Ang mga nakaraang kabanata ay tinalakay ang limang aksyon sa makatwirang mga numero: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagpaparami.
Sa kabanatang ito isasaalang-alang natin ang mga algebraic expression na binubuo gamit ang limang aksyon na ito. Ang lahat ng gayong mga ekspresyon ay tinatawag na makatuwiran.
Depinisyon 1. Ang mga algebraic na expression na binubuo ng mga numero, na itinalaga ng mga numero at mga titik, gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at exponentiation ay tinatawag na rational.
Mga halimbawa ng mga makatwirang ekspresyon.
2. Integer at fractional na mga expression.
Isaalang-alang ang mga sumusunod na makatwirang ekspresyon:
Kapag isinasaalang-alang ang iba't ibang mga expression sa algebra, ang pangunahing pansin ay binabayaran sa mga aksyon na dapat gawin sa mga numero na ipinahiwatig ng mga titik.
Ang una at pangalawa sa mga expression na ito ay hindi naglalaman ng lahat ng operasyon ng paghahati sa pamamagitan ng mga numero na itinalaga ng mga titik. Ang ganitong mga expression ay tinatawag na integers.
Ang pangalawang expression ay naglalaman ng aksyon ng paghahati sa pamamagitan ng numero 4, na ipinahiwatig ng numero. Ngunit maaari nating, sa pamamagitan ng unang paghahati ng 5 sa 4, isulat ang pangalawang expression na ito tulad nito:
Pagpapahayag
ay buo din; ito ay maaaring katawanin sa anyo
Sa wakas, ang ikatlong expression ay naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng numero na isinulat ng titik. (Ang ekspresyong ito ay sinasabing mayroon ding divisor ng letra.) Ang mga ganitong ekspresyon ay tinatawag na fractional expression.
Higit pang mga halimbawa ng fractional expression:
Depinisyon 2. Ang rational expression ay tinatawag na integer kung hindi ito naglalaman ng dibisyon ng literal na expression.
Depinisyon 3. Ang rational expression ay tinatawag na fraction kung naglalaman ito ng paghahati sa literal na expression.
Sa madaling salita, masasabing: makatuwiran algebraic expression ay tinatawag na integer o isang fraction, depende sa kung mayroon o wala itong letter divisor.
3. Monomial.
Sa mga integer na expression, ang pinakasimple ay ang mga naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at exponentiation, halimbawa:
Ang ganitong mga expression ay tinatawag na monomials.
Depinisyon 4. Ang isang algebraic expression na naglalaman lamang ng mga operasyon ng multiplication at exponentiation ay tinatawag na monomial.
Kaya, ang monomial ay produkto ng isang numerical factor at mga titik, na ang bawat isa ay dinadala sa isang tiyak na kapangyarihan.
Tandaan. Dahil ang exponentiation ay espesyal na kaso multiplikasyon (maaari nating, halimbawa, isulat ito sa form na maaari nating sabihin na ang isang monomial ay naglalaman lamang ng isang aksyon - multiplikasyon.
Ang isang expression na binubuo lamang ng isang titik ay itinuturing ding isang monomial.
Ang anumang indibidwal na numero na nakasulat sa mga digit ay itinuturing ding monomial.
Ang isang expression ng form ay itinuturing din na isang monomial, dahil bagaman ito ay naglalaman ng dibisyon, maaari naming iugnay ang divisor 4 sa isang numerical factor at isulat ang expression na tulad nito:
4. Polinomyal.
Ang ilang mga monomial na konektado sa pamamagitan ng mga tanda ng karagdagan at pagbabawas ay bumubuo ng isang bagong algebraic na expression na tinatawag na polynomial.
Halimbawa:
Alam na natin na ang pagbabawas ay maaaring palaging palitan ng karagdagan, at anumang expression na may kasamang karagdagan at pagbabawas ay isang algebraic sum. Halimbawa, ang expression sa itaas ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Depinisyon 5. Ang algebraic sum ng ilang monomials ay tinatawag na polynomial.
Ang bawat monomial na bahagi ng isang polynomial ay tinatawag na miyembro nito.
Ang polynomial na binubuo ng dalawang termino ay tinatawag ding binomial; isang polynomial na binubuo ng tatlong termino ay tinatawag na trinomial, atbp.
Mga halimbawa ng binomials:
Mga halimbawa ng trinomyal:
Ang isang monomial ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang polynomial: ito ay isang polynomial na binubuo ng isang termino.
Tandaan. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga operasyon sa monomials at polynomials, maaari naming katawanin ang anumang buong algebraic expression bilang isang algebraic sum ng monomials (sa partikular, isang monomial ay maaaring makuha). Samakatuwid, ang bawat buong expression, tulad ng
ay itinuturing na isang polynomial. Ang algebraic sum ng monomials ay ang tinatawag na normal (ordinaryo), ang pinakasimpleng anyo ng isang buong algebraic expression. Sa pinakasimpleng anyo na ito magsisimula tayong mag-aral ng polynomials.
Fractional rational expression, tulad ng
19. Kunin natin ang formula
nabasa namin ito tulad nito: "ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numero a at b." Maaari naming palitan ang numero a ng zero sa formula na ito; saka siya lilingon sa
0 – b o nasa –b lang.
Ang pagbabawas ng b mula sa zero ay nangangahulugang, ayon sa alam natin tungkol sa pagbabawas ng mga kamag-anak na numero, pagdaragdag ng numerong b na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda sa zero. Samakatuwid, ang ekspresyong –b ay dapat na maunawaan bilang kabaligtaran na tanda ng bilang b. Kung, halimbawa, b = +5, kung gayon –b = –5; kung b = –4, pagkatapos –b = +4, atbp. Kung isusulat natin ang expression na +a, dapat itong maunawaan bilang isang numero na katumbas ng numero a. Kung a = +5, kung gayon +a = +5; kung a = –4, kung gayon +a = 4, atbp.
Samakatuwid ang formula
maaari nating maunawaan nang walang pagtatangi ng resulta, o sa kahulugan
o sa diwa
Kaya, maaari nating palaging palitan ang pagbabawas ng karagdagan at maunawaan ang anumang pagkakaiba bilang kabuuan ng dalawang numero:
a – b ay ang kabuuan ng mga numero a at (–b)
x – y ay ang kabuuan ng mga numerong x at (–y)
–a – b ay ang kabuuan ng mga numero (–a) at (–b), atbp.
Ang mga formula kung saan, mula sa punto ng view ng aritmetika, maraming mga karagdagan at pagbabawas ang nagaganap, halimbawa,
a – b + c + d – e – f,
maaari na nating maunawaan ngayon, mula sa punto ng view ng algebra, bilang isang kabuuan, ibig sabihin:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Samakatuwid, kaugalian na tawagan ang gayong mga expression sa pangalang "algebraic sum".
20. Kumuha tayo ng ilang algebraic sum
a – b – c o –3bc² + 2ab – 4a²b, atbp.
Nakaugalian na tawagan ang mga ekspresyong ito sa pangalan polinomyal, at pinapalitan ng salitang ito ang salitang "sum" o ang pangalang "algebraic sum". Alam natin yan
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), atbp.
Hiwalay, ang bawat termino ay tinatawag na miyembro ng polynomial.
Ang unang polynomial
ay binubuo ng tatlong termino: (+a), (–b) at (+c).
Ang pangalawang polynomial
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,
binubuo ng apat na termino: (–abc), (–3bc²), (+2ab) at (–4a²b).
Ang mga kabuuan ay maaaring muling ayusin sa anumang pagkakasunud-sunod:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Ang pag-aari na ito ng isang kabuuan ay maaari na ngayong ipahayag sa ibang paraan: ang mga tuntunin ng isang polynomial ay maaaring muling ayusin sa anumang pagkakasunud-sunod. Ginawa ito sa itaas para sa polynomial –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, bukod dito, sa paraang ang termino (+2ab) ay nasa harap na ngayon. Ginawa nitong posible na gawing simple ang expression: hindi mo kailangang isulat ang + sign sa harap. Siyempre, ang mga naturang pagbabago ay dapat gawin kaagad, nang hindi muna ilakip (tulad ng nasa itaas) ang bawat termino sa mga bracket.
Isa pang halimbawa:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
Ang unang termino ng polynomial na ito ay orihinal na (+1) - ang + sign ay ipinahiwatig bago ang yunit; kapag inilipat namin ang miyembrong ito sa isang lugar maliban sa una (sa itaas ay inilipat namin ito sa huling lugar), hindi maaaring laktawan ang + sign na ito.
Mapapansin natin na sa nakaraang halimbawa, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga termino ng polynomial, nakamit natin ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod: sa unang lugar ay ang terminong may titik a hanggang ika-4 na kapangyarihan, sa susunod na lugar ay ang terminong may titik a sa ika-3 kapangyarihan, pagkatapos ay darating ang termino na may letrang a sa ika-3 kapangyarihan 2nd degree, pagkatapos - a sa 1st degree at, sa wakas, isang termino kung saan walang titik a.
Ang pagsasaayos na ito ng mga termino ng isang polynomial ay ipinahayag ng mga salitang "ang polynomial ay nakaayos sa pababang kapangyarihan ng titik a."
Narito ang iba pang mga halimbawa ng kaayusan na ito:
3x 5 – 2ax 3 + b (sa pababang kapangyarihan ng letrang x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (sa pababang kapangyarihan ng titik a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (sa pababang kapangyarihan ng letrang b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (sa pababang kapangyarihan ng letrang x).
Ang reverse "ascending degrees" na pag-aayos ay madalas na ginagamit, kung saan ang antas ng napiling titik ay unti-unting tumataas, at sa 1st term alinman sa liham na ito ay wala sa lahat, o ito ay may pinakamababang antas dito kumpara sa iba pang mga termino. Sa pangalawa sa mga naunang halimbawa, maaari nating sabihin na dito ang polynomial ay nakaayos sa mga pataas na kapangyarihan ng titik b. Narito ang mga halimbawa:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (sa pataas na kapangyarihan ng titik a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang x);
palakol 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang x);
a 3 – 2ab + b 2 (sa pataas na kapangyarihan ng letrang b o sa pababang kapangyarihan ng letrang a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (sa pababang kapangyarihan ng letrang x o sa pataas na kapangyarihan ng letrang y).
21. Ang polynomial na may dalawang termino ay tinatawag binomial(halimbawa, 3a + 2b), mga tatlong termino - isang trinomial (halimbawa, 2a² - 3ab + 4b²), atbp. Posibleng pag-usapan ang kabuuan ng isang termino (ang kabilang termino ay zero), o tungkol sa isang polynomial tungkol sa isang termino. Pagkatapos, siyempre, ang pangalang "polynomial" ay hindi naaangkop at ang pangalang "monomial" ay ginagamit. Ang bawat termino ng anumang polynomial, kinuha nang hiwalay, ay isang monomial. Narito ang mga halimbawa ng pinakasimpleng monomial:
2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; atbp.
Halos lahat ng mga monomial na nakasulat sa itaas ay mga produkto ng dalawa o higit pang mga kadahilanan, at karamihan sa mga ito ay may parehong numerical factor at isang alphabetic. Halimbawa, ang monomial –3abc ay may numerical factor –3 at letter factor a, b at c; sa monomial 4x³ mayroong numeric factor +4 (ang + sign ay ipinahiwatig) at literal na factor x³, atbp. Kung magsusulat tayo ng monomial na may ilang numeric na salik (at pati na rin ang mga alphabetic), tulad ng sumusunod
,
pagkatapos ito ay mas maginhawa upang muling ayusin ang mga kadahilanan upang ang mga numerical na kadahilanan ay malapit, i.e.
,
i-multiply ang mga numerical na salik na ito at makuha
–4a²bc² (mga tuldok, multiplication sign ay nilaktawan).
Nakaugalian din, sa karamihan ng mga kaso, na isulat ang numerical factor sa harap. Sumulat sila:
4a, hindi 4
–3a²b, hindi a²(–3)b 
Ang numerical factor ng isang monomial ay tinatawag na coefficient.
Kung ang isang numerical factor ay hindi nakasulat sa isang monomial, halimbawa, ab, maaari mo itong palaging ipahiwatig. Sa totoo lang
a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, atbp.
Kaya, ang mga monomial na a², ab, ab² bawat isa ay may coefficient na 1 (mas tiyak: +1). Kung magsusulat tayo ng mga monomial –ab, –a², –ab², atbp., dapat silang magkaroon ng coefficient na –1.
22. Mas kumplikadong mga halimbawa ng polynomial at monomials.
(a + b)² + 3(a – b)² ... ang formula na ito ay nagpapahayag ng kabuuan ng dalawang termino: ang una ay ang parisukat ng kabuuan ng mga numerong a at b, at ang pangalawa ay ang produkto ng numero 3 sa pamamagitan ng parisukat ng pagkakaiba ng parehong mga numero. Samakatuwid, ang formula na ito ay dapat kilalanin bilang isang binomial: ang unang termino ay (a + b)² at ang pangalawang 3(a – b)². Kung kukunin natin ang expression (a + b)² nang hiwalay, kung gayon sa pamamagitan ng nauna, dapat itong ituring na isang monomial, at ang coefficient nito = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... dapat kilalanin bilang trinomial (ang kabuuan ng tatlong termino): ang unang termino ay a(b – 1 ) at ang coefficient nito = +1 , ang pangalawang term –b(a – 1), ang coefficient nito = –1, ang ikatlong term –(a – 1)(b – 1), ang coefficient nito = – 1.
Minsan ang bilang ng mga termino ng isang polynomial ay artipisyal na binabawasan. Kaya trinomial
maaaring, halimbawa, ay ituring bilang isang binomial, at ang a + b, halimbawa, ay itinuturing bilang isang termino (isang termino). Upang gawing mas malinaw ito, gumamit ng mga panaklong:
Pagkatapos ang termino (a + b) ay may ipinahiwatig na koepisyent na +1
[talagang (a + b) = (+1)(a + b)].
Monomial – ay produkto ng dalawa o higit pang mga salik, na ang bawat isa ay alinman sa isang numero, isang titik, o isang kapangyarihan ng isang titik.
Halimbawa, 3a 2 b 4 ,b d 3 , – 17 a b c- monomials.
Isahan o ang isang titik ay maaari ding ituring na monomial. Anumang kadahilanan sa isang monomial ay tinatawag koepisyent. Kadalasan ang coefficient ay tinatawag lamang salik ng numero. Ang mga monomial ay tinatawag katulad, kung pareho sila o naiiba lamang sa mga coefficient. Samakatuwid, kung ang dalawa o higit pang mga monomial ay may parehong mga titik o ang kanilang mga kapangyarihan, sila ay magkatulad din.
Kapangyarihan ng isang monomial ay ang kabuuan ng mga exponents ng lahat ng mga titik nito.
Pagdaragdag ng monomials. Kung sa kabuuan ng mga monomial ay may mga katulad, kung gayon ang kabuuan ay maaaring bawasan sa higit pa simpleng view:
isang x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 +c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 +c 5 ) x 3 y 2 .
Ang operasyong ito ay tinatawag nagdadala ng mga katulad na miyembro . Ang aksyon na isinagawa dito ay tinatawag din bracketing.
Pagpaparami ng monomials. Ang produkto ng ilang monomial ay maaaring gawing simple kung naglalaman lamang ito ng mga kapangyarihan ng parehong mga titik o numerical coefficient. Sa kasong ito, ang mga exponent ay idinagdag, at ang mga numerical coefficient ay pinarami.
HALIMBAWA: 5 isang x 3 z 8 (– 7a 3 x 3 y 2 ) = –35 a 4 x 6 y 2 z 8 .
Dibisyon ng monomials. Ang quotient ng dalawang monomial ay maaaring gawing simple kung ang dibidendo at divisor ay may ilang mga kapangyarihan ng parehong mga titik o numerical coefficients. Sa kasong ito, ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo, at ang numerical coefficient ng dividend ay hinati sa numerical coefficient ng divisor.
HALIMBAWA: 35 a 4 x 3 z 9: 7 isang x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .
Polinomyalay ang algebraic sum ng monomials. Polynomial degree ay ang pinakadakila sa mga kapangyarihan ng mga monomial na kasama sa isang binigay na polynomial.