Mga layunin:
- I-systematize at gawing pangkalahatan ang kaalaman at kasanayan sa paksa: Mga solusyon ng mga equation ng ikatlo at ikaapat na antas.
- Palalimin ang iyong kaalaman sa pamamagitan ng pagkumpleto ng ilang gawain, ang ilan sa mga ito ay hindi pamilyar sa uri o paraan ng solusyon.
- Pagbubuo ng interes sa matematika sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga bagong kabanata ng matematika, pag-aalaga ng isang graphic na kultura sa pamamagitan ng pagbuo ng mga graph ng mga equation.
Uri ng aralin: pinagsama-sama.
Kagamitan: graphic projector.
Visibility: talahanayan na "Viete's Theorem".
Sa panahon ng mga klase
1. Oral na pagbibilang
a) Ano ang natitira kapag hinahati ang polynomial p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 ng binomial x-a?
b) Ilang ugat ang maaaring magkaroon ng cubic equation?
c) Paano natin malulutas ang mga equation ng ikatlo at ikaapat na digri?
d) Kung ang b ay isang even na numero sa isang quadratic equation, kung gayon ano ang halaga ng D at x 1;
2. Pansariling gawain(sa mga grupo)
Sumulat ng isang equation kung ang mga ugat ay kilala (mga sagot sa mga gawain ay naka-code) "Vieta's Theorem" ay ginagamit
1 pangkat
Mga ugat: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Gumawa ng isang equation:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(Ang equation na ito ay malulutas ng pangkat 2 sa pisara)
Solusyon . Hinahanap namin ang buong ugat sa mga divisors ng numero 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Ang numero 1 ay nakakatugon sa equation, samakatuwid ang =1 ay ang ugat ng equation. Ayon sa pamamaraan ni Horner
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
Sagot: 1;-2;-3;6 kabuuan ng mga ugat 2 (P)
2nd group
Mga ugat: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Gumawa ng isang equation:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (lulutas ng pangkat 3 ang equation na ito sa pisara)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
Sagot: -1;2;2;5 kabuuan ng mga ugat 8(P)
3 pangkat
Mga ugat: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Gumawa ng isang equation:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(Ang pangkat 4 ay malulutas ang equation na ito sa ibang pagkakataon sa pisara)
Solusyon. Hinahanap namin ang buong ugat sa mga divisors ng numero 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Sagot: -1;1;-2;3 Kabuuan ng mga ugat 1(O)
4 na pangkat
Mga ugat: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Gumawa ng isang equation:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(Ang equation na ito ay malulutas ng pangkat 5 sa pisara)
Solusyon. Hinahanap namin ang buong ugat sa mga divisors ng numero -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Sagot: -2; -2; -3; 3 Kabuuan ng mga ugat-4 (F)
5 pangkat
Mga ugat: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Sumulat ng isang equation
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(Ang equation na ito ay malulutas ng pangkat 6 sa pisara)
Solusyon . Hinahanap namin ang buong ugat sa mga divisors ng numero 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Sagot: -1;-2;-3;-4 sum-10 (I)
6 na pangkat
Mga ugat: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Sumulat ng isang equation
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (Ang equation na ito ay malulutas ng pangkat 1 sa pisara)
Solusyon . Hinahanap namin ang buong ugat sa mga divisors ng numero -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Sagot: 1;1;-3;8 kabuuan 7 (L)
3. Paglutas ng mga equation na may parameter
1. Lutasin ang equation x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; kung ang isa sa mga ugat ay katumbas ng (-1)
Isulat ang sagot sa pataas na ayos
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Sa pamamagitan ng kundisyon x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Sagot: - 1; 3
Sa pataas na pagkakasunud-sunod: -5;-1;3. (b N S)
2. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng polynomial x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, kung ang mga nalalabi mula sa paghahati nito sa binomials x-1 at x +2 ay pantay.
Solusyon: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Sumulat ng isang equation
1 pangkat. Mga ugat: -4; -2; 1; 7;
2nd group. Mga ugat: -3; -2; 1; 2;
3 pangkat. Mga ugat: -1; 2; 6; 10;
4 na pangkat. Mga ugat: -3; 2; 2; 5;
5 pangkat. Mga ugat: -5; -2; 2; 4;
6 na pangkat. Mga ugat: -8; -2; 6; 7.
Sa artikulong ito matututunan natin ang paglutas ng mga biquadratic equation.
Kaya, anong uri ng mga equation ang tinatawag na biquadratic?
