Eigenvalues ​​at eigenvector. Eigenvalues ​​at eigenvectors ng isang matrix

SISTEMA NG HOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS

Sistema ng homogenous mga linear na equation tinatawag na sistema ng anyo

Ito ay malinaw na sa kasong ito , dahil lahat ng elemento ng isa sa mga column sa mga determinant na ito ay katumbas ng zero.

Dahil ang mga hindi alam ay matatagpuan ayon sa mga formula , pagkatapos ay sa kaso kapag Δ ≠ 0, ang sistema ay may natatanging zero na solusyon x = y = z= 0. Gayunpaman, sa maraming problema ang kawili-wiling tanong ay kung homogenous na sistema mga solusyon maliban sa zero.

Teorama. Para sa linear system homogenous equation nagkaroon ng di-zero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na Δ ≠ 0.

Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga halimbawa.

Eigenvectors at eigenvalues ​​ng matrix

Hayaang magbigay ng square matrix , X– ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix A. .

Sa maraming problema kailangan nating isaalang-alang ang equation para sa X

kung saan ang λ ay isang tiyak na numero. Malinaw na para sa anumang λ ang equation na ito ay may zero na solusyon.

Ang bilang na λ kung saan ang equation na ito ay may mga non-zero na solusyon ay tinatawag eigenvalue matrice A, A X para sa gayong λ ay tinatawag eigenvector matrice A.

Hanapin natin ang eigenvector ng matrix A. kasi E∙X = X, kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang o . Sa pinalawak na anyo, ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang isang sistema ng mga linear na equation. talaga .

At samakatuwid

Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng homogenous na linear equation para sa pagtukoy ng mga coordinate x 1, x 2, x 3 vector X. Para sa isang sistema na magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang determinant ng system ay katumbas ng zero, i.e.

Ito ay isang 3rd degree na equation para sa λ. Ito ay tinatawag katangian equation matrice A at nagsisilbi upang matukoy ang mga eigenvalues ​​ng λ.

Ang bawat eigenvalue λ ay tumutugma sa isang eigenvector X, na ang mga coordinate ay tinutukoy mula sa system sa katumbas na halaga ng λ.

Mga halimbawa.

VECTOR ALGEBRA. ANG KONSEPTO NG VECTOR

Kapag nag-aaral ng iba't ibang sangay ng pisika, may mga dami na ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa kanilang mga numerical na halaga, halimbawa, haba, lugar, masa, temperatura, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na scalar. Gayunpaman, bilang karagdagan sa kanila, mayroon ding mga dami, upang matukoy kung alin, bilang karagdagan sa numerical na halaga, kinakailangan ding malaman ang kanilang direksyon sa espasyo, halimbawa, ang puwersa na kumikilos sa katawan, ang bilis at pagbilis ng katawan kapag gumagalaw ito sa kalawakan, tensyon magnetic field sa isang partikular na punto sa espasyo, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na mga dami ng vector.

Ipakilala natin ang isang mahigpit na kahulugan.

Direktang segment Tawagan natin ang isang segment, na nauugnay sa mga dulo kung saan alam kung alin sa kanila ang una at alin ang pangalawa.

Vector tinatawag na nakadirekta na segment na may tiyak na haba, i.e. Ito ay isang segment ng isang tiyak na haba, kung saan ang isa sa mga puntong naglilimita dito ay kinuha bilang simula, at ang pangalawa bilang dulo. Kung A- ang simula ng vector, B ay ang katapusan nito, kung gayon ang vector ay tinutukoy ng simbolo bilang karagdagan, ang vector ay madalas na tinutukoy ng isang solong titik. Sa figure, ang vector ay ipinahiwatig ng isang segment, at ang direksyon nito sa pamamagitan ng isang arrow.

Module o haba Ang isang vector ay tinatawag na haba ng nakadirekta na segment na tumutukoy dito. Tinutukoy ng || o ||.

Isasama rin natin ang tinatawag na zero vector, na ang simula at pagtatapos ay nag-tutugma, bilang mga vector. Ito ay itinalaga. Ang zero vector ay walang partikular na direksyon at ang modulus nito ay zero ||=0.

Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya. Bukod dito, kung ang mga vector at nasa parehong direksyon, isusulat namin ang , kabaligtaran.

Ang mga vector na matatagpuan sa mga tuwid na linya na parallel sa parehong eroplano ay tinatawag coplanar.

Ang dalawang vector ay tinatawag pantay, kung ang mga ito ay collinear, may parehong direksyon at pantay ang haba. Sa kasong ito sila ay nagsusulat.

Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector, sumusunod na ang isang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito, na inilalagay ang pinagmulan nito sa anumang punto sa espasyo.

Halimbawa.

MGA LINEAR NA OPERASYON SA MGA VECTOR

1. Pagpaparami ng vector sa isang numero.

   Ang produkto ng isang vector at ang numerong λ ay isang bagong vector tulad na:

   Ang produkto ng isang vector at isang numerong λ ay tinutukoy ng .

   

   Halimbawa, mayroong isang vector na nakadirekta sa parehong direksyon ng vector at may kalahating haba ng haba ng vector.

   Ang ipinakilalang operasyon ay may mga sumusunod ari-arian:

2. Pagdaragdag ng vector.

   Hayaan at maging dalawang arbitrary vectors. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto O at bumuo ng isang vector. Pagkatapos noon mula sa punto A isantabi natin ang vector. Ang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng pangalawa ay tinatawag halaga ng mga vector na ito at ipinapahiwatig .

   

   Tinatawag ang formulated definition ng vector addition tuntunin ng paralelogram, dahil ang parehong kabuuan ng mga vector ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Ipagpaliban natin mula sa punto O mga vector at . Bumuo tayo ng paralelogram sa mga vector na ito OABC. Dahil ang mga vector, pagkatapos ay ang vector, na isang dayagonal ng isang paralelogram na iginuhit mula sa vertex O, ay malinaw na isang kabuuan ng mga vector.

   

   Madaling suriin ang mga sumusunod Mga katangian ng pagdaragdag ng vector.

3. Pagkakaiba ng vector.

   Ang isang vector collinear sa isang ibinigay na vector, katumbas ng haba at magkasalungat na direksyon, ay tinatawag kabaligtaran vector para sa isang vector at tinutukoy ng . Ang kabaligtaran na vector ay maaaring isaalang-alang bilang resulta ng pagpaparami ng vector sa bilang na λ = –1: .

Kahulugan 9.3. Vector X tinawag eigenvector matrice A, kung mayroong ganoong numero λ, na taglay ng pagkakapantay-pantay: A X= λ X, iyon ay, ang resulta ng pag-aaplay sa X linear transformation na tinukoy ng matrix A, ay ang multiplikasyon ng vector na ito sa numero λ . Ang numero mismo λ tinawag eigenvalue matrice A.

Pagpapalit sa mga formula (9.3) x` j = λx j , nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga coordinate ng eigenvector:

. (9.5)

Ang linear homogenous na sistemang ito ay magkakaroon lamang ng hindi mahalaga na solusyon kung ang pangunahing determinant nito ay 0 (Cramer's rule). Sa pamamagitan ng pagsulat ng kundisyong ito sa anyo:

nakakakuha tayo ng equation para sa pagtukoy ng eigenvalues λ , tinawag katangian equation. Sa madaling sabi maaari itong ilarawan bilang mga sumusunod:

| A - λE | = 0, (9.6)

dahil ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng determinant ng matrix A-λE. Polinomyal na kamag-anak λ | A - λE| tinawag katangiang polinomyal matrices A.

Mga katangian ng katangiang polynomial:

1) Ang katangiang polynomial ng isang linear na pagbabago ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan. Patunay. (tingnan ang (9.4)), ngunit kaya naman, . Kaya, hindi ito nakasalalay sa pagpili ng batayan. Nangangahulugan ito na | A-λE| ay hindi nagbabago kapag lumipat sa isang bagong batayan.

2) Kung ang matrix A ang linear transformation ay simetriko(mga. at ij =a ji), kung gayon ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation (9.6) ay mga tunay na numero.

Mga katangian ng eigenvalues ​​at eigenvectors:

1) Kung pipili ka ng batayan mula sa eigenvectors x 1, x 2, x 3 , na tumutugma sa mga eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, pagkatapos sa batayan na ito ang linear transformation A ay may matrix ng diagonal form:

(9.7) Ang patunay ng property na ito ay sumusunod sa kahulugan ng eigenvectors.

2) Kung ang mga eigenvalues ​​ng pagbabago A ay magkaiba, kung gayon ang kanilang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent.

3) Kung ang katangian polynomial ng matrix A may tatlo iba't ibang ugat, pagkatapos ay sa ilang batayan ang matrix A ay may dayagonal na anyo.

Hanapin natin ang eigenvalues ​​at eigenvectors ng matrix Let's compose katangian equation: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Hanapin natin ang mga coordinate ng eigenvector na tumutugma sa bawat nahanap na halaga λ. Mula sa (9.5) sumusunod na kung X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – katumbas ng eigenvector λ 1 =-2, pagkatapos

- isang kooperatiba ngunit hindi tiyak na sistema. Ang solusyon nito ay maaaring isulat sa form X (1) ={a,0,-a), kung saan ang a ay anumang numero. Sa partikular, kung kailangan namin na | x (1) |=1, X (1) =

Pagpapalit sa system (9.5) λ 2 =3, nakakakuha kami ng isang sistema para sa pagtukoy ng mga coordinate ng pangalawang eigenvector - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, saan X (2) ={b,-b,b) o, ibinigay | x (2) |=1, x (2) =

Para sa λ 3 = 6 hanapin ang eigenvector x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) o sa normalized na bersyon

x (3) = Mapapansin iyon X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Kaya, ang eigenvectors ng matrix na ito ay pairwise orthogonal.

Lektura 10.

Mga parisukat na anyo at ang kanilang koneksyon sa mga simetriko na matrice. Mga katangian ng eigenvectors at eigenvalues ​​ng isang simetriko matrix. Pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo.

Kahulugan 10.1.Quadratic na hugis tunay na mga variable x 1, x 2,…, x n ay tinatawag na polynomial ng pangalawang degree sa mga variable na ito na hindi naglalaman ng libreng termino at mga termino ng unang degree.

Mga halimbawa ng mga parisukat na anyo:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Alalahanin natin ang kahulugan ng isang simetriko matrix na ibinigay sa huling lecture:

Kahulugan 10.2. Ang square matrix ay tinatawag simetriko, kung , iyon ay, kung ang mga elemento ng matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal ay pantay.

Mga katangian ng eigenvalues ​​at eigenvectors ng isang simetriko matrix:

1) Ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang simetriko matrix ay totoo.

Patunay (para sa n = 2).

Hayaan ang matrix A ay may anyo: . Gumawa tayo ng isang katangian na equation:

(10.2) Hanapin natin ang discriminant:

Samakatuwid, ang equation ay may mga tunay na ugat lamang.

2) Eigenvectors ang simetriko matrix ay orthogonal.

Patunay (para sa n= 2).

Ang mga coordinate ng eigenvectors at dapat matugunan ang mga equation.

www.site nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap. Ginagawa ng site ang pagkalkula. Sa ilang segundo ay magbibigay ang server ng tamang solusyon. Ang katangian na equation para sa matrix magiging algebraic expression, na natagpuan ng panuntunan para sa pagkalkula ng determinant matrice matrice, habang kasama ang pangunahing dayagonal ay magkakaroon ng mga pagkakaiba sa mga halaga ng mga elemento ng dayagonal at ang variable. Kapag nagkalkula katangian equation para sa matrix online, bawat elemento matrice ay pararamihin sa katumbas na iba pang elemento matrice. Hanapin sa mode online pwede lang sa square matrice. Paghahanap ng operasyon katangian equation para sa matrix online bumababa sa pagkalkula ng algebraic sum ng produkto ng mga elemento matrice bilang resulta ng paghahanap ng determinant matrice, para lamang sa layunin ng pagtukoy katangian equation para sa matrix online. Ang operasyong ito sumasakop sa isang espesyal na lugar sa teorya matrice, ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng mga eigenvalues ​​at vectors gamit ang mga ugat. Ang gawain ng paghahanap katangian equation para sa matrix online binubuo ng multiplying elements matrice na sinusundan ng pagbubuod ng mga produktong ito ayon sa isang tiyak na tuntunin. www.site nahanap katangian equation para sa matrix ibinigay na dimensyon sa mode online. Pagkalkula katangian equation para sa matrix online dahil sa dimensyon nito, ito ay paghahanap ng polynomial na may numerical o symbolic coefficients, na matatagpuan ayon sa panuntunan para sa pagkalkula ng determinant matrice- bilang kabuuan ng mga produkto ng kaukulang elemento matrice, para lamang sa layunin ng pagtukoy katangian equation para sa matrix online. Paghahanap ng polynomial na may paggalang sa isang variable para sa isang quadratic matrice, bilang isang kahulugan katangian equation para sa matrix, karaniwan sa teorya matrice. Ang kahulugan ng mga ugat ng isang polynomial katangian equation para sa matrix online ginagamit upang matukoy ang mga eigenvector at eigenvalues ​​para sa matrice. Bukod dito, kung ang determinant matrice ay magiging katumbas ng zero, kung gayon katangian equation ng matrix mananatili pa rin, hindi tulad ng kabaligtaran matrice. Upang makalkula katangian equation para sa matrix o maghanap ng ilan nang sabay-sabay matrices katangian equation, kailangan mong gumugol ng maraming oras at pagsisikap, habang mahahanap ng aming server sa loob ng ilang segundo katangian equation para sa matrix online. Sa kasong ito, ang sagot sa paghahanap katangian equation para sa matrix online ay magiging tama at may sapat na katumpakan, kahit na ang mga numero kapag hinahanap katangian equation para sa matrix online magiging hindi makatwiran. Sa website www.site pinapayagan ang mga entry ng character sa mga elemento matrice, iyon ay katangian equation para sa matrix online ay maaaring katawanin sa pangkalahatang simbolikong anyo kapag kinakalkula katangian equation ng matrix online. Ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang sagot na nakuha kapag nilutas ang problema ng paghahanap katangian equation para sa matrix online gamit ang site www.site. Kapag nagsasagawa ng operasyon ng pagkalkula ng isang polynomial - katangian equation ng matrix, kailangan mong maging maingat at lubos na nakatuon kapag nilutas ang problemang ito. Sa turn, tutulungan ka ng aming site na suriin ang iyong desisyon sa paksa katangian equation ng isang matrix online. Kung wala kang oras para sa mahabang pagsusuri ng mga nalutas na problema, kung gayon www.site ay tiyak na magiging isang maginhawang tool para sa pagsuri kapag naghahanap at nagkalkula katangian equation para sa matrix online.

Ang eigenvector ng isang square matrix ay isa na, kapag pinarami ng isang ibinigay na matrix, ay nagreresulta sa isang collinear vector. Sa simpleng salita, kapag nagpaparami ng isang matrix sa isang eigenvector, ang huli ay nananatiling pareho, ngunit pinarami ng isang tiyak na numero.

Kahulugan

Ang eigenvector ay isang non-zero vector V, na, kapag pinarami ng isang square matrix M, ay nagiging mismong nadagdagan ng ilang bilang na λ. Sa algebraic notation ay ganito ang hitsura:

M × V = λ × V,

kung saan ang λ ay ang eigenvalue ng matrix M.

Isaalang-alang natin halimbawa ng numero. Para sa kadalian ng pag-record, ang mga numero sa matrix ay paghihiwalayin ng isang semicolon. Magkaroon tayo ng matrix:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

I-multiply natin ito sa isang column vector:

• V = -2;

Kapag pinarami natin ang isang matrix sa isang column vector, nakakakuha din tayo ng column vector. Mahigpit wikang matematikal ang formula para sa pagpaparami ng 2 × 2 matrix sa isang column vector ay magiging ganito:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

Ang ibig sabihin ng M11 ay ang elemento ng matrix M na matatagpuan sa unang hilera at unang hanay, at ang M22 ay nangangahulugang ang elementong matatagpuan sa ikalawang hanay at ikalawang hanay. Para sa aming matrix, ang mga elementong ito ay katumbas ng M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Para sa isang column vector, ang mga halagang ito ay katumbas ng V11 = –2, V21 = 1. Ayon sa formula na ito, nakukuha namin ang sumusunod na resulta ng produkto ng isang square matrix sa pamamagitan ng isang vector:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Para sa kaginhawahan, isulat natin ang column vector sa isang row. Kaya, pinarami namin ang square matrix sa vector (-2; 1), na nagreresulta sa vector (4; -2). Malinaw, ito ay ang parehong vector na pinarami ng λ = -2. Lambda in sa kasong ito nagsasaad ng eigenvalue ng matrix.

Ang eigenvector ng isang matrix ay isang collinear vector, iyon ay, isang bagay na hindi nagbabago ng posisyon nito sa espasyo kapag pinarami ng isang matrix. Ang konsepto ng collinearity sa vector algebra ay katulad ng term ng parallelism sa geometry. Sa isang geometric na interpretasyon, ang mga collinear vector ay parallel na nakadirekta na mga segment na may iba't ibang haba. Mula noong panahon ng Euclid, alam natin na ang isang linya ay may walang katapusang bilang ng mga linya na kahanay nito, kaya lohikal na ipagpalagay na ang bawat matris ay may walang katapusang bilang ng mga eigenvector.

Mula sa nakaraang halimbawa ay malinaw na ang eigenvectors ay maaaring (-8; 4), at (16; -8), at (32, -16). Ang lahat ng ito ay mga collinear vector na tumutugma sa eigenvalue λ = -2. Kapag pina-multiply ang orihinal na matrix sa mga vector na ito, mapupunta pa rin tayo sa isang vector na naiiba sa orihinal ng 2 beses. Iyon ang dahilan kung bakit, kapag nilutas ang mga problema sa paghahanap ng isang eigenvector, kinakailangan na makahanap lamang ng mga linearly na independiyenteng mga bagay na vector. Kadalasan, para sa isang n × n matrix, mayroong isang n bilang ng mga eigenvector. Ang aming calculator ay idinisenyo para sa pagsusuri ng mga second-order square matrice, kaya halos palaging ang resulta ay makakahanap ng dalawang eigenvectors, maliban sa mga kaso kapag sila ay nag-tutugma.

Sa halimbawa sa itaas, alam namin nang maaga ang eigenvector ng orihinal na matrix at malinaw na tinukoy ang numero ng lambda. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang lahat ay nangyayari sa kabaligtaran: ang mga eigenvalues ​​ay matatagpuan muna at pagkatapos ay ang mga eigenvectors.

Algoritmo ng solusyon

Tingnan natin muli ang orihinal na matrix M at subukang hanapin ang parehong eigenvectors nito. Kaya ang matrix ay ganito ang hitsura:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Una kailangan nating matukoy ang eigenvalue λ, na nangangailangan ng pagkalkula ng determinant ng sumusunod na matrix:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ang matrix na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng hindi kilalang λ mula sa mga elemento sa pangunahing dayagonal. Ang determinant ay tinutukoy gamit ang karaniwang formula:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Dahil ang aming vector ay dapat na hindi zero, tinatanggap namin ang resultang equation bilang linearly dependent at itinutumbas ang aming determinant na detA sa zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Buksan natin ang mga bracket at kunin ang katangian na equation ng matrix:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ito ay pamantayan quadratic equation, na kailangang lutasin sa pamamagitan ng discriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Ang ugat ng discriminant ay sqrt(D) = 14, samakatuwid λ1 = -2, λ2 = 12. Ngayon para sa bawat halaga ng lambda kailangan nating hanapin ang eigenvector. Ipahayag natin ang mga coefficient ng system para sa λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Sa formula na ito, ang E ay ang identity matrix. Batay sa nagresultang matrix, lumikha kami ng isang sistema ng mga linear na equation:

2x + 4y = 6x + 12y,

kung saan ang x at y ay ang eigenvector elements.

Kolektahin natin ang lahat ng X sa kaliwa at lahat ng Y sa kanan. Malinaw - 4x = 8y. Hatiin ang expression sa - 4 at makuha ang x = –2y. Ngayon ay matutukoy natin ang unang eigenvector ng matrix, na kumukuha ng anumang mga halaga ng mga hindi alam (tandaan ang kawalang-hanggan ng mga linearly dependent na eigenvectors). Kunin natin ang y = 1, pagkatapos ay x = –2. Samakatuwid, ang unang eigenvector ay mukhang V1 = (–2; 1). Bumalik sa simula ng artikulo. Ito ang vector object na pinarami namin ang matrix upang ipakita ang konsepto ng isang eigenvector.

Ngayon hanapin natin ang eigenvector para sa λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Gumawa tayo ng parehong sistema ng mga linear na equation;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Ngayon kinukuha namin ang x = 1, samakatuwid y = 3. Kaya, ang pangalawang eigenvector ay parang V2 = (1; 3). Kapag pina-multiply ang orihinal na matrix sa isang naibigay na vector, ang resulta ay palaging magiging parehong vector na pinarami ng 12. Dito nagtatapos ang algorithm ng solusyon. Ngayon alam mo na kung paano manu-manong matukoy ang eigenvector ng isang matrix.

• determinant;
• bakas, iyon ay, ang kabuuan ng mga elemento sa pangunahing dayagonal;
• ranggo, iyon ay, ang maximum na bilang ng mga linearly independent na row/column.

Ang programa ay nagpapatakbo ayon sa algorithm sa itaas, pinaikli ang proseso ng solusyon hangga't maaari. Mahalagang ituro na sa programa ang lambda ay itinalaga ng titik na "c". Tingnan natin ang isang numerical na halimbawa.

Halimbawa kung paano gumagana ang programa

Subukan nating matukoy ang mga eigenvector para sa sumusunod na matrix:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Ipasok natin ang mga halagang ito sa mga cell ng calculator at makuha ang sagot sa sumusunod na form:

• Ranggo ng matrix: 2;
• Matrix determinant: 18;
• Matrix trace: 19;
• Pagkalkula ng eigenvector: c 2 − 19.00c + 18.00 (characteristic equation);
• Pagkalkula ng Eigenvector: 18 (unang halaga ng lambda);
• Pagkalkula ng Eigenvector: 1 (pangalawang halaga ng lambda);
• Sistema ng mga equation para sa vector 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistema ng mga equation para sa vector 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Eigenvector 1: (1; 1);
• Eigenvector 2: (-3.25; 1).

Kaya, nakakuha kami ng dalawang linearly independent eigenvectors.

Konklusyon

Ang linear algebra at analytical geometry ay mga karaniwang paksa para sa anumang freshman engineering major. Ang malaking bilang ng mga vector at matrice ay nakakatakot, at madaling magkamali sa mga masalimuot na kalkulasyon. Ang aming programa ay magpapahintulot sa mga mag-aaral na suriin ang kanilang mga kalkulasyon o awtomatikong lutasin ang problema sa paghahanap ng eigenvector. Mayroong iba pang mga linear algebra calculators sa aming catalog gamitin ang mga ito sa iyong pag-aaral o trabaho.