Keyfi bir sabitin değişimi için diferansiyel denklemler. Yüksek mertebeden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemlerin Lagrange yöntemiyle çözülmesi

Rasgele n'inci dereceden sabit katsayılara sahip doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem düşünün:
(1) .
Birinci mertebeden bir denklem için dikkate aldığımız bir sabitin değişimi yöntemi, daha yüksek mertebeden denklemler için de geçerlidir.

Çözüm iki aşamada gerçekleştirilir. İlk adımda sağ tarafı atıyoruz ve homojen denklemi çözüyoruz. Sonuç olarak n adet keyfi sabit içeren bir çözüm elde ederiz. İkinci aşamada sabitleri değiştiriyoruz. Yani bu sabitleri x bağımsız değişkeninin fonksiyonları olarak kabul edip bu fonksiyonların formunu buluyoruz.

Her ne kadar burada sabit katsayılı denklemleri ele alsak da, Lagrange yöntemi aynı zamanda herhangi bir doğrusal homojen olmayan denklemin çözümüne de uygulanabilir. Ancak bunu yapabilmek için homojen denklemin temel çözüm sisteminin bilinmesi gerekir.

Adım 1. Homojen denklemin çözülmesi

Birinci dereceden denklemlerde olduğu gibi, ilk olarak homojen denklemin genel çözümünü ararız ve sağ taraftaki homojen olmayan tarafı sıfıra eşitleriz:
(2) .
Bu denklemin genel çözümü:
(3) .
İşte keyfi sabitler; - Bu denklemin temel çözüm sistemini oluşturan homojen denklemin (2) n doğrusal bağımsız çözümü.

Adım 2. Sabitlerin değişimi - sabitlerin fonksiyonlarla değiştirilmesi

İkinci aşamada sabitlerin değişimini ele alacağız. Başka bir deyişle, sabitleri bağımsız değişken x'in fonksiyonlarıyla değiştireceğiz:
.
Yani bir çözüm arıyoruz orijinal denklem(1) aşağıdaki gibidir:
(4) .

(1)'de (4)'ü yerine koyarsak, n fonksiyon için bir diferansiyel denklem elde ederiz. Bu durumda bu fonksiyonları ek denklemlerle bağlayabiliriz. Daha sonra n fonksiyonun belirlenebileceği n denklem elde edersiniz.. Ancak çözümün en basit şekle sahip olması için bunu yapacağız. Bunu yapmak için, türev alırken, fonksiyonların türevlerini içeren terimleri sıfıra eşitlemeniz gerekir.

Bunu gösterelim. Önerilen çözümü (4) orijinal denklemde (1) değiştirmek için, (4) formunda yazılan fonksiyonun ilk n dereceden türevlerini bulmamız gerekir. (4)’ü kullanarak farklılaştırıyoruz. toplamların farklılaştırılması kuralları
.
ve çalışır:

.
Üyeleri gruplandıralım. Önce türevleri olan terimleri, sonra da türevleri olan terimleri yazıyoruz:
(5.1) .
Fonksiyonlara ilk koşulu uygulayalım:
(6.1) .

O zaman 'ye göre birinci türevin ifadesi daha basit bir forma sahip olacaktır:

.
Aynı yöntemi kullanarak ikinci türevi buluyoruz:
(5.2) .
Fonksiyonlara ikinci bir koşul koyalım:
(6.2) .
Daha sonra Ve benzeri. İÇİNDE ek koşullar

fonksiyonların türevlerini içeren terimleri sıfıra eşitliyoruz.
Dolayısıyla, fonksiyonlar için aşağıdaki ek denklemleri seçersek: ,
(5.k)
o zaman 'ye göre birinci türevler en basit forma sahip olacaktır: .
(6.k)

Burada .
N'inci türevi bulun:
.

(6.n)
(1) ;






.
Orijinal denklemde (1) yerine koyun:
.
Tüm fonksiyonların denklem (2)'yi sağladığını dikkate alalım:
(7) .

O zaman içeren terimlerin toplamı sıfır verir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
Sonuç olarak türevler için bir doğrusal denklem sistemi elde ettik: ;
(5.n-1) .

(7′)
.
Bu sistemi çözerek, x'in bir fonksiyonu olarak türevler için ifadeler buluyoruz.

Entegre edersek şunu elde ederiz: Burada artık x'e bağlı olmayan sabitler var. (4)'ü değiştirerek orijinal denklemin genel bir çözümünü elde ederiz. Türevlerin değerlerini belirlemek için a i katsayılarının sabit olduğu gerçeğini asla kullanmadığımızı unutmayın. Bu yüzden

Lagrange yöntemi herhangi bir doğrusal homojen olmayan denklemin çözümü için uygulanabilir

, eğer homojen denklemin (2) temel çözüm sistemi biliniyorsa.

Örnekler Sabitlerin değişimi yöntemini (Lagrange) kullanarak denklemleri çözün. Doğrusal homojen olmayanların dikkate alınmasına dönelim

diferansiyel denklemler tür Nerede



- argümanın gerekli işlevi
.

ve işlevler belirli bir aralıkta verilir ve süreklidir Doğrusal homojen denklemi dikkate alalım, sol taraf (2.31),

sol tarafa denk geliyor homojen olmayan denklem (2.31).

(2.32) formundaki bir denklem denir

homojen olmayan denkleme karşılık gelen homojen denklem Aşağıdaki teorem homojen olmayan doğrusal denklemin (2.31) genel çözümünün yapısı hakkında geçerlidir.

Teorem 2.6.

diferansiyel denklemler - denklemin (2.31) özel çözümü,
homojen denklemin (2.32) temel çözüm sistemidir ve
- keyfi sabitler.

Bu teoremin kanıtını şurada bulacaksınız.

İkinci dereceden diferansiyel denklem örneğini kullanarak, doğrusal homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümünün bulunabileceği bir yöntemin ana hatlarını çizeceğiz. Bu yöntem denir Keyfi sabitlerin Lagrange değişimi yöntemi.

O halde bize homojen olmayan bir doğrusal denklem verilsin

(2.35)

katsayılar nerede
ve sağ taraf
belirli aralıklarla sürekli
.

ile belirtelim
Ve
homojen denklemin temel çözüm sistemi

(2.36)

O halde genel çözümü şu şekildedir:

(2.37)

diferansiyel denklemler Ve - keyfi sabitler.

Denklemin (2.35) çözümünü aynı formda arayacağız. , ve karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünün yanı sıra, keyfi sabitlerin bazı türevlenebilir fonksiyonları ile değiştirilmesi (isteğe bağlı sabitleri değiştiriyoruz), onlar.

diferansiyel denklemler
Ve
- bazı türevlenebilir fonksiyonlar Bunlar hala bilinmiyor ve (2.38) fonksiyonunun homojen olmayan denklem (2.35) için bir çözüm olmasını sağlayacak şekilde belirlemeye çalışacağız. Eşitliğin her iki tarafını (2.38) farklılaştırarak şunu elde ederiz:

Yani hesaplarken ikinci dereceden türevleri
Ve
, bunu her yerde istiyoruz
koşul karşılandı

Sonra için sahip olacağız

İkinci türevi hesaplayalım

İfadeleri değiştirme ,,(2.38), (2.40), (2.41)'den denklem (2.35)'e dönersek, şunu elde ederiz:

Köşeli parantez içindeki ifadeler her yerde sıfıra eşittir
, Çünkü Ve - denklemin (2.36) kısmi çözümleri. Bu durumda, (2.42) biçimini alacaktır. Bu koşulu (2.39) koşuluyla birleştirerek, belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz.
Ve

(2.43)

Son sistem, iki cebirsel doğrusal homojen olmayan denklemden oluşan bir sistemdir.
Ve
. Bu sistemin determinantı, temel çözüm sistemi için Wronski determinantıdır. ,ve bu nedenle her yerde sıfırdan farklıdır
. Bu, (2.43) sisteminin tek bir çözümü olduğu anlamına gelir. Bunu göreceli olarak herhangi bir şekilde çözdükten sonra
,
bulacağız

diferansiyel denklemler
Ve
- bilinen işlevler.

Entegrasyonun gerçekleştirilmesi ve aşağıdakilerin dikkate alınması
,
bir çift fonksiyon almalı ve entegrasyon sabitlerini sıfıra eşitlemeliyiz. Aldık

İfadeleri (2.44) ilişkiler (2.38) ile değiştirerek, homojen olmayan denklemin (2.35) istenen çözümünü şu şekilde yazabiliriz:

Bu yöntem, doğrusal homojen olmayan denkleme özel bir çözüm bulmak için genelleştirilebilir. -inci sipariş.

Örnek 2.6. Denklemi çöz
en
eğer işlevler

karşılık gelen homojen denklemin temel çözüm sistemini oluşturur.

Bu denkleme özel bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için Lagrange yöntemine uygun olarak ilk önce sistemi (2.43) çözmeliyiz; bu bizim durumumuzda şu şekildedir:
Her denklemin her iki tarafının azaltılması alıyoruz

İkinci denklemden ilk denklemi terim terim çıkararak şunu buluruz:
ve sonra ilk denklemden şu sonuç çıkıyor
Entegrasyonu gerçekleştirip entegrasyon sabitlerini sıfıra ayarlayarak,

Bu denklemin özel bir çözümü şu şekilde temsil edilebilir:

Bu denklemin genel çözümü şu şekildedir:

diferansiyel denklemler Ve - keyfi sabitler.

Son olarak, genellikle çözümlerin üst üste binmesi ilkesi olarak adlandırılan ve aşağıdaki teoremle açıklanan dikkate değer bir özelliğe dikkat çekelim.

Teorem 2.7. Arada ise
işlev
- denklem fonksiyonunun özel çözümü
denklemin aynı aralıktaki belirli bir çözümü fonksiyondur
denklemin özel bir çözümü var

Teorik minimum

Diferansiyel denklemler teorisinde, bu teori için oldukça yüksek derecede evrenselliğe sahip olduğunu iddia eden bir yöntem bulunmaktadır.
Çözüme uygulanabilir, keyfi bir sabitin varyasyon yönteminden bahsediyoruz. çeşitli sınıflar diferansiyel denklemler ve bunların
sistemler Bu tam olarak teorinin - eğer ifadelerin kanıtlarını parantez dışında çıkarırsak - minimum düzeyde olduğu, ancak elde etmemize izin verdiği durumdur.
sonuçlar önemli olduğundan örnekler üzerinde durulacaktır.

Yöntemin genel fikrinin formüle edilmesi oldukça basittir. Verilen denklemin (denklem sisteminin) çözülmesi zor, hatta anlaşılmaz olmasına izin verin,
nasıl çözüleceği. Ancak denklemden bazı terimlerin çıkarılmasıyla çözüleceği açıktır. Sonra tam olarak bu basitleştirilmiş çözümü çözüyorlar
denklem (sistem), denklemin sırasına bağlı olarak (sayı) belirli sayıda keyfi sabit içeren bir çözüm elde ederiz.
sistemdeki denklemler). Daha sonra bulunan çözümdeki sabitlerin aslında bulunan çözümde sabit olmadığı varsayılır;
orijinal denklemin (sistemin) yerine konulursa, “sabitleri” belirlemek için bir diferansiyel denklem (veya denklem sistemi) elde edilir.
Keyfi bir sabitin değişimi yöntemini farklı problemlere uygulamanın belli bir özgüllüğü vardır, ancak bunlar zaten
örneklerle gösterdik.

Yüksek mertebeden doğrusal homojen olmayan denklemlerin çözümünü ayrı ayrı ele alalım; formun denklemleri
.
Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü, karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünün ve özel bir çözümün toplamıdır.
bu denklemin. Homojen denklemin genel bir çözümünün zaten bulunduğunu, yani temel bir çözüm sisteminin (FSS) oluşturulduğunu varsayalım.
. O halde homojen denklemin genel çözümü eşittir.
Homojen olmayan denkleme herhangi bir özel çözüm bulmamız gerekiyor. Bu amaçla sabitlerin bir değişkene bağlı olduğu kabul edilir.
Daha sonra denklem sistemini çözmeniz gerekiyor
.
Teori bu sistemin garantisini veriyor cebirsel denklemler Fonksiyonların türevleriyle ilgili benzersiz bir çözüm var.
Fonksiyonların kendilerini bulurken entegrasyon sabitleri görünmez: sonuçta herhangi bir çözüm aranır.

Formun doğrusal homojen olmayan birinci dereceden denklem sistemlerinin çözülmesi durumunda

algoritma neredeyse değişmeden kalır. İlk önce karşılık gelen FSR'yi bulmanız gerekir. homojen sistem denklemler, temel bir matris oluşturun
Sütunları FSR'nin unsurlarını temsil eden sistem. Daha sonra denklem kurulur
.
Sistemi çözerken fonksiyonları belirleriz, böylece orijinal sisteme özel bir çözüm buluruz.
(temel matris, bulunan fonksiyonların sütunu ile çarpılır).
Bunu, halihazırda bulunan FSR'ye dayanarak oluşturulan ilgili homojen denklemler sisteminin genel çözümüne ekliyoruz.
Orijinal sistemin genel çözümü elde edilir.

Örnekler.

Örnek 1. Birinci dereceden doğrusal homojen olmayan denklemler.

Karşılık gelen homojen denklemi ele alalım (istenen fonksiyonu belirtiyoruz):
.
Bu denklem değişkenlerin ayrılması yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir:

.
Şimdi orijinal denklemin çözümünü formda hayal edelim. , işlevin henüz bulunamadığı yer.
Bu tür çözümü orijinal denklemin yerine koyarız:
.
Gördüğünüz gibi sol taraftaki ikinci ve üçüncü terimler birbirini götürmektedir; bu karakteristik özellik keyfi bir sabitin varyasyon yöntemi.

