Bahay Kalinisan Ang konsepto ng mga numerical integration formula. Pagsasama ng numero

Kalinisan

Ang konsepto ng mga numerical integration formula. Pagsasama ng numero

numerical integration formula programming

Panimula

1. Mga paraan ng pagsasama-sama ng numero

2. Quadrature formula

3. Awtomatikong pagpili ng hakbang sa pagsasama

Konklusyon

Bibliograpiya

Panimula

Ang layunin ng sanaysay ay pag-aralan at paghahambing na pagsusuri mga paraan ng pagsasama ng numero ng mga function; pagpapatupad ng mga pamamaraang ito sa anyo ng mga programa ng makina sa wika mataas na antas at praktikal na solusyon ng mga problema sa pagsasama ng numero sa isang computer.

Kapag nilulutas ang mga problema sa engineering, madalas na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng isang tiyak na integral ng form

. (1)

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a , b] at ang antiderivative nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang kilalang function, pagkatapos ay ang naturang integral ay kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:

Sa mga problema sa engineering, bihirang posible na makuha ang halaga ng integral sa analytical form. Bilang karagdagan, ang pag-andar f (x) ay maaaring tukuyin, halimbawa, sa pamamagitan ng isang talahanayan ng pang-eksperimentong data. Samakatuwid, sa pagsasagawa, upang makalkula ang isang tiyak na integral na ginagamit nila mga espesyal na pamamaraan, na nakabatay sa interpolation apparatus.

Ang ideya ng gayong mga pamamaraan ay ang mga sumusunod. Sa halip na kalkulahin ang integral gamit ang formula (1), kalkulahin muna ang mga halaga ng function f (x i) = y i sa ilang mga node x i Î[ a , b]. Pagkatapos ay pinili ang interpolation polynomial P (x), pagpasa sa mga nakuhang puntos ( x i , y i), na ginagamit kapag kinakalkula ang tinatayang halaga ng integral (1):

Kapag ipinapatupad ang diskarteng ito, ang mga numerical integration formula ay tumatagal ng mga sumusunod pangkalahatang pananaw:

, (2) - mga interpolation node, A i- ilang mga coefficient, R– natitirang termino na nagpapakilala sa pagkakamali ng formula. Tandaan na ang mga formula ng form (2) ay tinatawag na quadrature formula.

Ang geometric na kahulugan ng numerical integration ay upang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na limitado ng graph ng function. f (X), ang x-axis at dalawang tuwid na linya x = a At x = b. Ang tinatayang pagkalkula ng lugar ay humahantong sa pagtanggi sa natitirang termino sa mga formula ng quadrature R, na nagpapakilala sa error ng pamamaraan, na kung saan ay pinatong ng isang computational error.

1. Mga pamamaraan ng pagsasama ng numero

SA inilapat na pananaliksik Kadalasan mayroong pangangailangan na kalkulahin ang halaga ng isang tiyak na integral

Tulad ng alam mo mula sa isang kurso sa matematika, ang integral ay hindi maaaring kalkulahin nang analytical sa lahat ng kaso. At kahit na sa kaso kung posible na mahanap ang analytical form ng integral na ito, ang pamamaraan ng pagkalkula ay nagbibigay ng isang tinatayang resulta, kaya ang problema ng tinatayang halaga ng integral na ito ay lumitaw.

Ang kakanyahan ng tinatayang pagkalkula ay nakasalalay sa dalawang operasyon: 1. pagpili ng isang may hangganang numero sa halip na n; 2. sa pagpili ng punto

sa kaukulang segment.

Depende sa pagpili

nakakakuha tayo ng iba't ibang mga formula para sa pagkalkula ng integral: Mga formula ng kaliwa at kanang mga parihaba (5), (6)

(5)

(6)

Trapezoid formula:

Formula ni Simpson

b, a - mga dulo ng segment na isinasaalang-alang.

