pares (34, 36).

Problema Blg. 6 : Sa ika-9 na baitang, 1/7 estudyante ang nakatanggap ng A para sa pagsusulit, 1/3 ang natanggap apat, ½ - tatlo. Ang natitirang gawain ay naging hindi kasiya-siya. Gaano karaming mga gawain ang naroon?

Solusyon: Ang solusyon sa problema ay dapat na isang numero na maramihang mga numero: 7, 3, 2. Hanapin muna natin ang pinakamaliit sa mga numerong ito. LCM (7, 3, 2) = 42. Maaari kang gumawa ng expression ayon sa mga kondisyon ng problema: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 hindi matagumpay. Ang mga problema sa relasyon sa matematika ay ipinapalagay na ang bilang mga mag-aaral sa klase 84, 126, atbp. Tao. Ngunit para sa mga kadahilanan ng bait sumusunod na ang pinakakatanggap-tanggap na sagot ay ang numero 42.

Sagot: 1 trabaho.

Konklusyon:

Bilang resulta ng gawaing ito, nalaman ko na bilang karagdagan sa mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 2, 3, 5, 9 at 10 na alam ko, mayroon ding iba pang mga palatandaan ng divisibility ng natural na mga numero. Ang kaalamang nakuha ay makabuluhang nagpapabilis sa solusyon ng maraming problema. At magagamit ko ang kaalamang ito sa aking mga gawaing pang-edukasyon, kapwa sa mga aralin sa matematika at sa mga ekstrakurikular na aktibidad. Dapat ding tandaan na ang mga pormulasyon ng ilang pamantayan sa divisibility ay kumplikado. Kaya lang siguro hindi sila nag-aaral sa school. Inaasahan kong patuloy na magtrabaho sa pag-aaral ng mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero sa hinaharap.

• Encyclopedic dictionary ng isang batang mathematician. Savin A.P. Moscow "Pedagogy" 1989.
• Mathematics. Karagdagang materyales para sa mga aralin sa matematika, mga baitang 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.
• Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukasyon, 1989.
• Extracurricular work sa matematika sa grade 6-8. Moscow. "Enlightenment" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
• “1001 tanong at sagot. Malaking aklat ng kaalaman" Moscow. "Mundo ng mga Aklat" 2004.
• Opsyonal na kurso sa matematika. Nikolskaya I.L. - Moscow. Enlightenment 1991.
• Mga problema sa Olympiad sa matematika at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Farkov A.V. 2003
• Mga mapagkukunan ng Internet.

Mga integer

Isang set ng mga natural na numero na ginagamit para sa pagbibilang o paglilipat.

Pormal, ang hanay ng mga natural na numero ay maaaring tukuyin gamit ang Peano axiom system.

SAPeano axiom system

1. Yunit - isang natural na numero na hindi sumusunod sa anumang numero.

2. Para sa anumang natural na numero umiiral isahan
na agad na sumunod.

3. Bawat natural na numero
isang numero lang ang sinusundan agad.

4. Kung ilang set
naglalaman at kasama ng bawat natural na numero ay naglalaman ng numero na kaagad na sumusunod dito
(axiom ng induction).

Mga operasyon sa isang set

Pagpaparami

Pagbabawas :

Mga Katangian ng Pagbabawas: Kung
yun

Kung
yun

Divisibility ng mga natural na numero

Dibisyon : hinati ng
ganyan

Ari-arianmga operasyon:

1. Kung
ay nahahati sa yun
hinati ng

2. Kung
At
ay nahahati sa yun
hinati ng

3. Kung
At nahahati sa na nahahati sa

4. Kung mahahati na noon
hinati ng

5. Kung
ay nahahati ng a ay hindi nahahati sa ganito at ganyan
hindi mahahati ng

6. Kung o hinati niyan
hinati ng

7. Kung mahahati ng
pagkatapos ito ay hinati ng at hinati ng

Teoramatungkol sa paghahati sa natitira Para sa anumang natural na numero
may mga positibong numero lamang
ganyan
at

