Paggamit ng calculator sa pagtuturo ng matematika sa elementarya
Tinatalakay ng artikulong ito kung ang isang calculator ay dapat gamitin o hindi sa pagtuturo ng matematika sa elementarya at kung paano ito gamitin nang matalino.
Ang "labanan" sa paggamit ng calculator
Ang ilang mga tao ay nagsasabi na ang isang calculator ay nagbibigay-daan sa mga bata na tumutok sa pag-unawa at sa mga matematikal na konsepto sa halip na gumugol ng oras sa nakakapagod na mga kalkulasyon. Sinasabi nila na ang isang calculator ay nakakatulong sa pagbuo ng sense sense, at ginagawang mas kumpiyansa ang mga mag-aaral tungkol sa kanilang mga kakayahan sa matematika.
Ang iba ay tutol sa paggamit ng calculator sa mas mababang antas ng pagtuturo ng matematika, na sinasabing ginagawa nitong hindi matutunan ng mga bata ang kanilang mga pangunahing katotohanan, pinipigilan ang mga mag-aaral na matuklasan at maunawaan ang pinagbabatayan ng mga konsepto ng matematika at sa halip ay hinihikayat silang random na sumubok ng iba't ibang operasyon nang hindi nauunawaan ang kanilang ginagawa.
Sinasabi nila na pinipigilan ng mga calculator ang mga mag-aaral na makinabang mula sa isa sa pinakamahalagang dahilan sa pag-aaral ng matematika: upang sanayin at disiplinahin ang isip at itaguyod ang lohikal na pangangatwiran.
May balanse
Sa aking palagay, ang calculator ay maaaring gamitin sa pagtuturo sa mabuti o masamang paraan - ang lahat ay nakasalalay sa diskarte ng guro sa lipunan ngayon, kaya dapat matutunan ng mga mag-aaral na gamitin ito sa oras na makatapos sila ng pag-aaral.
Kasabay nito, DAPAT matutunan ng mga bata ang kanilang mga pangunahing katotohanan, magawa ang mga kalkulasyon ng isip, at makabisado ang mahabang paghahati at iba pang mga pangunahing algorithm ng papel-pencil. Ang matematika ay isang larangan ng pag-aaral na nakabatay sa dati nang itinatag na mga katotohanan. Ang isang bata na hindi alam ang pangunahing multiplication (at division) na mga katotohanan ay mahihirapang matuto ng factoring, primes, fraction simplification at iba pang mga fraction operations, ang distributive property, atbp. atbp. Ang mga pangunahing algorithm ng arithmetic ay isang kinakailangang batayan para sa pag-unawa sa mga kaukulang operasyon na may mga polynomial sa algebra. Ang pag-master ng mga long precede division sa pag-unawa kung paano tumutugma ang mga fraction sa mga umuulit (non-terminating) decimal, na pagkatapos ay nagbibigay daan sa pag-unawa sa mga irrational na numero at tunay na mga numero. Ang lahat ng ito ay magkakaugnay!
Para sa kadahilanang ito, ipinapayong paghigpitan ang paggamit ng calculator sa mas mababang mga marka, hanggang sa malaman ng mga bata ang kanilang mga pangunahing katotohanan at maaaring magdagdag, magbawas, magparami, at hatiin kahit ang malalaking numero gamit ang lapis at papel. ITO, sa aking opinyon, ay bumubuo ng kahulugan ng numero, tulad ng mga pagkalkula ng kaisipan.
Hindi ito nangangahulugan na hindi ka maaaring gumamit ng calculator paminsan-minsan sa mga elementarya para sa mga espesyal na proyekto, kapag nagtuturo ng mga partikular na konsepto, o para sa ilang kasiyahan mga laro ng numero, o pagsuri sa takdang-aralin Tingnan sa ibaba para sa ilang ideya.
Ang talakayan dito ay hindi nalalapat sa mga graphical na calculator sa high school. Lubos akong pabor sa paggamit ng mga graphical na calculator o isang graphing software kapag nag-aaral ng graphing at calculus. Kahit doon, tiyak na kailangang matutunan ng isa ang pangunahing ideya kung paano ginagawa ang graphing sa papel.
Mga bagay na dapat tandaan kapag gumagamit ng calculator
Kapag mas malayang ginagamit ang calculator, dapat bigyang-pansin ang mga sumusunod na punto:
- Ang calculator ay a kasangkapan upang gumawa ng mga kalkulasyon. Gayon din ang isip ng tao at papel at lapis. Dapat turuan ang mga bata kailan gumamit ng calculator at kapag ang mental computing (o kahit na papel at lapis) ay mas epektibo o naaangkop. Ang pagpili ng tamang "tool" ay bahagi ng isang epektibong proseso sa paglutas ng problema.
- Napakahalaga ng mga mag-aaral matuto kung paano mag-estimate ang resulta bago gawin ang pagkalkula. Napakadaling magkamali kapag pinupunto ang mga numero sa isang calculator. Ang isang mag-aaral ay hindi dapat matutong umasa sa calculator nang hindi tinitingnan kung ang sagot ay makatwiran.
- Ang isang calculator ay hindi dapat gamitin upang subukan nang random ang lahat ng posibleng mga operasyon at upang suriin kung alin ang gumagawa ng tamang sagot. Napakahalaga na matutunan at maunawaan ng mga mag-aaral ang iba't ibang mga operasyong matematika para malaman nila KUNG KAILAN gagamitin ang alin — at totoo ito kung ang aktwal na pagkalkula ay ginagawa sa isip, sa papel, o sa isang calculator.
Mga ideya para sa paggamit ng calculator sa elementarya na matematika
Kung gagamitin mo ang mga ideyang ito, tiyaking hindi makukuha ng mga bata ang ideya na inaalis ng calculator ang pangangailangang matuto ng mental math. Maaari itong magsilbing tool upang hayaan ang mga bata na mag-explore at mag-obserba, ngunit pagkatapos ay dapat ipaliwanag ng guro ang mga konsepto, bigyang-katwiran ang mga patakaran ng matematika, at pagsama-samahin ang lahat.
- Maaaring galugarin ng mga kindergartner at unang baitang ang mga numero sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 1 nang paulit-ulit(na maaaring gawin sa unang pagtulak ng 1 + 1 = at pagkatapos ay pagpindot sa = button nang paulit-ulit) o pagbabawas ng 1 nang paulit-ulit. Pagmasdan ang kanilang mga mukha kapag natamaan nila ang mga negatibong numero! O, hayaan silang siyasatin kung ano ang mangyayari sa isang numero kapag nagdagdag ka ng zero dito.
- Mga puzzle ng pattern ng calculator: Ito ay isang extension ng ideya sa itaas, kung saan ang mga bata sa una hanggang ikatlong baitang ay nagdaragdag o nagbawas ng parehong numero nang paulit-ulit gamit ang isang calculator. Obserbahan ng mga bata ang mga pattern na lumilitaw kapag nagdagdag ka, sabihin nating, 2, 5, 10, o 100 nang paulit-ulit. Halimbawa, maaari silang magsimula sa 17 at magdagdag ng 10 nang paulit-ulit o magsimula sa 149 at ibawas ang 10 nang paulit-ulit. Ang isa pang ideya ay hayaan ang mga bata na gumawa ng sarili nilang "mga pattern na puzzle", na mga pagkakasunud-sunod ng numero na may pattern kung saan ang ilang mga numero ay tinanggal, halimbawa 7, 14, __, __, 35, __, 49. Ang aktibidad ay maaaring makakonekta sa ideya ng pagpaparami nang napakadali.
- Place value activity gamit ang isang calculator : Ang mga mag-aaral ay bumuo ng mga numero gamit ang calculator, halimbawa:
Gumawa ng tatlong-digit na numero na may 6 sa lugar ng sampu; O Gumawa ng apat na digit na numero na mas malaki sa 3,500 na may apat sa isang lugar; O Gumawa ng apat na digit na numero na may 3 sa sampu at 9 sa daan-daang lugar; atbp.
Pagkatapos ay naglista ang guro ng ilang mga numero sa pisara at tinatalakay kung ano ang mga numero na ginawa ng mga mag-aaral sa karaniwan, tulad ng: lahat ng mga numero ay animnapu't isang bagay. - Isulat sa pisara ang bilang na isang milyon. Sabihin sa mga estudyante na pumili ng numero na paulit-ulit nilang idaragdag sa calculator para umabot ng isang milyon sa loob ng makatwirang oras ng klase. Kung pumili sila ng maliliit na numero, gaya ng 68 o 125, hindi nila ito maaabot.
- Kapag nagpapakilala ng pi, ipasukat sa mga mag-aaral ang circumference at diameter ng ilang pabilog na bagay, at kalkulahin ang ratio ng mga ito gamit ang isang calculator (na nakakatipid ng oras at makakatulong na mapanatili ang pagtuon sa konsepto).
The Use of Calculators Gets at the Heart of Good Teaching - isang artikulo ni Susan Ray; hindi na online
Mga komento
Nagtuturo ako sa isang napakaliit na paaralan at kasalukuyang nagtuturo ako ng Algebra 1, agham sa ika-8 baitang, at pagkatapos ay ang Physics sa mga nakatatanda at mayroon akong maliit na grupo na nakatapos ng calculus sa high school at gumagawa kami ng ilang Linear Algebra. Ako, mismo, ay may isang Masters sa Physics.Bago ko basahin ang ilan sa mga post na ito, naramdaman ko na ako ay medyo masugid na anti-calculator, ngunit ngayon ay sa tingin ko ay mas nasa gitna ako ng kalsada.
Ang mga komento tungkol sa paggawa ng square roots sa papel ay isang magandang isa. Hindi, hindi na natin kailangang malaman kung paano gawin iyon nang may mahusay na katumpakan. Gayunpaman, gusto ko talagang masabi sa iyo ng lahat ng aking mga mag-aaral kung anong dalawang numero ang nasa pagitan nito. Halimbawa: 8
Noong nakaraang taon lang ay natuklasan ko kung paano mag-input ng data sa isang TI-83 at iluwa nito ang ibig sabihin at ang standard deviation. Sa konteksto ng isang klase sa Physics, hindi ko gustong gumugol ng maraming oras sa mga bagay na dapat nilang matutunan sa isang klase ng Istatistika. Ngunit kung madali itong gagawin ng calculator, maaari kong malumanay na ipakilala ang konsepto at umaasa na ang paunang inihanda sila ng exposure para sa kung ano ang kailangan nilang matutunan sa Stats.Sa Algebra 1, gayunpaman, hindi ko pinapayagan ang mga mag-aaral na gumamit ng mga calculator. At, ito ang aking paaralan, nalaman kong karamihan sa mga bata ay pumupunta sa aking kurso nang walang calculator o isang hilig na gamitin ito. Nararamdaman ko na ang pangunahing rundown sa ang matematika sa Algebra 1 ay dapat na: 80% ng mga numero ay dapat gumamit ng pangunahing impormasyon sa isang 12x12 multiplication table na dapat na kabisado ng mga bata 15% ng mga numero ay dapat na lumampas sa mga limitasyong iyon. At ang huling 5% ay dapat na mga bagay na kailangan nila ng calculator.
Sa aking opinyon, natututo ka ng mga bagay tungkol sa mga numero kapag kailangan mong gawin ang mga ito sa iyong ulo. Kung gusto mong gawin ang mga pangunahing kadahilanan ng 357, maaari kang magsimula sa ideya na ito ay mas mababa sa 400, kaya kailangan mo lamang suriin hanggang 20. Alam mo rin na ito ay kakaiba, kaya hindi mo na kailangang check 2 o alinman sa mga kaganapan. Pagkatapos ay maaari mong mapagtanto na hindi mo kailangang suriin ang alinman sa mga hindi pangunahing numero sa pagitan ng 1 at 20. Kaya, kailangan mo lamang suriin ang 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Tinutulungan nito ang mga mag-aaral na magsimulang bumuo ng ilang pangunahing konseptong nauugnay sa mga set. May mga pangkat ng mga numero na nagbabahagi ng mga karaniwang katangian, tulad ng mga even at odds at prime. Ito ay isang malalim na konsepto na maaaring hindi mo makuha kung hindi mo kailangang pasimplehin ang isang proseso para sa iyong sarili.
Ngunit, gayundin, ang pagpapasimple ng isang proseso para sa iyong sarili ay talagang mahalaga. Ipagpalagay na ikaw ay head mechanic sa isang Sprint Cup NASCAR na kotse. Nagbe-break sila sa lahat ng oras. Ano ang kailangan mong gawin upang ayusin ang mga ito? Ano ang extraneous sa problema? Ano ang pinakamaliit na bilang ng mga bagay na kailangan mong subukan/ayusin, at sa anong pagkakasunud-sunod mo dapat subukan ang mga ito? Iyan ay isang mahabang extension mula sa pagbuo ng algorithmic na pag-iisip sa high school math class. Ngunit sasabihin ko na mas mahirap makarating doon kung binigyan ka ng mga sagot ng isang makina sa buong buhay mo.
Alam kong mahaba ito. Dalawang puntos pa... Hindi ako gagamit ng graphing calculator para aktwal na mag-graph. Mayroon akong $100 na software sa aking laptop na nagpapalabas ng anumang hand-held graphing calculator mula sa tubig.
Sa wakas, ang komento sa mga klerk at calculator ng tindahan ay nakakuha ng aking pansin. Tiyak na kailangan ng mundo ang mga tao na magpatakbo ng mga cash register sa mga department store. Pero kahit papaano, pakiramdam ko ang layunin ng pagkakaroon ng magandang edukasyon ay para makapili ka mamaya ng karerang kinahihiligan mo. Ang mga cashier na mahilig sa retail ay kakaunti at malayo sa pagitan. Umaasa ako na ang aking mga mag-aaral ay magkakaroon ng mas malawak na hanay ng mga pagpipilian kapag sila ay nakatapos ng pag-aaral.
David Iverson
Sa tingin ko pareho dapat gamitin. Sumasang-ayon ako na kailangan nating matutunan ang mga pangunahing kaalaman sa elementarya, karagdagan, pagbabawas, atbp.) Gayunpaman, Kapag pumunta ka sa Macy's, Olive Garden o Mc Donald's, ang cashier ay hindi gumagamit ng papel at lapis ang ginagamit. Nabubuhay tayo sa panahon ng kompyuter.
Hi ako si Kelly. Ako ay freshmen sa kolehiyo sa St. Charles community college sa Missouri. Ang iyong site ay kahanga-hanga. Hinanap ko ito para sa aking nakababatang kapatid na babae. Isang bagay na gusto kong sabihin sa lahat at sa sinumang nagpaplanong magkolehiyo ay ihinto kaagad ang paggamit ng calculator. Gamitin lamang ito para sa pag-graph ng mga log at mga kinakailangang bagay tulad niyan. Nagtapos ako ng high school sa calculus class gamit ang calculator kahit sa pinakasimpleng multiplication at division na problema, at pagdating ko sa kolehiyo kailangan kong simulan ang lahat sa BEGINNING ALGEBRA dahil hindi ako marunong mag multiply at divide ng walang calculator. Kaya mangyaring gawin ang lahat ng pabor at hilingin sa kanila o sabihin sa kanila na huminto sa paggamit ng calculator.
Hello my name is Rafeek and I am a freshman at Hobart and William Smith colleges in Geneva, NY. Gumagawa ako ng isang papel sa teknolohiya at mga epekto nito, kaya nagpasya akong pumili ng calculator. Nakita ko ang site na ito sa aking pananaliksik. Gusto kong i-stress yung sinabi ni Kelly. Ganun din ang nangyari sa akin, magaling ako sa high school math, practically ace all math exams, tapos pumunta ako dito para sa orientation and they told me I have to take a math placement test W/OUT a calc. Hindi ko napagtanto na hindi ko magagawa ang maraming simpleng problema dahil palagi kong isinasaksak ito sa aking calc at nakuha ang sagot. Nagiging seryoso na ito, inalis ko na ang aking mga nakababatang kapatid na lalaki at babae calc. and told them until they are in college hindi sila gagamit ng calc (at least hindi sa harap ko). Ngayon ay kumukuha ako ng pre-calc. at ang layunin ko ay huwag gumamit ng calc. HUWAG UMAASA SA CALCULATOR MO!!!
Kapag sa Unibersidad ay kumukuha ng mga kurso sa matematika para sa aking BMath, hindi kami pinahintulutan ng mga calculator para sa marami sa mga pagsusulit (upang maiwasan ang pagpupuslit ng mga tao sa mga pocket computing device, masasabi kong mahalaga ang kakayahang gumawa ng mga kabuuan sa papel). .Emily Bell
Hindi ako naging magaling sa matematika at kaya nang makuha ko ang aking calculator at kung gaano ito nakapagpapatibay sa highschool ay nagustuhan ko ito. iyon ay hanggang sa kumuha ako ng aking pagsusulit sa pagkakalagay sa kolehiyo. Kakila-kilabot ang ginawa ko. Hindi ko kaya kahit na tandaan kung paano gawin ang isang simpleng problema sa paghahati sa pag-iisip. Ang problema sa mga paaralan ngayon ay labis silang nag-aalala at naghihikayat tungkol sa mga calculator. Ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng isang mahusay na matibay na batayan ng mental na matematika bago sila matutong gumamit ng calculator at kung tatanungin mo ako ay hindi sapat ang marka ng K-3 hanggang sa kolehiyo.
Ako ay isang kamakailang nagtapos sa kolehiyo. Ang aking major ay Electrical Engineering. Dahil ang aking kurso ng pag-aaral ay nagsasangkot ng napakaraming matematika, nararamdaman kong obligado akong magsalita sa mahalagang isyung ito. Sa aking opinyon, ang mga calculator ay hindi dapat gamitin para sa anumang klase sa matematika, kahit na sa antas ng kolehiyo. Ang paggamit ng calculator para sa anumang paksa ay magiging sanhi ng pagiging tamad sa pag-iisip ng gumagamit at walang kakayahan sa mga pangunahing kasanayan sa matematika. Hindi ka dapat gumamit ng calculator kapag natututo kung paano mag-multiply, gumawa ng mahabang dibisyon, o kahit na mag-graph ng isang function."Sinasabi ng ilang tao na ang calculator ay nagbibigay-daan sa mga bata na tumutok sa pag-unawa at pag-aaral ng mga konsepto ng matematika sa halip na gumugol ng oras sa nakakapagod na mga kalkulasyon. Sinasabi nila na ang calculator ay nakakatulong sa pagbuo ng sense sense, at ginagawang mas kumpiyansa ang mga mag-aaral tungkol sa kanilang mga kakayahan sa matematika."
Ang pahayag sa itaas ay ang kabuuang hogwash. Ang tanging paraan upang bumuo ng sense sense at maunawaan ang mga matematikal na konsepto ay ang pagbuhos ng maraming oras ng nakakapagod na mga kalkulasyon. Ang tanging paraan upang magkaroon ng kumpiyansa sa kakayahan ng isang tao sa matematika ay ang paggamit ng lapis at papel sa tuwing nahaharap ka sa isang problema sa matematika Kung ang isang guro sa matematika ay sumasang-ayon sa pahayag sa itaas, siya ay dapat na agad na madisgrasya sa publiko para sa pagsama sa tulad mapanirang ideals.
Ang tanging oras na calculators ay dapat gamitin sa paaralan ay sa laboratory class kapag ikaw ay gumagawa ng mga kalkulasyon sa mga numerong may higit sa 4 na makabuluhang digit. Kung hindi, ang mag-aaral ay dapat umasa sa isang papel, isang lapis, at sa kanyang utak.
Ang calculator ay walang lugar; WALANG LUGAR; sa isang silid-aralan sa elementarya. Panahon. Isa akong guro sa matematika sa mataas na paaralan at ang karamihan sa aking mga mag-aaral ay ganap na walang sense number. Gumagamit sila ng mga calculator para gumawa ng mga single-digit multiplication na problema na dapat ay tama nilang kabisado sa ikatlong baitang. Wala silang magawa kung wala sila. Sinisisi ko ang 100% sa paggamit ng calculator sa mga unang baitang.
Ang aking mga anak ay 4 at 2. Ang aking anak na babae ay papasok sa kindergarten sa susunod na taon, at ako ay magtuturo sa kanyang mga guro bawat taon, at pana-panahon sa buong taon, siya ay BAWAL gumamit ng calculator para sa ANUMANG kanyang trabaho hanggang sa siya ay nasa high school. WALA sa kurikulum ng elementarya o middle school na nangangailangan ng paggamit ng calculator.
AS to this statement "National Council of Teachers of Mathematics (1989) has recommended that long division and "practicing tedious pencil-and-paper computations" receive lower attention in schools, and that calculators be available to all students on all times. Ang aking pagkaunawa ay ito ay isang reaksyon sa isang survey ng oras na ginugol sa mga paksa sa matematika sa silid-aralan at ang halos ikatlong bahagi ng ikaapat at ikalimang baitang ay ginugol sa pag-aaral na gumawa ng dibisyon na may mga decimal at double digit na divisors (ibig sabihin, 340/.15 o 500/15) Oo, ang mga guro ay gumugugol ng higit sa dalawang buwan ng bawat isa sa mga ito! Ito ay hindi lamang sumasalamin sa sitwasyon ng matematika sa kasalukuyang mundo.
Sa personal, nakakita ako ng maraming magagandang gamit para sa mga calculator. Pinapayagan nila ang walang error na pag-uulit upang matuklasan ko ang mga pattern. Marami sa mga conversion at mabilis na trick na maaari kong gawin ay dahil mayroon lang akong pangunahing calculator hanggang sa precalculus. BTW, na-update din ng NCMT ang mga pamantayan nito upang isama ang pagiging matatas para sa mga katotohanan sa matematika sa ikalawa at ikaapat na baitang. Bilang isang tagapagturo sa matematika, naririnig ko mula sa mga magulang sa lahat ng oras na ang mga bata ay hindi gumugugol ng anumang oras sa paaralan sa pagsasaulo ng pangunahing katotohanan.
Malamang na gusto ko ito sa katagalan kung hindi ako pinapayagang gumamit ng isang calculator hanggang sa hindi bababa sa mataas na paaralan (Geometry para sa akin, alam mo ang mga laro ng Nintendo DS Brainage Well, napagtanto nila kung gaano ako kakila-kilabot Math. Kaya ko, mas matagal din ako.
Bilang isang guro sa junior high at high school ng Math, Pre-Algebra at Algebra I, nakikita ko ang aking sarili na lumalaban sa labanang ito taun-taon. Bagama't oo, ang mga calculator ay nag-aalok ng mabilis na paraan ng paghahanap ng mga sagot, wala akong alam na anumang problema sa alinman sa tatlong aklat-aralin na kasalukuyang ginagamit ko na nangangailangan ng mag-aaral na lutasin ang mga problema sa mahabang dibisyon hanggang sa ika-labing taas na lugar sa likod ng decimal (na isang karaniwang argumento).
Gayunpaman, inaasahan kong magagawa ng aking mga mag-aaral ang mga pangunahing pag-andar sa matematika nang hindi gumagamit ng calculator. Sa pagpasok nila sa Algebra, gumugugol sila ng masyadong maraming oras sa pag-iisip kung paano gawin ang mga bagay sa calculator na hindi posible sa mga calculator na mayroon sila, inaasahan ko rin na ipapakita nila ang kanilang trabaho sa mga pagsusulit at pagsusulit (gayundin ang bago mga pagsubok ng estado para sa mga bahagyang puntos) upang ALAM ko na alam nila ang proseso na "Gumamit ako ng calculator" ay hindi nagpapakita sa akin na alam nila ang proseso at mga panuntunan o ang "bakit" ito ay gumagana sa "tingnan kung ano ang nalaman ko." at ang "ah-ha" ng matematika.
Madalas kong paalalahanan ang mga mag-aaral na ang mga calculator ay naimbento nang matagal nang magsimula ang mga panuntunan sa matematika; samakatuwid, ang lahat ng matematika ay maaaring gawin nang walang paggamit ng calculator. Mga mahuhusay na isipan, huwag maging mahusay sa pamamagitan ng pagkuha ng madaling paraan.
Tungkol sa mga retail na manggagawa, habang maraming mga customer na nakatayo sa linya ay naiinip sa salesperson na nag-iisip ng lahat sa pamamagitan ng kamay, bilang isang guro kapag pumunta ako sa isang food establishment, at ang malas kong estudyante ay ang waiter/waitress/etc. Inaasahan ko na bibilangin nila ang pagbabago pabalik sa akin. Naaalala ko kapag ginagawa ko ang mga "pagsusuri" na ito at karamihan sa mga tagapamahala (alam mo ang mga kayang gumawa ng matematika nang walang calculator) ay kadalasang nagpapasalamat na alam ng kanilang mga empleyado kung paano magbilang ng pagbabago pabalik.
Kinailangan kong tumawa ng kaunti sa komento tungkol sa "mga cashier sa Macy", Olive Garden, McDonalds...gumamit ng mga calculator, mga computer." Totoo, ngunit hindi iyon argumento para sa kanilang paggamit. Nakarating ka na ba sa isa sa mga ito Nag-iimbak kapag ang "mga computer ay down?" Hindi matukoy ng maraming mga cashier ang mga kabuuan, gumawa ng pagbabago, atbp. nang walang computer na magsasabi sa kanila kung ano ang dapat gawin ang ating mga kabataan ay sasapit sa isang tunay na sakuna/emerhensiya kapag maaaring walang kuryente, mga cell phone, kompyuter, kakayahan sa internet, atbp. Bilang isang magulang na nag-aaral sa bahay, isa sa aking mga layunin ay ang aking anak ay magkaroon ng mahusay na mga pangunahing kasanayan nang matatag upang sila ay maaaring gumana nang maayos sa anumang paksa nang walang tulong sa elektroniko.
Mayroon akong isang batang lalaki na nasa ikatlong baitang, at binili ko siya ng napakasimpleng calculator (+,-,*,/ lang). Siya ay medyo mahusay sa paglutas ng problema, alam niya ang kanyang mga talahanayan ng multiplikasyon, maaaring gumawa ng mga karagdagan at pagbabawas na may 12 digit sa papel, natututo kung paano gumawa ng multiplikasyon sa papel atbp... at talagang naghahanap ako ng ilang makabuluhang mga problema upang malutas gamit ang isang calculator nang matagpuan ko itong emosyonal na debate.
Ngayon, lubos akong sumasang-ayon na ang isang calculator ay hindi dapat maging kapalit para sa pag-aaral na gawin ang mga pagpapatakbo ng isip, at para sa pag-aaral kung paano ito gawin sa papel. Dapat mong gawin ang mga bagay na ito sa iyong sarili, kahit na ito ay malamya.Ngunit ang punto ay, umunlad ang lipunan. Kung saan kapaki-pakinabang na gawin ang tama at mabilis na mga kabuuan ng 20 numero sa isang maliit na tala, at binayaran ka pa ng mga tao para sa kasanayang iyon 40 taon na ang nakalipas, hindi na ito ang kaso ng karamihan sa atin kung paano pumatay ng kuneho may busog at palaso - habang ito ay isang mahalagang kasanayan para sa ating mga ninuno na naninirahan sa mga kuweba.
Kapag tinitingnan ko ang mga komento dito, tila ang tanging mga problemang kinakaharap ng mga tao kapag hindi makapagkalkula nang walang calculator ay nasa isang artipisyal na setting kung saan ito ay isang malinaw na nasubok na kakayahan. Ang pangangaso ng kuneho gamit ang palaso at pana ay magdudulot din ng problema kung hindi ito itinuro, at tahasang sinubukan para sa isa o iba pang pagsusulit. Sa palagay ko sa "tunay na buhay" mahalaga na ngayon na maging madaling gamitin sa isang calculator - bagaman ang isa ay dapat siyempre magagawa nang wala, ngunit marahil hindi *drilled* sa paggawa nito nang mahusay, tama at mabilis nang wala.
BTW, sino ang nakakaalam kung paano kumuha ng square roots sa papel? Hindi ba ito ay isang mahalagang kasanayan? At sino ang nakakaalam kung paano gumamit ng mahusay na panuntunan sa isang logarithm para gawin ang mga multiplikasyon mas nabibilang sa folklore. Hindi ko sinasabi na ang pag-alam kung paano gumawa ng karagdagan sa papel ay folklore, dapat alam ng isa kung paano ito gagawin, ngunit iniisip ko kung ano ang dahilan upang magawa ito nang mabilis at mahusay (at samakatuwid ay gumugol ng oras sa pagsasanay para dito). Hindi ba magagamit ng isa ang oras na iyon ngayon para gumawa ng mas kapaki-pakinabang na mga bagay?
Sasabihin ko, kung ano pa rin ang praktikal na kasanayan ay ang *mental* na pagkalkula, tumpak na pagkalkula ng kaisipan, at tinatayang pagkalkula para makakuha ng ideya ng pagkakasunud-sunod ng magnitude. Kung ang paggawa ng multiplikasyon ng dalawang numero na may 6 o 7 digit ay isa pa ring napaka kapaki-pakinabang na kasanayan upang sanayin, mayroon akong mga pagdududa - bagaman, muli, dapat na malaman ng isa kung paano ito ginagawa.
Ang mga bagay na nagiging kawili-wili sa mga calculator, ay ang mga konstruksyon tulad ng Pascal's triangle, o Fibonacci's series, o mga factorial, kumbinasyon at mga bagay na tulad niyan, at kung saan ay masyadong nakakapagod gawin sa pamamagitan ng kamay.
Patrick Van Esch
Tanong: Ano ang mga pangunahing dahilan ng hindi paggamit ng mga calculator sa form isa hanggang tatlo ng mga sekondaryang paaralan?Hindi ako sigurado kung ano ang form one to three, pero sa tingin ko ay high school ang pinag-uusapan mo.
Personal kong hindi tatanggihan ang paggamit ng calculator ng mga high school. Kailangang matutunan ng mga bata na gumamit ng calculator, at gamitin ito nang matalino - na nangangahulugang dapat silang matuto kung kailan magandang gamitin ito at kapag hindi. Marahil ay tatanggihan ng isang tao ang paggamit ng calculator sa high school kung ang isang mag-aaral ay patuloy na ginagamit ito sa maling paraan, sa iba mga salitang gumagamit nito para sa 6 x 7 atbp., kung saan maaaring kailanganin ng naturang mag-aaral na suriin ang mas mababang mga marka ng matematika.
Ako ay kasalukuyang nasa ika-anim na baitang, alam kong karamihan sa mga bata na kasing edad ko ay mas gustong gumamit ng calculator hindi para sa pag-check doon ng trabaho, ngunit paggawa ng malaking bahagi ng kanilang matematika gamit ang mga calculator. Ang calculator ay dapat gamitin lamang para sa pagsuri ng trabaho, kamakailan ang aking pagtuturo sa matematika ay may halos pinipilit kaming gumamit ng mga TI30 xa calculators, tulad ng alam mo, ang paaralan ay nagbibigay ng isang calculator na maaaring magdagdag, magbawas, mag-multiply, at maghati, at iyon ay tila sapat na. . trabaho, ngunit ngayon sa aking math class ay nagpasya akong hindi na calculator, isang problema na kailangan kong lutasin ay 3.8892 na hinati ng 3 at hindi ko maalala kung paano ito gagawin. At noong isang araw binigyan ako ng aking ina ng isang simpleng problema sa matematika habang nagpapagasolina at inabot ako ng 5 minuto upang gawin ang pangunahing problema sa karagdagan. Ang aking mga magulang ay hindi gumagamit ng mga calculator noong sila ay nasa paaralan at kung hindi nila ito kailangan ay hindi rin namin. Ngunit kapag ang lahat ng aming kasalukuyang nasa gitnang paaralan ay nasa hustong gulang na, makikita ng aming sistema ng paaralan na ang mga nasa hustong gulang ay magiging paraan sa likod sa matematika habang umaasa sa mga computer, at mga calculators upang gawin ang lahat ng mga gawain doon ako opisyal na Anti calculator!
Ako ay sapat na mapalad upang matuto ng mga pangunahing katotohanan sa matematika (multiplication, division, fractions, estimation, atbp) bago kumuha ng calculator sa ika-8 baitang, ngunit talagang umasa ako sa aking TI 83 graphing utility para sa aking mga klase sa algebra/precalc sa high school. I-graph ko ang function upang mahanap ang mga zero sa halip na gamitin ang quadratic formula at mga bagay na tulad niyan.Ang aking freshman calculus class ay hindi pinayagan ang mga calculators, at ako ay nabigo ito ay matapos kong maging mahusay sa honors high school precalculus noong nagkaroon ako ng madaling A" sa high school) at sa kalaunan ay inulit ang mas mahirap na klase ng calculus na mas handa ang aking mga klase sa buhay/social science sa 4-function ngunit hindi graphing utilities Gayundin, sa kolehiyo kailangan kong ipakita ang aking trabaho. upang makakuha ng anumang kredito, kahit na ang sagot ay tama, sa palagay ko, ang isang problema ay masyado akong nabitin sa paghahanap ng mga sagot sa halip na pag-aralan ang proseso.
Ang aking kapatid na babae sa kabilang banda ay may calculator mula noong ika-3 baitang, at literal na hindi niya maaaring i-multiply ang 6*7 nang walang calculator o gumawa ng isang word problem, kahit na nakakakuha siya ng mga B sa matematika sa high school.
Bilang isang Senior majoring sa Early Childhood/Elementary Education, naiintindihan ko ang kahalagahan ng pagkakaroon ng kaalaman kung paano gumamit ng calculator, dahil oo, nabubuhay tayo sa panahon kung saan malawakang ginagamit ang teknolohiya. Gayunpaman, tulad ng marami sa inyo, noong una akong dumating sa kolehiyo at kailangang kumuha ng mga pagsusulit nang hindi gumagamit ng calculator, ako ay nasa malaking problema! Nakagawa pa rin ako ng napakahusay, ngunit matagal akong natutunang muli ang lahat ng mga pangunahing pag-andar ng matematika. Mula sa sarili kong mga personal na karanasan sa larangan at sa pamamagitan ng sarili kong mga kurso, inirerekomenda ko ang pare-parehong balanse sa pagitan ng dalawang pamamaraan!!
Nagtuturo ako ng matematika sa isang kolehiyo kung saan bawal ang calculator. Sa kasamaang palad maraming mga mag-aaral ang nasira sa pamamagitan ng paggamit ng calculator. Nahihirapan silang gawin kahit ang pinakasimpleng algebra. Nagdulot ito ng pagtaas ng remedial math sa mga kolehiyo sa lahat ng dako ng hanggang 95%. May isang libro na tinatawag na "The Deliberate Dumbing Down Of America" isinulat ng isang dating whistle blower mula sa Department O Education (kilala rin bilang DOE na dapat ay kumakatawan sa Dopes Of Education)
Menu ng Math Lessons
|
|
|
Impormasyon ng Catalog
Pamagat
Elementarya Linear Algebra.
(Mga Oras ng Kredito:Mga Oras ng Lektura:Mga Oras ng Lab)
Inaalok
Prerequisite
Minimal na resulta ng pag-aaral
Sa pagtatapos ng kursong ito, ang matagumpay na mag-aaral ay magagawang:
- Gamitin ang Gaussian elimination upang gawin ang lahat ng sumusunod: lutasin ang isang linear system na may pinababang row echelon form, lutasin ang isang linear system na may row echelon form at backward substitution, hanapin ang inverse ng isang ibinigay na matrix, at hanapin ang determinant ng isang ibinigay na matrix.
- Magpakita ng kahusayan sa matrix algebra. Para sa matrix multiplication ay nagpapakita ng pag-unawa sa nauugnay na batas, ang reverse order law para sa inverses at transposes, at ang kabiguan ng commutative law at ang cancellation law.
- Gamitin ang panuntunan ng Cramer upang malutas ang isang linear na sistema.
- Gumamit ng mga cofactor upang mahanap ang kabaligtaran ng isang ibinigay na matrix at ang determinant ng isang ibinigay na matrix.
- Tukuyin kung ang isang set na may ibinigay na ideya ng karagdagan at scalar multiplication ay isang vector space. Dito, at sa mga nauugnay na numero sa ibaba, maging pamilyar sa parehong may hangganan at walang katapusan na mga halimbawang dimensyon.
- Tukuyin kung ang isang ibinigay na subset ng isang vector space ay isang subspace.
- Tukuyin kung ang isang ibinigay na hanay ng mga vector ay linearly independent, sumasaklaw, o isang batayan.
- Tukuyin ang dimensyon ng isang ibinigay na vector space o ng isang ibinigay na subspace.
- Maghanap ng mga base para sa null space, row space, at column space ng isang ibinigay na matrix, at tukuyin ang ranggo nito.
- Ipakita ang pag-unawa sa Rank-Nullity Theorem at mga aplikasyon nito.
- Dahil sa paglalarawan ng isang linear na pagbabago, hanapin ang representasyon ng matrix nito na may kaugnayan sa mga ibinigay na base.
- Ipakita ang pag-unawa sa kaugnayan ng pagkakatulad at pagbabago ng batayan.
- Hanapin ang pamantayan ng isang vector at ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector sa isang panloob na espasyo ng produkto.
- Gamitin ang panloob na produkto upang ipahayag ang isang vector sa isang panloob na espasyo ng produkto bilang isang linear na kumbinasyon ng isang orthogonal na hanay ng mga vector.
- Hanapin ang orthogonal complement ng isang ibinigay na subspace.
- Ipakita ang pag-unawa sa kaugnayan ng row space, column space, at nullspace ng isang matrix (at ang transpose nito) sa pamamagitan ng orthogonal complements.
- Ipakita ang pag-unawa sa hindi pagkakapantay-pantay ng Cauchy-Schwartz at mga aplikasyon nito.
- Tukuyin kung ang isang vector space na may (sesquilinear) na anyo ay isang panloob na espasyo ng produkto.
- Gamitin ang proseso ng Gram-Schmidt upang makahanap ng orthonormal na batayan ng isang panloob na espasyo ng produkto. Maging may kakayahang gawin ito pareho sa R n at sa mga puwang ng pag-andar na mga puwang ng panloob na produkto.
- Gumamit ng hindi bababa sa mga parisukat upang magkasya ang isang linya ( y = palakol + b) sa isang talahanayan ng data, i-plot ang linya at mga punto ng data, at ipaliwanag ang kahulugan ng hindi bababa sa mga parisukat sa mga tuntunin ng orthogonal projection.
- Gamitin ang ideya ng hindi bababa sa mga parisukat upang maghanap ng mga orthogonal na projection sa mga subspace at para sa polynomial curve fitting.
- Maghanap ng (totoo at kumplikado) eigenvalues at eigenvectors ng 2 × 2 o 3 × 3 matrice.
- Tukuyin kung ang isang ibinigay na matrix ay diagonalisable. Kung gayon, maghanap ng isang matrix na nag-diagonal dito sa pamamagitan ng pagkakatulad.
- Ipakita ang pag-unawa sa kaugnayan sa pagitan ng mga eigenvalues ng isang square matrix at ang determinant nito, ang trace nito, at ang invertibility/singularity nito.
- Kilalanin ang simetriko matrice at orthogonal matrice.
- Maghanap ng isang matrix na orthogonally diagonalizes isang ibinigay na simetriko matrix.
- Alamin at mailapat ang spectral theorem para sa simetriko matrice.
- Alamin at mailapat ang Singular Value Decomposition.
- Tamang tukuyin ang mga termino at magbigay ng mga halimbawang nauugnay sa mga konsepto sa itaas.
- Patunayan ang mga pangunahing teorema tungkol sa mga konsepto sa itaas.
- Patunayan o pabulaanan ang mga pahayag na may kaugnayan sa mga konsepto sa itaas.
- Maging sanay sa pagkalkula ng kamay para sa pagbabawas ng hilera, pagbabaligtad ng matrix at mga katulad na problema; gayundin, gumamit ng MATLAB o isang katulad na programa para sa mga problema sa linear algebra.
Sa problema sa naglalakbay na tindero, upang lumikha ng pinakamainam na ruta sa paligid ng n lungsod, kailangan mong piliin ang pinakamahusay mula sa (n-1)! mga opsyon batay sa oras, gastos o haba ng ruta. Ang problemang ito ay nagsasangkot ng pagtukoy ng isang Hamiltonian cycle ng pinakamababang haba. Sa ganitong mga kaso, ang hanay ng lahat ng posibleng solusyon ay dapat na kinakatawan sa anyo ng isang puno - isang konektadong graph na hindi naglalaman ng mga cycle o mga loop. Pinag-iisa ng ugat ng puno ang buong hanay ng mga opsyon, at ang mga tuktok ng puno ay mga subset ng bahagyang inayos na mga opsyon sa solusyon.
Layunin ng serbisyo. Gamit ang serbisyo, maaari mong suriin ang iyong solusyon o kumuha ng bagong solusyon sa problema sa paglalakbay ng salesman gamit ang dalawang pamamaraan: ang branch at bound na paraan at ang Hungarian na paraan.
Modelo ng matematika ng problema sa naglalakbay na tindero
Ang nabuong problema ay isang integer na problema. Hayaan ang x ij =1 kung ang manlalakbay ay lilipat mula sa i-th na lungsod patungo sa j-th at x ij =0 kung hindi ito ang kaso.Pormal, ipinakilala namin ang (n+1) isang lungsod na matatagpuan sa parehong lugar ng unang lungsod, i.e. ang mga distansya mula sa (n+1) mga lungsod sa anumang iba pang lungsod maliban sa una ay katumbas ng mga distansya mula sa unang lungsod. Bukod dito, kung maaari ka lamang umalis sa unang lungsod, pagkatapos ay maaari ka lamang pumunta sa (n+1) lungsod.
Ipakilala natin ang mga karagdagang integer na variable na katumbas ng bilang ng mga pagbisita sa lungsod na ito habang nasa daan. u 1 =0, u n +1 =n. Upang maiwasan ang mga saradong landas, umalis sa unang lungsod at bumalik sa (n+1), ipinakilala namin ang mga karagdagang paghihigpit na nagkokonekta sa mga variable na x ij at mga variable na u i (u i ay mga hindi negatibong integer).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, na may i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x sa+1 =x i1 , i=2..n
Mga pamamaraan para sa paglutas ng problema sa paglalakbay na tindero
- branch at bound method (Algoritmo ni Little o pag-aalis ng subcycle). Isang halimbawa ng isang sangay at nakatali na solusyon;
- Pamamaraan ng Hungarian. Isang halimbawa ng solusyon gamit ang paraan ng Hungarian.
Ang algorithm o pag-aalis ng subcycle ni Little
- Pagpapababa ng operasyon kasama ang mga hilera: sa bawat hilera ng matrix, ang pinakamababang elemento d min ay matatagpuan at ibawas sa lahat ng mga elemento ng kaukulang row. Mababang limitasyon: H=∑d min .
- Pagpapababa ng operasyon ayon sa mga column: sa bawat column ng matrix, piliin ang minimum na elemento d min at ibawas ito sa lahat ng elemento ng kaukulang column. Mas mababang limitasyon: H=H+∑d min .
- Ang reduction constant H ay ang lower bound ng set ng lahat ng tinatanggap na Hamiltonian contours.
- Paghahanap ng mga kapangyarihan ng mga zero para sa isang matrix na ibinigay ng mga row at column. Upang gawin ito, pansamantalang palitan ang mga zero sa matrix ng sign na "∞" at hanapin ang kabuuan ng pinakamababang elemento ng row at column na tumutugma sa zero na ito.
- Piliin ang arko (i,j) kung saan ang antas ng zero na elemento ay umabot sa pinakamataas na halaga.
- Ang set ng lahat ng Hamiltonian contours ay nahahati sa dalawang subset: ang subset ng Hamiltonian contours na naglalaman ng arc (i,j) at ang mga hindi naglalaman nito (i*,j*). Upang makakuha ng matrix ng mga contour kasama ang arc (i,j), ekis ang row i at column j sa matrix. Upang maiwasan ang pagbuo ng isang di-Hamiltonian contour, palitan ang simetriko elemento (j,i) ng sign na "∞". Ang pag-aalis ng arko ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento sa matrix ng ∞.
- Ang matrix ng Hamiltonian contours ay nababawasan sa paghahanap para sa reduction constants H(i,j) at H(i*,j*) .
- Ang mas mababang mga hangganan ng subset ng Hamiltonian contours H(i,j) at H(i*,j*) ay inihambing. Kung H(i,j)
- Kung, bilang isang resulta ng pagsasanga, ang isang (2x2) matrix ay nakuha, pagkatapos ay ang Hamiltonian contour na nakuha sa pamamagitan ng sumasanga at ang haba nito ay tinutukoy.
- Ang haba ng Hamiltonian contour ay inihambing sa mas mababang mga hangganan ng mga nakalawit na sanga. Kung ang haba ng tabas ay hindi lalampas sa kanilang mas mababang mga hangganan, pagkatapos ay malulutas ang problema. Kung hindi, ang mga sangay ng mga subset na may mas mababang hangganan na mas mababa kaysa sa resultang contour ay bubuo hanggang sa makuha ang isang ruta na may mas maikling haba.
Halimbawa. Lutasin ang problema sa naglalakbay na tindero gamit ang isang matrix gamit ang algorithm ni Little
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Solusyon. Kunin natin bilang arbitrary na ruta: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Pagkatapos F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Upang matukoy ang lower bound ng set, ginagamit namin operasyon ng pagbabawas o pagbabawas ng matrix row sa row, kung saan kinakailangan upang mahanap ang minimum na elemento sa bawat row ng matrix D: d i = min(j) d ij
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Ang mga elemento ng matrix d ij ay tumutugma sa distansya mula sa point i hanggang point j.
Dahil mayroong n lungsod sa matrix, ang D ay isang nxn matrix na may mga hindi negatibong elemento d ij ≥ 0
Ang bawat wastong ruta ay kumakatawan sa isang cycle kung saan ang naglalakbay na tindero ay bumisita sa lungsod nang isang beses lamang at bumalik sa orihinal na lungsod.
Ang haba ng ruta ay tinutukoy ng expression: F(M k) = ∑d ij
Bukod dito, ang bawat row at column ay kasama sa ruta nang isang beses lang na may elementong d ij .
Hakbang #1.
Pagtukoy sa sumasanga gilid
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Ang pinakamalaking kabuuan ng mga constant ng pagbabawas ay (0 + 6) = 6 para sa gilid (5,2), samakatuwid, ang hanay ay nahahati sa dalawang subset (5,2) at (5*,2*).
Pagbubukod ng gilid(5.2) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento d 52 = 0 ng M, pagkatapos nito ay isinasagawa namin ang susunod na pagbawas ng distansya ng matrix para sa nagresultang subset (5*,2*), bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang pinababang matrix.
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Paganahin ang isang gilid(5.2) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-aalis ng lahat ng elemento ng ika-5 hilera at ika-2 haligi, kung saan ang elementong d 25 ay pinalitan ng M upang maalis ang pagbuo ng isang di-Hamiltonian cycle.
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ang lower bound ng subset (5,2) ay katumbas ng: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Dahil ang mas mababang hangganan ng subset na ito (5,2) ay mas mababa kaysa sa subset (5*,2*), isinasama namin ang gilid (5,2) sa ruta na may bagong hangganan H = 35
Hakbang #2.
Pagtukoy sa sumasanga gilid at hatiin ang buong hanay ng mga ruta na nauugnay sa gilid na ito sa dalawang subset (i,j) at (i*,j*).
Para sa layuning ito, para sa lahat ng mga cell ng matrix na may mga zero na elemento, pinapalitan namin ang mga zero nang paisa-isa na may M (infinity) at tinutukoy para sa kanila ang kabuuan ng mga nagresultang mga constant ng pagbabawas, ang mga ito ay ibinibigay sa mga panaklong.
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Ang pinakamalaking kabuuan ng mga constant ng pagbabawas ay (0 + 9) = 9 para sa gilid (4,3), samakatuwid, ang hanay ay nahahati sa dalawang subset (4,3) at (4*,3*).
Pagbubukod ng gilid(4.3) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento d 43 = 0 ng M, pagkatapos nito ay isinasagawa namin ang susunod na pagbawas ng distansya ng matrix para sa nagresultang subset (4*,3*), bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang pinababang matrix.
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Paganahin ang isang gilid(4.3) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-aalis ng lahat ng elemento ng ika-4 na hilera at ika-3 haligi, kung saan ang elementong d 34 ay pinalitan ng M upang maalis ang pagbuo ng isang di-Hamiltonian cycle.
Pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas, ang pinababang matrix ay magiging ganito:
| ako j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Ang lower bound ng subset (4,3) ay katumbas ng: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Dahil 42 > 41, ibinubukod namin ang subset (5,2) para sa karagdagang pagsasanga.
Bumalik tayo sa dating plan X 1.
Plano X 1.
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Pagtukoy sa sumasanga gilid at hatiin ang buong hanay ng mga ruta na nauugnay sa gilid na ito sa dalawang subset (i,j) at (i*,j*).
Para sa layuning ito, para sa lahat ng mga cell ng matrix na may mga zero na elemento, pinapalitan namin ang mga zero nang paisa-isa na may M (infinity) at tinutukoy para sa kanila ang kabuuan ng mga nagresultang mga constant ng pagbabawas, ang mga ito ay ibinibigay sa mga panaklong.
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Ang pinakamalaking kabuuan ng mga constant ng pagbabawas ay (0 + 6) = 6 para sa gilid (4,2), samakatuwid, ang hanay ay nahahati sa dalawang subset (4,2) at (4*,2*).
Pagbubukod ng gilid(4.2) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento d 42 = 0 ng M, pagkatapos nito ay isinasagawa namin ang susunod na pagbawas ng distansya ng matrix para sa nagresultang subset (4*,2*), bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang pinababang matrix.
| ako j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Paganahin ang isang gilid(4.2) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-aalis ng lahat ng elemento ng ika-4 na hilera at ika-2 haligi, kung saan ang elementong d 24 ay pinalitan ng M upang maalis ang pagbuo ng isang di-Hamiltonian cycle.
Ang resulta ay isa pang pinababang matrix (4 x 4), na napapailalim sa operasyon ng pagbabawas.
Pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas, ang pinababang matrix ay magiging ganito:
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ang lower bound ng subset (4,2) ay katumbas ng: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Dahil ang mas mababang hangganan ng subset na ito (4,2) ay mas mababa kaysa sa subset (4*,2*), isinama namin ang gilid (4,2) sa ruta na may bagong hangganan H = 41
Hakbang #2.
Pagtukoy sa sumasanga gilid at hatiin ang buong hanay ng mga ruta na nauugnay sa gilid na ito sa dalawang subset (i,j) at (i*,j*).
Para sa layuning ito, para sa lahat ng mga cell ng matrix na may mga zero na elemento, pinapalitan namin ang mga zero nang paisa-isa na may M (infinity) at tinutukoy para sa kanila ang kabuuan ng mga nagresultang mga constant ng pagbabawas, ang mga ito ay ibinibigay sa mga panaklong.
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Ang pinakamalaking kabuuan ng mga constant ng pagbabawas ay (4 + 5) = 9 para sa gilid (1,5), samakatuwid, ang hanay ay nahahati sa dalawang subset (1,5) at (1*,5*).
Pagbubukod ng gilid(1.5) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento d 15 = 0 ng M, pagkatapos nito ay isinasagawa namin ang susunod na pagbawas ng distansya ng matrix para sa nagresultang subset (1*,5*), bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang pinababang matrix.
| ako j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Paganahin ang isang gilid(1.5) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-aalis ng lahat ng elemento ng 1st row at 5th column, kung saan ang elemento d 51 ay pinalitan ng M upang maalis ang pagbuo ng isang non-Hamiltonian cycle.
Bilang resulta, nakakuha kami ng isa pang pinababang matrix (3 x 3), na napapailalim sa operasyon ng pagbabawas.
Pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas, ang pinababang matrix ay magiging ganito:
| ako j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ang lower bound ng subset (1,5) ay katumbas ng: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Dahil ang mas mababang hangganan ng subset na ito (1,5) ay mas mababa kaysa sa subset (1*,5*), isinama namin ang gilid (1,5) sa ruta na may bagong hangganan H = 41
Hakbang #3.
Pagtukoy sa sumasanga gilid at hatiin ang buong hanay ng mga ruta na nauugnay sa gilid na ito sa dalawang subset (i,j) at (i*,j*).
Para sa layuning ito, para sa lahat ng mga cell ng matrix na may mga zero na elemento, pinapalitan namin ang mga zero nang paisa-isa na may M (infinity) at tinutukoy para sa kanila ang kabuuan ng mga nagresultang mga constant ng pagbabawas, ang mga ito ay ibinibigay sa mga panaklong.
| ako j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Ang pinakamalaking kabuuan ng mga constant ng pagbabawas ay (9 + 6) = 15 para sa gilid (2,1), samakatuwid, ang hanay ay nahahati sa dalawang subset (2,1) at (2*,1*).
Pagbubukod ng gilid(2.1) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng elemento d 21 = 0 ng M, pagkatapos nito ay isinasagawa namin ang susunod na pagbawas ng distansya ng matrix para sa nagresultang subset (2*,1*), bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang pinababang matrix.
| ako j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Paganahin ang isang gilid(2.1) ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-aalis ng lahat ng elemento ng 2nd row at 1st column, kung saan ang elemento d 12 ay pinalitan ng M upang maalis ang pagbuo ng isang non-Hamiltonian cycle.
Bilang resulta, nakakuha kami ng isa pang pinababang matrix (2 x 2), na napapailalim sa operasyon ng pagbabawas.
Pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas, ang pinababang matrix ay magiging ganito:
| ako j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Ang lower bound ng subset (2,1) ay katumbas ng: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Dahil ang mas mababang hangganan ng subset na ito (2,1) ay mas mababa kaysa sa subset (2*,1*), isinama namin ang gilid (2,1) sa ruta na may bagong hangganan H = 41.
Alinsunod sa matrix na ito, isinama namin ang mga gilid (3,4) at (5,3) sa rutang Hamiltonian.
Bilang isang resulta, kasama ang sangay ng puno ng Hamiltonian cycle, ang mga gilid ay bumubuo:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Ang haba ng ruta ay F(Mk) = 41
Puno ng desisyon.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ang mga sumusunod ay ginagamit din sa calculator na ito:
Graphical na paraan para sa paglutas ng ZLP
Simplex na paraan para sa paglutas ng ZLP
Paglutas ng isang matrix na laro
Gamit ang online na serbisyo, maaari mong matukoy ang presyo ng isang laro ng matrix (mas mababa at itaas na mga hangganan), suriin para sa pagkakaroon ng isang saddle point, maghanap ng solusyon sa isang halo-halong diskarte gamit ang mga sumusunod na pamamaraan: minimax, simplex na pamamaraan, graphical (geometric ) paraan, pamamaraan ni Brown.
Extremum ng isang function ng dalawang variable
Mga problema sa dinamikong programming
Ang unang yugto ng paglutas ng problema sa transportasyon ay upang matukoy ang uri nito (bukas o sarado, o kung hindi man balanse o hindi balanse). Tinatayang pamamaraan ( mga pamamaraan para sa paghahanap ng isang sanggunian na plano) payagan para sa ikalawang yugto ng solusyon sa isang maliit na bilang ng mga hakbang makakuha ng isang katanggap-tanggap, ngunit hindi palaging pinakamainam, solusyon sa problema. Kasama sa pangkat na ito ng mga pamamaraan ang mga sumusunod na pamamaraan:
- pagtanggal (dobleng kagustuhan na paraan);
- hilagang-kanlurang sulok;
- pinakamababang elemento;
- Mga pagtatantya ng Vogel.
Reperensyang solusyon sa problema sa transportasyon
Ang sanggunian na solusyon sa problema sa transportasyon ay anumang magagawang solusyon kung saan ang mga vector ng kundisyon na naaayon sa mga positibong coordinate ay linearly independent. Upang suriin ang linear na kalayaan ng mga vectors ng mga kondisyon na naaayon sa mga coordinate ng isang tinatanggap na solusyon, ginagamit ang mga cycle.Ikot Tinatawag ang isang sequence ng mga cell sa isang transport task table kung saan dalawa at tanging magkakatabing cell ang matatagpuan sa parehong row o column, at ang una at huli ay nasa parehong row o column din. Ang isang sistema ng mga vectors ng mga kondisyon ng problema sa transportasyon ay linearly independent kung at kung walang cycle na mabubuo mula sa kaukulang mga cell ng talahanayan. Samakatuwid, isang tinatanggap na solusyon sa problema sa transportasyon, i=1,2,...,m; Ang j=1,2,...,n ay isang sanggunian lamang kung walang cycle na mabubuo mula sa mga cell ng talahanayan na inookupahan nito.
Tinatayang mga pamamaraan para sa paglutas ng problema sa transportasyon.
Paraan ng cross-out (paraan ng dobleng kagustuhan). Kung mayroong isang occupied cell sa isang row o column ng isang table, hindi ito maaaring isama sa anumang cycle, dahil ang isang cycle ay may dalawa at dalawang cell lang sa bawat column. Samakatuwid, maaari mong i-cross out ang lahat ng row ng table na naglalaman ng isang occupied cell, pagkatapos ay i-cross out ang lahat ng column na naglalaman ng isang occupied cell, pagkatapos ay bumalik sa mga row at magpatuloy sa pagtawid sa mga row at column. Kung, bilang isang resulta ng pagtanggal, ang lahat ng mga hilera at haligi ay na-cross out, nangangahulugan ito na mula sa mga sinasakop na mga cell ng talahanayan imposibleng pumili ng isang bahagi na bumubuo ng isang cycle, at ang sistema ng kaukulang mga vector ng mga kondisyon ay linearly na independyente, at ang solusyon ay isang sanggunian. Kung, pagkatapos ng pagtanggal, ang ilang mga cell ay nananatili, ang mga cell na ito ay bumubuo ng isang cycle, ang sistema ng kaukulang mga vectors ng mga kondisyon ay linearly umaasa, at ang solusyon ay hindi isang reference.
Paraan ng Northwest Angle binubuo ng sunud-sunod na pagdaan sa mga row at column ng transport table, simula sa kaliwang column at sa itaas na linya, at pagsusulat ng maximum na posibleng mga pagpapadala sa kaukulang mga cell ng talahanayan upang ang mga kakayahan ng supplier o ang mga pangangailangan ng consumer ay nakasaad sa ang gawain ay hindi lalampas. Sa pamamaraang ito, walang pansin ang binabayaran sa mga presyo ng paghahatid, dahil ang karagdagang pag-optimize ng mga pagpapadala ay ipinapalagay.
Paraan ng Minimal Element. Nagtatampok ng pagiging simple ang pamamaraang ito mas epektibo pa rin kaysa, halimbawa, ang paraan ng Northwest Angle. Bukod dito, ang pinakamababang paraan ng elemento ay malinaw at lohikal. Ang kakanyahan nito ay sa talahanayan ng transportasyon, ang mga cell na may pinakamababang mga taripa ay unang napunan, at pagkatapos ay ang mga cell na may mataas na taripa. Ibig sabihin, pinipili namin ang transportasyon na may pinakamababang halaga ng paghahatid ng kargamento. Ito ay isang malinaw at lohikal na hakbang. Totoo, hindi ito palaging humahantong sa pinakamainam na plano.
Paraan ng pagtatantya ng Vogel. Gamit ang paraan ng pagtatantya ng Vogel, sa bawat pag-ulit, ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang minimum na taripa na nakasulat sa mga ito ay matatagpuan para sa lahat ng mga haligi at lahat ng mga hilera. Ang mga pagkakaibang ito ay naitala sa isang espesyal na itinalagang row at column sa talahanayan ng mga kondisyon ng problema. Kabilang sa mga ipinahiwatig na pagkakaiba, ang pinakamababa ay napili. Sa row (o column) kung saan tumutugma ang pagkakaibang ito, tinutukoy ang minimum na taripa. Ang cell kung saan ito nakasulat ay napunan sa pag-ulit na ito.
Halimbawa Blg. 1. Tariff matrix (dito ang bilang ng mga supplier ay 4, ang bilang ng mga tindahan ay 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Mga reserba | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Pangangailangan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Ang kondisyon ng balanse ay natutugunan. Nagbibigay ng pantay na pangangailangan. Kaya, ang modelo ng problema sa transportasyon ay sarado. Kung bukas ang modelo, kakailanganing magpakilala ng mga karagdagang supplier o consumer.
Naka-on pangalawang yugto Hinahanap ang reference plan gamit ang mga pamamaraan na ibinigay sa itaas (ang pinakakaraniwan ay ang pinakamababang paraan ng gastos).
Upang ipakita ang algorithm, nagpapakita lamang kami ng ilang mga pag-ulit.
Pag-ulit Blg. 1. Ang pinakamababang elemento ng matrix ay zero. Para sa elementong ito, ang mga imbentaryo ay 60 at ang mga kinakailangan ay 30. Pinipili namin ang pinakamababang numero 30 mula sa kanila at ibawas ito (tingnan ang talahanayan). Kasabay nito, tinatawid namin ang ikaanim na hanay mula sa talahanayan (ang mga pangangailangan nito ay katumbas ng 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Pag-ulit Blg. 2. Muli, hinahanap namin ang pinakamababa (0). Mula sa pares (60;50) pipiliin namin ang pinakamababang numero 50. I-cross out ang ikalimang hanay.
| 3 | 20 | 8 | x | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | x | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | x | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Pag-ulit Blg. 3. Ipinagpapatuloy namin ang proseso hanggang sa mapili namin ang lahat ng mga pangangailangan at mga supply.
Pag-ulit Blg. N. Ang elementong hinahanap mo ay 8. Para sa elementong ito, ang mga supply ay katumbas ng mga kinakailangan (40).
| 3 | x | 8 | x | 4 | x | 40 - 40 = 0 |
| x | x | x | x | 3 | 0 | 0 |
| x | 4 | x | x | x | x | 0 |
| x | x | x | 0 | 1 | x | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Mga reserba | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Pangangailangan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Bilangin natin ang bilang ng mga sinasakop na mga cell ng talahanayan, mayroong 8 sa kanila, ngunit dapat itong m + n - 1 = 9. Samakatuwid, ang plano ng suporta ay lumala. Gumagawa kami ng bagong plano. Minsan kailangan mong bumuo ng ilang reference plan bago maghanap ng hindi degenerate.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Mga reserba | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Pangangailangan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Bilang isang resulta, ang unang plano ng suporta ay nakuha, na may bisa, dahil ang bilang ng mga sinasakop na mga cell ng talahanayan ay 9 at tumutugma sa formula m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, i.e. ang reference plan ay hindi nabubulok.
Ikatlong yugto ay binubuo sa pagpapabuti ng nakitang reference plan. Dito ginagamit nila ang potensyal na paraan o paraan ng pamamahagi. Sa yugtong ito, masusubaybayan ang kawastuhan ng solusyon sa pamamagitan ng function ng gastos F(x) . Kung bumababa ito (napapailalim sa pagliit ng mga gastos), kung gayon ang solusyon ay tama.
Halimbawa Blg. 2. Gamit ang pinakamababang paraan ng taripa, magpakita ng paunang plano para sa paglutas ng problema sa transportasyon. Suriin ang pinakamainam gamit ang potensyal na pamamaraan.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Halimbawa Blg. 3. Apat na pabrika ng confectionery ay maaaring gumawa ng tatlong uri ng mga produktong confectionery. Ang mga gastos sa produksyon ng isang quintal (quintal) ng mga produktong confectionery ng bawat pabrika, ang kapasidad ng produksyon ng mga pabrika (quintal bawat buwan) at ang pang-araw-araw na pangangailangan para sa mga produktong confectionery (quintal bawat buwan) ay ipinahiwatig sa talahanayan. Bumuo ng plano sa paggawa ng confectionery na nagpapaliit sa kabuuang gastos sa produksyon.
Tandaan. Dito, maaari mo munang i-transpose ang talahanayan ng gastos, dahil para sa klasikal na pagbabalangkas ng problema sa transportasyon, ang mga kapasidad (produksyon) ay mauna, at pagkatapos ay ang mga mamimili.
Halimbawa Blg. 4. Para sa pagtatayo ng mga pasilidad, ang mga brick ay ibinibigay mula sa tatlong (I, II, III) na mga pabrika. Ang mga pabrika ay may 50, 100 at 50 libong mga yunit sa mga bodega, ayon sa pagkakabanggit. mga ladrilyo Ang mga bagay ay nangangailangan ng 50, 70, 40 at 40 libong piraso, ayon sa pagkakabanggit. mga ladrilyo Ang mga taripa (den. units/thousand units) ay ibinibigay sa talahanayan. Gumawa ng plano sa transportasyon na nagpapaliit sa kabuuang gastos sa transportasyon.
isasara kung:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Kondisyon ng problema sa saradong transportasyon: ∑a = ∑b
Nakikita namin, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Nakukuha namin ang: 55+b = 60+a
Ang pagkakapantay-pantay ay makikita lamang kapag a=40, b=45
