Una, isaalang-alang natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng isang function $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na nakamit sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa equation ng koneksyon $\ varphi (x,y)=0$.

Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa ang katunayan na ang isang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung ang isang variable ay maaaring ipahayag mula sa equation ng koneksyon sa pamamagitan ng isa pa, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng pagtukoy ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang equation ng koneksyon ay nagpapahiwatig ng $y=\psi(x)$, pagkatapos ay pinapalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable na $z =f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. SA pangkalahatang kaso Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya ang pagpapakilala ng isang bagong algorithm ay kinakailangan.

Lagrange multiplier method para sa mga function ng dalawang variable.

Ang Lagrange multiplier method ay binubuo ng pagbuo ng Lagrange function para makahanap ng conditional extremum: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (tinatawag ang $\lambda$ parameter ang Lagrange multiplier). Ang mga kinakailangang kondisyon para sa extremum ay tinukoy ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right. $$

Ang isang sapat na kondisyon kung saan matutukoy ng isa ang kalikasan ng extremum ay ang sign $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.

May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa coupling equation nakuha namin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, samakatuwid sa anumang nakatigil na punto mayroon kaming:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:

Ang mga elemento ng determinant na $\left| ay naka-highlight sa pula. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$, pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.

Isang tala tungkol sa notasyon ng determinant na $H$. Ipakita itago

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Sa sitwasyong ito, magbabago ang panuntunang binalangkas sa itaas tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may conditional na minimum, at kung $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum

1. Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
3. Tukuyin ang katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
   • Buuin ang determinant ng $H$ at alamin ang sign nito
   • Isinasaalang-alang ang coupling equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$

Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable

Sabihin nating mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ coupling equation ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Maaari mong malaman kung ang isang function ay may conditional na minimum o isang conditional na maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant ng matrix $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, na naka-highlight sa pula sa matrix na $L$, ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:

• Kung ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa tanda ng $(-1)^m$, kung gayon ang nakatigil na puntong pinag-aaralan ay ang conditional na minimum na punto ng function $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kung ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ kapalit, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, kung gayon ang nakatigil na punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Halimbawa Blg. 1

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.

Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y ^2=10$.

Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa pamamagitan ng isa pa mula sa coupling equation at palitan ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Sumulat tayo ng isang sistema ng mga equation upang matukoy ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$

Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapahiwatig na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant ng $H$ sa bawat punto.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Sa puntong $M_1(1;3)$ nakukuha natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa point Ang $M_1(1;3)$ function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Katulad nito, sa puntong $M_2(-1,-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.

Pagsusulat ng determinant na $H$ sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Sa prinsipyo, malinaw na kung ano ang tanda ni $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mong kumpletuhin ang mga kalkulasyon:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$

Ang tanong tungkol sa kalikasan ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin natin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Tandaan ko na ang notation na $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, ibig sabihin. $\left(dx \right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, samakatuwid, sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakukuha namin ang $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$

Halimbawa Blg. 2

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.

Unang paraan (Lagrange multiplier method)

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$, binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(aligned) \right. $$

Nang malutas ang system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.

$$H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, samakatuwid sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Sinisiyasat namin ang kalikasan ng extremum sa bawat punto gamit ang ibang paraan, batay sa tanda ng $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Mula sa equation ng koneksyon $x+y=0$ mayroon kami: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Pangalawang paraan

Mula sa equation ng koneksyon $x+y=0$ nakukuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Nakakuha kami ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o pagsuri sa pagbabago sa tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakukuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng kapag paglutas sa unang paraan. Halimbawa, susuriin namin ang sign $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, at $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Ang mga halaga ng function na $u(x)$ para sa isang ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang hinahangad na conditional extrema ng function na $z(x,y)$.

Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa kung saan lilinawin natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.

Halimbawa Blg. 3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang coupling equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Buuin natin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin natin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right. $$

Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay tinukoy sa pahayag ng problema). Mula sa pangalawang equation ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Tinutukoy namin ang kalikasan ng extremum sa puntong $(2;1)$ batay sa tanda ng $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, pagkuha ng:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Gayunpaman, sa iba pang mga problema sa isang conditional extremum maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.