Lahat mga equation ng form ah 4 +
bx
2
+
c
= 0
, Saan isang ≠ 0, na mga parisukat na may paggalang sa x 2, at ay tinatawag na biquadratic mga equation. Tulad ng nakikita mo, ang entry na ito ay halos kapareho sa entry quadratic equation, samakatuwid, lulutasin namin ang mga biquadratic equation gamit ang mga formula na ginamit namin upang malutas ang quadratic equation.
Tanging kailangan nating magpakilala ng bagong variable, iyon ay, tinutukoy natin x 2 isa pang variable, halimbawa sa o t (o anumang iba pang titik ng alpabetong Latin).
Halimbawa, lutasin natin ang equation x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
Tukuyin natin x 2
sa pamamagitan ng sa
(x 2 = y
) at makuha natin ang equation na y 2 + 4y – 5 = 0.
Tulad ng nakikita mo, alam mo na kung paano lutasin ang mga naturang equation.
Nalulutas namin ang nagresultang equation:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10/2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Bumalik tayo sa ating variable x.
Nalaman namin na x 2 = ‒ 5 at x 2 = 1.
Pansinin namin na ang unang equation ay walang mga solusyon, at ang pangalawa ay nagbibigay ng dalawang solusyon: x 1 = 1 at x 2 = ‒1. Mag-ingat na huwag mawala ang negatibong ugat (madalas na nakukuha nila ang sagot na x = 1, ngunit hindi ito tama).
Sagot:- 1 at 1.
Upang mas maunawaan ang paksa, tingnan natin ang ilang halimbawa.
Halimbawa 1. Lutasin ang equation 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
Hayaan ang x 2 = y, pagkatapos ay 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.
Pagkatapos x 2 = 1 at x 2 = 1.5.
Nakukuha natin ang x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5.
Sagot: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0.5.
Pagkatapos x 2 = - 2 at x 2 = - 0.5. Pakitandaan na wala sa mga equation na ito ang may solusyon.
Sagot: walang solusyon.
Hindi kumpletong biquadratic equation- ito ay kapag b = 0 (ax 4 + c = 0) o c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) ay nalulutas tulad ng mga hindi kumpletong quadratic equation.
Halimbawa 3. Lutasin ang equation x 4 ‒ 25x 2 = 0
I-factorize natin, ilagay ang x 2 sa mga bracket at pagkatapos ay x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Nakukuha namin ang x 2 = 0 o x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.
Pagkatapos ay mayroon kaming mga ugat 0; 5 at – 5.
Sagot: 0; 5; – 5.
Halimbawa 4. Lutasin ang equation 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (walang mga solusyon)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Tulad ng nakikita mo, kung maaari mong malutas ang mga parisukat na equation, maaari mo ring malutas ang mga biquadratic na equation.
Kung mayroon ka pa ring mga katanungan, mag-sign up para sa aking mga aralin. Tutor Valentina Galinovskaya.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Ang konsepto ng mga equation na may dalawang variable ay unang nabuo sa ika-7 baitang kurso sa matematika. Ang mga partikular na problema ay isinasaalang-alang, ang proseso ng paglutas na humahantong sa ganitong uri ng mga equation.
Gayunpaman, ang mga ito ay pinag-aaralan sa halip na mababaw. Nakatuon ang programa sa mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam.
Ito ay naging dahilan na ang mga problema kung saan ang ilang mga paghihigpit ay ipinapataw sa mga coefficient ng equation ay halos hindi isinasaalang-alang. Hindi sapat na atensyon ang binabayaran sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga gawain tulad ng "Lutasin ang isang equation sa natural o integer na mga numero." Ito ay kilala na Pinag-isang State Exam na materyales at ang mga papeles sa pagsusulit sa pasukan ay kadalasang naglalaman ng mga ganitong pagsasanay.
Aling mga equation ang tinukoy bilang mga equation na may dalawang variable?
xy = 8, 7x + 3y = 13 o x 2 + y = 7 ay mga halimbawa ng mga equation na may dalawang variable.
Isaalang-alang ang equation x – 4y = 16. Kung x = 4 at y = -3, ito ay magiging tamang pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang pares ng mga halaga ay ang solusyon sa equation na ito.
Ang solusyon sa anumang equation na may dalawang variable ay ang hanay ng mga pares ng mga numero (x; y) na nakakatugon sa equation na ito (i-on ito sa isang tunay na pagkakapantay-pantay).
Kadalasan ang equation ay binago upang ito ay magamit upang makakuha ng isang sistema para sa paghahanap ng mga hindi alam.
