Bu madde: “İkinci Dikkate Değer Sınır”, şeklin belirsizlikleri çerçevesinde açıklamaya ayrılmıştır:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ve $ ^\infty $.
Ayrıca bu tür belirsizlikler logaritma üstel kullanılarak ortaya çıkarılabilir. güç fonksiyonu, ancak bu başka bir makalede ele alınacak farklı bir çözüm yöntemidir.
Formül ve sonuçları
Formül ikinci dikkat çekici limit şu şekilde yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( Where ) e \approx 2,718 $$
Formülden şu çıkıyor sonuçlar limitli örnekleri çözmek için kullanımı çok uygundur: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
İkinci dikkat çekici limitin her zaman üstel bir fonksiyona uygulanamayacağını, yalnızca tabanın birliğe eğilimli olduğu durumlarda uygulanabileceğini belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için önce tabanın sınırını zihinsel olarak hesaplayın ve ardından sonuçlar çıkarın. Bütün bunlar örnek çözümlerde tartışılacaktır.
Çözüm örnekleri
Doğrudan formülü ve sonuçlarını kullanan çözüm örneklerine bakalım. Formülün gerekli olmadığı durumları da analiz edeceğiz. Sadece hazır bir cevabı yazmanız yeterlidir.
| Örnek 1 |
| Limiti bulun $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Çözüm |
|
Sınırın içine sonsuzluğu koyalım ve belirsizliğe bakalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Tabanın limitini bulalım: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x))))(x(1+\frac(3)(x)))) = 1 $$ Bire eşit bir taban elde ettik, bu da ikinci dikkate değer limiti zaten uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için fonksiyonun tabanını formüle bir çıkarıp bir ekleyerek ayarlayalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ İkinci sonuca bakıyoruz ve cevabı yazıyoruz: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır! |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Örnek 4 |
| Limiti çözün $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Çözüm |
|
Tabanın limitini buluyoruz ve $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ olduğunu görüyoruz, bu da ikinci dikkat çekici limiti uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Standart plana göre derecenin tabanından bir tane ekleyip çıkarıyoruz: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kesri 2. notanın formülüne göre ayarlıyoruz. sınır: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Şimdi dereceyi ayarlayalım. Kuvvet $ \frac(3x^2-2)(6) $ tabanının paydasına eşit bir kesir içermelidir. Bunu yapmak için dereceyi çarpıp bölün ve çözmeye devam edin: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ üssünde yer alan limit şuna eşittir: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Bu nedenle elimizdeki çözüme devam ediyoruz: |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Sorunun ikinci dikkat çekici limite benzer olduğu ancak bu olmadan çözülebileceği durumlara bakalım.
“İkinci Dikkate Değer Limit: Çözüm Örnekleri” başlıklı makalede formül, sonuçları incelenmiş ve bu konudaki yaygın problem türleri verilmiştir.
İhtiyacınız olursa bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır bir fonksiyonun limitini hesaplamak. programı çözüm sınırları yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm, yani Limit hesaplama sürecini görüntüler.
Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.
Bir işlev ifadesi girinLimiti hesapla
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Fonksiyonun x->x 0'daki limiti
f(x) fonksiyonu bir X kümesi üzerinde tanımlansın ve \(x_0 \X\'te \) veya \(x_0 \X'te değil\) noktası olsun
X'ten x 0'dan farklı bir noktalar dizisi alalım:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*'a yakınsıyor. Bu dizinin noktalarındaki fonksiyon değerleri de sayısal bir dizi oluşturur
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir.
Tanım. A sayısına, x argümanının x 0'dan farklı değerlerinin herhangi bir dizisi (1) için ise, x = x 0 noktasında (veya x -> x 0'da) f(x) fonksiyonunun limiti denir. x 0'a yakınsayan değer fonksiyonunun karşılık gelen dizisi (2), A sayısına yakınsar.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında yalnızca bir limiti olabilir. Bu, dizinin şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
(f(x n))'nin tek limiti vardır.
Bir fonksiyonun limitinin başka bir tanımı daha vardır.
Tanım Herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir \(\delta > 0\) sayısı varsa, A sayısına f(x) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki limiti denir; öyle ki tüm \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), eşitsizliği karşılayan \(|x-x_0| Mantıksal semboller kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Eşitsizliklerin \(x \neq x_0) olduğuna dikkat edin , \; |x-x_0| İlk tanım sayı dizisinin limiti kavramına dayanmaktadır, bu nedenle genellikle “diziler dilinde” tanımı olarak adlandırılır. \(\varepsilon - \delta \)”.
Bir fonksiyonun limitinin bu iki tanımı eşdeğerdir ve belirli bir problemi çözmek için hangisinin daha uygun olduğuna bağlı olarak ikisinden birini kullanabilirsiniz.
Bir fonksiyonun limitinin “diziler dilinde” tanımına, Heine'e göre bir fonksiyonun limitinin tanımı ve “\(\varepsilon - dilinde) bir fonksiyonun limitinin tanımına da denildiğine dikkat edin. \delta \)” aynı zamanda Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımı olarak da adlandırılır.
Fonksiyonun x->x 0 - ve x->x 0 +'daki limiti
Aşağıda bir fonksiyonun aşağıdaki şekilde tanımlanan tek taraflı limit kavramlarını kullanacağız.
Tanım A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki sağ (sol) limiti denir; eğer x n elemanları x 0'dan büyük (küçük) olan herhangi bir dizi (1) x 0'a yakınsarsa, karşılık gelen dizi (2) A'ya yakınsar.
Sembolik olarak şöyle yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Bir fonksiyonun tek taraflı limitlerinin eşdeğer bir tanımını “\(\varepsilon - \delta \) dilinde” verebiliriz:
Tanım herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(\delta > 0\) mevcutsa ve tüm x'leri tatmin edecek şekilde bir A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında sağ (sol) limiti denir. eşitsizlikler \(x_0 Sembolik girdiler:
İkinci dikkate değer limitin formülü şöyledir: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Başka bir yazma şekli şuna benzer: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
İkinci dikkat çekici limitten bahsederken, 1 ∞ formunun belirsizliğiyle uğraşmak zorundayız, yani. birim sonsuz derecededir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
İkinci dikkate değer limiti hesaplama yeteneğinin faydalı olacağı problemleri ele alalım.
Örnek 1
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 limitini bulun.
Çözüm
Gerekli formülü yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Cevabımız sonsuzluğun kuvvetinin bir olduğu ortaya çıktı. Çözüm yöntemini belirlemek için belirsizlik tablosunu kullanırız. Dikkate değer ikinci limiti seçip değişkenlerde değişiklik yapalım.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Eğer x → ∞ ise t → - ∞ olur.
Bakalım değişimden sonra ne elde ettik:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Cevap: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Örnek 2
Lim x → ∞ x - 1 x + 1 x limitini hesaplayın.
Çözüm
Sonsuzluğu yerine koyalım ve aşağıdakini elde edelim.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Cevapta yine önceki problemdekiyle aynı şeyi elde ettik, bu nedenle ikinci harika limiti tekrar kullanabiliriz. Daha sonra güç fonksiyonunun tabanındaki parçanın tamamını seçmemiz gerekiyor:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Bundan sonra limit aşağıdaki formu alır:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Değişkenleri değiştirin. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 olduğunu varsayalım; eğer x → ∞ ise t → ∞.
Bundan sonra orijinal limitte ne elde ettiğimizi yazıyoruz:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Bu dönüşümü gerçekleştirmek için limitlerin ve kuvvetlerin temel özelliklerini kullandık.
Cevap: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Örnek 3
Lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 limitini hesaplayın.
Çözüm
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Daha sonra fonksiyonu ikinci büyük limiti uygulayacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Aşağıdakileri aldık:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Artık kesrin pay ve paydasında aynı üslere sahip olduğumuz için (altıya eşit), kesrin sonsuzdaki limiti bu katsayıların daha yüksek kuvvetlerdeki oranına eşit olacaktır.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 3
t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2'yi değiştirerek ikinci bir dikkate değer limit elde ederiz. Bu şu anlama gelir:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Cevap: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Sonuçlar
Belirsizlik 1 ∞, yani. Sonsuz bir kuvvete birlik bir kuvvet yasası belirsizliğidir, bu nedenle üstel kuvvet fonksiyonlarının sınırlarını bulma kuralları kullanılarak ortaya çıkarılabilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu başlıkta ikinci harika limit kullanılarak elde edilebilecek formülleri analiz edeceğiz (doğrudan ikinci harika limite ayrılmış bir konu bulunmaktadır). Bu bölümde ihtiyaç duyulacak ikinci dikkat çekici limitin iki formülasyonunu hatırlatmama izin verin: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ ve $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
Genellikle formülleri kanıt olmadan sunarım ancak bu sayfa için sanırım bir istisna yapacağım. Mesele şu ki, ikinci dikkate değer limitin sonuçlarına ilişkin kanıt, problemlerin doğrudan çözümünde yararlı olan bazı teknikleri içermektedir. Genel olarak konuşursak, şu veya bu formülün nasıl kanıtlandığını bilmeniz tavsiye edilir. Bu daha iyi anlamamızı sağlar iç yapı ve uygulanabilirliğin sınırları. Ancak kanıtlar tüm okuyucuların ilgisini çekmeyebileceğinden, bunu her sonuçtan sonra yer alan notların altına saklayacağım.
Sonuç #1
\begin(denklem) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(denklem)1 numaralı sonucun kanıtı: göster\gizle
$x\to 0$'da $\ln(1+x)\to 0$'a sahip olduğumuz için, söz konusu limitte $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlik vardır. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için $\frac(\ln(1+x))(x)$ ifadesini aşağıdaki biçimde sunalım: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Şimdi $\frac(1)(x)$'ı $(1+x)$ ifadesinin kuvvetine dahil edelim ve ikinci dikkate değer limiti uygulayalım:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ için\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Bir kez daha $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlikle karşı karşıyayız. Daha önce kanıtladığımız formüle güveneceğiz. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ olduğundan, $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Sonuç #2
\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(denklem)2 numaralı sonucun kanıtı: göster/gizle
$x\'den 0$'a kadar $e^x-1\'den 0$'a kadar elimizde olduğundan, söz konusu limitte $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlik vardır. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için $t=e^x-1$ şeklinde değişkeni değiştirelim. $x\to 0$ olduğundan, $t\to 0$ olur. Daha sonra, $t=e^x-1$ formülünden şunu elde ederiz: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \sağ|=\sol | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Bir kez daha $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlikle karşı karşıyayız. Daha önce kanıtladığımız formüle güveneceğiz. $a^x=e^(x\ln a)$ olduğundan, o zaman:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Sonuç #3
\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(denklem)3 numaralı sonucun kanıtı: göster\gizle
Bir kez daha $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ olduğundan şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Örnek No.1
$\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ limitini hesaplayın.
$\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliğimiz var. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için formülü kullanacağız. Limitimize uymak için bu formül$e$'ın kuvveti ile paydadaki ifadelerin çakışması gerektiği unutulmamalıdır. Başka bir deyişle paydada sinüse yer yoktur. Payda $9x$ olmalıdır. Ek olarak, bu örneğin çözümünde ilk dikkate değer limit kullanılacaktır.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ ila\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Cevap: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Örnek No.2
$\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ limitini hesaplayın.
$\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var (size şunu hatırlatmama izin verin $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için formülü kullanacağız. Öncelikle $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ değerini hesaba katalım (trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çıktıya bakın). Şimdi $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, dolayısıyla paydada $-2\sin^2 \ ifadesini almalıyız. frac(x )(2)$ (örneğimizi formüle uydurmak için). Sonraki çözümde ilk dikkate değer limit kullanılacaktır.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
