1. Temel metodolojik hükümler.

Basit üstel düzeltme yöntemi, önceki gözlemlerden elde edilen tüm verilerin ağırlıklı (üstel) hareketli ortalamasını kullanır. Bu model çoğunlukla, analiz edilen göstergeler (trend) arasındaki bir ilişkinin varlığını veya analiz edilen verilerin bağımlılığını değerlendirmenin gerekli olduğu verilere uygulanır. Üstel düzeltmenin amacı tahmin etmektir. mevcut durum sonuçları sonraki tüm tahminleri belirleyecektir.

Üstel yumuşatma şunları sağlar En son verileri kullanarak modelin sürekli güncellenmesi. Bu yöntem, azalan (üstel) yönde geçmiş gözlemlerin zaman serilerinin ortalamasının alınmasına (düzeltilmesi) dayanmaktadır. Yani daha güncel olaylara daha fazla ağırlık veriliyor. Ağırlık şu şekilde atanır: son gözlem için ağırlık α, sondan bir önceki gözlem için - (1-α), ondan önceki gözlem için - (1-α) 2 vb. olacaktır.

Düzleştirilmiş bir biçimde, yeni bir tahmin (t+1 dönemi için), bir miktarın t zamanındaki son gözleminin ve aynı t dönemi için önceki tahmininin ağırlıklı ortalaması olarak temsil edilebilir. Ayrıca, α ağırlığı gözlemlenen değere, (1- α) ağırlığı ise tahmine atanır; 0 olduğu varsayılmaktadır< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Yeni tahmin = [α*(son gözlem)]+[(1- α)*son tahmin]

tahmin edilen değer nerede gelecek dönem;

α – yumuşatma sabiti;

Y t – değerin gözlemlenmesi cari dönem T;

t dönemi için bu değere ilişkin önceki düzeltilmiş tahmin.

Üstel düzeltme, tahmin sonuçlarını en son olayların ışığında sürekli olarak revize etmeye yönelik bir prosedürdür.

Düzeltme sabiti α ağırlıklı bir faktördür. Gerçek değeri, mevcut gözlemin tahmin edilen değeri ne ölçüde etkilemesi gerektiğine göre belirlenir. Eğer α 1'e yakınsa tahmin, son tahminin hatasının büyüklüğünü önemli ölçüde hesaba katar. Tersine, küçük α değerleri için tahmin edilen değer önceki tahmine en yakın olanıdır. Veri eskidikçe ağırlıkların katlanarak azaldığı, tüm geçmiş gözlemlerin ağırlıklı ortalaması olarak düşünülebilir.

Tablo 2.1

Düzeltme sabitlerinin farklı değerlerinin etkisinin karşılaştırılması

α sabiti veri analizinin anahtarıdır. Tahmin edilen değerlerin kararlı olması ve rastgele sapmaların düzeltilmesi gerekiyorsa, küçük bir α değeri seçmek gerekir. Gözlem spektrumundaki değişikliklere hızlı bir tepki verilmesi gerekiyorsa, α sabitinin büyük bir değeri anlamlıdır.

2. Üstel düzeltmenin pratik bir örneği.

Şirketin yedi yıllık satış hacmi (bin adet) verileri sunulmakta olup, düzeltme sabiti 0,1 ve 0,6 olarak alınmıştır. 7 yıllık veriler test kısmını oluşturur; bunlara dayanarak, her modelin etkililiğini değerlendirmek gerekir. Serilerin üstel düzleştirilmesi için başlangıç ​​değeri 500'e eşit alınır (gerçek verilerin ilk değeri veya 3-5 dönemlik ortalama değeri 2. çeyrek için düzeltilmiş değere kaydedilir).

Tablo 2.2

İlk veriler

Zaman	Gerçek değer (gerçek)	Düzleştirilmiş değer	Tahmin hatası
yıl	çeyrek	0,1	0,1
excel	formüle göre
			#YOK		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

Şek. Şekil 2.1, 0,1'e eşit bir düzeltme sabiti ile üstel düzeltmeye dayalı bir tahmin sunmaktadır.

Pirinç. 2.1. Üstel yumuşatma

Çözüm Excel'de.

1. “Araçlar” – “Veri Analizi” menüsünü seçin. Analiz Araçları listesinde Üstel Düzeltme'yi seçin. Eğer “Servis” menüsünde veri analizi yoksa “Analiz Paketi”ni kurmanız gerekmektedir. Bunu yapmak için, "Seçenekler"de "Ayarlar" öğesini bulun ve beliren iletişim kutusunda "Analiz paketi" kutusunu işaretleyin ve Tamam'a tıklayın.

2. Şekilde gösterilen iletişim kutusu ekranda açılacaktır. 2.2.

3. "Giriş aralığı" alanına kaynak verinin değerlerini (artı bir boş hücre) girin.

4. "Etiketler" onay kutusunu seçin (giriş aralığı sütun adlarını içeriyorsa).

5. "Zayıflama faktörü" alanına (1-α) değerini girin.

6. “Giriş aralığı” alanına sonuç değerlerini görmek istediğiniz hücrenin değerini girin.

7. Otomatik olarak oluşturmak için “Seçenekler” - “Grafik çıktısı” onay kutusunu işaretleyin.

Pirinç. 2.2. Üstel düzeltme için iletişim kutusu

3. Laboratuvar ödevi.

Petrol üreten bir işletmenin 2 yıllık üretim hacimlerine ilişkin ilk veriler Tablo 2.3'te sunulmaktadır:

Tablo 2.3

İlk veriler

Serinin üstel düzgünleştirmesini gerçekleştirin. Üstel yumuşatma katsayısını 0,1'e eşit alın; 0,2; 0.3. Elde edilen sonuçları yorumlayın. Ek 1'de sunulan istatistikleri kullanabilirsiniz.

Tahmin sorunları, belirli verilerde zaman içinde meydana gelen değişikliklere (satışlar, talep, arz, GSYİH, karbon emisyonları, nüfus...) ve bu değişikliklerin geleceğe yansıtılmasına dayanır. Ne yazık ki, geçmiş verilerden belirlenen trendler pek çok öngörülemeyen durum nedeniyle sekteye uğrayabilir. Dolayısıyla gelecekteki veriler geçmişte olanlardan önemli ölçüde farklı olabilir. Bu, tahmin etme sorunudur.

Bununla birlikte, yalnızca geleceği tahmin etmeye çalışmanıza değil, aynı zamanda tahminle ilgili her şeyin belirsizliğini ölçmenize de olanak tanıyan (üstel düzeltme adı verilen) teknikler vardır. Tahmin aralıklarının oluşturulması yoluyla belirsizliğin sayısal olarak ifade edilmesi gerçekten paha biçilmezdir, ancak tahmin dünyasında sıklıkla göz ardı edilir.

Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler

İlk veriler

Diyelim ki “Yüzüklerin Efendisi” hayranısınız ve üç yıldır kılıç yapıp satıyorsunuz (Şekil 1). Satışları grafiksel olarak gösterelim (Şekil 2). Talep üç yılda ikiye katlandı; belki bu bir trenddir? Bu fikre biraz sonra tekrar döneceğiz. Grafikte mevsimselliğin işareti olabilecek birkaç tepe ve vadi var. Spesifik olarak zirveler 12, 24 ve 36 numaralı aylarda, yani Aralık ayında meydana gelir. Ama belki bu sadece bir tesadüftür? Hadi öğrenelim.

Basit üstel yumuşatma

Üstel düzeltme yöntemleri, yeni gözlemlerin eski gözlemlerden daha ağır olduğu geçmiş verilerden geleceğin tahmin edilmesine dayanır. Bu ağırlıklandırma yumuşatma sabitleri sayesinde mümkündür. Deneyeceğimiz ilk üstel düzeltme yöntemine basit üstel düzeltme (SES) adı verilir. Yalnızca bir yumuşatma sabiti kullanır.