Sa susunod na bahagi ay isasaalang-alang natin ang aplikasyon ng pamamaraan ng Lagrange para sa mga pag-andar ng mas malaking bilang ng mga variable.

Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. Conditional extremum. Paraan ng Lagrange multiplier. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Lektura 5.

Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) > f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.

Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) < f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng isang punto M 0.

Tandaan 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.

Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Teorama 5.1(mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung M 0 (x 0, y 0)– matinding punto ng pag-andar z = f (x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.

Patunay.

Ayusin natin ang halaga ng variable sa, nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang function f (x, y 0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng teorama ni Fermat, o hindi umiiral. Ang parehong pahayag ay napatunayang katulad para sa .

Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang variable kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.

Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang sundin sa bawat isa sa kanila.

Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f (x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Tukuyin natin Pagkatapos:

1) f(x,y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC–B² > 0, A > 0;

3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC–B² < 0;

4) kung AC–B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Patunay.

Isulat natin ang pangalawang order na Taylor formula para sa function f(x,y), pag-alala na sa isang nakatigil na punto ang unang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero:

saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, Saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ni Taylor ay kukuha ng anyo: . Let Then we can divide and multiply the expression in brackets by A. Nakukuha namin:

Isaalang-alang natin ngayon ang apat posibleng mga kaso:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), yan ay M 0- pinakamataas na punto.

2) Hayaan AC–B² > 0, A > 0. Pagkatapos , At M 0- pinakamababang punto.

3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos mula sa (5.1) ito ay sumusunod na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 = -A/B, yun , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya, period M 0 ay hindi isang matinding punto.

3`) Kailan AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

katulad ng nauna.

3``) Kung AC–B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos para sa sapat na maliit φ ang expression 2 B cosφ + C ang sinφ ay malapit sa 2 SA, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, ngunit ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0. Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng isang nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.

4) Kung AC–B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda ng 2α 0. Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.

Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang makahanap ng mga nakatigil na punto, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, SA = -2, SA= 4. Pagkatapos AC–B² = 4 > 0, samakatuwid, sa isang nakatigil na punto ay naabot ang isang extremum, ibig sabihin ay isang minimum (mula sa A > 0).

Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) konektado karagdagang kondisyon bilang m mga equation ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Kahulugan 5.5. Extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), ito ay tinatawag conditional extremum.

Magkomento. Maaari kaming mag-alok ng sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) nauugnay sa equation na φ (x,y)= 0, na tumutukoy sa ilang curve sa O plane xy. Reconstructing perpendiculars sa plane O mula sa bawat punto ng curve na ito xy hanggang sa mag-intersect ito sa ibabaw z = f (x,y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x,y)= 0. Ang gawain ay upang mahanap ang mga extremum point ng resultang curve, na, siyempre, sa pangkalahatang kaso ay hindi nag-tutugma sa mga unconditional extremum point ng function. f(x,y).

Alamin natin ang mga kinakailangang kundisyon para sa isang conditional extremum para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng unang pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

saan λi – ang ilan ay pare-pareho, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λi– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.

Teorama 5.3(mga kinakailangang kondisyon para sa isang conditional extremum). Conditional extremum ng isang function z = f (x, y) sa pagkakaroon ng coupling equation φ ( x, y) Ang = 0 ay maaari lamang makamit sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Patunay. Ang coupling equation ay tumutukoy sa isang implicit na relasyon sa mula sa X, samakatuwid ay ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z meron kumplikadong pag-andar mula sa X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Mula sa coupling equation ito ay sumusunod na . (5.5)

I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang numerong λ at idagdag ito sa (5.4). Nakukuha namin:

, o .

Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:

(5.6)

Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, at ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Sa pamamagitan ng pagbubukod ng auxiliary unknown λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.

Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral ng second-order partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.

Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)

Halimbawa. Hanapin natin ang conditional extremum ng function z = xy Kung ganoon x + y= 1. Buuin natin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Ang System (5.6) ay ganito ang hitsura:

Kung saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L(x,y) maaaring katawanin sa anyo L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid sa natagpuang nakatigil na punto L(x,y) ay may maximum, at z = xy – maximum na kondisyon.

