pagkakaroon karaniwang view$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kung saan kaliwang bahagi kumakatawan sa kabuuang pagkakaiba ng ilang function na $F\left(x,y\right)$, na tinatawag na equation sa buong pagkakaiba.

Ang equation sa kabuuang mga pagkakaiba ay maaaring palaging muling isulat bilang $dF\left(x,y\right)=0$, kung saan ang $F\left(x,y\right)$ ay isang function na ang $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Isama natin ang magkabilang panig ng equation $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ang integral ng zero na kanang bahagi ay katumbas ng isang arbitraryong pare-parehong $C$. kaya, karaniwang desisyon ng equation na ito sa implicit form ay may anyong $F\left(x,y\right)=C$.

Upang ang isang ibinigay na differential equation ay maging isang equation sa kabuuang differentials, ito ay kinakailangan at sapat na ang kundisyon $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ makuntento. Kung natugunan ang tinukoy na kundisyon, mayroong isang function na $F\left(x,y\right)$, kung saan maaari naming isulat ang: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, kung saan nakakuha tayo ng dalawang relasyon : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ at $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Isinasama namin ang unang ugnayang $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sa $x$ at makakuha ng $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kung saan ang $U\left(y\right)$ ay isang arbitrary na function ng $y$.

Piliin natin ito upang ang pangalawang ugnayan na $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ay nasiyahan. Upang gawin ito, iniiba namin ang resultang kaugnayan para sa $F\left(x,y\right)$ na may paggalang sa $y$ at itinutumbas ang resulta sa $Q\left(x,y\right)$. Nakukuha namin ang: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Ang karagdagang solusyon ay:

• mula sa huling pagkakapantay-pantay ay makikita natin ang $U"\left(y\right)$;
• isama ang $U"\left(y\right)$ at hanapin ang $U\left(y\right)$;
• palitan ang $U\left(y\right)$ sa equality $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ at sa wakas ay nakuha namin ang function na $F\left(x,y\right)$.

\

Natagpuan namin ang pagkakaiba:

Isinasama namin ang $U"\left(y\right)$ sa $y$ at hanapin ang $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Hanapin ang resulta: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon sa form na $F\left(x,y\right)=C$, namely:

Humanap ng partikular na solusyon $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kung saan $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Ang bahagyang solusyon ay may anyo: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Kahulugan 8.4. Differential equation ng form

saan
ay tinatawag na total differential equation.

Tandaan na ang kaliwang bahagi ng naturang equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function
.

Sa pangkalahatan, ang equation (8.4) ay maaaring katawanin bilang

Sa halip na equation (8.5), maaari nating isaalang-alang ang equation

,

ang solusyon kung saan ay ang pangkalahatang integral ng equation (8.4). Kaya, upang malutas ang equation (8.4) ito ay kinakailangan upang mahanap ang function
. Alinsunod sa kahulugan ng equation (8.4), mayroon tayo

(8.6)

Function
maghahanap kami ng isang function na nakakatugon sa isa sa mga kundisyong ito (8.6):

saan - isang arbitrary na function na independyente sa .

Function
ay tinukoy upang ang pangalawang kondisyon ng pagpapahayag (8.6) ay nasiyahan

(8.7)

Mula sa expression (8.7) natutukoy ang function
. Pagpapalit nito sa ekspresyong para sa
at makuha ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation.

Suliranin 8.3. Pagsamahin ang Equation

Dito
.

Samakatuwid, ang equation na ito ay kabilang sa uri ng differential equation sa kabuuang differentials. Function
hahanapin natin sa form

.

Sa kabila,

.

Sa ilang mga kaso ang kondisyon
maaaring hindi matupad.

Kung gayon ang mga naturang equation ay binabawasan sa uri na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng pagpaparami ng tinatawag na integrating factor, na, sa pangkalahatang kaso, ay isang function lamang o .

Kung ang ilang equation ay may integrating factor na nakasalalay lamang sa , pagkatapos ito ay tinutukoy ng formula

saan ang relasyon dapat ay isang function lamang .

Katulad nito, ang integrating factor depende lamang sa , ay tinutukoy ng formula

saan ang relasyon
dapat ay isang function lamang .

Kawalan sa mga ibinigay na relasyon, sa unang kaso, ng variable , at sa pangalawa - ang variable , ay isang tanda ng pagkakaroon ng isang integrating factor para sa isang ibinigay na equation.

Suliranin 8.4. Bawasan ang equation na ito sa isang equation sa kabuuang differentials.

.

Isaalang-alang ang kaugnayan:

.

Paksa 8.2. Linear differential equation

Kahulugan 8.5. Differential equation
ay tinatawag na linear kung ito ay linear na may paggalang sa nais na function , ang hinango nito at hindi naglalaman ng produkto ng ninanais na function at ang hinango nito.

Ang pangkalahatang anyo ng isang linear differential equation ay kinakatawan ng sumusunod na kaugnayan:

(8.8)

Kung may kaugnayan (8.8) ang kanang bahagi
, kung gayon ang gayong equation ay tinatawag na linear homogenous. Kung sakali kanang bahagi
, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na linear inhomogeneous.

Ipakita natin na ang equation (8.8) ay maaaring isama sa mga quadrature.

Sa unang yugto, isinasaalang-alang namin ang isang linear homogenous na equation.

Ang nasabing equation ay isang equation na may mga separable variable. Talaga,

;

/

Tinutukoy ng huling kaugnayan ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation.

Upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear inhomogeneous equation, ang paraan ng pag-iiba-iba ng derivative ng isang pare-pareho ay ginagamit. Ang ideya ng pamamaraan ay ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay nasa parehong anyo ng solusyon ng kaukulang homogeneous equation, ngunit isang arbitrary na pare-pareho. pinalitan ng ilang function
para malaman. Kaya mayroon kaming:

(8.9)

Pinapalitan sa kaugnayan (8.8) ang mga katumbas na ekspresyon
At
, nakukuha namin

Ang pagpapalit ng huling expression sa kaugnayan (8.9), nakuha namin ang pangkalahatang integral ng linear na hindi homogenous na equation.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay tinutukoy ng dalawang quadrature: ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous equation at isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous equation.

Suliranin 8.5. Isama ang Equation

Kaya, ang orihinal na equation ay kabilang sa uri ng linear inhomogeneous differential equation.

Sa unang yugto, makakahanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous equation.

;

Sa ikalawang yugto, tinutukoy namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation, na matatagpuan sa anyo

,

saan
- function upang matukoy.

Kaya mayroon kaming:

Pagpapalit ng mga relasyon para sa At sa orihinal na linear inhomogeneous equation na nakuha natin:

;

;

.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay magkakaroon ng anyo:

.

Sa paksang ito titingnan natin ang paraan ng pagpapanumbalik ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito, magbigay ng mga halimbawa ng mga problema sa buong pagsusuri mga solusyon.

Nangyayari na ang mga differential equation (DE) ng anyong P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ay maaaring maglaman ng kumpletong pagkakaiba ng ilang function sa kaliwang panig. Pagkatapos ay mahahanap natin ang pangkalahatang integral ng differential equation kung una nating ibubuo ang function mula sa kabuuang differential nito.

Halimbawa 1

Isaalang-alang ang equation na P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Ang kaliwang bahagi ay naglalaman ng pagkakaiba ng isang partikular na function U(x, y) = 0. Para magawa ito, dapat matugunan ang kundisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x, y) = 0 ay may anyo na d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Isinasaalang-alang ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x makuha natin:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Sa pamamagitan ng pagbabago ng unang equation mula sa nagresultang sistema ng mga equation, makakakuha tayo ng:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Mahahanap natin ang function na φ (y) mula sa pangalawang equation ng dating nakuhang sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Ito ay kung paano namin nakita ang nais na function na U (x, y) = 0.

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa differential equation (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Solusyon

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Ang aming kondisyon ay natutugunan.

Batay sa mga kalkulasyon, maaari nating tapusin na ang kaliwang bahagi ng orihinal na differential equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U (x, y) = 0. Kailangan nating hanapin ang function na ito.

Dahil ang (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ay ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x, y) = 0, kung gayon

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Isama natin ang unang equation ng system na may paggalang sa x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Ngayon ay pinag-iiba namin ang resultang resulta na may paggalang sa y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Sa pagbabago ng pangalawang equation ng system, nakukuha natin ang: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ibig sabihin nito ay
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

Nakukuha namin ang: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Pangkalahatang integral orihinal na equation ay x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Tingnan natin ang isa pang paraan para sa paghahanap ng isang function gamit ang isang kilalang kabuuang kaugalian. Kabilang dito ang paggamit ng isang curvilinear integral mula sa isang nakapirming punto (x 0, y 0) hanggang sa isang punto na may variable na coordinate (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Sa ganitong mga kaso, ang halaga ng integral ay hindi nakasalalay sa anumang paraan sa landas ng pagsasama. Maaari naming kunin bilang isang integration path ang isang putol na linya, ang mga link na kung saan ay matatagpuan parallel sa coordinate axes.

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Solusyon

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Lumalabas na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay kinakatawan ng kabuuang differential ng ilang function U (x, y) = 0. Upang mahanap ang function na ito, kinakailangan upang kalkulahin ang integral ng linya ng punto (1 ; 1) dati (x, y). Dalhin natin bilang landas ng pagsasama ang isang putol na linya, ang mga seksyon nito ay dadaan sa isang tuwid na linya y = 1 mula sa punto (1, 1) hanggang (x, 1) at pagkatapos ay mula sa punto (x, 1) hanggang (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Nakakuha kami ng pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng form x y - x y 2 + C = 0.

Halimbawa 4

Tukuyin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Solusyon

Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan.

Dahil ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, kung gayon ang kundisyon ay hindi masisiyahan. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay hindi ang kumpletong differential ng function. Ito ay isang differential equation na may mga separable variable at iba pang mga solusyon ay angkop para sa paglutas nito.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kahulugan: Equation ng form

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function ng dalawang variable, ay tinatawag na kabuuang differential equation.

Tukuyin natin ang function na ito ng dalawang variable ng F(x,y). Pagkatapos ang equation (9) ay maaaring muling isulat bilang dF(x,y) = 0, at ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon F(x,y) = C.

Hayaang magbigay ng equation ng form (9). Upang malaman kung ito ay isang kabuuang differential equation, kailangan mong suriin kung ang expression ay

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function ng dalawang variable. Upang gawin ito, kailangan mong suriin ang pagkakapantay-pantay

Ipagpalagay natin na para sa isang naibigay na expression (10), ang pagkakapantay-pantay (11) ay nasiyahan sa ilang simpleng konektadong domain (S) at, samakatuwid, ang expression (10) ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function F(x,y) sa (S ).

Isaalang-alang natin ang sumusunod na paraan ng paghahanap ng antiderivative na ito. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang function F(x,y) tulad na

kung saan ang function (y) ay tutukuyin sa ibaba. Mula sa pormula (12) ay sinusundan iyon

sa lahat ng punto ng rehiyon (S). Ngayon, piliin natin ang function (y) para manatili ang pagkakapantay-pantay

Upang gawin ito, muling isinulat namin ang pagkakapantay-pantay (14) na kailangan namin, pinapalitan sa halip na F(x,y) ang pagpapahayag nito ayon sa formula (12):

Ibahin natin ang pagkakaiba sa y sa ilalim ng integral sign (ito ay maaaring gawin dahil P(x,y) at - tuluy-tuloy na pag-andar dalawang variable):

Dahil ayon sa (11), kung gayon, pinapalitan ng sa ilalim ng integral sign in (16), mayroon tayong:

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang higit sa y, makikita natin ang mismong function (y), na itinayo sa paraang ang pagkakapantay-pantay (14) ay nasiyahan. Gamit ang mga pagkakapantay-pantay (13) at (14), makikita natin iyon

sa lugar (S). (18)

Halimbawa 5. Suriin kung ang ibinigay na differential equation ay kabuuang differential equation at lutasin ito.

Ito ay isang differential equation sa kabuuang differentials. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagtatalaga, kami ay kumbinsido na

at ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang expression

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function na U(x,y). Bukod dito, ito ay mga function na tuluy-tuloy sa R.

Samakatuwid, upang maisama ang differential equation na ito, kailangan mong maghanap ng function kung saan ang kaliwang bahagi ng differential equation ay isang kabuuang differential. Hayaang ang gayong function ay U(x,y), kung gayon

Pagsasama ng kaliwa at kanang bahagi sa ibabaw ng x, nakukuha natin ang:

Upang mahanap ang q(y), ginagamit namin ang katotohanan na

Ang pagpapalit ng nahanap na halaga μ(y) sa (*), sa wakas ay nakuha namin ang function na U(x,y):

Ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation ay may anyo

Mga pangunahing uri ng first order differential equation (ipinagpapatuloy).

Linear differential equation

Kahulugan: Ang isang first order linear equation ay isang equation ng form

y" + P(x)y = f(x), (21)

kung saan ang P(x) at f(x) ay tuluy-tuloy na function.

Ang pangalan ng equation ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang derivative y" ay linear function mula sa y, iyon ay, kung muling isusulat natin ang equation (21) sa anyong y" = - P(x) + f(x), kung gayon ang kanang bahagi ay naglalaman ng y lamang sa unang kapangyarihan.

Kung f(x) = 0, ang equation

yґ+ P(x) y = 0 (22)

tinatawag na linear homogenous equation. Malinaw, ang isang homogenous na linear equation ay isang equation na may mga separable variable:

y" +P(x)y = 0; ,

Kung f(x) ? 0, pagkatapos ay ang equation

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

ay tinatawag na linear inhomogeneous equation.

Sa pangkalahatan, ang mga variable sa equation (21) ay hindi maaaring paghiwalayin.

Ang equation (21) ay nalulutas sa mga sumusunod: maghahanap tayo ng solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function na U(x) at V(x):

Hanapin natin ang derivative:

y" = U"V + UV" (25)

at palitan ang mga expression na ito sa equation (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Ipangkat natin ang mga termino sa kaliwang bahagi:

U"V + U = f(x). (26)

Magpataw tayo ng kundisyon sa isa sa mga salik (24), ibig sabihin, ipinapalagay natin na ang function na V(x) ay tulad na ginagawa nito ang expression sa mga square bracket sa (26) na magkaparehong zero, i.e. na ito ay isang solusyon sa differential equation

V" + P(x)V = 0. (27)

Ito ay isang equation na may mga separable variable, makikita natin ang V(x) mula dito:

Ngayon ay maghanap tayo ng isang function na U(x) na, na ang function na V(x) ay natagpuan na, ang produktong U V ay isang solusyon sa equation (26). Upang gawin ito, kinakailangan na ang U(x) ay isang solusyon sa equation

Ito ay isang separable equation, kaya

Ang pagpapalit ng mga nahanap na function (28) at (30) sa formula (4), makakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa equation (21):

Kaya, ang itinuturing na pamamaraan (bernoulli method) ay binabawasan ang solusyon linear equation(21) sa solusyon ng dalawang equation na may mga separable variable.

Halimbawa 6. Hanapin ang pangkalahatang integral ng equation.

Ang equation na ito ay hindi linear na may kinalaman sa y at y", ngunit ito ay lumalabas na linear kung isasaalang-alang natin ang x bilang ang nais na function at y ang argumento. Sa katunayan, ang pagpasa sa, makuha natin

Upang malutas ang nagresultang equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapalit (Bernoulli). Maghahanap tayo ng solusyon sa equation sa anyong x(y)=U(y)V(y), pagkatapos. Nakukuha namin ang equation:

Piliin natin ang function na V(y) upang. Pagkatapos

First order differential equation sa kabuuang differentials ay isang equation ng form:
(1) ,
kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y) mula sa mga variable x, y:
.
Kung saan .

Kung ang ganitong function U ay natagpuan (x, y), pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
dU (x, y) = 0.
Ang pangkalahatang integral nito ay:
U (x, y) = C,
kung saan ang C ay isang pare-pareho.

Kung ang isang first order differential equation ay nakasulat sa mga tuntunin ng derivative nito:
,
pagkatapos ito ay madaling dalhin ito sa hugis (1) . Upang gawin ito, i-multiply ang equation sa dx. Tapos . Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang equation na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba:
(1) .

Property ng isang differential equation sa kabuuang differentials

Upang ang equation (1) ay isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba, ito ay kinakailangan at sapat para sa kaugnayan na magkaroon ng:
(2) .

Patunay

Ipinapalagay pa namin na ang lahat ng mga function na ginamit sa patunay ay tinukoy at may kaukulang mga derivative sa ilang hanay ng mga halaga ng mga variable na x at y. Punto x 0 , y 0 kabilang din sa lugar na ito.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon (2).
Hayaan ang kaliwang bahagi ng equation (1) ay ang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y):
.
Pagkatapos
;
.
Dahil ang pangalawang derivative ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan, kung gayon
;
.
Kasunod nito iyon. Kondisyon ng pangangailangan (2) napatunayan.

Patunayan natin ang kasapatan ng kondisyon (2).
Hayaang masiyahan ang kundisyon (2) :
(2) .
Ipakita natin na posibleng makahanap ng ganoong function na U (x, y) na ang pagkakaiba nito ay:
.
Nangangahulugan ito na mayroong ganoong function na U (x, y), na nakakatugon sa mga equation:
(3) ;
(4) .
Maghanap tayo ng ganoong function. Isama natin ang equation (3) sa pamamagitan ng x mula sa x 0 sa x, sa pag-aakalang ang y ay isang pare-pareho:
;
;
(5) .
Nag-iiba tayo nang may kinalaman sa y, sa pag-aakala na ang x ay pare-pareho at nalalapat (2) :

.
Ang equation (4) ipapatupad kung
.
Isama ang higit sa y mula sa y 0 kay y:
;
;
.
Palitan sa (5) :
(6) .
Kaya, nakahanap kami ng isang function na ang pagkakaiba
.
Ang sapat ay napatunayan.

Sa formula (6) , U (x 0 , y 0) ay isang pare-pareho - ang halaga ng function na U (x, y) sa punto x 0 , y 0. Maaari itong italaga ng anumang halaga.

Paano makilala ang isang differential equation sa kabuuang differentials

Isaalang-alang ang differential equation:
(1) .
Upang matukoy kung ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba, kailangan mong suriin ang kundisyon (2) :
(2) .
Kung ito ay humahawak, kung gayon ang equation na ito ay nasa kabuuang mga pagkakaiba. Kung hindi, hindi ito isang kabuuang equation ng kaugalian.

Halimbawa

Suriin kung ang equation ay nasa kabuuang pagkakaiba:
.

Solusyon

Dito
, .
Nag-iiba tayo nang may kinalaman sa y, isinasaalang-alang ang x pare-pareho:


.
Magkaiba tayo


.
Dahil ang:
,
pagkatapos ang ibinigay na equation ay nasa kabuuang pagkakaiba.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Sequential differential extraction method

Karamihan simpleng paraan ang paglutas ng equation sa kabuuang differentials ay ang paraan ng sequential selection ng differential. Upang gawin ito, gumagamit kami ng mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakasulat sa anyo ng kaugalian:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Sa mga formula na ito, ang u at v ay mga arbitrary na expression na binubuo ng anumang kumbinasyon ng mga variable.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation:
.

Solusyon

Dati nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ibahin natin ito:
(P1) .
Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng differential.
;
;
;
;

.
Palitan sa (P1):
;
.

Sagot

Sunud-sunod na paraan ng pagsasama

Sa pamamaraang ito hinahanap namin ang function na U (x, y), na nagbibigay-kasiyahan sa mga equation:
(3) ;
(4) .

Isama natin ang equation (3) sa x, isinasaalang-alang ang y pare-pareho:
.
Dito φ (y)- isang arbitrary na function ng y na kailangang matukoy. Ito ay ang pare-pareho ng pagsasama. Palitan sa equation (4) :
.
Mula rito:
.
Pagsasama, nakita namin ang φ (y) at, kaya, U (x, y).

Halimbawa 2

Lutasin ang equation sa kabuuang differentials:
.

Solusyon

Dati nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
, .
Naghahanap ng Function U (x, y), ang pagkakaiba nito ay ang kaliwang bahagi ng equation:
.
Pagkatapos:
(3) ;
(4) .
Pagsamahin natin ang equation (3) sa x, isinasaalang-alang ang y pare-pareho:
(P2)
.
Magkaiba nang may paggalang sa y:

.
Palitan natin (4) :
;
.
Pagsamahin natin:
.
Palitan natin (P2):

.
Pangkalahatang integral ng equation:
U (x, y) = const.
Pinagsasama namin ang dalawang constants sa isa.

Sagot

Paraan ng pagsasama sa isang kurba

Function U na tinukoy ng kaugnayan:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng equation na ito sa kahabaan ng curve na nagkokonekta sa mga puntos (x 0 , y 0) At (x, y):
(7) .
Dahil ang
(8) ,
kung gayon ang integral ay nakasalalay lamang sa mga coordinate ng inisyal (x 0 , y 0) at pangwakas (x, y) puntos at hindi nakadepende sa hugis ng kurba. Mula sa (7) At (8) nakita namin:
(9) .
Dito x 0 at y 0 - permanente. Samakatuwid U (x 0 , y 0)- pare-pareho din.

Ang isang halimbawa ng naturang kahulugan ng U ay nakuha sa patunay:
(6) .
Dito, ang pagsasama ay unang ginanap sa isang segment na kahanay sa y axis mula sa punto (x 0 , y 0 ) sa punto (x 0 , y). Pagkatapos ay isinasagawa ang pagsasama kasama ang isang segment na kahanay sa x axis mula sa punto (x 0 , y) sa punto (x, y) .

Sa pangkalahatan, kailangan mong kumatawan sa equation ng isang curve na nagkokonekta sa mga punto (x 0 , y 0 ) At (x, y) sa parametric form:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
at pagsamahin sa ibabaw ng t 1 mula sa t 0 sa t.

Ang pinakamadaling paraan upang maisagawa ang pagsasama ay sa isang segment na nagkokonekta sa mga punto (x 0 , y 0 ) At (x, y). Sa kasong ito:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pagkatapos ng pagpapalit, nakukuha natin ang integral sa t ng 0 dati 1 .
Ang pamamaraang ito, gayunpaman, ay humahantong sa medyo masalimuot na mga kalkulasyon.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.