Basit üstel düzeltme, zaman serisi verilerinizin iki bileşenden oluştuğunu varsayar: bir düzey (veya ortalama) ve bu değer civarında bir miktar hata. Herhangi bir trend ya da mevsimsel dalgalanma yok; sadece talebin dalgalandığı, yer yer küçük hatalarla çevrelenmiş bir seviye var. TEC, daha yeni gözlemlere öncelik vererek bu düzeyde kaymalara neden olabilir. Formül dilinde,

t zamanındaki talep = seviye + t zamanındaki seviye civarında rastgele hata

Peki yaklaşık seviye değerini nasıl bulacaksınız? Tüm zaman değerlerinin aynı değere sahip olduğunu kabul edersek, onların ortalama değerini hesaplamamız gerekir. Ancak bu kötü bir fikir. Son gözlemlere daha fazla ağırlık verilmelidir.

Birkaç seviye oluşturalım. Haydi hesaplayalım temel çizgi ilk yılda:

düzey 0 = ilk yıl için ortalama talep (1-12. aylar)

Kılıç talebi için 163'tür. 1. ay için talep tahmini olarak seviye 0'ı (163) kullanıyoruz. 1. ay için talep 165, yani 0 seviyesinin 2 kılıç üzerindedir. Temel yaklaşımı güncellemeye değer. Basit üstel düzeltmenin denklemi şöyledir:

seviye 1 = seviye 0 + birkaç yüzde × (talep 1 – seviye 0)

seviye 2 = seviye 1 + birkaç yüzde × (talep 2 – seviye 1)

Vesaire. “Yüzde birkaç”a yumuşatma sabiti denir ve alfa ile gösterilir. Bu, %0 ila %100 (0 ila 1) arasında herhangi bir sayı olabilir. Alfa değerinin nasıl seçileceğini daha sonra öğreneceksiniz. Genel olarak, zaman içindeki farklı noktalara ilişkin değer:

Mevcut dönemin seviyesi = önceki dönemin seviyesi +
alfa × (mevcut talep dönemi – önceki dönemin seviyesi)

Gelecekteki talep son hesaplanan seviyeye eşittir (Şekil 3). Alfanın ne olduğunu bilmediğiniz için başlangıç ​​olarak C2 hücresini 0,5'e ayarlayın. Model oluşturulduktan sonra, hatanın karesi toplamı - E2 (veya standart sapma - F2) minimum olacak şekilde bir alfa bulun. Bunu yapmak için seçeneği çalıştırın Çözüm bulma. Bunu yapmak için menüye gidin VERİ –> Çözüm bulma ve pencereye yükleyin Çözüm Arama Seçenekleri gerekli değerler (Şekil 4). Tahmin sonuçlarını bir grafikte görüntülemek için önce A6:B41 aralığını seçin ve basit bir çizgi grafik oluşturun. Daha sonra diyagrama sağ tıklayın ve seçeneği seçin Verileri seçin. Açılan pencerede ikinci bir satır oluşturun ve A42:B53 aralığındaki tahminleri bu satıra ekleyin (Şekil 5).

Belki bir trendin vardır

Bu varsayımı kontrol etmek için aşağıdakileri yerine getirmek yeterlidir: doğrusal regresyon talep verileri altında ve bu trend çizgisinin yükselişi üzerinde bir t testi gerçekleştirin ('deki gibi). Çizginin eğimi sıfır değilse ve istatistiksel olarak anlamlıysa (Student t-testi kullanılarak yapılan testte değer R 0,05'ten küçükse, veriler bir eğilime sahiptir (Şekil 6).

10 tanımlayıcı istatistik döndüren LINEST işlevini (bu işlevi daha önce kullanmadıysanız tavsiye ederim) ve setin tamamını değil yalnızca gerekli üç istatistiği "çekmenizi" sağlayan INDEX işlevini kullandık. Eğimin 2,54 olduğu ortaya çıktı ve bu anlamlı çünkü Öğrenci testi 0,000000012'nin 0,05'ten önemli ölçüde az olduğunu gösterdi. Yani bir trend var ve geriye sadece onu tahmine dahil etmek kalıyor.

Trend Ayarlaması ile Holt Üstel Düzeltme

Genellikle çift üstel yumuşatma olarak adlandırılır çünkü tek bir yumuşatma parametresi (alfa) değil iki tane vardır. Bir zaman dizisinin doğrusal bir eğilimi varsa, o zaman:

t süresi talebi = seviye + t × trend + t zamanındaki rastgele seviye sapması

Trend Ayarlaması ile Holt Üstel Düzeltme'nin iki yeni denklemi vardır; biri zaman içinde hareket eden seviye için, diğeri ise trend için. Seviye denklemi bir yumuşatma parametresi alfa içerir ve eğilim denklemi gama içerir. Yeni seviye denklemi şöyle görünür:

seviye 1 = seviye 0 + trend 0 + alfa × (talep 1 – (seviye 0 + trend 0))

dikkat seviye 0 + trend 0 başlangıç ​​değerlerinden 1. aya kadar yalnızca tek adımlık bir tahmindir, yani talep 1 – (seviye 0 + trend 0)- bu tek adımlı bir sapmadır. Böylece, temel düzey yaklaşım denklemi şu şekilde olacaktır:

cari dönem seviyesi = önceki dönemin seviyesi + önceki dönemin trendi + alfa × (mevcut dönemin talebi – (önceki dönemin seviyesi) + önceki dönemin trendi))

Trend güncelleme denklemi:

mevcut dönemin trendi = önceki dönemin trendi + gama × alfa × (mevcut dönemin talebi – (önceki dönemin seviyesi) + önceki dönemin trendi))

Excel'de Holt yumuşatma benzer basit yumuşatma(Şekil 7) ve yukarıdaki gibi amaç, karesel hataların toplamını en aza indirerek iki katsayı bulmaktır (Şekil 8). Başlangıç ​​seviye ve trend değerlerini elde etmek için (Şekil 7'deki C5 ve D5 hücrelerinde), satışların ilk 18 ayına ait bir grafik çizin ve buna denklemli bir trend çizgisi ekleyin. C5 ve D5 hücrelerine 0,8369 başlangıç ​​trend değerini ve 155,88 başlangıç ​​düzeyini girin. Tahmin verileri grafiksel olarak sunulabilir (Şekil 9).

Pirinç. 7. Trend ayarlaması ile Holt üstel düzeltme; Resmi büyütmek için üzerine sağ tıklayın ve seçin Resmi yeni sekmede aç

Verilerdeki kalıpları belirleme

Tahmine dayalı bir modelin gücünü test etmenin bir yolu vardır - hataları bir adım (veya birkaç adım) kaydırılarak kendileriyle karşılaştırın. Sapmalar rastgele ise model iyileştirilemez. Ancak talep verilerinde mevsimsel bir faktör söz konusu olabilir. Başka bir dönemin kendi versiyonuyla ilişkilendirilen bir hata terimi kavramına otokorelasyon denir (otokorelasyon hakkında daha fazla bilgi için bkz.). Otokorelasyonu hesaplamak için her döneme ilişkin tahmin hatası verileriyle başlayın (Şekil 7'deki F sütunu, Şekil 10'daki B sütununa taşınır). Daha sonra tanımlayın ortalama hata tahmini (Şekil 10, B39 hücresi; hücredeki formül: =ORTALAMA(B3:B38)). C sütununda tahmin hatasının ortalamadan sapmasını hesaplayın; C3 hücresindeki formül: =B3-B$39. Daha sonra, C sütununu sırayla bir sütun sağa ve bir satır aşağı kaydırın. D39 hücrelerindeki formüller: =TOPLAÇARP($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

D:O sütunlarından birinin C sütunuyla "senkron" olması ne anlama gelir? Örneğin, C ve D sütunları eşzamanlıysa, birinde negatif olan bir sayının diğerinde negatif, yani pozitif olması gerekir. birinde olumlu, arkadaşta olumlu. Bu, iki sütunun çarpımlarının toplamının anlamlı olacağı anlamına gelir (farklılar birikir). Veya hangisi aynı şeydir? daha yakın değer D41:O41 ila sıfır aralığında, sütunun (sırasıyla D'den O'ya) C sütunu ile korelasyonu o kadar düşük olur (Şekil 11).