Kahulugan1: Ang isang function ay sinasabing mayroong lokal na maximum sa isang punto kung mayroong isang kapitbahayan ng punto na para sa anumang punto M na may mga coordinate (x, y) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: . Sa kasong ito, ibig sabihin, ang pagtaas ng function< 0.

Kahulugan2: Ang isang function ay sinasabing mayroong lokal na minimum sa isang punto kung mayroong isang kapitbahayan ng punto na para sa anumang punto M na may mga coordinate (x, y) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: . Sa kasong ito, ibig sabihin, ang pagtaas ng function > 0.

Kahulugan 3: Ang mga punto ng lokal na minimum at maximum ay tinatawag matinding puntos.

Mga Conditional Extremes

Kapag naghahanap ng extrema ng isang function ng maraming mga variable, ang mga problema ay madalas na lumitaw na may kaugnayan sa tinatawag na conditional extremum. Ang konseptong ito ay maaaring ipaliwanag gamit ang halimbawa ng isang function ng dalawang variable.

Hayaang magbigay ng isang function at isang linya L sa ibabaw 0xy. Ang gawain ay upang makakuha ng sa linya L makahanap ng ganoong punto P(x, y), kung saan ang halaga ng isang function ay ang pinakamalaki o pinakamaliit kumpara sa mga halaga ng function na ito sa mga punto sa linya L, na matatagpuan malapit sa punto P. Mga ganyang puntos P ay tinatawag conditional extremum points mga function sa linya L. Sa kaibahan sa karaniwang extremum point, ang halaga ng function sa conditional extremum point ay inihambing sa mga halaga ng function hindi sa lahat ng mga punto ng kapitbahayan nito, ngunit sa mga nasa linya lamang. L.

Ito ay ganap na malinaw na ang punto ng karaniwang extremum (sinasabi rin nila walang pasubaling extremum) ay isa ring conditional extremum point para sa anumang linyang dumadaan sa puntong ito. Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo: ang conditional extremum point ay maaaring hindi ang ordinaryong extremum point. Hayaan akong ipaliwanag kung ano ang sinabi ko sa isang simpleng halimbawa. Ang graph ng function ay ang upper hemisphere (Appendix 3 (Fig. 3)).

Ang function na ito ay may maximum sa pinanggalingan; ang vertex ay tumutugma dito M hemispheres. Kung ang linya L may linyang dumadaan sa mga punto A At SA(ang kanyang equation x+y-1=0), pagkatapos ito ay geometrically malinaw na para sa mga punto ng linyang ito pinakamataas na halaga ang pag-andar ay nakamit sa isang puntong nakahiga sa gitna sa pagitan ng mga punto A At SA. Ito ang punto ng conditional extremum (maximum) ng function sa linyang ito; ito ay tumutugma sa punto M 1 sa hemisphere, at mula sa figure ay malinaw na walang maaaring pag-usapan ang anumang ordinaryong extremum dito.

Tandaan na sa huling bahagi ng problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa saradong lugar kailangan nating makahanap ng matinding halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito, i.e. sa ilang linya, at sa gayon ay malulutas ang conditional extremum na problema.

Magpatuloy tayo ngayon sa praktikal na paghahanap para sa mga conditional extremum point ng function na Z= f(x, y) sa kondisyon na ang mga variable na x at y ay nauugnay sa equation (x, y) = 0. Tatawagin natin ang kaugnayang ito ng equation ng koneksyon. Kung mula sa coupling equation y ay maaaring ipahayag nang tahasan sa mga tuntunin ng x: y=(x), makakakuha tayo ng function ng isang variable Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Ang pagkakaroon ng natagpuan ang halaga x kung saan ang function na ito ay umabot sa isang extremum, at pagkatapos ay natukoy mula sa equation ng koneksyon ang kaukulang mga halaga ng y, nakuha namin ang nais na mga punto ng conditional extremum.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, mula sa equation ng kaugnayan x+y-1=0 mayroon tayong y=1-x. Mula rito

Madaling suriin na ang z ay umabot sa maximum nito sa x = 0.5; ngunit pagkatapos ay mula sa koneksyon equation y = 0.5, at makuha namin ang eksaktong punto P, na natagpuan mula sa geometric na pagsasaalang-alang.

Ang problema ng isang conditional extremum ay napakadaling malutas kahit na ang koneksyon equation ay maaaring kinakatawan parametric equation x=x(t), y=y(t). Ang pagpapalit ng mga expression para sa x at y sa function na ito, muli tayong dumating sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable.

Kung ang coupling equation ay may higit sa kumplikadong hitsura at hindi namin maipahayag nang tahasan ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, o palitan ito ng mga parametric equation, kung gayon ang gawain ng paghahanap ng conditional extremum ay nagiging mas mahirap. Patuloy nating ipagpalagay na sa pagpapahayag ng function na z= f(x, y) ang variable (x, y) = 0. Ang kabuuang derivative ng function na z= f(x, y) ay katumbas ng:

Kung saan matatagpuan ang derivative y` gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng implicit function. Sa mga punto ng conditional extremum, ang nahanap na kabuuang derivative ay dapat na katumbas ng zero; nagbibigay ito ng isang equation na may kaugnayan sa x at y. Dahil dapat din nilang matugunan ang coupling equation, nakakakuha tayo ng sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ibahin natin ang sistemang ito sa isang mas maginhawa sa pamamagitan ng pagsulat ng unang equation sa anyo ng isang proporsyon at pagpapakilala ng isang bagong pantulong na hindi alam:

(Ang minus sign sa harap ay para sa kaginhawahan). Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay madaling lumipat sa sumusunod na sistema:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

na, kasama ang equation ng koneksyon (x, y) = 0, ay bumubuo ng isang sistema ng tatlong equation na may mga hindi kilalang x, y at.

Ang mga equation na ito (*) ay pinakamadaling tandaan gamit ang sumusunod na panuntunan: upang makahanap ng mga punto na maaaring maging mga punto ng conditional extremum ng function.

Z= f(x, y) na may connection equation (x, y) = 0, kailangan mong bumuo ng auxiliary function

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Nasaan ang ilang pare-pareho, at lumikha ng mga equation upang mahanap ang mga extremum point ng function na ito.

Ang ipinahiwatig na sistema ng mga equation ay nagbibigay, bilang isang panuntunan, lamang ng mga kinakailangang kondisyon, i.e. hindi lahat ng pares ng mga value na x at y na nakakatugon sa sistemang ito ay kinakailangang isang conditional extremum point. Hindi ako magbibigay ng sapat na kondisyon para sa mga punto ng conditional extremum; kadalasan ang partikular na nilalaman ng problema mismo ay nagmumungkahi kung ano ang natagpuang punto. Ang inilarawang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang conditional extremum ay tinatawag na Lagrange multiplier method.

Halimbawa

Hanapin ang extremum ng function na ibinigay na X At sa ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan: . Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugang ang mga sumusunod: sa isang tambilugan
eroplano
.

Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ganitong paraan: mula sa equation
nahanap namin
X:

sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable sa pagitan
.

Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugang ang mga sumusunod: sa isang tambilugan , nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa silindro
eroplano
, kailangan mong hanapin ang maximum o minimum na halaga ng applicate (Larawan 9). Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ganitong paraan: mula sa equation
nahanap namin
. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng y sa equation ng eroplano, nakakakuha tayo ng function ng isang variable X:

Kaya, ang problema ng paghahanap ng extremum ng function
sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable sa isang interval.

Kaya, ang problema ng paghahanap ng conditional extremum– ito ang problema sa paghahanap ng extremum ng objective function
, sa kondisyon na ang mga variable X At sa napapailalim sa paghihigpit
, tinawag equation ng koneksyon.

Sabihin na natin tuldok
, nagbibigay-kasiyahan sa coupling equation, ay ang punto ng local conditional maximum (minimum), kung mayroong isang kapitbahayan
tulad na para sa anumang mga puntos
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation ng koneksyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan.