Mga halimbawa
Lutasin ang equation: xy – 4 = 4x – y.
Sa halimbawang ito, maaari mong gamitin ang paraan ng factorization. Upang gawin ito, kailangan mong pangkatin ang mga tuntunin at alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:
xy – 4 = 4x – y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) – (4x + 4) = 0;
y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
Sagot: Lahat ng pares (x; 4), kung saan ang x ay anuman makatwirang numero at (-1; y), kung saan ang y ay anumang rational na numero.
Lutasin ang equation: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
Ang unang hakbang ay pagpapangkat.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Ang paglalapat ng squared difference formula, nakukuha natin:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
Kapag nagsusuma ng dalawang di-negatibong expression, ang zero ay magreresulta lamang kung 2x – 1 = 0 at y + 1 = 0. Ito ay sumusunod: x = ½ at y = -1.
Sagot: (1/2; -1).
Lutasin ang equation (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.
Makatuwirang ilapat ang paraan ng pagsusuri, pag-highlight perpektong mga parisukat sa mga bracket.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
Bukod dito, (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, at (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Pagkatapos kaliwang bahagi ang mga equation ay palaging hindi bababa sa 4. Ang pagkakapantay-pantay ay posible sa kaso
(x - 3) 2 + 1 = 1 at (y + 5) 2 + 4 = 4. Samakatuwid, x = 3, y = -5.
Sagot: (3; -5).
Lutasin ang equation sa buong numero: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
Ang equation na ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Kung kanang bahagi pagkakapantay-pantay na hinati sa 5, pagkatapos ay 3 ang natitira. Ito ay sumusunod mula dito na ang x 2 ay hindi nahahati ng 5. Alam na ang parisukat ng isang numero na hindi nahahati ng 5 ay dapat mag-iwan ng nalalabi sa alinman sa 1 o 4. Nangangahulugan ito na ang equation ay walang mga ugat.
Sagot: Walang solusyon.
Huwag mawalan ng pag-asa sa kahirapan sa paghahanap ng tamang solusyon para sa isang equation na may dalawang variable. Ang tiyaga at pagsasanay ay tiyak na magbubunga.
Nag-aalok kami sa iyo ng maginhawang libre online na calculator para sa paglutas ng mga quadratic equation. Mabilis mong makukuha at mauunawaan kung paano nila malulutas ang mga ito gamit ang mga malinaw na halimbawa.
Upang makagawa lutasin ang quadratic equation online, bawasan muna ang equation sa pangkalahatang hitsura:
ax 2 + bx + c = 0
Punan ang mga patlang ng form nang naaayon:
Paano malutas ang isang quadratic equation
| Paano malutas ang isang quadratic equation: | Mga uri ng ugat: |
|
1.
Bawasan ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo nito: Pangkalahatang view Аx 2 +Bx+C=0 Halimbawa: 3x - 2x 2 +1=-1 Bawasan sa -2x 2 +3x+2=0 2.
Hanapin ang discriminant D. 3.
Paghahanap ng mga ugat ng equation. |
1.
Mga tunay na ugat. At saka. Ang x1 ay hindi katumbas ng x2 Ang sitwasyon ay nangyayari kapag ang D>0 at A ay hindi katumbas ng 0. 2.
Ang tunay na ugat ay pareho. x1 ay katumbas ng x2 3.
Dalawang kumplikadong ugat. x1=d+ei, x2=d-ei, kung saan i=-(1) 1/2 5.
Ang equation ay may hindi mabilang na mga solusyon. 6.
Ang equation ay walang mga solusyon. |
Upang pagsama-samahin ang algorithm, narito ang ilan pa mga halimbawa ng mga solusyon sa mga quadratic equation.
Halimbawa 1. Paglutas ng ordinaryong quadratic equation na may iba't ibang tunay na ugat.
x 2 + 3x -10 = 0
Sa equation na ito
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kuwadrado na ugat Ipakikilala natin ito bilang bilang 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Upang suriin, palitan natin ang:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Halimbawa 2. Paglutas ng isang quadratic equation na may tugmang tunay na mga ugat.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Palitan natin
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Halimbawa 3. Paglutas ng isang quadratic equation na may kumplikadong mga ugat.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Ang discriminant ay negatibo - ang mga ugat ay kumplikado.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kung saan ako ang square root ng -1
Iyon lang posibleng mga kaso paglutas ng mga quadratic equation.
Umaasa kami na ang aming online na calculator ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa iyo.
Kung ang materyal ay kapaki-pakinabang, maaari mo
