Kahulugan 7.1. Ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos na F 1 at F 2 ay isang ibinigay na pare-parehong halaga ay tinatawag ellipse.
Ang kahulugan ng isang ellipse ay nagbibigay ng sumusunod na paraan ng geometriko na konstruksyon nito. Inaayos namin ang dalawang puntos na F 1 at F 2 sa eroplano, at tinutukoy ang isang di-negatibong pare-parehong halaga ng 2a. Hayaan ang distansya sa pagitan ng mga punto F 1 at F 2 ay 2c. Isipin natin na ang isang hindi mapalawak na thread na may haba na 2a ay naayos sa mga puntong F 1 at F 2, halimbawa, gamit ang dalawang karayom. Malinaw na ito ay posible lamang para sa isang ≥ c. Ang paghila ng thread gamit ang isang lapis, gumuhit ng isang linya, na magiging isang ellipse (Larawan 7.1).
Kaya, ang inilarawan na set ay hindi walang laman kung ang isang ≥ c. Kapag a = c, ang ellipse ay isang segment na may dulo ng F 1 at F 2, at kapag c = 0, i.e. Kung ang mga nakapirming puntos na tinukoy sa kahulugan ng isang ellipse ay nag-tutugma, ito ay isang bilog ng radius a. Kung itinatapon ang mga lumalalang kaso na ito, ipagpalagay pa natin, bilang panuntunan, na a > c > 0.
Ang mga nakapirming puntos na F 1 at F 2 sa kahulugan 7.1 ng ellipse (tingnan ang Fig. 7.1) ay tinatawag ellipse foci, ang distansya sa pagitan nila, na ipinahiwatig ng 2c, - Focal length, at ang mga segment na F 1 M at F 2 M na nag-uugnay sa isang arbitrary na punto M sa ellipse kasama ang foci nito ay focal radii.
Ang hugis ng ellipse ay ganap na tinutukoy ng focal length |F 1 F 2 | = 2c at parameter a, at ang posisyon nito sa eroplano - isang pares ng mga puntos F 1 at F 2.
Mula sa kahulugan ng isang ellipse sumusunod na ito ay simetriko na may paggalang sa linya na dumadaan sa foci F 1 at F 2, pati na rin tungkol sa linya na naghahati sa segment F 1 F 2 sa kalahati at patayo dito. (Larawan 7.2, a). Ang mga linyang ito ay tinatawag ellipse axes. Ang punto O ng kanilang intersection ay ang sentro ng simetrya ng ellipse, at ito ay tinatawag gitna ng ellipse, at ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ng simetrya (mga punto A, B, C at D sa Fig. 7.2, a) - vertex ng ellipse.
Ang numero a ay tinatawag semimajor axis ng ellipse, at b = √(a 2 - c 2) - nito menor de edad axis. Madaling makita na para sa c > 0, ang semi-major axis a ay katumbas ng distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa mga vertices nito na nasa parehong axis na may foci ng ellipse (vertices A at B sa Fig. 7.2, a), at ang semi-minor axis b ay katumbas ng distansya mula sa center ellipse hanggang sa dalawa pang vertices nito (vertices C at D sa Fig. 7.2, a).
Ellipse equation. Isaalang-alang natin ang ilang ellipse sa eroplano na may mga nakatutok sa mga puntong F 1 at F 2, pangunahing axis 2a. Hayaang 2c ang focal length, 2c = |F 1 F 2 |
Pumili tayo ng isang rectangular coordinate system na Oxy sa eroplano upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa gitna ng ellipse, at ang foci nito ay nasa x-axis(Larawan 7.2, b). Ang ganitong coordinate system ay tinatawag kanonikal para sa ellipse na pinag-uusapan, at ang kaukulang mga variable ay kanonikal.
Sa napiling coordinate system, ang foci ay may mga coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng mga punto, isinusulat namin ang kondisyon |F 1 M| + |F 2 M| = 2a sa mga coordinate:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ang equation na ito ay hindi maginhawa dahil naglalaman ito ng dalawang square radical. Kaya ibahin natin ito. Ilipat natin ang pangalawang radical sa equation (7.2) sa kanang bahagi at parisukat ito:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Pagkatapos buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad na termino, nakukuha namin
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
kung saan ε = c/a. Inuulit namin ang squaring operation upang alisin ang pangalawang radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, o, isinasaalang-alang ang halaga ng ipinasok na parameter ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Dahil ang isang 2 - c 2 = b 2 > 0, kung gayon
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Ang equation (7.4) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng lahat ng mga punto na nakahiga sa ellipse. Ngunit kapag hinango ang equation na ito, walang katumbas na pagbabagong-anyo ng orihinal na equation (7.2) ang ginamit - dalawang squarings na nag-aalis ng mga square radical. Ang pag-square ng isang equation ay isang katumbas na pagbabagong-anyo kung ang magkabilang panig ay may mga dami na may parehong tanda, ngunit hindi namin ito sinuri sa aming mga pagbabagong-anyo.
Maiiwasan nating suriin ang katumbas ng mga pagbabago kung isasaalang-alang natin ang mga sumusunod. Isang pares ng mga puntos F 1 at F 2, |F 1 F 2 | = 2c, sa eroplano ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga ellipse na may foci sa mga puntong ito. Ang bawat punto ng eroplano, maliban sa mga punto ng segment na F 1 F 2, ay kabilang sa ilang ellipse ng ipinahiwatig na pamilya. Sa kasong ito, walang dalawang ellipse ang nagsalubong, dahil ang kabuuan ng focal radii ay natatanging tumutukoy sa isang tiyak na ellipse. Kaya, ang inilarawan na pamilya ng mga ellipse na walang mga intersection ay sumasakop sa buong eroplano, maliban sa mga punto ng segment F 1 F 2. Isaalang-alang natin ang isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (7.4) na may ibinigay na halaga ng parameter a. Maaari bang ipamahagi ang set na ito sa ilang ellipses? Ang ilan sa mga punto ng set ay nabibilang sa isang ellipse na may semimajor axis a. Hayaang mayroong isang punto sa set na ito na nakahiga sa isang ellipse na may semimajor axis a. Pagkatapos ang mga coordinate ng puntong ito ay sumusunod sa equation
mga. ang mga equation (7.4) at (7.5) ay mayroon pangkalahatang solusyon. Gayunpaman, madaling i-verify na ang system
para sa ã ≠ a ay walang mga solusyon. Upang gawin ito, sapat na upang ibukod, halimbawa, ang x mula sa unang equation:
na pagkatapos ng mga pagbabago ay humahantong sa equation
na walang mga solusyon para sa ã ≠ a, dahil . Kaya, ang (7.4) ay ang equation ng isang ellipse na may semi-major axis a > 0 at semi-minor axis b =√(a 2 - c 2) > 0. Ito ay tinatawag na canonical ellipse equation.
Ellipse view. Ang geometric na paraan ng pagbuo ng isang ellipse na tinalakay sa itaas ay nagbibigay ng sapat na ideya ng hitsura ellipse. Ngunit ang hugis ng ellipse ay maaari ding pag-aralan gamit ang canonical equation nito (7.4). Halimbawa, maaari mong, sa pag-aakalang y ≥ 0, ipahayag ang y hanggang x: y = b√(1 - x 2 /a 2), at, nang mapag-aralan ang function na ito, buuin ang graph nito. May isa pang paraan upang makagawa ng isang ellipse. Ang isang bilog na radius a na may sentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system ng ellipse (7.4) ay inilalarawan ng equation x 2 + y 2 = a 2 . Kung ito ay na-compress na may isang koepisyent a/b > 1 kasama y-axis, pagkatapos ay makakakuha ka ng curve na inilalarawan ng equation x 2 + (ya/b) 2 = a 2, ibig sabihin, isang ellipse.
Puna 7.1. Kung ang parehong bilog ay na-compress ng isang factor a/b
Ellipse eccentricity. Ang ratio ng focal length ng isang ellipse sa major axis nito ay tinatawag eccentricity ng ellipse at tinutukoy ng ε. Para sa isang ellipse na ibinigay
canonical equation (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Kung sa (7.4) ang mga parameter a at b ay nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay a
Kapag c = 0, kapag ang ellipse ay naging bilog, at ε = 0. Sa ibang mga kaso, 0
Ang equation (7.3) ay katumbas ng equation (7.4), dahil ang mga equation (7.4) at (7.2) ay katumbas. Samakatuwid, ang equation ng ellipse ay din (7.3). Bilang karagdagan, ang kaugnayan (7.3) ay kawili-wili dahil nagbibigay ito ng simple, walang radikal na formula para sa haba |F 2 M| isa sa focal radii ng point M(x; y) ng ellipse: |F 2 M| = a + εx.
Ang isang katulad na pormula para sa pangalawang focal radius ay maaaring makuha mula sa mga pagsasaalang-alang ng symmetry o sa pamamagitan ng paulit-ulit na mga kalkulasyon kung saan, bago ang squaring equation (7.2), ang unang radical ay inililipat sa kanang bahagi, at hindi ang pangalawa. Kaya, para sa anumang punto M(x; y) sa ellipse (tingnan ang Fig. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
at bawat isa sa mga equation na ito ay isang equation ng isang ellipse.
Halimbawa 7.1. Hanapin natin ang canonical equation ng isang ellipse na may semimajor axis 5 at eccentricity 0.8 at buuin ito.
Alam ang semi-major axis ng ellipse a = 5 at ang eccentricity ε = 0.8, makikita natin ang semi-minor axis nito b. Dahil b = √(a 2 - c 2), at c = εa = 4, pagkatapos b = √(5 2 - 4 2) = 3. Kaya ang canonical equation ay may anyo na x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Upang makabuo ng isang ellipse, ito ay maginhawa upang gumuhit ng isang rektanggulo na may sentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system, ang mga gilid nito ay kahanay sa mga symmetry axes ng ellipse at katumbas ng kaukulang mga axes nito (Fig. 7.4). Ang parihaba na ito ay bumalandra sa
ang mga palakol ng ellipse sa mga vertice nito A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), at ang ellipse mismo ay nakasulat dito. Sa Fig. Ipinapakita rin ng 7.4 ang foci F 1.2 (±4; 0) ng ellipse.
Mga geometric na katangian ng ellipse. Isulat muli natin ang unang equation sa (7.6) bilang |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Tandaan na ang value a/ε - x para sa a > c ay positibo, dahil ang focus F 1 ay hindi kabilang sa ellipse. Ang halagang ito ay kumakatawan sa distansya sa patayong linya d: x = a/ε mula sa puntong M(x; y) na nakahiga sa kaliwa ng linyang ito. Ang ellipse equation ay maaaring isulat bilang
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Nangangahulugan ito na ang ellipse na ito ay binubuo ng mga puntong M(x; y) ng eroplano kung saan ang ratio ng haba ng focal radius F 1 M sa distansya sa tuwid na linya d ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng ε (Fig. 7.5).
Ang tuwid na linyang d ay may "doble" - ang patayong tuwid na linya d, simetriko sa d na may kaugnayan sa gitna ng ellipse, na ibinibigay ng equation na x = -a/ε Sa paggalang sa d, ang ellipse ay inilalarawan sa sa parehong paraan tulad ng tungkol sa d. Parehong linya d at d" ay tinatawag mga directrix ng ellipse. Ang mga directrix ng ellipse ay patayo sa axis ng symmetry ng ellipse kung saan matatagpuan ang foci nito, at may pagitan mula sa gitna ng ellipse sa layo na a/ε = a 2 /c (tingnan ang Fig. 7.5).
Tinatawag ang distansya p mula sa directrix hanggang sa pokus na pinakamalapit dito focal parameter ng ellipse. Ang parameter na ito ay katumbas ng
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Ang ellipse ay may isa pang mahalagang geometric na katangian: ang focal radii F 1 M at F 2 M ay gumagawa ng pantay na mga anggulo sa tangent sa ellipse sa punto M (Larawan 7.6).
Ang ari-arian na ito ay may malinaw pisikal na kahulugan. Kung ang isang pinagmumulan ng liwanag ay inilagay sa focus F 1, kung gayon ang sinag na lumalabas mula sa pokus na ito, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa ellipse, ay pupunta sa pangalawang focal radius, dahil pagkatapos ng pagmuni-muni ito ay nasa parehong anggulo sa kurba tulad ng bago ang pagmuni-muni. Kaya, ang lahat ng sinag na lumalabas mula sa focus F 1 ay ikokonsentra sa pangalawang focus F 2, at vice versa. Batay sa interpretasyong ito, ang ari-arian na ito ay tinatawag optical property ng ellipse.
Kahulugan. Ang ellipse ay ang geometric na locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya ng bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga (sa kondisyon na ang halagang ito ay mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci) .
Tukuyin natin ang foci sa pamamagitan ng distansya sa pagitan nila - sa pamamagitan ng , at isang pare-parehong halaga, katumbas ng halaga mga distansya mula sa bawat punto ng ellipse hanggang sa foci, sa pamamagitan ng (ayon sa kondisyon).
Bumuo tayo ng isang Cartesian coordinate system upang ang foci ay nasa abscissa axis, at ang pinagmulan ng mga coordinate ay tumutugma sa gitna ng segment (Fig. 44). Pagkatapos ang foci ay magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate: kaliwang focus at kanang focus. Kunin natin ang equation ng ellipse sa coordinate system na napili natin. Para sa layuning ito, isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto ng ellipse. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang kabuuan ng mga distansya mula sa puntong ito hanggang sa foci ay katumbas ng:
Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, samakatuwid ay nakuha namin
Upang gawing simple ang equation na ito, isinusulat namin ito sa form
Pagkatapos ay i-squaring ang magkabilang panig ng equation, nakukuha natin
o, pagkatapos ng malinaw na pagpapasimple:
Ngayon ay i-square namin muli ang magkabilang panig ng equation, pagkatapos ay mayroon kaming:
o, pagkatapos ng magkatulad na pagbabago:
Dahil, ayon sa kondisyon sa kahulugan ng isang ellipse, kung gayon ang numero ay positibo. Ipakilala natin ang notasyon
Pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo:
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang mga coordinate ng alinman sa mga punto nito ay nakakatugon sa equation (26). Ngunit ang equation (29) ay bunga ng equation (26). Dahil dito, nasiyahan din ito sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto ng ellipse.
Maaaring ipakita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa ellipse ay hindi nakakatugon sa equation (29). Kaya, ang equation (29) ay ang equation ng isang ellipse. Ito ay tinatawag na canonical equation ng ellipse.
Itatag natin ang hugis ng ellipse gamit ang canonical equation nito.
Una sa lahat, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang equation na ito ay naglalaman lamang kahit degrees x at y. Nangangahulugan ito na kung ang anumang punto ay kabilang sa isang ellipse, kung gayon ito ay naglalaman din ng isang puntong simetriko na may puntong nauugnay sa abscissa axis, at isang puntong simetriko na may puntong nauugnay sa ordinate axis. Kaya, ang ellipse ay may dalawang magkaparehong patayo na axes ng symmetry, na sa aming napiling coordinate system ay nag-tutugma sa mga coordinate axes. Mula ngayon ay tatawagin natin ang mga axes ng simetriya ng ellipse na mga axes ng ellipse, at ang punto ng kanilang intersection sa gitna ng ellipse. Ang axis kung saan matatagpuan ang foci ng ellipse (sa sa kasong ito x-axis) ay tinatawag na focal axis.
Alamin muna natin ang hugis ng ellipse sa unang quarter. Upang gawin ito, lutasin natin ang equation (28) para sa y:
Ito ay malinaw na dito , dahil ang y ay tumatagal ng mga haka-haka na halaga. Habang tumataas ka mula 0 hanggang a, ang y ay bumababa mula sa b hanggang 0. Ang bahagi ng ellipse na nakahiga sa unang quarter ay magiging isang arko na nililimitahan ng mga puntos na B (0; b) at nakahiga sa mga coordinate axes (Fig. 45). Gamit ngayon ang simetrya ng ellipse, dumating kami sa konklusyon na ang ellipse ay may hugis na ipinapakita sa Fig. 45.
Ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ay tinatawag na vertices ng ellipse. Mula sa simetrya ng ellipse ay sumusunod na, bilang karagdagan sa mga vertices, ang ellipse ay may dalawa pang vertices (tingnan ang Fig. 45).
Ang mga segment at nagdudugtong sa tapat ng mga vertices ng ellipse, pati na rin ang kanilang mga haba, ay tinatawag na major at minor axes ng ellipse, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga numerong a at b ay tinatawag na major at minor semi-axes ng ellipse, ayon sa pagkakabanggit.
Ang ratio ng kalahati ng distansya sa pagitan ng foci hanggang sa semi-major axis ng ellipse ay tinatawag na eccentricity ng ellipse at karaniwang tinutukoy ng titik:
Dahil , ang eccentricity ng ellipse ay mas mababa kaysa sa pagkakaisa: Ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse. Sa katunayan, mula sa formula (28) sumusunod na ang mas maliit ang eccentricity ng ellipse, mas mababa ang semi-minor na axis b nito mula sa semi-major axis a, ibig sabihin, ang hindi gaanong pinahabang ellipse ay (kasama ang focal axis).
Sa limitadong kaso, ang resulta ay isang bilog ng radius a: , o . Kasabay nito, ang foci ng ellipse ay tila sumanib sa isang punto - ang gitna ng bilog. Ang eccentricity ng bilog ay zero:
Ang koneksyon sa pagitan ng ellipse at ng bilog ay maaaring maitatag mula sa ibang punto ng view. Ipakita natin na ang isang ellipse na may mga semi-axes a at b ay maituturing na projection ng isang bilog na radius a.
Isaalang-alang natin ang dalawang eroplano P at Q, na bumubuo sa pagitan ng kanilang mga sarili tulad ng isang anggulo a, kung saan (Larawan 46). Bumuo tayo ng coordinate system sa plane P, at sa Q plane ay isang system na Oxy na may karaniwang pinagmulan O at isang karaniwang abscissa axis na tumutugma sa linya ng intersection ng mga eroplano. Isaalang-alang ang isang bilog sa eroplano P
na may sentro sa pinanggalingan at radius na katumbas ng a. Hayaang maging isang arbitraryong napiling punto sa bilog, maging projection nito sa Q plane, at maging projection ng point M papunta sa Ox axis. Ipakita natin na ang punto ay nasa isang ellipse na may mga semi-axes a at b.
Second order curves sa isang eroplano ay mga linya na tinukoy ng mga equation kung saan ang mga variable na coordinate x At y ay nakapaloob sa ikalawang antas. Kabilang dito ang ellipse, hyperbola at parabola.
Ang pangkalahatang anyo ng second order curve equation ay ang mga sumusunod:
saan A, B, C, D, E, F- mga numero at hindi bababa sa isa sa mga coefficient A, B, C hindi katumbas ng zero.
Kapag nilulutas ang mga problema sa second-order curves, ang mga canonical equation ng ellipse, hyperbola at parabola ay madalas na isinasaalang-alang. Madaling lumipat sa mga ito mula sa mga pangkalahatang equation;
Ellipse na ibinigay ng canonical equation
Kahulugan ng isang ellipse. Ang isang ellipse ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa mga puntos na tinatawag na foci ay isang pare-parehong halaga na mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci.
Ang mga pokus ay ipinahiwatig tulad ng sa figure sa ibaba.
Ang canonical equation ng isang ellipse ay may anyo:
saan a At b (a > b) - ang mga haba ng semi-axes, i.e. kalahati ng haba ng mga segment na pinutol ng ellipse sa coordinate axes.
Ang tuwid na linya na dumadaan sa foci ng ellipse ay ang axis ng symmetry nito. Ang isa pang axis ng symmetry ng isang ellipse ay isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng isang segment na patayo sa segment na ito. Dot TUNGKOL SA ang intersection ng mga linyang ito ay nagsisilbing sentro ng simetrya ng ellipse o simpleng sentro ng ellipse.
Ang abscissa axis ng ellipse ay nagsalubong sa mga punto ( a, TUNGKOL SA) At (- a, TUNGKOL SA), at ang ordinate axis ay nasa mga puntos ( b, TUNGKOL SA) At (- b, TUNGKOL SA). Ang apat na puntong ito ay tinatawag na vertices ng ellipse. Ang segment sa pagitan ng mga vertices ng ellipse sa x-axis ay tinatawag na major axis nito, at sa ordinate axis - ang minor axis nito. Ang kanilang mga segment mula sa itaas hanggang sa gitna ng ellipse ay tinatawag na semi-axes.
Kung a = b, pagkatapos ay ang equation ng ellipse ay tumatagal ng anyo . Ito ang equation ng isang bilog na may radius a, at ang bilog ay espesyal na kaso ellipse. Ang isang ellipse ay maaaring makuha mula sa isang bilog ng radius a, kung i-compress mo ito sa a/b beses sa kahabaan ng axis Oy .
Halimbawa 1. Suriin kung ang isang linya na ibinigay ng isang pangkalahatang equation ay 
, ellipse.
Solusyon. Gumagawa kami ng mga pagbabago pangkalahatang equation. Ginagamit namin ang paglipat ng libreng termino sa kanang bahagi, ang termino-by-term na dibisyon ng equation sa pamamagitan ng parehong numero at ang pagbabawas ng mga fraction:
Sagot. Ang equation na nakuha bilang resulta ng mga pagbabago ay ang canonical equation ng ellipse. Samakatuwid, ang linyang ito ay isang ellipse.
Halimbawa 2. Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang mga semi-axes nito ay katumbas ng 5 at 4, ayon sa pagkakabanggit.
Solusyon. Tinitingnan natin ang formula para sa canonical equation ng isang ellipse at substitute: ang semimajor axis ay a= 5, ang semiminor axis ay b= 4 . Nakukuha namin ang canonical equation ng ellipse:
Mga puntos at , na nakasaad sa berde sa pangunahing axis, kung saan
ay tinatawag mga trick.
tinawag eccentricity ellipse.
Saloobin b/a nailalarawan ang "oblateness" ng ellipse. Ang mas maliit na ratio na ito, mas ang ellipse ay pinahaba sa kahabaan ng pangunahing axis. Gayunpaman, ang antas ng pagpahaba ng isang ellipse ay mas madalas na ipinahayag sa pamamagitan ng eccentricity, ang formula kung saan ibinigay sa itaas. Para sa iba't ibang mga ellipse, ang eccentricity ay nag-iiba mula 0 hanggang 1, palaging nananatiling mas mababa kaysa sa pagkakaisa.
Halimbawa 3. Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang distansya sa pagitan ng foci ay 8 at ang major axis ay 10.
Solusyon. Gumawa tayo ng ilang simpleng konklusyon:
Kung ang pangunahing axis ay katumbas ng 10, kung gayon ang kalahati nito, i.e. ang semi-axis a = 5 ,
Kung ang distansya sa pagitan ng foci ay 8, kung gayon ang numero c ng mga focal coordinate ay katumbas ng 4.
Pinapalitan at kinakalkula namin:
Ang resulta ay ang canonical equation ng ellipse:
Halimbawa 4. Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang major axis nito ay 26 at ang eccentricity nito ay .
Solusyon. Tulad ng mga sumusunod mula sa parehong sukat ng major axis at ang eccentricity equation, ang semimajor axis ng ellipse a= 13 . Mula sa eccentricity equation ipinapahayag namin ang numero c, kailangan upang kalkulahin ang haba ng menor de edad na semi-axis:
.
Kinakalkula namin ang parisukat ng haba ng menor de edad na semi-axis:
Binubuo namin ang canonical equation ng ellipse:
Halimbawa 5. Tukuyin ang foci ng ellipse na ibinigay ng canonical equation.
Solusyon. Hanapin ang numero c, na tumutukoy sa mga unang coordinate ng foci ng ellipse:
.
Nakukuha namin ang mga pokus ng ellipse:
Halimbawa 6. Ang foci ng ellipse ay matatagpuan sa axis baka simetriko tungkol sa pinagmulan. Buuin ang canonical equation ng ellipse kung:
1) ang distansya sa pagitan ng mga focus ay 30, at ang pangunahing axis ay 34
2) minor axis 24, at ang isa sa mga nakatutok ay nasa punto (-5; 0)
3) eccentricity, at ang isa sa foci ay nasa punto (6; 0)
Patuloy nating lutasin ang mga problema sa ellipse nang magkasama
Kung isang arbitrary na punto ng ellipse (ipinahiwatig sa berde sa kanang itaas na bahagi ng ellipse sa pagguhit) at ang distansya sa puntong ito mula sa foci, kung gayon ang mga formula para sa mga distansya ay ang mga sumusunod:
Para sa bawat punto na kabilang sa ellipse, ang kabuuan ng mga distansya mula sa foci ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng 2 a.
Mga linyang tinukoy ng mga equation
ay tinatawag mga punong-guro ellipse (sa pagguhit ay may mga pulang linya sa mga gilid).
Mula sa dalawang equation sa itaas ito ay sumusunod na para sa anumang punto ng ellipse
,
kung saan at ang mga distansya ng puntong ito sa mga directrix at .
Halimbawa 7. Binigyan ng ellipse. Sumulat ng isang equation para sa mga directrix nito.
Solusyon. Tinitingnan natin ang directrix equation at nalaman na kailangan nating hanapin ang eccentricity ng ellipse, i.e. Mayroon kaming lahat ng data para dito. Kinakalkula namin:
.
Nakukuha namin ang equation ng mga directrix ng ellipse:
Halimbawa 8. Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang foci nito ay mga puntos at ang mga directrix ay mga linya.
Mga lektura sa algebra at geometry. Semester 1.
Lektura 15. Ellipse.
Kabanata 15. Ellipse.
sugnay 1. Mga pangunahing kahulugan.
Kahulugan. Ang isang ellipse ay ang GMT ng isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto ng eroplano, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga.
Kahulugan. Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M ng eroplano hanggang sa pokus ng ellipse ay tinatawag na focal radius ng puntong M.
Mga pagtatalaga: 
- mga pokus ng ellipse, 
– focal radii ng point M.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang isang punto M ay isang punto ng isang ellipse kung at kung lamang 
- pare-pareho ang halaga. Ang pare-parehong ito ay karaniwang tinutukoy bilang 2a:
.
(1)
pansinin mo yan 
.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang foci nito ay mga fixed point, kaya ang distansya sa pagitan ng mga ito ay pare-pareho din ang halaga para sa isang partikular na ellipse.
Kahulugan. Ang distansya sa pagitan ng foci ng ellipse ay tinatawag na focal length.
pagtatalaga: 
.
Mula sa isang tatsulok 
sinusundan iyon 
, ibig sabihin.
.
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng b ang bilang na katumbas ng 
, ibig sabihin.
.
(2)
Kahulugan. Saloobin
(3)
ay tinatawag na eccentricity ng ellipse.
Ipakilala natin ang isang coordinate system sa eroplanong ito, na tatawagin nating canonical para sa ellipse.
Kahulugan. Ang axis kung saan nakahiga ang foci ng ellipse ay tinatawag na focal axis.
Bumuo tayo ng canonical PDSC para sa ellipse, tingnan ang Fig. 2.
Pinipili namin ang focal axis bilang abscissa axis, at iguguhit ang ordinate axis sa gitna ng segment 
patayo sa focal axis.
Pagkatapos ang foci ay may mga coordinate 
,
.
sugnay 2. Canonical equation ng isang ellipse.
Teorama. Sa canonical coordinate system para sa isang ellipse, ang equation ng ellipse ay may anyo:
.
(4)
Patunay. Isinasagawa namin ang patunay sa dalawang yugto. Sa unang yugto, patunayan namin na ang mga coordinate ng anumang punto na nakahiga sa ellipse ay nakakatugon sa equation (4). Sa ikalawang yugto ay patunayan natin na ang anumang solusyon sa equation (4) ay nagbibigay ng mga coordinate ng isang puntong nakahiga sa ellipse. Mula dito ay susundan na ang equation (4) ay nasiyahan ng mga at tanging mga punto ng coordinate plane na nasa ellipse. Mula dito at mula sa kahulugan ng equation ng isang kurba ay susunod na ang equation (4) ay isang equation ng isang ellipse.
1) Hayaang ang puntong M(x, y) ay isang punto ng ellipse, i.e. ang kabuuan ng focal radii nito ay 2a:
.
Gamitin natin ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang punto sa coordinate plane at gamitin ang formula na ito upang mahanap ang focal radii ng isang naibigay na punto M:
,
, mula sa kung saan kami kumukuha:
Ilipat natin ang isang ugat sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at parisukat ito:
Pagbawas, nakukuha natin:
Nagpapakita kami ng mga katulad, bawasan ng 4 at alisin ang radikal:
.
Pag-squaring
Buksan ang mga bracket at paikliin ng 
:
kung saan kami kumukuha:
Gamit ang pagkakapantay-pantay (2), nakukuha natin ang:
.
Paghahati sa huling pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng 
, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay (4), atbp.
2) Hayaan ngayon ang isang pares ng mga numero (x, y) na matugunan ang equation (4) at hayaan ang M(x, y) ang katumbas na punto sa coordinate plane na Oxy.
Pagkatapos mula sa (4) ito ay sumusunod:
.
Pinapalitan namin ang pagkakapantay-pantay na ito sa expression para sa focal radii ng point M:
.
Dito ginamit namin ang pagkakapantay-pantay (2) at (3).
kaya, 
. Gayundin, 
.
Ngayon tandaan na mula sa pagkakapantay-pantay (4) ito ay sumusunod na
o 
at dahil 
, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod:
.
Mula dito ay sumusunod, sa turn, iyon
o 
At
,
.
(5)
Mula sa pagkakapantay-pantay (5) ito ay sumusunod na 
, ibig sabihin. ang puntong M(x, y) ay isang punto ng ellipse, atbp.
Ang teorama ay napatunayan.
Kahulugan. Ang equation (4) ay tinatawag na canonical equation ng ellipse.
Kahulugan. Ang canonical coordinate axes para sa isang ellipse ay tinatawag na principal axes ng ellipse.
Kahulugan. Ang pinagmulan ng canonical coordinate system para sa isang ellipse ay tinatawag na sentro ng ellipse.
sugnay 3. Mga katangian ng ellipse.
Teorama. (Mga katangian ng isang ellipse.)
1. Sa canonical coordinate system para sa isang ellipse, lahat
ang mga punto ng ellipse ay nasa parihaba
,
.
2. Ang mga puntos ay namamalagi sa
3. Ang ellipse ay isang kurba na simetriko tungkol sa
kanilang mga pangunahing palakol.
4. Ang sentro ng ellipse ay ang sentro ng simetrya nito.
Patunay. 1, 2) Kaagad na sumusunod mula sa canonical equation ng ellipse.
3, 4) Hayaang ang M(x, y) ay isang arbitrary na punto ng ellipse. Pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa equation (4). Ngunit ang mga coordinate ng mga punto ay nakakatugon din sa equation (4), at, samakatuwid, ay mga punto ng ellipse, kung saan sumusunod ang mga pahayag ng theorem.
Ang teorama ay napatunayan.
Kahulugan. Ang quantity 2a ay tinatawag na major axis ng ellipse, ang quantity a ay tinatawag na semi-major axis ng ellipse.
Kahulugan. Ang quantity 2b ay tinatawag na minor axis ng ellipse, ang quantity b ay tinatawag na semiminor axis ng ellipse.
Kahulugan. Ang mga punto ng intersection ng isang ellipse kasama ang mga pangunahing axes nito ay tinatawag na vertices ng ellipse.
Magkomento. Ang isang ellipse ay maaaring itayo tulad ng sumusunod. Sa eroplano, kami ay "mamartilyo ng isang pako sa foci" at i-fasten ang isang haba ng thread sa kanila 
. Pagkatapos ay kumuha kami ng lapis at ginagamit ito upang higpitan ang sinulid. Pagkatapos ay inililipat namin ang tingga ng lapis sa kahabaan ng eroplano, tinitiyak na ang thread ay mahigpit.
Mula sa kahulugan ng eccentricity ito ay sumusunod na
Ayusin natin ang numero a at idirekta ang numero c sa zero. Pagkatapos sa 
,
At 
. Sa limitasyon na nakukuha natin
o 
– equation ng isang bilog.
Diretso na tayo 
. Pagkatapos 
,
at nakikita natin na sa limitasyon ang ellipse ay bumababa sa isang tuwid na linya ng segment 
sa notasyon ng Figure 3.
sugnay 4. Parametric equation ng ellipse.
Teorama. Hayaan 
– di-makatwirang tunay na mga numero. Pagkatapos ay ang sistema ng mga equation
,
(6)
ay mga parametric equation ng isang ellipse sa canonical coordinate system para sa ellipse.
Patunay. Ito ay sapat na upang patunayan na ang sistema ng mga equation (6) ay katumbas ng equation (4), i.e. mayroon silang parehong hanay ng mga solusyon.
1) Hayaang ang (x, y) ay isang arbitrary na solusyon sa system (6). Hatiin ang unang equation ng a, ang pangalawa sa b, parisukat ang parehong mga equation at idagdag ang:
.
Yung. anumang solusyon (x, y) ng system (6) ay nakakatugon sa equation (4).
2) Sa kabaligtaran, hayaan ang pares (x, y) na maging solusyon sa equation (4), i.e.
.
Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang punto na may mga coordinate 
namamalagi sa isang bilog ng unit radius na may sentro sa pinanggalingan, i.e. ay isang punto sa isang trigonometric na bilog kung saan ang isang tiyak na anggulo ay tumutugma 
:
Mula sa kahulugan ng sine at cosine ay agad itong sinusundan
,
, Saan 
, kung saan sumusunod na ang pares (x, y) ay isang solusyon sa system (6), atbp.
Ang teorama ay napatunayan.
Magkomento. Ang isang ellipse ay maaaring makuha bilang isang resulta ng pare-parehong "compression" ng isang bilog ng radius a patungo sa abscissa axis.
Hayaan 
– equation ng isang bilog na may sentro sa pinanggalingan. Ang "compression" ng isang bilog sa abscissa axis ay walang iba kundi isang pagbabagong-anyo ng coordinate plane, na isinasagawa ayon sa sumusunod na panuntunan. Para sa bawat punto M(x, y) iniuugnay namin ang isang punto sa parehong eroplano 
, Saan 
,
- ratio ng compression.
Sa pagbabagong ito, ang bawat punto sa bilog ay "lumilipat" sa isa pang punto sa eroplano, na may parehong abscissa, ngunit isang mas maliit na ordinate. Ipahayag natin ang lumang ordinate ng isang punto sa pamamagitan ng bago:
at palitan ang mga bilog sa equation:
.
Mula dito nakukuha natin ang:
.
(7)
Ito ay sumusunod mula dito na kung bago ang pagbabagong "compression" ang puntong M(x, y) ay nakalagay sa bilog, i.e. nasiyahan ang mga coordinate nito sa equation ng bilog, pagkatapos pagkatapos ng pagbabagong "compression" ang puntong ito ay "nabago" sa punto 
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ellipse equation (7). Kung gusto nating makuha ang equation ng isang ellipse na may semiminor axisb, kailangan nating kunin ang compression factor
.
sugnay 5. Tangent sa isang ellipse.
Teorama. Hayaan 
– di-makatwirang punto ng ellipse
.
Pagkatapos ay ang equation ng tangent sa ellipse na ito sa punto 
ay may anyo:
.
(8)
Patunay. Sapat na isaalang-alang ang kaso kapag ang punto ng tangency ay nasa una o ikalawang quarter ng coordinate plane: 
. Ang equation ng ellipse sa upper half-plane ay may anyo:
.
(9)
Gamitin natin ang tangent equation sa graph ng function 
sa punto 
:
saan 
– ang halaga ng derivative ng isang ibinigay na function sa isang punto 
. Ang ellipse sa unang quarter ay maaaring ituring bilang isang graph ng function (8). Hanapin natin ang derivative nito at ang halaga nito sa punto ng tangency:
,
. Dito namin sinamantala ang katotohanan na ang padaplis na punto 
ay isang punto ng ellipse at samakatuwid ang mga coordinate nito ay natutugunan ang ellipse equation (9), i.e.
.
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng derivative sa tangent equation (10):
,
kung saan kami kumukuha:
Ito ay nagpapahiwatig:
Hatiin natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng 
:
.
Ito ay nananatiling tandaan na 
, dahil tuldok 
nabibilang sa ellipse at ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation nito.
Ang tangent equation (8) ay napatunayan sa katulad na paraan sa punto ng tangency na nasa ikatlo o ikaapat na quarter ng coordinate plane.
At sa wakas, madali nating mapatunayan na ang equation (8) ay nagbibigay ng tangent equation sa mga punto 
,
:
o 
, At 
o 
.
Ang teorama ay napatunayan.
sugnay 6. Mirror property ng isang ellipse.
Teorama. Ang tangent sa ellipse ay may pantay na mga anggulo sa focal radii ng punto ng tangency.
Hayaan 
- punto ng pakikipag-ugnay, 
,
– focal radii ng tangent point, P at Q – projection ng foci sa tangent na iginuhit sa ellipse sa punto 
.
Ang theorem ay nagsasaad na
.
(11)
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng saklaw at pagmuni-muni ng isang sinag ng liwanag mula sa isang ellipse na inilabas mula sa pokus nito. Ang ari-arian na ito ay tinatawag na mirror property ng ellipse:
Ang isang sinag ng liwanag na inilabas mula sa pokus ng ellipse, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa salamin ng ellipse, ay dumadaan sa isa pang pokus ng ellipse.
Katibayan ng teorama. Upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo (11), patunayan natin ang pagkakatulad ng mga tatsulok 
At 
, kung saan ang mga partido 
At 
magiging katulad. Dahil ang mga triangles ay right-angled, ito ay sapat na upang patunayan ang pagkakapantay-pantay
Ang ellipse ay ang geometric na locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto F_1, at ang F_2 ay isang pare-parehong halaga (2a) na mas malaki kaysa sa distansya (2c) sa pagitan ng mga ito. binigay na puntos(Larawan 3.36, a). Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag focal property ng isang ellipse.
Focal property ng isang ellipse
Ang mga puntos na F_1 at F_2 ay tinatawag na foci ng ellipse, ang distansya sa pagitan ng mga ito 2c=F_1F_2 ay ang focal length, ang gitnang O ng segment na F_1F_2 ay ang sentro ng ellipse, ang numero 2a ay ang haba ng pangunahing axis ng ellipse (ayon dito, ang numero a ay ang semi-major axis ng ellipse). Ang mga segment na F_1M at F_2M na nagkokonekta sa isang arbitrary na punto M ng ellipse kasama ang foci nito ay tinatawag na focal radii ng point M. Ang segment na nag-uugnay sa dalawang punto ng isang ellipse ay tinatawag na isang chord ng ellipse.
Ang ratio na e=\frac(c)(a) ay tinatawag na eccentricity ng ellipse. Mula sa kahulugan (2a>2c) ito ay sumusunod na 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometric na kahulugan ng ellipse, na nagpapahayag ng focal property nito, ay katumbas ng analytical definition nito - ang linyang ibinigay ng canonical equation ng ellipse:
Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Fig. 3.36c). Kinukuha namin ang center O ng ellipse bilang pinagmulan ng coordinate system; kinukuha namin ang tuwid na linya na dumadaan sa foci (focal axis o unang axis ng ellipse) bilang abscissa axis (ang positibong direksyon dito ay mula sa punto F_1 hanggang sa punto F_2); kumuha tayo ng isang tuwid na linya na patayo sa focal axis at dumaan sa gitna ng ellipse (ang pangalawang axis ng ellipse) bilang ordinate axis (ang direksyon sa ordinate axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama) .
Gumawa tayo ng equation para sa ellipse gamit ang geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para sa isang arbitrary na punto M(x,y) na kabilang sa ellipse, mayroon kaming:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Sa pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate, makakakuha tayo ng:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Inilipat namin ang pangalawang radikal sa kanang bahagi, parisukat ang magkabilang panig ng equation at nagdadala ng mga katulad na termino:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Kaliwang arrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Hinahati sa 4, parisukat namin ang magkabilang panig ng equation:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Ang pagkakaroon ng itinalaga b=\sqrt(a^2-c^2)>0, nakukuha namin b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Hinahati ang magkabilang panig ng a^2b^2\ne0 , nakarating kami sa canonical equation ellipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Samakatuwid, ang napiling coordinate system ay kanonikal.
Kung ang foci ng ellipse ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay isang bilog (Larawan 3.36,6), dahil a=b. Sa kasong ito, ang anumang rectangular coordinate system na may pinanggalingan sa punto ay magiging canonical O\equiv F_1\equiv F_2, at ang equation na x^2+y^2=a^2 ay ang equation ng isang bilog na may sentro sa point O at radius na katumbas ng a.
Sa pamamagitan ng pangangatwiran sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.49), at ang mga ito lamang, ay nabibilang sa geometric na locus ng mga puntos na tinatawag na ellipse. Sa madaling salita, ang analytical na kahulugan ng isang ellipse ay katumbas ng geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property ng ellipse.
Direktoryal na ari-arian ng isang ellipse
Ang mga directrix ng isang ellipse ay dalawang tuwid na linya na tumatakbo parallel sa ordinate axis ng canonical coordinate system sa parehong distansya \frac(a^2)(c) mula dito. Sa c=0, kapag ang ellipse ay isang bilog, walang mga directrix (maaari nating ipagpalagay na ang mga directrix ay nasa infinity).
Ellipse na may eccentricity 0
Sa katunayan, halimbawa, para sa focus F_2 at directrix d_2 (Fig. 3.37,6) ang kundisyon \frac(r_2)(\rho_2)=e maaaring isulat sa coordinate form:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Pag-alis ng hindi makatwiran at pagpapalit e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dumating tayo sa canonical ellipse equation (3.49). Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa focus F_1 at direktor d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Equation ng isang ellipse sa isang polar coordinate system
Ang equation ng ellipse sa polar coordinate system F_1r\varphi (Fig. 3.37, c at 3.37 (2)) ay may anyo
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kung saan ang p=\frac(b^2)(a) ay ang focal parameter ng ellipse.
Sa katunayan, piliin natin ang kaliwang focus F_1 ng ellipse bilang pole ng polar coordinate system, at ang ray F_1F_2 bilang polar axis (Fig. 3.37, c). Pagkatapos para sa isang arbitrary point M(r,\varphi), ayon sa geometric na kahulugan (focal property) ng isang ellipse, mayroon tayong r+MF_2=2a. Ipinapahayag namin ang distansya sa pagitan ng mga puntong M(r,\varphi) at F_2(2c,0) (tingnan):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Samakatuwid, sa coordinate form, ang equation ng ellipse F_1M+F_2M=2a ay may anyo
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Ibinubukod namin ang radikal, parisukat sa magkabilang panig ng equation, hatiin sa 4 at ipakita ang mga katulad na termino:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Ipinapahayag namin ang polar radius r at ginagawa ang kapalit e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometric na kahulugan ng mga coefficient sa ellipse equation
Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a) kasama ang mga coordinate axes (vertices ng ellipse). Ang pagpapalit ng y=0 sa equation, makikita natin ang mga punto ng intersection ng ellipse sa abscissa axis (na may focal axis): x=\pm a. Dahil dito, ang haba ng segment ng focal axis na nakapaloob sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2a. Ang segment na ito, gaya ng nabanggit sa itaas, ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang number a ay ang semi-major axis ng ellipse. Ang pagpapalit ng x=0, makuha natin ang y=\pm b. Samakatuwid, ang haba ng segment ng pangalawang axis ng ellipse na nilalaman sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2b. Ang segment na ito ay tinatawag na minor axis ng ellipse, at ang number b ay ang semiminor axis ng ellipse.
Talaga, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, at ang pagkakapantay-pantay b=a ay nakuha lamang sa kaso c=0, kapag ang ellipse ay isang bilog. Saloobin k=\frac(b)(a)\leqslant1 ay tinatawag na ellipse compression ratio.
Mga Tala 3.9
1. Nililimitahan ng mga tuwid na linya x=\pm a,~y=\pm b ang pangunahing parihaba sa coordinate plane, kung saan mayroong isang ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a).
2. Ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos na nakuha sa pamamagitan ng pag-compress ng isang bilog sa diameter nito.
Sa katunayan, hayaan ang equation ng isang bilog sa rectangular coordinate system na Oxy ay x^2+y^2=a^2. Kapag na-compress sa x-axis na may coefficient na 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Ang pagpapalit ng mga bilog na x=x" at y=\frac(1)(k)y" sa equation, makuha namin ang equation para sa mga coordinate ng imaheng M"(x",y") ng point M(x,y). ): (x")^2+(\kaliwa(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} dahil b=k\cdot a . Ito ang canonical equation ng ellipse. 3. Ang mga coordinate axes (ng canonical coordinate system) ay ang mga axes ng symmetry ng ellipse (tinatawag na pangunahing axes ng ellipse), at ang sentro nito ay ang sentro ng simetrya. Sa katunayan, kung ang puntong M(x,y) ay kabilang sa ellipse . pagkatapos ay ang mga puntong M"(x,-y) at M""(-x,y), simetriko sa puntong M na nauugnay sa mga coordinate axes, ay kabilang din sa parehong ellipse. 4. Mula sa equation ng ellipse sa polar coordinate system r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(tingnan ang Fig. 3.37, c), ang geometric na kahulugan ng focal parameter ay nilinaw - ito ay kalahati ng haba ng chord ng ellipse na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis (r=p sa \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ang eccentricity e ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse, katulad ng pagkakaiba sa pagitan ng ellipse at ng bilog. Kung mas malaki ang e, mas pinahaba ang ellipse, at mas malapit ang e sa zero, mas malapit ang ellipse sa isang bilog (Fig. 3.38a). Sa katunayan, isinasaalang-alang na e=\frac(c)(a) at c^2=a^2-b^2 , nakukuha natin e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kaliwa(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} kung saan ang k ay ang ellipse compression ratio, 0 6. Equation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 sa a 7. Equation \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b tumutukoy sa isang ellipse na may sentro sa puntong O"(x_0,y_0), ang mga axes na kung saan ay parallel sa coordinate axes (Fig. 3.38, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na isa gamit ang parallel na pagsasalin (3.36). Kapag a=b=R ang equation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 naglalarawan ng bilog na radius R na may sentro sa puntong O"(x_0,y_0) . Parametric equation ng ellipse sa canonical coordinate system ay may anyo \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (3.49), dumating tayo sa pangunahing trigonometric identity \cos^2t+\sin^2t=1. Halimbawa 3.20. Gumuhit ng isang ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 sa canonical coordinate system na Oxy. Hanapin ang mga semi-axes, focal length, eccentricity, compression ratio, focal parameter, directrix equation. Solusyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical na isa, tinutukoy namin ang mga semi-axes: a=2 - semi-major axis, b=1 - semi-minor axis ng ellipse. Binubuo namin ang pangunahing rektanggulo na may mga gilid 2a=4,~2b=2 na may sentro sa pinanggalingan (Larawan 3.39). Isinasaalang-alang ang mahusay na proporsyon ng ellipse, nababagay namin ito sa pangunahing rektanggulo. Kung kinakailangan, tukuyin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng ellipse. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=1 sa equation ng ellipse, nakukuha natin \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- nabibilang sa ellipse. Kinakalkula ang ratio ng compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Binubuo namin ang mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Parametric equation ng ellipse
