Karar verirken çeşitli görevler fizik, kimya, matematik ve diğerleri kesin bilimler sık kullanılan Matematiksel modeller bir veya daha fazla bağımsız değişkeni, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve bu fonksiyonun türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren denklemler biçimindedir. Bu tür denklemlere diferansiyel denir.
Yalnızca bir bağımsız değişken varsa, o zaman denklem sıradan olarak adlandırılır; iki veya daha fazla bağımsız değişken varsa denklem denir kısmi diferansiyel denklem. Yüksek nitelikli uzmanlar elde etmek için, kesin disiplinlerin çalışıldığı tüm üniversitelerde diferansiyel denklemler dersi gereklidir. Bazı öğrenciler için teori zordur, bazıları için ise pratik bir mücadeledir; hem teori hem de pratik zordur. Diferansiyel denklemleri pratik bir perspektiften analiz ederseniz, onları hesaplamak için yalnızca integral alma ve türev alma konusunda iyi olmanız gerekir. Diğer tüm dönüşümler anlaşılabilecek ve incelenebilecek çeşitli şemalara iner. Aşağıda basit DR'yi çözmek için temel tanımları ve yöntemi inceleyeceğiz.

Diferansiyel denklemler teorisi

Tanım: Adi diferansiyel denklem bağımsız x değişkenini, y(x) fonksiyonunu, onun türevlerini y"(x), y n(x)'i birleştiren bir denklemdir ve Genel formF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferansiyel denklem(DR) ya adi diferansiyel denklem ya da kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır. Diferansiyel denklem sırası bu diferansiyel denklemde yer alan en yüksek türevin (n) mertebesine göre belirlenir.

Diferansiyel denklemin genel çözümü diferansiyel denklemin mertebesi kadar sabit içeren ve belirli bir diferansiyel denklemde ikame edilmesi onu bir özdeşliğe dönüştüren, yani y=f(x, C 1, C 2 formuna sahip olan bir fonksiyondur) , ..., Cn).
y(x)'e göre çözümlenemeyen ve F(x,y,C 1 ,C 2 , …, Cn)=0 formuna sahip genel bir çözüme denir diferansiyel denklemin genel integrali.
C 1 , C 2 , …, C n sabitlerinin sabit değerleri için genel çözümden bulunan çözüm denir. diferansiyel denklemin özel çözümü.
Bir diferansiyel denklemin ve buna karşılık gelen başlangıç ​​koşullarının sayısının eşzamanlı olarak belirlenmesine denir. Cauchy sorunu.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, Cn)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Birinci dereceden adi diferansiyel denklem formun denklemi denir
F(x, y, y")=0.(1)
Denklemin integrali(1)'e, kendisi tarafından örtük olarak belirtilen her sürekli türevli fonksiyon denklem (1)'in bir çözümü ise, Ф(x,y)=0 formundaki bir ilişki denir.
(1) formuna sahip olan ve indirgenemeyen bir denklem basit görünüm denklem denir türevine göre karar verilemez.şeklinde yazılabilirse
y" = f(x,y) ise buna denir Türev için çözülmüş denklem.
Birinci dereceden denklem için Cauchy problemi yalnızca bir başlangıç ​​koşulu içerir ve şu forma sahiptir:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Formun denklemleri
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
burada x i y değişkenleri "simetrik"tir: x'in bağımsız bir değişken ve y'nin bağımlı değişken olduğunu veya bunun tersini, y'nin bağımsız bir değişken ve x'in bağımlı değişken olduğunu varsayabiliriz. simetrik formda denklem.
Birinci dereceden diferansiyel denklemin geometrik anlamı
y"=f(x,y) (3)
Şöyleki.
Bu denklem (x;y) noktasının koordinatları ile bu noktadan geçen integral eğrisine teğetin y" açısal katsayısı arasında bir bağlantı (bağımlılık) kurar. Böylece y"= f(x,y) denklemi elde edilir. bir set yol tarifleri (yol tarifleri alanı) Kartezyen Oksi düzleminde.
Alanın yönünün aynı olduğu noktalarda oluşturulan eğriye izoklin denir. İzoklinler integral eğrilerin yapısına yaklaşmak için kullanılabilir. Türevi y"=C sabitine eşitleyerek izoklin denklemi elde edilebilir.
f(x, y)=C - izoklin denklemi..
Denklemin integral çizgisi(3)’e bu denklemin çözümünün grafiği denir.
Çözümleri analitik olarak y=g(x) olarak belirlenebilen adi diferansiyel denklemlere denir. İntegrallenebilir denklemler.
Formun denklemleri
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
arandı ayrı değiştirilebilirleri olan denklemler.
Onlardan diferansiyel denklemlerle tanışmaya başlayacağız. DR'ye çözüm bulma sürecine denir diferansiyel denklemin entegrasyonu.

Ayrılmış Değişken Denklemler

Örnek 1. Denklemin çözümünü bulun y"=x .
Çözümü kontrol edin.
Çözüm: Denklemi diferansiyellerde yazın
dy/dx=x veya dy=x*dx.
Denklemin sağ ve sol taraflarının integralini bulalım
int(dy)=int(x*dx);
y=x2/2+C.
Bu DR integralidir.
Doğruluğunu kontrol edelim ve fonksiyonun türevini hesaplayalım
y"=1/2*2x+0=x.
Gördüğünüz gibi orijinal DR'yi aldık, dolayısıyla hesaplamalar doğru.
Birinci mertebeden diferansiyel denklemin çözümünü bulduk. Tam olarak bu daha basit denklemler ki bu da hayal edilebilir.

Örnek 2. Bir diferansiyel denklemin genel integralini bulun
(x+1)y"=y+3
Çözüm: Orijinal denklemi diferansiyellerde yazalım.
(x+1)dy=(y+3)dx.
Ortaya çıkan denklem şuna indirgenir: Ayrılmış değişkenlerle DR

Geriye her iki tarafın integralini almak kalıyor

Bulduğumuz tablo formüllerini kullanarak
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Her iki parçayı da açığa çıkarırsak, şunu elde ederiz:
y+3=e ln|x+1|+C veya y=e ln|x+1|+C -3.
Bu gösterim doğrudur ancak kompakt değildir.
Pratikte integral hesaplanırken farklı bir teknik kullanılır, sabit logaritmanın altına girilir.
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Logaritmanın özelliklerine göre bu, son iki terimi daraltmanıza olanak tanır
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
Şimdi ifşa ederken diferansiyel denklem çözme Kompakt ve okunması kolay olacak
y=Ç|x+1|+3
Bu kuralı unutmayın, pratikte bir hesaplama standardı olarak kullanılır.

Örnek 3. Diferansiyel denklemi çözün
y"=-y*sin(x).
Çözüm: Hadi yazalım diferansiyel denklem
dy/dx= y*sin(x)
veya formdaki faktörler yeniden düzenlendikten sonra ayrılmış denklemler
dy/ y=-sin(x)dx.
Denklemi entegre etmek kalır
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Sabitin logaritmanın altında ve hatta negatif bir değerle girilmesi uygundur, böylece aktarılabilir. Sol Taraf elde etmek
ln|С*y|=cos(x).
Bağımlılığın her iki tarafını da ortaya çıkarmak
С*y=exp(cos(x)).
Bu şekilde bırakabilirsiniz veya kalıcı olarak aktarabilirsiniz. Sağ Taraf

Hesaplamalar karmaşık değildir; çoğu durumda integraller tablo halindeki entegrasyon formülleri kullanılarak da bulunabilir.

Örnek 4. Cauchy problemini çözün
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Çözüm: Ön dönüşümler artık burada gerçekleşmeyecek. Ancak denklem doğrusaldır ve oldukça basittir. Bu gibi durumlarda yeni bir değişken tanıtmanız gerekir.
z=y+x.
y=y(x) olduğunu hatırlayarak z'nin türevini buluyoruz.
z"= y"+1,
eski türevi ifade ettiğimiz yerden
y"= z"-1.
Bütün bunları orijinal denklemde yerine koyalım
z"-1=z veya z"=z+1.
Haydi yazalım diferansiyeller yoluyla diferansiyel denklem
dz=(z+1)dx.
Denklemdeki değişkenlerin ayrılması

Geriye herkesin yapabileceği basit integralleri hesaplamak kalıyor

Fonksiyonun logaritmasından kurtulmak için bağımlılığı ortaya koyuyoruz
z+1=e x+C veya z=e x+1 -1
Tamamlanan değiştirme işlemine geri dönmeyi unutmayın.
z=x+y= e x+С -1,
buradan yaz ortak karar diferansiyel denklem
y= e x+C -x-1.
DR'deki Cauchy sorununa bir çözüm bulun bu durumda zor değil. Cauchy koşulunu yazıyoruz
y(1)=e 3 -2
ve az önce bulduğumuz çözümün yerine koyun
e1 + C-1-1 = e3-2.
Buradan sabiti hesaplama koşulunu elde ederiz
1+C=3; C=3-1=2.
Artık yazabiliriz Cauchy probleminin çözümü (DR'nin kısmi çözümü)
y= e x+2 -x-1.
Eğer nasıl integral alacağınızı iyi biliyorsanız ve türevler konusunda da iyiyseniz, diferansiyel denklemler konusu eğitiminize engel olmayacaktır.
Daha sonraki çalışmalarda, denklemler arasında ayrım yapabilmeniz ve her durumda hangi ikame veya tekniğin işe yaradığını bilebilmeniz için birkaç önemli diyagramı incelemeniz gerekecektir.
Bundan sonra homojen ve homojen olmayan DR'ler, birinci ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler sizi bekliyor. Sizi teoriyle boğmamak için, aşağıdaki derslerde sadece denklem türlerini ve hesaplamalarına ilişkin kısa bir şema vereceğiz. Teorinin tamamını şuradan okuyabilirsiniz: metodolojik öneriler ders çalışmak için" Diferansiyel denklemler" (2014) yazarlar Bokalo Nikolay Mihayloviç, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Anladığınız diferansiyel denklemler teorisinin açıklamalarını içeren diğer kaynakları kullanabilirsiniz. Diferansiyel için hazır örnekler. LNU matematikçilerine yönelik programdan alınan denklemler. Ben Frank.
Diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyoruz ve çözmeye çalışacağız. kolay yol bu bilgiyi size aşılayın.

Diferansiyel denklem (DE) - bu denklem,
bağımsız değişkenler nerede, y fonksiyon ve kısmi türevlerdir.

Adi diferansiyel denklem tek bağımsız değişkeni olan bir diferansiyel denklemdir.

Kısmi diferansiyel denklem iki veya daha fazla bağımsız değişkene sahip bir diferansiyel denklemdir.

Hangi denklemin dikkate alındığı açıksa, "sıradan" ve "kısmi türevler" kelimeleri atlanabilir. Aşağıda adi diferansiyel denklemler ele alınacaktır.

Diferansiyel denklem sırası en yüksek türevin mertebesidir.

