Bahay Pinahiran ng dila Eigenvalues at eigenvectors ng isang matrix online calculator. Eigenvectors at eigenvalues ng isang linear operator

Pinahiran ng dila

Eigenvalues at eigenvectors ng isang matrix online calculator. Eigenvectors at eigenvalues ng isang linear operator

Sa matrix A, kung mayroong isang numero l tulad na AX = lX.

Sa kasong ito, ang numero l ay tinatawag eigenvalue operator (matrix A) na naaayon sa vector X.

Sa madaling salita, ang eigenvector ay isang vector na, sa ilalim ng pagkilos ng isang linear operator, ay nagiging isang collinear vector, i.e. multiply lang sa ilang numero. Sa kabaligtaran, ang mga hindi wastong vector ay mas kumplikadong baguhin.

Isulat natin ang kahulugan ng isang eigenvector sa anyo ng isang sistema ng mga equation:

Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:

Ang huling sistema ay maaaring isulat sa matrix form tulad ng sumusunod:

(A - lE)X = O

Ang resultang sistema ay palaging may zero na solusyon X = O. Ang mga ganitong sistema kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous. Kung ang matrix ng naturang sistema ay parisukat at ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paggamit ng mga formula ng Cramer ay palaging makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon - zero. Mapapatunayan na ang isang sistema ay may mga non-zero na solusyon kung at kung ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero, i.e.

|A - lE| = = 0

Ang equation na ito na may hindi kilalang l ay tinatawag katangian equation (katangiang polinomyal) matrix A (linear operator).

Mapapatunayan na ang katangiang polynomial ng isang linear operator ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan.

Halimbawa, hanapin natin ang mga eigenvalues at eigenvectors ng linear operator na tinukoy ng matrix A = .

Para magawa ito, mag-compose tayo katangian equation|A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Upang mahanap ang mga eigenvector, nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Para sa una sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

kung saan ang x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ibig sabihin. X (1) = (-(2/3)s; s).

Para sa pangalawa sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

mula sa kung saan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ibig sabihin. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Kaya, ang eigenvectors ng linear operator na ito ay lahat ng vectors ng form (-(2/3)с; с) na may eigenvalue (-5) at lahat ng vectors ng form ((2/3)с 1 ; с 1) na may eigenvalue 7 .

Mapapatunayan na ang matrix ng operator A sa batayan na binubuo ng mga eigenvector nito ay dayagonal at may anyo:

kung saan ako ang mga eigenvalues ng matrix na ito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix A sa ilang batayan ay dayagonal, kung gayon ang lahat ng mga vector ng batayan na ito ay magiging eigenvectors ng matrix na ito.

Mapapatunayan din na kung ang isang linear na operator ay may n pairwise na natatanging eigenvalues, kung gayon ang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent, at ang matrix ng operator na ito sa kaukulang batayan ay may diagonal na anyo.

Ilarawan natin ito sa nakaraang halimbawa. Kunin natin ang mga di-zero na halaga c at c 1, ngunit ang mga vectors X (1) at X (2) ay linearly independent, i.e. magiging batayan. Halimbawa, hayaan ang c = c 1 = 3, pagkatapos X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Siguraduhin natin linear na kalayaan mga vector na ito:

12 ≠ 0. Sa bagong batayan na ito, ang matrix A ay kukuha ng anyong A * = .

Para ma-verify ito, gamitin natin ang formula A * = C -1 AC. Una, hanapin natin ang C -1.

C -1 = ;

Quadratic na mga hugis

Quadratic na hugis f(x 1, x 2, x n) ng n variable ay tinatawag na sum, na ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag matris parisukat na anyo. Ito'y palaging simetriko matrix (i.e. isang matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-singular matrix ng nth order. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Ito ay may canonical view), kung ang lahat ng mga coefficient nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(hindi ibinigay ang patunay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin ang quadratic form sa canonical form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, pumili muna kami perpektong parisukat may variable x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang natanggap iba't ibang paraan Ang mga canonical form ay may ilang pangkalahatang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang pag-aari na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang negatibong koepisyent -3 sa y 1 at dalawang positibong koepisyent 3 at 2 sa y 2 at y 3 (at gamit ang isa pang paraan nakakuha kami ng negatibong koepisyent (-5) sa y 2 at dalawang positibo: 2 sa y 1 at 1/20 sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng quadratic form, na tinatawag ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga nonzero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang parisukat na anyo f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positibong tiyak, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Teorama(Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga nangungunang menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Pangunahing (sulok) menor Ang kth order matrix A ng nth order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Dahil dito, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, simula sa minus).

