4.1. Iskedyul

kanin.

4.2. Iskedyul
, Kung
kanin.

4.3. Iskedyul
Ang mga vertical na asymptotes ng isang function ay dapat hanapin alinman sa mga discontinuity point ng pangalawang uri (kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa isang punto ay walang hanggan o wala), o sa mga dulo ng domain ng kahulugan nito
- may hangganan na mga numero.
Kung ang function
ay tinukoy sa buong linya ng numero at may hangganan
, o

, pagkatapos ay ang tuwid na linya na ibinigay ng equation

At
,

, ay isang kanang kamay na pahalang na asymptote, at ang tuwid na linya
- left-sided horizontal asymptote.
Kung may hangganan ang mga limitasyon
).

Function
tapos diretso na
ay ang slant asymptote ng graph ng function. Ang pahilig na asymptote ay maaari ding nasa kanang bahagi (
) o kaliwang kamay ( >tinatawag na pagtaas sa set
>
, kung para sa alinman
<
, ganyan
, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:

(pagbaba kung:
). Isang grupo ng

sa kasong ito ay tinatawag na monotonicity interval ng function. Ang sumusunod na sapat na kundisyon para sa monotonicity ng isang function ay wasto: kung ang derivative ng isang differentiable function sa loob ng set
ay positibo (negatibo), pagkatapos ay tataas (bumababa) ang function sa set na ito.

Solusyon. Halimbawa 4.5.
Nabigyan ng function . Hanapin ang mga pagitan nito ng pagtaas at pagbaba. Hanapin natin ang derivative nito <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
. Obvious naman yun
).

>0 sa >3 at ;3) at tumataas ng (3; Dot
tinatawag na isang punto lokal na maximum (minimum)
(
) mga function tinawag , kung sa ilang kapitbahayan ng punto hindi pagkakapantay-pantay hawak . Halaga ng function sa isang punto maximum (minimum).

Ang maximum at minimum na mga function ay pinagsama ng isang karaniwang pangalan
sukdulan mga function.
Para sa pag-andar

nagkaroon ng extremum sa punto kinakailangan na ang derivative nito sa puntong ito ay katumbas ng zero () o wala.

Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero ay tinatawag Mula kaliwa hanggang kanan, ang derivative ng differentiable function ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, pagkatapos ay maabot ang lokal na maximum sa punto. Kung ang tanda ay nagbabago mula sa minus hanggang plus, kung gayon ito ang pinakamababang punto ng pag-andar.

Kung ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago kapag dumadaan sa puntong pinag-aaralan, kung gayon walang extremum sa puntong ito.

Ang pangalawang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function sa isang nakatigil na punto ay gumagamit ng pangalawang derivative ng function: kung
<0, тоay ang pinakamataas na punto, at kung
>0, pagkatapos - pinakamababang punto. Sa
=0 ang tanong tungkol sa uri ng extremum ay nananatiling bukas.

Function
tinawag matambok (malukong) sa set
, kung para sa alinmang dalawang halaga
ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:

.

Fig.4.4. Graph ng isang convex function

Kung ang pangalawang derivative ng isang twice differentiable function
positibo (negatibo) sa loob ng set
, pagkatapos ay ang function ay malukong (matambok) sa set
.

Ang inflection point ng graph ng isang tuluy-tuloy na function
tinatawag na puntong naghihiwalay sa mga pagitan kung saan ang function ay matambok at malukong.

Pangalawang derivative
dalawang beses na differentiable function sa isang inflection point ay katumbas ng zero, iyon ay
= 0.

Kung ang pangalawang derivative kapag dumadaan sa isang tiyak na punto nagbabago ang tanda nito, kung gayon ay ang inflection point ng graph nito.

Kapag nag-aaral ng isang function at naglalagay ng graph nito, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:

23. Ang konsepto ng differential function. Ari-arian. Paglalapat ng kaugalian sa tinatayang.y mga kalkulasyon.

Konsepto ng differential function

Hayaang ang function na y=ƒ(x) ay may nonzero derivative sa puntong x.

