Isaalang-alang natin sistema ng mga linear algebraic equation(SLAU) medyo n hindi kilala x 1 , x 2 , ..., x n :
Ang sistemang ito sa isang "collapsed" na anyo ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Alinsunod sa mga tuntunin ng matrix multiplication, ang itinuturing na sistema linear na equation maaaring isulat sa anyo ng matris Ax=b, Saan
,
,.
Matrix A, ang mga column na kung saan ay ang mga coefficient para sa kaukulang mga hindi alam, at ang mga hilera ay ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa kaukulang equation ay tinatawag matrix ng system. Column matrix b, ang mga elemento nito ay ang kanang bahagi ng mga equation ng system, ay tinatawag na right-hand side matrix o simpleng kanang bahagi ng system. Column matrix x , ang mga elemento kung saan ay ang mga hindi kilalang hindi alam, ay tinatawag solusyon sa sistema.
Isang sistema ng mga linear algebraic equation na nakasulat sa anyo Ax=b, ay equation ng matrix.
Kung ang system matrix hindi nabubulok, tapos meron siya baligtad na matris at pagkatapos ay ang solusyon ng sistema Ax=b ay ibinigay ng formula:
x=A -1 b.
Halimbawa Lutasin ang sistema 
pamamaraan ng matrix.
Solusyon hanapin natin ang inverse matrix para sa coefficient matrix ng system
Kalkulahin natin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang linya:
Dahil ang Δ ≠ 0 , Iyon A -1 umiiral.
Nahanap nang tama ang inverse matrix.
Maghanap tayo ng solusyon sa sistema 
Kaya naman, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pagsusuri: 
7. Ang Kronecker-Capelli theorem sa compatibility ng isang sistema ng linear algebraic equation.
Sistema ng mga linear na equation ay may anyo:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Dito ang a i j at b i (i = ; j = ) ay ibinibigay, at ang x j ay hindi kilalang tunay na mga numero. Gamit ang konsepto ng produkto ng mga matrice, maaari nating muling isulat ang sistema (5.1) sa anyo:
kung saan ang A = (a i j) ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ng system (5.1), na tinatawag na matrix ng system, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ay mga column vector na binubuo ayon sa pagkakasunod-sunod ng mga hindi alam na x j at mga libreng termino b i .
Nag-order ng koleksyon n tunay na mga numero (c 1, c 2,..., c n) ay tinatawag solusyon sa sistema(5.1), kung bilang resulta ng pagpapalit ng mga numerong ito sa halip na ang mga katumbas na variable x 1, x 2,..., x n, ang bawat equation ng system ay nagiging arithmetic identity; sa madaling salita, kung mayroong isang vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T na ang AC B.
System (5.1) ay tinatawag pinagsamang, o nalulusaw, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang sistema ay tinatawag hindi magkatugma, o hindi malulutas, kung wala itong mga solusyon.
,
na nabuo sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang hanay ng mga libreng termino sa kanang bahagi ng matrix A ay tinatawag pinahabang matrix ng system.
Ang tanong ng compatibility ng system (5.1) ay malulutas ng sumusunod na theorem.
Kronecker-Capelli theorem . Ang isang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at lamang kung ang mga ranggo ng mga matrice A atA ay nagtutugma, i.e. r(A) = r(A) = r.
Para sa set M ng mga solusyon ng system (5.1) mayroong tatlong posibilidad:
1) M = (sa kasong ito ang sistema ay hindi pare-pareho);
2) M ay binubuo ng isang elemento, i.e. ang sistema ay may natatanging solusyon (sa kasong ito ang sistema ay tinatawag na tiyak);
3) M ay binubuo ng higit sa isang elemento (pagkatapos ay tinatawag ang sistema hindi sigurado). Sa ikatlong kaso, ang system (5.1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Ang sistema ay may natatanging solusyon lamang kung r(A) = n. Sa kasong ito, ang bilang ng mga equation ay hindi bababa sa bilang ng mga hindi alam (mn); kung m>n, kung gayon m-n equation ay mga kahihinatnan ng iba. Kung 0 Upang malutas ang isang di-makatwirang sistema ng mga linear na equation, kailangan mong malutas ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam - ang tinatawag na Mga sistema ng uri ng Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Ang mga sistema (5.3) ay nalutas sa isa sa mga sumusunod na paraan: 1) ang Gauss na pamamaraan, o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam; 2) ayon sa mga formula ni Cramer; 3) pamamaraan ng matrix. Halimbawa 2.12. Galugarin ang sistema ng mga equation at lutasin ito kung ito ay pare-pareho: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solusyon. Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system:
Kalkulahin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system. Malinaw na, halimbawa, ang pangalawang-order na menor sa kaliwang sulok sa itaas = 7 0; ang mga third-order na menor de edad na naglalaman nito ay katumbas ng zero: Dahil dito, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2, i.e. r(A) = 2. Upang kalkulahin ang ranggo ng pinalawig na matrix A, isaalang-alang ang karatig na menor nangangahulugan ito na ang ranggo ng pinalawig na matrix r(A) = 3. Dahil r(A) r(A), ang sistema ay hindi pare-pareho. Sa unang bahagi, tiningnan namin ang ilang teoretikal na materyal, ang paraan ng pagpapalit, pati na rin ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation ng system. Inirerekomenda ko ang lahat na nag-access sa site sa pamamagitan ng pahinang ito na basahin ang unang bahagi. Marahil ay mahahanap ng ilang mga bisita ang materyal na masyadong simple, ngunit sa proseso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear equation, gumawa ako ng isang bilang ng mga napakahalagang komento at konklusyon tungkol sa solusyon ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan. Ngayon ay susuriin natin ang panuntunan ng Cramer, pati na rin ang paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang isang inverse matrix (matrix method). Ang lahat ng mga materyales ay ipinakita nang simple, detalyado at malinaw na halos lahat ng mga mambabasa ay matututo kung paano lutasin ang mga sistema gamit ang mga pamamaraan sa itaas. Una, titingnan natin ang panuntunan ng Cramer para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? – Pagkatapos ng lahat, ang pinakasimpleng sistema ay maaaring malutas gamit ang pamamaraan ng paaralan, ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag! Ang katotohanan ay, kahit na kung minsan, ang ganitong gawain ay nangyayari - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer para sa isang mas kumplikadong kaso - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam. Bilang karagdagan, mayroong mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin gamit ang panuntunan ng Cramer! Isaalang-alang ang sistema ng mga equation Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant, ito ay tinatawag pangunahing determinant ng system. Pamamaraan ng Gauss. Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang dalawa pang determinant: Sa pagsasagawa, ang mga qualifier sa itaas ay maaari ding tukuyin ng isang Latin na titik. Nahanap namin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula: Halimbawa 7 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation Solusyon: Nakita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki sa kanang bahagi ay may mga decimal fraction na may kuwit. Ang kuwit ay isang bihirang panauhin sa mga praktikal na gawain sa matematika. Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito ay malamang na mapupunta ka sa mga kakila-kilabot na magarbong mga praksyon na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magmumukhang kakila-kilabot. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng term, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw din dito. Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas. ; ; Sagot: , Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika. Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas gamit ang mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kapag ginagamit ang pamamaraang ito, sapilitan Ang isang fragment ng disenyo ng gawain ay ang sumusunod na fragment: "Ito ay nangangahulugan na ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri dahil sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer. Hindi magiging labis na suriin, na maaaring maginhawang isagawa sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system. Bilang resulta, na may maliit na error, dapat kang makakuha ng mga numero na nasa kanang bahagi. Halimbawa 8 Ilahad ang sagot sa ordinaryong improper fraction. Gumawa ng check. Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (isang halimbawa ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin). Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam: Nahanap namin ang pangunahing determinant ng system: Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ng Cramer; Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang tatlo pang determinant: At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula gamit ang mga formula: Tulad ng makikita mo, ang kaso ng "tatlo sa pamamagitan ng tatlo" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso ng "dalawa sa pamamagitan ng dalawa" ang hanay ng mga libreng termino na sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant. Halimbawa 9 Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. Solusyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. Sagot: Sa totoo lang, dito muli walang espesyal na magkomento sa, dahil sa ang katunayan na ang solusyon ay sumusunod sa mga handa na pormula. Ngunit mayroong ilang mga komento. Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: . 1) Maaaring may error sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng isang "masamang" fraction, kailangan mong suriin kaagad Ang kundisyon ba ay muling isinulat nang tama?. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column). 2) Kung walang natukoy na mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa mga kondisyon ng gawain. Sa kasong ito, mahinahon at MABUTI na gawin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iginuhit namin ito sa isang malinis na sheet pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay magiging isang disarming argument para sa guro, na talagang gustong magbigay ng minus para sa anumang kalokohan tulad ng . Ang paraan ng paghawak ng mga fraction ay inilarawan nang detalyado sa sagot sa Halimbawa 8. Kung mayroon kang isang computer, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka-kumikitang gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon), makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan nagkamali ka! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon ng system gamit ang matrix method. Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa: Halimbawa 10 Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (isang sample ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin). Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa magkatulad na mga prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin na Properties of Determinants. Ang pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - ang limang 4th order determinants ay medyo nalulusaw. Bagaman ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante. Ang inverse matrix method ay mahalagang isang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin). Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix, at gawin ang pagpaparami ng matrix. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang mga paliwanag. Halimbawa 11 Lutasin ang system gamit ang matrix method Solusyon: Isulat natin ang system sa matrix form: Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at matrice. Sa tingin ko naiintindihan ng lahat ang prinsipyo kung saan isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix. Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula: Una, tingnan natin ang determinant: Dito pinalawak ang determinant sa unang linya. Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema gamit ang paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method). Ngayon kailangan nating kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa menor de edad matrix Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang bilang ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang bilang ng column kung saan matatagpuan ang elemento: Hayaang magkaroon ng isang parisukat na matrix ng nth order Ang Matrix A -1 ay tinatawag baligtad na matris na may kaugnayan sa matrix A, kung A*A -1 = E, kung saan ang E ay ang identity matrix ng ika-na order. Matrix ng pagkakakilanlan- tulad ng isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng mga elemento kasama ang pangunahing dayagonal, na dumadaan mula sa itaas na kaliwang sulok hanggang sa ibabang kanang sulok, ay isa, at ang natitira ay mga zero, halimbawa: baligtad na matris maaaring umiral para lamang sa mga square matrice mga. para sa mga matrice kung saan ang bilang ng mga row at column ay nagtutugma. Upang magkaroon ng inverse matrix ang isang matrix, kinakailangan at sapat na ito ay hindi isahan. Ang matrix A = (A1, A2,...A n) ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang mga column vector ay linearly independent. Ang bilang ng mga linearly independent column vectors ng isang matrix ay tinatawag na ranggo ng matrix. Samakatuwid, maaari nating sabihin na upang magkaroon ng isang inverse matrix, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix ay katumbas ng sukat nito, i.e. r = n. Para sa matrix A, hanapin ang inverse matrix A -1 Solusyon: Isinulat namin ang matrix A at itinalaga ang identity matrix E sa kanan Gamit ang mga pagbabagong-anyo ng Jordan, binabawasan namin ang matrix A sa identity matrix E. Ang mga kalkulasyon ay ibinigay sa Talahanayan 31.1. Suriin natin ang kawastuhan ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na matrix A at ang kabaligtaran na matrix A -1. Bilang resulta ng pagpaparami ng matrix, nakuha ang identity matrix. Samakatuwid, ang mga kalkulasyon ay isinagawa nang tama. Sagot: Ang mga matrix equation ay maaaring magmukhang: AX = B, HA = B, AXB = C, kung saan ang A, B, C ay ang mga tinukoy na matrice, ang X ay ang nais na matrix. Ang mga equation ng matrix ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng equation sa pamamagitan ng mga inverse matrice.
Halimbawa, upang mahanap ang matrix mula sa equation, kailangan mong i-multiply ang equation na ito sa kaliwa. Samakatuwid, upang makahanap ng solusyon sa equation, kailangan mong hanapin ang inverse matrix at i-multiply ito sa matrix sa kanang bahagi ng equation. Ang iba pang mga equation ay nalutas nang katulad. Lutasin ang equation na AX = B kung Solusyon: Dahil ang inverse matrix ay katumbas ng (tingnan ang halimbawa 1) Kasama ng iba, ginagamit din ang mga ito mga pamamaraan ng matrix. Ang mga pamamaraang ito ay batay sa linear at vector-matrix algebra. Ang ganitong mga pamamaraan ay ginagamit para sa mga layunin ng pagsusuri ng kumplikado at multidimensional na pang-ekonomiyang phenomena. Kadalasan, ang mga pamamaraang ito ay ginagamit kapag kinakailangan na gumawa ng isang paghahambing na pagtatasa ng paggana ng mga organisasyon at ang kanilang mga dibisyon sa istruktura. Sa proseso ng paglalapat ng mga pamamaraan ng pagsusuri ng matrix, maraming mga yugto ang maaaring makilala. Sa unang yugto isang sistema ng mga pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig ay nabuo at sa batayan nito ang isang matrix ng paunang data ay pinagsama-sama, na isang talahanayan kung saan ang mga numero ng system ay ipinapakita sa mga indibidwal na hilera nito (i = 1,2,....,n), at sa mga patayong hanay - bilang ng mga tagapagpahiwatig (j = 1,2,....,m). Sa ikalawang yugto Para sa bawat patayong haligi, ang pinakamalaking ng magagamit na mga halaga ng tagapagpahiwatig ay natukoy, na kinuha bilang isa. Pagkatapos nito, ang lahat ng halagang makikita sa column na ito ay hinati sa pinakamalaking halaga at nabuo ang isang matrix ng mga standardized coefficient. Sa ikatlong yugto lahat ng bahagi ng matrix ay parisukat. Kung mayroon silang iba't ibang kabuluhan, kung gayon ang bawat tagapagpahiwatig ng matrix ay itinalaga ng isang tiyak na koepisyent ng timbang k. Ang halaga ng huli ay tinutukoy ng opinyon ng eksperto. Sa huli, ikaapat na yugto nakitang mga halaga ng rating Rj ay pinagsama-sama sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagtaas o pagbaba. Ang mga pamamaraan ng matrix na nakabalangkas ay dapat gamitin, halimbawa, sa isang paghahambing na pagsusuri ng iba't ibang mga proyekto sa pamumuhunan, pati na rin sa pagtatasa ng iba pang mga pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig ng mga aktibidad ng mga organisasyon. (kung minsan ang pamamaraang ito ay tinatawag ding matrix method o ang inverse matrix method) ay nangangailangan ng paunang pamilyar sa naturang konsepto bilang matrix form ng notasyon ng SLAE. Ang paraan ng inverse matrix ay inilaan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang determinant ng system matrix ay naiiba sa zero. Naturally, ipinapalagay nito na ang matrix ng system ay parisukat (ang konsepto ng isang determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice). Ang kakanyahan ng inverse matrix na pamamaraan ay maaaring ipahayag sa tatlong puntos: Ang anumang SLAE ay maaaring isulat sa matrix form bilang $A\cdot X=B$, kung saan ang $A$ ay ang matrix ng system, ang $B$ ay ang matrix ng mga libreng termino, ang $X$ ay ang matrix ng mga hindi alam. Hayaang umiral ang matrix na $A^(-1)$. I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na $A\cdot X=B$ sa matrix na $A^(-1)$ sa kaliwa: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Dahil ang $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ay ang identity matrix), ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay nagiging: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Dahil $E\cdot X=X$, kung gayon: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Halimbawa Blg. 1 Lutasin ang SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ gamit ang inverse matrix. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Hanapin natin ang inverse matrix sa system matrix, i.e. Kalkulahin natin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa No. 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$ Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa equality $X=A^(-1)\cdot B$. Pagkatapos ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$ Kaya, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( array )\kanan)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayong: $x_1=-3$, $x_2=2$. Sagot: $x_1=-3$, $x_2=2$. Halimbawa Blg. 2 Lutasin ang SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ gamit ang inverse matrix method. Isulat natin ang matrix ng system na $A$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$ at ang matrix ng mga hindi alam na $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Ngayon ay ang turn upang mahanap ang inverse matrix sa system matrix, i.e. hanapin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa No. 3 sa pahina na nakatuon sa paghahanap ng mga inverse matrice, natagpuan na ang inverse matrix. Gamitin natin ang natapos na resulta at isulat ang $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 at 37\end(array)\kanan). $$ Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$, at pagkatapos ay magsagawa ng matrix multiplication sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$ Kaya, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay na $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Ito ay isang konsepto na nagsa-generalize ng lahat ng posibleng operasyon na isinagawa gamit ang mga matrice. Mathematical matrix - talahanayan ng mga elemento. Tungkol sa isang table kung saan m mga linya at n column, ang matrix na ito ay sinasabing may sukat m sa n. Pangkalahatang view ng matrix: Para sa mga solusyon sa matrix kinakailangang maunawaan kung ano ang isang matrix at alamin ang mga pangunahing parameter nito. Mga pangunahing elemento ng matrix: Mga pangunahing uri ng matrice: Ang matrix ay maaaring simetriko na may paggalang sa pangunahing at pangalawang diagonal. Ibig sabihin, kung a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. isang m-1n = isang mn-1, kung gayon ang matrix ay simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal. Ang mga square matrice lamang ang maaaring simetriko. Halos lahat ng mga pamamaraan ng paglutas ng matrix binubuo sa paghahanap ng determinant nito n-ika-utos at karamihan sa kanila ay medyo mahirap. Upang mahanap ang determinant ng ika-2 at ika-3 na pagkakasunud-sunod, mayroong iba pang mas makatwirang pamamaraan. Upang kalkulahin ang determinant ng isang matrix A 2nd order, ito ay kinakailangan upang ibawas ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal: Nasa ibaba ang mga panuntunan para sa paghahanap ng determinant ng 3rd order. Pinasimpleng tuntunin ng tatsulok bilang isa sa mga pamamaraan ng paglutas ng matrix, ay maaaring ilarawan sa ganitong paraan: Sa madaling salita, ang produkto ng mga elemento sa unang determinant na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya ay kinuha gamit ang isang "+" sign; Gayundin, para sa 2nd determinant, ang mga kaukulang produkto ay kinuha gamit ang "-" sign, iyon ay, ayon sa sumusunod na pamamaraan: Sa paglutas ng mga matrice gamit ang panuntunan ni Sarrus, sa kanan ng determinant, idagdag ang unang 2 hanay at ang mga produkto ng kaukulang elemento sa pangunahing dayagonal at sa mga dayagonal na kahanay nito ay kinukuha gamit ang tandang "+"; at ang mga produkto ng kaukulang elemento ng pangalawang dayagonal at ang mga diagonal na kahanay nito, na may tanda na "-": Nabubulok ang determinant sa isang row o column kapag nilulutas ang mga matrice. Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng row ng determinant at ang kanilang mga algebraic complements. Karaniwan ang row/column na naglalaman ng mga zero ay pinipili. Ang row o column kung saan isinasagawa ang agnas ay ipahiwatig ng isang arrow. Ang pagbabawas ng determinant sa triangular na anyo kapag nilulutas ang mga matrice. Sa paglutas ng mga matrice paraan ng pagbabawas ng determinant sa isang tatsulok na anyo, gumagana ang mga ito tulad nito: gamit ang pinakasimpleng pagbabago sa mga hilera o haligi, ang determinant ay nagiging tatsulok sa anyo at pagkatapos ang halaga nito, alinsunod sa mga katangian ng determinant, ay magiging katumbas ng produkto ng mga elemento na nasa pangunahing dayagonal. Laplace's theorem para sa paglutas ng mga matrice. Kapag nilulutas ang mga matrice gamit ang theorem ni Laplace, kailangan mong malaman ang theorem mismo. Teorama ni Laplace: Hayaan Δ
- ito ay isang determinant n-ika-utos. Pinipili namin ang alinman k row (o column), ibinigay k≤
n - 1. Sa kasong ito, ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng mga menor de edad k-ika-utos na nakapaloob sa napili k mga hilera (columns), sa pamamagitan ng kanilang algebraic complements ay magiging katumbas ng determinant. Pagkakasunod-sunod ng mga aksyon para sa kabaligtaran na mga solusyon sa matrix: Para sa mga solusyon ng matrix system Ang pamamaraang Gaussian ay kadalasang ginagamit. Ang pamamaraang Gauss ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs) at binubuo ito sa katotohanan na ang mga variable ay sunud-sunod na inaalis, ibig sabihin, sa tulong ng mga pagbabago sa elementarya, ang sistema ng mga equation ay dinadala sa isang katumbas na sistema ng triangular. form at mula dito, sunud-sunod, simula sa huli (ayon sa numero), hanapin ang bawat elemento ng system. Pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka maraming nalalaman at pinakamahusay na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa matrix. Kung ang isang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon o ang sistema ay hindi tugma, hindi ito malulutas gamit ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix. Ang pamamaraang Gauss ay nagpapahiwatig din ng direktang (pagbabawas ng pinalawak na matrix sa isang hakbang-hakbang na anyo, ibig sabihin, pagkuha ng mga zero sa ilalim ng pangunahing dayagonal) at reverse (pagkuha ng mga zero sa itaas ng pangunahing dayagonal ng pinalawig na matrix) na mga paggalaw. Ang pasulong na paglipat ay ang Gauss method, ang reverse move ay ang Gauss-Jordan method. Ang Gauss-Jordan method ay naiiba sa Gauss method lamang sa pagkakasunod-sunod ng pag-aalis ng mga variable.
.
At
, 
, 
, 
, na nangangahulugan na ang system ay may natatanging solusyon.
.
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung wala kang computer sa kamay, gawin ito:
Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant: 
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero ayon sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.
Paglutas ng isang sistema gamit ang isang inverse matrix
, Saan 
, nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.
Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, at, halimbawa, ang elemento ay nasa 3 hilera, 2 hanay.
Theorem para sa pagkakaroon ng kondisyon ng isang inverse matrix
Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix
Halimbawa 1 
Paglutas ng mga equation ng matrix
Paraan ng matrix sa pagsusuri sa ekonomiya
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga matrice.
Paghahanap ng 2nd order determinants.
Mga pamamaraan para sa paghahanap ng 3rd order determinants.
Paglutas ng inverse matrix.
Paglutas ng mga sistema ng matrix.