Kung mula sa coupling equation ay makakahanap ng expression para sa sa, pagkatapos, sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression na ito sa orihinal na function, ginagawa namin ang huli sa isang kumplikadong function ng isang variable X.

Ang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng conditional extremum na problema ay Paraan ng Lagrange multiplier. Gumawa tayo ng auxiliary function, kung saan ─ ilang numero. Ang function na ito ay tinatawag Lagrange function, A ─ Lagrange multiplier. Kaya, ang gawain ng paghahanap ng conditional extremum ay nabawasan sa paghahanap ng mga lokal na extremum point para sa Lagrange function. Upang makahanap ng mga posibleng extremum point, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam x, y At.

Pagkatapos ay dapat mong gamitin ang sumusunod na sapat na kondisyon para sa isang extremum.

TEOREM. Hayaang ang punto ay isang posibleng extremum point para sa Lagrange function. Ipagpalagay natin na sa paligid ng punto
may mga tuloy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order ng mga function At . Tukuyin natin

Tapos kung
, Iyon
─ conditional extremum point ng function
kasama ang coupling equation
sa kasong ito, kung
, Iyon
─ kondisyon na pinakamababang punto, kung
, Iyon
─ kondisyon na pinakamataas na punto.

§8. Gradient at directional derivative

Hayaan ang function
tinukoy sa ilang (bukas) na rehiyon. Isaalang-alang ang anumang punto
ang lugar na ito at anumang direktang tuwid na linya (axis) , na dumadaan sa puntong ito (Larawan 1). Hayaan
- ibang punto sa axis na ito,
– haba ng segment sa pagitan
At
, kinuha na may plus sign, kung ang direksyon
tumutugma sa direksyon ng axis , at may minus sign kung magkasalungat ang kanilang mga direksyon.

Hayaan
lumalapit nang walang katapusan
. Limitahan

tinawag derivative ng isang function
patungo sa (o kasama ang axis ) at tinutukoy bilang mga sumusunod:

.

Tinutukoy ng derivative na ito ang "rate ng pagbabago" ng function sa punto
patungo sa . Sa partikular, ang mga ordinaryong partial derivatives ,maaari ding isipin bilang mga derivatives "may paggalang sa direksyon".

Ipagpalagay natin ngayon na ang function
ay may tuluy-tuloy na partial derivatives sa rehiyong isinasaalang-alang. Hayaan ang axis bumubuo ng mga anggulo na may mga coordinate axes
At . Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ginawa, ang directional derivative umiiral at ipinahayag ng pormula

.

Kung ang vector
ibinigay ng mga coordinate nito
, pagkatapos ay ang derivative ng function
sa direksyon ng vector
maaaring kalkulahin gamit ang formula:

.

Vector na may mga coordinate
tinawag gradient vector mga function
sa punto
. Ang gradient vector ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na pagtaas ng function sa isang naibigay na punto.

Halimbawa

Dahil sa isang function, point A(1, 1) at vector
. Hanapin ang: 1)grad z sa punto A; 2) derivative sa point A sa direksyon ng vector .

Mga partial derivatives ng isang ibinigay na function sa isang punto
:

;
.

Pagkatapos ang gradient vector ng function sa puntong ito ay:
. Ang gradient vector ay maaari ding isulat gamit ang vector decomposition At :

. Derivative ng isang function sa direksyon ng vector :

Kaya,
,
.◄

Conditional extremum.

Extrema ng isang function ng ilang variable

Pinakamababang parisukat na pamamaraan.

Lokal na extremum FNP

Hayaang maibigay ang function At= f(P), РÎDÌR n at hayaang ituro ang P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.

Kahulugan 9.4.

1) Point P 0 ay tinatawag pinakamataas na punto mga function At= f(P), kung mayroong kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) М D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)£ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum ng function at itinalaga f(P0) = max f(P) .

2) Point P 0 ay tinatawag pinakamababang punto mga function At= f(P), kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)³ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag pinakamababang function at itinalaga f(P 0) = min f(P).

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extrema point ay tinatawag extrema ng function.

Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P)£ f(P 0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat masiyahan lamang sa isang partikular na kapitbahayan ng puntong P 0, at hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima) . Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.

Teorama 9.1.( kinakailangang kondisyon extremum ng FNP)

Kung ang function At= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , kung gayon ang mga partial derivatives ng unang-order nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.

Patunay. Hayaan sa puntong P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) function At= f(P) ay may isang extremum, halimbawa, isang maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =A 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos At= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X 1 . Dahil ang function na ito ay may X 1 = A 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0o wala kapag X 1 =A 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit, iyon ay nangangahulugan o wala sa puntong P 0 - ang extremum point. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CTD.

Ang mga punto sa domain ng isang function kung saan ang mga first-order na partial derivative ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na mga punto function na ito.

Tulad ng sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.

Theorem 9.2. (sapat na kondisyon para sa extremum ng FNP)

Hayaan ang P 0 ang kritikal na punto ng function At= f(P) at ay ang second order differential ng function na ito. Pagkatapos

at kung d 2 u(P 0) > 0 sa , pagkatapos ay ang P 0 ay isang punto pinakamababa mga function At= f(P);

b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function At= f(P);

c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;

Isasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.

Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kondisyon ay nananatiling bukas - kailangan namin karagdagang pananaliksik, halimbawa, pag-aaral ng pagtaas ng isang function sa puntong ito.

Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika ito ay napatunayan na, sa partikular para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable, ang second order differential nito ay kabuuan ng form

ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto P 0 ay maaaring gawing simple.

Tukuyin natin ang , , . Bumuo tayo ng determinant

.

Kinalabasan:

d 2 z> 0 sa puntong P 0, ibig sabihin. P 0 – pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng point P 0 nagbabago ito ng sign at walang extremum sa point P 0;

kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.

Kaya, para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.

2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f), kung saan at katumbas ng zero o wala.

3) Sa bawat kritikal na punto P 0, suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(P 0) at A(P 0).Pagkatapos:

kung D(P 0) >0, pagkatapos ay sa puntong P 0 mayroong extremum, at kung A(P 0) > 0 – ito ang pinakamababa, at kung A(P 0)< 0 – максимум;

kung D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Kung D(P 0) = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

4) Sa mga nakitang extremum point, kalkulahin ang halaga ng function.

Halimbawa 1.

Hanapin ang extremum ng function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Solusyon. Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Maghanap tayo ng mga kritikal na punto.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Suriin natin kung ang mga sapat na kondisyon para sa extremum ay nasiyahan. Hahanapin natin

6X, = -3, = 48sa At = 288xy – 9.

Pagkatapos D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – sa point Р 1 mayroong extremum, at dahil A(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P 1) = .

Halimbawa 2.

Hanapin ang extremum ng function .

Solusyon: D( f) =R 2 . Mga kritikal na puntos: ; ay hindi umiiral kapag sa= 0, na nangangahulugang P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.

2, = 0, = , = , ngunit hindi tinukoy ang D(P 0), kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.

Para sa parehong dahilan, imposibleng direktang ilapat ang Theorem 9.2 - d 2 z ay wala sa puntong ito.

Isaalang-alang natin ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong P 0 . Kung si D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, kung gayon ang P 0 ang pinakamababang punto, ngunit kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Sa aming kaso mayroon kami

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto P 0 alinman sa kondisyon D ay hindi natutugunan f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at samakatuwid ang P 0 ay hindi isang maximum na punto), o kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang P 0 ay hindi pinakamababang punto). Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, function na ito walang extremes.

Conditional extremum.

Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.

Kahulugan 9.2. Extremum ng function At = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tinawag conditional extremum .

Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Tingnan natin ang mga pag-andar z = f(x,y) dalawang variable. Kung ang equation ng koneksyon ay isa, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ito ang pinakamataas o pinakamababang punto ng ibabaw ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito sa silindro, Fig. 5).

Conditional extremum ng isang function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang isang function ng isa pa (halimbawa, isulat ) at, palitan ang value na ito ng variable sa function, isulat ang huli bilang isang function ng isang variable (sa kaso na isinasaalang-alang ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.