Lutasin ang Bernoulli equation. Linear differential equation ng unang order at ang Bernoulli equation

Ang differential equation ni Bernoulli ay isang equation ng form

kung saan ang n≠0,n≠1.

Ang equation na ito ay maaaring muling ayusin gamit ang substitution

V linear equation

Sa practice differential equation Ang Bernoulli ay karaniwang hindi humahantong sa isang linear equation, ngunit agad na nalutas gamit ang parehong mga pamamaraan bilang isang linear equation - alinman sa Bernoulli na paraan o ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho.

Tingnan natin kung paano lutasin ang differential equation ni Bernoulli gamit ang substitution y=uv (bernoulli's method). Ang scheme ng solusyon ay kapareho ng para sa .

Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation:

1) y’x+y=-xy².

Ito ang differential equation ni Bernoulli. Dalhin natin ito sa karaniwang anyo. Upang gawin ito, hatiin ang parehong bahagi sa x: y'+y/x=-y². Dito p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ngunit hindi namin ito kailangan upang malutas karaniwang view. Makikipagtulungan kami sa recording form na ibinigay sa kondisyon.

1) Kapalit na y=uv, kung saan ang u=u(x) at v=v(x) ay ilang bagong function ng x. Pagkatapos ay y'=(uv)'=u'v+v'u. Pinapalitan namin ang mga resultang expression sa kundisyon: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Buksan natin ang mga bracket: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Ngayon, pangkatin natin ang mga termino sa v: v+v’ux=-xu²v² (I) (hindi natin hawakan ang termino na may degree v, na nasa kanang bahagi ng equation). Ngayon kailangan namin na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng zero: u'x+u=0. At ito ay isang equation na may mga separable variable na u at x. Nang malutas ito, mahahanap ka namin. Pinapalitan namin ang u=du/dx at pinaghihiwalay ang mga variable: x·du/dx=-u. I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa dx at hatiin sa xu≠0:

(kapag nahanap ang u C kinukuha namin ito na katumbas ng zero).

3) Sa equation (I) pinapalitan natin ang =0 at ang nahanap na function na u=1/x. Mayroon kaming equation: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Pagkatapos ng pagpapasimple: v’=-(1/x)·v². Ito ay isang equation na may mga separable variable na v at x. Pinapalitan namin ang v’=dv/dx at pinaghihiwalay ang mga variable: dv/dx=-(1/x)·v². I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa dx at hatiin sa v²≠0:

(kinuha namin ang -C upang, sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig sa -1, mapupuksa ang minus). Kaya, i-multiply sa (-1):

(hindi C, ngunit ln│C│, at sa kasong ito ito ay magiging v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Siguraduhin natin na ito ang equation ni Bernoulli. Ang paghahati sa parehong bahagi ng 2, makuha namin ang y'+y=(x/2) y². Dito p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Malutas namin ang equation gamit ang paraan ni Bernoulli.

1) Pagpapalit na y=uv, y’=u’v+v’u. Pinapalitan namin ang mga expression na ito sa orihinal na kundisyon: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Buksan ang mga bracket: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Ngayon, pangkatin natin ang mga terminong naglalaman ng v: +2v’u=xu²v² (II). Kinakailangan namin na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng zero: 2u’+2u=0, kaya u’+u=0. Ito ay isang separable equation para sa u at x. Solusyonan natin ito at hanapin ka. Pinapalitan namin ang u’=du/dx, mula sa kung saan du/dx=-u. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa dx at paghahati sa u≠0, makuha natin ang: du/u=-dx. Pagsamahin natin:

3) Palitan sa (II) =0 at

Ngayon pinapalitan namin ang v'=dv/dx at paghiwalayin ang mga variable:

Pagsamahin natin:

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay isang table integral, ang integral sa kanang bahagi ay matatagpuan gamit ang integration by parts formula:

Ang pagpapalit ng nahanap na v at du gamit ang integration by parts formula na mayroon kami:

At mula noon

Gawin natin ang C=-C:

4) Dahil y=uv, pinapalitan namin ang nahanap na function na u at v:

3) Isama ang equation na x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa x²(x-1)≠0 at ilipat ang term na may y² sa kanang bahagi:

Ito ang equation ni Bernoulli

1) Pagpapalit na y=uv, y’=u’v+v’u. Gaya ng dati, pinapalitan namin ang mga expression na ito sa orihinal na kundisyon: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Kaya naman x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Nagpangkat kami ng mga terminong naglalaman ng v (v² - huwag hawakan):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Ngayon ay hinihiling namin na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng zero: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, kaya x²(x-1)u’=x(x-2)u. Sa equation pinaghihiwalay natin ang mga variable na u at x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa dx at hatiin sa x²(x-1)u≠0:

Sa kaliwang bahagi ng equation ay isang tabular integral. Rational fraction sa kanang bahagi kailangan mong mabulok sa mga simpleng fraction:

Sa x=1: 1-2=A·0+B·1, kung saan B=-1.

Sa x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, kung saan A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Ayon sa mga katangian ng logarithms: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, kung saan u=x²/(x-1).

3) Sa pagkakapantay-pantay (III) pinapalitan natin ang =0 at u=x²/(x-1). Nakukuha namin ang: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, kapalit:

Sa halip na C, kinukuha namin ang - C, upang, sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi sa (-1), inaalis namin ang mga minus:

Ngayon, bawasan natin ang mga expression sa kanang bahagi sa isang karaniwang denominator at hanapin ang v:

4) Dahil y=uv, pinapalitan ang nahanap na function na u at v, nakukuha natin ang:

Mga halimbawa ng self-test:

1) Tiyakin natin na ito ang equation ni Bernoulli. Ang paghahati sa magkabilang panig ng x, mayroon kaming:

1) Pagpapalit na y=uv, mula sa kung saan y’=u’v+v’u. Pinapalitan namin ang mga y at y’ na ito sa orihinal na kundisyon:

2) Pangkatin ang mga tuntunin sa v:

Ngayon ay hinihiling namin na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng zero at hanapin u mula sa kundisyong ito:

Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation:

3) Sa equation (*) pinapalitan natin ang =0 at u=1/x²:

Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng resultang equation.

Ang isang equation ng form na y' + P(x)y = Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay kilala na mga function ng x, linear na may kinalaman sa function na y at ang derivative na y' nito, ay tinatawag isang first-order linear differential equation.

Kung q(x)=0, ang equation ay tinatawag na linear homogeneous equation. q(x)=0 – linear inhomogeneous equation.

Ang isang linear na equation ay binabawasan sa dalawang equation na may mga separable variable gamit ang substitution na y = u*v, kung saan ang u = u(x) at v = v(x) ay ilang auxiliary continuous function.

Kaya, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

pagkatapos ay muling isulat natin ang orihinal na equation sa anyo: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Dahil ang hindi kilalang function na y ay hinahangad bilang isang produkto ng dalawang function, ang isa sa mga ito ay maaaring piliin nang arbitraryo, ang isa ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng equation (2).

Piliin natin upang ang v’ + P(x)*v = 0 (3). Para dito, sapat na ang v(x) ay isang bahagyang solusyon ng equation (3) (sa C = 0). Hanapin natin ang solusyong ito:

V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)

Ang pagpapalit ng function (4) sa equation (2), makakakuha tayo ng pangalawang equation na may mga separable variable, kung saan makikita natin ang function na u(x):

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; ikaw = +C (5)

Sa wakas makuha namin:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Ang equation ni Bernoulli:y’ + y = x* y 3

Ang equation na ito ay may anyo: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay tuluy-tuloy na function.

Kung n = 0, ang equation ni Bernoulli ay magiging isang linear differential equation. Kung n = 1, ang equation ay magiging isang separable equation.

Sa pangkalahatan, kapag n ≠ 0, 1, eq. Ang Bernoulli ay binawasan sa isang linear differential equation gamit ang substitution: z = y 1- n

Ang bagong differential equation para sa function na z(x) ay may anyo: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) at maaaring lutasin sa parehong paraan tulad ng mga linear differentials . Mga equation ng 1st order.

20. Differential equation ng mas mataas na mga order.

Isaalang-alang natin ang equation na walang tahasang naglalaman ng function:

Ang pagkakasunud-sunod ng equation na ito ay binabawasan ng isa gamit ang pagpapalit:

Sa katunayan, kung gayon:

At nakakakuha kami ng isang equation kung saan ang pagkakasunud-sunod ay binabawasan ng isa:

Diff. Ang mga equation ng order na mas mataas kaysa sa pangalawa ay may anyo at , kung saan ang mga tunay na numero, at ang function f(x) tuloy-tuloy sa integration interval X.

Hindi laging posible na lutasin ang mga naturang equation nang analytical at karaniwang ginagamit ang mga tinatayang pamamaraan. Gayunpaman, sa ilang mga kaso posible na mahanap karaniwang desisyon.

Teorama.

Pangkalahatang solusyon y 0 linear homogenous differential equation sa pagitan X na may tuloy-tuloy na coefficients sa X ay isang linear na kumbinasyon n linearly independent partial solutions ng LODE na may arbitraryo pare-pareho ang mga koepisyent , yan ay .

Teorama.

Karaniwang desisyon y linear inhomogeneous differential

mga equation sa pagitan X na may tuloy-tuloy na mga sa parehong

sa gitna X coefficients at function f(x) kumakatawan sa halaga

saan y 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LODE, at ilang partikular na solusyon ng orihinal na LODE.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation na may mga constants

naghahanap ng mga coefficient sa anyo , kung saan - ilan

kanyang pribadong solusyon, at – pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous differential

mga equation

21. Mga pagsubok at pangyayari. Mga uri ng kaganapan. Mga halimbawa.

Ang pagsubok ay ang paglikha ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon para sa paglitaw ng mga kaganapan. Halimbawa: paghagis ng dice

Kaganapan – paglitaw/hindi paglitaw ng isa o ibang resulta ng pagsubok; resulta ng pagsusulit. Halimbawa: rolling the number 2

Ang isang random na kaganapan ay isang kaganapan na maaaring o hindi maaaring mangyari sa panahon ng isang ibinigay na pagsubok. Halimbawa: pag-roll ng isang numero na higit sa 5

Maaasahan - isang kaganapan na hindi maiiwasang mangyari sa isang ibinigay na pagsubok. Halimbawa: pag-roll ng numerong mas malaki sa o katumbas ng 1

Posible - isang kaganapan na maaaring mangyari sa isang ibinigay na pagsubok. Halimbawa: rolling the number 6

Imposible - isang kaganapan na hindi maaaring mangyari sa panahon ng isang ibinigay na pagsubok. Halimbawa: rolling the number 7

Hayaan ang A na maging isang kaganapan. Sa pamamagitan ng isang kaganapan na kabaligtaran nito, mauunawaan natin ang isang kaganapan na binubuo ng hindi pangyayari ng kaganapan A. Pagtatalaga: Ᾱ. Halimbawa: A - ang numero 2 ay pinagsama, Ᾱ - anumang iba pang numero ay pinagsama

Ang mga kaganapan A at B ay hindi magkatugma kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng isa pa sa parehong pagsubok. Halimbawa: pagkuha ng mga numero 1 at 3 sa parehong rolyo.

Ang mga kaganapang A at B ay tinatawag na magkasanib kung maaari silang mangyari sa isang pagsubok. Halimbawa: pagkuha ng numerong mas malaki sa 2 at ang numero 4 sa parehong rolyo.