İşte birinci dereceden denklemin bir örneği:

İşte dördüncü dereceden bir denklem örneği:

Bazen birinci dereceden bir diferansiyel denklem diferansiyeller cinsinden yazılır:

Bu durumda x ve y değişkenleri eşittir. Yani bağımsız değişken x ya da y olabilir. İlk durumda y, x'in bir fonksiyonudur. İkinci durumda x, y'nin bir fonksiyonudur. Gerekirse bu denklemi açıkça y' türevini içeren bir forma indirgeyebiliriz.
Bu denklemi dx'e bölerek şunu elde ederiz:
.
ve'den bu yana, şunu takip ediyor
.

Diferansiyel denklemleri çözme

Türevler temel işlevler temel fonksiyonlarla ifade edilir. Temel fonksiyonların integralleri genellikle temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez. Diferansiyel denklemlerde durum daha da kötüdür. Çözümün bir sonucu olarak şunları elde edebilirsiniz:

• bir fonksiyonun bir değişkene açık bağımlılığı;

  Diferansiyel denklem çözme y = u fonksiyonu (X) n kere türevlenebilir, ve .

• Φ tipi bir denklem biçiminde örtülü bağımlılık (x, y) = 0 veya denklem sistemleri;

  Diferansiyel denklemin integrali örtülü bir forma sahip bir diferansiyel denklemin çözümüdür.

• temel fonksiyonlar ve onlardan alınan integraller yoluyla ifade edilen bağımlılık;

  Bir diferansiyel denklemin karesel olarak çözülmesi - bu, temel fonksiyonların ve bunların integrallerinin bir kombinasyonu şeklinde bir çözüm bulmaktır.

• çözüm temel işlevlerle ifade edilemeyebilir.

Diferansiyel denklemlerin çözülmesi integrallerin hesaplanmasına indirgendiğinden, çözüm bir dizi C 1, C 2, C 3, ... C n sabitini içerir. Sabitlerin sayısı denklemin mertebesine eşittir. Diferansiyel denklemin kısmi integrali C 1, C 2, C 3, ..., C n sabitlerinin verilen değerleri için genel integraldir.

Referanslar:
V.V. Stepanov, Diferansiyel denklemler dersi, "LKI", 2015.
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Adi diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve onun çeşitli derecelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Sıradan olanlara ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenmektedir. Bunlar bağımsız değişkenlerle ilgili denklemler, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevleridir. Ama biz sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle konuyu kısaltmak adına "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Diferansiyel denklem örnekleri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü dereceden, denklem (2) üçüncü dereceden, denklemler (3) ve (4) ikinci dereceden, denklem (5) birinci derecedendir.

Diferansiyel denklem N Bu mertebenin mutlaka açık bir fonksiyon içermesi gerekmez; birinciden ikinciye tüm türevleri N-inci dereceden ve bağımsız değişken. Belirli derecelerin türevlerini, bir fonksiyonu veya bağımsız bir değişkeni açıkça içeremez.

Örneğin, denklem (1)'de açıkça üçüncü ve ikinci dereceden türevler ve bir fonksiyon yoktur; denklem (2)'de - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; denklem (4)'te - bağımsız değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Yalnızca denklem (3) açıkça tüm türevleri, fonksiyonu ve bağımsız değişkeni içerir.

Diferansiyel denklem çözme her fonksiyon çağrılır y = f(x) denklemde yerine konulduğunda bir kimliğe dönüşür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma işlemine denir entegrasyon.

Örnek 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Çözüm. Bu denklemi formda yazalım. Çözüm, fonksiyonu türevinden bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi orijinal fonksiyon, bir antiderivatiftir;

İşte bu bu diferansiyel denklemin çözümü . İçinde değişiklik C farklı çözümler elde edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu öğrendik.

Diferansiyel denklemin genel çözümü N sıra, bilinmeyen fonksiyona göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümdür: N bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin belirli sayısal değerlerin verildiği bir çözüme denir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve özel çözümünü bulun. .

Çözüm. Denklemin her iki tarafının diferansiyel denklemin mertebesine eşit sayıda integralini alalım.

,

.

Sonuç olarak genel bir çözüm elde ettik -

Verilen bir üçüncü dereceden diferansiyel denklemin

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirin ve elde edin

.

Diferansiyel denkleme ek olarak başlangıç ​​​​koşulu da verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu . Değerleri ve denklemin genel çözümüne yerleştirin ve keyfi bir sabitin değerini bulun C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C. Cauchy sorununun çözümü budur.

Örnek 3.Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini çözün.

Çözüm. Başlangıç ​​koşulundaki değerleri genel çözüme koyalım sen = 3, X= 1. Bunu elde ederiz

Bu birinci dereceden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

Diferansiyel denklemleri çözmek, en basit olanları bile, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere iyi entegrasyon ve türev becerileri gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Denklem öyle bir biçimde yazılmıştır ki, her iki tarafı da hemen entegre edebilirsiniz.

.

Değişkeni değiştirerek (ikame) entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. O zaman olsun.

Almak için gerekli dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü X ve orada karmaşık fonksiyon("elma" - çıkarma kare kök veya aynı şey nedir - "yarım" gücüne yükseltmek ve "kıyma" kökün altındaki ifadenin ta kendisidir):

İntegrali buluyoruz:

Değişkene geri dönelim X, şunu elde ederiz:

.

Bu, birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde yalnızca yüksek matematiğin önceki bölümlerinden alınan beceriler değil, aynı zamanda ilkokul, yani okul matematiği becerileri de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. X. Okuldan unutulmamış (ancak kime bağlı olarak) oranlar hakkında bilgi sahibi olmak bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Çözüm örnekleri.
Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemler (DE). Bu iki kelime genellikle ortalama insanı korkutur. Diferansiyel denklemler birçok öğrenci için yasaklayıcı ve ustalaşması zor bir şey gibi görünmektedir. Uuuuuu... diferansiyel denklemler, tüm bunlardan nasıl kurtulabilirim?!