Burada zaten gerçekten keyfi bir sabittir. Böylece,
.

Örnek 2. Bernoulli denklemi.

İlk örneğe benzer şekilde ilerliyoruz - denklemi çözüyoruz

Değişkenlerin ayrıştırılması yöntemi. Görünüşe göre formdaki orijinal denklemin çözümünü arıyoruz
.
Bu fonksiyonu orijinal denklemde yerine koyarız:
.
Ve yine azalmalar meydana gelir:
.
Burada çözüme bölerken kaybolmadığından emin olmanız gerektiğini hatırlamanız gerekir. Ve orijinal çözümün çözümü duruma karşılık geliyor
denklemler Bunu hatırlayalım. Bu yüzden,
.
Hadi yazalım.
Çözüm bu. Cevabı yazarken, herhangi bir nihai değere karşılık gelmediğinden, daha önce bulunan çözümü de belirtmelisiniz.
sabitler

Örnek 3. Yüksek mertebeden doğrusal homojen olmayan denklemler.

Bu denklemin daha basit bir şekilde çözülebileceğini hemen belirtelim, ancak onu kullanarak yöntemi göstermenin uygun olduğunu belirtelim. Her ne kadar bazı avantajlar
Bu örnekte de varyasyon yönteminin keyfi bir sabiti vardır.
Bu nedenle, karşılık gelen homojen denklemin FSR'si ile başlamanız gerekir. FSR'yi bulmak için karakteristik bir eğrinin derlendiğini hatırlayalım.
denklem
.
Böylece homojen denklemin genel çözümü
.
Burada yer alan sabitler değiştirilmelidir. Bir sistem oluşturmak

Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi

Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin çözümünü oluşturmak için keyfi sabitlerin değişimi yöntemi

A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = F(T)

keyfi sabitlerin değiştirilmesinden oluşur C k genel çözümde

z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)

karşılık gelen homojen denklem

A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = 0

yardımcı fonksiyonlar için C k (T) türevleri doğrusal cebirsel sistemi karşılayan

Sistem (1)'in determinantı fonksiyonların Wronskian'ıdır z 1 ,z 2 ,...,z N , açısından benzersiz çözülebilirliğini sağlar.

Entegrasyon sabitlerinin sabit değerlerinde alınan antiderivatifler varsa, o zaman fonksiyon

orijinal doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Homojen olmayan bir denklemin genel bir çözümün varlığında karşılık gelen homojen denklemin entegrasyonu böylece karelere indirgenir.

Vektör normal formundaki doğrusal diferansiyel denklemler sisteminin çözümlerini oluşturmak için keyfi sabitlerin değişimi yöntemi

formunda belirli bir çözümün (1) oluşturulmasından oluşur

Nerede Z(T) bir matris biçiminde yazılmış, karşılık gelen homojen denklemin çözümlerinin temelidir ve keyfi sabitlerin vektörünün yerini alan vektör fonksiyonu, ilişki ile tanımlanır. Gerekli özel çözüm (sıfır başlangıç ​​değerleri ile) T = T 0 gibi görünüyor

Sabit katsayılı bir sistem için son ifade basitleştirilmiştir:

Matris Z(T)Z− 1 (τ) isminde Cauchy matrisi operatör L = A(T) .

Dış bağlantılar

• exponenta.ru - Örneklerle teorik bilgiler

Wikimedia Vakfı.

2010.

Keyfi bir sabitin değişimi yöntemi veya Lagrange yöntemi, birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemleri ve Bernoulli denklemini çözmenin başka bir yoludur. Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler y'+p(x)y=q(x) formundaki denklemlerdir. Sağ tarafta bir sıfır varsa: y'+p(x)y=0, o zaman bu doğrusaldır homojen 1. dereceden denklem. Buna göre sıfırdan farklı bir denklem sağ taraf , y'+p(x)y=q(x), — heterojen doğrusal denklem

1. sipariş. Keyfi bir sabitin varyasyon yöntemi (Lagrange yöntemi)

aşağıdaki gibidir:

2) Genel çözümde C'nin bir sabit değil, x'in bir fonksiyonu olduğunu düşünüyoruz: C = C(x). Genel çözümün (y*)' türevini buluyoruz ve elde edilen ifadeyi y* ve (y*)' için başlangıç ​​koşuluna koyuyoruz. Ortaya çıkan denklemden C(x) fonksiyonunu buluyoruz.

3) Homojen denklemin genel çözümünde C yerine bulunan C(x) ifadesini kullanırız.

İsteğe bağlı bir sabiti değiştirme yönteminin örneklerine bakalım. Aynı görevleri üstlenelim, çözümün ilerleyişini karşılaştıralım ve elde edilen cevapların çakıştığından emin olalım.

1) y’=3x-y/x

Denklemi standart biçimde yeniden yazalım (sadece denklemin doğrusal olduğunu görmek için gösterim biçimine ihtiyaç duyduğumuz Bernoulli yönteminin aksine).

y'+y/x=3x (I). Şimdi plana göre ilerliyoruz.

1) y'+y/x=0 homojen denklemini çözün. Bu ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir. Y'=dy/dx'i düşünün, yerine şunu yazın: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Denklemin her iki tarafını dx ile çarpıp xy≠0'a bölüyoruz: dy/y=-dx/x. İntegral alalım:

2) Homojen denklemin sonuçta ortaya çıkan genel çözümünde, C'yi bir sabit değil, x'in bir fonksiyonu olarak ele alacağız: C=C(x). Buradan

Ortaya çıkan ifadeleri (I) koşuluna koyarız:

Denklemin her iki tarafını da entegre edelim:

burada C zaten yeni bir sabittir.

3) C=C(x) yani y=C(x)/x varsaydığımız homojen denklem y=C/x'in genel çözümünde, C(x) yerine bulunan x³ ifadesini kullanırız. +C: y=(x³ +C)/x veya y=x²+C/x. Bernoulli yöntemiyle çözerken aldığımız cevabın aynısını aldık.

Cevap: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Burada denklem zaten standart biçimde yazılmıştır; onu dönüştürmeye gerek yoktur.

1) y'+y=0 homojen doğrusal denklemini çözün: dy/dx=-y; dy/y=-dx. İntegral alalım:

Daha uygun bir gösterim biçimi elde etmek için üssü C'nin kuvvetine yeni C olarak alırız:

Türevi bulmayı kolaylaştırmak için bu dönüşüm yapıldı.

2) Doğrusal homojen denklemin sonuçta ortaya çıkan genel çözümünde, C'nin bir sabit değil, x'in bir fonksiyonu olduğunu düşünüyoruz: C=C(x). Bu şart altında

Ortaya çıkan y ve y' ifadelerini koşulun yerine koyarız:

Denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın:

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanarak denklemin her iki tarafını da entegre ederiz, şunu elde ederiz:

Burada C artık bir fonksiyon değil, sıradan bir sabittir.

3) Homojen denklemin genel çözümünde

bulunan C(x) fonksiyonunu değiştirin:

Bernoulli yöntemiyle çözerken aldığımız cevabın aynısını aldık.

Keyfi bir sabitin değişimi yöntemi de çözüme uygulanabilir.

y'x+y=-xy².

Denklemi şuna indirgeriz: standart görünüm: y'+y/x=-y² (II).

1) y'+y/x=0 homojen denklemini çözün. dy/dx=-y/x. Denklemin her iki tarafını dx ile çarpıp y'ye bölüyoruz: dy/y=-dx/x. Şimdi integral alalım:

Ortaya çıkan ifadeleri koşul (II)'ye koyarız:

Basitleştirelim:

C ve x için ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem elde ettik:

Burada C zaten sıradan bir sabittir. İntegral işlemi sırasında gösterimi aşırı yüklememek için C(x) yerine basitçe C yazdık. Ve sonunda C(x)'i yeni C ile karıştırmamak için C(x)'e döndük.

3) Homojen denklem y=C(x)/x'in genel çözümünde bulunan C(x) fonksiyonunu yerine koyarız:

Bernoulli yöntemini kullanarak çözerken aldığımız cevabın aynısını aldık.

Kendi kendine test örnekleri:

1. Denklemi standart biçimde yeniden yazalım: y’-2y=x.

1) y'-2y=0 homojen denklemini çözün. y'=dy/dx, dolayısıyla dy/dx=2y, denklemin her iki tarafını da dx ile çarpın, y'ye bölün ve entegre edin:

Buradan y'yi buluyoruz:

Koşulda y ve y' ifadelerini yerine koyarız (kısalık sağlamak için C(x) yerine C ve C"(x) yerine C' kullanacağız):

Sağ taraftaki integrali bulmak için parçalara göre entegrasyon formülünü kullanırız:

Şimdi u, du ve v'yi formülde yerine koyarız:

Burada C =sabit.

3) Şimdi çözeltinin içine homojeni koyuyoruz