Patunay. Hayaan
Isaalang-alang ang sumusunod na algorithm:

	Kung Kung pagkatapos ay gawin natin ang isa pang pagbabawas Ipinagpapatuloy namin ang proseso ng pagbabawas hanggang ang natitira ay mas mababa sa numero May numero ganyan
	Pagsamahin natin ang lahat ng linya ng algorithm na ito at kunin ang kinakailangang expression, kung saan

Patunayan natin ang pagiging natatangi ng representasyon sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ipagpalagay na mayroong dalawang representasyon

At
Ibawas ang isang expression mula sa isa at
Ang huling pagkakapantay-pantay sa mga integer ay posible lamang sa kaso mula noon
sa
□

Bunga 1. Ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang:
o o

Bunga 2. Kung
magkasunod na natural na mga numero, pagkatapos ay ang isa sa mga ito ay mahahati ng

Bunga 3. Kung
dalawang magkasunod na even na numero, pagkatapos ang isa sa mga ito ay mahahati ng

Kahulugan. Natural na numero ay tinatawag na prime kung ito ay walang divisors maliban sa isa at mismo.

Bunga4. Ang bawat prime number ay may anyo
o

Sa katunayan, ang anumang numero ay maaaring katawanin sa anyo gayunpaman, ang lahat ng mga numero sa seryeng ito, maliban
ay tiyak na composite. □

Bunga5 . Kung
prime number noon
hinati ng

Talaga,
tatlong magkakasunod na natural na numero, at
kahit, at
kakaibang prime. Samakatuwid, isa sa mga kahit na numero
At
ay nahahati sa 4, at ang isa ay nahahati din ng □

Halimbawa 2 . Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. Ang parisukat ng isang kakaibang numero kapag hinati sa 8 ay nagbibigay ng natitira

2. Para sa walang natural na numero n ang numero n 2 +1 ay nahahati ng 3.

3. Gamit lamang ang mga numerong 2, 3, 7, 8 (maaaring ilang beses), imposibleng i-square ang natural na numero.

Patunay1. Ang anumang kakaibang numero ay maaaring ilarawan bilang
o
I-square natin ang bawat isa sa mga numerong ito at makuha ang kinakailangang pahayag.

Patunay 2. Ang bawat natural na numero ay maaaring ilarawan bilang
Tapos yung expression
ay magiging katumbas ng isa sa mga expression
na hindi nahahati sa

Patunay3. Sa katunayan, ang huling digit ng parisukat ng isang natural na numero ay hindi maaaring magtapos sa alinman sa mga digit na ito.

Mga palatandaan ng divisibility

Kahulugan. Ang decimal na representasyon ng isang natural na numero ay ang representasyon ng isang numero sa form

Maikling notasyon

Mga palatandaan ng divisibility sa

Naaprubahan 6 Hayaan
decimal na representasyon ng numerong numero Pagkatapos:

1. Ang numero ay nahahati sa
kapag ang pigura - kahit;

2. Ang bilang ay nahahati sa kapag ang bilang ay dalawang digit
hinati ng

3. Ang bilang ay nahahati sa Kailan
o

4. Ang bilang ay nahahati sa
Kailan

5. Ang bilang ay nahahati sa
kapag ang bilang ay dalawang digit
- hinati ng

6. Ang bilang ay nahahati sa

7. Ang numero ay nahahati sa kapag ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hinati ng

8. Ang bilang ay nahahati sa
kapag ang kabuuan ng mga digit ng isang numero na may mga alternating sign ay hinati ng

Patunay. Ang patunay ng mga palatandaan 1)-5) ay madaling makuha mula sa decimal notation mga numero Patunayan natin ang 6) at 7). Talaga,

Kasunod nito na kung mahahati (o
pagkatapos ay ang kabuuan ng mga digit ng numero ay nahahati din ng

Patunayan natin 11). Let it be divisible by Let us represent the number in the form

Dahil ang lahat ng idinagdag na kabuuan ay nahahati sa
pagkatapos ang halaga ay hinati din sa □

Halimbawa 3 . Hanapin ang lahat ng limang-digit na numero ng form
, na nahahati sa 45.