Pagkatapos, ayon sa theorem tungkol sa koneksyon sa pagitan ng isang function, limitasyon nito at isang infinitesimal function, maaari nating isulat ang  у/х=ƒ"(x)+α, kung saan ang α→0 sa ∆х→0, o ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Kaya, ang pagdaragdag ng function na ∆у ay ang kabuuan ng dalawang termino ƒ"(x) ∆x at isang ∆x, na infinitesimal para sa ∆x→0. Bukod dito, ang unang termino ay isang infinitesimal function ng parehong pagkakasunud-sunod bilang ∆x, mula noong at ang pangalawang termino ay isang infinitesimal na function ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa ∆x:

Samakatuwid, ang unang terminong ƒ"(x) ∆x ay tinatawag ang pangunahing bahagi ng pagtaas mga function ∆у.

Pagkakaiba ng pag-andar Ang y=ƒ(x) sa puntong x ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas nito, katumbas ng produkto ng derivative ng function at ang pagtaas ng argumento, at ipinapahiwatig na dу (o dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

Tinatawag din ang dу differential pagkakaiba sa unang order. Hanapin natin ang differential ng independent variable x, i.e. ang differential ng function na y=x.

Dahil ang y"=x"=1, kung gayon, ayon sa formula (1), mayroon tayong dy=dx=∆x, ibig sabihin, ang pagkakaiba ng independent variable ay katumbas ng pagtaas ng variable na ito: dx=∆x.

Samakatuwid, ang pormula (1) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

sa madaling salita, ang differential ng isang function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito at ang differential ng independent variable.

Mula sa formula (2) ay sumusunod sa equality dy/dx=ƒ"(x). Ngayon ang notation

ang derivative na dy/dx ay maaaring ituring bilang ratio ng mga pagkakaibang dy at dx.

Differentialay may mga sumusunod na pangunahing katangian.

1. d(Sa)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(Sau)=Sad(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Ang anyo ng differential ay invariant (hindi nagbabago): ito ay palaging katumbas ng produkto ng derivative ng function at ang differential ng argument, hindi alintana kung ang argumento ay simple o kumplikado.

Paglalapat ng kaugalian sa tinatayang mga kalkulasyon

Tulad ng alam na, ang pagtaas ng ∆у ng function na у=ƒ(х) sa puntong x ay maaaring katawanin bilang ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, kung saan α→0 sa ∆х→0, o ∆у= dy+α ∆х Ang pagtatapon ng infinitesimal na α ∆х ng mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa ∆х, nakakakuha kami ng tinatayang pagkakapantay-pantay.

∆y≈dy, (3)

Bukod dito, ang pagkakapantay-pantay na ito ay mas tumpak, ang mas maliit na ∆х.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay-daan sa amin na humigit-kumulang na kalkulahin ang pagtaas ng anumang naiba-iba na function na may mahusay na katumpakan.

Ang pagkakaiba ay kadalasang mas madaling hanapin kaysa sa pagtaas ng isang function, kaya ang formula (3) ay malawakang ginagamit sa pagsasanay sa pag-compute.

24. Antiderivative function at hindi tiyakika integral.

ANG KONSEPTO NG ISANG PRIMITIVE FUNCTION AT ISANG INDEMNITE INTEGRAL

Function F (X) ay tinatawag na antiderivative function para sa function na ito f (X) (o, sa madaling salita, antiderivative function na ito f (X)) sa isang ibinigay na pagitan, kung sa pagitan na ito . Halimbawa. Ang function ay isang antiderivative ng function sa buong numerical axis, dahil para sa alinman X. Tandaan na, kasama ng isang function, isang antiderivative para sa anumang function ng form , kung saan SA- isang di-makatwirang pare-parehong numero (ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang derivative ng isang pare-pareho ay katumbas ng zero). Ang ari-arian na ito ay mayroon din sa pangkalahatang kaso.

Teorama 1. Kung at ay dalawang antiderivatives para sa function f (X) sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ito sa pagitan na ito ay katumbas ng isang pare-parehong numero. Mula sa teorama na ito ay sumusunod na kung ang anumang antiderivative ay kilala F (X) ng function na ito f (X), pagkatapos ay ang buong hanay ng mga antiderivatives para sa f (X) ay naubos sa pamamagitan ng mga pag-andar F (X) + SA. Pagpapahayag F (X) + SA, Saan F (X) - antiderivative ng function f (X) At SA- isang arbitrary na pare-pareho, tinatawag hindi tiyak na integral mula sa function f (X) at ipinapahiwatig ng simbolo, at f (X) ay tinatawag na pagsasama at pag-andar ; - integrand , X - variable ng pagsasama ; ∫ - tanda ng hindi tiyak na integral . Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan Kung . Ang tanong ay lumitaw: para sa lahat mga function f (X) mayroong isang antiderivative, at samakatuwid ay isang hindi tiyak na integral? Teorama 2. Kung ang function f (X) tuloy-tuloy sa [ a ; b], pagkatapos ay sa segment na ito para sa function f (X) mayroong isang antiderivative . Sa ibaba ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga antiderivative para lamang sa tuluy-tuloy na pag-andar. Samakatuwid, umiiral ang mga integral na isinasaalang-alang natin mamaya sa seksyong ito.

25. Mga katangian ng walang katiyakanAtintegral. integrals mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Sa mga formula sa ibaba f At g- variable na pag-andar x, F- antiderivative ng function f, a, k, C- pare-pareho ang mga halaga.







Mga integral ng elementarya na pag-andar

Listahan ng mga integral ng mga rational function

(ang antiderivative ng zero ay pare-pareho; sa loob ng anumang limitasyon ng pagsasama, ang integral ng zero ay katumbas ng zero)

Listahan ng mga integral ng logarithmic function

Listahan ng mga integral ng exponential function

Listahan ng mga integral ng mga hindi makatwirang function

("mahabang logarithm")

listahan ng mga integral ng trigonometriko function , listahan ng mga integral ng inverse trigonometriko function

26. Pamamaraan ng pagpapalits variable, paraan ng pagsasama ng mga bahagi sa di-tiyak na integral.

Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit ay nagsasangkot ng pagpapakilala ng isang bagong variable ng pagsasama (iyon ay, pagpapalit). Sa kasong ito, ang ibinigay na integral ay binabawasan sa isang bagong integral, na kung saan ay tabular o mababawasan dito. Walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa pagpili ng mga pamalit. Ang kakayahang matukoy nang tama ang pagpapalit ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasanay.

Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang differential

Sa araling ito ay titingnan natin ang isang karaniwang problema sa tinatayang pagkalkula ng halaga ng isang function gamit ang isang kaugalian. Dito at higit pa ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pagkakaiba sa unang pagkakasunud-sunod; Ang problema ng tinatayang mga kalkulasyon gamit ang mga kaugalian ay may mahigpit na algorithm ng solusyon, at, samakatuwid, walang mga espesyal na paghihirap ang dapat lumitaw. Ang tanging bagay ay may mga maliliit na pitfalls na lilinisin din. Kaya huwag mag-atubiling sumisid sa ulo.

Bilang karagdagan, ang pahina ay naglalaman ng mga formula para sa paghahanap ng ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon. Ang materyal ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil ang mga error ay kailangang kalkulahin sa iba pang mga problema. Physicists, nasaan ang palakpakan ninyo? =)

Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, kailangan mong makahanap ng mga derivatives ng mga function kahit man lang sa isang intermediate na antas, kaya kung ikaw ay ganap na natalo sa pagkakaiba, mangyaring magsimula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? Inirerekomenda ko rin na basahin ang artikulo Ang pinakasimpleng mga problema sa mga derivatives, katulad ng mga talata tungkol sa paghahanap ng derivative sa isang punto At paghahanap ng pagkakaiba sa punto. Mula sa mga teknikal na paraan, kakailanganin mo ng isang microcalculator na may iba't ibang mga pag-andar sa matematika. Maaari mong gamitin ang Excel, ngunit sa kasong ito ay hindi gaanong maginhawa.

Ang workshop ay binubuo ng dalawang bahagi:

– Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang differential ng isang function ng isang variable.

– Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable.

Sino ang nangangailangan ng ano? Sa katunayan, posible na hatiin ang kayamanan sa dalawang tambak, sa kadahilanang ang pangalawang punto ay nauugnay sa mga aplikasyon ng mga function ng ilang mga variable. Ngunit ano ang magagawa ko, mahilig ako sa mahabang artikulo.

Tinatayang mga kalkulasyon
gamit ang differential ng isang function ng isang variable

Ang gawaing pinag-uusapan at ang kahulugang geometriko nito ay nasasakupan na sa aralin Ano ang derivative? , at ngayon ay lilimitahan natin ang ating sarili sa isang pormal na pagsasaalang-alang ng mga halimbawa, na sapat na upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Sa unang talata, ang function ng isang variable na panuntunan. Tulad ng alam ng lahat, ito ay tinutukoy ng o ng . Para sa gawaing ito, mas maginhawang gamitin ang pangalawang notasyon. Dumiretso tayo sa isang sikat na halimbawa na kadalasang makikita sa pagsasanay:

Halimbawa 1

Solusyon: Pakikopya ang gumaganang formula para sa tinatayang pagkalkula gamit ang differential sa iyong notebook:

Simulan natin ito, ang lahat ay simple dito!

Ang unang hakbang ay upang lumikha ng isang function. Ayon sa kondisyon, iminungkahi na kalkulahin ang cube root ng numero: , kaya ang kaukulang function ay may anyo: . Kailangan nating gamitin ang formula upang mahanap ang tinatayang halaga.

Tignan natin kaliwang bahagi mga formula, at ang pag-iisip ay nasa isip na ang numero 67 ay dapat na kinakatawan sa anyo. Ano ang pinakamadaling paraan para gawin ito? Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm: kalkulahin ang halagang ito sa isang calculator:
– ito ay naging 4 na may buntot, ito ay isang mahalagang gabay para sa solusyon.

Pinipili namin ang isang "magandang" halaga bilang kalidad, upang ang ugat ay ganap na maalis. Natural, ang halagang ito ay dapat mas malapit hangga't maaari sa 67. Sa kasong ito: . Talaga: .

Tandaan: Kapag nahihirapan pa rin sa pagpili, tingnan lang ang kinakalkula na halaga (sa kasong ito ), kunin ang pinakamalapit na bahagi ng integer (sa kasong ito 4) at itaas ito sa kinakailangang kapangyarihan (sa kasong ito ). Bilang resulta, ang kinakailangang pagpili ay gagawin: .

Kung , pagkatapos ay ang pagtaas ng argumento: .

Kaya, ang bilang na 67 ay kinakatawan bilang isang kabuuan

Una, kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto. Sa totoo lang, nagawa na ito dati:

Ang pagkakaiba sa isang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
- Maaari mo ring kopyahin ito sa iyong kuwaderno.

Mula sa formula sumusunod na kailangan mong kunin ang unang derivative:

At hanapin ang halaga nito sa punto:

kaya:

Handa na ang lahat! Ayon sa formula:

Ang nahanap na tinatayang halaga ay medyo malapit sa halaga , kinakalkula gamit ang isang microcalculator.

Sagot:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang humigit-kumulang sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga increment ng function sa differential nito.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng huling disenyo at ang sagot sa katapusan ng aralin. Para sa mga nagsisimula, inirerekomenda ko muna ang pagkalkula ng eksaktong halaga sa isang microcalculator upang malaman kung aling numero ang kinuha bilang , at kung aling numero ang kinuha bilang . Dapat tandaan na sa halimbawang ito ito ay magiging negatibo.

Maaaring nagtaka ang ilan kung bakit kailangan ang gawaing ito kung ang lahat ay maaaring mahinahon at mas tumpak na kalkulahin sa isang calculator? Sumasang-ayon ako, ang gawain ay hangal at walang muwang. Ngunit susubukan kong bigyang-katwiran ito nang kaunti. Una, inilalarawan ng gawain ang kahulugan ng differential function. Pangalawa, noong sinaunang panahon, ang calculator ay parang isang personal na helicopter sa modernong panahon. Ako mismo ang nakakita kung paano itinapon ang isang computer na kasing laki ng isang silid mula sa isang lokal na institusyong polytechnic sa isang lugar noong 1985-86 (ang mga radio amateur ay nagsidatingan mula sa buong lungsod na may mga distornilyador, at pagkatapos ng ilang oras ay ang kaso lamang ang natitira sa yunit). Mayroon ding mga antique sa aming departamento ng physics at mathematics, bagama't mas maliit ang mga ito - halos kasing laki ng isang desk. Ganito ang pakikibaka ng ating mga ninuno sa mga pamamaraan ng tinatayang mga kalkulasyon. Ang isang karwahe na hinihila ng kabayo ay transportasyon din.

Sa isang paraan o iba pa, ang problema ay nananatili sa karaniwang kurso ng mas mataas na matematika, at ito ay kailangang malutas. Ito ang pangunahing sagot sa iyong tanong =)

Halimbawa 3

sa puntong . Kalkulahin ang isang mas tumpak na halaga ng isang function sa isang punto gamit ang isang microcalculator, suriin ang ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon.

Sa katunayan, ang parehong gawain, madali itong reformulated tulad ng sumusunod: "Kalkulahin ang tinatayang halaga gamit ang pagkakaiba"

Solusyon: Ginagamit namin ang pamilyar na formula:
Sa kasong ito, ang isang yari na function ay ibinigay na: . Muli, nais kong iguhit ang iyong pansin sa katotohanan na ito ay mas maginhawang gamitin .

Dapat ipakita ang halaga sa form . Well, mas madali dito, nakikita natin na ang numero 1.97 ay napakalapit sa "dalawa", kaya nagmumungkahi ito mismo. At samakatuwid: .

Gamit ang formula , kalkulahin natin ang pagkakaiba sa parehong punto.

Nahanap namin ang unang derivative:

At ang halaga nito sa punto:

Kaya, ang pagkakaiba sa punto:

Bilang resulta, ayon sa formula:

Ang ikalawang bahagi ng gawain ay upang mahanap ang ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon.

Absolute at relatibong error ng mga kalkulasyon

Ganap na error sa pagkalkula ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Ang modulus sign ay nagpapakita na wala tayong pakialam kung aling halaga ang mas malaki at alin ang mas mababa. mahalaga, gaano kalayo ang tinatayang resulta ay lumihis mula sa eksaktong halaga sa isang direksyon o iba pa.

Relatibong error sa pagkalkula ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
, o ang parehong bagay:

Ipinapakita ang kamag-anak na error sa kung anong porsyento ang tinatayang resulta ay lumihis mula sa eksaktong halaga. Mayroong isang bersyon ng formula nang hindi dumarami ng 100%, ngunit sa pagsasanay halos palagi kong nakikita ang bersyon sa itaas na may mga porsyento.

Pagkatapos ng maikling sanggunian, bumalik tayo sa ating problema, kung saan kinakalkula natin ang tinatayang halaga ng function. gamit ang isang kaugalian.

Kalkulahin natin ang eksaktong halaga ng function gamit ang isang microcalculator:
, sa mahigpit na pagsasalita, ang halaga ay tinatayang pa rin, ngunit isasaalang-alang namin itong tumpak. Ang ganitong mga problema ay nangyayari.

Kalkulahin natin ang ganap na error:

Kalkulahin natin ang kamag-anak na error:
, 1000 ng isang porsyento ang nakuha, kaya ang pagkakaiba ay nagbigay lamang ng isang mahusay na pagtatantya.

Sagot: , ganap na error sa pagkalkula, kamag-anak na error sa pagkalkula

Ang sumusunod na halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang function gamit ang isang kaugalian sa puntong . Kalkulahin ang isang mas tumpak na halaga ng function sa isang naibigay na punto, tantyahin ang ganap at kamag-anak na error ng mga kalkulasyon.

Isang tinatayang sample ng huling disenyo at ang sagot sa katapusan ng aralin.

Napansin ng maraming tao na ang mga ugat ay lumilitaw sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang. Ito ay hindi sinasadya; sa karamihan ng mga kaso, ang mga function na may mga ugat ay talagang iminungkahi sa problemang isinasaalang-alang.

Ngunit para sa naghihirap na mga mambabasa, naghukay ako ng isang maliit na halimbawa sa arcsine:

Halimbawa 5

Kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang function gamit ang isang kaugalian sa punto

Ang maikli ngunit nagbibigay-kaalaman na halimbawang ito ay para sa iyo ring lutasin nang mag-isa. At nagpahinga ako ng kaunti upang sa panibagong sigla ay maisaalang-alang ko ang espesyal na gawain:

Halimbawa 6

Kalkulahin ang humigit-kumulang gamit ang isang differential, pag-round sa resulta sa dalawang decimal na lugar.