Bir otokorelasyon daha yüksek kritik değer. Bir yıl kaydırılan hata kendisiyle ilişkilidir. Bu, 12 aylık bir mevsimsel döngü anlamına gelir. Ve bu şaşırtıcı değil. Talep grafiğine baktığınızda (Şekil 2), talebin her Noel'de zirve yaptığı, Nisan-Mayıs aylarında ise düşüş yaşandığını görüyoruz. Mevsimselliği hesaba katan bir tahmin tekniğini ele alalım.

Holt-Winters çarpımsal üstel yumuşatma

Bu yönteme çarpımsal (çarpma - çarpmadan) denir, çünkü mevsimselliği hesaba katmak için çarpmayı kullanır:

t zamanındaki talep = (seviye + t × trend) × t zamanındaki mevsimsel düzeltme × hesaba katamadığımız kalan düzensiz ayarlamalar

Holt-Winters yumuşatma aynı zamanda üçlü üstel yumuşatma olarak da adlandırılır çünkü üç yumuşatma parametresine (alfa, gama ve delta) sahiptir. Örneğin 12 aylık bir mevsimsel döngü varsa:

39. aya ilişkin tahmin = (seviye 36 + 3 × trend 36) x mevsimsellik 27

Verileri analiz ederken bir veri serisinde trendin ne olduğunu, mevsimselliğin ne olduğunu bulmak gerekir. Holt-Winters yöntemini kullanarak hesaplamalar yapmak için şunları yapmalısınız:

• Hareketli ortalama yöntemini kullanarak geçmiş verileri düzgünleştirin.
• Sezonsallığa ilişkin kaba bir tahmin elde etmek için bir zaman serisi verisinin düzeltilmiş versiyonunu orijinaliyle karşılaştırın.
• Sezonluk bileşen olmadan yeni veriler alın.
• Bu yeni verilere dayanarak seviye ve trend tahminlerini bulun.

Ham verilerle başlayın (Şekil 12'deki A ve B sütunları) ve hareketli ortalama düzeltilmiş değerlerle birlikte C sütununu ekleyin. Sezonsallığın 12 aylık döngüleri olduğundan 12 aylık bir ortalamanın kullanılması mantıklıdır. Bu ortalamada ufak bir sorun var. 12 çift sayıdır. 7. aydaki talebi düzeltirseniz, bunu 1. aydan 12. aya kadar mı yoksa 2. aydan 13. aya kadar olan ortalama talep olarak mı düşünmelisiniz? Bu zorluğun üstesinden gelmek için talebi "2x12 hareketli ortalama" kullanarak yumuşatmanız gerekir. Yani, 1 ila 12. aylar ve 2 ila 13. aylar arasındaki iki ortalamanın yarısını alın. C8 hücresindeki formül: =(ORTALAMA(B3:B14)+ORTALAMA(B2:B13))/2.

Yeterli önceki ve sonraki dönemler olmadığından 1-6 ve 31-36 aylar için düzeltilmiş veriler elde edilememektedir. Açıklık sağlamak için orijinal ve düzeltilmiş veriler şemaya yansıtılabilir (Şekil 13).

Şimdi D sütununda orijinal değeri düzeltilmiş değere bölün ve yaklaşık mevsimsel ayarlama değerini elde edin (Şekil 12'deki D sütunu). D8 hücresindeki formül =B8/C8'dir. 12 ve 24. aylarda (Aralık) normal talebin %20 üzerinde ani artışlar görülürken, ilkbaharda düşüşlerin gözlendiğine dikkat edin. Bu yumuşatma tekniği size iki tane verdi nokta tahminleri her ay için (toplamda 24 ay). E Sütunu bu iki faktörün ortalamasını bulur. E1 hücresindeki formül: =ORTALAMA(D14,D26). Açıklık sağlamak için mevsimsel dalgalanmaların seviyesi grafiksel olarak sunulabilir (Şekil 14).

Mevsimsellikten arındırılmış veriler artık alınabiliyor. G1 hücresindeki formül şöyledir: =B2/E2. G sütunundaki verilere dayanarak bir grafik oluşturun, bunu bir trend çizgisiyle destekleyin, trend denklemini grafikte görüntüleyin (Şekil 15) ve sonraki hesaplamalarda katsayıları kullanın.

Şekil 2'de gösterildiği gibi yeni bir sayfa oluşturun. 16. Şekil 2'deki E5:E16 aralığındaki değerleri değiştirin. 12 alan E2:E13. Şekil 2'deki trend çizgisi denkleminden C16 ve D16 değerlerini alın. 15. Düzeltme sabitlerinin değerlerini 0,5'ten başlayacak şekilde ayarlayın. 17. satırdaki değerleri 1'den 36'ya kadar olan ay aralığını kapsayacak şekilde genişletin. Çalıştır Çözüm bulma yumuşatma katsayılarını optimize etmek için (Şekil 18). B53 hücresindeki formül şu şekildedir: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Şimdi yapılan tahmindeki otokorelasyonları kontrol etmeniz gerekiyor (Şekil 18). Tüm değerler üst ve alt sınırlar arasında yer aldığından modelin talep değerlerinin yapısını anlama konusunda iyi bir iş çıkardığını anlıyorsunuz.

Tahmin için bir güven aralığı oluşturma

Yani tamamen işe yarayan bir tahminimiz var. Gerçekçi varsayımlarda bulunmak için kullanılabilecek üst ve alt sınırları nasıl belirlersiniz? Daha önce karşılaştığınız Monte Carlo simülasyonu (ayrıca bakınız) bu konuda size yardımcı olacaktır. Buradaki fikir, talep davranışına ilişkin gelecek senaryoları oluşturmak ve bunların %95'inin dahil olduğu grubu belirlemektir.

Tahmini Excel sayfasından B53:B64 hücrelerinden kaldırın (bkz. Şekil 17). Simülasyona göre talebi oraya kaydedeceksiniz. İkincisi NORMINV işlevi kullanılarak oluşturulabilir. Gelecek aylar için sadece ortalamayı (0), standart dağılımı ($H$2 hücresinden 10,37) ve rastgele sayı 0'dan 1'e. Fonksiyon sapmayı çan şeklindeki bir eğriye karşılık gelen bir olasılıkla döndürecektir. Tek adımlı hata simülasyonunu G53 hücresine yerleştirin: =NORMIN(RAND(),0,H$2). Bu formülü G64'e kadar genişlettiğinizde, 12 aylık tek adımlı tahmin için tahmin hatası simülasyonları elde edersiniz (Şekil 19). Simülasyon değerleriniz şekilde gösterilenlerden farklı olacaktır (bu yüzden bu bir simülasyondur!).

Tahmin belirsizliğiyle seviyeyi, trendi ve mevsimsel katsayısı güncellemek için ihtiyacınız olan her şeye sahipsiniz. Yani C52:F52 hücrelerini seçin ve bunları 64. satıra kadar uzatın. Sonuç olarak, simüle edilmiş bir tahmin hatasına ve tahminin kendisine sahip olursunuz. Tam tersine dayanarak talep değerlerini tahmin edebiliriz. Formülü B53 hücresine ekleyin: =F53+G53 ve B64'e kadar uzatın (Şekil 20, aralık B53:F64). Artık tahmini her seferinde güncelleyerek F9 düğmesine basabilirsiniz. 1000 simülasyonun sonuçlarını A71:L1070 hücrelerine yerleştirin, her seferinde değerleri B53:B64 aralığından A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070 aralığına aktarın. Bu sizi rahatsız ediyorsa, biraz VBA kodu yazın.