Bu görüş ve bu tutum temelden yanlıştır. DİFERANSİYEL DENKLEMLER - BASİT VE HATTA EĞLENCELİ. Diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için bilmeniz ve yapabilmeniz gerekenler nelerdir? Dağılımları başarılı bir şekilde öğrenmek için entegrasyon ve farklılaştırma konusunda iyi olmanız gerekir. Konular ne kadar iyi çalışılırsa Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi Ve Belirsiz integral diferansiyel denklemleri anlamak o kadar kolay olacaktır. Daha fazlasını söyleyeceğim, eğer az ya da çok iyi entegrasyon becerileriniz varsa, o zaman konu neredeyse hakimdir! Daha fazla integral çeşitli türler nasıl karar vereceğini biliyorsun; ne kadar iyi olursa o kadar iyi. Neden? Pek çok şeyi entegre etmeniz gerekecek. Ve farklılaşın. Ayrıca şiddetle tavsiye ederim bulmayı öğren.

Vakaların %95'inde testler 3 tür birinci dereceden diferansiyel denklem vardır: ayrılabilir denklemler bu dersimizde bakacağımız; homojen denklemler Ve doğrusal homojen olmayan denklemler. Difüzörleri incelemeye başlayanlar için dersleri tam olarak bu sırayla okumanızı tavsiye ederim ve ilk iki makaleyi inceledikten sonra ek bir atölyede becerilerinizi pekiştirmenin zararı olmaz - homojene indirgenen denklemler.

Daha da nadir türde diferansiyel denklemler vardır: toplam diferansiyel denklemler, Bernoulli denklemleri ve diğerleri. Son iki türden en önemlileri toplam diferansiyellerdeki denklemlerdir, çünkü bu diferansiyel denkleme ek olarak şunu da dikkate alıyorum: yeni materyal – kısmi entegrasyon.

Eğer sadece bir veya iki gününüz kaldıysa, O ultra hızlı hazırlık için Orada yıldırım kursu pdf formatında.

Böylece yer işaretleri belirlendi - hadi gidelim:

Öncelikle olağan cebirsel denklemleri hatırlayalım. Değişkenler ve sayılar içerirler. En basit örnek: . Sıradan bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu bulma anlamına gelir sayılar kümesi Bu denklemi sağlayanlar. Çocuk denkleminin tek bir kökü olduğunu fark etmek kolaydır: . Sırf eğlence olsun diye, bulunan kökü kontrol edip denklemimizde yerine koyalım:

– doğru eşitlik elde edilir, bu da çözümün doğru bulunduğu anlamına gelir.

Difüzörler hemen hemen aynı şekilde tasarlanmıştır!

Diferansiyel denklem birinci derece V Genel dava içerir:
1) bağımsız değişken;
2) bağımlı değişken (fonksiyon);
3) fonksiyonun birinci türevi: .

Bazı 1. dereceden denklemlerde “x” ve/veya “y” olmayabilir ancak bu anlamlı değildir - önemli kontrol odasına gitmek öyleydi birinci türev ve sahip değil yüksek mertebeden türevler – vb.

Ne demek ? Bir diferansiyel denklemi çözmek, bulmak anlamına gelir tüm fonksiyonların seti Bu denklemi sağlayanlar. Böyle bir işlevler kümesi genellikle şu biçime sahiptir (- keyfi bir sabit), buna denir diferansiyel denklemin genel çözümü.

örnek 1

Diferansiyel denklemi çözün

Tam mühimmat. Nereden başlamalı çözüm?

Öncelikle türevi biraz farklı bir biçimde yeniden yazmanız gerekiyor. Çoğunuzun muhtemelen saçma ve gereksiz bulduğu hantal tanımlamayı hatırlıyoruz. Difüzörlerde kural budur!

İkinci adımda bunun mümkün olup olmadığına bakalım ayrı değişkenler? Değişkenleri ayırmak ne anlama geliyor? Kabaca konuşma, sol tarafta ayrılmamız lazım sadece "Yunanlılar", A sağ tarafta düzenlemek yalnızca "X'ler". Değişkenlerin bölünmesi "okul" manipülasyonları kullanılarak gerçekleştirilir: onları parantezlerin dışına koymak, terimleri işaret değişikliği ile bölümden bölüme aktarmak, orantı kuralına göre faktörleri bölümden bölüme aktarmak vb.

Farklılıklar ve tam çarpanlardır ve düşmanlıkların aktif katılımcılarıdır. Söz konusu örnekte, faktörler orantı kuralına göre atılarak değişkenler kolayca ayrılır:

Değişkenler ayrılır. Sol tarafta sadece “Y”ler, sağ tarafta ise sadece “X”ler var.

Sonraki aşama - diferansiyel denklemin entegrasyonu. Çok basit, her iki tarafa da integraller koyuyoruz:

Tabii ki integral almamız gerekiyor. Bu durumda bunlar tablo halindedir:

Hatırladığımız gibi herhangi bir antiderivatife bir sabit atanır. Burada iki integral var ama sabiti bir kere yazmak yeterli (sabit + sabit hala başka bir sabite eşit olduğundan). Çoğu durumda yerleştirilir Sağ Taraf.

Açıkçası, integraller alındıktan sonra diferansiyel denklemin çözüldüğü kabul edilir. Tek sorun bizim “y”miz “x” ile ifade edilmiyor yani çözüm sunuluyor örtülü olarak biçim. Kapalı formdaki bir diferansiyel denklemin çözümüne denir diferansiyel denklemin genel integrali. Yani bu genel bir integraldir.

Bu formdaki cevap oldukça kabul edilebilir ancak daha iyi bir seçenek var mı? Haydi almaya çalışalım ortak karar.

Lütfen, ilk tekniği hatırla oldukça yaygındır ve sıklıkla kullanılmaktadır. pratik görevler: İntegrasyondan sonra sağ tarafta bir logaritma görünüyorsa, çoğu durumda (ancak her zaman değil!) Sabitin logaritmanın altına yazılması da tavsiye edilir..

Yani, YERİNE girişler genellikle yazılır .

Bu neden gerekli? Ve “oyun”u ifade etmeyi kolaylaştırmak için. Logaritmanın özelliğini kullanma . Bu durumda:

Artık logaritmalar ve modüller kaldırılabilir:

Fonksiyon açıkça sunulmuştur. Bu genel çözümdür.

Cevap: ortak karar: .

Birçok diferansiyel denklemin cevabını kontrol etmek oldukça kolaydır. Bizim durumumuzda bu oldukça basit bir şekilde yapılıyor, bulunan çözümü alıp farklılaştırıyoruz:

Daha sonra türevi orijinal denklemde yerine koyarız:

– doğru eşitlik elde edilir, bu da genel çözümün denklemi karşıladığı anlamına gelir ki bu da kontrol edilmesi gereken şeydir.

Sabit farklı değerler vererek sonsuz sayıda sonuç elde edebilirsiniz. özel çözümler diferansiyel denklem. İşlevlerden herhangi birinin , vb. olduğu açıktır. diferansiyel denklemi karşılar.

Bazen genel çözüm denir fonksiyon ailesi. Bu örnekte genel çözüm - bu bir aile doğrusal fonksiyonlar veya daha doğrusu doğrudan orantılı bir aile.

İlk örneği kapsamlı bir şekilde inceledikten sonra, diferansiyel denklemlerle ilgili birkaç saf soruyu yanıtlamak uygun olacaktır:

1)Bu örnekte değişkenleri ayırmayı başardık. Bu her zaman yapılabilir mi? Hayır her zaman değil. Hatta çoğu zaman değişkenler birbirinden ayrılamaz. Örneğin, homojen birinci dereceden denklemlerönce onu değiştirmeniz gerekir. Diğer denklem türlerinde, örneğin birinci dereceden doğrusal homojen olmayan denklemde, şunu kullanmanız gerekir: çeşitli teknikler ve genel bir çözüm bulma yöntemleri. İlk derste ele aldığımız ayrılabilir değişkenli denklemler - en basit tür diferansiyel denklemler.

2) Bir diferansiyel denklemin integrali her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. İntegrali alınamayan “fantezi” bir denklem bulmak çok kolaydır; ayrıca alınamayan integraller de vardır. Ancak benzer DE'ler yaklaşık olarak kullanılarak çözülebilir. özel yöntemler. D'Alembert ve Cauchy garanti ediyor... ...uh, daha çok gizleniyorlar.şimdi daha çok okuyacağım, neredeyse "diğer dünyadan" diye ekliyordum.

3) Bu örnekte genel integral formunda bir çözüm elde ettik. . Genel bir integralden genel bir çözüm bulmak, yani “y”yi açıkça ifade etmek her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. Örneğin: . Peki burada “Yunanca”yı nasıl ifade edersiniz?! Bu gibi durumlarda cevap genel integral olarak yazılmalıdır. Ayrıca bazen genel bir çözüm bulmak mümkün olabilir, ancak o kadar hantal ve beceriksizce yazılmıştır ki, cevabı genel bir integral şeklinde bırakmak daha iyidir.

4) ...belki şimdilik bu kadar yeter. Karşılaştığımız ilk örnekte Bir diğeri önemli nokta , ancak "aptalları" çığla örtmemek için yeni bilgi, bir sonraki derse kadar bırakacağım.

Acele etmeyelim. Başka bir basit uzaktan kumanda ve başka bir tipik çözüm:

Örnek 2

Diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözümünü bulun

Çözüm: duruma göre bulmanız gerekir özel çözüm Belirli bir başlangıç ​​koşulunu sağlayan DE. Sorunun bu formülasyonuna aynı zamanda denir. Cauchy sorunu.

İlk önce genel bir çözüm buluyoruz. Denklemde “x” değişkeni yok ama bu kafa karıştırmamalı, asıl önemli olan birinci türevinin olması.

Türevi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

Açıkça, değişkenler ayrılabilir; erkekler sola, kızlar sağa:

Denklemin integralini alalım:

Genel integral elde edilir. Burada yıldız işaretli bir sabit çizdim, gerçek şu ki, çok yakında başka bir sabite dönüşecek.

Şimdi genel integrali genel bir çözüme dönüştürmeye çalışıyoruz (“y”yi açıkça ifade edin). Okuldaki eski güzel şeyleri hatırlayalım: . Bu durumda:

Göstergedeki sabit bir şekilde düzensiz görünüyor, bu yüzden genellikle dünyaya indiriliyor. Detaylı olarak olay şu şekilde oluyor. Derece özelliğini kullanarak fonksiyonu şu şekilde yeniden yazarız:

Eğer bir sabitse, o zaman aynı zamanda bir sabittir, onu şu harfle yeniden tanımlayalım:

Unutmayın, bir sabiti "yıkmak" ikinci teknik diferansiyel denklemleri çözerken sıklıkla kullanılır.

Yani genel çözüm şudur: . Bu güzel bir üstel fonksiyon ailesidir.

Son aşamada, verilen başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözüm bulmanız gerekir. Bu da basittir.

Görev nedir? Almak gerekiyor çok koşulun karşılanması için sabitin değeri.

Farklı şekillerde biçimlendirilebilir, ancak bu muhtemelen en net yol olacaktır. Genel çözümde, "X" yerine sıfır, "Y" yerine de iki koyarız:



Yani,

Standart tasarım versiyonu:

Şimdi sabitin bulunan değerini genel çözüme yerleştiriyoruz:
– ihtiyacımız olan özel çözüm bu.

Cevap: özel çözüm:

Hadi kontrol edelim. Özel bir çözümün kontrol edilmesi iki aşamayı içerir:

Öncelikle bulunan belirli çözümün başlangıç ​​koşulunu gerçekten karşılayıp karşılamadığını kontrol etmeniz gerekir. “X” yerine sıfır koyarız ve ne olacağını görürüz:
– evet, gerçekten iki tane var, bu da başlangıç ​​koşulunun karşılandığı anlamına geliyor.

İkinci aşama zaten tanıdık. Ortaya çıkan özel çözümü alıp türevi buluyoruz:

Orijinal denklemde yerine koyarız:

– doğru eşitlik elde edilir.

Sonuç: Özel çözüm doğru bir şekilde bulunmuştur.

Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 3

Diferansiyel denklemi çözün

Çözüm: Türevi ihtiyacımız olan biçimde yeniden yazıyoruz:

Değişkenleri ayırmanın mümkün olup olmadığını değerlendiriyoruz? Olabilmek. İkinci terimi işaret değişikliği ile sağa kaydırıyoruz:

Çarpanları orantı kuralına göre aktarıyoruz:

Değişkenler ayrıldı, her iki parçayı da entegre edelim:

Seni uyarmalıyım, kıyamet günü yaklaşıyor. Eğer iyi çalışmadıysanız belirsiz integraller, birkaç örnek çözdüyseniz, gidecek hiçbir yeriniz kalmaz - şimdi bu konularda uzmanlaşmanız gerekecek.

Sol tarafın integralini bulmak kolaydır; kotanjantın integralini derste incelediğimiz standart tekniği kullanarak ele alıyoruz. Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu geçen sene:

Sağ tarafta bir logaritmamız var ve ilk teknik önerime göre sabitin de logaritmanın altına yazılması gerekiyor.

Şimdi genel integrali basitleştirmeye çalışıyoruz. Elimizde yalnızca logaritmalar olduğundan, onlardan kurtulmak oldukça mümkün (ve gerekli). Kullanarak bilinen özellikler Logaritmaları mümkün olduğunca “paketliyoruz”. Bunu çok detaylı bir şekilde yazacağım:

Ambalaj barbarca parçalanmış durumda:

“Oyun”u ifade etmek mümkün mü? Olabilmek. Her iki parçanın da karelenmesi gerekir.

Ancak bunu yapmanıza gerek yok.

Üçüncü teknik ipucu: genel bir çözüm elde etmek için bir güce ulaşmak veya kök salmak gerekiyorsa, o zaman Çoğu durumda bu eylemlerden kaçınmalı ve cevabı genel bir integral şeklinde bırakmalısınız. Gerçek şu ki, genel çözüm, büyük kökler, işaretler ve diğer çöplerle birlikte korkunç görünecek.

Bu nedenle cevabı genel bir integral şeklinde yazıyoruz. Bunu formda sunmak, yani mümkünse sağ tarafta yalnızca bir sabit bırakmak iyi bir uygulama olarak kabul edilir. Bunu yapmak şart değil ama profesörü memnun etmek her zaman faydalıdır ;-)

Cevap: genel integral:

! Not: Herhangi bir denklemin genel integrali birden fazla şekilde yazılabilir. Dolayısıyla sonucunuz önceden bilinen cevapla örtüşmüyorsa bu, denklemi yanlış çözdüğünüz anlamına gelmez.

Genel integrali kontrol etmek de oldukça kolaydır, asıl önemli olan onu bulabilmektir. örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi. Cevabı farklılaştıralım:

Her iki terimi de şununla çarpıyoruz:

Ve şuna bölün:

Orijinal diferansiyel denklem tam olarak elde edilmiştir, yani genel integral doğru olarak bulunmuştur.

Örnek 4

Diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu bir örnektir bağımsız karar.

Algoritmanın iki aşamadan oluştuğunu hatırlatayım:
1) genel bir çözüm bulmak;
2) gerekli özel çözümü bulmak.

Kontrol ayrıca iki adımda gerçekleştirilir (Örnek No. 2'deki örneğe bakın), şunları yapmanız gerekir:
1) bulunan özel çözümün başlangıç ​​koşulunu karşıladığından emin olun;
2) Belirli bir çözümün genel olarak diferansiyel denklemi karşıladığını kontrol edin.

Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Örnek 5

Diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun , başlangıç ​​koşulunu karşılıyor. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm:Öncelikle genel bir çözüm bulalım. Bu denklem zaten hazır diferansiyeller içeriyor ve bu da çözümün basitleştirildiği anlamına geliyor. Değişkenleri ayırıyoruz:

Denklemin integralini alalım:

Soldaki integral tablo halindedir, sağdaki integral alınır bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi:

Genel integral elde edildi; genel çözümü başarıyla ifade etmek mümkün mü? Olabilmek. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz. Pozitif oldukları için modül işaretleri gereksizdir:

(Umarım dönüşümü herkes anlamıştır, böyle şeylerin zaten bilinmesi gerekir)

Yani genel çözüm şudur:

Verilen başlangıç ​​koşuluna karşılık gelen özel bir çözüm bulalım.
Genel çözümde, "X" yerine sıfırı, "Y" yerine de ikinin logaritmasını kullanırız:

Daha tanıdık tasarım:

Sabitin bulunan değerini genel çözüme koyarız.