Solusyon: Ano ang bago sa gawain? Ang kundisyon ay nangangailangan ng pag-round sa resulta sa dalawang decimal na lugar. Ngunit hindi iyon ang punto; sa tingin ko ang problema sa pag-ikot ng paaralan ay hindi mahirap para sa iyo. Ang katotohanan ay binibigyan tayo ng tangent na may isang argumento na ipinahayag sa mga degree. Ano ang dapat mong gawin kapag hiniling sa iyong lutasin ang isang trigonometric function na may mga degree? Halimbawa, atbp.

Ang algorithm ng solusyon sa panimula ay pareho, iyon ay, kinakailangan, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, upang ilapat ang formula

Sumulat tayo ng isang malinaw na function

Dapat ipakita ang halaga sa form . Magbibigay ng seryosong tulong talahanayan ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Sa pamamagitan ng paraan, para sa mga hindi pa nakapag-print nito, inirerekumenda kong gawin ito, dahil kakailanganin mong tumingin doon sa buong kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika.

Sa pagsusuri sa talahanayan, napansin namin ang isang "magandang" tangent na halaga, na malapit sa 47 degrees:

kaya:

Pagkatapos ng paunang pagsusuri ang mga degree ay dapat i-convert sa radians. Oo, at sa ganitong paraan lamang!

Sa halimbawang ito, maaari mong malaman nang direkta mula sa trigonometric table na . Gamit ang formula para sa pag-convert ng mga degree sa radians: (matatagpuan ang mga formula sa parehong talahanayan).

Ang sumusunod ay formulaic:

kaya: (ginagamit namin ang halaga para sa mga kalkulasyon). Ang resulta, ayon sa kinakailangan ng kundisyon, ay bilugan sa dalawang decimal na lugar.

Sagot:

Halimbawa 7

Kalkulahin ang humigit-kumulang gamit ang isang kaugalian, bilugan ang resulta sa tatlong decimal na lugar.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado, nagko-convert kami ng mga degree sa mga radian at sumunod sa karaniwang algorithm ng solusyon.

Tinatayang mga kalkulasyon
gamit ang kumpletong kaugalian ng isang function ng dalawang variable

Ang lahat ay magiging magkatulad, kaya kung dumating ka sa pahinang ito partikular para sa gawaing ito, pagkatapos ay inirerekumenda ko muna ang pagtingin ng hindi bababa sa ilang mga halimbawa ng nakaraang talata.

Upang pag-aralan ang isang talata kailangan mong mahanap pangalawang order na bahagyang derivatives, saan tayo kung wala sila? Sa aralin sa itaas, tinukoy ko ang isang function ng dalawang variable gamit ang titik . Kaugnay ng gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin ang katumbas na notasyon.

Tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang kondisyon ng problema ay maaaring mabalangkas sa iba't ibang paraan, at susubukan kong isaalang-alang ang lahat ng mga formulation na nakatagpo.

Halimbawa 8

Solusyon: Hindi mahalaga kung paano nakasulat ang kundisyon, sa solusyon mismo upang tukuyin ang pag-andar, inuulit ko, mas mainam na gamitin hindi ang titik na "z", ngunit .

At narito ang gumaganang formula:

Ang nasa harap natin ay talagang nakatatandang kapatid na babae ng pormula ng nakaraang talata. Ang variable ay tumaas lamang. Ano ang masasabi ko, sa aking sarili ang solusyon algorithm ay sa panimula ay pareho!

Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng function sa punto.

Katawanin natin ang bilang na 3.04 bilang . Ang tinapay mismo ay humihiling na kainin:
,

Katawanin natin ang bilang na 3.95 bilang . Ang pagliko ay dumating sa ikalawang kalahati ng Kolobok:
,

At huwag tingnan ang lahat ng mga trick ng fox, mayroong isang Kolobok - kailangan mong kainin ito.

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto:

Nahanap namin ang pagkakaiba ng isang function sa isang punto gamit ang formula:

Mula sa formula na ito ay sumusunod na kailangan nating hanapin mga partial derivatives unang pagkakasunud-sunod at kalkulahin ang kanilang mga halaga sa punto.

Kalkulahin natin ang unang pagkakasunud-sunod na mga partial derivative sa punto:

Kabuuang pagkakaiba sa punto:

Kaya, ayon sa formula, ang tinatayang halaga ng function sa punto:

Kalkulahin natin ang eksaktong halaga ng function sa punto:

Ang halagang ito ay ganap na tumpak.

Kinakalkula ang mga error gamit ang mga karaniwang formula, na tinalakay na sa artikulong ito.

Ganap na error:

Kamag-anak na error:

Sagot:, ganap na error: , relative error:

Halimbawa 9

Kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang function sa isang punto gamit ang kabuuang pagkakaiba, tantyahin ang ganap at kamag-anak na error.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang sinumang naninirahan nang mas detalyado sa halimbawang ito ay mapapansin na ang mga pagkakamali sa pagkalkula ay naging napaka, lubhang kapansin-pansin. Nangyari ito sa sumusunod na dahilan: sa iminungkahing problema ang mga pagtaas ng mga argumento ay medyo malaki: . Ang pangkalahatang pattern ay ito: mas malaki ang mga pagtaas na ito sa ganap na halaga, mas mababa ang katumpakan ng mga kalkulasyon. Kaya, halimbawa, para sa isang katulad na punto ang mga pagtaas ay magiging maliit: , at ang katumpakan ng tinatayang mga kalkulasyon ay magiging napakataas.

Ang tampok na ito ay totoo rin para sa kaso ng isang function ng isang variable (ang unang bahagi ng aralin).

Halimbawa 10

Solusyon: Kalkulahin natin ang ekspresyong ito nang humigit-kumulang gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang pagkakaiba sa Mga Halimbawa 8-9 ay kailangan muna nating bumuo ng function ng dalawang variable: . Sa palagay ko naiintindihan ng lahat nang intuitive kung paano binubuo ang function.

Ang halagang 4.9973 ay malapit sa “lima”, samakatuwid: , .
Ang halaga na 0.9919 ay malapit sa "isa", samakatuwid, ipinapalagay namin: , .

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto:

Nahanap namin ang pagkakaiba sa isang punto gamit ang formula:

Upang gawin ito, kinakalkula namin ang unang pagkakasunud-sunod na mga partial derivatives sa punto.

Ang mga derivatives dito ay hindi ang pinakasimpleng, at dapat kang mag-ingat:

;

.

Kabuuang pagkakaiba sa punto:

Kaya, ang tinatayang halaga ng expression na ito ay:

Magkalkula tayo ng mas tumpak na halaga gamit ang isang microcalculator: 2.998899527

Hanapin natin ang relatibong error sa pagkalkula:

Sagot: ,

Isang paglalarawan lamang ng nasa itaas, sa problemang isinasaalang-alang, ang mga pagtaas ng mga argumento ay napakaliit, at ang pagkakamali ay naging napakaliit.

Halimbawa 11

Gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable, kalkulahin ang tinatayang halaga ng expression na ito. Kalkulahin ang parehong expression gamit ang isang microcalculator. Tantyahin ang kamag-anak na error sa pagkalkula bilang isang porsyento.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Tulad ng nabanggit na, ang pinakakaraniwang panauhin sa ganitong uri ng gawain ay ilang uri ng mga ugat. Ngunit paminsan-minsan ay may iba pang mga pag-andar. At isang pangwakas na simpleng halimbawa para sa pagpapahinga:

Halimbawa 12

Gamit ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable, kalkulahin ang humigit-kumulang na halaga ng function kung

Ang solusyon ay mas malapit sa ibaba ng pahina. Muli, bigyang-pansin ang mga salita ng mga gawain sa aralin sa iba't ibang mga halimbawa sa pagsasanay, ang mga salita ay maaaring magkakaiba, ngunit hindi nito binago ang kakanyahan at algorithm ng solusyon.

To be honest, medyo napagod ako kasi medyo boring yung material. Hindi pedagogical na sabihin ito sa simula ng artikulo, ngunit ngayon ay posible na =) Sa katunayan, ang mga problema sa computational mathematics ay karaniwang hindi masyadong kumplikado, hindi masyadong kawili-wili, ang pinakamahalagang bagay, marahil, ay hindi magkamali sa mga ordinaryong kalkulasyon.

Nawa'y hindi mabura ang mga susi ng iyong calculator!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon: Ginagamit namin ang formula:
Sa kasong ito: , ,

kaya:
Sagot:

Halimbawa 4: Solusyon: Ginagamit namin ang formula:
Sa kasong ito: , ,

NgunitΔ y = Δ f(X 0) ay ang pagtaas ng function, at f (X 0) Δ x = df(X 0) – pag-andar ng kaugalian.

Samakatuwid nakuha namin sa wakas

Teorama 1. Hayaan ang function na y = f(X) sa punto x 0 ay may hangganang derivative f (X 0)≠0. Pagkatapos ay para sa sapat na maliliit na halaga Δ x mayroong humigit-kumulang pagkakapantay-pantay (1), na nagiging tumpak para sa Δ x→ 0.

Kaya, ang pagkakaiba ng function sa punto X 0 ay humigit-kumulang katumbas ng pagtaas ng function sa puntong ito.

kasi pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (1) makuha namin

sa Δ x→ 0 (2)

sa x→ X 0 (2  )

Dahil ang equation ng tangent sa graph ng function y= f(x) sa punto X 0 ang hitsura

, Iyon tinatayang equalities (1)-(2) geometrically ibig sabihin na malapit sa punto x=x 0 graph ng function na y=f(X) ay tinatayang pinalitan ng isang padaplis sa kurba y = f(X).

Para sa sapat na maliliit na halaga, ang kabuuang pagtaas ng function at ang pagkakaiba ay bahagyang naiiba, i.e. . Ang sitwasyong ito ay ginagamit para sa tinatayang mga kalkulasyon.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang humigit-kumulang .

Solusyon. Isaalang-alang ang function at ilagay X 0 = 4, X= 3.98. Pagkatapos Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Since , then f (X 0)=1/4=0.25. Samakatuwid, gamit ang formula (2) sa wakas ay nakuha natin: .

Halimbawa 2. Gamit ang differential ng isang function, tukuyin kung paano magbabago ang tinatayang halaga ng function y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x kapag bumababa ang halaga ng argumento nito X 0 = 0 ng 0.01.

Solusyon. Dahil sa (1), ang pagbabago sa function y = f(X) sa punto X 0 ay humigit-kumulang katumbas ng pagkakaiba ng function sa puntong ito para sa sapat na maliliit na halaga ng D x:

Kalkulahin natin ang kaugalian ng function df(0). Mayroon kaming D x= –0.01. kasi f (X)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ dahil 2 4 x)∙4, pagkatapos f (0)=5∙4=20 at df(0)=f (0)∙Δ x= 20·(–0.01) = –0.2.

Samakatuwid Δ f(0) ≈ –0.2, ibig sabihin. kapag binabawasan ang halaga X 0 = 0 function argument sa 0.01 ang function value mismo y=f(X) ay humigit-kumulang bababa ng 0.2.

Halimbawa 3. Hayaang may form ang demand function para sa isang produkto . Kailangan mong hanapin ang quantity demanded para sa isang produkto sa isang presyo p 0 =3 unit ng pera at magtatag ng humigit-kumulang kung gaano kalaki ang demand na tataas kapag ang presyo ng isang produkto ay bumaba ng 0.2 monetary units.

Solusyon. Sa isang presyo p 0 =3 unit ng pera dami ng demand Q 0 =D(p 0)=270/9=30 unit. kalakal. Pagbabago ng presyo Δ p= –0.2 den. mga yunit Dahil sa (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa dami ng demand para sa isang produkto.

Simula noon D (3) = –20 at

pagkakaiba sa dami ng demand dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20·(–0.2) = 4. Samakatuwid, Δ Q(3) ≈ 4, ibig sabihin. kapag bumaba ang presyo ng isang produkto p 0 =3 bawat 0.2 na yunit ng pera ang dami ng demand para sa produkto ay tataas ng humigit-kumulang 4 na yunit ng produkto at magiging katumbas ng humigit-kumulang 30 + 4 = 34 na yunit ng produkto.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Ano ang tinatawag na differential ng isang function?

2. Ano ang geometric na kahulugan ng differential ng isang function?

3. Ilista ang mga pangunahing katangian ng differential function.

3. Sumulat ng mga formula na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang tinatayang halaga ng isang function gamit ang differential nito.