Upang ihambing ang mga resulta ng pagkalkula sa mga formula ng pagsasama ng numero sa itaas, kinakalkula namin ang sumusunod na integral sa 3 paraan, na hinahati ang segment sa 6 na pantay na mga segment: h=

Ayon sa formula ng mga kaliwang parihaba:

Ayon sa formula ng trapezoid:

Ayon sa formula ni Simpson:

At ang resulta na nakuha sa analytical ay katumbas ng

Samakatuwid, maaari nating tapusin na ang paraan ng pagsasama ng numero ayon sa formula ng Simpson ay mas tumpak, ngunit ginagamit sa pangkalahatang kaso kapag hinahati ang segment na pinaghihiwalay sa pantay na bilang ng mga pagitan.

2. Quadrature formula

Mga parihaba na formula ay ang pinakasimpleng quadrature formula. Hatiin natin ang bahagi ng pagsasama [ a, b] sa n pantay na haba ng mga bahagi

. Tandaan na ang halaga h tinatawag na integration step. Sa mga split point X 0 = a ,X 1 =a+h , ..., x n = b tandaan ang mga ordinate y 0 ,y 1 ,…,y n baluktot f (x), ibig sabihin. kalkulahin natin y i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 + h (ako =). Sa bawat bahagi ng haba h bumuo ng isang parihaba na may mga gilid h At y i, Saan ako =, ibig sabihin. mula sa mga ordinate na halaga na kinakalkula sa kaliwang dulo ng mga segment. Kung gayon ang lugar ng curvilinear trapezoid, na tumutukoy sa halaga ng integral (1), ay maaaring humigit-kumulang na kinakatawan bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba (Fig. 1). Mula dito nakuha namin ang formula para sa mga parihaba:
. (3)

Kung, kapag kinakalkula ang integral sum, kinukuha namin ang mga halaga ng function f (x) hindi sa kaliwa, ngunit sa kanang dulo ng mga segment ng haba h, na ipinapakita sa Fig. 1 na may tuldok-tuldok na linya, nakukuha namin ang pangalawang bersyon ng rectangle formula:

. (4)

Ang ikatlong bersyon ng rectangle formula ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng mga halaga ng function f (x), kinakalkula sa gitna ng bawat segment ng haba h(Larawan 2):

. (5)

Ang mga formula (3), (4) at (4) ay tinatawag na mga formula ng kaliwa, kanan at gitnang mga parihaba, ayon sa pagkakabanggit.

Formula ni Simpson. Hatiin natin ang integration interval sa 2 n pantay na haba ng mga bahagi

. Sa bawat segment [ x i , x i+2] integrand function f (X) ay papalitan ng isang parabola na dumadaan sa mga punto ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Pagkatapos ang tinatayang halaga ng integral ay tinutukoy ng formula ni Simpson: . (7)

Kapag nagkalkula sa isang computer, ang sumusunod na formula ay mas maginhawa:

Ang pamamaraan ni Simpson ay isa sa pinakakilala at ginagamit na mga pamamaraan ng pagsasama ng numero, ibinibigay nito eksaktong mga halaga integral kapag nagsasama ng mga polynomial hanggang sa ikatlong pagkakasunod-sunod na kasama.

Formula ni Newton. Ang tinatayang halaga ng integral gamit ang formula ni Newton ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

kung saan ang bilang ng mga seksyon ng partisyon ay isang maramihang ng tatlo, i.e. ay 3 n. Kapag bumubuo ng mga programa sa computer, mas maginhawang gamitin ang katumbas na formula:

Ang pamamaraan ni Newton ay nagbibigay ng eksaktong mga halaga ng integral kapag isinasama ang mga polynomial hanggang sa ikaapat na pagkakasunod-sunod na kasama.

3. Awtomatikong pagpili ng hakbang sa pagsasama

Bilang resulta ng pagkalkula gamit ang mga formula (3) - (8), ang isang tinatayang halaga ng integral ay nakuha, na maaaring mag-iba mula sa eksaktong halaga ng isang tiyak na halaga, na tinatawag na error sa pagsasama. Ang error ay tinutukoy ng natitirang formula R, naiiba para sa bawat paraan ng pagsasama. Kung kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng integral na may error na hindi hihigit sa e, kung gayon kinakailangan na pumili ng naturang hakbang sa pagsasama h, upang mapanatili ang hindi pagkakapantay-pantay R (h) £e. Sa pagsasagawa, ginagamit ang awtomatikong pagpili ng halaga h, tinitiyak ang pagkamit ng isang naibigay na error. Una, kalkulahin ang halaga ng integral ako (n), hinahati ang integration interval sa n mga seksyon, pagkatapos ay ang bilang ng mga seksyon ay dinoble at ang integral ay kinakalkula ako (2n). Ang proseso ng pagkalkula ay nagpapatuloy hanggang sa maging totoo ang kundisyon.