Artık her ay için 1000 senaryonuz var ve %95 güven aralığının ortasındaki üst ve alt sınırları elde etmek için YÜZDEBİRLİK fonksiyonunu kullanabilirsiniz. A66 hücresinde formül şu şekildedir: =YÜZDEBİRLİK(A71:A1070,0,975) ve A67 hücresinde: =YÜZDEBİRLİK(A71:A1070,0,025).

Her zamanki gibi, netlik sağlamak amacıyla veriler grafiksel olarak sunulabilir (Şekil 21).

Grafikte iki ilginç nokta var:

• Hata zamanla daha da genişler. Bu mantıklı. Belirsizlik her geçen ay birikir.
• Aynı şekilde talebin mevsimsel olarak arttığı dönemlerde düşen parçalarda da hata artıyor. Sonraki düşüşüyle ​​​​hata küçülür.

John Foreman'ın kitabından uyarlanarak yazılmıştır. – M.: Alpina Yayınevi, 2016. – S. 329–381

Üstel düzeltme daha karmaşık bir ağırlıklı ortalama yöntemidir. Her yeni tahmin, önceki tahmin artı bu tahmin ile serinin o noktadaki gerçek değeri arasındaki farkın yüzdesine dayanır.

F t = F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

Nerede: ft – t dönemi için tahmin

Ft-1– t-1 dönemi için tahmin

– yumuşatma sabiti

Bir t... 1 – döneme ilişkin fiili talep veya satışlar t-1

Düzeltme sabiti tahmin hatasının bir yüzdesidir. Her yeni tahmin, önceki tahmin artı önceki hatanın bir yüzdesine eşittir.

Tahmin ayarlamasının hataya duyarlılığı yumuşatma sabiti tarafından belirlenir; değeri 0'a ne kadar yakınsa tahmin, tahmin hatalarına o kadar yavaş uyum sağlar (yani yumuşatma derecesi o kadar büyük olur). Tersine, değer 1,0'a yaklaştıkça hassasiyet artar ve yumuşatma azalır.

Düzeltme sabitinin seçimi büyük ölçüde özgür seçim veya deneme yanılma meselesidir. Amaç, bir yandan tahminin zaman serisi verilerindeki gerçek değişikliklere yeterince duyarlı kalmasını sağlayacak, diğer yandan da rastgele faktörlerin neden olduğu sıçramaları iyi bir şekilde düzeltecek bir yumuşatma sabiti seçmektir. Yaygın olarak kullanılan değerler 0,05 ila 0,50 arasındadır.

Üstel düzeltme, kısmen minimum veri depolama gereksinimleri ve hesaplama kolaylığı nedeniyle ve kısmen de önem katsayıları sisteminin basitçe değeri değiştirilerek değiştirilebilme kolaylığı nedeniyle en yaygın kullanılan tahmin yöntemlerinden biridir.

Tablo 3. Üstel düzeltme

Dönem	Gerçek talep	a= 0,1	a = 0,4
tahmin etmek	hata	tahmin etmek	hata
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

Trend yöntemleri

İki tane var önemli yöntemler Bir eğilim mevcut olduğunda tahminler geliştirmek için kullanılabilir. Bunlardan biri trend denkleminin kullanımını içeriyor; bir diğer – üstel yumuşatmanın genişletilmesi.

Trend denklemi:

Doğrusal denklem trendler şöyle görünür:

Y t = a + δ∙ t (3)

Nerede: T – kesin dönem sayısı zaman zaman t= 0;

Yt– dönem tahmini T;

α - Anlam Yt en t=0

δ – çizginin eğimi.

Doğrudan katsayılar α Ve δ , aşağıdaki iki denklem kullanılarak belirli bir döneme ait istatistiksel verilerden hesaplanabilir:

δ= , (4)

α = , (5)

Nerede: N – dönem sayısı,

sen– zaman serisi değeri

Tablo 3. Trend düzeyi.

Dönem (t)	Yıl	Satış seviyesi (y)	t∙y	t 2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
Toplam:		-	60 400	192 200

Trend çizgisi katsayılarını hesaplayalım:

δ=

Yani trend çizgisi Y t = α + δ ∙ t

Bizim durumumuzda, Y t = 43 900+1 100 ∙t,

Nerede t = 0 0 periyodu için.

6 (2015) ve 7 (2016) dönemleri için bir denklem oluşturalım:

– 2015 yılı tahmini.

Y 7 = 43.900+1.100*7= 51.600

Bir grafik oluşturalım:

Trendlerin üstel yumuşatılması

Zaman serisi bir eğilimi ortaya çıkardığında basit bir üstel düzeltme biçimi kullanılabilir. Bu varyasyona trendli üstel yumuşatma veya bazen çift yumuşatma adı verilir. Yalnızca veriler ortalama bir değer civarında değiştiğinde veya ani veya kademeli değişikliklere sahip olduğunda kullanılan basit üstel düzeltmeden farklıdır.

Bir seri bir trend gösteriyorsa ve basit üstel düzeltme kullanılıyorsa, o zaman tüm tahminler trendin gerisinde kalacaktır. Örneğin veriler artarsa ​​her tahmin eksik tahmin edilecektir. Aksine, verileri azaltmak aşırı tahmin edilen bir tahmine neden olur. Verilerin grafiksel olarak görüntülenmesi, çift yumuşatmanın tekli yumuşatmaya ne zaman tercih edilebileceğini gösterebilir.

Trend ayarlı tahmin (TAF) iki unsurdan oluşur: düzeltilmiş bir hata ve bir trend faktörü.

TAF t +1 = S t + T t, (6)

Nerede: S t – düzleştirilmiş tahmin;

T t – mevcut eğilimin değerlendirilmesi

VE S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t = T t-1 + α 2 (TAF t –TAF t-1 – T t-1) (8)

Nerede a 1, a 2– sabitlerin yumuşatılması.

Bu yöntemi kullanmak için α 1, α 2 değerlerini (normal seçimle) seçmeniz ve ilk tahmin ve eğilimlerin değerlendirilmesi.

Tablo 4. Üstel yumuşatma eğilimi.

Basit ve mantıksal olarak net bir zaman serisi modeli şuna benzer:

Nerede B bir sabittir ve ε - rastgele hata. Devamlı B her zaman aralığında nispeten sabittir ancak zaman içinde yavaş yavaş da değişebilir. Anlamı vurgulamanın sezgisel yollarından biri B Verilerin en son gözlemlerine sondan bir önceki gözlemlerden daha fazla ağırlık atandığı, sondan bir önceki gözlemlere sondan bir önceki gözlemlerden daha fazla ağırlık atandığı hareketli ortalama yumuşatma kullanmaktır. Basit üstel yumuşatma tam olarak bu şekilde tasarlanmıştır. Burada, eski gözlemlere katlanarak azalan ağırlıklar atanır ve hareketli ortalamanın aksine, yalnızca belirli bir pencereye düşenler değil, serinin önceki tüm gözlemleri dikkate alınır. Basit üstel düzeltmenin tam formülü şöyledir:

Bu formül yinelemeli olarak uygulandığında, her yeni düzeltilmiş değer (aynı zamanda bir tahmindir), mevcut gözlemin ve düzeltilmiş serinin ağırlıklı ortalaması olarak hesaplanır. Açıkçası, yumuşatma sonucu parametreye bağlıdır α . Eğer α 1'e eşitse önceki gözlemler tamamen göz ardı edilir. Eğer a 0 ise mevcut gözlemler dikkate alınmaz. Değerler α 0 ile 1 arası ara sonuçları verir. Ampirik araştırma basit üstel düzgünleştirmenin sıklıkla yeterli sonuçlar verdiğini gösterdi doğru tahmin.

Pratikte genellikle alınması tavsiye edilir α 0,30'dan az. Ancak 0,30'dan büyük bir değerin seçilmesi bazen daha doğru bir tahmin sağlar. Bu, değerlendirmenin daha iyi olduğu anlamına gelir optimum değer α genel öneriler yerine gerçek verilere dayanmaktadır.

Uygulamada, en uygun yumuşatma parametresi genellikle bir ızgara arama prosedürü kullanılarak bulunur. Olası parametre değerleri aralığı belirli bir adımla bir ızgaraya bölünmüştür. Örneğin, bir değerler tablosunu düşünün α =0,1 ila α = 0,1'lik artışlarla 0,9. Daha sonra bu değer seçilir α , bunun için artıkların karelerinin toplamı (veya ortalama kareler) (gözlenen değerler eksi ileri adım tahminleri) minimumdur.

Microsoft Excel Tipik olarak basit üstel düzeltme yöntemine dayalı ampirik zaman serisinin düzeylerini düzeltmek için kullanılan bir Üstel Düzeltme işlevi vardır. Bu işlevi çağırmak için menü çubuğunda Araçlar - Veri Analizi komutunu seçin. Ekranda Üstel düzeltme değerini seçmeniz gereken Veri Analizi penceresi açılacaktır. Sonuç olarak, bir iletişim kutusu görünecektir Üstel yumuşatma, Şekil 2'de sunulmuştur. 11.5.

Üstel Düzeltme iletişim kutusunda, yukarıda tartışılan Hareketli Ortalama iletişim kutusundakiyle hemen hemen aynı parametreler ayarlanır.

1. Giriş Aralığı - incelenmekte olan parametrenin değerlerini içeren hücre aralığı bu alana girilir.

2. Etiketler - giriş aralığındaki ilk satır (sütun) bir başlık içeriyorsa bu seçenek onay kutusu seçilir. Başlık yoksa onay kutusunun işareti kaldırılmalıdır. Bu durumda çıktı aralığı verileri için standart adlar otomatik olarak oluşturulacaktır.

3. Sönümleme faktörü - seçilen üstel düzeltme katsayısının değeri bu alana girilir α . Varsayılan değer: α = 0,3.

4. Çıkış seçenekleri - bu grupta Çıkış Aralığı alanında çıkış verileri için hücre aralığını belirtmenin yanı sıra, Grafik Çıkışı seçeneğini işaretleyerek grafiğin otomatik olarak oluşturulmasını talep edebilir ve kontrol ederek standart hataları hesaplayabilirsiniz. Standart Hatalar seçeneği.

Fonksiyonu kullanalım Üstel yumuşatma yukarıda tartışılan sorunu yeniden çözmek için, ancak basit üstel düzeltme yöntemini kullanarak. Düzgünleştirme parametrelerinin seçilen değerleri Şekil 1'de sunulmaktadır. 11.5. Şek. 11.6 hesaplanan göstergeleri gösterir ve Şekil 11.6. 11.7 - oluşturulmuş grafikler.

Konu 3. Trend modellerine dayalı zaman serilerinin yumuşatılması ve tahmin edilmesi

Amaç Bu konunun incelenmesi, model oluşturma alanında 080507 uzmanlığında yöneticilerin eğitimi için temel bir temel oluşturmaktır. çeşitli görevlerİktisat alanında, öğrencilerde tahmin problemlerini belirleme ve çözmeye yönelik sistematik bir yaklaşım geliştirmek. Önerilen kurs, uzmanların pratik çalışmalara hızlı bir şekilde uyum sağlamalarına, uzmanlık alanlarındaki bilimsel ve teknik bilgi ve literatürde daha iyi gezinmelerine ve çalışmalarında ortaya çıkan kararları verme konusunda daha güvenli olmalarına olanak tanıyacaktır. Ana görevler Konuyu inceleyen öğrenciler: Tahmin modellerinin kullanımı hakkında derinlemesine teorik bilgi edinen öğrenciler, araştırma çalışmalarını gerçekleştirirken sürdürülebilir beceriler edinmeleri, çok boyutlu olanlar da dahil olmak üzere modellerin oluşturulmasıyla ilgili karmaşık bilimsel problemleri çözme yeteneği, Elde edilen sonuçları mantıksal olarak analiz edin ve kabul edilebilir kararlar bulmanın yollarını belirleyin.

Yeterli basit yöntem Gelişim trendlerini belirlemek zaman serisini yumuşatıyor, yani gerçek seviyeleri orijinal verilerden daha küçük değişikliklere sahip hesaplanmış seviyelerle değiştiriyor. Karşılık gelen dönüşüm denir filtreleme. Birkaç yumuşatma yöntemine bakalım.

3.1. Basit ortalamalar

Düzeltmenin amacı geçmiş gözlemlere dayanarak sonraki dönemler için bir tahmin modeli oluşturmaktır. Basit ortalamalar yönteminde değişkenin değerleri başlangıç ​​verileri olarak alınır. e zamanın bazı anlarında T ve tahmin değeri bir sonraki zaman dilimi için basit bir ortalama olarak tanımlanır. Hesaplama formülü benziyor

Nerede N gözlem sayısı.

Yeni bir gözlem mevcut olduğunda, bir sonraki döneme ilişkin tahmin yapılırken yeni elde edilen tahmin dikkate alınmalıdır. Bu yöntemi kullanırken tahmin, önceki tüm verilerin ortalaması alınarak yapılır, ancak bu tür tahminin dezavantajı, trend modellerinde kullanımının zorluğudur.

3.2. Hareketli ortalama yöntemi

Bu yöntem, bir seriyi oldukça düzgün bir trend ile rastgele bir bileşenin toplamı olarak temsil etmeye dayanmaktadır. Yöntem, yerel bir yaklaşıma dayalı teorik bir değerin hesaplanması fikrine dayanmaktadır. Bir noktada trend tahmini oluşturmak için T zaman aralığındaki seri değerlerine dayalı Serinin teorik değerini hesaplar. Serilerin yumuşatılması uygulamasında en yaygın durum, aralığın elemanları için tüm ağırlıkların birbirine eşittir. Bu nedenle bu yönteme denir hareketli ortalama yöntemi,çünkü prosedürü gerçekleştirirken genişliğinde bir pencere (2 m + 1) tüm sıra boyunca. Pencere genişliği genellikle tek sayı olarak alınır, çünkü teorik değer şu şekilde hesaplanır: merkezi önem: terim sayısı k = 2m + 1 anın solunda ve sağında aynı sayıda seviye ile T.

Bu durumda hareketli ortalamayı hesaplama formülü şu şekildedir:

Hareketli ortalamanın varyansı şu şekilde tanımlanır: σ2 /k, nereden geçiyor σ2 serinin orijinal terimlerinin dağılımını gösterir ve k yumuşatma aralığı dolayısıyla, yumuşatma aralığı ne kadar büyük olursa, verilerin ortalaması o kadar güçlü olur ve tanımlanan eğilim o kadar az değişken olur. Çoğu zaman yumuşatma, orijinal serinin üç, beş ve yedi üyesi kullanılarak gerçekleştirilir. Bu durumda, hareketli ortalamanın aşağıdaki özellikleri dikkate alınmalıdır: Sabit uzunlukta periyodik dalgalanmalara sahip bir seriyi ele alırsak, o zaman döneme eşit veya bunun bir katına eşit bir düzeltme aralığına sahip hareketli ortalamaya dayalı düzeltme yaparken, dalgalanmalar tamamen ortadan kalkacaktır. Çoğu zaman, hareketli ortalamaya dayalı düzeltme, seriyi o kadar güçlü bir şekilde dönüştürür ki, tanımlanan gelişme eğilimi yalnızca en çok görülür. genel taslak ve daha küçük ancak analiz için önemli olan ayrıntılar (dalgalar, kıvrımlar vb.) kaybolur; Düzleştirmeden sonra, küçük dalgalar bazen yön değiştirerek "zirvelerin" yerine zıt "deliklerin" görünmesine neden olabilir veya bunun tersi de geçerlidir. Bütün bunlar, basit bir hareketli ortalamanın kullanımında dikkatli olmayı gerektirir ve bizi daha incelikli açıklama yöntemleri aramaya zorlar.

