- — [] ikinci dereceden fonksiyon y= ax2 + bx + c (a ? 0) formundaki fonksiyon. Grafik K.f. - tepe noktası [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] koordinatlarına sahip, a>0 parabol dallarına sahip bir parabol ... ...
İKİNCİ FONKSİYON, değeri bağımsız değişken x'in karesine bağlı olan ve sırasıyla ikinci dereceden bir POLİNOM ile verilen matematiksel bir FONKSİYON, örneğin: f(x) = 4x2 + 17 veya f(x) = x2 + 3x + 2. ayrıca bkz. DENKLEMİN KARESİ… Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük
İkinci dereceden fonksiyon- İkinci dereceden fonksiyon - y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) formunda bir fonksiyon. Grafik K.f. - tepe noktası [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] koordinatlarına sahip bir parabol, a> 0 için parabolün dalları yukarıya doğru yönlendirilir, a için< 0 –вниз… …
- (ikinci dereceden) Şu forma sahip bir fonksiyon: y=ax2+bx+c, burada a≠0 ve x'in en yüksek derecesi bir karedir. İkinci dereceden denklem y=ax2 +bx+c=0 aşağıdaki formül kullanılarak da çözülebilir: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Bu kökler gerçek... Ekonomik sözlük
Bir afin uzayı S üzerinde ikinci dereceden afin bir fonksiyon herhangi bir Q fonksiyonudur: S→K, vektörleştirilmiş formda Q(x)=q(x)+l(x)+c formuna sahiptir, burada q ikinci dereceden bir fonksiyondur, l doğrusal bir fonksiyondur, c bir sabittir. İçindekiler 1 Referans noktasının kaydırılması 2... ... Vikipedi
Bir afin uzay üzerindeki ikinci dereceden afin fonksiyon, simetrik bir matris, doğrusal bir fonksiyon ve bir sabit olan, vektörize formda olan herhangi bir fonksiyondur. İçindekiler... Vikipedi
Vektör uzayında, vektörün koordinatlarında ikinci dereceden homojen bir polinomla tanımlanan bir fonksiyon. İçindekiler 1 Tanım 2 İlgili tanımlar... Vikipedi
- teoride bir fonksiyondur istatistiksel çözümler Gözlemlenen verilere dayanarak yanlış karar verilmesinden kaynaklanan kayıpları karakterize eder. Gürültü arka planına karşı bir sinyal parametresini tahmin etme sorunu çözülüyorsa, o zaman kayıp fonksiyonu tutarsızlığın bir ölçüsüdür... ... Vikipedi
amaç fonksiyonu- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. İngilizce-Rusça elektrik mühendisliği ve enerji mühendisliği sözlüğü, Moskova, 1999] amaç fonksiyonu Ekstrem problemlerde minimumu veya maksimumu bulunması gereken bir fonksiyon. Bu… … Teknik Çevirmen Kılavuzu
Amaç fonksiyonu- Ekstrem problemlerde minimumu veya maksimumu bulunması gereken bir fonksiyon. Bu ana kavram optimum programlama. C.f.'nin ekstremumunu bulduktan sonra. ve dolayısıyla ona giden kontrollü değişkenlerin değerlerini belirledikten sonra... ... Ekonomik-matematik sözlüğü
Kitabın
- Tablolar seti. Matematik. Fonksiyon grafikleri (10 tablo), . 10 sayfalık eğitici albüm. Doğrusal fonksiyon. Fonksiyonların grafiksel ve analitik ataması. İkinci dereceden fonksiyon. Grafik Dönüşümü ikinci dereceden fonksiyon. Fonksiyon y=sinx. Fonksiyon y=cosx.…
- Okul matematiğinin en önemli işlevi ikinci derecedendir - problemlerde ve çözümlerde, Petrov N.N.. İkinci dereceden işlev, okul matematik dersinin ana işlevidir. Şaşmamalı. Bir yanda bu işlevin basitliği, diğer yanda derin anlamı. Okulun birçok görevi...
Okuldaki matematik derslerinde bir fonksiyonun en basit özellikleri ve grafiği hakkında zaten bilgi sahibi oldunuz. y = x 2. Bilgimizi genişletelim ikinci dereceden fonksiyon.
1. Egzersiz.
Fonksiyonun grafiğini çizin y = x 2. Ölçek: 1 = 2 cm Oy ekseninde bir nokta işaretleyin. F(0; 1/4). Bir pusula veya bir kağıt şeridi kullanarak noktadan uzaklığı ölçün F bir noktaya kadar M paraboller. Daha sonra şeridi M noktasına sabitleyin ve dikey olana kadar bu noktanın etrafında döndürün. Şeridin sonu x ekseninin biraz altına düşecek (Şekil 1). Şerit üzerinde x ekseninin ötesine ne kadar uzandığını işaretleyin. Şimdi parabol üzerinde başka bir nokta alın ve ölçümü tekrar tekrarlayın. Şeridin kenarı x ekseninin ne kadar altına düştü?