numerical integration formula programming

Panimula

2. Quadrature formula

3. Awtomatikong pagpili ng hakbang sa pagsasama

Konklusyon

Bibliograpiya

Panimula

Ang layunin ng abstract ay pag-aralan at paghahambing na pagsusuri ng mga pamamaraan para sa numerical integration ng mga function; pagpapatupad ng mga pamamaraang ito sa anyo ng mga programa ng makina sa isang mataas na antas ng wika at praktikal na solusyon ng mga problema ng pagsasama ng numero sa isang computer.

Kapag nilulutas ang mga problema sa engineering, madalas na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng isang tiyak na integral ng form

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] at ang antiderivative nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang kilalang function, kung gayon ang naturang integral ay kinakalkula gamit ang Newton–Leibniz formula:

Sa mga problema sa engineering, bihirang posible na makuha ang halaga ng integral sa analytical form. Bilang karagdagan, ang pag-andar f(x) ay maaaring tukuyin, halimbawa, sa pamamagitan ng isang talahanayan ng pang-eksperimentong data. Samakatuwid, sa pagsasagawa, upang makalkula ang isang tiyak na integral, ang mga espesyal na pamamaraan ay ginagamit, na batay sa interpolation apparatus.

Ang ideya ng gayong mga pamamaraan ay ang mga sumusunod. Sa halip na kalkulahin ang integral gamit ang formula (1), kalkulahin muna ang mga halaga ng function f(x i) = y i sa ilang mga node x i Î[ a, b]. Pagkatapos ay pinili ang interpolation polynomial P(x), pagpasa sa mga nakuhang puntos ( x i, y i), na ginagamit kapag kinakalkula ang tinatayang halaga ng integral (1):

Kapag ipinapatupad ang diskarteng ito, ang mga numerical integration formula ay kumukuha ng sumusunod na pangkalahatang anyo:

, (2)

nasaan ang mga interpolation node, A i- ilang mga coefficient, R– natitirang termino na nagpapakilala sa pagkakamali ng formula. Tandaan na ang mga formula ng form (2) ay tinatawag na quadrature formula.

Ang geometric na kahulugan ng numerical integration ay upang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na limitado ng graph ng function. f(X), ang x-axis at dalawang tuwid na linya x = a At x = b. Ang tinatayang pagkalkula ng lugar ay humahantong sa pagtanggi sa natitirang termino sa mga formula ng quadrature R, na nagpapakilala sa error ng pamamaraan, na kung saan ay pinatong ng isang computational error.

Mga pamamaraan ng pagsasama ng numero

Sa inilapat na pananaliksik ay madalas na kailangang kalkulahin ang halaga ng isang tiyak na integral

Ang kakanyahan ng tinatayang pagkalkula ay nakasalalay sa dalawang operasyon: 1. pagpili ng isang may hangganang numero sa halip na n; 2. sa pagpili ng punto sa kaukulang bahagi.

Depende sa pagpipilian, makakakuha tayo ng iba't ibang mga formula para sa pagkalkula ng integral: Mga formula ng kaliwa at kanang mga parihaba (5), (6)

(5)

(6)

Trapezoid formula:

Formula ni Simpson

b, a - mga dulo ng segment na isinasaalang-alang.

Ayon sa formula ng mga kaliwang parihaba:

Ayon sa formula ng trapezoid:

Ayon sa formula ni Simpson:

At ang resulta na nakuha sa analytical ay katumbas ng

Dahil dito, maaari nating tapusin na ang numerical na paraan ng pagsasama ayon sa formula ng Simpson ay mas tumpak, ngunit ginagamit sa pangkalahatang kaso kapag hinahati ang segment na pinaghihiwalay sa isang pantay na bilang ng mga pagitan.