At bilang isa pang halimbawa, sinusuri natin ang quadratic form na tinutukoy ng sign f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ay iba. Dahil dito, ang parisukat na anyo ay maaaring hindi negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

SISTEMA NG HOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS

Sistema ng homogenous linear na equation tinatawag na sistema ng anyo

Ito ay malinaw na sa kasong ito , dahil lahat ng elemento ng isa sa mga column sa mga determinant na ito ay katumbas ng zero.

Dahil ang mga hindi alam ay matatagpuan ayon sa mga formula , pagkatapos ay sa kaso kapag Δ ≠ 0, ang sistema ay may natatanging zero na solusyon x = y = z= 0. Gayunpaman, sa maraming problema ang kawili-wiling tanong ay kung homogenous na sistema mga solusyon maliban sa zero.

Teorama. Para sa linear system homogenous equation nagkaroon ng di-zero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na Δ ≠ 0.

Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga halimbawa.

Eigenvectors at eigenvalues ng isang matrix

Hayaang magbigay ng square matrix , X– ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix A. .

Sa maraming problema kailangan nating isaalang-alang ang equation para sa X

kung saan ang λ ay isang tiyak na numero. Malinaw na para sa anumang λ ang equation na ito ay may zero na solusyon.

Ang bilang na λ kung saan ang equation na ito ay may mga non-zero na solusyon ay tinatawag eigenvalue matrice A, A X para sa gayong λ ay tinatawag eigenvector matrice A.

Hanapin natin ang eigenvector ng matrix A. Dahil ang E∙X = X, kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang o . Sa pinalawak na anyo, ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang isang sistema ng mga linear na equation. Talaga .

At samakatuwid

Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng homogenous na linear equation para sa pagtukoy ng mga coordinate x 1, x 2, x 3 vector X. Para sa isang sistema na magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang determinant ng system ay katumbas ng zero, i.e.

Ito ay isang 3rd degree na equation para sa λ. Ang tawag dito katangian equation matrice A at nagsisilbi upang matukoy ang mga eigenvalues ng λ.

Ang bawat eigenvalue λ ay tumutugma sa isang eigenvector X, na ang mga coordinate ay tinutukoy mula sa system sa katumbas na halaga ng λ.

Mga halimbawa.

VECTOR ALGEBRA. ANG KONSEPTO NG VECTOR

Kapag nag-aaral ng iba't ibang sangay ng pisika, mayroong mga dami na ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa kanilang mga numerical na halaga, halimbawa, haba, lugar, masa, temperatura, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na scalar. Gayunpaman, bilang karagdagan sa kanila, mayroon ding mga dami, upang matukoy kung alin, bilang karagdagan sa numerical na halaga, kinakailangan ding malaman ang kanilang direksyon sa espasyo, halimbawa, ang puwersa na kumikilos sa katawan, ang bilis at pagbilis ng katawan kapag gumagalaw ito sa kalawakan, tensyon magnetic field sa isang partikular na punto sa espasyo, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na mga dami ng vector.

Ipakilala natin ang isang mahigpit na kahulugan.

Direktang segment Tawagan natin ang isang segment, na nauugnay sa mga dulo kung saan alam kung alin sa kanila ang una at alin ang pangalawa.

Vector tinatawag na nakadirekta na segment na may tiyak na haba, i.e. Ito ay isang segment ng isang tiyak na haba, kung saan ang isa sa mga puntong naglilimita dito ay kinuha bilang simula, at ang pangalawa bilang dulo. Kung A- ang simula ng vector, B ay ang katapusan nito, kung gayon ang vector ay tinutukoy ng simbolo; bilang karagdagan, ang vector ay madalas na tinutukoy ng isang solong titik. Sa figure, ang vector ay ipinahiwatig ng isang segment, at ang direksyon nito sa pamamagitan ng isang arrow.

Module o haba Ang isang vector ay tinatawag na haba ng nakadirekta na segment na tumutukoy dito. Tinutukoy ng || o ||.

Isasama rin natin ang tinatawag na zero vector, na ang simula at pagtatapos ay nag-tutugma, bilang mga vector. Ito ay itinalaga. Ang zero vector ay walang partikular na direksyon at ang modulus nito ay zero ||=0.

Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya. Bukod dito, kung ang mga vector at nasa parehong direksyon, isusulat namin ang , kabaligtaran.

Ang mga vector na matatagpuan sa mga tuwid na linya na parallel sa parehong eroplano ay tinatawag coplanar.

Ang dalawang vector ay tinatawag pantay, kung ang mga ito ay collinear, may parehong direksyon at pantay ang haba. Sa kasong ito sila ay nagsusulat.

Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector, sumusunod na ang isang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito, na inilalagay ang pinagmulan nito sa anumang punto sa espasyo.

Halimbawa.

MGA LINEAR NA OPERASYON SA MGA VECTOR

Pagpaparami ng vector sa isang numero.
Ang produkto ng isang vector at ang numerong λ ay isang bagong vector tulad na:

Ang produkto ng isang vector at isang numerong λ ay tinutukoy ng .

Halimbawa, mayroong isang vector na nakadirekta sa parehong direksyon ng vector at may kalahating haba ng haba ng vector.

Ang ipinakilalang operasyon ay may mga sumusunod ari-arian:
Pagdaragdag ng vector.
Hayaan at maging dalawang arbitrary vectors. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto O at bumuo ng isang vector. Pagkatapos noon mula sa punto A isantabi natin ang vector. Ang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng pangalawa ay tinatawag halaga ng mga vector na ito at ipinapahiwatig .

Tinatawag ang formulated definition ng vector addition tuntunin ng paralelogram, dahil ang parehong kabuuan ng mga vector ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Ipagpaliban natin mula sa punto O mga vector at . Bumuo tayo ng paralelogram sa mga vector na ito OABC. Dahil ang mga vector, pagkatapos ay ang vector, na isang dayagonal ng isang paralelogram na iginuhit mula sa vertex O, ay malinaw na isang kabuuan ng mga vector.

Madaling suriin ang mga sumusunod Mga katangian ng pagdaragdag ng vector.
Pagkakaiba ng vector.
Ang isang vector collinear sa isang ibinigay na vector, katumbas ng haba at magkasalungat na direksyon, ay tinatawag kabaligtaran vector para sa isang vector at tinutukoy ng . Ang kabaligtaran na vector ay maaaring isaalang-alang bilang resulta ng pagpaparami ng vector sa bilang na λ = –1: .

Eigenvalues(mga numero) at eigenvectors.
Mga halimbawa ng solusyon

Maging sarili mo

Mula sa parehong mga equation ito ay sumusunod na .

Ilagay natin ito pagkatapos: .

Ang resulta: – pangalawang eigenvector.

Ulitin natin mahahalagang puntos mga solusyon:

– tiyak na mayroon ang resultang sistema karaniwang desisyon(ang mga equation ay linearly dependent);

– pipiliin namin ang "y" sa paraang ito ay integer at ang unang "x" na coordinate ay integer, positibo at kasing liit hangga't maaari.

– sinusuri namin na ang partikular na solusyon ay nakakatugon sa bawat equation ng system.

Sagot .

Nasa pagitan " mga control point" ay sapat na, kaya ang pagsuri sa mga pagkakapantay-pantay ay, sa prinsipyo, ay hindi kailangan.

Sa iba't ibang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang mga coordinate ng eigenvectors ay madalas na nakasulat hindi sa mga haligi, ngunit sa mga hilera, halimbawa: (at, sa totoo lang, sanay na akong isulat ang mga ito sa mga linya). Ang pagpipiliang ito ay katanggap-tanggap, ngunit sa liwanag ng paksa mga linear na pagbabago teknikal na mas maginhawang gamitin mga vector ng haligi.

Marahil ang solusyon ay tila napakatagal sa iyo, ngunit ito ay dahil lamang sa nagkomento ako sa unang halimbawa nang detalyado.

Halimbawa 2

Mga matrice

Magsanay tayo sa ating sarili! Isang tinatayang halimbawa ng pangwakas na gawain sa pagtatapos ng aralin.

Minsan kailangan mong gawin karagdagang gawain, ibig sabihin:

isulat ang canonical matrix decomposition

Ano ito?

Kung ang eigenvectors ng matrix ay nabuo batayan, pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang:

Nasaan ang isang matrix na binubuo ng mga coordinate ng eigenvectors, - dayagonal matrix na may kaukulang mga eigenvalues.

Ang matrix decomposition na ito ay tinatawag kanonikal o dayagonal.

Tingnan natin ang matrix ng unang halimbawa. Ang eigenvectors nito linearly independent(non-collinear) at bumubuo ng batayan. Gumawa tayo ng matrix ng kanilang mga coordinate:

Naka-on pangunahing dayagonal matrice sa naaangkop na pagkakasunud-sunod ang mga eigenvalues ay matatagpuan, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng zero:
- Muli kong binibigyang-diin ang kahalagahan ng pagkakasunud-sunod: "dalawa" ay tumutugma sa 1st vector at samakatuwid ay matatagpuan sa 1st column, "three" - sa 2nd vector.

Sa pamamagitan ng sa karaniwang algorithm paghahanap baligtad na matris o Gauss-Jordan na pamamaraan nahanap namin . Hindi, hindi iyon isang typo! - bago ka ay isang bihirang kaganapan, tulad ng isang solar eclipse, kapag ang reverse coincided sa orihinal na matrix.

Ito ay nananatiling isulat ang canonical decomposition ng matrix:

Ang sistema ay maaaring lutasin gamit ang mga elementarya na pagbabago at sa mga sumusunod na halimbawa ay gagamitin natin ang pamamaraang ito. Ngunit narito ang paraan ng "paaralan" ay gumagana nang mas mabilis. Mula sa ika-3 equation ipinapahayag namin: – palitan sa pangalawang equation:

Dahil ang unang coordinate ay zero, nakakakuha kami ng isang sistema, mula sa bawat equation kung saan ito ay sumusunod na .

At muli bigyang-pansin ang ipinag-uutos na presensya ng isang linear na relasyon. Kung puro solusyon lang ang makukuha , pagkatapos ay ang eigenvalue ay natagpuan nang hindi tama, o ang system ay pinagsama/nalutas na may error.

Ang mga compact na coordinate ay nagbibigay ng halaga

Eigenvector:

At muli, tinitingnan namin kung natagpuan ang solusyon natutugunan ang bawat equation ng system. Sa kasunod na mga talata at sa kasunod na mga gawain, inirerekumenda kong kunin ang hiling na ito bilang isang ipinag-uutos na tuntunin.

2) Para sa eigenvalue, gamit ang parehong prinsipyo, nakukuha namin ang sumusunod na sistema:

Mula sa 2nd equation ng system na ipinapahayag namin: – palitan sa ikatlong equation:

Dahil ang coordinate ng "zeta" ay katumbas ng zero, nakakakuha tayo ng isang sistema mula sa bawat equation na sinusundan nito linear dependence.

Hayaan

Sinusuri na ang solusyon natutugunan ang bawat equation ng system.

Kaya, ang eigenvector ay: .

3) At sa wakas, ang sistema ay tumutugma sa eigenvalue:

Ang pangalawang equation ay mukhang pinakasimple, kaya't ipahayag natin ito at palitan ito sa 1st at 3rd equation:

Maayos ang lahat - lumitaw ang isang linear na relasyon, na pinapalitan namin sa expression:

Bilang resulta, ang "x" at "y" ay ipinahayag sa pamamagitan ng "z": . Sa pagsasagawa, hindi kinakailangan na makamit ang eksaktong mga ganoong relasyon; sa ilang mga kaso, mas maginhawang ipahayag ang parehong sa pamamagitan ng o at sa pamamagitan ng . O kahit na "tren" - halimbawa, "X" hanggang "I", at "I" hanggang "Z"

Ilagay natin ito pagkatapos:

Sinusuri namin na natagpuan ang solusyon natutugunan ang bawat equation ng system at isinulat ang ikatlong eigenvector

Sagot: eigenvectors:

Sa geometriko, tinutukoy ng mga vector na ito ang tatlong magkakaibang spatial na direksyon ("Ayan at babalik ulit"), Ayon sa linear na pagbabago binabago ang mga di-zero na vector (eigenvectors) sa mga collinear na vector.

Kung ang kondisyon ay nangangailangan ng paghahanap ng canonical decomposition, pagkatapos ito ay posible dito, dahil iba't ibang eigenvalues ay tumutugma sa iba't ibang linearly independent eigenvectors. Paggawa ng matrix mula sa kanilang mga coordinate, isang diagonal matrix mula sa kaugnay eigenvalues at hanapin baligtad na matris .

Kung, sa kondisyon, kailangan mong magsulat linear transformation matrix sa batayan ng eigenvectors, pagkatapos ay ibibigay namin ang sagot sa form . May pagkakaiba, at malaki ang pagkakaiba! Dahil ang matrix na ito ay ang "de" matrix.

Problema sa higit pa mga simpleng kalkulasyon Para sa malayang desisyon:

Halimbawa 5

Maghanap ng mga eigenvector ng isang linear na pagbabagong ibinigay ng isang matrix

Kapag naghahanap ng sarili mong mga numero, subukang huwag pumunta sa isang 3rd degree polynomial. Bilang karagdagan, ang iyong mga solusyon sa system ay maaaring naiiba sa aking mga solusyon - walang katiyakan dito; at ang mga vector na makikita mo ay maaaring magkaiba mula sa mga sample na vector hanggang sa proporsyonalidad ng kani-kanilang mga coordinate. Halimbawa, at. Mas kasiya-siyang ipakita ang sagot sa form, ngunit okay lang kung titigil ka sa pangalawang opsyon. Gayunpaman, may mga makatwirang limitasyon sa lahat; hindi na maganda ang hitsura ng bersyon.

Isang tinatayang huling sample ng takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin.

Paano malutas ang problema sa kaso ng maramihang mga eigenvalues?

Pangkalahatang algorithm nananatiling pareho, ngunit mayroon itong sariling mga katangian, at ipinapayong panatilihin ang ilang bahagi ng solusyon sa mas mahigpit na istilong pang-akademiko:

Halimbawa 6

Maghanap ng mga eigenvalues at eigenvectors

Solusyon

Siyempre, i-capitalize natin ang kamangha-manghang unang column:

At, pagkatapos i-factor ang quadratic trinomial:

Bilang isang resulta, ang mga eigenvalues ay nakuha, dalawa sa mga ito ay multiple.

Hanapin natin ang eigenvectors:

1) Haharapin natin ang isang nag-iisang sundalo ayon sa isang "pinasimple" na pamamaraan:

Mula sa huling dalawang equation, ang pagkakapantay-pantay ay malinaw na nakikita, na, malinaw naman, ay dapat ipalit sa unang equation ng system:

Hindi ka makakahanap ng mas mahusay na kumbinasyon:
Eigenvector:

2-3) Ngayon ay nag-aalis kami ng ilang mga bantay. SA sa kasong ito baka gumana dalawa man o isa eigenvector. Anuman ang multiplicity ng mga ugat, pinapalitan namin ang halaga sa determinant na nagdadala sa atin ng susunod homogenous na sistema ng mga linear na equation:

Ang mga eigenvector ay eksaktong mga vector
pangunahing sistema ng mga solusyon

Sa totoo lang, sa buong aralin ay wala kaming ginawa kundi hanapin ang mga vector ng pangunahing sistema. Sa ngayon ay hindi partikular na kinakailangan ang terminong ito. Siyanga pala, ang mga matatalinong estudyanteng hindi nasagot ang paksa sa camouflage suit homogenous equation, ay mapipilitang manigarilyo ngayon.

Ang tanging aksyon ay alisin ang mga karagdagang linya. Ang resulta ay isang one-by-three matrix na may pormal na "hakbang" sa gitna.
– pangunahing variable, – libreng variable. Mayroong dalawang libreng variable, samakatuwid mayroon ding dalawang vectors ng pangunahing sistema.

Ipahayag natin ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable: . Ang zero multiplier sa harap ng "X" ay nagbibigay-daan dito na kumuha ng ganap na anumang mga halaga (na malinaw na nakikita mula sa sistema ng mga equation).

Sa konteksto ng problemang ito, mas maginhawang isulat ang pangkalahatang solusyon hindi sa isang hilera, ngunit sa isang haligi:

Ang pares ay tumutugma sa isang eigenvector:
Ang pares ay tumutugma sa isang eigenvector:

Tandaan : maaaring piliin ng mga sopistikadong mambabasa ang mga vector na ito nang pasalita - sa pamamagitan lamang ng pagsusuri sa system , ngunit kailangan ang ilang kaalaman dito: mayroong tatlong variable, ranggo ng system matrix- isa, ibig sabihin pangunahing sistema ng pagpapasya binubuo ng 3 – 1 = 2 vectors. Gayunpaman, ang mga nahanap na vector ay malinaw na nakikita kahit na walang kaalaman na ito, puro sa isang intuitive na antas. Sa kasong ito, ang ikatlong vector ay isusulat nang mas "maganda": . Gayunpaman, binabalaan kita na sa isa pang halimbawa, ang isang simpleng pagpili ay maaaring hindi posible, kaya naman ang sugnay ay inilaan para sa mga taong may karanasan. Bilang karagdagan, bakit hindi kunin, sabihin, bilang ikatlong vector? Pagkatapos ng lahat, ang mga coordinate nito ay nakakatugon din sa bawat equation ng system, at ang mga vectors linearly independent. Ang pagpipiliang ito, sa prinsipyo, ay angkop, ngunit "baluktot", dahil ang "iba pa" na vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng pangunahing sistema.

Sagot: eigenvalues: , eigenvectors:

Isang katulad na halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 7

Maghanap ng mga eigenvalues at eigenvectors

Isang tinatayang sample ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Dapat pansinin na sa parehong ika-6 at ika-7 na halimbawa ay nakuha ang triple ng mga linearly independent na eigenvectors, at samakatuwid ang orihinal na matrix ay kumakatawan sa canonical decomposition. Ngunit ang gayong mga raspberry ay hindi nangyayari sa lahat ng mga kaso:

Halimbawa 8

Solusyon: Gumawa at lutasin natin ang katangiang equation:

Palawakin natin ang determinant sa unang column:

Nagsasagawa kami ng mga karagdagang pagpapasimple ayon sa isinasaalang-alang na pamamaraan, pag-iwas sa third-degree polynomial:

– mga halagang eigen.

Hanapin natin ang eigenvectors:

1) Walang mga paghihirap sa ugat:

Huwag magulat, bilang karagdagan sa kit, mayroon ding mga variable na ginagamit - walang pagkakaiba dito.

Mula sa 3rd equation ipinapahayag namin ito at pinapalitan ito sa 1st at 2nd equation:

Mula sa parehong mga equation ito ay sumusunod:

Hayaan pagkatapos:

2-3) Para sa maramihang mga halaga, nakukuha namin ang system .

Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

Ang eigenvector ng isang square matrix ay isa na, kapag pinarami ng isang ibinigay na matrix, ay nagreresulta sa isang collinear vector. Sa simpleng salita, kapag nagpaparami ng isang matrix sa isang eigenvector, ang huli ay nananatiling pareho, ngunit pinarami ng isang tiyak na numero.

Kahulugan

Ang eigenvector ay isang non-zero vector V, na, kapag pinarami ng isang square matrix M, ay nagiging mismong nadagdagan ng ilang bilang na λ. Sa algebraic notation ay ganito ang hitsura:

M × V = λ × V,

kung saan ang λ ay ang eigenvalue ng matrix M.

Isaalang-alang natin halimbawa ng numero. Para sa kadalian ng pag-record, ang mga numero sa matrix ay paghihiwalayin ng isang semicolon. Magkaroon tayo ng matrix:

M = 0; 4;
6; 10.

I-multiply natin ito sa isang column vector:

V = -2;

Kapag pinarami natin ang isang matrix sa isang column vector, nakakakuha din tayo ng column vector. Mahigpit wikang matematikal ang formula para sa pagpaparami ng 2 × 2 matrix sa isang column vector ay magiging ganito:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 × V11 + M22 × V21.

Ang ibig sabihin ng M11 ay ang elemento ng matrix M na matatagpuan sa unang hilera at unang hanay, at ang M22 ay nangangahulugang ang elementong matatagpuan sa ikalawang hanay at ikalawang hanay. Para sa aming matrix, ang mga elementong ito ay katumbas ng M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Para sa isang column vector, ang mga halagang ito ay katumbas ng V11 = –2, V21 = 1. Ayon sa formula na ito, nakukuha namin ang sumusunod na resulta ng produkto ng isang square matrix sa pamamagitan ng isang vector:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Para sa kaginhawahan, isulat natin ang column vector sa isang row. Kaya, pinarami namin ang square matrix sa vector (-2; 1), na nagreresulta sa vector (4; -2). Malinaw, ito ay ang parehong vector na pinarami ng λ = -2. Ang Lambda sa kasong ito ay nagsasaad ng eigenvalue ng matrix.

Ang eigenvector ng isang matrix ay isang collinear vector, iyon ay, isang bagay na hindi nagbabago ng posisyon nito sa espasyo kapag pinarami ng isang matrix. Ang konsepto ng collinearity sa vector algebra ay katulad ng term ng parallelism sa geometry. Sa isang geometric na interpretasyon, ang mga collinear vector ay parallel na nakadirekta na mga segment na may iba't ibang haba. Mula noong panahon ng Euclid, alam natin na ang isang linya ay may walang katapusang bilang ng mga linya na kahanay nito, kaya lohikal na ipagpalagay na ang bawat matrix ay may walang katapusang bilang ng eigenvectors.

Mula sa nakaraang halimbawa ay malinaw na ang eigenvectors ay maaaring (-8; 4), at (16; -8), at (32, -16). Ang lahat ng ito ay mga collinear vector na tumutugma sa eigenvalue λ = -2. Kapag pina-multiply ang orihinal na matrix sa mga vector na ito, mapupunta pa rin tayo sa isang vector na naiiba sa orihinal ng 2 beses. Iyon ang dahilan kung bakit, kapag nilutas ang mga problema sa paghahanap ng isang eigenvector, kinakailangan na makahanap lamang ng mga linearly na independiyenteng mga bagay na vector. Kadalasan, para sa isang n × n matrix, mayroong isang n bilang ng mga eigenvector. Ang aming calculator ay idinisenyo para sa pagsusuri ng mga second-order square matrice, kaya halos palaging ang resulta ay makakahanap ng dalawang eigenvectors, maliban sa mga kaso kapag sila ay nag-tutugma.

Sa halimbawa sa itaas, alam namin ang eigenvector ng orihinal na matrix nang maaga at malinaw naming tinukoy ang numero ng lambda. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang lahat ay nangyayari sa kabaligtaran: ang mga eigenvalues ay matatagpuan muna at pagkatapos ay ang mga eigenvectors.

Algorithm ng solusyon

Tingnan natin muli ang orihinal na matrix M at subukang hanapin ang parehong eigenvectors nito. Kaya ang matrix ay ganito ang hitsura:

M = 0; 4;
6; 10.

Una kailangan nating matukoy ang eigenvalue λ, na nangangailangan ng pagkalkula ng determinant ng sumusunod na matrix:

(0 − λ); 4;
6; (10 − λ).

Ang matrix na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng hindi kilalang λ mula sa mga elemento sa pangunahing dayagonal. Ang determinant ay tinutukoy gamit ang karaniwang formula:

detA = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Dahil ang aming vector ay dapat na hindi zero, tinatanggap namin ang resultang equation bilang linearly dependent at itinutumbas ang aming determinant na detA sa zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Buksan natin ang mga bracket at kunin ang katangian na equation ng matrix:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ito ay pamantayan quadratic equation, na kailangang lutasin sa pamamagitan ng discriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Ang ugat ng discriminant ay sqrt(D) = 14, samakatuwid λ1 = -2, λ2 = 12. Ngayon para sa bawat halaga ng lambda kailangan nating hanapin ang eigenvector. Ipahayag natin ang mga coefficient ng system para sa λ = -2.

M − λ × E = 2; 4;
6; 12.

Sa formula na ito, ang E ay ang identity matrix. Batay sa nagresultang matrix, lumikha kami ng isang sistema ng mga linear na equation:

2x + 4y = 6x + 12y,

kung saan ang x at y ay ang eigenvector elements.

Kolektahin natin ang lahat ng X sa kaliwa at lahat ng Y sa kanan. Malinaw - 4x = 8y. Hatiin ang expression sa - 4 at makuha ang x = –2y. Ngayon ay matutukoy natin ang unang eigenvector ng matrix, na kumukuha ng anumang mga halaga ng mga hindi alam (tandaan ang kawalang-hanggan ng mga linearly dependent na eigenvectors). Kunin natin ang y = 1, pagkatapos ay x = –2. Samakatuwid, ang unang eigenvector ay mukhang V1 = (–2; 1). Bumalik sa simula ng artikulo. Ito ang vector object na pinarami namin ang matrix upang ipakita ang konsepto ng isang eigenvector.

Ngayon hanapin natin ang eigenvector para sa λ = 12.

M - λ × E = -12; 4
6; -2.

Gumawa tayo ng parehong sistema ng mga linear na equation;

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6y
3x = y.

Ngayon kinukuha namin ang x = 1, samakatuwid y = 3. Kaya, ang pangalawang eigenvector ay parang V2 = (1; 3). Kapag pina-multiply ang orihinal na matrix sa isang naibigay na vector, ang resulta ay palaging magiging parehong vector na pinarami ng 12. Dito nagtatapos ang algorithm ng solusyon. Ngayon alam mo na kung paano manu-manong matukoy ang eigenvector ng isang matrix.

determinant;
bakas, iyon ay, ang kabuuan ng mga elemento sa pangunahing dayagonal;
ranggo, iyon ay, ang maximum na bilang ng mga linearly independent na row/column.

Ang programa ay nagpapatakbo ayon sa algorithm sa itaas, pinaikli ang proseso ng solusyon hangga't maaari. Mahalagang ituro na sa programa ang lambda ay itinalaga ng titik na "c". Tingnan natin ang isang numerical na halimbawa.

Halimbawa kung paano gumagana ang programa

Subukan nating matukoy ang mga eigenvector para sa sumusunod na matrix:

M = 5; 13;
4; 14.

Ipasok natin ang mga halagang ito sa mga cell ng calculator at makuha ang sagot sa sumusunod na form:

Ranggo ng matrix: 2;
Matrix determinant: 18;
Matrix trace: 19;
Pagkalkula ng eigenvector: c 2 − 19.00c + 18.00 (characteristic equation);
Pagkalkula ng Eigenvector: 18 (unang halaga ng lambda);
Pagkalkula ng Eigenvector: 1 (pangalawang halaga ng lambda);
Sistema ng mga equation para sa vector 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
Sistema ng mga equation para sa vector 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
Eigenvector 1: (1; 1);
Eigenvector 2: (-3.25; 1).

Kaya, nakakuha kami ng dalawang linearly independent eigenvectors.

Konklusyon

Ang linear algebra at analytical geometry ay karaniwang mga paksa para sa anumang freshman engineering major. Ang malaking bilang ng mga vector at matrice ay nakakatakot, at madaling magkamali sa mga masalimuot na kalkulasyon. Ang aming programa ay magbibigay-daan sa mga mag-aaral na suriin ang kanilang mga kalkulasyon o awtomatikong lutasin ang problema sa paghahanap ng eigenvector. Mayroong iba pang mga linear algebra calculators sa aming catalog; gamitin ang mga ito sa iyong pag-aaral o trabaho.

Kahulugan 9.3. Vector X tinawag eigenvector matrice A, kung mayroong ganoong numero λ, na taglay ng pagkakapantay-pantay: A X= λ X, iyon ay, ang resulta ng pag-aaplay sa X linear transformation na tinukoy ng matrix A, ay ang multiplikasyon ng vector na ito sa numero λ . Ang numero mismo λ tinawag eigenvalue matrice A.

Pagpapalit sa mga formula (9.3) x` j = λx j , nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga coordinate ng eigenvector:

. (9.5)

Ang linear homogenous na sistemang ito ay magkakaroon lamang ng hindi mahalaga na solusyon kung ang pangunahing determinant nito ay 0 (Cramer's rule). Sa pamamagitan ng pagsulat ng kundisyong ito sa anyo:

nakakakuha tayo ng equation para sa pagtukoy ng eigenvalues λ , tinawag katangian equation. Sa madaling sabi maaari itong ilarawan bilang mga sumusunod:

| A - λE | = 0, (9.6)

dahil ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng determinant ng matrix A-λE. Polinomyal na kamag-anak λ | A - λE| tinawag katangiang polinomyal matrices A.

Mga katangian ng katangiang polynomial:

1) Ang katangiang polynomial ng isang linear na pagbabago ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan. Patunay. (tingnan ang (9.4)), ngunit kaya naman, . Kaya, hindi ito nakasalalay sa pagpili ng batayan. Nangangahulugan ito na | A-λE| hindi nagbabago kapag lumipat sa isang bagong batayan.

2) Kung ang matrix A ang linear transformation ay simetriko(mga. at ij =a ji), kung gayon ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation (9.6) ay mga tunay na numero.

Mga katangian ng eigenvalues at eigenvectors:

1) Kung pipili ka ng batayan mula sa eigenvectors x 1, x 2, x 3 , na tumutugma sa mga eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, pagkatapos sa batayan na ito ang linear transformation A ay may matrix ng diagonal form:

(9.7) Ang patunay ng property na ito ay sumusunod sa kahulugan ng eigenvectors.

2) Kung ang mga eigenvalues ng pagbabago A ay magkaiba, kung gayon ang kanilang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent.

3) Kung ang katangian polynomial ng matrix A may tatlo iba't ibang ugat, pagkatapos ay sa ilang batayan ang matrix A ay may dayagonal na anyo.

Hanapin natin ang eigenvalues at eigenvectors ng matrix Gumawa tayo ng isang katangian na equation: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Hanapin natin ang mga coordinate ng eigenvectors na tumutugma sa bawat nahanap na halaga λ. Mula sa (9.5) sumusunod na kung X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – katumbas ng eigenvector λ 1 =-2, pagkatapos

- isang kooperatiba ngunit hindi tiyak na sistema. Ang solusyon nito ay maaaring isulat sa form X (1) ={a,0,-a), kung saan ang a ay anumang numero. Sa partikular, kung kailangan namin na | x (1) |=1, X (1) =

Pagpapalit sa system (9.5) λ 2 =3, nakakakuha kami ng isang sistema para sa pagtukoy ng mga coordinate ng pangalawang eigenvector - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, saan X (2) ={b,-b,b) o, ibinigay | x (2) |=1, x (2) =

Para sa λ 3 = 6 hanapin ang eigenvector x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) o sa normalized na bersyon

x (3) = Mapapansin iyon X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Kaya, ang eigenvectors ng matrix na ito ay pairwise orthogonal.

Lektura 10.

Mga parisukat na anyo at ang kanilang koneksyon sa mga simetriko na matrice. Mga katangian ng eigenvectors at eigenvalues ng isang simetriko matrix. Pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo.

Kahulugan 10.1.Quadratic na hugis tunay na mga variable x 1, x 2,…, x n ay tinatawag na polynomial ng pangalawang degree sa mga variable na ito na hindi naglalaman ng libreng termino at mga termino ng unang degree.

Mga halimbawa ng mga parisukat na anyo:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Alalahanin natin ang kahulugan ng isang simetriko matrix na ibinigay sa huling lecture:

Kahulugan 10.2. Ang square matrix ay tinatawag simetriko, kung , iyon ay, kung ang mga elemento ng matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal ay pantay.

Mga katangian ng eigenvalues at eigenvectors ng isang simetriko matrix:

1) Ang lahat ng eigenvalues ng isang simetriko matrix ay totoo.

Patunay (para sa n = 2).

Hayaan ang matrix A ay may anyo: . Gumawa tayo ng isang katangian na equation: