Ngayon sa aralin ay matututo tayong maghanap may kondisyon o, gaya ng tawag sa kanila, relatibong sukdulan mga function ng ilang mga variable, at, una sa lahat, pag-uusapan natin, siyempre, ang tungkol sa conditional extrema function ng dalawa At tatlong variable, na matatagpuan sa karamihan ng mga problemang pampakay.

Ano ang kailangan mong malaman at magagawa sa sandaling ito? Sa kabila ng katotohanan na ang artikulong ito ay "nasa labas" ng paksa, hindi gaanong kinakailangan upang matagumpay na makabisado ang materyal. Sa puntong ito dapat mong malaman ang pangunahing mga ibabaw ng espasyo, makakahanap mga partial derivatives (hindi bababa sa isang average na antas) at, gaya ng idinidikta ng walang awa na lohika, na maunawaan walang kundisyon na mga sukdulan. Pero kahit ikaw mababang antas paghahanda, huwag magmadaling umalis - lahat ng nawawalang kaalaman/kasanayan ay maaari talagang "kunin sa daan", at nang walang anumang oras ng pagdurusa.

Una, pag-aralan natin ang konsepto mismo at sa parehong oras ay magsagawa ng mabilis na pag-uulit ng pinakakaraniwan ibabaw. Kaya ano ito conditional extreme? ...Ang lohika dito ay walang awa =) Ang conditional extremum ng isang function ay isang extremum sa karaniwang kahulugan ng salita, na nakakamit kapag ang isang tiyak na kundisyon (o kundisyon) ay natutugunan.

Isipin ang isang di-makatwirang "pahilig" eroplano V Sistema ng Cartesian. wala sukdulan walang bakas dito. Ngunit ito ay pansamantala. Isaalang-alang natin elliptical cylinder, para sa pagiging simple - isang walang katapusang bilog na "pipe" na kahanay sa axis. Malinaw na ang "pipe" na ito ay "puputol" sa aming eroplano ellipse, bilang isang resulta kung saan magkakaroon ng maximum sa itaas na punto nito, at isang minimum sa ibabang punto nito. Sa madaling salita, ang function na tumutukoy sa eroplano ay umabot sa extrema Kung ganoon na ito ay tinawid ng isang binigay na pabilog na silindro. Eksaktong "ibinigay"! Ang isa pang elliptical cylinder na tumatawid sa eroplanong ito ay halos tiyak na makakapagdulot ng iba't ibang minimum at maximum na mga halaga.

Kung ito ay hindi masyadong malinaw, kung gayon ang sitwasyon ay maaaring gayahin nang makatotohanan (kahit sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod) : kumuha ng palakol, lumabas at magputol... hindi, hindi ka mapapatawad ng Greenpeace mamaya - mas mabuting putulin ang drainpipe gamit ang gilingan =). Ang conditional minimum at conditional maximum ay depende sa kung anong taas at sa ilalim ng ano (hindi pahalang) ang hiwa ay ginawa sa isang anggulo.

Ang oras ay dumating upang bihisan ang mga kalkulasyon sa mathematical attire. Isaalang-alang natin elliptical paraboloid, na mayroon ganap na minimum sa puntong . Ngayon hanapin natin ang extremum Kung ganoon. Ito eroplano parallel sa axis, na nangangahulugang "pumuputol" ito sa paraboloid parabola. Ang tuktok ng parabola na ito ang magiging conditional minimum. Bukod dito, ang eroplano ay hindi dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate, samakatuwid, ang punto ay mananatiling hindi nauugnay. Hindi nagbigay ng larawan? Sundan natin agad ang mga link! Aabutin ito ng marami, maraming beses pa.

Tanong: paano mahahanap ang conditional extremum na ito? Ang pinakasimpleng paraan ang solusyon ay mula sa equation (na tinatawag na - kundisyon o equation ng koneksyon) express, halimbawa: – at palitan ito sa function na:

Ang resulta ay isang function ng isang variable na tumutukoy sa isang parabola, ang tuktok nito ay "kinakalkula" nang nakapikit ang iyong mga mata. Hanapin natin kritikal na mga punto:

- kritikal na punto.

Ang susunod na pinakamadaling gamitin ay pangalawang sapat na kondisyon para sa extremum:

Sa partikular: nangangahulugan ito na ang function ay umabot sa isang minimum sa punto . Maaari itong direktang kalkulahin: , ngunit dadalhin namin ang isang mas akademikong ruta. Hanapin natin ang coordinate ng "laro":
,

isulat ang kondisyon na minimum na punto, siguraduhin na ito ay talagang nasa eroplano (natutugunan ang coupling equation):

at kalkulahin ang kondisyon na minimum ng function:
Kung ganoon ("additive" ay kinakailangan!!!).

Ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay maaaring gamitin sa pagsasanay nang walang anino ng pag-aalinlangan, gayunpaman, mayroon itong isang bilang ng mga disadvantages. Una, ang geometry ng problema ay hindi palaging malinaw, at pangalawa, madalas na hindi kapaki-pakinabang na ipahayag ang "x" o "y" mula sa equation ng koneksyon (kung mayroong anumang paraan upang ipahayag ang anumang bagay). At ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang unibersal na paraan para sa paghahanap ng conditional extrema, na tinatawag Paraan ng Lagrange multiplier:

Halimbawa 1

Hanapin ang conditional extrema ng function na may tinukoy na equation ng koneksyon sa mga argumento.

Nakikilala mo ba ang mga ibabaw? ;-) ...I'm glad to see your happy faces =)

Sa pamamagitan ng paraan, mula sa pagbabalangkas ng problemang ito ay nagiging malinaw kung bakit tinawag ang kundisyon equation ng koneksyon- mga argumento ng function konektado isang karagdagang kundisyon, iyon ay, ang mga nahanap na extremum point ay kinakailangang nabibilang sa isang pabilog na silindro.

Solusyon: sa unang hakbang kailangan mong ipakita ang equation ng koneksyon sa form at mag-compose Lagrange function:
, nasaan ang tinatawag na Lagrange multiplier.

Sa aming kaso at:

Ang algorithm para sa paghahanap ng conditional extrema ay halos kapareho sa scheme para sa paghahanap ng "ordinaryo" sukdulan. Hanapin natin mga partial derivatives Lagrange function, habang ang "lambda" ay dapat ituring bilang isang pare-pareho:

Mag-compose at mag-solve tayo ang sumusunod na sistema:

Ang gusot ay hinubad bilang pamantayan:
mula sa unang equation na ipinapahayag namin ;
mula sa pangalawang equation na ipinapahayag namin .

Palitan natin ang mga koneksyon sa equation at isagawa ang mga pagpapasimple:

Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang nakatigil na puntos. Kung , kung gayon:

kung , kung gayon:

Madaling makita na ang mga coordinate ng parehong mga punto ay nakakatugon sa equation . Ang mga maingat na tao ay maaari ring magsagawa ng buong pagsusuri: para dito kailangan mong palitan sa una at pangalawang equation ng system, at pagkatapos ay gawin ang parehong sa set . Ang lahat ay dapat "magkasama".

Suriin natin ang pagpapatupad sapat na kondisyon extremum para sa mga natagpuang nakatigil na mga punto. Tatalakayin ko ang tatlong paraan sa paglutas ng isyung ito:

1) Ang unang paraan ay isang geometric na pagbibigay-katwiran.

Kalkulahin natin ang mga halaga ng pag-andar sa mga nakatigil na punto:

Susunod, isulat namin ang isang parirala na may humigit-kumulang sumusunod na nilalaman: ang isang seksyon ng isang eroplano sa pamamagitan ng isang pabilog na silindro ay isang ellipse, sa itaas na tuktok kung saan naabot ang maximum, at sa mas mababang vertex ang minimum. Kaya, ang mas malaking value ay conditional maximum, at ang mas maliit na value ay conditional minimum.

Kung maaari, mas mahusay na gamitin ang pamamaraang ito - ito ay simple, at ang desisyon na ito ay binibilang ng mga guro (isang malaking plus ay na nagpakita ka ng pag-unawa geometriko na kahulugan mga gawain). Gayunpaman, tulad ng nabanggit na, hindi palaging malinaw kung ano ang intersect sa kung ano at saan, at pagkatapos ay ang analytical na pag-verify ay sumagip:

2) Ang pangalawang paraan ay batay sa paggamit ng pangalawang pagkakasunod-sunod na mga palatandaan ng pagkakaiba. Kung ito ay lumabas na sa isang nakatigil na punto, kung gayon ang pag-andar ay umabot sa isang maximum doon, ngunit kung ito ay nangyari, pagkatapos ay umabot ito sa isang minimum.

Hanapin natin pangalawang order na bahagyang derivatives:

at lumikha ng pagkakaiba-iba na ito:

Kapag , nangangahulugan ito na ang function ay umabot sa pinakamataas nito sa punto ;
sa , na nangangahulugan na ang function ay umabot sa isang minimum sa punto .

Ang pamamaraan na isinasaalang-alang ay napakahusay, ngunit may kawalan na sa ilang mga kaso ay halos imposible upang matukoy ang tanda ng 2nd differential (karaniwan itong nangyayari kung at/o may iba't ibang palatandaan). At pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ay dumating upang iligtas:

3) Ibahin natin ang equation ng koneksyon sa pamamagitan ng "X" at "Y":

at buuin ang mga sumusunod simetriko matris:

Kung sa isang nakatigil na punto, kung gayon ang pag-andar ay umabot doon ( pansin!) minimum, kung – pagkatapos ay maximum.

Isulat natin ang matrix para sa halaga at ang kaukulang punto:

kalkulahin natin ito determinant:
, sa gayon, ang function ay may maximum sa point .

Gayundin para sa halaga at punto:

Kaya, ang function ay may pinakamababa sa punto .

Sagot: Kung ganoon :

Pagkatapos ng masusing pagsusuri ng materyal, hindi ko lang maiwasang mag-alok sa iyo ng mag-asawa karaniwang mga gawain para sa self-test:

Halimbawa 2

Hanapin ang conditional extremum ng function kung ang mga argumento nito ay nauugnay sa equation

Halimbawa 3

Hanapin ang extrema ng function na ibinigay ng kundisyon

At muli, masidhi kong inirerekumenda ang pag-unawa sa geometric na kakanyahan ng mga gawain, lalo na sa huling halimbawa, kung saan ang analytical na pag-verify ng isang sapat na kondisyon ay hindi isang regalo. Tandaan kung ano 2nd order line nagtatakda ng equation, at ano ibabaw nabuo ang linyang ito sa espasyo. Pag-aralan kung saang kurba ang silindro magsa-intersect sa eroplano at kung saan sa kurba na ito magkakaroon ng minimum at kung saan magkakaroon ng maximum.

Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang problemang pinag-uusapan ay nahahanap malawak na aplikasyon sa iba't ibang mga lugar, lalo na - hindi tayo lalayo, sa geometry. Lutasin natin ang paboritong problema ng lahat tungkol sa kalahating litro na bote (tingnan ang halimbawa 7 ng artikuloMatinding Hamon ) pangalawang paraan:

Halimbawa 4

Ano ang dapat na mga sukat ng isang cylindrical na lata upang ang pinakamaliit na dami ng materyal ay ginagamit sa paggawa ng lata, kung ang dami ng lata ay katumbas ng

Solusyon: isaalang-alang ang isang variable na base radius, isang variable na taas at bumuo ng isang function ng lugar ng kabuuang ibabaw ng lata:
(lugar ng dalawang takip + lugar sa ibabaw ng gilid)

• Pagtuturo

lahat magandang araw. Sa artikulong ito nais kong ipakita ang isa sa mga graphic na pamamaraan pagtatayo mga modelo ng matematika para sa mga dynamic na sistema, na tinatawag na graph ng bono("bond" - mga koneksyon, "graph" - graph). Sa panitikang Ruso, natagpuan ko ang mga paglalarawan ng paraang ito sa Textbook ni Tomsky Politeknikong Unibersidad, A.V. Voronin "MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008 Ipakita din klasikong pamamaraan sa pamamagitan ng Lagrange equation ng ika-2 uri.

Paraan ng Lagrange

Hindi ko ilalarawan ang teorya, ipapakita ko ang mga yugto ng mga kalkulasyon na may ilang mga komento. Sa personal, mas madali para sa akin na matuto mula sa mga halimbawa kaysa magbasa ng teorya ng 10 beses. Tila sa akin na sa panitikang Ruso, ang paliwanag ng pamamaraang ito, at sa katunayan ang matematika o pisika sa pangkalahatan, ay napakayaman. kumplikadong mga formula, na naaayon ay nangangailangan ng seryosong background sa matematika. Habang nag-aaral ng pamamaraang Lagrange (nag-aaral ako sa Polytechnic University of Turin, Italy), nag-aral ako ng panitikang Ruso upang ihambing ang mga pamamaraan ng pagkalkula, at nahirapan akong sundan ang pag-usad ng paglutas ng pamamaraang ito. Kahit na ang pag-alala sa mga kurso sa pagmomolde sa Kharkov Aviation Institute, ang derivation ng naturang mga pamamaraan ay napakahirap, at walang sinuman ang nag-abala sa kanilang sarili sa pagsisikap na maunawaan ang isyung ito. Ito ang napagpasyahan kong isulat, isang manu-manong para sa pagbuo ng mga modelo ng matematika ayon kay Lagrange, dahil ito ay hindi mahirap, sapat na upang malaman kung paano kalkulahin ang mga derivative na may paggalang sa oras at bahagyang mga derivatives. Para sa mas kumplikadong mga modelo, idinagdag din ang mga rotation matrice, ngunit wala ring kumplikado sa mga ito.

Mga tampok ng mga pamamaraan ng pagmomolde:

• Newton-Euler: mga equation ng vector batay sa dynamic na ekwilibriyo puwersa At sandali
• Lagrange: scalar equation batay sa mga function ng estado na nauugnay sa kinetic at potensyal mga enerhiya
• Bilang ng Bond: paraan batay sa daloy kapangyarihan sa pagitan ng mga elemento ng system

Magsimula tayo sa simpleng halimbawa. Mass na may tagsibol at damper. Hindi namin pinapansin ang puwersa ng grabidad.

Fig 1. Mass na may tagsibol at damper

Una sa lahat, itinalaga namin ang:

• paunang sistema mga coordinate(NSK) o nakapirming sk R0(i0,j0,k0). saan? Maaari mong ituro ang iyong daliri sa kalangitan, ngunit sa pamamagitan ng pagkibot ng mga dulo ng mga neuron sa utak, ang ideya ay dumaan upang ilagay ang NSC sa linya ng paggalaw ng M1 na katawan.
• mga sistema ng coordinate para sa bawat katawan na may masa(mayroon kaming M1 R1(i1,j1,k1)), ang oryentasyon ay maaaring maging arbitrary, ngunit bakit gawing kumplikado ang iyong buhay, itakda ito na may kaunting pagkakaiba mula sa NSC
• pangkalahatang mga coordinate q_i(ang pinakamababang bilang ng mga variable na maaaring maglarawan sa paggalaw), sa halimbawang ito mayroong isang pangkalahatang coordinate, ang paggalaw lamang sa kahabaan ng j axis

Fig 2. Inilalagay namin ang mga sistema ng coordinate at mga pangkalahatang coordinate

Fig 3. Posisyon at bilis ng katawan M1

Pagkatapos ay makikita natin ang kinetic (C) at potensyal (P) na mga energies at ang dissipative function (D) para sa damper gamit ang mga formula:

Fig 4. Kumpletuhin ang formula kinetic energy

Sa aming halimbawa ay walang pag-ikot, ang pangalawang bahagi ay 0.

Fig 5. Pagkalkula ng kinetic, potensyal na enerhiya at dissipative function

Ang Lagrange equation ay may sumusunod na anyo:

Larawan 6. Lagrange Equation at Lagrangian

Delta W_i Ito ay virtual na gawaing ginagawa ng inilapat na puwersa at sandali. Hanapin natin siya:

Larawan 7. Pagkalkula ng virtual na gawain

saan delta q_1 virtual na paggalaw.

Pinapalitan namin ang lahat sa Lagrange equation:

Larawan 8. Ang resultang mass model na may spring at damper

Dito natapos ang pamamaraan ni Lagrange. Tulad ng nakikita mo, hindi ito kumplikado, ngunit ito ay isang napaka-simpleng halimbawa, kung saan malamang na ang pamamaraan ng Newton-Euler ay magiging mas simple. Para sa mas kumplikadong mga sistema, kung saan magkakaroon ng ilang mga katawan na iikot na may kaugnayan sa bawat isa sa iba't ibang mga anggulo, ang pamamaraan ng Lagrange ay magiging mas madali.

Paraan ng Bond graph

Ipapakita ko sa iyo kaagad kung ano ang hitsura ng modelo sa bond-graph para sa isang halimbawa na may mass, spring at damper:

Larawan 9. Bond-graph mass na may spring at damper

Dito kailangan mong sabihin ang isang maliit na teorya, na magiging sapat na upang bumuo mga simpleng modelo. Kung may interesado, maaari mong basahin ang libro ( Pamamaraan ng Bond Graph) o ( Voronin A.V. Pagmomodelo ng mga mechatronic system: pagtuturo. – Tomsk: Tomsk Polytechnic University Publishing House, 2008).

Alamin muna natin iyan kumplikadong mga sistema binubuo ng ilang mga domain. Halimbawa, ang isang de-koryenteng motor ay binubuo ng mga de-koryente at mekanikal na bahagi o mga domain.

graph ng bono batay sa pagpapalitan ng kapangyarihan sa pagitan ng mga domain na ito, mga subsystem. Tandaan na ang pagpapalitan ng kapangyarihan, sa anumang anyo, ay palaging tinutukoy ng dalawang variable ( variable na kapangyarihan) sa tulong kung saan maaari nating pag-aralan ang pakikipag-ugnayan ng iba't ibang mga subsystem sa loob ng isang dinamikong sistema (tingnan ang talahanayan).

Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ang pagpapahayag ng kapangyarihan ay halos pareho sa lahat ng dako. Sa buod, kapangyarihan- Ang gawaing ito" daloy - f"on" pagsisikap - e».

Isang pagsisikap(Ingles) pagsisikap) sa elektrikal na domain ito ay boltahe (e), sa mekanikal na domain ito ay puwersa (F) o metalikang kuwintas (T), sa haydroliko ito ay presyon (p).

Daloy(Ingles) daloy) sa elektrikal na domain ito ay kasalukuyang (i), sa mekanikal na domain ito ay bilis (v) o angular velocity(omega), sa haydrolika – daloy ng likido o rate ng daloy (Q).

Sa pagkuha ng mga notasyong ito, nakakakuha tayo ng ekspresyon para sa kapangyarihan:

Larawan 10. Power formula sa pamamagitan ng power variable

Sa wikang bond-graph, ang koneksyon sa pagitan ng dalawang subsystem na nagpapalitan ng kapangyarihan ay kinakatawan ng isang bono. bono). Iyon ang dahilan kung bakit tinawag ang pamamaraang ito bond-graph o g raf-koneksyon, konektadong graph. Isaalang-alang natin block diagram mga koneksyon sa isang modelo na may de-koryenteng motor (hindi pa ito isang bond-graph):

Larawan 11. Block diagram ng daloy ng kuryente sa pagitan ng mga domain

Kung mayroon tayong pinagmumulan ng boltahe, pagkatapos ay bumubuo ito ng boltahe at inililipat ito sa motor para sa paikot-ikot (ito ang dahilan kung bakit ang arrow ay nakadirekta patungo sa motor), depende sa paglaban ng paikot-ikot, ang isang kasalukuyang lilitaw ayon sa batas ng Ohm (itinuro mula sa motor hanggang sa pinagmulan). Alinsunod dito, ang isang variable ay isang input sa subsystem, at ang pangalawa ay dapat labasan mula sa subsystem. Narito ang boltahe ( pagsisikap) – input, kasalukuyang ( daloy) - labasan.

Kung gagamit ka ng kasalukuyang pinagmulan, paano magbabago ang diagram? Tama. Ang kasalukuyang ay ididirekta sa motor, at ang boltahe sa pinagmulan. Pagkatapos ang kasalukuyang ( daloy) – input, boltahe ( pagsisikap) - labasan.

Tingnan natin ang isang halimbawa sa mechanics. Sapilitang kumikilos sa isang masa.

Larawan 12. Inilapat ang puwersa sa masa

Ang block diagram ay ang mga sumusunod:

Larawan 13. Block diagram

Sa halimbawang ito, Lakas ( pagsisikap) – input variable para sa masa. (Pwersang inilapat sa masa)
Ayon sa pangalawang batas ni Newton:

Mabilis na tumugon ang misa:

Sa halimbawang ito, kung ang isang variable ( puwersa - pagsisikap) ay pasukan sa mekanikal na domain, pagkatapos ay isa pang power variable ( bilis - daloy) – awtomatikong nagiging labasan.

Upang makilala kung nasaan ang input at kung nasaan ang output, isang patayong linya ang ginagamit sa dulo ng arrow (koneksyon) sa pagitan ng mga elemento, ang linyang ito ay tinatawag tanda ng sanhi o sanhi (sanhi). Ito ay lumabas: inilapat na puwersa ang sanhi, at ang bilis ay ang epekto. Napakahalaga ng sign na ito para sa tamang pagtatayo ng isang modelo ng system, dahil ang causality ay isang kinahinatnan pisikal na pag-uugali at ang pagpapalitan ng mga kapangyarihan ng dalawang subsystem, samakatuwid ang pagpili ng lokasyon ng causality sign ay hindi maaaring basta-basta.

Larawan 14. Pagtatalaga ng causality

Ipinapakita ng patayong linyang ito kung aling subsystem ang tumatanggap ng puwersa ( pagsisikap) at bilang isang resulta ay gumagawa ng isang daloy ( daloy). Sa halimbawa na may masa ay magiging ganito:

Larawan 14. Dahilan na relasyon para sa puwersang kumikilos sa masa

Malinaw mula sa arrow na ang input para sa masa ay - puwersa, at ang output ay bilis. Ginagawa ito upang hindi ma-clutter ang diagram gamit ang mga arrow at ma-systematize ang pagbuo ng modelo.

Susunod mahalagang punto. Pangkalahatang salpok(dami ng paggalaw) at gumagalaw(mga variable ng enerhiya).

Talaan ng mga variable ng kapangyarihan at enerhiya sa iba't ibang mga domain

Ang talahanayan sa itaas ay nagpapakilala ng dalawang karagdagang pisikal na dami na ginamit sa paraan ng bond-graph. Tinatawag sila pangkalahatang impulse (R) At pangkalahatang kilusan (q) o mga variable ng enerhiya, at maaaring makuha ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama ng mga variable ng kuryente sa paglipas ng panahon:

Larawan 15. Relasyon sa pagitan ng mga variable ng kapangyarihan at enerhiya

Sa electrical domain :

Batay sa batas ni Faraday, Boltahe sa dulo ng conductor ay katumbas ng derivative ng magnetic flux sa pamamagitan ng conductor na ito.

A Kasalukuyang lakas - pisikal na bilang, katumbas ng ratio ng halaga ng singil Q na dumadaan sa ilang oras t cross section konduktor, sa halaga ng panahong ito.

Mekanikal na domain:

Mula sa ikalawang batas ni Newton, Puwersa– time derivative ng impulse

At kaugnay nito, bilis- time derivative ng displacement:

I-summarize natin:

Mga pangunahing elemento

Ang lahat ng mga elemento sa mga dynamic na sistema ay maaaring nahahati sa dalawang-pol at apat na mga bahagi.
Isaalang-alang natin bipolar na bahagi:

Mga pinagmumulan
May mga pinagmumulan ng parehong pagsisikap at daloy. Analogy sa electrical domain: pinagmumulan ng pagsisikap – pinagmumulan ng boltahe, pinagmulan ng stream – kasalukuyang pinagmulan. Ang mga palatandaan ng sanhi para sa mga mapagkukunan ay dapat na ganito lamang.

Larawan 16. Mga sanhi ng koneksyon at pagtatalaga ng mga mapagkukunan

Bahagi R - elemento ng dissipative

Bahagi I - inertial na elemento

Bahagi C - capacitive elemento

Tulad ng makikita mula sa mga figure, iba't ibang mga elemento ng pareho uri ng R, C, I inilarawan ng parehong mga equation. LAMANG mayroong pagkakaiba para sa mga de-koryenteng kapasidad, kailangan mo lamang itong tandaan!

Mga bahagi ng quadrupole:

Tingnan natin ang dalawang bahagi: isang transpormer at isang gyrator.

Ang huling mahalagang bahagi sa paraan ng bond-graph ay ang mga koneksyon. Mayroong dalawang uri ng mga node:

Iyon lang sa mga sangkap.

Ang mga pangunahing hakbang para sa pagtatatag ng mga ugnayang sanhi pagkatapos ng pagbuo ng isang bond-graph:

1. Magbigay ng mga sanhi ng koneksyon sa lahat pinagmumulan
2. Pumunta sa lahat ng mga node at ilagay ang mga ugnayang sanhi pagkatapos ng punto 1
3. Para sa mga bahagi I magtalaga ng input na sanhi ng relasyon (kasama ang pagsisikap sa bahaging ito), para sa mga bahagi C magtalaga ng sanhi ng output (lumalabas ang pagsisikap mula sa bahaging ito)
4. Ulitin ang punto 2
5. Ipasok ang mga sanhi ng koneksyon para sa R mga bahagi

Ito ay nagtatapos sa mini-kurso sa teorya. Ngayon ay mayroon na kaming lahat ng kailangan namin upang bumuo ng mga modelo.
Lutasin natin ang ilang halimbawa. Magsimula tayo sa isang de-koryenteng circuit, mas mahusay na maunawaan ang pagkakatulad ng pagbuo ng isang bond-graph.

Halimbawa 1

Magsimula tayo sa pagbuo ng isang bond-graph na may pinagmumulan ng boltahe. Isulat lamang ang Se at maglagay ng arrow.

Tingnan mo, simple lang ang lahat! Tingnan pa natin, ang R at L ay konektado sa serye, na nangangahulugang ang parehong kasalukuyang daloy sa kanila, kung nagsasalita tayo sa mga variable ng kapangyarihan - ang parehong daloy. Aling node ang may parehong daloy? Ang tamang sagot ay 1-node. Ikinonekta namin ang source, resistance (component - R) at inductance (component - I) sa 1-node.

Susunod, mayroon kaming capacitance at resistance sa parallel, na nangangahulugang mayroon silang parehong boltahe o puwersa. Ang 0-node ay angkop na walang katulad. Ikinonekta namin ang capacitance (component C) at resistance (component R) sa 0-node.

Ikinonekta rin namin ang mga node 1 at 0 sa bawat isa. Ang direksyon ng mga arrow ay pinili nang arbitraryo;

Makukuha mo ang sumusunod na graph ng koneksyon:

Ngayon kailangan nating magtatag ng mga ugnayang sanhi. Kasunod ng mga tagubilin para sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakalagay, magsimula tayo sa pinagmulan.

1. Mayroon kaming isang pinagmumulan ng boltahe (pagsisikap), ang naturang mapagkukunan ay may isang pagpipilian lamang na sanhi - output. Ilagay natin.
2. Susunod ay mayroong component I, tingnan natin kung ano ang inirerekomenda nila. Inilagay namin
3. Inilagay namin ito para sa 1-node. Kumain
4. Ang isang 0-node ay dapat magkaroon ng isang input at lahat ng output na sanhi ng koneksyon. Isang araw na lang ang pahinga namin. Naghahanap kami ng mga sangkap na C o I. Nahanap namin ito. Inilagay namin
5. Ilista natin ang natitira

Iyon lang. Binuo ang Bond graph. Hurray, Mga Kasama!

Ang natitira na lang ay isulat ang mga equation na naglalarawan sa ating sistema. Upang gawin ito, lumikha ng isang talahanayan na may 3 mga hanay. Ang una ay maglalaman ng lahat ng mga bahagi ng system, ang pangalawa ay maglalaman ng input variable para sa bawat elemento, at ang pangatlo ay maglalaman ng output variable para sa parehong bahagi. Natukoy na natin ang input at output sa pamamagitan ng mga ugnayang sanhi. Kaya hindi dapat magkaroon ng anumang mga problema.

Bilangin natin ang bawat koneksyon para sa kadalian ng pag-record ng mga antas. Kinukuha namin ang mga equation para sa bawat elemento mula sa listahan ng mga sangkap C, R, I.

Ang pagkakaroon ng pag-compile ng isang talahanayan, tinukoy namin ang mga variable ng estado, sa halimbawang ito mayroong 2 sa kanila, p3 at q5. Susunod na kailangan mong isulat ang mga equation ng estado:

Iyon lang, handa na ang modelo.

Halimbawa 2. Nais kong agad na humingi ng paumanhin para sa kalidad ng larawan, ang pangunahing bagay ay nababasa mo

Lutasin natin ang isa pang halimbawa para sa isang mekanikal na sistema, ang parehong nalutas natin gamit ang pamamaraang Lagrange. Ipapakita ko ang solusyon nang walang komento. Suriin natin kung alin sa mga pamamaraang ito ang mas simple at mas madali.

Sa Matbala, ang parehong mga modelo ng matematika na may parehong mga parameter ay pinagsama-sama, na nakuha sa pamamagitan ng Lagrange na pamamaraan at bond-graph. Ang resulta ay nasa ibaba: Magdagdag ng mga tag

Una, isaalang-alang natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng isang function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na nakamit sa ilalim ng kundisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa equation ng koneksyon $\ varphi (x,y)=0$.

Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa ang katunayan na ang mga variable ay napapailalim sa karagdagang kondisyon$\varphi(x,y)=0$. Kung ang isang variable ay maaaring ipahayag mula sa equation ng koneksyon sa pamamagitan ng isa pa, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng pagtukoy ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang equation ng koneksyon ay nagpapahiwatig ng $y=\psi(x)$, pagkatapos ay pinapalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable na $z =f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. SA pangkalahatang kaso Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya ang pagpapakilala ng isang bagong algorithm ay kinakailangan.

Lagrange multiplier method para sa mga function ng dalawang variable.

Ang Lagrange multiplier na paraan ay binubuo ng pagbuo ng Lagrange function upang makahanap ng conditional extremum: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (tinatawag ang $\lambda$ parameter ang Lagrange multiplier). Ang mga kinakailangang kondisyon para sa extremum ay tinukoy ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.

Ang isang sapat na kondisyon kung saan matutukoy ng isa ang kalikasan ng extremum ay ang sign $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.

May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa coupling equation nakuha namin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, samakatuwid sa anumang nakatigil na punto mayroon kaming:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:

Ang mga elemento ng determinant na $\left| ay naka-highlight sa pula. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$, pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.

Isang tala tungkol sa notasyon ng determinant na $H$. Ipakita itago

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Sa sitwasyong ito, magbabago ang panuntunang nabalangkas sa itaas tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may kondisyon na minimum, at kung $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum

1. Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
   • Buuin ang determinant ng $H$ at alamin ang sign nito
   • Isinasaalang-alang ang coupling equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$

Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable

Sabihin nating mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ coupling equation ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Maaari mong malaman kung ang isang function ay may conditional na minimum o isang conditional na maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant ng matrix $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, na naka-highlight sa pula sa matrix na $L$, ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:

• Kung ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa tanda ng $(-1)^m$, kung gayon ang nakatigil na puntong pinag-aaralan ay ang conditional na minimum na punto ng function $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kung ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ kapalit, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, kung gayon ang nakatigil na punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Halimbawa Blg. 1

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.

Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kailangan mong hanapin ang pinakamalaking at pinakamaliit na halaga applicates ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2=10$.

Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa pamamagitan ng isa pa mula sa coupling equation at palitan ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Sumulat tayo ng isang sistema ng mga equation upang matukoy ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$

Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapahiwatig na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant ng $H$ sa bawat punto.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Sa puntong $M_1(1;3)$ nakukuha natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa point Ang $M_1(1;3)$ function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Katulad nito, sa puntong $M_2(-1,-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.

Pagsusulat ng determinant na $H$ sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Sa prinsipyo, malinaw na kung ano ang tanda ni $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mong kumpletuhin ang mga kalkulasyon:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$

Ang tanong tungkol sa katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin natin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Tandaan ko na ang notation na $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, ibig sabihin. $\left(dx \right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, samakatuwid, sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakukuha namin ang $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$

Halimbawa Blg. 2

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.

Unang paraan (Lagrange multiplier method)

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$, binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.

Nang malutas ang system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.

$$H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, samakatuwid sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Sinisiyasat namin ang kalikasan ng extremum sa bawat punto gamit ang ibang paraan, batay sa tanda ng $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Mula sa equation ng koneksyon $x+y=0$ mayroon kami: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Pangalawang paraan

Mula sa equation ng koneksyon $x+y=0$ nakukuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Nakakuha kami ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o pagsuri sa pagbabago sa tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakukuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng kapag paglutas ng unang paraan, halimbawa, susuriin namin ang sign $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, at $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Ang mga halaga ng function na $u(x)$ para sa isang ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang hinahangad na conditional extrema ng function na $z(x,y)$.

Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa kung saan lilinawin natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.

Halimbawa Blg. 3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang coupling equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Buuin natin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin natin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(aligned) \right.

Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay tinukoy sa pahayag ng problema). Mula sa pangalawang equation ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Tinutukoy namin ang kalikasan ng extremum sa puntong $(2;1)$ batay sa tanda ng $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, pagkuha ng:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Gayunpaman, sa iba pang mga problema sa isang conditional extremum maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.

Sa susunod na bahagi ay isasaalang-alang natin ang aplikasyon ng pamamaraan ng Lagrange para sa mga pag-andar ng mas malaking bilang ng mga variable.

Paraan ng Lagrange multiplier.

Ang Lagrange multiplier method ay isa sa mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga problema nang wala linear programming.

Ang nonlinear programming ay isang sangay ng mathematical programming na nag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga matinding problema na may nonlinear na layunin na function at isang rehiyon ng mga magagawang solusyon na tinukoy ng mga nonlinear na hadlang. Sa ekonomiya, ito ay tumutugma sa katotohanan na ang mga resulta (kahusayan) ay tumaas o bumaba nang hindi katimbang sa mga pagbabago sa sukat ng paggamit ng mapagkukunan (o, kung ano ang pareho, ang sukat ng produksyon): halimbawa, dahil sa paghahati ng mga gastos sa produksyon sa negosyo sa variable at semi-fixed; dahil sa saturation ng demand para sa mga kalakal, kapag ang bawat kasunod na yunit ay mas mahirap ibenta kaysa sa nauna, atbp.

Ang problema sa nonlinear programming ay ibinibigay bilang problema sa paghahanap ng pinakamabuting kalagayan ng isang tiyak layunin function

F(x 1 ,…x n), F (x) → max

kapag natugunan ang mga kondisyon

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

saan x-vector ng mga kinakailangang variable;

F (x) -layunin na pag-andar;

g (x) - pag-andar ng pagpilit (patuloy na pagkakaiba-iba);

b - vector ng constraint constants.

Ang solusyon sa isang nonlinear na problema sa programming (global maximum o minimum) ay maaaring kabilang sa hangganan o sa loob ng tinatanggap na hanay.

Hindi tulad ng isang linear na problema sa programming, sa isang nonlinear na problema sa programming ang pinakamabuting kalagayan ay hindi nangangahulugang nasa hangganan ng rehiyon na tinukoy ng mga hadlang. Sa madaling salita, ang gawain ay upang piliin ang mga di-negatibong halaga ng mga variable, napapailalim sa isang sistema ng mga paghihigpit sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kung saan ang maximum (o minimum) ng isang naibigay na function ay nakamit. Sa kasong ito, ang mga anyo ng alinman sa layunin na pag-andar o ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinukoy. Ay maaaring maging iba't ibang kaso: ang layunin ng function ay nonlinear, at ang mga hadlang ay linear; ang layunin ng function ay linear, at ang mga hadlang (kahit isa sa kanila) ay nonlinear; pareho ang layunin ng function at ang mga hadlang ay nonlinear.

Ang problema ng nonlinear programming ay matatagpuan sa natural na agham, teknolohiya, ekonomiya, matematika, at sa larangan ng relasyon sa negosyo at sa agham ng pamahalaan.

Ang nonlinear programming, halimbawa, ay nauugnay sa isang pangunahing problema sa ekonomiya. Kaya, sa problema ng paglalaan ng limitadong mga mapagkukunan, alinman sa kahusayan o, kung ang mamimili ay pinag-aaralan, ang pagkonsumo ay pinalaki sa pagkakaroon ng mga paghihigpit na nagpapahayag ng mga kondisyon ng kakulangan ng mapagkukunan. Sa ganitong pangkalahatang pagbabalangkas, ang mathematical formulation ng problema ay maaaring imposible, ngunit sa mga partikular na aplikasyon ang quantitative form ng lahat ng function ay maaaring direktang matukoy. Halimbawa, negosyong pang-industriya gumagawa ng mga produktong plastik. Ang kahusayan sa produksyon ay sinusukat dito sa pamamagitan ng kita, at ang mga paghihigpit ay binibigyang kahulugan bilang cash lakas ng trabaho, mga lugar ng produksyon, pagganap ng kagamitan, atbp.

Ang paraan ng cost-effectiveness ay umaangkop din sa nonlinear programming scheme. Ang pamamaraang ito ay binuo para magamit sa paggawa ng desisyon sa pamahalaan. Ang isang karaniwang tungkulin ng kahusayan ay kapakanan. Narito ang dalawang problema sa nonlinear programming: ang una ay ang pag-maximize ng epekto sa limitadong gastos, ang pangalawa ay ang pagliit ng mga gastos kung ang epekto ay higit sa isang tiyak na minimum na antas. Ang problemang ito ay karaniwang mahusay na namodelo gamit ang nonlinear programming.

Ang mga resulta ng paglutas ng problema sa nonlinear programming ay nakakatulong sa paggawa ng mga desisyon ng pamahalaan. Ang resultang solusyon ay, siyempre, inirerekomenda, kaya kinakailangan na suriin ang mga pagpapalagay at katumpakan ng problema sa nonlinear programming bago gumawa ng pangwakas na desisyon.

Ang mga hindi linear na problema ay kumplikado; Upang gawin ito, karaniwang ipinapalagay na sa isang partikular na lugar ang layunin ng function ay tumataas o bumababa sa proporsyon sa pagbabago sa mga independiyenteng variable. Ang diskarte na ito ay tinatawag na paraan ng piecewise linear approximations gayunpaman, ito ay naaangkop lamang sa ilang mga uri ng mga nonlinear na problema.

Ang mga nonlinear na problema sa ilalim ng ilang mga kundisyon ay nalutas gamit ang Lagrange function: sa pamamagitan ng paghahanap ng saddle point nito, ang solusyon sa problema ay sa gayon ay matatagpuan. Kabilang sa mga computational algorithm N. p. magandang lugar sakupin mga pamamaraan ng gradient. Walang unibersal na paraan para sa mga hindi linear na problema at, tila, maaaring wala, dahil ang mga ito ay lubhang magkakaibang. Ang mga problemang multiextremal ay lalong mahirap lutasin.

Ang isa sa mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang isang nonlinear na problema sa programming sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay ang Lagrange na paraan ng mga hindi tiyak na multiplier.

Gamit ang paraan ng Lagrange multiplier, mahalagang itatag namin mga kinakailangang kondisyon, na nagbibigay-daan upang matukoy ang pinakamainam na mga punto sa mga problema sa pag-optimize na may mga hadlang sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, ang problema sa mga paghihigpit ay binago sa isang katumbas na problema walang kondisyong pag-optimize, na kinabibilangan ng ilang hindi kilalang parameter na tinatawag na Lagrange multiplier.

Ang Lagrange multiplier method ay binubuo sa pagbabawas ng mga problema sa isang conditional extremum sa mga problema sa unconditional extremum ng isang auxiliary function - ang tinatawag na. Mga function ng Lagrange.

Para sa problema ng extremum ng isang function f(x 1, x 2,..., x n) sa ilalim ng mga kundisyon (constraint equation) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, ang Lagrange function ay may form

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Mga multiplier λ 1 , λ 2 , ..., λm tinawag Lagrange multiplier.

Kung ang mga halaga x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm ang kakanyahan ng mga solusyon sa mga equation na tumutukoy sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function, ibig sabihin, para sa mga naiba-iba na function ay mga solusyon sa sistema ng mga equation

pagkatapos ay sa ilalim ng medyo pangkalahatang pagpapalagay x 1 , x 2 , ..., x n ay nagbibigay ng extremum ng function f.

Isaalang-alang ang problema ng pagliit ng isang function ng n variable na napapailalim sa isang hadlang sa anyo ng pagkakapantay-pantay:

I-minimize ang f(x 1, x 2… x n) (1)

sa ilalim ng mga paghihigpit h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Ayon sa pamamaraan ng Lagrange multiplier, ang problemang ito ay binago sa sumusunod na problema sa pag-optimize na walang limitasyon:

bawasan ang L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

kung saan ang Function L(x;λ) ay tinatawag na Lagrange function,

Ang λ ay isang hindi kilalang pare-pareho, na tinatawag na Lagrange multiplier. Walang mga kinakailangan para sa pag-sign ng λ.

Hayaan, para sa isang naibigay na halaga λ=λ 0, ang unconditional na minimum ng function na L(x,λ) na may paggalang sa x ay makamit sa puntong x=x 0 at x 0 ay matugunan ang equation h 1 (x 0)=0 . Pagkatapos, gaya ng madaling makita, pinaliit ng x 0 ang (1) na isinasaalang-alang ang (2), dahil para sa lahat ng mga halaga ng x kasiya-siya (2), h 1 (x)=0 at L(x,λ)=min f(x).

Siyempre, kinakailangang piliin ang halaga λ=λ 0 upang ang coordinate ng unconditional minimum point x 0 ay masiyahan ang pagkakapantay-pantay (2). Magagawa ito kung, isasaalang-alang ang λ bilang isang variable, hanapin ang unconditional na minimum ng function (3) sa anyo ng isang function λ, at pagkatapos ay piliin ang halaga ng λ kung saan ang pagkakapantay-pantay (2) ay nasiyahan. Ilarawan natin ito sa isang tiyak na halimbawa.

I-minimize ang f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

sa ilalim ng pagpilit h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Ang kaukulang unconstrained optimization problem ay nakasulat bilang mga sumusunod:

bawasan ang L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Solusyon. Equating ang dalawang bahagi ng gradient L sa zero, makuha namin

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Upang masuri kung ang nakatigil na puntong x° ay tumutugma sa pinakamababa, kinakalkula namin ang mga elemento ng Hessian matrix ng function na L(x;u), na itinuturing bilang isang function ng x,

na lumalabas na positibong tiyak.

Nangangahulugan ito na ang L(x,u) ay isang convex function ng x. Dahil dito, tinutukoy ng mga coordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 ang pandaigdigang minimum na punto. Pinakamainam na halaga Ang λ ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga x 1 0 at x 2 0 sa equation na 2x 1 + x 2 =2, kung saan 2λ+λ/2=2 o λ 0 =4/5. Kaya, ang minimum na kondisyon ay nakakamit sa x 1 0 =4/5 at x 2 0 =2/5 at katumbas ng min f(x) = 4/5.

Kapag nilulutas ang halimbawang problema, isinasaalang-alang namin ang L(x;λ) bilang isang function ng dalawang variable x 1 at x 2 at, bilang karagdagan, ipinapalagay na ang halaga ng parameter na λ ay pinili upang ang pagpilit ay nasiyahan. Kung ang solusyon ng sistema

J=1,2,3,…,n

Ang λ ay hindi maaaring makuha sa anyo ng mga tahasang pag-andar, kung gayon ang mga halaga ng x at λ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na sistema na binubuo ng n+1 equation na may n+1 na hindi alam:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Para mahanap ang lahat posibleng solusyon Ang sistemang ito ay maaaring gumamit ng mga numerical na paraan ng paghahanap (halimbawa, Newton's method). Para sa bawat isa sa mga solusyon (), dapat nating kalkulahin ang mga elemento ng Hessian matrix ng function L, na itinuturing bilang isang function ng x, at alamin kung ang matrix na ito ay positibong tiyak (lokal na minimum) o negatibong tiyak (lokal na maximum. ).

Ang pamamaraan ng Lagrange multiplier ay maaaring palawigin sa kaso kung saan ang problema ay may ilang mga hadlang sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay. Isaalang-alang ang isang pangkalahatang problema na nangangailangan

I-minimize ang f(x)

sa ilalim ng mga paghihigpit h k =0, k=1, 2, ..., K.

Ang Lagrange function ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

Dito λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrange multiplier, i.e. hindi kilalang mga parameter na ang mga halaga ay kailangang matukoy. Ang equating ng mga partial derivatives ng L na may paggalang sa x sa zero, nakuha namin ang sumusunod na sistema ng n equation na may n hindi alam:

Kung naging mahirap na makahanap ng solusyon sa system sa itaas sa anyo ng mga function ng vector λ, maaari mong palawakin ang system sa pamamagitan ng pagsasama ng mga paghihigpit sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Ang solusyon ng pinalawig na sistema, na binubuo ng n + K equation na may n + K na hindi alam, ay tumutukoy sa nakatigil na punto ng function na L. Pagkatapos ay isang pamamaraan para sa pagsuri para sa isang minimum o maximum ay ipinatupad, na isinasagawa batay sa pagkalkula ang mga elemento ng Hessian matrix ng function L, na itinuturing bilang isang function ng x, katulad ng ginawa sa kaso ng isang problema sa isang hadlang. Para sa ilang mga problema, ang pinalawak na sistema ng mga n+K equation na may n+K na mga hindi alam ay maaaring walang solusyon, at ang Lagrange multiplier na paraan ay lumalabas na hindi naaangkop. Dapat pansinin, gayunpaman, na ang mga ganitong gawain ay medyo bihira sa pagsasanay.

Isaalang-alang natin espesyal na kaso karaniwang gawain nonlinear programming, sa pag-aakalang ang sistema ng mga hadlang ay naglalaman lamang ng mga equation, walang mga kundisyon para sa di-negatibiti ng mga variable at at - ang mga function ay tuloy-tuloy kasama ng kanilang mga partial derivatives. Samakatuwid, sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (7), nakukuha natin ang lahat ng mga punto kung saan ang function (6) ay maaaring magkaroon ng matinding halaga.

Algorithm para sa Lagrange multiplier method

1. Buuin ang Lagrange function.

2. Hanapin ang mga partial derivatives ng Lagrange function na may paggalang sa mga variable x J ,λ i at i-equate ang mga ito sa zero.

3. Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (7), hanapin ang mga punto kung saan ang layunin ng pag-andar ng problema ay maaaring magkaroon ng isang extremum.

4. Sa mga puntong kahina-hinala para sa isang extremum, makikita natin ang mga kung saan naabot ang extremum, at kalkulahin ang mga halaga ng function (6) sa mga puntong ito.

Halimbawa.

Paunang data: Ayon sa plano ng produksyon, ang kumpanya ay kailangang gumawa ng 180 mga produkto. Ang mga produktong ito ay maaaring gawin sa dalawang teknolohikal na paraan. Kapag gumagawa ng x 1 na produkto gamit ang 1st method, ang mga gastos ay 4x 1 +x 1 2 rubles, at kapag gumagawa ng x 2 na produkto gamit ang 2nd method, ang mga ito ay 8x 2 +x 2 2 rubles. Tukuyin kung gaano karaming mga produkto ang dapat gawin gamit ang bawat pamamaraan upang ang halaga ng produksyon ay minimal.

Ang layunin ng function para sa nakasaad na problema ay may anyo
® min sa ilalim ng mga kondisyon x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Buuin ang Lagrange function
.
2. Kinakalkula namin ang mga partial derivatives na may kinalaman sa x 1, x 2, λ at itinutumbas ang mga ito sa zero:

3. Ang paglutas ng resultang sistema ng mga equation, makikita natin ang x 1 =91,x 2 =89

4. Ang pagkakaroon ng kapalit sa layuning function x 2 =180-x 1, nakakakuha tayo ng function ng isang variable, katulad f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Kinakalkula namin o 4x 1 -364=0 ,

kung saan mayroon tayong x 1 * =91, x 2 * =89.

Sagot: Ang bilang ng mga produkto na ginawa ng unang paraan ay x 1 =91, sa pangalawang paraan x 2 =89, habang ang halaga ng layunin ng function ay katumbas ng 17,278 rubles.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

binubuo sa pagpapalit ng mga di-makatwirang constants ck sa pangkalahatang solusyon

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

katumbas na homogenous equation

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

sa mga auxiliary function na ck(t), na ang mga derivative ay nakakatugon sa linear algebraic system

Ang determinant ng system (1) ay ang Wronskian ng mga function na z1,z2,...,zn, na nagsisiguro sa kanyang natatanging solveability na may kinalaman sa .

Kung ang mga antiderivatives para sa , kinuha sa mga nakapirming halaga ng mga constant ng integration, pagkatapos ay ang function

ay isang solusyon sa orihinal na linear inhomogeneous differential equation. Pagsasama hindi magkakatulad na equation sa pagkakaroon ng isang pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous na equation, ito ay nabawasan sa quadratures.

Paraan ng Lagrange (paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant)

Isang paraan para sa pagkuha ng isang pangkalahatang solusyon sa isang hindi homogenous na equation, alam ang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na equation nang hindi nakakahanap ng isang partikular na solusyon.

Para sa isang linear homogenous differential equation ng ika-1 order

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

kung saan ang y = y(x) ay isang hindi kilalang function, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ay kilala, tuloy-tuloy, totoo: 1) mayroong n linearly mga independiyenteng solusyon equation y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) para sa anumang mga halaga ng mga constant c1, c2, ..., cn, ang function na y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ay isang solusyon sa equation; 3) para sa anumang mga paunang halaga x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 mayroong mga halaga c*1, c*n, ..., c*n na ang solusyon y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) ay nakakatugon sa x = x0 ang mga unang kundisyon y*(x0)=y0, (y *)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Ang expression na y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ay tinatawag pangkalahatang desisyon linear homogeneous differential equation ng nth order.

Ang set ng n linearly independent solutions ng isang linear homogeneous differential equation ng nth order na y1(x), y2(x), ..., yn(x) ay tinatawag na pangunahing sistema ng mga solusyon sa equation.

Para sa isang linear homogenous differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent mayroong isang simpleng algorithm para sa pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Maghahanap tayo ng solusyon sa equation sa anyong y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, ibig sabihin, ang numero l ay ang ugat katangian equation ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Ang kaliwang bahagi ng characteristic equation ay tinatawag na characteristic polynomial ng linear differential equation: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Kaya, ang problema ng paglutas ng isang linear homogeneous equation ng nth order na may pare-parehong coefficients ay binabawasan sa paglutas ng isang algebraic equation.

Kung ang katangiang equation ay may n magkakaibang tunay na ugat l1№ l2 № ... № ln, kung gayon ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng mga function na y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

isang pangunahing sistema ng mga solusyon at isang pangkalahatang solusyon para sa kaso ng mga simpleng tunay na ugat.

Kung ang alinman sa mga tunay na ugat ng katangian na equation ay inuulit r beses (r-multiple root), kung gayon sa pangunahing sistema ng mga solusyon ay may mga r function na naaayon dito; kung lk=lk+1 = ... = lk+r-1, pagkatapos ay sa pangunahing sistema Kasama sa mga solusyon sa equation ang r function: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

HALIMBAWA 2. Pangunahing sistema ng mga solusyon at pangkalahatang solusyon para sa kaso ng maraming tunay na ugat.

Kung ang katangiang equation ay may mga kumplikadong ugat, ang bawat pares ng simple (na may multiplicity 1) kumplikadong mga ugat lk,k+1=ak ± ibk sa pangunahing sistema ng mga solusyon ay tumutugma sa isang pares ng mga function yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

HALIMBAWA 4. Pangunahing sistema ng mga solusyon at pangkalahatang solusyon para sa kaso ng simpleng kumplikadong mga ugat. Mga haka-haka na ugat.

Kung ang isang kumplikadong pares ng mga ugat ay may multiplicity r, kung gayon ang naturang pares lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, sa pangunahing sistema ng mga solusyon ay tumutugma sa mga function exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

HALIMBAWA 5. Pangunahing sistema ng mga solusyon at pangkalahatang solusyon para sa kaso ng maraming kumplikadong ugat.

Kaya, upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient, dapat: isulat ang katangian na equation; hanapin ang lahat ng mga ugat ng katangiang equation l1, l2, ... , ln; isulat ang pangunahing sistema ng mga solusyon y1(x), y2(x), ..., yn(x); isulat ang expression para sa pangkalahatang solusyon y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Upang malutas ang problemang Cauchy, kailangan mong palitan ang expression para sa pangkalahatang solusyon sa mga paunang kondisyon at matukoy ang mga halaga ng mga constants c1,..., cn, na mga solusyon sa linear system algebraic equation c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Para sa isang linear inhomogeneous differential equation ng nth order

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

kung saan ang y = y(x) ay isang hindi kilalang function, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ay kilala, tuloy-tuloy, wasto: 1 ) kung ang y1(x) at y2(x) ay dalawang solusyon sa isang hindi homogenous na equation, kung gayon ang function na y(x) = y1(x) - y2(x) ay isang solusyon sa katumbas na homogeneous equation; 2) kung ang y1(x) ay isang solusyon sa isang inhomogeneous equation, at ang y2(x) ay isang solusyon sa katumbas na homogeneous equation, kung gayon ang function na y(x) = y1(x) + y2(x) ay isang solusyon sa ang inhomogeneous equation; 3) kung ang y1(x), y2(x), ..., yn(x) ay n linearly independent solutions ng homogenous equation, at ych(x) - arbitraryong desisyon inhomogeneous equation, pagkatapos ay para sa anumang mga paunang halaga x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 mayroong mga value na c*1, c*n, ..., c*n upang ang solusyon y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) ay nakakatugon sa mga unang kundisyon y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Ang expression na y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng nth order.

Upang makahanap ng mga partikular na solusyon ng inhomogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na may mga kanang bahagi ng anyo: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), kung saan ang Pk(x), Qm(x) ay mga polynomial ng degree k at m Alinsunod dito, mayroong isang simpleng algorithm para sa pagbuo ng isang partikular na solusyon, na tinatawag na paraan ng pagpili.

Paraan ng pagpili, o paraan hindi tiyak na mga koepisyent, ay ang mga sumusunod. Ang kinakailangang solusyon sa equation ay nakasulat sa anyo: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, kung saan ang Pr(x), Qr(x ) ay mga polynomial ng degree r = max(k, m) na may hindi kilalang coefficients pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Ang factor xs ay tinatawag na resonant factor. Ang resonance ay nangyayari sa mga kaso kung saan kabilang sa mga ugat ng katangiang equation ay mayroong ugat l =a ± ib ng multiplicity s. Yung. kung sa mga ugat ng katangiang equation ng katumbas na homogenous equation ay mayroong isa na ang tunay na bahagi nito ay tumutugma sa koepisyent sa exponent ng exponent, at ang haka-haka na bahagi nito ay tumutugma sa koepisyent sa argumento trigonometriko function sa kanang bahagi ng equation, at ang multiplicity ng root na ito ay s, kung gayon ang kinakailangang partial solution ay naglalaman ng resonant factor xs. Kung walang ganoong pagkakataon (s=0), kung gayon walang resonant factor.

Pagpapalit ng expression para sa partikular na solusyon sa kaliwang bahagi equation, nakakakuha tayo ng generalized polynomial ng parehong anyo bilang polynomial sa kanang bahagi ng equation, ang mga coefficient nito ay hindi alam.

Ang dalawang pangkalahatang polynomial ay magkapareho kung at kung ang mga coefficient ng mga salik ng anyong xtex(ax)sin(bx), xtex(ax)cos(bx) na may parehong kapangyarihan t ay pantay. Ang equating ng mga coefficient ng naturang mga kadahilanan, nakakakuha kami ng isang sistema ng 2(r+1) linear algebraic equation para sa 2(r+1) na hindi alam. Maipapakita na ang ganitong sistema ay pare-pareho at may kakaibang solusyon.