Pagkalkula ng landas na nilakbay ng isang punto.

Suliranin 1.6. Hanapin sa graphic na paraan ang displacement at ang landas na dinaanan t 1 = 5 na may materyal na punto na ang paggalaw sa kahabaan ng axis OH inilarawan ng equation X = 6 – 4t + t 2, kung saan ang lahat ng mga dami ay ipinahayag sa mga yunit ng SI.

Solusyon. Sa problema 1.5 nakita namin (4) ang projection ng velocity papunta sa axis OH:

Ang speed graph na tumutugma sa expression na ito ay ipinapakita sa Figure 1.6. Projection ng paggalaw papunta sa axis OH katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok AOB At BCD. Dahil ang velocity projection sa unang seksyon ay negatibo, ang lugar ng tatsulok AOB kumuha ng minus sign; at ang projection ng bilis sa pangalawang seksyon ay positibo, pagkatapos ay ang lugar ng tatsulok BCD kumuha ng plus sign:

Dahil ang landas ay ang haba ng tilapon at hindi maaaring bumaba, upang mahanap ito, idinagdag namin ang mga lugar ng mga tatsulok na ito, habang isinasaalang-alang bilang positibo ang lugar ng hindi lamang ang tatsulok. BCD, ngunit isang tatsulok din AOB:

Mas maaga (tingnan ang problema 1.5) natagpuan namin ang landas na ito sa ibang paraan - analytically.

Suliranin 1.7. Sa Fig. 1.7, a nagpapakita ng graph ng dependence ng mga coordinate ng ilang katawan na gumagalaw nang patuwid sa kahabaan ng axis OH, paminsan-minsan. Ang mga hubog na seksyon ng graph ay mga bahagi ng mga parabola. Bumuo ng mga graph ng bilis at acceleration laban sa oras.

Solusyon. Upang bumuo ng mga graph ng bilis at acceleration, itinakda namin ayon sa graph na ito (Larawan 1.7, A) ang kalikasan ng paggalaw ng katawan sa iba't ibang yugto ng panahon.

Sa pagitan ng 0 - t Ang 1 coordinate graph ay isang bahagi ng isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas. Samakatuwid, sa Eq.

pagpapahayag sa pangkalahatang pananaw coordinate dependence X paminsan-minsan t, coefficient dati t 2 ay positibo, ibig sabihin. A x > 0. At dahil ang parabola ay inilipat sa kanan, nangangahulugan ito na v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t Ang 1 module ng velocity ng katawan ay unang bumababa sa zero, at pagkatapos ay ang bilis ay nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran at ang module nito ay tumataas sa isang tiyak na halaga v 1. Ang graph ng bilis sa seksyong ito ay isang segment ng tuwid na linya na dumadaan sa isang tiyak na anggulo sa axis t(Larawan 1.7, b), at ang acceleration graph ay isang segment ng pahalang na tuwid na linya na nasa itaas ng axis ng oras (Larawan 1.7, V). Ang vertex ng parabola sa Fig. 1.7, A tumutugma sa halaga v 0x= 0 sa Fig. 1.7, b.

Pansamantala t 1 – t 2 pare-parehong gumagalaw ang katawan sa bilis v 1 .

Sa pagitan t 2 – t Ang 3 coordinate graph ay bahagi ng isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta pababa. Samakatuwid, dito isang x < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3, at pansamantala t 3 – t 4 ang katawan ay nagpapahinga. Pagkatapos sa isang yugto ng panahon t 4 – t 5 Ang isang katawan ay gumagalaw nang pantay na may bilis v 2 in reverse side. Sa isang sandali sa oras t 5 ito ay umabot sa pinanggalingan at humihinto.

Isinasaalang-alang ang kalikasan ng paggalaw ng katawan, gagawa tayo ng kaukulang mga graph ng mga projection ng bilis at acceleration (Larawan 1.7, b, c).

Suliranin 1.8. Hayaang ang graph ng bilis ay may form na ipinapakita sa Fig. 1.8. Batay sa graph na ito, gumuhit ng graph ng path versus time.

Solusyon. Hatiin natin ang buong yugto ng panahon na isinasaalang-alang sa tatlong seksyon: 1, 2, 3. Sa seksyon 1, ang katawan ay gumagalaw nang pantay na pinabilis nang walang paunang bilis. Ang formula ng path para sa seksyong ito ay may form

saan A– pagpapabilis ng katawan.

Ang acceleration ay ang ratio ng pagbabago sa bilis sa tagal ng panahon kung kailan nangyari ang pagbabagong ito. Ito ay katumbas ng ratio ng mga segment.

Sa seksyon 2 ang katawan ay gumagalaw nang pantay na may bilis v nakuha sa pagtatapos ng seksyon 1. Ang unipormeng kilusan ay hindi nagsimula sa panimulang sandali oras, at sa sandaling ito t 1. Sa puntong ito, ang katawan ay dumaan na sa landas. Ang pag-asa ng landas sa oras para sa seksyon 2 ay may sumusunod na anyo:

Sa seksyon 3 ang paggalaw ay pare-parehong mabagal. Ang formula ng landas para sa seksyong ito ay ang mga sumusunod:

saan A 1 – acceleration sa seksyon 3. Ito ay kalahati ng acceleration A sa seksyon 1, dahil ang seksyon 3 ay dalawang beses ang haba kaysa sa seksyon 1.

Gumawa tayo ng mga konklusyon. Sa seksyon 1, ang path graph ay mukhang isang parabola, sa seksyon 2 - isang tuwid na linya, sa seksyon 3 - isang parabola din, ngunit baligtad (na may convex na nakaturo paitaas) (tingnan ang Fig. 1.9).

Ang path graph ay hindi dapat magkaroon ng kinks; ito ay inilalarawan bilang isang makinis na linya, iyon ay, ang mga parabola ay pinagsama sa isang tuwid na linya. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tangent sa axis ng oras ay tumutukoy sa halaga ng bilis sa sandali ng oras t, ibig sabihin. Sa pamamagitan ng slope ng tangents sa path graph, mahahanap mo ang bilis ng katawan sa isang pagkakataon o iba pa. At dahil ang speed graph ay tuloy-tuloy, ito ay sumusunod na ang path graph ay walang mga break.

Bilang karagdagan, ang vertex ng inverted parabola ay dapat na tumutugma sa sandali sa oras t 3. Ang mga vertex ng parabola ay dapat tumutugma sa mga sandali 0 at t 3, dahil sa mga sandaling ito ang bilis ng katawan ay zero at ang mga landas na padaplis sa graph ay dapat na pahalang para sa mga puntong ito.

Ang landas na nilakbay ng katawan sa oras t 2, ayon sa bilang katumbas ng lugar mga numero OABG, na nabuo sa pamamagitan ng graph ng bilis sa pagitan Mula sa 2 .

Suliranin 1.9. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 1.10 ang isang graph ng projection ng velocity ng ilang katawan na gumagalaw nang rectilinearly kasama ang axis OH, paminsan-minsan. Bumuo ng mga graph ng acceleration, posisyon at landas laban sa oras. Sa unang sandali ng oras ang katawan ay nasa punto X 0 = –3 m Ang lahat ng mga halaga ay ibinibigay sa mga yunit ng SI.

Solusyon. Upang i-plot ang acceleration dependence isang x(t), tutukuyin namin ayon sa iskedyul v x(t) ang kalikasan ng paggalaw ng katawan sa iba't ibang yugto ng panahon. Alalahanin natin iyan ayon sa kahulugan

nasaan ang projection ng velocity , .

Sa pagitan ng oras c:

Sa seksyong ito at (ang mga palatandaan ay pareho), i.e. gumagalaw ang katawan na may pare-parehong pagbilis.

Sa pagitan ng oras c:

mga. at (kabaligtaran ang mga palatandaan ng projection) - ang paggalaw ay pantay na mabagal.

Sa seksyon c ang velocity projection, i.e. ang paggalaw ay nangyayari sa positibong direksyon ng axis OH.

Sa seksyon c, ang velocity projection ay ang katawan ay nakapahinga (at ).

Sa seksyon c:

At (ang mga palatandaan ay pareho) - ang paggalaw ay pantay na pinabilis, ngunit mula noon , pagkatapos ay gumagalaw ang katawan laban sa axis OH.

Pagkatapos ng ikaanim na segundo, ang katawan ay gumagalaw nang pantay () laban sa axis OH. mukhang ipinapakita sa Fig. 1.11,.

G

Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga sumusunod na problema.

1. Ang kasalukuyang pulso ay dumadaan sa isang bahagi ng katawan ng hayop, na nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng mA. Tagal ng pulso 0.1 s. Tukuyin ang gawaing ginawa ng kasalukuyang sa panahong ito kung ang paglaban ng seksyon ay 20 kOhm. t Para sa maikling pagitan ng oras d , kapag halos hindi nagbabago ang kasalukuyang, sa kabila ng paglaban R

.

tapos na ang trabaho. Sa buong pulso, gagawin ang trabaho

Ang pagpapalit ng kasalukuyang halaga sa nagresultang expression, nakuha namin. 2. Ang bilis ng punto ay (MS). Hanapin ang paraan S t dinadaanan ng isang punto ng panahon

=4s ang lumipas mula sa simula ng kilusan.

Hanapin natin ang landas na dinaanan ng isang punto sa isang napakaliit na yugto ng panahon. Dahil sa panahong ito ang bilis ay maaaring ituring na pare-pareho, kung gayon . Pagsasama, mayroon kami a 3. Hanapin ang puwersa ng fluid pressure sa isang vertical triangular plate na may base at taas h

inilubog sa isang likido upang ang tuktok nito ay nasa ibabaw.

Ilalagay namin ang coordinate system tulad ng ipinapakita sa Fig. 5. x Isaalang-alang ang isang pahalang na infinitesimal na strip ng kapal d x, na matatagpuan sa isang di-makatwirang lalim . Ang pagkuha ng strip na ito bilang isang rektanggulo, nakita namin ang base nito E.F. . Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok At ABC AEF

nakukuha namin

Kung gayon ang lugar ng strip ay Dahil ang lakas P (MS). Hanapin ang paraan, ang lalim ng pagsasawsaw nito r, ayon sa batas ni Pascal ay katumbas ng

kung saan ang r ay ang density ng likido, g- acceleration of gravity, pagkatapos ay ang nais na puwersa ng presyon sa itinuturing na lugar d (MS). Hanapin ang paraan kinakalkula ng formula

.

Samakatuwid, ang puwersa ng presyon Dahil ang lakas mga likido sa platform . Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok

.

Lutasin ang mga problema.

5.41 Ang bilis ng isang punto ay tinutukoy ng equation cm/s. Hanapin ang landas na nilakbay ng isang punto ng oras t=5s ang lumipas mula sa simula ng paggalaw.

5.42 Ang bilis ng isang katawan ay ipinahayag ng formula m/s. Hanapin ang landas na dinaanan ng katawan sa unang tatlong segundo pagkatapos magsimula ng paggalaw.

5.43 Ang bilis ng isang katawan ay tinutukoy ng equation cm/s. Saang paraan lilipas ang katawan sa ikatlong segundo ng paggalaw?

5.44 Dalawang katawan ang nagsisimulang gumalaw nang sabay-sabay mula sa parehong punto: ang isa ay may bilis (m/min), at ang isa ay may bilis (m/min). Sa anong distansya mula sa isa't isa sila pagkatapos ng 10 minuto kung lumipat sila sa parehong linya sa parehong direksyon?

5.45 Ang isang katawan na may masa na 5 g na gumagalaw sa isang tuwid na linya ay inaaksyunan ng isang puwersa (dyne). Hanapin ang distansya na nilakbay ng katawan sa ikatlong segundo ng paggalaw.

5.46 Ang bilis ng isang oscillating point ay nagbabago ayon sa batas (sm/s). Tukuyin ang displacement ng punto 0.1 s pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw.

5.47 Gaano karaming trabaho ang dapat gawin upang maiunat ang isang bukal ng 0.06 m kung ang puwersa ng 1 N ay umaabot dito ng 0.01 m?

5.48 Ang bilis ng isang oscillating point ay nagbabago ayon sa batas (MS). Tukuyin ang distansya na nilakbay ng punto para sa s mula sa simula ng paggalaw.

5.49 Nitrogen, na ang masa ay 7 g, ay lumalawak sa isang pare-parehong temperatura na 300°K upang ang dami nito ay dumoble. Tukuyin ang gawaing ginawa ng gas. Universal gas constant J/kmol.

5.50 Gaano karaming trabaho ang dapat gawin upang maiunat ang isang spring na 25 cm ang haba hanggang sa isang haba na 35 cm, kung alam na ang spring stiffness coefficient ay 400 N/m?

5.51 Ang kasalukuyang pulso ay dumadaan sa katawan ng isang hayop, na nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas (mA). Ang tagal ng pulso ay 0.1s. Tukuyin ang singil na dumadaloy sa katawan ng hayop.

5.52 Anong gawain ang ginagawa kapag ang kalamnan ay nakaunat? l mm, kung ito ay kilala na sa ilalim ng load Dahil ang lakas 0 ang kalamnan ay nakaunat ng l 0 mm? Ipagpalagay na ang puwersa na kinakailangan upang iunat ang isang kalamnan ay proporsyonal sa pagpapahaba nito.

5.53 Ang isang katawan ay gumagalaw sa isang tiyak na daluyan nang patuwid ayon sa batas. Ang paglaban ng daluyan ay proporsyonal sa parisukat ng bilis. Hanapin ang gawaing ginawa ng puwersa ng paglaban ng daluyan kapag ang katawan ay gumagalaw mula (MS). Hanapin ang paraan=0 hanggang (MS). Hanapin ang paraan=a metro.

saan x At y– sa cm, a t- sa nayon Tukuyin ang trajectory ng isang punto, bilis at acceleration sa mga sandali ng oras t 0 =0 s, t 1 =1 s At t 2 =5 s, pati na rin ang landas na nilakbay ng punto sa loob ng 5 s.

Solusyon

Pagkalkula ng tilapon

Tinutukoy namin ang tilapon ng punto. I-multiply namin ang unang ibinigay na equation sa pamamagitan ng 3, ang pangalawa sa pamamagitan ng (-4), at pagkatapos ay idagdag ang kanilang kaliwa at kanang panig:

3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2

Ang resulta ay isang equation ng unang degree - ang equation ng isang tuwid na linya, na nangangahulugang ang paggalaw ng punto ay rectilinear (Figure 1.5).

Upang matukoy ang mga coordinate ng paunang posisyon ng point A 0, pinapalitan namin ang mga halaga sa ibinigay na mga equation t 0 =0; mula sa unang equation na nakuha namin x 0 =2 cm, mula sa pangalawa y 0 =1 cm. Para sa anumang iba pang halaga ng t, ang mga x at y na coordinate ng gumagalaw na punto ay tumataas lamang, kaya ang trajectory ng punto ay isang kalahating linya. 3x-4y=2 na may simula sa puntong A 0 (2; 1).

Larawan 1.5

Pagkalkula ng bilis

Tinutukoy namin sa pamamagitan ng unang paghahanap ng mga projection nito sa mga coordinate axes:

Sa t 0 =0s bilis ng punto v 0 =0, sa t 1 =1s – v 1 =5 cm/s, sa t 2 =5s – v 2 =25cm/s.

Pagkalkula ng pagbilis

Tukuyin ang acceleration ng punto. Ang mga projection nito sa coordinate axes:

Ang mga projection ng acceleration ay hindi nakadepende sa oras ng paggalaw,

mga. ang paggalaw ng punto ay pantay na pinabilis, ang bilis at acceleration vectors ay tumutugma sa tilapon ng punto at nakadirekta kasama nito.

Sa kabilang banda, dahil ang paggalaw ng isang punto ay rectilinear, ang acceleration modulus ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng direktang pagkakaiba ng velocity equation.

EN 01 MATHEMATICS

Isang koleksyon ng mga takdang-aralin para sa ekstrakurikular na independiyenteng gawain sa paksa: "Paglalapat ng isang tiyak na integral upang malutas ang mga pisikal na problema."

para sa espesyalidad:

100126 Tahanan at mga kagamitan

Vologda 2013

Matematika: Koleksyon ng mga takdang-aralin para sa extracurricular na independiyenteng gawain sa paksa: "Paglalapat ng isang tiyak na integral upang malutas ang mga pisikal na problema" para sa espesyalidad: 100126 Mga serbisyo sa sambahayan at utility

Ang koleksyong ito ng mga takdang-aralin para sa ekstrakurikular na independiyenteng gawain sa paksang: "Paglalapat ng isang tiyak na integral upang malutas ang mga pisikal na problema" ay tulong sa pagtuturo sa pag-oorganisa ng independyente gawaing ekstrakurikular mga mag-aaral.

Naglalaman ng mga takdang-aralin para sa independiyenteng gawaing ekstrakurikular para sa anim na opsyon at pamantayan para sa pagtatasa ng pagkumpleto ng independiyenteng gawain.

Ang kit ay idinisenyo upang tulungan ang mga mag-aaral na mag-systematize at pagsama-samahin ang teoretikal na materyal na nakuha sa matematika sa silid-aralan at bumuo ng mga praktikal na kasanayan.

Compiled by: E. A. Sevaleva – guro sa matematika pinakamataas na kategorya BOU SPO VO "Vologda kolehiyo sa pagtatayo»

1. Paliwanag na tala.

2. Malayang gawain.

3. Pamantayan sa pagsusuri.

4. Panitikan.

Paliwanag na tala

Ang gawaing ito ay isang pang-edukasyon at metodolohikal na manwal para sa pag-aayos ng independiyenteng ekstrakurikular na gawain ng mga mag-aaral sa disiplina EN 01 "Mathematics" para sa espesyalidad 100126 Mga serbisyo ng sambahayan at utility.

Target mga tagubiling pamamaraan Binubuo ang pagtiyak ng pagiging epektibo ng independiyenteng gawain, pagtukoy sa nilalaman nito, pagtatatag ng mga kinakailangan para sa disenyo at mga resulta ng independiyenteng gawain.

Ang mga layunin ng independiyenteng gawain ng mga mag-aaral sa disiplina EN 01 "Matematika" ay:

· sistematisasyon at pagsasama-sama ng nakuhang teoretikal na kaalaman at praktikal na kasanayan;

· pagpapalalim at pagpapalawak ng teoretikal na kaalaman;

· pagbuo ng kakayahang gumamit ng sanggunian at karagdagang literatura;

· pag-unlad ng mga kakayahan at aktibidad ng pag-iisip ng mga mag-aaral, malikhaing inisyatiba, pagsasarili at organisasyon ng sarili;

· pag-activate ng mga aktibidad na pang-edukasyon at nagbibigay-malay ng mga espesyalista sa hinaharap.

Ang independiyenteng trabaho ay isinasagawa nang paisa-isa sa libreng oras mula sa mga klase.

Ang mag-aaral ay obligado:

• bago magsagawa ng malayang gawain, ulitin ang teoretikal na materyal na sakop sa mga aralin sa silid-aralan;
• isagawa ang gawain ayon sa takdang-aralin;
• para sa bawat isa malayang gawain Magsumite ng ulat sa guro sa anyo ng nakasulat na gawain.

Malayang gawain sa paksa:

"Paglalapat ng isang tiyak na integral upang malutas ang mga pisikal na problema"

Target: matutong mag-apply tiyak na integral para sa paglutas ng mga pisikal na problema.

Teorya.

Pagkalkula ng landas na nilakbay ng isang punto.

Ang landas na nilakbay sa pamamagitan ng isang punto sa hindi pantay na paggalaw sa isang tuwid na linya na may variable na bilis at ang pagitan ng oras mula hanggang ay kinakalkula ng formula

…… (1)

Halimbawa 1. MS. Hanapin ang landas na dinaanan ng isang punto sa 10 Sa mula sa simula ng kilusan.

Solusyon: Ayon sa kondisyon , , .

Gamit ang formula (1) makikita natin:

Sagot: .

Halimbawa 2. Ang bilis ng isang punto ay nag-iiba ayon sa batas MS. Hanapin ang landas na nilakbay ng punto sa loob ng 4 na segundo.

Solusyon: Ayon sa kondisyon , ,

Kaya naman:

Sagot: .

Halimbawa 3. Ang bilis ng isang punto ay nag-iiba ayon sa batas MS. Hanapin ang landas na dinaanan ng punto mula sa simula ng paggalaw nito hanggang sa paghinto nito.

Solusyon:

· Ang bilis ng punto ay 0 sa sandaling ito ay nagsimulang gumalaw at sa sandaling ito ay huminto.

· Tukuyin natin kung anong oras ang punto ay titigil upang gawin ito, lutasin ang equation:

Iyon ay, .

· Gamit ang formula (1) makikita natin ang:

Sagot: .

Pagkalkula ng gawain ng puwersa.

Trabaho na ginagawa ng isang variable na puwersa kapag gumagalaw sa isang axis Oh materyal na punto mula sa x = a sa x =, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

…… (2)

Kapag nilulutas ang mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng gawain ng puwersa, madalas itong ginagamit Batas ni Hooke:……(3), saan

Lakas ( N);

X– ganap na pagpahaba (compression) ng spring na dulot ng puwersa ( m);

salik ng proporsyonalidad ( N/m).

Halimbawa 4. Kalkulahin ang gawaing ginawa ng puwersa kapag ang spring ay na-compress ng 0.04 m, kung i-compress ito ng 0.01 m kailangan ng lakas 10 N.

Solusyon:

· Dahil x = 0,01 m sa lakas =10 N

, nahanap namin, i.e. .

Sagot:J.

Halimbawa 5. Spring in kalmadong estado ay may haba na 0.2 m. Lakas sa 50 N umaabot sa tagsibol ng 0.01 m. Gaano karaming trabaho ang dapat gawin upang mabatak ang tagsibol mula sa 0.22 m hanggang 0.32 m?

Solusyon:

· Dahil x = 0.01 sa puwersa =50 N, pagkatapos, pinapalitan ang mga halagang ito sa pagkakapantay-pantay (3): , nakukuha natin:

· Pinapalitan ngayon ang nahanap na halaga sa parehong pagkakapantay-pantay , nahanap namin, i.e. .

· Paghahanap ng mga limitasyon ng pagsasama: m, m.

· Hahanapin namin ang trabahong hinahanap mo gamit ang formula (2):