Hareketli ortalama yöntemi ilk ve sonuncu için trend değerleri sağlamaz M serinin üyeleri. Bu dezavantaj özellikle sıra uzunluğunun kısa olduğu durumlarda fark edilir.

3.3. Üstel yumuşatma

Üstel ortalama y t verilerin eskime derecesini dikkate alan asimetrik ağırlıklı hareketli ortalamanın bir örneğidir: seri seviyesinin düzeltilmiş değerini hesaplamak için formüle daha az ağırlığa sahip eski bilgiler dahil edilir

Burada — üstel ortalama, serinin gözlemlenen değerinin değiştirilmesi y t(düzleştirme bugüne kadar alınan tüm verileri içerir T), α mevcut (en yeni) gözlemin ağırlığını karakterize eden yumuşatma parametresi; 0< α <1.

Yöntem, seviye ve eğimdeki rastgele değişikliklerle durağan olmayan zaman serilerini tahmin etmek için kullanılır. Zamanın şimdiki anından geçmişe doğru ilerledikçe, serinin karşılık gelen üyesinin ağırlığı hızlı bir şekilde (üssel olarak) azalır ve değer üzerinde herhangi bir etkisi pratik olarak sona erer.

Son ilişkinin üstel ortalamanın aşağıdaki yorumunu vermemize izin verdiğini elde etmek kolaydır: — seri değer tahmini y t, o zaman fark tahmin hatasıdır. Böylece bir sonraki noktaya ilişkin tahmin t+1şu anda bilinenleri dikkate alıyor T tahmin hatası.

Yumuşatma parametresi α bir ağırlık faktörüdür. Durumunda α birliğe yakınsa tahmin, son tahminin hatasının büyüklüğünü hesaba katar. Küçük değerlerde α tahmin edilen değer önceki tahmine yakındır. Bir yumuşatma parametresinin seçilmesi oldukça karmaşık bir sorundur. Genel hususlar aşağıdaki gibidir: Yöntem oldukça düzgün serileri tahmin etmek için iyidir. Bu durumda serinin son üçte birinden tahmin edilen bir adım ileri tahmin hatasını en aza indirerek bir yumuşatma sabiti seçebilirsiniz. Bazı uzmanlar yumuşatma parametresinin büyük değerlerinin kullanılmasını önermemektedir. Şek. Şekil 3.1'de üstel düzeltme yöntemi kullanılarak düzleştirilmiş bir seri örneği gösterilmektedir. α= 0,1.

Pirinç. 3.1. Üstel düzeltmenin sonucu α =0,1
(1 orijinal seri; 2 düzeltilmiş seri; 3 kalan)

3.4. Üstel yumuşatma
trendi dikkate alarak (Holt yöntemi)

Bu yöntem, zaman serisinde mevcut olan yerel doğrusal eğilimi dikkate alır. Zaman serisinde yükseliş eğilimi varsa mevcut seviye değerlendirmesinin yanı sıra eğim değerlendirmesi de gereklidir. Holt tekniğinde her parametre için farklı sabitler kullanılarak seviye ve eğim değerleri doğrudan düzeltilir. Sürekli yumuşatma, mevcut seviyeyi ve eğimi tahmin etmenize olanak tanır ve yeni gözlemler ortaya çıktığında bunları hassaslaştırır.

Holt yöntemi üç hesaplama formülü kullanır:

1. Üstel olarak düzeltilmiş seriler (mevcut seviye tahmini)

(3.2)

1. Trend değerlendirmesi

(3.3)

1. Şunun için tahmin: Rönümüzdeki dönemler

(3.4)

Nerede α, β aralıktaki sabitleri yumuşatma.

Denklem (3.2), trend terimi dışında basit üstel düzeltme için denklem (3.1)'e benzer. Devamlı β trend tahminini düzeltmek için gerekli. Tahmin denkleminde (3.3), trend tahmini dönem sayısıyla çarpılır. R Tahminin dayandığı , ardından bu ürün, düzeltilmiş verilerin mevcut düzeyine eklenir.

Kalıcı α Ve β subjektif olarak veya tahmin hatasını en aza indirerek seçilir. Ağırlıklar ne kadar büyük alınırsa, değişikliklere tepki o kadar hızlı gerçekleşecek ve veriler o kadar düzgün olacaktır. Daha küçük ağırlıklar, düzeltilmiş değerlerin yapısını daha az pürüzsüz hale getirir.

Şek. 3.2 değerlerle Holt yöntemini kullanarak bir seriyi düzeltmenin bir örneğini gösterir α Ve β 0,1'e eşit.

Pirinç. 3.2. Holt yöntemi kullanılarak yumuşatmanın sonucu
en α = 0,1 Ve β = 0,1

3.5. Trend ve mevsimsel değişiklikleri hesaba katan üstel düzeltme (Winters yöntemi)

Veri yapısında mevsimsel değişiklikler olduğunda, tahmin hatalarını azaltmak için Winters tarafından önerilen üç parametreli üstel düzeltme modeli kullanılır. Bu yaklaşım Holt'un önceki modelinin bir uzantısıdır. Mevsimsel değişiklikleri hesaba katmak için burada ek bir denklem kullanılır ve bu yöntem tamamen dört denklemle tanımlanır:

1. Üstel olarak düzeltilmiş seriler

(3.5)

1. Trend değerlendirmesi

(3.6)

1. Mevsimsellik değerlendirmesi

.

(3.7)

1. Şunun için tahmin: Rönümüzdeki dönemler

(3.8)

Nerede α, β, γ sırasıyla seviye, trend ve mevsimsellik için sürekli düzeltme; S- mevsimsel dalgalanma döneminin süresi.

Denklem (3.5) düzeltilmiş seriyi düzeltir. Bu denklemdeki terim, kaynak verilerdeki mevsimselliği dikkate alır. Denklemler (3.6), (3.7)'deki mevsimsellik ve eğilim dikkate alındıktan sonra tahminler düzeltilir ve denklem (3.8)'de bir tahmin yapılır.

Önceki yöntemde olduğu gibi ağırlıklar α, β, γ subjektif olarak veya tahmin hatasını en aza indirerek seçilebilir. Denklemi (3.5) uygulamadan önce düzeltilmiş seriler için başlangıç ​​değerlerinin belirlenmesi gerekir. Teğmen, eğilim T t, mevsimsellik katsayıları S t. Tipik olarak, düzeltilmiş serinin başlangıç ​​değeri ilk gözleme eşit alınır, daha sonra trend sıfıra eşitlenir ve mevsimsellik katsayıları bire eşitlenir.

Şek. Şekil 3.3, Winters yöntemini kullanarak bir serinin düzgünleştirilmesine ilişkin bir örneği göstermektedir.

Pirinç. 3.3. Winters yöntemini kullanarak yumuşatmanın sonucu
en α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1(1 - orijinal seri; 2 düzeltilmiş seri; 3 kalan)

3.6. Trend modellerine dayalı tahmin

Çoğu zaman zaman serileri doğrusal bir eğilime (trend) sahiptir. Doğrusal bir eğilim varsayarsak, söz konusu dönem boyunca dinamiklerdeki değişimi en doğru şekilde yansıtacak düz bir çizgi oluşturmak gerekir. Düz bir çizgi oluşturmanın birkaç yöntemi vardır, ancak biçimsel açıdan en objektif olanı, serinin başlangıç ​​değerlerinin düz çizgiden negatif ve pozitif sapmalarının toplamının en aza indirilmesine dayanan yapı olacaktır.

İki koordinatlı sistemde düz bir çizgi (x,y) koordinatlardan birinin kesişme noktası ile belirlenebilir en ve eksene eğim açısı X. Böyle bir çizginin denklemi şöyle görünecek Nerede A- kesişme noktası; B eğim açısı.

Düz bir çizginin dinamiğin gidişatını yansıtması için dikey sapmaların toplamını en aza indirmek gerekir. Minimizasyonun değerlendirilmesi için bir kriter olarak basit bir sapma toplamı kullanıldığında, negatif ve pozitif sapmalar karşılıklı olarak birbirini telafi ettiğinden sonuç çok iyi olmayacaktır. Mutlak değerlerin toplamının en aza indirilmesi de tatmin edici sonuçlara yol açmaz çünkü bu durumda parametre tahminleri kararsızdır ve böyle bir tahmin prosedürünün uygulanmasında hesaplama zorlukları da vardır. Bu nedenle, en sık kullanılan prosedür, sapmaların karelerinin toplamını en aza indirmek veya en küçük kareler yöntemi(ÇUŞ).

Başlangıç ​​değerleri serisinde dalgalanmalar olduğundan serinin modeli, kareleri en aza indirilmesi gereken hatalar içerecektir.

değeri nerede gözlemledim; y i * modelin teorik değerleri; gözlem numarası

Orijinal zaman serisinin trendini doğrusal bir trend kullanarak modellerken şunu varsayıyoruz:

İlk denklemi şuna bölmek: N, bir sonrakine geliyoruz

Ortaya çıkan ifadeyi katsayı için sistemin ikinci denkleminde (3.10) yerine koyarsak B*şunu elde ederiz:

3.7. Model uyumunun kontrol edilmesi

Örnek olarak Şekil 2'de yer almaktadır. 3.4 araba gücü arasındaki doğrusal regresyon grafiğini gösterir X ve maliyeti en.

Pirinç. 3.4. Doğrusal Regresyon Grafiği

Bu durum için denklem şu şekildedir: en=1455,3 + 13,4 X. Bu rakamın görsel analizi, bir dizi gözlem için teorik eğriden önemli sapmalar olduğunu göstermektedir. Kalan arsa Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.5.

Pirinç. 3.5. Denge tablosu

Regresyon çizgisi artıklarının analizi, tahmin edilen regresyonun gerçek verileri ne kadar iyi yansıttığı konusunda yararlı bir ölçüm sağlayabilir. İyi bir regresyon, varyansın önemli bir kısmını açıklayan regresyondur ve bunun tersine kötü bir regresyon, orijinal verilerdeki büyük miktardaki varyasyonu izlemez. Herhangi bir ek bilginin modeli iyileştireceği, yani değişkendeki varyasyonun açıklanamayan kısmını azaltacağı sezgisel olarak açıktır. en. Regresyonun analizi için varyansı bileşenlere ayıracağız. Açıkça görülüyor ki

Son terim, kalanların toplamını temsil ettiği için sıfıra eşit olacaktır, dolayısıyla aşağıdaki sonuca varıyoruz:

Nerede SS 0, SS 1, SS 2 sırasıyla toplam, regresyon ve kalan kareler toplamını belirleyin.

Regresyon kareler toplamı, varyansın doğrusal bir ilişkiyle açıklanan kısmını ölçer; varyansın doğrusal bir ilişkiyle açıklanmayan artık kısmı.

Bu toplamların her biri, birbirinden bağımsız veri birimlerinin sayısını belirleyen, karşılık gelen serbestlik derecesi (DOF) sayısıyla karakterize edilir. Başka bir deyişle kalp atış hızı gözlem sayısıyla ilişkilidir. N ve verilerin toplamından hesaplanan parametre sayısı. Söz konusu durumda, hesaplamak için SS 0 yalnızca bir sabit belirlenir (ortalama değer), dolayısıyla kalp atış hızı SS 0 olacak (N– 1), Şunun için kalp atış hızı: SS 2 – (n – 2) ve kalp atış hızı SS 1 olacak n – (n – 1)=1 regresyon denkleminde n – 1 sabit nokta olduğundan. Tıpkı karelerin toplamları gibi, kalp atış hızları da şu ilişkiyle ilişkilidir:

Varyans ayrıştırmasıyla ilişkili karelerin toplamları, ilgili HR'lerle birlikte, varyans analizi tablosu olarak adlandırılan tabloya yerleştirilebilir (ANOVA tablosu ANaliz Of Varyans) (Tablo 3.1).

Tablo 3.1

ANOVA tablosu

Kaynak	Karelerin toplamı		Orta kare
Regresyon			SS 2/(n-2)

Karelerin toplamları için tanıtılan kısaltmayı kullanarak şunu tanımlarız: belirleme katsayısı regresyonun kareleri toplamının formdaki toplam kareler toplamına oranı olarak

(3.13)

Belirleme katsayısı bir değişkenin değişkenlik oranını ölçer e bağımsız değişkenin değişkenliği hakkındaki bilgiler kullanılarak açıklanabilen X. Belirleme katsayısı sıfırdan değiştiğinde X etkilemez E, değişiklik olduğunda birine e değişiklikle tam olarak açıklandı X.

3.8. Regresyon tahmin modeli

En iyi tahmin, minimum varyansa sahip olandır. Bizim durumumuzda sıradan OLS, doğrusal denklemlere dayalı tarafsız tahminler üreten tüm yöntemler arasında en iyi tahmini üretir. Tahmin prosedürüyle ilgili tahmin hatası dört kaynaktan gelebilir.

Birincisi, doğrusal regresyon tarafından ele alınan toplamsal hataların rastgele doğası, model doğru şekilde belirtilse ve parametreleri kesin olarak bilinse bile tahminin gerçek değerlerden sapmasını sağlar.

İkinci olarak, tahmin sürecinin kendisi parametrelerin tahmininde hataya neden olur; ortalama olarak eşit olmalarına rağmen nadiren gerçek değerlere eşit olabilirler.

Üçüncüsü, koşullu tahmin durumunda (bağımsız değişkenlerin kesin olarak bilinmeyen değerleri durumunda), açıklayıcı değişkenlerin tahmininde bir hata ortaya çıkar.

Dördüncüsü, model spesifikasyonunun hatalı olması nedeniyle bir hata meydana gelebilir.

Sonuç olarak hata kaynakları şu şekilde sınıflandırılabilir:

1. değişkenin doğası;
2. modelin doğası;
3. bağımsız rastgele değişkenlerin tahmininin getirdiği hata;
4. spesifikasyon hatası.

Bağımsız değişkenlerin kolay ve doğru bir şekilde tahmin edilebildiği durumlarda koşulsuz bir tahmin dikkate alacağız. Tahmin kalitesi sorununu ikili regresyon denklemiyle ele almaya başlayalım.

Bu durumda problem ifadesi şu şekilde formüle edilebilir: modelde olması şartıyla en iyi tahmin y T+1 ne olacaktır? y = a + bx parametreler A Ve B doğru olarak tahmin edilmiş ve değer xT+1 bilinen.

Daha sonra tahmin edilen değer şu şekilde tanımlanabilir:

Tahmin hatası olacak

.

Tahmin hatasının iki özelliği vardır:

Ortaya çıkan varyans, doğrusal denklemlere dayanan tüm olası tahminler arasında minimum düzeydedir.

Rağmen A ve b biliniyorsa, tahmin hatası şu gerçeğinden dolayı ortaya çıkar: T+1'de hata nedeniyle regresyon doğrusu üzerinde yer almayabilir ε T+1, sıfır ortalama ve varyansla normal dağılıma tabidir σ2. Tahminin kalitesini kontrol etmek için normalleştirilmiş bir değer sunuyoruz

Daha sonra %95 güven aralığını şu şekilde tanımlayabilirsiniz:

Nerede β 0,05 normal dağılımın yüzdelik dilimleri.

%95 aralığının sınırları şu şekilde tanımlanabilir:

Bu durumda genişliğin güven aralığı boyutuna bağlı değildir X, ve aralığın sınırları regresyon çizgisine paralel düz çizgilerdir.

Daha sık olarak, bir regresyon çizgisi oluştururken ve tahminin kalitesini kontrol ederken, yalnızca regresyon parametrelerini değil aynı zamanda tahmin hatasının varyansını da değerlendirmek gerekir. Bu durumda hata varyansının bağımsız değişkenin ortalama değeri olan () değerine bağlı olduğu gösterilebilir. Ayrıca seri ne kadar uzun olursa tahmin de o kadar doğru olur. X T+1'in değeri bağımsız değişkenin ortalama değerine yakınsa tahmin hatası azalır ve bunun tersine, ortalama değerden uzaklaşıldığında tahminin doğruluğu azalır. Şek. Şekil 3.6, güven aralıklarıyla birlikte ilerideki 6 zaman aralığı için doğrusal bir regresyon denklemi kullanan tahminin sonuçlarını göstermektedir.

Pirinç. 3.6. Doğrusal regresyon denklemiyle tahmin

Şekil 2'den görülebileceği gibi. Şekil 3.6'da bu regresyon çizgisi orijinal verileri yeterince iyi tanımlamıyor: uyum çizgisine göre büyük bir değişiklik var. Modelin kalitesi, eğer model tatmin edici ise, yaklaşık olarak normal yasaya göre dağıtılması gereken artıklar ile de değerlendirilebilir. Şek. Şekil 3.7 olasılık ölçeği kullanılarak oluşturulan artıkların grafiğini göstermektedir.

Şekil 3.7. Denge tablosu

Böyle bir ölçek kullanıldığında normal yasaya uyan verilerin düz bir çizgi üzerinde yer alması gerekir. Yukarıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere gözlem periyodunun başlangıç ​​ve bitiş noktaları düz çizgiden bir miktar sapmaktadır, bu da doğrusal regresyon denklemi formunda seçilen modelin yeterince yüksek kalitede olmadığını göstermektedir.

Tabloda Tablo 3.2, tahmin sonuçlarını (ikinci sütun) %95 güven aralıklarıyla (sırasıyla alt üçüncü ve üst dördüncü sütunlar) birlikte gösterir.

Tablo 3.2

Tahmin sonuçları

3.9. Çok değişkenli regresyon modeli

Çok değişkenli regresyonda her duruma ait veriler, bağımlı değişkenin ve her bağımsız değişkenin değerlerini içerir. Bağımlı Değişken sen bu, bağımsız değişkenlerle aşağıdaki ilişkiyle ilişkili bir rastgele değişkendir:

regresyon katsayılarının belirleneceği yer; ε Bağımlı değişkenin değerlerinin gerçek ilişkiden sapmasına karşılık gelen hata bileşeni (hataların bağımsız olduğu ve sıfır matematiksel beklenti ve bilinmeyen varyansla normal dağılıma sahip olduğu varsayılır) σ ).

Belirli bir veri seti için regresyon katsayılarının tahminleri OLS kullanılarak bulunabilir. OLS tahminleri ile gösterilirse, karşılık gelen regresyon fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

Artıklar, hata bileşeninin tahminleridir ve basit doğrusal regresyon durumundaki artıklara benzer.

Çok değişkenli bir regresyon modelinin istatistiksel analizi, basit doğrusal regresyon analizine benzer şekilde gerçekleştirilir. Standart istatistiksel yazılım paketleri, model parametreleri için OLS tahminlerinin ve bunların standart hatalarının tahminlerinin elde edilmesini mümkün kılar. Alternatif olarak değeri alabilirsiniz T- regresyon modelinin bireysel terimlerinin önemini ve değerini kontrol etmek için istatistikler F- Regresyon bağımlılığının önemini kontrol etmek için istatistikler.

Çok değişkenli regresyon durumunda kareler toplamlarının bölümlendirilmesi şekli ifadeye (3.13) benzer, ancak kalp atış hızı için ilişki aşağıdaki gibi olacaktır.

Şunu bir kez daha vurgulayalım. N gözlem hacmini temsil eder ve k modeldeki değişken sayısı. Bağımlı bir değişkenin toplam değişimi iki bileşenden oluşur: bağımsız değişkenler tarafından regresyon fonksiyonu aracılığıyla açıklanan varyasyon ve açıklanamayan varyasyon.

Çok değişkenli regresyon durumunda ANOVA tablosu tabloda gösterilen forma sahip olacaktır. 3.3.

Tablo 3.3

ANOVA tablosu

Kaynak	Karelerin toplamı		Orta kare
Regresyon			SS 2/(n-k-1)

Çok değişkenli regresyona örnek olarak Statistica paketindeki verileri kullanacağız (veri dosyası) Yoksulluk.Sta) Sunulan veriler 1960 ve 1970 nüfus sayımı sonuçlarının karşılaştırılmasına dayanmaktadır. 30 ülkeden oluşan rastgele bir örnek için. Ülke adları string adı olarak girilmiş olup, bu dosyadaki tüm değişkenlerin adları aşağıda verilmiştir:

POP_CHNG 1960-1970 nüfus değişimi;

N_EMPLD tarımda istihdam edilen kişi sayısı;

Yoksulluk seviyesinin altında yaşayan ailelerin PT_POOR yüzdesi;

TAX_RATE vergi oranı;

Telefonu olan dairelerin yüzdesi PT_PHONE;

Kırsal nüfusun PT_RURAL yüzdesi;

YAŞ orta yaş.

Bağımlı değişken olarak işareti seçiyoruz Pt_Zayıf ve bağımsız olarak - geri kalan her şey. Seçilen değişkenler arasında hesaplanan regresyon katsayıları Tabloda verilmiştir. 3.4

Tablo 3.4

Regresyon katsayıları

Bu tablo regresyon katsayılarını gösterir ( İÇİNDE) ve standartlaştırılmış regresyon katsayıları ( Beta). Katsayıları kullanma İÇİNDE regresyon denkleminin formu oluşturulmuştur ve bu durumda bu form şu şekildedir:

Sağ tarafta sadece bu değişkenlerin yer alması sadece bu işaretlerin olasılık değerine sahip olmasından kaynaklanmaktadır. R 0,05'ten az (bkz. Tablo 3.4'ün dördüncü sütunu).

Kaynakça

1. Basovski L.E. Piyasa koşullarında tahmin ve planlama. – M.: Altyapı – M, 2003.
2. Kutu J., Jenkins G. Zaman serisi analizi. Sayı 1. Tahmin ve yönetim. – M.: Mir, 1974.
3. Borovikov V.P., Ivchenko G.I. Windows ortamında Statistica sisteminde tahminleme. – M.: Finans ve İstatistik, 1999.
4. Dük V.Örneklerde bir bilgisayarda veri işleme. – St.Petersburg: Peter, 1997.
5. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Ivantsov I.B. Bilgi mikroekonomisi. Bölüm 1. Analiz ve tahmin yöntemleri. – St. Petersburg: Nordmed-Izdat, 1997.
6. Krichevsky M. L. Yapay sinir ağlarına giriş: Ders kitabı. ödenek. – SPb.: SPb. durum denizcilik teknolojisi Üniversite, 1999.
7. Soshnikova L.A., Tamashevich V.N., Uebe G. ve diğerleri. Ekonomide çok değişkenli istatistiksel analiz. – M.: Unity-Dana, 1999.