22. Kumpletuhin ang pangkat ng mga kaganapan. Mga halimbawa.

Isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan - mga kaganapan A, B, C, D, ..., L, na itinuturing na tanging posible kung, bilang isang resulta ng bawat pagsubok, kahit isa sa mga ito ay tiyak na magaganap. Halimbawa: ang numero 1, numero 2, 3, 4, 5, 6 ay lilitaw sa dice.

23. Dalas ng kaganapan. Istatistikong kahulugan ng posibilidad.

Hayaang magsagawa ng n pagsubok, at ang kaganapan A ay nangyayari nang m beses. Ang m:n ratio na ito ay ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A.

Def. Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay isang pare-parehong numero na nauugnay sa isang naibigay na kaganapan, kung saan ang dalas ng paglitaw ng kaganapang ito ay nagbabago sa mahabang serye ng mga pagsubok.

Ang posibilidad ay kinakalkula bago ang eksperimento, at dalas pagkatapos nito.

24. Klasikong kahulugan ng posibilidad. Mga katangian ng posibilidad ng kaganapan.

Ang posibilidad ng isang kaganapan x ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapan A sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng magkapares na hindi magkatugma at natatanging posibleng mga resulta ng eksperimento. P(A) =

Mga katangian ng posibilidad ng kaganapan:

Para sa anumang kaganapan A 0<=m<=n

Hinahati ang bawat termino sa n, nakukuha namin para sa posibilidad ng anumang kaganapan A: 0<=Р(А) <=1

Kung m=0, imposible ang kaganapan: P(A)=0

Kung m=n, ang kaganapan ay maaasahan: P(A)=1

Kung m

25. Geometric na kahulugan ng posibilidad. Mga halimbawa.

Ang klasikal na kahulugan ng probabilidad ay nangangailangan ng pagsasaalang-alang ng isang may hangganang bilang ng mga elementarya na kinalabasan, at mga pantay na posible. Ngunit sa pagsasagawa ay madalas na may mga pagsubok kung saan ang bilang ng mga posibleng resulta ay walang hanggan.

ODA. Kung ang isang punto ay random na lumilitaw sa isang one-dimensional, two-dimensional o three-dimensional na rehiyon ng sukat na S (ang sukat ay ang haba, lawak o volume nito), kung gayon ang posibilidad ng paglitaw nito sa bahagi ng rehiyong ito ng sukat na S ay pantay. sa

kung saan ang S ay isang geometric na sukat na nagpapahayag ng kabuuang bilang lahat posible at pantay na posible kinalabasan ng pagsusulit na ito, at S i– isang panukalang-batas na nagpapahayag ng bilang ng mga resultang paborable sa kaganapan A.

Halimbawa 1. Ang isang bilog ng radius R ay inilalagay sa isang mas maliit na bilog ng radius r Hanapin ang posibilidad na ang isang punto na itinapon nang random sa mas malaking bilog ay mahuhulog din sa maliit na bilog.

Halimbawa 2. Hayaang maisama ang isang segment na may haba na l sa isang segment na may haba na L. Hanapin ang posibilidad ng kaganapan A "nahuhulog ang isang random na itinapon na punto sa isang segment na may haba na l."

Halimbawa 3. Ang isang punto ay random na pinili sa bilog. Ano ang posibilidad na ang distansya nito sa gitna ng bilog ay higit sa kalahati?

Halimbawa 4. Nagkasundo ang dalawang tao na magkita sa isang tiyak na lugar sa pagitan ng alas dos at alas tres ng hapon. Ang unang taong dumating ay naghihintay sa kausap ng 10 minuto at pagkatapos ay aalis. Ano ang posibilidad ng pagkikita ng mga taong ito kung ang bawat isa sa kanila ay makakarating anumang oras sa tinukoy na oras, anuman ang isa?

26. Mga elemento ng combinatorics: Placement, permutation, combinations.

1) Permutasyon ay tinatawag na pagkakasunud-sunod na itinatag sa isang may hangganan na hanay.