Sonuç: y = x 2 parabolünün hangi noktasını alırsanız alın, bu noktadan F(0; 1/4) noktasına olan mesafe şu şekilde olacaktır: daha fazla mesafe aynı noktadan x eksenine her zaman aynı sayıyla - 1/4 oranında.
Farklı da söyleyebiliriz: Parabolün herhangi bir noktasından (0; 1/4) noktasına olan mesafe, parabolün aynı noktasından y = -1/4 düz çizgisine olan mesafeye eşittir. Bu harika F(0; 1/4) noktasına denir odak paraboller y = x 2 ve düz çizgi y = -1/4 – müdire bu parabol. Her parabolün bir doğrultmanı ve bir odağı vardır.
Bir parabolün ilginç özellikleri:
1. Parabolün herhangi bir noktası, parabolün odağı adı verilen bir noktadan ve onun doğrultmanı adı verilen düz bir çizgiden eşit uzaklıktadır.
2. Bir parabolü simetri ekseni etrafında döndürürseniz (örneğin, Oy ekseni etrafında y = x 2 parabolünü), dönüş paraboloidi adı verilen çok ilginç bir yüzey elde edersiniz.
Dönen bir kaptaki sıvının yüzeyi, dönme paraboloitinin şekline sahiptir. Tamamlanmamış bir bardak çayı bir kaşıkla kuvvetlice karıştırıp ardından kaşığı çıkarırsanız bu yüzeyi görebilirsiniz.
3. Ufuk çizgisine belli bir açıyla boşluğa bir taş atarsanız, taş bir parabol çizerek uçacaktır. (İncir. 2).
4. Bir koninin yüzeyini onun cinslerinden herhangi birine paralel bir düzlemle keserseniz, bu durumda kesit bir parabol ile sonuçlanacaktır. (Şek. 3).
5. Eğlence parklarında bazen Paraboloit of Wonders adı verilen eğlenceli bir gezi yapılır. Dönen paraboloidin içinde duran herkese, kendisi yerde duruyormuş ve geri kalan insanlar bir şekilde mucizevi bir şekilde duvarlara tutunuyormuş gibi görünüyor.
6. Yansıtıcı teleskoplarda parabolik aynalar da kullanılır: Teleskop aynasına düşen, paralel bir ışınla gelen uzak bir yıldızın ışığı odakta toplanır.
7. Spot ışıklarda genellikle paraboloid şeklinde bir ayna bulunur. Bir paraboloidin odağına bir ışık kaynağı yerleştirirseniz, parabolik aynadan yansıyan ışınlar paralel bir ışın oluşturur.
İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
Matematik derslerinde, y = x 2 fonksiyonunun grafiğinden formun fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl elde edileceğini incelediniz:
1) y = eksen 2– y = x 2 grafiğini |a|'da Oy ekseni boyunca uzatmak kez ( |a| ile< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinç. 4).
2) y = x 2 + n– Grafiğin Oy ekseni boyunca n birim kayması ve eğer n > 0 ise kayma yukarı doğru olur ve eğer n ise< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– grafiğin Ox ekseni boyunca m birim kayması: eğer m< 0, то вправо, а если m >0, sonra sola, (Şekil 5).
4) y = -x 2– y = x 2 grafiğinin Ox eksenine göre simetrik gösterimi.
Fonksiyonun grafiğini çizmeye daha yakından bakalım y = a(x – m) 2 + n.
y = ax 2 + bx + c formundaki ikinci dereceden bir fonksiyon her zaman şu forma indirgenebilir:
y = a(x – m) 2 + n, burada m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Hadi kanıtlayalım.
Gerçekten mi,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Yeni notasyonları tanıtalım.
İzin vermek m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
o zaman y = a(x – m) 2 + n veya y – n = a(x – m) 2 elde ederiz.
Biraz daha değişiklik yapalım: y – n = Y, x – m = X (*) olsun.
Daha sonra grafiği bir parabol olan Y = aX 2 fonksiyonunu elde ederiz.
Parabolün tepe noktası orijindedir. X = 0; Y = 0.
Tepe noktasının koordinatlarını (*) yerine koyarak, y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını elde ederiz.
Böylece, şu şekilde temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonu çizmek için
y = a(x – m) 2 + n
dönüşümler aracılığıyla aşağıdaki şekilde ilerleyebilirsiniz:
A) y = x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin;
B) Ox ekseni boyunca m birim ve Oy ekseni boyunca n birim paralel öteleme ile - parabolün tepe noktasını orijinden koordinatlarla (m; n) noktaya aktarın (Şekil 6).
Dönüşümlerin kaydedilmesi:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Örnek.
Dönüşümleri kullanarak, Kartezyen koordinat sisteminde y = 2(x – 3) 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun – 2.
Çözüm.
Dönüşüm zinciri:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Çizim şu şekilde gösterilmiştir: pirinç. 7.
Kendi başınıza ikinci dereceden fonksiyonların grafiğini çizme alıştırması yapabilirsiniz. Örneğin, dönüşümleri kullanarak tek koordinat sisteminde y = 2(x + 3) 2 + 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Herhangi bir sorunuz varsa veya bir öğretmenden tavsiye almak istiyorsanız, o zaman yürütme fırsatınız olur. çevrimiçi öğretmenle 25 dakikalık ücretsiz ders sonrasında . Bir öğretmenle daha fazla çalışmak için size uygun olanı seçebilirsiniz.
Hala sorularınız mı var? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Uygulamada görüldüğü gibi, ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafikleri ile ilgili görevler ciddi zorluklara neden olur. Bu oldukça garip çünkü 8. sınıfta ikinci dereceden fonksiyonu inceliyorlar ve ardından 9. sınıfın ilk çeyreği boyunca parabolün özelliklerine "eziyet ediyorlar" ve çeşitli parametrelere göre grafiklerini oluşturuyorlar.
Bunun nedeni, öğrencileri parabol oluşturmaya zorlarken pratikte grafikleri "okumaya" zaman ayırmamaları, yani resimden alınan bilgileri kavrama pratiği yapmamalarıdır. Görünüşe göre, bir düzine veya iki grafik oluşturduktan sonra akıllı bir öğrencinin formüldeki katsayılar arasındaki ilişkiyi kendisinin keşfedip formüle edeceği varsayılmaktadır. dış görünüş grafik Sanatları. Pratikte bu işe yaramıyor. Böyle bir genelleme için, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin çoğunun elbette sahip olmadığı matematiksel mini araştırma konusunda ciddi bir deneyim gereklidir. Bu arada Devlet Müfettişliği, programı kullanarak katsayıların işaretlerini belirlemeyi teklif ediyor.
Okul çocuklarından imkansızı talep etmeyeceğiz ve sadece bu tür sorunları çözmek için algoritmalardan birini sunacağız.
Yani formun bir fonksiyonu y = eksen 2 + bx + c ikinci dereceden denir, grafiği bir paraboldür. Adından da anlaşılacağı gibi ana terim balta 2. Yani A sıfıra eşit olmamalıdır, kalan katsayılar ( B Ve İle) sıfıra eşit olabilir.
Katsayılarının işaretlerinin bir parabolün görünümünü nasıl etkilediğini görelim.
Katsayı için en basit bağımlılık A. Çoğu okul çocuğu güvenle cevap verir: “Eğer A> 0 ise parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
İÇİNDE bu durumda A = 0,5
Ve şimdi A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Bu durumda A = - 0,5
Katsayının etkisi İle Takip edilmesi de oldukça kolaydır. Bir fonksiyonun değerini bir noktada bulmak istediğimizi düşünelim. X= 0. Formülde sıfırı yerine koyun:
sen = A 0 2 + B 0 + C = C. Şekline dönüştü y = c. Yani İle parabolün y ekseniyle kesişme noktasının koordinatıdır. Genellikle bu noktayı grafikte bulmak kolaydır. Ve sıfırın üstünde mi yoksa altında mı olduğunu belirleyin. Yani İle> 0 veya İle < 0.
İle > 0:
y = x 2 + 4x + 3
İle < 0
y = x 2 + 4x - 3
Buna göre eğer İle= 0 ise parabol mutlaka orijinden geçecektir:
y = x 2 + 4x
Parametreyle daha zor B. Onu bulacağımız nokta yalnızca şuna bağlı değildir: B ama aynı zamanda A. Burası parabolün tepesi. Apsis (eksen koordinatı) X) formülle bulunur x'te = - b/(2a). Böylece, b = - 2ax inç. Yani şu şekilde ilerliyoruz: grafikte parabolün tepe noktasını buluyoruz, apsisinin işaretini belirliyoruz, yani sıfırın sağına bakıyoruz ( x giriş> 0) veya sola ( x giriş < 0) она лежит.
Ancak hepsi bu değil. Katsayının işaretine de dikkat etmemiz gerekiyor. A. Yani parabolün dallarının nereye yönlendirildiğine bakın. Ve ancak bundan sonra formüle göre b = - 2ax inç işareti belirlemek B.
Bir örneğe bakalım:
Dallar yukarı doğru yönlendirilir, yani A> 0, parabol eksenle kesişiyor en sıfırın altında demek İle < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x giriş> 0. Yani b = - 2ax inç = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, İle < 0.
Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.
Durumları ele alalım:
DURUMDA, KLASİK PARABOL
Yani , ,
Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:
Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. koordinat düzleminde (x değerlerini aldığımız adım ne kadar küçükse (bu durumda 1. adım) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:
Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:
II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR
, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani, aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktaları için geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.
Ve parabol parabolden "genişlediğinde":
Özetleyelim:
1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse, parabol o kadar geniş olur.
III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR
Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. İşarete bağlı olarak parabolün eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):
IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR
Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?
Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .
Yani bu noktada ((0;0) noktasında olduğu gibi) yeni sistem koordinatlar) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.
Örneğin bir parabolün tepe noktası:
Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.
Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:
1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .
2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.
3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Diskriminant'a bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tamsayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Öyleyse hadi çözelim
Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması
1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)
2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.
3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) bu nokta mesela, değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)
4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Parabolün eksen (oy) ile kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.
örnek 1
Örnek 2
Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?
Hadi alalım ikinci dereceden üç terimli ve içinde tam bir kare seçin: Bakın, bunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.
Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).
Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.