Cevap:özel çözüm:

Kontrol: Öncelikle başlangıç ​​koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim:
- herşey iyi.

Şimdi bulunan özel çözümün diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Türevi bulma:

Orijinal denkleme bakalım: – diferansiyellerde sunulur. Kontrol etmenin iki yolu vardır. Bulunan türevden diferansiyeli ifade etmek mümkündür:

Bulunan özel çözümü ve elde edilen diferansiyeli orijinal denklemde yerine koyalım :

Temel logaritmik özdeşliği kullanıyoruz:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da özel çözümün doğru şekilde bulunduğu anlamına gelir.

İkinci kontrol yöntemi yansıtılmıştır ve daha tanıdıktır: denklemden Türevi ifade edelim, bunun için tüm parçaları şu şekilde bölüyoruz:

Ve dönüştürülmüş DE'de elde edilen kısmi çözümü ve bulunan türevi yerine koyarız. Sadeleştirmeler sonucunda doğru eşitliğin de elde edilmesi gerekmektedir.

Örnek 6

Diferansiyel denklemi çözün. Cevabı genel bir integral biçiminde sunun.

Bu, kendi başınıza çözebileceğiniz, tam çözüm üretebileceğiniz ve ders sonunda cevaplayabileceğiniz bir örnektir.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemleri çözerken sizi ne gibi zorluklar bekliyor?

1) Değişkenlerin ayrılabileceği her zaman açık değildir (özellikle bir “çaydanlık” için). Hadi düşünelim koşullu örnek: . Burada faktörleri parantezlerden çıkarmanız ve kökleri ayırmanız gerekir: . Bundan sonra ne yapılacağı açık.

2) Entegrasyonun kendisiyle ilgili zorluklar. İntegraller genellikle en basitleri değildir ve bulma becerilerinde kusurlar varsa belirsiz integral, o zaman birçok difüzörle zor olacaktır. Ek olarak, "diferansiyel denklem basit olduğundan, en azından integrallerin daha karmaşık olmasına izin verin" mantığı, koleksiyon ve eğitim kılavuzları derleyicileri arasında popülerdir.

3) Sabitli dönüşümler. Herkesin fark ettiği gibi, diferansiyel denklemlerdeki sabitler oldukça serbestçe ele alınabilir ve bazı dönüşümler yeni başlayanlar için her zaman net olmayabilir. Başka bir koşullu örneğe bakalım: . İçindeki tüm terimlerin 2 ile çarpılması tavsiye edilir: . Ortaya çıkan sabit aynı zamanda bir tür sabittir ve şu şekilde ifade edilebilir: . Evet ve sağ tarafta logaritma olduğundan, sabiti başka bir sabit biçiminde yeniden yazmanız önerilir: .

Sorun şu ki çoğu zaman indekslerle uğraşmazlar ve aynı harfi kullanırlar. Sonuç olarak karar kaydı aşağıdaki formu alır:

Ne tür bir sapkınlık? Orada hatalar var! Kesinlikle konuşursak, evet. Bununla birlikte, esas açısından bakıldığında herhangi bir hata yoktur, çünkü değişken bir sabitin dönüştürülmesinin bir sonucu olarak, yine de değişken bir sabit elde edilir.

Veya başka bir örnek, denklemin çözümü sırasında genel bir integralin elde edildiğini varsayalım. Bu cevap çirkin görünüyor, bu nedenle her terimin işaretinin değiştirilmesi tavsiye edilir: . Resmen burada başka bir hata daha var - sağ tarafa yazılması gerekiyor. Ancak gayri resmi olarak "eksi ce"nin hala bir sabit olduğu ima ediliyor ( ki bu da kolaylıkla herhangi bir anlam alabilir!) yani “eksi” koymanın bir anlamı yok ve aynı harfi kullanabilirsiniz.

Dikkatsiz bir yaklaşımdan kaçınmaya çalışacağım ve yine de sabitleri dönüştürürken onlara farklı indeksler atayacağım.

Örnek 7

Diferansiyel denklemi çözün. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm: Bu denklem değişkenlerin ayrılmasına izin verir. Değişkenleri ayırıyoruz:

İntegral alalım:

Buradaki sabiti logaritma olarak tanımlamaya gerek yok çünkü bundan işe yarar bir şey çıkmayacak.

Cevap: genel integral:

Kontrol edin: Cevabın türevini alın (örtük işlev):

Her iki terimi de şu şekilde çarparak kesirlerden kurtuluruz:

Orijinal diferansiyel denklem elde edilmiştir, yani genel integral doğru olarak bulunmuştur.

Örnek 8

DE'nin özel bir çözümünü bulun.
,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek ipucu, burada genel bir integral elde edeceğiniz ve daha doğrusu, belirli bir çözüm bulmak için çabalamanız gerekmediği, ancak kısmi integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bazı fizik problemlerinde süreci tanımlayan büyüklükler arasında doğrudan bir bağlantı kurmak mümkün değildir. Ancak incelenen fonksiyonların türevlerini içeren bir eşitlik elde etmek mümkündür. Diferansiyel denklemler bu şekilde ortaya çıkar ve bilinmeyen bir fonksiyonu bulmak için bunları çözme ihtiyacı ortaya çıkar.

Bu makale, bilinmeyen fonksiyonun tek değişkenli bir fonksiyon olduğu diferansiyel denklemi çözme problemiyle karşı karşıya kalanlar için hazırlanmıştır. Teori, sıfır diferansiyel denklem bilgisi ile görevinizin üstesinden gelebilecek şekilde yapılandırılmıştır.

Her diferansiyel denklem türü, tipik örneklere ve problemlere yönelik ayrıntılı açıklamalar ve çözümler içeren bir çözüm yöntemiyle ilişkilendirilir. Tek yapmanız gereken probleminizin diferansiyel denkleminin türünü belirlemek, analiz edilmiş benzer bir örnek bulmak ve benzer eylemleri gerçekleştirmek.

Diferansiyel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için aynı zamanda ters türev kümelerini bulma becerisine de ihtiyacınız olacak ( belirsiz integraller) çeşitli işlevler. Gerekiyorsa bölümüne başvurmanızı öneririz.

Öncelikle türete göre çözülebilen birinci mertebeden adi diferansiyel denklem türlerini ele alacağız, sonra ikinci mertebeden ODE'lere geçeceğiz, sonra daha yüksek mertebeden denklemler üzerinde duracağız ve sistemlerle bitireceğiz. diferansiyel denklemler.

Eğer y, x argümanının bir fonksiyonu ise bunu hatırlayın.

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler.

Formun en basit birinci dereceden diferansiyel denklemleri.

Bu tür uzaktan kumandalara birkaç örnek yazalım .

Diferansiyel denklemler eşitliğin her iki tarafının f(x)'e bölünmesiyle türev açısından çözülebilir. Bu durumda f(x) ≠ 0 için orijinal denkleme eşdeğer bir denklem elde ederiz. Bu tür ODE'lerin örnekleri şunlardır.

Eğer x argümanının f(x) ve g(x) fonksiyonlarının aynı anda sıfır olduğu değerleri varsa, o zaman ek çözümler ortaya çıkar. Denklemin ek çözümleri verilen x, bu bağımsız değişken değerleri için tanımlanan herhangi bir işlevdir. Bu tür diferansiyel denklemlerin örnekleri şunları içerir:

İkinci dereceden diferansiyel denklemler.

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemler.

Sabit katsayılı LDE çok yaygın bir diferansiyel denklem türüdür. Çözümleri özellikle zor değil. İlk önce kökler bulunur karakteristik denklem . Farklı p ve q için üç durum mümkündür: karakteristik denklemin kökleri gerçek ve farklı, gerçek ve çakışık olabilir veya karmaşık konjugatlar. Karakteristik denklemin köklerinin değerlerine bağlı olarak diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekilde yazılır: , veya veya sırasıyla.

Örneğin, sabit katsayılara sahip doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün. Karakteristik denkleminin kökleri k 1 = -3 ve k 2 = 0'dır. Kökler gerçek ve farklıdır, dolayısıyla sabit katsayılı bir LODE'nin genel çözümü şu şekildedir:


İkinci dereceden sabit katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklemler.

Sabit y katsayılı ikinci dereceden bir LDDE'nin genel çözümü, karşılık gelen LDDE'nin genel çözümünün toplamı şeklinde aranır. ve orijinaline özel bir çözüm homojen olmayan denklem, yani, . Önceki paragraf, sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklemin genel çözümünün bulunmasına ayrılmıştır. Ve belirli bir çözüm, sağ taraftaki f(x) fonksiyonunun belirli bir formu için belirsiz katsayılar yöntemiyle belirlenir. orijinal denklem veya keyfi sabitleri değiştirme yöntemiyle.

Sabit katsayılı ikinci dereceden LDDE'lere örnek olarak şunu veriyoruz:


Teoriyi anlamak ve örneklerin ayrıntılı çözümlerini tanımak için size sayfada sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemler sunuyoruz.

Doğrusal homojen diferansiyel denklemler (LODE) ve ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler (LNDE'ler).

Bu tip diferansiyel denklemlerin özel bir durumu sabit katsayılı LODE ve LDDE'dir.

LODE'nin belirli bir segment üzerindeki genel çözümü, bu denklemin doğrusal olarak bağımsız iki kısmi çözümü y 1 ve y 2'nin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir, yani, .

Asıl zorluk tam olarak bu tip bir diferansiyel denklemin doğrusal bağımsız kısmi çözümlerini bulmakta yatmaktadır. Tipik olarak belirli çözümler arasından seçilir. aşağıdaki sistemler doğrusal bağımsız işlevler:


Ancak belirli çözümler her zaman bu biçimde sunulmamaktadır.

Bir LOD örneği: .

LDDE'nin genel çözümü, karşılık gelen LDDE'nin genel çözümü ve orijinal diferansiyel denklemin özel çözümü olan formda aranır. Az önce onu bulmaktan bahsettik, ancak isteğe bağlı sabitleri değiştirme yöntemi kullanılarak belirlenebilir.

LNDU'ya bir örnek verilebilir .

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler.

Mertebenin azaltılmasına izin veren diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklem sırası İstenilen fonksiyonu ve k-1 mertebesine kadar türevlerini içermeyen , değiştirilerek n-k'ye indirgenebilir.

Bu durumda orijinal diferansiyel denklem . Çözümü p(x) bulduktan sonra, yerine koymaya geri dönüp bilinmeyen y fonksiyonunu belirlemeye devam eder.

Örneğin, diferansiyel denklem değiştirildikten sonra ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem haline gelecek ve sırası üçüncüden birinciye düşecektir.