Ang bilang ng lahat ng iba't ibang permutasyon ay kinakalkula ng formula

2) Paglalagay mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m tinatawag na kahit ano maayos isang subset ng pangunahing set na naglalaman ng m elemento.

3) Kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m tinatawag na kahit ano magulo isang subset ng pangunahing set na naglalaman ng mga elemento.

Tinatawag ang differential equation na y" +a 0 (x)y=b(x)y n Ang equation ni Bernoulli.
Dahil sa n=0 isang linear equation ay nakuha, at sa n=1 - na may mga separable variable, ipinapalagay namin na n ≠ 0 at n ≠ 1. Hatiin ang magkabilang panig ng (1) sa y n. Pagkatapos, paglalagay ng , mayroon kaming . Ang pagpapalit ng ekspresyong ito, nakukuha natin , o, na parehong bagay, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Ito ay isang linear equation na alam natin kung paano lutasin.

Layunin ng serbisyo. Ang isang online na calculator ay maaaring gamitin upang suriin ang solusyon Bernoulli differential equation.

=

Halimbawa 1. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation na y" + 2xy = 2xy 3. Ito ang equation ni Bernoulli para sa n=3. Hinahati ang magkabilang panig ng equation sa y 3 na nakukuha natin. Gumawa ng pagbabago. Pagkatapos at samakatuwid ang equation ay muling isinulat bilang -z " + 4xz = 4x. Ang paglutas ng equation na ito sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, nakuha namin saan o, ano ang pareho, .

Halimbawa 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Hatiin sa y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Gumagawa kami ng kapalit:
z=1/y n-1 , ibig sabihin. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Nakukuha namin ang: -z" + z = -1 o z" ​​- z = 1

Halimbawa 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Solusyon.
a) Solusyon sa pamamagitan ng Bernoulli equation.
Ipakita natin ito sa anyong: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Ito ang equation ni Bernoulli para sa n=3. Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng y 3 ay makukuha natin: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Ginagawa namin ang kapalit: z=1/y 2. Pagkatapos z"=-2/y 3 at samakatuwid ang equation ay muling isinulat sa anyo : -xz"/2+2z=-x 5 e x. Ito ay isang non-homogeneous equation. Isaalang-alang ang katumbas na homogeneous equation: -xz"/2+2z=0
1. Paglutas nito, nakukuha natin ang: z"=4z/x

Pagsasama, nakukuha namin:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Naghahanap tayo ngayon ng solusyon sa orihinal na equation sa anyo: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x o C(x)" = 2e x . Pagsasama, nakukuha natin ang: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Mula sa kundisyong y(x)=C(x)y, nakukuha natin ang: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) o y = Cx 4 +2x 4 e x. Dahil z=1/y 2, nakukuha natin ang: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Ang equation ni Bernoulli ay isa sa pinakasikat nonlinear differential equation ng unang order. Ito ay nakasulat sa form

saan a(x) At b(x) ay tuluy-tuloy na mga pag-andar. Kung m= 0, pagkatapos ang equation ni Bernoulli ay magiging isang linear differential equation. Sa kaso kung kailan m= 1, ang equation ay nagiging isang separable equation. Sa pangkalahatan, kapag m≠ 0.1, ang equation ni Bernoulli ay binawasan sa isang linear differential equation gamit ang substitution

Bagong differential equation para sa function z(x) ay may anyo

at maaaring malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa pahina First-order linear differential equation.

BERNOULI PARAAN.

Ang equation na isinasaalang-alang ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Bernoulli's method. Upang gawin ito, naghahanap kami ng isang solusyon sa orihinal na equation sa anyo ng isang produkto ng dalawang function: kung saan ikaw, v- mga function mula sa x. I-differentiate: Palitan sa orihinal na equation (1): (2) Bilang v Kunin natin ang anumang di-zero na solusyon sa equation: (3) Ang equation (3) ay isang equation na may mga separable variable. Matapos naming mahanap ang partikular na solusyon nito v = v(x), palitan ito sa (2). Dahil natutugunan nito ang equation (3), ang expression sa panaklong ay nagiging zero. Nakukuha namin: Isa rin itong separable equation. Nahanap namin ang pangkalahatang solusyon nito, at kasama nito ang solusyon sa orihinal na equation y = uv.

64. Equation sa kabuuang pagkakaiba. Salik ng pagsasanib. Mga paraan ng solusyon

First order differential equation ng form

tinawag equation sa kabuuang pagkakaiba, kung ang kaliwang bahagi nito ay kumakatawan sa kabuuang pagkakaiba ng ilang function, i.e.

Teorama. Upang ang equation (1) ay maging isang equation sa kabuuang differentials, ito ay kinakailangan at sapat na sa ilang simpleng konektadong domain ng pagbabago ng mga variable ang kundisyon ay nasiyahan.

Ang pangkalahatang integral ng equation (1) ay may anyo o

Halimbawa 1. Lutasin ang differential equation.

Solusyon. Suriin natin na ang equation na ito ay isang kabuuang differential equation:

kaya ganun kondisyon (2) ay nasiyahan. Kaya, ang equation na ito ay isang equation sa kabuuang differentials at

samakatuwid, kung saan mayroon pa ring hindi natukoy na function.

Pagsasama, nakukuha namin . Ang bahagyang derivative ng nahanap na function ay dapat na katumbas ng, na nagbibigay mula sa kung saan kaya na Kaya,.

Pangkalahatang integral ng orihinal na differential equation.

Kapag nagsasama ng ilang differential equation, ang mga termino ay maaaring pagsama-samahin sa paraang madaling makuha ang mga kumbinasyong madaling maisama.

65. Ordinaryong differential linear equation ng mas mataas na mga order: homogenous at inhomogeneous. Linear differential operator, ang mga katangian nito (na may patunay).

Linear differential operator at mga katangian nito. Ang hanay ng mga function na mayroon sa pagitan ( a , b ) hindi kukulangin n derivatives, bumubuo ng isang linear na espasyo. Isaalang-alang ang operator L n (y ), na nagpapakita ng function y (x ), pagkakaroon ng mga derivatives, sa isang function na pagkakaroon k - n derivatives.

Ang first-order linear differential equation ay isang equation na linear na may kinalaman sa isang hindi kilalang function at ang derivative nito. parang

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kung saan ang p(x) at q(x) ay binibigyan ng mga function ng x, tuluy-tuloy sa rehiyon kung saan kailangang isama ang equation (1).

Kung q(x)\equiv0 , kung gayon ang equation (1) ay tinatawag linear homogenous. Ito ay isang separable equation at may pangkalahatang solusyon

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Ang pangkalahatang solusyon sa inhomogeneous equation ay matatagpuan paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, na binubuo sa katotohanan na ang solusyon sa equation (1) ay hinahanap sa anyo

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), kung saan ang C(x) ay isang bagong hindi kilalang function ng x.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation na y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Solusyon. Gamitin natin ang pare-parehong paraan ng pagkakaiba-iba. Isaalang-alang ang homogenous na equation na y"+2xy=0, na tumutugma sa inhomogeneous equation na ito. Ito ay isang equation na may mga separable variable. Ang pangkalahatang solusyon nito ay may anyo na y=Ce^(-x^2) .

Naghahanap kami ng isang pangkalahatang solusyon sa inhomogeneous equation sa anyong y=C(x)e^(-x^2), kung saan ang C(x) ay isang hindi kilalang function ng x. Ang pagpapalit, makuha natin ang C"(x)=2x, kung saan ang C(x)=x^2+C. Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay magiging y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , kung saan ang C - pare-pareho ng pagsasama.

Magkomento. Maaaring lumabas na ang differential equation ay linear sa x bilang isang function ng y. Ang normal na anyo ng naturang equation ay

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Halimbawa 2. Lutasin ang equation \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Solusyon. Ang equation na ito ay linear kung isasaalang-alang natin ang x bilang isang function ng y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Una naming lutasin ang kaukulang homogenous equation

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

na isang equation na may mga separable variable. Ang pangkalahatang solusyon nito ay may anyo x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa equation sa anyong x=C(y)e^(\sin(y)), kung saan ang C(y) ay isang hindi kilalang function ng y. Pagpapalit, nakukuha namin

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y o C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Mula dito, pagsasama ng mga bahagi, mayroon kami

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Kaya,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Ang pagpapalit ng equation na ito sa x=C(y)e^(\sin(y)) , nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation, at samakatuwid ay sa equation na ito:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Ang orihinal na equation ay maaari ding isama bilang mga sumusunod. Naniniwala kami

Y=u(x)v(x),

kung saan ang u(x) at v(x) ay mga hindi kilalang function ng x, ang isa sa mga ito, halimbawa v(x), ay maaaring piliin nang arbitraryo.

Ang pagpapalit ng y=u(x)v(x) sa , pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay nakukuha natin

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Ang pagtukoy sa v(x) mula sa kondisyong v"+pv=0, makikita natin mula sa vu"+(pv+v")u=q(x) ang function na u(x) at, dahil dito, ang solusyon y=uv ng ang equation \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Bilang v(x) maaari tayong kumuha ng anumang madalas na solusyon ng equation v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Halimbawa 3. Lutasin ang problemang Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Solusyon. Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa equation sa anyong y=u(x)v(x) ; mayroon tayong y"=u"v+uv". Ang pagpapalit ng expression para sa y at y" sa orihinal na equation, magkakaroon tayo ng

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) o x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Nahanap namin ang function na v=v(x) mula sa kundisyong x(x-1)v"+v=0. Pagkuha ng anumang partikular na solusyon ng huling equation, halimbawa v=\frac(x)(x-1) at palitan ito, makuha natin ang equation na u"=2x-1, kung saan makikita natin ang function na u(x)=x^2-x+C. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) kalooban

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), o y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Gamit ang paunang kondisyon y|_(x=2)=4, nakukuha natin ang equation para sa paghahanap ng C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, mula sa kung saan C=0 ; kaya ang solusyon sa nakasaad na problemang Cauchy ay ang function na y=x^2.

Halimbawa 4. Alam na mayroong ugnayan sa pagitan ng kasalukuyang i at electromotive force E sa isang circuit na may resistensya R at self-inductance L E=Ri+L\frac(di)(dt), kung saan ang R at L ay mga pare-pareho. Kung isasaalang-alang natin ang E isang function ng oras t, makakakuha tayo ng linear inhomogeneous equation para sa kasalukuyang lakas i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Hanapin ang kasalukuyang lakas i(t) para sa kaso kung kailan E=E_0=\text(const) at i(0)=I_0 .

Solusyon. Meron kami \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay may anyo i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Gamit ang paunang kondisyon (13), nakukuha natin mula sa C=I_0-\frac(E_0)(R), kaya ang nais na solusyon ay magiging

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Ipinapakita nito na sa t\to+\infty ang kasalukuyang lakas i(t) ay may posibilidad na pare-pareho ang halaga \frac(E_0)(R) .

Halimbawa 5. Isang pamilya C_\alpha ng integral curves ng linear inhomogeneous equation na y"+p(x)y=q(x) ang ibinigay.

Ipakita na ang mga tangent sa kaukulang mga punto sa mga kurba C_\alpha na tinukoy ng linear equation ay nagsalubong sa isang punto (Fig. 13).

Solusyon. Isaalang-alang ang padaplis sa anumang kurba C_\alpha sa puntong M(x,y) Ang equation ng tangent sa puntong M(x,y) ay may anyo

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kung saan ang \xi,\eta ay ang kasalukuyang mga coordinate ng tangent point.

Sa pamamagitan ng kahulugan, sa kaukulang mga punto x ay pare-pareho at y ay variable. Ang pagkuha ng anumang dalawang tangent sa mga linyang C_\alpha sa kaukulang mga punto, para sa mga coordinate ng punto S ng kanilang intersection, nakukuha namin

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Ipinapakita nito na ang lahat ng mga tangent sa mga kurba C_\alpha sa kaukulang mga punto ( x ay naayos) ay bumalandra sa parehong punto

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Inaalis ang argumentong x sa system, nakukuha natin ang equation ng locus ng mga puntos S\colon f(\xi,\eta)=0.

Halimbawa 6. Hanapin ang solusyon sa equation y"-y=\cos(x)-\sin(x), nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon: y ay limitado sa y\to+\infty .

Solusyon. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay y=Ce^x+\sin(x) . Ang anumang solusyon sa equation na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa C\ne0 ay magiging unbounded, dahil para sa x\to+\infty ang function na \sin(x) ay bounded at e^x\to+\infty . Kasunod nito na ang equation na ito ay may natatanging solusyon y=\sin(x) , na nakatali sa x\to+\infty , na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon sa C=0 .

Ang equation ni Bernoulli

Bernoulli differential equation parang

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kung saan ang n\ne0;1 (para sa n=0 at n=1 ang equation na ito ay linear).

Paggamit ng variable replacement z=\frac(1)(y^(n-1)) Ang equation ni Bernoulli ay binawasan sa isang linear na equation at isinama bilang isang linear.

Halimbawa 7. Lutasin ang equation ni Bernoulli na y"-xy=-xy^3.

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Paggawa ng variable na pagbabago \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", saan \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Pagkatapos ng pagpapalit, ang huling equation ay nagiging linear equation

-\frac(z")(2)-xz=-x o z"+2xz=2x, ang pangkalahatang solusyon kung saan ay z=1+Ce^(-x^2).

Mula dito nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng equation na ito

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) o y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Magkomento. Ang equation ni Bernoulli ay maaari ding isama sa pamamagitan ng paraan ng variation ng isang constant, tulad ng isang linear equation, at gamit ang substitution na y(x)=u(x)v(x) .

Halimbawa 8. Lutasin ang equation ni Bernoulli na xy"+y=y^2\ln(x). .

Solusyon. Ilapat natin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation na xy"+y=0 ay may anyong y=\frac(C)(x). Hinahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng equation sa anyong y=\frac(C(x)) (x) , kung saan ang C(x) - bagong hindi kilalang function Ang pagpapalit sa orihinal na equation, mayroon tayo

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Upang mahanap ang function na C(x), kumuha tayo ng equation na may mga separable variable, kung saan, sa pamamagitan ng paghihiwalay ng mga variable at pagsasama, makikita natin

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Kaya, ang pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Ang ilang mga nonlinear na first-order equation ay maaaring gawing linear equation o Bernoulli equation gamit ang matagumpay na nahanap na pagbabago ng mga variable.

Halimbawa 9. Lutasin ang equation y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa anyo y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2\cos^2\frac(y)(2), nakukuha namin \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Pagpapalit \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) binabawasan ang equation na ito sa linear \frac(dz)(dx)+z=-x, ang pangkalahatang solusyon kung saan ay z=1-x+Ce^(-x) .

Ang pagpapalit ng z sa pamamagitan ng pagpapahayag nito sa mga tuntunin ng y, nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng equation na ito \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Sa ilang mga equation, ang gustong function na y(x) ay maaaring nasa ilalim ng integral sign. Sa mga kasong ito, minsan posible na bawasan ang equation na ito sa isang differential equation sa pamamagitan ng differentiation.

Halimbawa 10. Lutasin ang equation x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Solusyon. Ang pagkakaiba sa magkabilang panig ng equation na ito na may paggalang sa x, nakukuha natin

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) o Pinagmulan ng impormasyon