Mga formula ng quadrature

Mga parihaba na formula ay ang pinakasimpleng quadrature formula. Hatiin natin ang bahagi ng pagsasama [ a, b] sa n pantay na haba ng mga bahagi. Tandaan na ang halaga h tinatawag na integration step. Sa mga split point X 0 = a,X 1 =a+h, ..., x n = b tandaan ang mga ordinate y 0 ,y 1 ,…,y n baluktot f(x), ibig sabihin. kalkulahin natin y i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 + h(ako =). Sa bawat bahagi ng haba h bumuo ng isang parihaba na may mga gilid h At y i, Saan ako =, ibig sabihin. mula sa mga ordinate na halaga na kinakalkula sa kaliwang dulo ng mga segment. Kung gayon ang lugar ng curvilinear trapezoid, na tumutukoy sa halaga ng integral (1), ay maaaring humigit-kumulang na kinakatawan bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba (Fig. 1). Mula dito nakuha namin ang formula para sa mga parihaba:

Kung, kapag kinakalkula ang integral sum, kinukuha namin ang mga halaga ng function f(x) hindi sa kaliwa, ngunit sa kanang dulo ng mga segment ng haba h, na ipinapakita sa Fig. 1 na may tuldok-tuldok na linya, nakukuha namin ang pangalawang bersyon ng rectangle formula:

Ang ikatlong bersyon ng rectangle formula ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng mga halaga ng function f(x), kinakalkula sa gitna ng bawat segment ng haba h(Larawan 2):

. (5)

Ang mga formula (3), (4) at (4) ay tinatawag na mga formula ng kaliwa, kanan at gitnang mga parihaba, ayon sa pagkakabanggit.

kanin. 2

Pormula ng trapezoid. Dito, sa bawat elementary interval [ x i -1 , x i] haba h mga puntos na may mga coordinate ( x i -1 , y i-1) at ( x i, y i) ay konektado sa pamamagitan ng isang segment (Larawan 3). Pagkatapos ang lugar ng trapezoid na itinayo sa pagitan na ito ay tinutukoy ng produkto 0.5 h(y i -1 + y i). Summing up ang mga lugar ng elementarya trapezoids para sa i= nakakakuha tayo ng tinatayang halaga ng integral.

Bounded ng x-axis, ang graph ng integrable function at line segment x=a\,\! At x=b\,\!, Saan isang\,\! At b\,\!- mga limitasyon ng pagsasama (tingnan ang figure).

Ang pangangailangang gumamit ng numerical integration ay kadalasang sanhi ng kakulangan ng representasyon sa at, samakatuwid, ang imposibilidad ng analytically na pagkalkula ng halaga ng isang partikular na integral sa . Posible rin na ang anyo ng antiderivative ay napakakumplikado na mas mabilis na kalkulahin ang halaga ng integral gamit ang isang numerical na pamamaraan.

Isang-dimensional na kaso

Ang pangunahing ideya ng karamihan sa mga pamamaraan ng pagsasama ng numero ay upang palitan ang integrat ng isang mas simple, ang integral na kung saan ay madaling kalkulahin nang analytical. Sa kasong ito, upang matantya ang halaga ng integral, kumuha kami ng mga formula ng form

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

saan n\,\!- ang bilang ng mga punto kung saan kinakalkula ang halaga ng integrand. Mga puntos x_i\,\! ay tinatawag na mga node ng pamamaraan, mga numero w_i\,\!- bigat ng mga node. Kapag pinapalitan ang integrand sa isang polynomial ng zero, una at pangalawang degree, ang mga pamamaraan , at (Simpson) ay nakuha, ayon sa pagkakabanggit. Kadalasan ang mga formula para sa pagtatantya ng halaga ng integral ay tinatawag na quadrature formula.

Paraan ng parihaba

Paraan ng parihaba ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng integrand ng isang pare-pareho. Bilang isang pare-pareho, maaari mong kunin ang halaga ng function sa anumang punto sa segment \kaliwa\,\!. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga halaga ng pag-andar ay nasa gitna ng segment at sa mga dulo nito. Ang mga kaukulang pagbabago ay tinatawag na mga pamamaraan katamtamang mga parihaba, kaliwang mga parihaba At kanang mga parihaba. Ang formula para sa tinatayang pagkalkula ng halaga ng isang tiyak na integral gamit ang rectangle method ay may anyo

I\approx f(x) (b-a),

saan x=\frac(\kaliwa(a+b\kanan))(2), isang\,\! o b\,\!, ayon dito.

Paraan ng trapezoid

Kung gumuhit kami ng isang tuwid na linya sa mga dulo ng segment ng pagsasama, nakukuha namin paraan ng trapezoid. Mula sa geometric na pagsasaalang-alang ito ay madaling makuha

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Paraan ng parabola

Gamit ang tatlong punto ng segment ng integration, maaari mong palitan ang integrand ng isang parabola. Karaniwan, ang mga dulo ng isang segment at ang gitnang punto nito ay ginagamit bilang mga naturang punto. Sa kasong ito, ang formula ay may napakasimpleng anyo

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Tumaas na katumpakan

Ang approximation ng isang function sa pamamagitan ng isang polynomial sa buong integration interval, bilang panuntunan, ay humahantong sa isang malaking error sa pagtantya ng halaga ng integral.

Upang mabawasan ang error, ang segment ng integration ay nahahati sa mga bahagi at isang numerical na paraan ang ginagamit upang suriin ang integral sa bawat isa sa kanila.

Dahil ang bilang ng mga partisyon ay may posibilidad na infinity, ang pagtatantya ng integral ay humahantong sa tunay na halaga nito para sa anumang numerical na paraan.

Ang mga pamamaraan sa itaas ay nagbibigay-daan para sa isang simpleng pamamaraan ng paghahati ng hakbang, na nangangailangan ng bawat hakbang upang kalkulahin ang mga halaga ng function lamang sa mga bagong idinagdag na node. Upang matantya ang error sa pagkalkula, .

Pamamaraan ng Gauss

Ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas ay gumagamit ng mga nakapirming punto ng segment (mga dulo at gitna) at may mababang halaga (1, 1 at 3, ayon sa pagkakabanggit). Kung maaari naming piliin ang mga punto kung saan namin kalkulahin ang mga halaga ng function f(x)\,\!, pagkatapos ay may parehong bilang ng mga kalkulasyon ng integrat posible na makakuha ng mga pamamaraan na higit pa mataas na pagkakasunud-sunod katumpakan. Kaya para sa dalawa (tulad ng sa trapezoidal na pamamaraan) na mga kalkulasyon ng mga halaga ng integrand, maaari kang makakuha ng isang paraan ng hindi ang 1st, ngunit ang ika-3 na pagkakasunud-sunod ng katumpakan:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

Sa pangkalahatan, gamit n\,\! puntos, maaari kang makakuha ng isang paraan na may pagkakasunud-sunod ng katumpakan 2n-1\,\!. Gaussian method node values ayon sa n\,\! Ang mga puntos ay ang mga ugat ng Legendre polynomial of degree n\,\!.

Ang mga halaga ng mga node ng pamamaraang Gaussian at ang kanilang mga timbang ay ibinibigay sa mga direktoryo ng mga espesyal na pag-andar. Ang pinakakilala ay ang Gaussian five-point method.

Pamamaraang Gauss-Kronrod

Ang kawalan ng Gauss method ay wala itong madaling (mula sa computational point of view) na paraan upang matantya ang error ng resultang integral value. Ang paggamit ng panuntunan ng Runge ay nangangailangan ng pagkalkula ng integrand sa humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga puntos, nang hindi nagbibigay ng halos anumang pakinabang sa katumpakan, hindi katulad mga simpleng pamamaraan, kung saan ang katumpakan ay tumataas nang malaki sa bawat bagong partition. Inalok si Kronrod susunod na pamamaraan mga pagtatantya ng halaga ng integral

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

saan x_i\,\!- mga node ng pamamaraang Gaussian n\,\! puntos, at 3n+2\,\! mga parameter a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\! pinili sa paraang ang pagkakasunud-sunod ng katumpakan ng pamamaraan ay katumbas ng 3n+1\,\!.

Pagkatapos, upang matantya ang error, maaari mong gamitin ang empirical formula

\Delta = \kaliwa(200 |I - I_G|\kanan)^(1.5),

saan I_G\,\!- ang halaga ng integral, na tinatantya ng pamamaraang Gauss ayon sa n\,\! puntos. Mga Aklatan [

Ang ideya ng numerical integration ay sobrang simple at sumusunod mula sa geometric na kahulugan ng definite integral - ang halaga ng definite integral ay numerong katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid na limitado ng graph ng function. y=f(x), x-axis at mga tuwid na linya x=a, x=b.

Sa pamamagitan ng paghahanap ng humigit-kumulang na lugar ng isang curved trapezoid, nakuha namin ang halaga ng integral. Pormal, ang pamamaraan ng numerical integration ay ang segment [a, b] ay nahahati sa n bahagyang mga segment, at pagkatapos ay ang integrand function ay pinalitan dito ng isang madaling integrable function, na, ayon sa isang tiyak na pag-asa, interpolate ang mga halaga ng integrand function sa mga punto ng partition. Isaalang-alang natin ngayon ang pinakasimpleng paraan ng pagsasama ng numero. Kaya ang function y=f(x) ay integrable sa segment at kailangan nating kalkulahin ang integral nito. Buuin natin ang integral sum para sa f(x).

sa segment. Upang gawin ito, hinati namin ang segment sa n pantay na bahagi gamit ang mga puntos: X x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1 Kung tukuyin natin ang haba ng bawat bahagi ng, kaya para sa bawat punto x k

magkakaroon tayo ng: (k=0, 1, 2, …, n). Ipahiwatig natin ngayon sa pamamagitan ng y=f(x) y k halaga ng integrand

ibig sabihin, ilagay natin (k=0, 1, …, n). y=f(x) Tapos yung amounts . magiging integral para sa function y=f(x) sa segment

(Kapag pinagsama-sama ang unang kabuuan, isinasaalang-alang namin ang mga halaga ng pag-andar

sa mga punto na kaliwang dulo ng mga bahagyang segment, at kapag binubuo ang pangalawang kabuuan - sa mga punto na kanang dulo ng mga segment na ito.) Sa pamamagitan ng kahulugan ng integral mayroon tayo:

Samakatuwid, natural na kunin ang integral sum bilang isang tinatayang halaga (1)

, mga. ilagay: (1")

mga

At Ang mga tinatayang equal na ito ay tinatawag na mga rectangle formula. Sa kaso kung kailan f(x) 0, mga formula (1) at (1’) na may geometric na punto Ang pangitain ay nangangahulugan na ang lugar ng isang hubog na trapezoid aABb, nililimitahan ng arko ng kurba y=f(x), axis Oh at tuwid x=a At x=b, ay kinuha humigit-kumulang pantay na lugar isang stepped figure na nabuo mula sa n mga parihaba na may mga base at taas: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1– sa kaso ng formula (1) (Fig. 8) at

y 1 , y 2 , y 3 , …, y n – sa kaso ng formula (1") (Larawan 9)..

Ang anumang tinatayang pagkalkula ay may isang tiyak na halaga lamang kapag ito ay sinamahan ng isang pagtatantya ng error na pinapayagan. Samakatuwid, ang mga hugis-parihaba na formula ay magiging praktikal na angkop para sa tinatayang pagkalkula ng mga integral lamang kung mayroong isang maginhawang paraan upang matantya ang nagresultang error (para sa isang naibigay na n), na nagpapahintulot din sa isa na mahanap ang bilang ng mga bahagi n ng partition ng segment, na ginagarantiyahan ang kinakailangang antas ng katumpakan ng tinatayang pagkalkula.

Ipapalagay namin na ang function y=f(x) ay may bounded derivative sa segment, kaya mayroong ganoong numero M>0, na para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa hindi pagkakapantay-pantay |f"(x)|M.

Ang husay na kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang rate ng pagbabago ng halaga ng function ay limitado. Sa totoong natural na mga sistema ay halos palaging natutugunan ang pangangailangang ito. Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang ganap na halaga ng error Rn, na pinapayagan namin kapag kinakalkula ang integral gamit ang rectangle formula, ay maaaring matantya gamit ang formula:

|Rn | M(b-a) 2 /2n (2) Habang tumataas ang n nang walang katiyakan, ang expression M(b-a) 2 /2n , at samakatuwid ganap na halaga mga pagkakamali Rn >0 ay magiging zero, i.e. Ang katumpakan ng approximation ay magiging mas malaki, mas malaki ang bilang ng mga pantay na bahagi kung saan nahahati ang segment. Ang ganap na error ng resulta ay malinaw na mas mababa kaysa sa tinukoy na numero

, kung kukuha ka .

n > M(b-a) 2 /2 Dahil dito, upang kalkulahin ang integral na may tinukoy na antas ng katumpakan, sapat na upang hatiin ang segment sa bilang ng mga bahagi, mas malalaking numero . .

M(b-a) 2 /2

Ang paraan ng parihaba ay ang pinakasimpleng at sa parehong oras ang pinaka-krudong paraan ng tinatayang pagsasama. Ang isa pang paraan, ang trapezoidal method, ay nagbibigay ng kapansin-pansing mas maliit na error.

Malinaw, kung mas malaki ang bilang ng mga segment ng partition, mas tumpak ang resulta na ibibigay ng mga formula (3a) at (3b). Gayunpaman, ang pagtaas ng bilang ng mga segment na naghahati sa pagitan ng pagsasama ay hindi palaging posible. Samakatuwid, ang mga formula na nagbibigay ng mas tumpak na mga resulta na may parehong bilang ng mga partition point ay may malaking interes.

(4)

Ang pinakasimpleng mga formula ay nakuha bilang ang arithmetic mean ng kanang bahagi ng mga formula (1) at (1"): Madaling makita geometriko na kahulugan at samakatuwid, ang formula (4) ay kumakatawan sa lugar ng figure na binubuo ng naturang mga trapezoid (Larawan 10). Mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang, malinaw na ang lugar ng naturang figure ay, sa pangkalahatan, ay mas tumpak na ipahayag ang lugar ng isang curvilinear trapezoid kaysa sa lugar ng isang stepped figure na isinasaalang-alang sa paraan ng mga parihaba.

Ang pagdadala ng mga katulad na termino sa formula (4), sa wakas ay nakuha natin

Formula (5) ay tinatawag trapezoidal formula.

Ang trapezoidal formula ay kadalasang ginagamit para sa mga praktikal na kalkulasyon. Tungkol sa pagtatantya ng error mga pagkakamali, na nagmumula kapag pinapalitan ang kaliwang bahagi ng (5) ng kanan, napatunayan na ang ganap na halaga nito ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:

(6)

saan M 2– maximum ng modulus ng pangalawang derivative ng integrand sa interval, i.e.

Kaya naman, mga pagkakamali nababawasan ng hindi bababa sa kasing bilis ng .

Ganap na pagkakamali mga pagkakamali ay mas mababa sa isang paunang natukoy na numero > 0 , kung kukuha ka .

Ang isang makabuluhang pagtaas sa katumpakan ng mga tinatayang formula ay maaaring makamit sa pamamagitan ng pagtaas ng pagkakasunud-sunod ng interpolation. Ang isa sa tinatayang paraan ng pagsasama ay ang parabola na paraan. Ang ideya ng pamamaraan ay batay sa katotohanan na sa isang bahagyang agwat ang arko ng isang tiyak na parabola sa pangkalahatang kaso ay mas malapit na katabi ng curve aABb kaysa sa chord na nagkokonekta sa mga dulo ng arc ng curve na ito, at samakatuwid ang mga halaga ng mga lugar ng kaukulang elementarya na trapezoid na nakatali "mula sa itaas" ng mga arc ng parabola ay mas malapit sa mga halaga ng mga lugar ng kaukulang partial curvilinear trapezoids bounded mula sa itaas ng arko ng curve aABb kaysa sa mga lugar ng kaukulang rectilinear trapezoids. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod. Ang segment ay nahahati sa 2n

pantay na bahagi. Hayaan ang mga puntos ng paghahati

Mga pamamaraan ng pagsasama ng numero

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, at para sa parabola formula - proporsyonal sa halaga, i.e.

Ang parabola na paraan ay nagtatagpo nang mas mabilis kaysa sa trapezoidal na pamamaraan, habang mula sa punto ng view ng computational technology ang parehong mga pamamaraan ay pareho.

MGA PUNDAMENTAL NG NUMERICAL METHODS

Lektura-5

Magkomento.

Mga operator
gumamit ng linear_operators

ay nangangahulugan ng pagkonekta ng mga aklatan ng mga karaniwang gawain ng dfimsl at

linear_operators, ayon sa pagkakabanggit.

Sa linear_operators library posible na gamitin ang karaniwang gawain para sa pagtukoy ng eigenvalues at vectors eig sa anyo: lambda=eig(a,v=y),),

a – source matrix (two-dimensional array n),

nxn lambda – vector ng eigenvalues (one-dimensional na hanay ng haba y – matris lambda=eig(a,v=y),).

eigenvectors

, nakaayos sa mga column (two-dimensional array Ang mga nakalistang array ay dapat ideklara sa programa. Hayaang kailanganin ang pagkalkula

Para sa maraming mga pag-andar, ang mga antiderivative ay medyo kumplikadong mga kumbinasyon mga pag-andar ng elementarya, o hindi ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito. Sa ganitong mga kaso, ang paggamit ng Newton-Leibniz formula sa pagsasanay ay hindi posible. Sa maraming praktikal na mga kaso, sapat na upang makuha ang halaga ng integral na may ibinigay na katumpakan. Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng integral, mayroong mga numerical integration formula. Ang kakanyahan ng pagbuo ng mga numerical integration formula ay ang mga sumusunod.

Hatiin natin ang segment sa mga bahagi. Para sa pagiging simple ng presentasyon, ilagay natin ang mga bahaging ito ng parehong haba:

Bilangin natin ang mga punto ng paghahati tulad ng ipinapakita sa Fig. 2.5.1. Mayroon kaming:

kanin. 2.5.1. Sa isyu ng numerical integration.

Ang orihinal na integral (2.5.1) ay maaaring ipakita bilang isang kabuuan ng mga integral sa "maliit" na mga segment na nakuha bilang resulta ng paghahati:

. (2.5.2)

Mga integral

ay kinakalkula gamit ang tinatayang mga formula.

Tinatawag ang pinakasimpleng mga formula para sa tinatayang pagkalkula ng mga integral sa isang segment mga formula ng quadrature . Tingnan natin ang ilan sa mga ito sa ibaba, at tuklasin din ang mga isyu ng kanilang katumpakan. Ang pagkakasunud-sunod ng katumpakan ng isang quadrature formula ay tinutukoy ng antas ng polynomial (polynomial) kung saan tumpak ang quadrature formula na ito.

2.5.2. Formula ng mga parihaba (formula ng "mga average").

Palitan natin ng i-ika na seksyon ng integrable function pare-pareho isang halaga, halimbawa, katumbas ng halaga nito sa midpoint (Larawan 2.5.2):

kanin. 2.5.2. Sa pagsasama gamit ang rectangle formula.

, Saan . (2.5.4)

Pagkatapos ang integral sa segment ay pinalitan ng lugar ng rektanggulo, i.e.

, (2.5.5)

at ang pagkalkula ng orihinal na integral ay binabawasan sa pagkalkula ng kabuuan

. (2.5.6)

Bilang karagdagan, madalas para sa mga praktikal na dahilan , o itinuturing bilang kalidad sa formula (2.5.6). Bilang resulta, nakukuha namin ang:

(2.5.7)

– quadrature formula ng “kaliwa” na mga parihaba;

(2.5.8)

– quadrature formula ng “kanan” na mga parihaba.

Ang mga formula (2.5.7) at (2.5.8) ay hindi gaanong tumpak kaysa sa (2.5.6), ngunit kung minsan ay mas maginhawa, halimbawa, kapag nilulutas ang mga differential equation ayon sa numero.

Katumpakan ng pagkalkula . Tulad ng mga sumusunod mula sa pagtatayo, ang mga quadrature formula ng mga parihaba ay nagbibigay ng eksaktong resulta ng pagsasama para sa mga function, permanente sa i-ika seksyon (). Ang quadrature formula para sa "average" na mga parihaba ay nagbibigay din ng eksaktong resulta para sa linear sa i-ika segment ng mga function. Ito ay sapat na upang suriin ang pahayag na ito para sa pinakasimpleng linear function.

Sa eksaktong pagsasama, nakukuha namin ang: