Mayroong isang buong pangkat ng mga gawain (kasama sa mga uri ng pagsusulit ng mga problema) na nauugnay sa coordinate plane. Ang mga ito ay mga problema mula sa pinakapangunahing mga problema, na niresolba nang pasalita (pagtukoy sa ordinate o abscissa ng isang partikular na punto, o isang simetriko na punto hanggang sa isang partikular na punto, at iba pa), na nagtatapos sa mga gawain na nangangailangan ng mataas na kalidad na kaalaman, pag-unawa at mahusay na mga kasanayan (mga problema na may kaugnayan sa angular coefficient ng isang tuwid na linya).
Unti-unti nating isasaalang-alang ang lahat ng mga ito. Sa artikulong ito, magsisimula tayo sa mga pangunahing kaalaman. Ito mga simpleng gawain upang matukoy: abscissa at ordinate ng isang punto, ang haba ng isang segment, ang midpoint ng isang segment, ang sine o cosine ng anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya.Karamihan sa mga tao ay hindi magiging interesado sa mga gawaing ito. Ngunit itinuturing kong kinakailangan na sabihin ang mga ito.
Ang katotohanan ay hindi lahat ay pumapasok sa paaralan. Maraming tao ang kumukuha ng Unified State Exam 3-4 o higit pang mga taon pagkatapos ng graduation, at malabo nilang naaalala kung ano ang abscissa at ordinate. Susuriin din namin ang iba pang mga gawain na may kaugnayan sa coordinate plane, huwag palampasin ito, mag-subscribe sa mga update sa blog. Ngayon n isang maliit na teorya.
Buuin natin ang point A sa coordinate plane na may mga coordinate x=6, y=3.
Sinasabi nila na ang abscissa ng point A ay katumbas ng anim, ang ordinate ng point A ay katumbas ng tatlo.
Sa madaling salita, ang ox axis ay ang abscissa axis, ang y axis ay ang ordinate axis.
Iyon ay, ang abscissa ay isang punto sa x axis kung saan ang isang punto na ibinigay sa coordinate plane ay inaasahang; Ang ordinate ay ang punto sa y axis kung saan ang tinukoy na punto ay inaasahang.
Haba ng isang segment sa coordinate plane
Formula para sa pagtukoy ng haba ng isang segment kung ang mga coordinate ng mga dulo nito ay kilala:
Tulad ng nakikita mo, ang haba ng isang segment ay ang haba ng hypotenuse sa isang kanang tatsulok na may pantay na mga binti
X B - X A at U B - U A
* * *
Ang gitna ng segment. Ang kanyang mga coordinate.
Formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment:
Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos
Ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay may anyo:
kung saan (x 1;y 1) at (x 2;y 2 ) mga coordinate binigay na puntos.
Ang pagpapalit ng mga halaga ng coordinate sa formula, ito ay nabawasan sa anyo:
y = kx + b, kung saan ang k ay ang slope ng linya
Kakailanganin namin ang impormasyong ito kapag nilulutas ang isa pang pangkat ng mga problema na nauugnay sa coordinate plane. Magkakaroon ng isang artikulo tungkol dito, huwag palampasin ito!
Ano pa ang maaari mong idagdag?
Ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya (o segment) ay ang anggulo sa pagitan ng oX axis at ang tuwid na linyang ito, mula 0 hanggang 180 degrees.
Isaalang-alang natin ang mga gawain.
Mula sa punto (6;8) isang patayo ay ibinaba sa ordinate axis. Hanapin ang ordinate ng base ng patayo.
Ang base ng perpendicular na ibinababa sa ordinate axis ay magkakaroon ng mga coordinate (0;8). Ang ordinate ay katumbas ng walo.
Sagot: 8
Hanapin ang distansya mula sa punto A na may mga coordinate (6;8) sa ordinate.
Ang distansya mula sa punto A hanggang sa ordinate axis ay katumbas ng abscissa ng punto A.
Sagot: 6.
A(6;8) na may kaugnayan sa axis baka.
Dot simetriko punto At may kaugnayan sa oX axis mayroon itong mga coordinate (6;– 8).
Ang ordinate ay katumbas ng minus walo.
Sagot: – 8
Hanapin ang ordinate ng isang puntong simetriko sa punto A(6;8) kaugnay sa pinanggalingan.
Isang puntong simetriko sa punto Ang isang kamag-anak sa pinanggalingan ay may mga coordinate (– 6;– 8).
Ang ordinate nito ay – 8.
Sagot: –8
Hanapin ang abscissa ng midpoint ng segment na nagkokonekta sa mga puntosO(0;0) at A(6;8).
Upang malutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng gitna ng segment. Ang mga coordinate ng mga dulo ng aming segment ay (0;0) at (6;8).
Kinakalkula namin gamit ang formula:
Nakuha namin ang (3;4). Ang abscissa ay katumbas ng tatlo.
Sagot: 3
*Ang abscissa ng gitna ng isang segment ay maaaring matukoy nang walang pagkalkula gamit ang isang formula sa pamamagitan ng pagbuo ng segment na ito sa isang coordinate plane sa isang sheet ng papel sa isang parisukat. Ang gitna ng segment ay madaling matukoy ng mga cell.
Hanapin ang abscissa ng midpoint ng segment na nagkokonekta sa mga puntos A(6;8) at B(–2;2).
Upang malutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng gitna ng segment. Ang mga coordinate ng mga dulo ng aming segment ay (–2;2) at (6;8).
Kinakalkula namin gamit ang formula:
Nakuha namin ang (2;5). Ang abscissa ay katumbas ng dalawa.
Sagot: 2
*Ang abscissa ng gitna ng isang segment ay maaaring matukoy nang walang pagkalkula gamit ang isang formula sa pamamagitan ng pagbuo ng segment na ito sa isang coordinate plane sa isang sheet ng papel sa isang parisukat.
Hanapin ang haba ng segment na nagdudugtong sa mga puntos (0;0) at (6;8).
Ang haba ng segment sa ibinigay na mga coordinate ng mga dulo nito ay kinakalkula ng formula:
sa aming kaso mayroon kaming O(0;0) at A(6;8). Ibig sabihin,
*Ang pagkakasunud-sunod ng mga coordinate ay hindi mahalaga kapag binabawasan. Maaari mong ibawas ang abscissa at ordinate ng point A mula sa abscissa at ordinate ng point O:
Sagot:10
Hanapin ang cosine ng slope ng segment na nagkokonekta sa mga punto O(0;0) at A(6;8), na may x-axis.
Ang anggulo ng inclination ng isang segment ay ang anggulo sa pagitan ng segment na ito at ng oX axis.
Mula sa punto A ay binabaan namin ang isang patayo sa oX axis:
Iyon ay, ang anggulo ng pagkahilig ng isang segment ay ang angguloSAIsa kanang tatsulok ABO.
Ang cosine ng isang acute angle sa isang right triangle ay
ratio ng katabing binti sa hypotenuse
Kailangan nating hanapin ang hypotenuseOA.
Ayon sa Pythagorean theorem:Sa isang kanang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse katumbas ng kabuuan parisukat ng mga binti.
Kaya, ang cosine ng anggulo ng slope ay 0.6
Sagot: 0.6
Mula sa punto (6;8) isang patayo ay ibinaba sa abscissa axis. Hanapin ang abscissa ng base ng patayo.
Ang isang tuwid na linya na kahanay sa abscissa axis ay iginuhit sa pamamagitan ng punto (6;8). Hanapin ang ordinate ng intersection point nito sa axis OU.
Hanapin ang distansya mula sa punto A na may mga coordinate (6;8) sa abscissa axis.
Hanapin ang distansya mula sa punto A na may mga coordinate (6;8) sa pinanggalingan.
Posible upang matukoy ang haba ng isang segment iba't ibang paraan. Upang malaman kung paano hanapin ang haba ng isang segment, sapat na magkaroon ng ruler o malaman ang mga espesyal na formula para sa pagkalkula.
Haba ng isang segment gamit ang ruler
Upang gawin ito, inilalapat namin ang isang ruler na may mga dibisyon ng milimetro sa segment na itinayo sa eroplano, at ang panimulang punto ay dapat na nakahanay sa zero ng scale ng ruler. Pagkatapos ay dapat mong markahan sa sukat na ito ang lokasyon ng dulong punto ng segment na ito. Ang magreresultang bilang ng buong scale division ay ang haba ng segment, na ipinapahayag sa cm at mm.
Paraan ng coordinate ng eroplano
Kung ang mga coordinate ng segment (x1;y1) at (x2;y2) ay kilala, kung gayon ang haba nito ay dapat kalkulahin bilang mga sumusunod. Ang mga coordinate ng unang punto ay dapat ibawas mula sa mga coordinate sa eroplano ng pangalawang punto. Ang resulta ay dapat na dalawang numero. Ang bawat isa sa mga numerong ito ay dapat na parisukat, at pagkatapos ay ang kabuuan ng mga parisukat na ito ay dapat matagpuan. Mula sa resultang numero dapat mong kunin Kuwadrado na ugat, na magiging distansya sa pagitan ng mga puntos. Dahil ang mga puntong ito ay ang mga dulo ng segment, ang halagang ito ang magiging haba nito.
Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano hanapin ang haba ng isang segment gamit ang mga coordinate. Mayroong mga coordinate ng dalawang puntos (-1;2) at (4;7). Kapag nahanap ang pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos, nakuha namin ang mga sumusunod na halaga: x = 5, y = 5. Ang mga resultang numero ay ang mga coordinate ng segment. Pagkatapos ay i-square namin ang bawat numero at hanapin ang kabuuan ng mga resulta, ito ay katumbas ng 50. Kinukuha namin ang square root ng numerong ito. Ang resulta ay: 5 ugat ng 2. Ito ang haba ng segment.
Mga coordinate na pamamaraan sa espasyo
Upang gawin ito, kailangan nating isaalang-alang kung paano hanapin ang haba ng isang vector. Ito ang magiging segment sa Euclidean space. Ito ay matatagpuan sa halos parehong paraan tulad ng haba ng isang segment sa isang eroplano. Ang vector ay itinayo sa iba't ibang mga eroplano. Paano mahahanap ang haba ng isang vector?
- Hanapin ang mga coordinate ng vector; upang gawin ito, kailangan mong ibawas ang mga coordinate ng panimulang punto nito mula sa mga coordinate ng dulo nito.
- Pagkatapos nito, kailangan mong i-square ang bawat vector coordinate.
- Pagkatapos ay idinagdag namin ang mga parisukat na coordinate.
- Upang mahanap ang haba ng isang vector, kailangan mong kunin ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate.
Tingnan natin ang algorithm ng pagkalkula gamit ang isang halimbawa. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng vector AB. Ang mga puntong A at B ay may mga sumusunod na coordinate: A (1;6;3) at B (3;-1;7). Ang simula ng vector ay namamalagi sa punto A, ang dulo ay matatagpuan sa punto B. Kaya, upang mahanap ang mga coordinate nito, kinakailangan upang ibawas ang mga coordinate ng point A mula sa mga coordinate ng point B: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7;4).
Ngayon ay i-square namin ang bawat coordinate at idagdag ang mga ito: 4+49+16=69. Panghuli, ito ay tumatagal ng square root ng ibinigay na numero. Mahirap kunin, kaya isinusulat namin ang resulta sa ganitong paraan: ang haba ng vector ay katumbas ng ugat ng 69.
Kung hindi mahalaga para sa iyo na kalkulahin ang haba ng mga segment at vector sa iyong sarili, ngunit kailangan lang ang resulta, pagkatapos ay maaari kang gumamit ng isang online na calculator, halimbawa, ang isang ito.
Ngayon, napag-aralan ang mga pamamaraang ito at isinasaalang-alang ang mga halimbawang ipinakita, madali mong mahahanap ang haba ng isang segment sa anumang problema.
Sasaklawin ng artikulo sa ibaba ang mga isyu sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment kung available ang mga coordinate ng mga extreme point nito bilang paunang data. Ngunit bago natin simulan ang pag-aaral ng isyu, ipakilala natin ang ilang mga kahulugan.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1
Segment ng linya– isang tuwid na linya na nagdudugtong sa dalawang arbitrary na punto, na tinatawag na mga dulo ng isang segment. Bilang halimbawa, hayaan itong maging mga punto A at B at, nang naaayon, ang segment na A B.
Kung ang segment A B ay ipinagpatuloy sa parehong direksyon mula sa mga punto A at B, makakakuha tayo ng isang tuwid na linya A B. Pagkatapos ang segment na A B ay bahagi ng nagreresultang tuwid na linya, na nililimitahan ng mga punto A at B. Pinagsasama ng segment na A B ang mga puntong A at B, na siyang mga dulo nito, pati na rin ang hanay ng mga puntong nasa pagitan. Kung, halimbawa, kukuha tayo ng anumang di-makatwirang punto K na nasa pagitan ng mga puntong A at B, masasabi nating ang puntong K ay nasa segment na A B.
Kahulugan 2
Haba ng segment– ang distansya sa pagitan ng mga dulo ng isang segment sa isang naibigay na sukat (isang segment ng haba ng yunit). Tukuyin natin ang haba ng segment A B tulad ng sumusunod: A B .
Kahulugan 3
Midpoint ng segment– isang puntong nakahiga sa isang bahagi at katumbas ng layo mula sa mga dulo nito. Kung ang gitna ng segment na A B ay itinalaga ng punto C, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: A C = C B
Paunang data: coordinate line O x at hindi magkatugma na mga punto dito: A at B. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga tunay na numero x A at x B . Point C ay ang gitna ng segment A B: ito ay kinakailangan upang matukoy ang coordinate x C .
Dahil ang point C ay ang midpoint ng segment A B, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: | A C | = | C B | . Ang distansya sa pagitan ng mga punto ay tinutukoy ng modulus ng pagkakaiba sa kanilang mga coordinate, i.e.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Pagkatapos ay posible ang dalawang pagkakapantay-pantay: x C - x A = x B - x C at x C - x A = - (x B - x C)
Mula sa unang pagkakapantay-pantay ay nakukuha namin ang formula para sa mga coordinate ng point C: x C = x A + x B 2 (kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment).
Mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin ang: x A = x B, na imposible, dahil sa pinagmumulan ng data - hindi magkakasabay na mga punto. kaya, formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng gitna ng segment A B na may mga dulo A (x A) at B(xB):
Ang resultang formula ay magiging batayan para sa pagtukoy ng mga coordinate ng gitna ng isang segment sa isang eroplano o sa kalawakan.
Paunang data: rectangular coordinate system sa O x y plane, dalawang di-makatwirang di-nagtutugmang mga punto na may ibinigay na mga coordinate A x A, y A at B x B, y B. Ang punto C ay ang gitna ng segment A B. Kinakailangang matukoy ang mga coordinate ng x C at y C para sa punto C.
Isaalang-alang natin para sa pagsusuri ang kaso kapag ang mga puntong A at B ay hindi nagtutugma at hindi nakahiga sa parehong linya ng coordinate o isang linya na patayo sa isa sa mga palakol. A x , A y ; B x, B y at C x, C y - projection ng mga puntos A, B at C sa mga coordinate axes (mga tuwid na linya O x at O y).
Ayon sa konstruksyon, ang mga linyang A A x, B B x, C C x ay parallel; ang mga linya ay parallel din sa isa't isa. Kasama nito, ayon sa teorama ni Thales, mula sa pagkakapantay-pantay A C = C B ang mga pagkakapantay-pantay ay sumusunod: A x C x = C x B x at A y C y = C y B y, at sila naman ay nagpapahiwatig na ang puntong C x ay ang gitna ng segment A x B x, at C y ang gitna ng segment A y B y. At pagkatapos, batay sa pormula na nakuha nang mas maaga, nakukuha namin:
x C = x A + x B 2 at y C = y A + y B 2
Ang parehong mga formula ay maaaring gamitin sa kaso kapag ang mga punto A at B ay nasa parehong coordinate line o isang linya na patayo sa isa sa mga axes. Pag-uugali detalyadong pagsusuri Hindi namin isasaalang-alang ang kasong ito, isasaalang-alang namin ito nang graphic lamang:
Pagbubuod ng lahat ng nasa itaas, mga coordinate ng gitna ng segment A B sa eroplano na may mga coordinate ng mga dulo A (x A , y A) At B(xB, yB) ay tinukoy bilang:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Paunang data: coordinate system O x y z at dalawang arbitrary na puntos na may ibinigay na mga coordinate A (x A, y A, z A) at B (x B, y B, z B). Kinakailangang matukoy ang mga coordinate ng point C, na siyang gitna ng segment A B.
A x , A y , A z ; B x , B y , B z at C x , C y , C z - projection ng lahat ng ibinigay na puntos sa mga axes ng coordinate system.
Ayon sa theorem ni Thales, totoo ang mga sumusunod na equalities: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Samakatuwid, ang mga puntong C x , C y , C z ay ang mga midpoint ng mga segment A x B x , A y B y , A z B z , ayon sa pagkakabanggit. pagkatapos, Upang matukoy ang mga coordinate ng gitna ng isang segment sa espasyo, tama ang mga sumusunod na formula:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Ang mga resultang formula ay naaangkop din sa mga kaso kung saan ang mga punto A at B ay nasa isa sa mga linya ng coordinate; sa isang tuwid na linya patayo sa isa sa mga axes; sa isang coordinate plane o isang plane na patayo sa isa sa mga coordinate plane.
Pagtukoy sa mga coordinate ng gitna ng isang segment sa pamamagitan ng mga coordinate ng radius vectors ng mga dulo nito
Ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment ay maaari ding makuha ayon sa algebraic na interpretasyon ng mga vector.
Paunang data: rectangular Cartesian coordinate system O x y, mga puntos na may ibinigay na mga coordinate A (x A, y A) at B (x B, x B). Ang punto C ay ang gitna ng segment A B.
Ayon sa geometric na kahulugan ng mga aksyon sa mga vector, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Point C sa sa kasong ito– ang punto ng intersection ng mga diagonal ng isang paralelogram na itinayo batay sa mga vectors O A → at O B →, i.e. ang punto ng gitna ng mga dayagonal Ang mga coordinate ng radius vector ng punto ay katumbas ng mga coordinate ng punto, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Magsagawa tayo ng ilang operasyon sa mga vector sa mga coordinate at makuha ang:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Samakatuwid, ang punto C ay may mga coordinate:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang isang formula ay tinutukoy para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment sa espasyo:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment
Kabilang sa mga problema na kinasasangkutan ng paggamit ng mga formula na nakuha sa itaas, mayroong mga kung saan ang direktang tanong ay upang kalkulahin ang mga coordinate ng gitna ng segment, at ang mga may kinalaman sa pagdadala ng mga ibinigay na kundisyon sa tanong na ito: ang terminong "median" ay madalas na ginagamit, ang layunin ay upang mahanap ang mga coordinate ng isa mula sa mga dulo ng isang segment, at ang mga problema sa simetrya ay karaniwan din, ang solusyon na sa pangkalahatan ay hindi rin dapat maging sanhi ng mga paghihirap pagkatapos pag-aralan ang paksang ito. Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa.
Halimbawa 1
Paunang data: sa eroplano - mga puntos na may ibinigay na mga coordinate A (- 7, 3) at B (2, 4). Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng midpoint ng segment A B.
Solusyon
Tukuyin natin ang gitna ng segment A B sa pamamagitan ng punto C. Ang mga coordinate nito ay tutukuyin bilang kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment, i.e. puntos A at B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Sagot: mga coordinate ng gitna ng segment A B - 5 2, 7 2.
Halimbawa 2
Paunang data: ang mga coordinate ng tatsulok A B C ay kilala: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Kinakailangang hanapin ang haba ng median na A M.
Solusyon
- Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang A M ay ang median, na nangangahulugang ang M ay ang midpoint ng segment B C . Una sa lahat, hanapin natin ang mga coordinate ng gitna ng segment B C, i.e. M puntos:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Dahil alam na natin ngayon ang mga coordinate ng magkabilang dulo ng median (mga puntos A at M), maaari nating gamitin ang formula upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga puntos at kalkulahin ang haba ng median A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Sagot: 58
Halimbawa 3
Paunang data: sa isang rectangular coordinate system tatlong-dimensional na espasyo ibinigay parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Ang mga coordinate ng point C 1 ay ibinibigay (1, 1, 0), at tinukoy din ang point M, na siyang midpoint ng diagonal B D 1 at may mga coordinate M (4, 2, - 4). Kinakailangang kalkulahin ang mga coordinate ng point A.
Solusyon
Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na siyang midpoint ng lahat ng diagonal. Batay sa pahayag na ito, maaari nating tandaan na ang puntong M, na kilala mula sa mga kondisyon ng problema, ay ang midpoint ng segment A C 1. Batay sa formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment sa espasyo, nakita namin ang mga coordinate ng point A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Sagot: mga coordinate ng point A (7, 3, - 8).
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
May tatlong pangunahing sistema ng coordinate na ginagamit sa geometry, teoretikal na mekanika, iba pang sangay ng pisika: Cartesian, polar at spherical. Sa mga coordinate system na ito, ang buong punto ay may tatlong coordinate. Alam ang mga coordinate ng 2 puntos, maaari mong matukoy ang distansya sa pagitan ng dalawang puntong ito.
Kakailanganin mong
- Cartesian, polar at spherical coordinate ng mga dulo ng isang segment
Mga tagubilin
1. Una, isaalang-alang ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Ang lokasyon ng isang punto sa espasyo sa coordinate system na ito ay tinutukoy mga coordinate x,y at z. Ang isang radius vector ay iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa punto. Ang mga projection ng radius vector na ito sa mga coordinate axes ay magiging mga coordinate ang puntong ito mga coordinate x1,y1,z1 at x2,y2 at z2 ayon sa pagkakabanggit. Ipahiwatig sa pamamagitan ng r1 at r2, ayon sa pagkakabanggit, ang radius vectors ng una at ika-2 puntos. Tila, ang distansya sa pagitan ng dalawang puntong ito ay magiging katumbas ng modulus ng vector r = r1-r2, kung saan ang (r1-r2) ay ang pagkakaiba ng vector. y1-y2, z1-z2. Kung gayon ang magnitude ng vector r o ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay magiging katumbas ng: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Ngayon isaalang-alang ang isang polar coordinate system kung saan ang coordinate ng isang punto ay ibibigay ng radial coordinate r (radius vector sa XY plane), angular coordinate? (ang anggulo sa pagitan ng vector r at ng X axis) at ng z coordinate, katulad ng z coordinate sa Cartesian system Ang polar coordinates ng isang punto ay maaaring ma-convert sa Cartesian coordinates sa sumusunod na paraan: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na may mga coordinate r1, ?1 ,z1 at r2, ?2, z2 ay magiging katumbas ng R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Ngayon tingnan ang spherical coordinate system. Sa loob nito, ang lokasyon ng punto ay tinukoy ng tatlo mga coordinate r, ? At?. r – distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto, ? At? – azimuthal at zenith angle, ayon sa pagkakabanggit. Kanto? katulad ng isang anggulo na may parehong pagtatalaga sa polar coordinate system, eh? – ang anggulo sa pagitan ng radius vector r at ng Z axis, na may 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с mga coordinate r1, ?1, ?1 at r2, ?2 at ?2 ay magiging katumbas ng R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *kasalanan?1*kasalanan?1-r2*kasalanan?2*kasalanan?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Video sa paksa
Sa pamamagitan ng segment tumawag sa isang bahagi ng isang tuwid na linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng linyang ito na matatagpuan sa pagitan ng dalawang puntong ito - ang mga ito ay tinatawag na mga dulo ng segment.
Tingnan natin ang unang halimbawa. Hayaang tukuyin ang isang partikular na segment ng dalawang punto sa coordinate plane. Sa kasong ito, mahahanap natin ang haba nito sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean theorem.
Kaya, sa sistema ng coordinate gumuhit kami ng isang segment na may ibinigay na mga coordinate ng mga dulo nito(x1; y1) At (x2; y2) . Sa axis X At Y Gumuhit ng mga patayo mula sa mga dulo ng segment. Markahan natin ng pula ang mga segment na projection mula sa orihinal na segment sa coordinate axis. Pagkatapos nito, inililipat namin ang mga segment ng projection na kahanay sa mga dulo ng mga segment. Kumuha kami ng isang tatsulok (parihaba). Ang hypotenuse ng tatsulok na ito ay ang segment na AB mismo, at ang mga binti nito ay ang mga inilipat na projection.
Kalkulahin natin ang haba ng mga projection na ito. Kaya, papunta sa axis Y ang haba ng projection ay y2-y1 , at sa axis X ang haba ng projection ay x2-x1 . Ilapat natin ang Pythagorean theorem: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Sa kasong ito |AB| ay ang haba ng segment.
Kung gagamitin mo ang diagram na ito upang kalkulahin ang haba ng isang segment, hindi mo na kailangang buuin ang segment. Ngayon kalkulahin natin ang haba ng segment na may mga coordinate (1;3) At (2;5) . Ang paglalapat ng Pythagorean theorem, nakukuha natin: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Nangangahulugan ito na ang haba ng aming segment ay katumbas ng 5:1/2 .
Isaalang-alang ang sumusunod na paraan para sa paghahanap ng haba ng isang segment. Upang gawin ito, kailangan nating malaman ang mga coordinate ng dalawang puntos sa ilang sistema. Isaalang-alang natin ang opsyong ito gamit ang isang two-dimensional na Cartesian coordinate system.
Kaya, sa isang dalawang-dimensional na sistema ng coordinate, ang mga coordinate ng mga matinding punto ng segment ay ibinibigay. Kung gumuhit tayo ng mga tuwid na linya sa mga puntong ito, dapat silang patayo sa coordinate axis, pagkatapos ay makakakuha tayo ng tamang tatsulok. Ang orihinal na segment ay ang hypotenuse ng resultang tatsulok. Ang mga binti ng isang tatsulok ay bumubuo ng mga segment, ang kanilang haba ay katumbas ng projection ng hypotenuse sa mga coordinate axes. Batay sa Pythagorean theorem, napagpasyahan namin: upang mahanap ang haba ng isang ibinigay na segment, kailangan mong hanapin ang mga haba ng mga projection sa dalawang coordinate axes.
Hanapin natin ang mga haba ng projection (X at Y) ang orihinal na segment papunta sa coordinate axes. Kinakalkula namin ang mga ito sa pamamagitan ng paghahanap ng pagkakaiba sa mga coordinate ng mga puntos sa isang hiwalay na axis: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Kalkulahin ang haba ng segment A , para dito makikita natin ang square root:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Kung ang aming segment ay matatagpuan sa pagitan ng mga punto na may mga coordinate 2;4 At 4;1 , kung gayon ang haba nito ay katumbas ng katumbas ng √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .
