Intensity ng daloy ng serbisyo:
1. Tindi ng pagkarga.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Ang intensity ng pag-load ρ=2 ay nagpapakita ng antas ng pagkakapare-pareho ng mga daloy ng input at output ng mga kahilingan ng channel ng serbisyo at tinutukoy ang katatagan ng system nakapila.
3. Probability na ang channel ay libre(proporsyon ng downtime ng channel).
Dahil dito, 12% ng channel ay magiging idle sa loob ng isang oras, ang idle time ay katumbas ng t pr = 7.1 min.
Ang posibilidad na ang serbisyo ay:
1 channel na abala:
p 1 = ρ 1/1! p 0 = 2 1/1! 0.12 = 0.24
2 channel ang abala:
p 2 = ρ 2/2! p 0 = 2 2/2! 0.12 = 0.24
3 channel ang abala:
p 3 = ρ 3/3! p 0 = 2 3/3! 0.12 = 0.16
4. Proporsyon ng mga aplikasyon na tinanggihan.
Nangangahulugan ito na 3% ng mga natanggap na aplikasyon ay hindi tinatanggap para sa serbisyo.
5. Probability ng pagseserbisyo sa mga papasok na kahilingan.
Sa mga system na may mga pagkabigo, ang mga kaganapan sa pagkabigo at pagpapanatili ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, samakatuwid:
p bukas + p obs = 1
Relatibong throughput: Q = p obs.
p obs = 1 - p open = 1 - 0.0311 = 0.97
Dahil dito, 97% ng mga natanggap na aplikasyon ay maseserbisyuhan. Ang isang katanggap-tanggap na antas ng serbisyo ay dapat na higit sa 90%.
6. Average na bilang ng mga channel na inookupahan ng serbisyo.
n з = ρ p obs = 2 0.97 = 1.9 channel
Average na bilang ng mga idle channel.
n pr = n - n z = 3 - 1.9 = 1.1 channel
7. Rate ng occupancy ng channel para sa serbisyo.
Dahil dito, 60% abala ang system sa maintenance.
8. Ganap na throughput.
A = p obs λ = 0.97 120 = 116.3 kahilingan/oras.
.
t pr = p bukas t obs = 0.0311 0.0166 = 0 oras.
10. Average na bilang ng mga application sa pila.
mga yunit
(average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon na ihain sa pila). 
oras.
12. Average na bilang ng mga aplikasyon na inihatid.
L obs = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 unit.
13. Average na bilang ng mga application sa system.
L CMO = L och + L obs = 0.51 + 1.94 = 2.45 unit.
13. Karaniwang oras na nananatili ang isang aplikasyon sa CMO.
oras.
Bilang ng mga aplikasyong tinanggihan sa loob ng isang oras: λ p 1 = 4 na aplikasyon kada oras.
Nominal na produktibidad ng QS: 3 / 0.0166 = 181 application kada oras.
Aktwal na pagganap ng SMO: 116.3 / 181 = 64% ng nominal na kapasidad.
Gagamitin pa namin ang sumusunod na notasyon para sa average na oras ng paghihintay sa pila ng mga kahilingan mula sa klase ng priyoridad p - Wp, at ang average na oras na ginugol sa system para sa mga kinakailangan ng klase na ito - Tp:
Magtutuon kami sa mga system na may relatibong priyoridad. Isaalang-alang natin ang proseso mula sa sandaling dumating ang isang partikular na kahilingan mula sa priority class p. Tatawagin pa naming may label ang pangangailangang ito. Ang unang bahagi ng latency para sa isang naka-tag na kahilingan ay nauugnay sa kahilingang napunta ito sa server. Ang bahaging ito ay katumbas ng natitirang oras ng serbisyo ng isa pang kahilingan. Ipahiwatig at gamitin natin ang notasyong ito nang higit pa, ang average na pagkaantala ng isang may label na kinakailangan na nauugnay sa pagkakaroon ng isa pang kinakailangan sa serbisyo W 0. Pag-alam sa distribusyon ng oras sa pagitan ng mga katabing pagdating mga kinakailangan sa pag-input para sa bawat klase ng priyoridad, maaari mong palaging kalkulahin ang halagang ito. Sa ilalim ng aming pagpapalagay ng batas ng Poisson para sa daloy ng mga aplikasyon ng bawat klase, maaari kaming sumulat
.
Ang pangalawang bahagi ng oras ng paghihintay para sa isang naka-tag na kinakailangan ay tinutukoy ng katotohanan na bago ang naka-tag na kinakailangan, ang iba pang mga kahilingan ay sineserbisyuhan na ang na-tag na kinakailangan ay nasa pila. Ipahiwatig pa natin ang bilang ng mga kinakailangan mula sa klase i, na nakakuha ng minarkahang kinakailangan sa pila (mula sa klase p) at kung saan inihain bago nito N ip. Tutukuyin ng average ng numerong ito ang halaga ng average ng bahagi ng pagkaantala na ito
Ang ikatlong bahagi ng pagkaantala ay nauugnay sa mga kahilingang dumating pagkatapos dumating ang naka-tag na kahilingan, ngunit nakatanggap ng serbisyo bago ito. Tukuyin natin ang bilang ng mga naturang pangangailangan M ip. Ang average na halaga ng bahagi ng pagkaantala na ito ay matatagpuan sa parehong paraan at ay
Idinagdag ang lahat ng tatlong bahagi, nalaman namin na ang average na oras ng paghihintay sa pila para sa isang naka-tag na kahilingan ay tinutukoy ng formula
Malinaw na, anuman ang disiplina sa serbisyo, ang bilang ng mga kinakailangan N ip At M ip sa system ay hindi maaaring maging arbitrary, kaya mayroong isang tiyak na hanay ng mga relasyon na magkakaugnay na pagkaantala para sa bawat klase ng priyoridad. Ang kahalagahan ng mga ugnayang ito para sa QS ay nagbibigay-daan sa amin na tawagin silang MGA BATAS NG KONSERBISYO. Ang batayan ng mga batas sa konserbasyon para sa mga pagkaantala ay ang katotohanan na ang hindi natapos na trabaho sa anumang QS sa anumang abalang agwat ng oras ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng serbisyo kung ang system ay konserbatibo (ang mga kinakailangan ay hindi nawawala sa loob ng system at ang server ay hindi idle kapag ang walang laman ang pila).
Ang distribusyon ng mga oras ng paghihintay ay nakadepende nang malaki sa pagkakasunud-sunod ng serbisyo, ngunit kung ang isang disiplina sa serbisyo ay pipili ng mga kinakailangan anuman ang kanilang oras ng serbisyo (o anumang sukat na nakasalalay sa oras ng serbisyo), kung gayon ang pamamahagi ng bilang ng mga hinihingi at oras ng paghihintay sa ang sistema ay invariant na may paggalang sa pagkakasunud-sunod ng serbisyo.
Para sa isang QS na may uri na M/G/1, maipapakita na para sa anumang disiplina sa serbisyo ang sumusunod na mahalagang pagkakapantay-pantay ay dapat matugunan:
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang timbang na kabuuan ng mga oras ng paghihintay ay hindi kailanman nagbabago, gaano man kakomplikado o katalino ang disiplina sa serbisyo. Kung mababawasan ang latency para sa ilang kinakailangan, tataas ito kaagad para sa iba.
Para sa karagdagang karaniwang sistema na may arbitrary na pamamahagi ng oras ng pagdating ng mga kinakailangan G/G/1, maaaring isulat ang batas sa konserbasyon sa anyo
.
Ang pangkalahatang kahulugan ng relasyong ito ay nananatiling pare-pareho ang timbang na kabuuan ng mga oras ng pagkaantala. Sa kanang bahagi lamang ay mayroong pagkakaiba sa pagitan ng karaniwang gawaing isinasagawa at ang natitirang oras ng serbisyo. Kung ipagpalagay natin ang katangian ng Poisson ng daloy ng pag-input, kung gayon ang expression para sa kasalukuyang gawain ay maaaring isulat bilang
Sa pagpapalit nito sa nakaraang expression, agad naming makuha ang dating ibinigay na batas sa konserbasyon para sa M/G/1 type na QS.
Isaalang-alang natin ngayon ang pagkalkula ng average na oras ng paghihintay para sa isang QS na may serbisyo sa pagkakasunud-sunod ng priyoridad na tinukoy ng priority function.
Ipinapakita ng Figure 1 ang isang diagram ng paggana ng isang QS na may ganoong disiplina sa serbisyo: ang isang papasok na kahilingan ay nakapila sa kaliwa ng isang kahilingan na may katumbas o mas mataas na priyoridad.
kanin. 1 CMO na may priyoridad na serbisyo.
Gamitin natin ang formula para sa Wp. Batay sa mekanismo ng paggana, maaari tayong magsulat kaagad
Lahat ng mga kahilingang mas mataas kaysa sa minarkahang priyoridad ay ihahatid nang mas maaga. Mula sa formula ni Little, ang bilang ng mga kinakailangan sa klase i sa pila ay magiging katumbas ng:
Ang mga kahilingan ng mga mas mataas na priyoridad na klase na papasok sa system pagkatapos ng isang naka-tag na kahilingan habang ito ay nasa pila ay sisilbihan din bago ito. Dahil ang naka-tag na kinakailangan ay nasa queue sa karaniwan Wp segundo, ang bilang ng mga naturang kahilingan ay magiging katumbas ng
Direkta mula sa formula (*) nakukuha namin:
Ang sistemang ito ng mga equation ay maaaring malutas sa recursively simula sa W 1, W 2 atbp.
Ang resultang formula ay nagbibigay-daan sa iyo na kalkulahin ang kalidad ng mga katangian ng serbisyo para sa lahat ng mga priyoridad na klase. Sa Figure 7.2. ipinapakita kung paano nagbabago ang normalized na halaga ng oras ng paghihintay sa queue para sa isang QS na may limang priyoridad na klase na may pantay na intensity ng daloy ng mga kahilingan para sa bawat priority class at pantay na average na oras ng serbisyo para sa mga kahilingan ng bawat klase (ang mas mababang figure ay nagdedetalye ng mga curves para sa mababang mga halaga ng pag-load).
Figure 2. Serbisyo sa pagkakasunud-sunod ng priyoridad sa kaso ng mga kamag-anak na priyoridad (P=5, l P = l/5, ).
Ang isang espesyal na gawain ay upang matukoy ang mga batas ng pamamahagi ng oras ng paghihintay.
Isaalang-alang natin ngayon ang isang sistemang may ganap na priyoridad at serbisyo sa pagkakasunud-sunod ng priyoridad na may karagdagang serbisyo. Gumamit tayo ng isang diskarte na ganap na katulad ng tinalakay kanina. Ang average na pagkaantala sa system ng isang naka-tag na kinakailangan ay binubuo rin ng tatlong bahagi: ang unang bahagi ay ang average na oras ng serbisyo, ang pangalawa ay ang pagkaantala dahil sa paglilingkod sa mga kahilingang iyon na may katumbas o mas mataas na priyoridad na nakita ng naka-tag na kinakailangan sa system. Ang ikatlong bahagi ng average na latency ng isang naka-tag na kinakailangan ay ang pagkaantala dahil sa anumang mga kahilingan na pumasok sa system bago umalis ang naka-tag na kinakailangan at may mas mataas na priyoridad. Inilalarawan ang lahat ng tatlong bahaging ito ng kabuuang oras na ginugol sa system, nakukuha namin
.
Ang isang napaka-kagiliw-giliw na gawain ay ang pagpili ng mga priyoridad para sa mga aplikasyon. iba't ibang klase. Dahil ang batas sa pag-iingat, ang pag-optimize ay may katuturan lamang kapag isinasaalang-alang ang ilang karagdagang katangian ng bawat klase ng mga kinakailangan. Ipagpalagay natin na ang bawat segundo ng pagkaantala ng isang aplikasyon ng priority class p ay maaaring matantya sa ilang halaga C p. Pagkatapos ang average na halaga ng isang segundo ng pagkaantala para sa system ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng average na bilang ng mga kahilingan ng bawat klase na nasa system.
Ating lutasin ang problema sa paghahanap ng disiplina sa serbisyo na may mga kamag-anak na priyoridad para sa sistema ng M/G/1 na nagpapaliit sa average na gastos sa pagkaantala C. Hayaan na P mga priyoridad na klase ng mga kahilingan na may ibinigay na rate ng pagdating at average na oras ng serbisyo. Lumipat tayo sa kaliwang bahagi isang pare-parehong kabuuan at ipahayag kanang bahagi sa pamamagitan ng mga kilalang parameter
Ang gawain ay i-minimize ang kabuuan sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pagpili ng naaangkop na disiplina sa serbisyo, i.e. pagpili ng index sequence p.
Tukuyin natin
Sa notasyong ito, ganito ang hitsura ng problema: kailangan nating bawasan ang kabuuan ng mga produktong napapailalim sa
Kondisyon para sa kalayaan ng kabuuan ng mga pag-andar g p ang pagpili ng disiplina sa serbisyo ay tinutukoy ng batas ng konserbasyon. Sa madaling salita, ang problema ay upang mabawasan ang lugar sa ilalim ng curve ng produkto ng dalawang function, sa kondisyon na ang lugar sa ilalim ng curve ng isa sa mga ito ay pare-pareho.
Ang solusyon ay i-order muna ang pagkakasunud-sunod ng mga halaga f p: 
.
At pagkatapos ay pipili kami para sa bawat isa f p Kahulugan nito g p, upang mabawasan ang kabuuan ng kanilang mga produkto. Ito ay intuitively malinaw na pinakamainam na diskarte ang pagpili ay binubuo ng pagpili pinakamababang halaga g p para sa pinakadakila f p, pagkatapos ay para sa natitirang mga halaga dapat kang magpatuloy sa parehong paraan. Dahil ang g p=W p r p, pagkatapos ay bumaba ang minimization sa pagliit ng average na mga halaga ng pagkaantala. Kaya, ang solusyon sa problema sa pag-optimize na isinasaalang-alang ay sa lahat ng posibleng mga disiplina sa serbisyo na may kamag-anak na priyoridad, ang pinakamababang average na gastos ay ibinibigay ng isang disiplina na may mga iniutos na priyoridad alinsunod sa mga hindi pagkakapantay-pantay.
.
Ang isang sistema ng pagpila ay tinatawag na isang sistema ng paghihintay kung ang isang kahilingan na nakikitang abala ang lahat ng mga channel ay napunta sa isang pila at naghihintay hanggang sa ang ilang mga channel ay maging libre.
Kung ang oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila ay walang limitasyon, kung gayon ang sistema ay tinatawag na "purong waiting system." Kung ito ay nalilimitahan ng ilang mga kundisyon, ang sistema ay tinatawag na "mixed type system." Ito ay isang intermediate na kaso sa pagitan ng isang purong sistema na may mga pagkabigo at isang purong sistema na may paghihintay.
Para sa pagsasanay, ito ay halo-halong uri ng mga sistema na pinaka-interesante.
Ang mga limitasyon na inilagay sa paghihintay ay maaaring iba't ibang uri. Madalas na nangyayari na ang isang limitasyon ay ipinapataw sa oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila; ito ay pinaniniwalaan na ito ay limitado mula sa itaas ng ilang panahon, na maaaring mahigpit na tinukoy o random. Sa kasong ito, limitado lamang ang panahon ng paghihintay sa linya, at ang serbisyo na nagsimula ay nakumpleto, gaano man katagal ang paghihintay (halimbawa, isang kliyente sa isang tagapag-ayos ng buhok, na nakaupo sa isang upuan, kadalasan ay hindi umalis hanggang matapos ang serbisyo). Sa ibang mga problema, mas natural na magpataw ng limitasyon hindi sa oras ng paghihintay sa pila, ngunit sa kabuuang oras na nananatili ang kahilingan sa system (halimbawa, ang isang aerial target ay maaaring manatili sa firing zone sa loob lamang ng limitadong oras. at iniiwan ito nang hindi alintana kung ang paghihimay ay natapos na o hindi). Sa wakas, maaari nating isaalang-alang ang gayong magkahalong sistema (ito ay pinakamalapit sa uri ng mga negosyong pangkalakal na nagbebenta ng mga hindi mahahalagang bagay), kapag ang isang aplikasyon ay nakapasok lamang sa pila kung ang haba ng pila ay hindi masyadong mahaba. Dito, ipinapataw ang limitasyon sa bilang ng mga aplikasyon sa pila.
Sa mga sistema ng paghihintay, ang tinatawag na "disiplina sa pagpila" ay gumaganap ng isang mahalagang papel. Ang mga nakabinbing aplikasyon ay maaaring tawagan para sa serbisyo alinman sa first-come, first-served basis (ang mga maagang pagdating ay unang ihain) o sa random, hindi organisadong paraan. May mga queuing system na "may mga kalamangan", kung saan ang ilang mga kahilingan ay mas gusto kaysa sa iba ("mga heneral at koronel sa labas ng turn").
Ang bawat uri ng sistema ng paghihintay ay may sariling katangian at teoryang matematika. Marami sa kanila ang inilarawan, halimbawa, sa aklat ni V.V.V.
Dito ay tututuon lamang natin ang pinakasimpleng kaso ng isang halo-halong sistema, na isang natural na paglalahat ng problema sa Erlang para sa isang sistemang may mga pagkabigo. Para sa kasong ito, kukuha tayo ng mga differential equation na katulad ng mga equation at formula ni Erlang para sa mga probabilidad ng mga estado sa steady state na katulad ng mga formula ni Erlang.
Isaalang-alang natin ang isang mixed queuing system na may mga channel sa sumusunod na mga kondisyon. Ang sistema input ay tumatanggap ng isang simpleng daloy ng mga kahilingan na may density . Ang oras ng serbisyo para sa isang kahilingan ay nagpapahiwatig, kasama ang parameter. Ang isang kahilingan na nakikitang abala ang lahat ng mga channel ay inilalagay sa isang pila at naghihintay ng serbisyo; ang oras ng paghihintay ay limitado sa isang tiyak na panahon; Kung ang aplikasyon ay hindi tinanggap para sa serbisyo bago matapos ang panahong ito, aalis ito sa pila at mananatiling hindi naihatid. Ang panahon ng paghihintay ay ituturing na random at ipapamahagi ayon sa exponential law
kung saan ang parameter ay ang kabaligtaran ng average na oras ng paghihintay:
; 
.
Ang parameter ay ganap na katulad sa mga parameter ng parehong daloy ng kahilingan at "daloy ng paglabas." Maaari itong bigyang kahulugan bilang density ng "daloy ng mga pag-alis" ng application na nakatayo sa pila. Sa katunayan, isipin natin ang isang application na walang ginagawa kundi ang sumali sa pila at maghintay dito hanggang sa matapos ang panahon ng paghihintay, pagkatapos nito ay umalis ito at agad na sumama muli sa pila. Pagkatapos ang "daloy ng mga pag-alis" ng naturang aplikasyon mula sa pila ay magkakaroon ng density na .
Malinaw, kapag ang halo-halong uri ng sistema ay nagiging isang purong sistema na may mga pagkabigo; kapag ito ay naging isang purong sistema na may paghihintay.
Tandaan na sa isang exponential distribution law para sa oras ng paghihintay, ang kapasidad ng system ay hindi nakasalalay sa kung ang mga application ay ihahatid sa isang queue o sa isang random na pagkakasunud-sunod: para sa bawat aplikasyon, ang batas sa pamamahagi para sa natitirang oras ng paghihintay ay hindi nakasalalay sa kung gaano katagal ang application ay nasa pila na.
Salamat sa pagpapalagay ng kalikasan ng Poisson ng lahat ng daloy ng mga kaganapan na humahantong sa mga pagbabago sa mga estado ng system, ang prosesong magaganap dito ay magiging Markovian. Sumulat tayo ng mga equation para sa mga probabilidad ng mga estado ng system. Upang gawin ito, una sa lahat, inilista namin ang mga estadong ito. Bibilangin namin ang mga ito hindi sa bilang ng mga sinasakop na channel, ngunit sa bilang ng mga application na nauugnay sa system. Tatawagan namin ang isang kahilingan na "na nauugnay sa system" kung ito ay nasa kalagayan ng pagpapanatili o naghihintay sa linya. Ang mga posibleng estado ng system ay:
Walang channel na abala (walang pila),
Eksaktong isang channel ang inookupahan (walang pila),
Eksakto ang mga channel na inookupahan (walang pila),
Lahat ng channel ay abala (walang pila),
Ang lahat ng mga channel ay abala, isang application ang nasa pila,
Ang lahat ng mga channel ay abala, ang mga application ay nasa pila,
Ang bilang ng mga application na nakatayo sa queue sa aming mga kundisyon ay maaaring kasinglaki ng ninanais. Kaya, ang sistema ay may isang walang katapusan (kahit na mabibilang) na hanay ng mga estado. Alinsunod dito, ang bilang ng mga naglalarawan dito differential equation magiging walang katapusan din.
Malinaw, ang mga unang differential equation ay hindi mag-iiba sa anumang paraan mula sa kaukulang Erlang equation:
Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga bagong equation at ng Erlang equation ay magsisimula sa . Sa katunayan, ang isang sistema na may mga pagkabigo ay maaari lamang lumipat sa estado mula sa estado; Tulad ng para sa sistema ng paghihintay, maaari itong pumunta sa estado hindi lamang mula sa , kundi pati na rin mula sa (lahat ng mga channel ay abala, isang kahilingan ang nasa pila).
Gumawa tayo ng differential equation para sa . Ayusin natin ang sandali at hanapin ang posibilidad na ang sistema ay nasa estado sa ngayon. Magagawa ito sa tatlong paraan:
1) sa sandaling nasa estado na ang system, ngunit sa panahong hindi ito lumabas dito (walang isang kahilingan ang dumating at wala sa mga channel ang naging libre);
2) sa sandaling ang sistema ay nasa estado, at sa paglipas ng panahon ay lumipat ito sa estado (isang kahilingan ang dumating);
3) sa sandaling ang system ay nasa estado (lahat ng mga channel ay abala, isang kahilingan ang nasa pila), at sa oras na napunta ito (alinman sa isang channel ay naging libre at ang kahilingan na nakatayo sa queue ay sumakop dito, o ang kahilingan na nakatayo sa pila na naiwan dahil sa pagtatapos ng panahon) .
Kalkulahin natin ngayon, para sa anumang naibigay na sandali, ang posibilidad na sa sandaling ito ang lahat ng mga channel ay magiging abala at eksakto ang bilang ng mga aplikasyon ay nasa pila. Maaaring maganap muli ang kaganapang ito sa tatlong paraan:
1) sa sandaling nasa estado na ang system, at sa panahong ito ay hindi nagbago ang estado na ito (nangangahulugan ito na walang isang application ang dumating, walang isang drop ang inilabas at wala ni isa sa mga application na nakatayo sa queue kaliwa);
2) sa sandaling nasa estado ang system, at sa paglipas ng panahon ay lumipat ito sa estado (i.e., dumating ang isang kahilingan);
3) sa sandaling nasa estado ang system, at sa oras na lumipat ito sa estado (para dito, dapat maging libre ang alinman sa mga channel, at pagkatapos ay kukuha ito ng isa sa mga application na nakatayo sa pila, o isa ng mga application na nakatayo sa pila ay dapat umalis dahil sa pagtatapos ng panahon ).
Kaya naman:
Kaya, nakuha namin ang sistema para sa mga probabilidad ng estado walang katapusang bilang differential equation:
(19.10.1)
Ang mga equation (19.10.1) ay isang natural na generalisasyon ng mga equation ng Erlang sa kaso ng isang mixed-type na sistema na may limitadong oras ng paghihintay. Ang mga parameter sa mga equation na ito ay maaaring maging pare-pareho o variable. Kapag isinasama ang system (19.10.1), kinakailangang isaalang-alang na bagaman sa teoryang ang bilang ng mga posibleng estado ng system ay walang katapusan, sa pagsasagawa ang mga probabilidad ay nagiging bale-wala habang tumataas ang mga ito, at ang mga kaukulang equation ay maaaring itapon.
Kumuha tayo ng mga formula na katulad ng mga formula ni Erlang para sa mga probabilidad ng mga estado ng system sa ilalim ng steady-state service mode (sa ). Mula sa mga equation (19.10.1), kung ipagpalagay na ang lahat ng mga constant at lahat ng mga derivative ay katumbas ng zero, nakuha namin ang system algebraic equation:
(19.10.2)
Kailangan mong magdagdag ng kundisyon sa kanila:
Maghanap tayo ng solusyon sa system (19.10.2).
Upang gawin ito, ilalapat namin ang parehong pamamaraan na ginamit namin sa kaso ng isang system na may mga pagkabigo: lutasin natin ang unang equation nang medyo at palitan ito sa pangalawa, atbp. Para sa anumang , tulad ng sa kaso ng isang system na may mga pagkabigo, makuha namin:
Lumipat tayo sa mga equation para sa 
. Sa parehong paraan nakukuha namin:
,
,
at sa pangkalahatan para sa alinman
. (19.10.5)
Ang parehong mga formula (19.10.4) at (19.10.5) ay may kasamang probabilidad bilang isang salik. Alamin natin ito mula sa kundisyon (19.10.3). Ang pagpapalit ng mga expression (19.10.4) at (19.10.5) para sa at papunta dito, makuha namin ang:
,
. (19.10.6)
Ibahin natin ang mga expression (19.10.4), (19.10.5) at (19.10.6), na nagpapakilala sa mga "nabawasang" densidad sa mga ito sa halip na mga densidad:
(19.10.7)
Ang mga parameter at express, ayon sa pagkakabanggit, ang average na bilang ng mga application at ang average na bilang ng mga pag-alis ng isang application na nakatayo sa queue sa bawat average na oras ng serbisyo para sa isang application.
Sa bagong notasyon, ang mga formula (19.10.4), (19.10.5) at (19.10.6) ay kukuha ng form:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Ang pagpapalit ng (19.10.10) sa (19.10.8) at (19.10.9), nakukuha namin ang mga huling expression para sa mga probabilidad ng mga estado ng system:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Dahil alam natin ang mga probabilidad ng lahat ng estado ng system, madali nating matutukoy ang iba pang mga katangian ng interes sa atin, lalo na, ang posibilidad na ang isang kahilingan ay iwan ang system na hindi naihatid. Tukuyin natin ito mula sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang: sa isang steady na estado, ang posibilidad na ang isang application ay umalis sa system na hindi naihatid ay hindi hihigit sa ratio ng average na bilang ng mga application na umaalis sa pila bawat yunit ng oras sa average na bilang ng mga application na dumarating. bawat yunit ng oras. Hanapin natin ang average na bilang ng mga application na umaalis sa pila kada yunit ng oras. Upang gawin ito, kinakalkula muna namin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga application sa queue:
. (19.10.13)
Upang makakuha ng , kailangan mong i-multiply sa average na "density of departures" ng isang application at hatiin sa average na density ng mga application, i.e. multiply sa coefficient
Pag-aralan natin ang pagpapatakbo ng isang n-channel (n > 1) QS na may paghihintay, ang input nito ay tumatanggap ng pinakasimpleng daloy ng mga kahilingan P input may intensity. Ang daloy ng serbisyo ng bawat channel ay ipinapalagay din na ang pinakasimpleng may intensity µ. Walang mga paghihigpit sa haba ng pila, ngunit ang oras ng paghihintay para sa bawat aplikasyon sa pila ay limitado ng random na panahon T malamig na may average na halaga, pagkatapos nito ay iniiwan ng kahilingan ang system na hindi naihatid. agwat ng oras T malamig ay isang tuluy-tuloy na random na variable na maaaring tumagal ng anumang positibong halaga at inaasahang halaga alin.
Kung ang daloy na ito ay Poisson, kung gayon ang prosesong magaganap sa QS ay magiging Markovian.
Ang ganitong mga sistema ay madalas na nakatagpo sa pagsasanay. Ang mga ito ay tinatawag na "sabik" na mga sistema ng pag-bid.
Bilangin natin ang mga estado ng QS ayon sa bilang ng mga aplikasyon sa system, parehong nasa ilalim ng serbisyo at nasa pila: S k (k = 0.1,…n) - k mga aplikasyon sa ilalim ng serbisyo (k abala ang mga channel, walang pila), S n+r (r = 1,2,…) - P mga aplikasyon sa ilalim ng serbisyo (lahat P abala ang mga channel) at r mga application sa pila.
Kaya, ang isang QS ay maaaring nasa isa sa isang walang katapusang bilang ng mga estado.
Ang may label na graph ng estado ay ipinapakita sa Fig. 1.
kanin. 1.
Ang QS ay gumagalaw mula sa estado patungo sa estado mula kaliwa hanggang kanan sa ilalim ng impluwensya ng parehong papasok na daloy ng mga aplikasyon P input may intensity. Dahil dito, ang probability density ng mga transition na ito
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Ang paglipat ng QS mula sa estado nang walang pila S k , k = 1,…,n, sa estado na katabi ng kaliwa S k-1 , (k = 1,…,n)(kung saan hindi magkakaroon din ng pila) ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng kabuuang daloy na binubuo ng k mga daloy ng serbisyo ng mga abalang channel, ang intensity nito, na kung saan ay ang kabuuan ng mga intensity ng mga summed na daloy ng serbisyo, ay katumbas ng kµ. Samakatuwid, sa ilalim ng mga arrow sa kaliwa mula sa state s n hanggang state s 0, ang mga densidad ng posibilidad ng paglipat ay ipinahiwatig
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
Sa system sa isang estado na may pila S n+r , r = 1,2,…, ang kabuuang daloy ay may bisa - ang resulta ng superposisyon ng n daloy ng serbisyo at r mga daloy ng pangangalaga. Samakatuwid, ang intensity ng kabuuang daloy ay katumbas ng kabuuan ng intensity ng mga daloy ng bahagi nµ+rш. Ang kabuuang daloy na ito ay bumubuo ng paglipat ng QS mula kanan pakaliwa mula sa estado S n+r ,(r = 1,2,…) sa average S n+r-1 ,(r = 1,2,…) at sa gayon,
k,k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)
Kaya, ang posibilidad na densidad ng mga paglipat ng system mula sa kanan papuntang kaliwa, na isinasaalang-alang (2) at (3), ay maaaring isulat sa pinagsamang anyo
Ang istraktura ng graph ay nagmumungkahi na ang prosesong nagaganap sa QS ay isang proseso ng kamatayan at pagpaparami.
I-substitute natin ang (1) at (4) para sa k=1,…,n+m sa formula
Isaalang-alang natin ang isang halaga na matatawag na pinababang intensity ng daloy ng mga pag-alis, at nagpapakita ng average na bilang ng mga pag-alis mula sa pila ng mga hindi naihatid na aplikasyon para sa average na oras ng paglilingkod sa isang aplikasyon. Ang pagpapalit sa (5) ay makukuha natin:
Dahil sa QS na isinasaalang-alang walang mga paghihigpit sa haba ng pila, ang aplikasyon na natanggap sa papasok na daloy ay tatanggapin; sa system, i.e. Ang aplikasyon ay hindi tinatanggihan ng system. Samakatuwid, para sa QS na may "impatient" na mga aplikasyon, ang posibilidad na matanggap sa system ay p sist =1, at ang posibilidad ng pagtanggi na matanggap sa system p bukas =0 . Ang konsepto ng "pagkabigong tanggapin sa system" ay hindi dapat malito sa konsepto ng "pagkait ng serbisyo", dahil, dahil sa "inip," hindi lahat ng aplikasyon na natanggap (tinanggap) sa system ay maseserbisyuhan. Kaya, makatuwirang pag-usapan ang posibilidad ng pag-alis ng isang application sa pila p xy at ang posibilidad na maihatid ang aplikasyon, p tungkol sa. Kasabay nito, ang posibilidad p tungkol sa kumakatawan sa relatibong throughput Q At p xy =1- p tungkol sa .
Kalkulahin natin ang average na bilang ng mga application sa pila. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang discrete random variable N napakahusay kumakatawan sa bilang ng mga aplikasyon sa pila. Random na halaga N napakahusay maaaring kumuha ng anumang hindi negatibong integer na halaga, at ang batas sa pamamahagi nito ay may anyo
|
N napakahusay |
||||||
|
p n+1 |
p n+2 |
p n+r |
saan p= p 0 +p 1 +…+ p n. Kaya naman,
o pagpapalit ng (7) dito, nakukuha natin
Ang bawat kahilingan sa pila ay napapailalim sa daloy ng "pag-alis" Pooh na may tindi ng Ang average na pila, na binubuo ng mga application, ay sasailalim sa kabuuang daloy na binubuo ng mga daloy ng "pag-alis" at pagkakaroon ng intensity. Nangangahulugan ito na mula sa average na bilang ng mga aplikasyon sa pila, sa karaniwan, ang mga aplikasyon sa bawat yunit ng oras ay aalis nang hindi naghihintay ng serbisyo, at ang natitirang mga aplikasyon ay ihahatid. Dahil dito, ang average na bilang ng mga application na inihatid sa bawat yunit ng oras, i.e. ganap na kapasidad ng QS
Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng relatibong kapasidad,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),
kung saan ang u/ = ay nagpapakita ng average na bilang ng mga pag-alis mula sa pila ng mga hindi naihatid na aplikasyon para sa average na oras sa pagitan ng pagdating ng dalawang magkalapit na aplikasyon sa papasok na daloy P input .
Ang average na bilang ng mga abalang channel (ang average na bilang ng mga kahilingan sa ilalim ng serbisyo) ay maaaring makuha bilang ratio ng ganap na kapasidad A sa pagganap ng isang channel µ. Gamit ang pagkakapantay-pantay (11), magkakaroon tayo ng:
Ang average na bilang ng mga abalang channel ay maaaring kalkulahin nang hiwalay sa average na bilang ng mga kahilingan sa queue, katulad ng matematikal na inaasahan ng isang discrete random variable SA, na kumakatawan sa bilang ng mga inookupahang channel, ang batas sa pamamahagi na may anyo
|
p 0 |
p 1 |
p 2 |
p n-1 |
saan p = p n +p n+1 +…+ p n+1+…. Ngunit dahil ang kaganapan na ang lahat ng n channel ay inookupahan ay kabaligtaran sa kaganapan na hindi lahat ng n channel ay inookupahan, at ang posibilidad huling kaganapan katumbas ng
p 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1, Iyon p = 1 - (p 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1) .
Ngunit mula sa (11) nakukuha natin:
Gamit ang mga formula (11) at (13), nakakakuha tayo ng formula para sa average na bilang ng mga application sa system:
Kumuha tayo ng formula para sa average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila. Ito ay depende sa ibinigay na average na oras na naglilimita sa tagal ng pananatili ng application sa pila, kung saan alinman
o magkakaroon natural na numero ako > 2 ganyan
Ang pagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay (14) at (15) sa pamamagitan ng, nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, ang mga hindi pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang natin ang kaso (14) at hindi magkatugma na mga hypotheses na binubuo sa katotohanan na ang sistema ay nasa isang estado. Mga probabilidad ng mga hypotheses na ito
Kung ang aplikasyon ay natanggap ng CMO sa ilalim ng hypothet.e. kapag ang sistema ay nasa isa sa mga estado sa bawat isa kung saan hindi lahat ng mga channel ay abala, kung gayon ang kahilingan ay hindi kailangang maghintay sa pila - agad itong mahuhulog sa ilalim ng serbisyo ng libreng channel. Samakatuwid, ang conditional mathematical na inaasahan ng random na halaga ng oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa queue sa ilalim ng hypothesis, na siyang average na oras ng paghihintay para sa application sa queue sa ilalim ng hypothesis, ay katumbas ng zero:
Kung ang aplikasyon ay pumasok sa sistema sa ilalim ng hypothet.e. kapag ang QS ay nasa isa sa mga estado kung saan ang lahat P k-p mga aplikasyon (kung Upang= P walang mga application sa queue), pagkatapos ay ang average na oras upang ilabas ang isa sa P Ang mga abalang channel ay pantay, at ang average na oras ng serbisyo k-p Ang mga application na nakatayo sa queue bago ang application na natanggap sa system ay katumbas ng Samakatuwid, ang average na oras na kinakailangan para sa queue sa serbisyo ng isang papasok na application ay katumbas ng Dahil, dahil sa tamang hindi pagkakapantay-pantay (14),
Kaya, ang average na oras na kinakailangan para sa isang application na natanggap sa system upang matanggap para sa serbisyo ay mas malaki kaysa sa oras na nililimitahan ang pananatili ng application sa queue. Samakatuwid, ang natanggap na aplikasyon ay maaantala sa pila para sa isang average na oras at iiwan ang system na hindi naihatid. Dahil dito, ang conditional mathematical expectation ng value sa ilalim ng hypothesis
Ngayon isaalang-alang ang parehong mga hypotheses sa kaso (15). Sa kasong ito, ang mga pagkakapantay-pantay (16) ay may bisa din.
Kung ang isang application ay pumasok sa system sa ilalim ng isa sa mga hypotheses, ibig sabihin, kapag ang QS ay nasa isa sa mga estado kung saan ang lahat P abala ang mga channel at may mga pila na sa harap ng natanggap na aplikasyon k-p mga aplikasyon (kung Upang- n walang mga kahilingan sa pila), kung gayon, tulad ng sa kaso (14), ang average na oras na kinakailangan para sa pagliko ng kahilingang ito na dumating sa serbisyo ay katumbas ng paglilimita sa pananatili ng kahilingan. Kaya kahit papaano, dahil sa kaliwang hindi pagkakapantay-pantay (15),
Kaya, ang average na oras na kinakailangan para sa isang application na pumapasok sa system upang matanggap para sa serbisyo ay hindi hihigit sa average na oras na naglilimita sa pananatili ng application sa queue. Samakatuwid, ang natanggap na aplikasyon ay hindi aalis sa pila at maghihintay na matanggap para sa serbisyo, na ginugugol ang average na oras sa paghihintay sa queue Samakatuwid, ang conditional mathematical expectation ng random variable T och sa ilalim ng hypothesis
Hayaan ngayon ang application na pumasok sa system sa ilalim ng isa sa mga hypotheses N Yu k = n+i- ibig sabihin, noong ang QS ay nasa isa sa mga estado..., kung saan ang lahat P abala ang mga channel at nakapila na k-p mga aplikasyon. Dahil ito ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay (15):
at samakatuwid ang papasok na aplikasyon ay maaantala sa pila para sa isang average na oras Samakatuwid, ang conditional mathematical expectation ng random variable T och sa ilalim ng hypothesis
Gamit ang pormula para sa kabuuang inaasahan sa matematika, nakukuha namin ang:
Sa kaso (15), ang natanggap na aplikasyon ay tatanggapin para sa serbisyo kung sa oras lamang ng pagtanggap nito ang QS ay nasa isa sa mga estado, kung gayon ang posibilidad na maserbisyuhan ang aplikasyon ay
Kapag / = 1, ang formula (25) ay nagiging (24), kaya para sa posibilidad ng serbisyo maaari tayong sumulat ng isang formula:
Sa pag-alam sa posibilidad ng serbisyo, maaari mong kalkulahin ang posibilidad ng isang kahilingan na umalis sa pila na hindi naihatid:
Ang average na oras ng pananatili ng isang application sa system ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
kung saan ang average na oras ng serbisyo para sa isang application, na nauugnay sa lahat ng mga application, parehong inihatid at ang mga umalis sa queue, na maaaring kalkulahin gamit ang formula
6. Konstruksyon at pagsusuri ng isang modelo ng mga sistema ng pagpila
Isaalang-alang natin ang isang praktikal na problema ng paggamit ng QS nang walang paghihigpit sa haba ng pila, ngunit may paghihigpit sa oras ng paghihintay sa pila.
Upang mapataas ang hanay ng mga non-stop na flight, ang sasakyang panghimpapawid ay nire-refuel sa hangin. Dalawang sasakyang panghimpapawid na nagpapagatong ay patuloy na naka-duty sa lugar ng paglalagay ng gasolina. Ang paglalagay ng gasolina sa isang sasakyang panghimpapawid ay tumatagal sa average ng mga 10 minuto. Kung ang parehong mga sasakyang panghimpapawid ay abala, kung gayon ang sasakyang panghimpapawid na nangangailangan ng paglalagay ng gasolina ay maaaring "maghintay" (lumipad nang pabilog sa lugar ng paglalagay ng gasolina) nang ilang oras. Ang average na oras ng paghihintay ay 20 minuto. Ang eroplano, na hindi makapaghintay na mag-refuel, ay napilitang lumapag sa isang alternatibong paliparan. Ang intensity ng mga flight ay tulad na sa average na 12 sasakyang panghimpapawid dumating sa refueling area bawat 1 oras. tukuyin:
Ang posibilidad na ma-refuel ang sasakyang panghimpapawid.
Average na bilang ng mga refueler na nagtatrabaho.
Average na bilang ng sasakyang panghimpapawid sa pila.
Average na bilang ng sasakyang panghimpapawid sa serbisyo.
Kinakailangang kalkulahin ang mga pangunahing katangian ng kahusayan ng QS na ito, sa kondisyon na ang mga sumusunod na parameter ng input ay tinukoy:
- · bilang ng mga channel ng serbisyo;
- · intensity ng papasok na daloy ng mga aplikasyon;
- · tindi ng daloy ng serbisyo;
- · ang karaniwang oras na naglilimita sa pananatili ng mga application sa pila.
Ang QS na pinag-uusapan ay multi-channel system pagpila nang walang limitasyon sa haba ng pila, ngunit may limitasyon sa oras ng paghihintay. Ang bilang ng mga channel, ang intensity ng papasok na daloy ng mga kahilingan, ang intensity ng daloy ng serbisyo at ang bilang ng mga lugar sa queue ay tinukoy.
Sa QS na ito, ang bawat channel ay naghahatid ng isang kahilingan sa bawat oras. Kung sa oras ng pagtanggap ng isang bagong kahilingan, hindi bababa sa isang channel ang libre, kung gayon ang papasok na kahilingan ay natanggap para sa serbisyo kung walang mga kahilingan, kung gayon ang system ay idle.
Tukuyin natin kung ano ang mangyayari kapag, sa oras na dumating ang isang kahilingan, abala ang lahat ng channel - napupunta ito sa isang pila at naghihintay na maging libre ang isa sa mga channel. Kung sa oras ng pagtanggap ng isang aplikasyon ang lahat ng mga lugar sa pila ay inookupahan, ang application na ito ay umalis sa system.
Pamantayan para sa pagiging epektibo ng paggana ng QS:
- · Probability ng system downtime;
- · Probability ng system failure;
- · Relatibong throughput.
- · Karaniwang oras na ginugugol ng isang application sa pila.
Ang system na ito ay namodelo bilang isang multi-channel na QS na may mga kahilingang "impatient".
Mga parameter ng system:
bilang ng mga channel ng serbisyo n=2;
intensity ng papasok na daloy ng mga aplikasyon = 12 (mga eroplano kada oras);
intensity ng daloy ng serbisyo µ = 6(mga eroplano kada oras);
ang average na oras na naglilimita sa pananatili ng isang aplikasyon sa pila, samakatuwid, ang intensity ng daloy ng mga pag-alis = 1/= 3 (sasakyang panghimpapawid) kada oras.
Ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang isang program na binuo sa Turbo Pascal. Ang wikang Turbo-Pascal ay isa sa mga pinakakaraniwang wika ng computer programming. Kabilang sa mga mahahalagang bentahe ng wikang Turbo-Pascal ang maliit na sukat ng compiler, mataas na bilis pagsasalin, compilation at assembly ng programa. Bilang karagdagan, kaginhawaan at mataas na kalidad disenyo ng dialog shell, gawing mas maginhawa ang mga programa sa pagsulat at pag-debug kumpara sa mga alternatibong wika ng bagong henerasyon.
Upang pag-aralan ang pagpapatakbo ng QS, kinakailangang pag-aralan ang pag-uugali ng sistemang ito para sa iba't ibang mga parameter ng pag-input.
Sa unang bersyon, l=12, µ=6, n=3, bilang ng mga channel n=2.
Sa pangalawang opsyon, l=12, µ=6, n=3, bilang ng mga channel n=3.
Sa ikatlong opsyon, l=12, µ=6, n=4, bilang ng mga channel n=2.
Ang lahat ng mga resulta ng pagkalkula ay ibinibigay sa Appendix 2.
Bilang resulta ng pagsusuri ng mga datos na nakuha (Appendix 2), ang mga sumusunod na konklusyon ay ginawa.
Habang tumataas ang bilang ng mga channel, tumataas ng 50% ang posibilidad ng downtime ng system at ang posibilidad ng pag-refueling.
Kapag binago lamang ang oras na ginugol ng kahilingan sa pila, nang hindi nadaragdagan ang bilang ng mga channel, ang intensity ng daloy ng mga pag-alis ay nagbago, bilang isang resulta, ang bilang ng mga sasakyang panghimpapawid na inihatid at ang bilang ng mga sasakyang panghimpapawid sa pila ay nabawasan.
Sa aking palagay, kinakailangan na mag-recruit at magsanay ng karagdagang kawani ng serbisyo, upang mapataas ang intensity ng daloy ng mga pag-alis, pagkatapos ay mas kaunting oras ang gugugol sa downtime ng mga refuelers at hindi na kakailanganin ang karagdagang channel.
Bagaman, kapag pumipili ng pinakamainam na mga parameter kung saan ang pagpapatakbo ng serbisyo sa pangangalagang pangkalusugan ay magiging pinaka-epektibo, kinakailangan ding isaalang-alang ang mga teknikal at pang-ekonomiyang mga kadahilanan, dahil ang pagkuha ng isang karagdagang channel ng serbisyo o isang pagbabago sa intensity ng daloy ng pangangalaga ay nangangailangan ng ilang mga gastos sa materyal at mga gastos sa pagsasanay ng mga tauhan.
1. Single-channel na QS na may paghihintay at limitasyon sa haba ng pila. Sa pagsasagawa, ang mga nagbibigay ng serbisyong medikal na may isang channel na may pila ay karaniwan (isang doktor na naglilingkod sa mga pasyente; isang cashier na nagbibigay ng suweldo). Sa teorya ng queuing, ang single-channel na QS na may queue ay sumasakop din sa isang espesyal na lugar: karamihan sa mga analytical formula na nakuha sa ngayon para sa mga non-Markov system ay nabibilang sa naturang QS.
Isaalang-alang natin ang isang single-channel na QS, ang input kung saan tumatanggap ng pinakasimpleng daloy ng mga kahilingan na may intensity λ . Ipagpalagay natin na ang daloy ng serbisyo ay ang pinakasimpleng may intensity μ . Nangangahulugan ito na ang isang patuloy na abalang channel ay nagsisilbi sa karaniwan μ mga aplikasyon sa bawat yunit ng oras. Ang isang kahilingan na natanggap ng QS sa oras na ang channel ay abala, hindi tulad ng QS na may mga pagkabigo, ay hindi umaalis sa system, ngunit nakakakuha ng pila at naghihintay ng serbisyo.
Susunod, ipinapalagay namin na sa sistemang ito ay may limitasyon sa haba ng pila, na nangangahulugang ang maximum na bilang ng mga lugar sa pila, ibig sabihin, ipinapalagay namin na maaaring magkaroon ng maximum na m≥1 application. Samakatuwid, ang isang application na dumating sa pasukan ng QS, sa sandaling mayroon nang mga tao sa pila m mga kahilingan, tinatanggihan at iniiwan ang system na hindi naihatid.
Kaya, ang QS na isinasaalang-alang ay kabilang sa mga mixed-type na sistema na may limitasyon sa haba ng pila.
Bilangin natin ang mga estado ng QS ayon sa bilang ng mga aplikasyon sa system, i.e. nasa ilalim ng serbisyo at nasa pila:
S 0 – ang channel ay libre (samakatuwid, walang pila);
S 1 – abala ang channel at walang pila, i.e. mayroong isang aplikasyon (sa ilalim ng serbisyo) sa CMO;
S 2 – abala ang channel at may isang kahilingan sa pila;
……………………………………………………..
S m +1 – abala ang channel at nasa pila m mga aplikasyon.
Ang graph ng estado ng QS na ito ay ipinapakita sa Fig. 6 at tumutugma sa graph na naglalarawan sa proseso ng kamatayan at pagpaparami, na may pagkakaiba na kung mayroon lamang isang channel ng serbisyo, lahat ng intensity ng daloy ng serbisyo ay pantay. μ .
kanin. 6. State diagram sa isang single-channel system na may pila
Upang ilarawan ang paglilimita sa operating mode ng QS, maaari mong gamitin ang mga nakasaad na panuntunan at formula. Isulat natin kaagad ang mga expression na tumutukoy sa limitasyon ng mga probabilidad ng mga estado:
saan ρ = λ/μ
– tindi ng pagkarga ng channel.
Kung λ = μ , pagkatapos makuha namin.
Hayaan mo na 
. Pagpapahayag para sa p 0
posible sa sa kasong ito Mas madaling magsulat, gamit ang katotohanan na ang denominator ay naglalaman ng kabuuan m+ 2
mga miyembro geometric na pag-unlad may denominator ρ
:
.
Tandaan na kapag m= 0 Lumipat kami sa itinuturing nang single-channel na QS na may mga pagkabigo. Sa kasong ito.
Alamin natin ang mga pangunahing katangian ng isang single-channel na QS na may paghihintay: relative at absolute throughput, probability of failure, pati na rin ang average na haba ng queue at ang average na oras ng paghihintay para sa isang application sa queue.
Ang isang application na natanggap sa input ng QS ay tinatanggihan kung at tanging kung ang channel ay abala at naghihintay sa pila. m mga aplikasyon, i.e. kapag ang sistema ay nasa estado S m +1 . Samakatuwid, ang posibilidad ng pagkabigo ay tinutukoy ng posibilidad ng kondisyong naganap S m +1 :
Natutukoy ang relatibong throughput, o ang bahagi ng mga serbisyong kahilingan na dumarating sa bawat yunit ng oras, sa pamamagitan ng expression:
Tandaan na ang relatibong throughput Q coincides sa average na bahagi ng mga application na tinanggap (ibig sabihin, hindi tinanggihan) sa system sa lahat ng mga natanggap, dahil ang isang application na papasok sa queue ay tiyak na serbisiyo.
Ganap na sistema throughput
.
Average na bilang ng mga application L napakahusay Ang pagpila para sa serbisyo ay tinukoy bilang ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable k– bilang ng mga application sa pila:
.
Random na halaga k kumukuha ng mga halaga 0, 1, 2, …, m, ang mga probabilidad nito ay tinutukoy ng mga probabilidad ng mga estado ng system p k . Kaya, ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable k ay may sumusunod na anyo:
Samakatuwid, sa pamamagitan ng pagtukoy sa inaasahan ng matematika ng isang discrete random variable (isinasaalang-alang ang mga formula para sa mga probabilidad ng estado), nakukuha namin ang:
(16)
Magpanggap na tayo ρ ≠ 1 . Malinaw na mayroon kaming:
Pero ang dami 
ay ang kabuuan ng una m mga tuntunin ng geometric na pag-unlad
.
(17)
Ang pagpapalit ng expression (17) sa (16), makikita natin:
o, gamit ang pagkakapantay-pantay 
(nakuha sa ρ ≠
1
), meron kami
Kung ρ =
1
, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (16) 
at ibinigay na sa kasong ito 
At 
(sum m mga tuntunin ng isang pag-unlad ng aritmetika), sa wakas ay nakuha natin
.
Pagkatapos ay ang average na bilang ng mga application sa queue
(18)
Ang isang mahalagang katangian ng isang QS na may paghihintay ay ang average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila 
. Hayaan T napakahusay
– isang tuluy-tuloy na random na variable na kumakatawan sa oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila. Kinakalkula namin ang average na oras ng paghihintay para sa isang application sa queue bilang ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito:
.
Upang kalkulahin ang inaasahan sa matematika, ginagamit namin ang formula para sa kabuuang inaasahan sa matematika: kung magagawa namin ang tungkol sa mga kundisyon ng eksperimento n(pairwise) hindi magkatugmang hypotheses 
pagkatapos ay ang kabuuang matematikal na inaasahan ng random variable X maaaring kalkulahin gamit ang formula
saan M (X | H k ) – conditional mathematical expectation ng value X sa ilalim ng hypothesis H k .
Isaalang-alang natin m+ 2 hindi magkatugmang mga hypotheses H k , k= 0,1,..., m+ 1 , na binubuo sa katotohanan na ang QS ay ayon sa pagkakabanggit sa mga estado S k , k= 0,1,..., m+ 1 . Mga probabilidad ng mga hypotheses na ito p (H k ) = p k , k= 0,1,..., m+1 .
Kung ang aplikasyon ay dumating sa QS sa ilalim ng hypothesis H 0
S 0
, kung saan ang channel ay libre, kung gayon ang kahilingan ay hindi kailangang tumayo sa linya at, samakatuwid, ang kondisyon na inaasahan sa matematika M
(
|
H 0
)
random variable 
sa ilalim ng hypothesis H 0
, kasabay ng average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila sa ilalim ng hypothesis H 0
, katumbas ng zero.
Para sa isang aplikasyon na natanggap ng QS sa ilalim ng hypothesis H 1
, ibig sabihin. kapag ang QS ay nasa isang estado S 1
, kung saan abala ang channel, ngunit walang pila, may kondisyong inaasahan sa matematika M
(
| H 1
)
random variable 
sa ilalim ng hypothesis H 1
, kasabay ng average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa pila sa ilalim ng hypothesis H 1
, ay magiging katumbas ng average na oras ng paglilingkod sa isang kahilingan 
.
Kondisyonal na inaasahan sa matematika M
(
| H 2
)
random variable 
sa ilalim ng hypothesis H 2
, ibig sabihin. sa kondisyon na ang aplikasyon ay natanggap ng CMO, na nasa estado ng S 2
, kung saan abala ang channel at naghihintay na ang isang kahilingan sa pila, ay katumbas ng 2/
μ
(doblehin ang average na oras ng serbisyo, dahil dalawang kahilingan ang kailangang ihatid: ang nasa channel ng serbisyo at ang naghihintay sa pila). At iba pa.
Kung ang isang aplikasyon ay pumasok sa sistema sa ilalim ng hypothesis H m, ibig sabihin. kapag abala ang channel at naghihintay sila sa pila m−
1
mga aplikasyon, kung gayon M
(
| H m).
Panghuli, ang application na dumating sa QS sa ilalim ng hypothesis H m +1
, ibig sabihin. kapag abala ang channel, m ang mga aplikasyon ay nasa isang pila, at wala nang mga libreng lugar sa pila, tinatanggihan at umalis sa system. Samakatuwid sa kasong ito M
(
| H m +1
)
= 0.
Samakatuwid, ayon sa formula para sa kabuuang inaasahan sa matematika, ang average na oras ng paghihintay para sa isang aplikasyon sa queue ay
Pinapalitan dito ang mga expression para sa mga probabilidad p k
(k=1,2,...,m), nakukuha namin: 
(19)
Kung ang channel load intensity ρ ≠ 1 , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (19) na isinasaalang-alang ang mga formula (17), (18), pati na rin ang expression para sa p 0 nakita namin:
Kung ρ =
1
, pagkatapos, pinapalitan sa pagkakapantay-pantay (19) ang expression p 0
= 1/(m+2), halaga ng halaga 
, gamit ang formula (18) na may ρ
=
1
at isinasaalang-alang na sa kasong ito μ
= λ
, Magkakaroon 
Kaya, para sa anumang ρ nakakakuha kami ng formula para sa average na oras na nananatili ang isang application sa queue, na tinatawag na Little's formula: 
mga. average na oras ng paghihintay para sa isang application sa pila
katumbas ng average na bilang ng mga application sa pila L napakahusay, hinati sa intensity
λ papasok na daloy ng mga kahilingan .
Halimbawa. Sa isang gasolinahan (gas station) mayroong isang bomba. Ang lugar sa istasyon kung saan ang mga kotse ay naghihintay para sa pag-refueling ay maaaring tumanggap ng hindi hihigit sa tatlong mga kotse sa isang pagkakataon; Sa karaniwan, dumarating ang mga sasakyan sa istasyon tuwing 2 minuto. Ang proseso ng paglalagay ng gasolina sa isang kotse ay tumatagal sa average na 2.5 minuto. Tukuyin ang mga pangunahing katangian ng system.
Solusyon. Ang mathematical model ng gas station na ito ay isang single-channel na QS na may paghihintay at limitasyon sa haba ng pila ( m= 3). Ipinapalagay na ang daloy ng mga sasakyan na papalapit sa istasyon ng gasolina para sa paglalagay ng gasolina at ang daloy ng mga serbisyo ay simple.
Dahil ang mga kotse ay dumarating sa karaniwan bawat 2 minuto, ang intensity ng papasok na daloy ay katumbas ng λ
=1/2 = 0.5 (mga makina kada minuto). Average na oras ng serbisyo bawat makina 
= 2.5 min, samakatuwid, ang intensity ng daloy ng serbisyo μ
=1/2.5 = 0.4 (mga kotse kada minuto).
Tinutukoy namin ang intensity ng pag-load ng channel: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Kinakalkula ang posibilidad ng pagkabigo 
saan nanggagaling ang relative bandwidth?
at ganap na throughput A= λ
Q≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Average na bilang ng mga sasakyan na naghihintay sa linya para sa paglalagay ng gasolina
Nakikita namin ang average na oras ng paghihintay para sa isang kotse sa isang pila gamit ang formula ni Little 
= L napakahusay/λ ≈1.559/0.5 = 3.118.
Kaya, mula sa pagsusuri ng pagpapatakbo ng QS ay sumusunod na sa bawat 100 paparating na mga kotse, 30 ang tinanggihan ( P bukas≈ 29.7%), ibig sabihin. 2/3 ng mga aplikasyon ay naseserbisyuhan. Samakatuwid, kinakailangang bawasan ang oras ng serbisyo ng isang makina (pataasin ang intensity ng daloy ng serbisyo), o dagdagan ang bilang ng mga pump, o dagdagan ang waiting area.