Patunay.
Samakatuwid, ang numero ay nahahati sa 5, at ang huling digit nito ay 0 o 5, i.e.
o
Ang orihinal na numero ay nahahati din ng 9, kaya ito ay nahahati sa 9, i.e.
o mahahati ng 9, i.e.

Sagot:

Pagsusulit sa divisibility sa At

Naaprubahan 7 Hayaang mahahati ang decimal na representasyon ng numero ng numero
kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng isang numerong walang huling tatlong digit at isang numero na binubuo ng huling tatlong digit ay hinati sa

Patunay. Katawanin natin ito sa anyong Since the number
hinati ng at
yun
mahahati ng at □

Halimbawa 4 . Hayaan
Pagkatapos
ay nahahati sa at samakatuwid ay ang numero
hinati ng

Hayaan
Pagkatapos

divisible by Then the number
hinati ng

Pangunahing numero

Salain ng Eratosthenes

(Simple algorithm para sa pagkuha ng lahat ng prime number)

Algorithm. Isinulat namin ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang 100 at i-cross out muna ang lahat ng mga even. Pagkatapos, mula sa mga natitira ay tinatanggal namin ang mga nahahati sa 3, 5, 7, atbp. Bilang resulta, ang mga prime number lamang ang mananatili.

Ang teorama ni Euclid. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang hanggan.

Patunay"sa pamamagitan ng kontradiksyon." Hayaang may hangganan ang bilang ng mga prime number -
Isaalang-alang ang numero
Tanong: numero - simple o tambalan?

Kung ito ay isang composite number, kung gayon ito ay mahahati sa ilang prime number at samakatuwid ang isa ay nahahati sa prime number na ito. Kontradiksyon.

Kung ito ay isang prime number, kung gayon ito ay mas malaki kaysa sa anumang prime number
at isinulat namin at binilang ang lahat ng prime number. Muli isang kontradiksyon. □

Naaprubahan 8 Kung ang isang numero ay composite, kung gayon mayroon itong pangunahing divisor na ganoon

Patunay. Kung ang pinakamaliit na prime divisor ng isang composite number
yun

Bunga. Upang matukoy kung prime ang isang numero, kailangan mong matukoy kung mayroon itong mga prime divisors.

Halimbawa 5 . Hayaan
Upang suriin kung ang isang numero ay
simple, kailangan mong suriin kung ito ay nahahati sa mga pangunahing numero Sagot: numero
simple lang.

Mga generator ng pangunahing numero

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
- ito ang mga pangunahing numero
Para sa
Ito ay napatunayan nang manu-mano at sa tulong ng isang computer na ang lahat ng mga numero ay pinagsama-sama.

Halimbawa, (Euler)

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
totoo yan, oo
mahahati sa 17.

Hypothesis: Lahat ng numero ng form
simple lang.

Sa
totoo yan, oo

Hypothesis: Ang lahat ng mga numero ng form ay prime. Sa
totoo yan, oo

Teorama.(Fermat method of factoring) Ang kakaibang integer ay hindi prime
may mga natural na bilang na ganyan
Patunay.

□

Halimbawa 6 . I-factor ang mga numero sa prime factor

Halimbawa 7 . I-factor ang isang numero
Ang numerong ito ay nahahati sa 3
Dagdag pa, ayon sa paraan ng pagpili ng mga kadahilanan,

Halimbawa 8 . Sa anong mga integer

simple?

Tandaan na mula noon
simple, pagkatapos ay alinman
o
Sagot:

Naaprubahan 10 Ang isang natural na numero ba ay may kakaibang bilang ng mga divisors kapag ito ay isang perpektong parisukat?

Patunay. Kung
number divisor
pagkatapos ay may dalawang magkaibang pares ng divisors
At
At kailan
ang parehong pares ay magiging pantay.

Halimbawa 9 . Ang mga numero ay may eksaktong 99 divisors. Maaari bang magkaroon ng eksaktong 100 divisors ang isang numero?

Sagot: hindi. Wasto ng dating ari-arian at - perpektong mga parisukat, ngunit ang kanilang trabaho ay hindi.

Halimbawa 10 . Numero
simple lang. Hanapin

Solusyon. Anumang numero ay maaaring katawanin bilang
Kung
pagkatapos ay makakakuha ka ng tatlong pangunahing numero
matugunan ang mga kondisyon ng problema. Kung
yun
pinagsama-sama. Kung
ang numerong iyon
hinati ng at kung
ang numerong iyon
ay nahahati sa pamamagitan ng Kaya, sa lahat ng isinasaalang-alang na mga opsyon tatlong prime number ay hindi nakuha. Sagot:

Kahulugan. Numero ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero at kung ito ay naghahati at at ang pinakamalaki sa naturang mga numero.

pagtatalaga:

Kahulugan . Mga numero at sinasabing medyo prime kung

Halimbawa 1 2 . Lutasin ang equation sa natural na mga numero

Solusyon. Hayaan

Samakatuwid, ang equation ay mukhang Sagot: Walang mga solusyon.

TUNGKOL SApangunahing teorama ng arithmetic

Teorama. Anumang natural na numerong mas malaki kaysa sa prime number o maaaring isulat bilang produkto ng prime numbers, at ang produktong ito ay natatangi hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga salik.

Bunga 1. Hayaan

Pagkatapos
ay katumbas ng produkto ng lahat ng karaniwang prime factor na may pinakamaliit na degree.

Bunga 2. Hayaan
Pagkatapos
ay katumbas ng produkto ng lahat ng iba't ibang pangunahing salik na may pinakamalaking kapangyarihan. hinati ng

10. Hanapin huling digit mga numero 7 2011 + 9 2011.

11. Hanapin ang lahat ng natural na mga numero na tumaas ng 9 na beses kung ang isang zero ay ipinasok sa pagitan ng units digit at ang tens digit.

12. Sa ilang dalawang-digit na numero, idinagdag ang isa sa kaliwa at kanan. Ang resulta ay isang numero na 23 beses na mas malaki kaysa sa orihinal. Hanapin ang numerong ito.

Ang mga tanong tungkol sa teorya o pagsasanay ay maaaring itanong kay Valery Petrovich Chuvakov

chv @ uriit . ru

karagdagang panitikan

1. Vilenkin N.Ya. at iba pa. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. Arithmetic. Algebra. –M.: Edukasyon, 2008.

2. Sevryukov P.F. Paghahanda para sa paglutas ng mga problema sa Olympiad sa matematika. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Kung paano sila magdesisyon mga hindi karaniwang gawain. –M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Mathematical Olympiads ng rehiyon ng Moscow. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbachev N.V. Koleksyon ng mga problema sa Olympiad, –M.:MCNMO, 2004

Lecture

Mga tala sa panayam para sa kursong "teorya ng numero"

Lecture

Ang mga sumusunod na seksyon ng teorya numero: teorya divisibility, simple at composite... Theorem. Hayaan ang x>0, xR, dN. Dami naturalnumero, multiple ng d at hindi hihigit sa x, ay katumbas ng... Lecture 12 13 Lecture 13 15 Panitikan. 17 Abstractmga lecture sa kursong "Teorya" numero" ...

Mga tala ng panayam sa ulturolohiya

Abstract

Pavlyuchenkov Abstractmga lecture sa cultural studies... hindi pantay at umiral sa loob natural mga sakahan. Ito ay nasa polis... pananaliksik ng mga infinitesimal numero higit na natapos ang paglikha... habang ang materyal mahahati sa kawalang-hanggan. Espirituwal...

D A Shadrin Logic lecture notes

Abstract

Kumakatawan abstractmga lecture sa disiplina na "Logic". Abstractmga lecture pinagsama-sama sa... ito ang kahulugan naturalnumero. Kaya, kung 1 - natural numero at n - natural numero, pagkatapos ay 1 ... maubos ang buong volume mahahati mga konsepto, kaya...