Ev Ağız boşluğu Genel çözümü bulun ve fsr cinsinden yazın. Sistemin genel çözümünü ve fsr'yi bulun

Ağız boşluğu

Genel çözümü bulun ve fsr cinsinden yazın. Sistemin genel çözümünü ve fsr'yi bulun

Homojen sistem doğrusal denklemler alanın üzerinde

TANIM. Bir denklem sisteminin (1) temel çözüm sistemi, doğrusal aralığı sistemin (1) tüm çözümlerinin kümesiyle çakışan, boş olmayan, doğrusal olarak bağımsız bir çözüm sistemidir.

Yalnızca sıfır çözümü olan homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel bir çözüm sistemine sahip olmadığına dikkat edin.

TEKLİF 3.11. Homojen bir doğrusal denklem sisteminin herhangi iki temel çözüm sistemi aynı sayıda çözümden oluşur.

Kanıt. Aslında homojen denklem sisteminin (1) herhangi iki temel çözüm sistemi eşdeğerdir ve doğrusal olarak bağımsızdır. Bu nedenle Önerme 1.12'ye göre sıraları eşittir. Bu nedenle bir çözümde yer alan çözümlerin sayısı temel sistem, diğer herhangi bir temel çözüm sisteminde yer alan çözümlerin sayısına eşittir.

Homojen denklem sisteminin (1) ana matrisi A sıfır ise, o zaman herhangi bir vektör sistem (1)'in bir çözümüdür; bu durumda herhangi bir koleksiyon doğrusaldır bağımsız vektörler temel bir çözüm sistemidir. A matrisinin sütun sırası eşitse, sistem (1)'in yalnızca bir çözümü vardır - sıfır; dolayısıyla bu durumda denklem sistemi (1) temel bir çözüm sistemine sahip değildir.

TEOREM 3.12. Homojen bir doğrusal denklem sisteminin (1) ana matrisinin rütbesi değişken sayısından küçükse, sistem (1) çözümlerden oluşan bir temel çözüm sistemine sahiptir.

Kanıt. Homojen sistemin (1) ana matrisi A'nın rütbesi sıfıra veya eşitse, bu durumda teoremin doğru olduğu yukarıda gösterilmiştir. Bu nedenle, aşağıda A matrisinin ilk sütunlarının doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayacağız. Bu durumda, A matrisi satır bazında indirgenmiş adım adım matrise eşdeğerdir ve sistem (1) aşağıdaki indirgenmiş adım adım denklem sistemine eşdeğerdir:

Herhangi bir serbest değer sisteminin olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. sistem değişkenleri(2), sistem (2)'nin ve dolayısıyla sistem (1)'in tek ve tek çözümüne karşılık gelir. Özellikle, sistem (2) ve sistemin (1) yalnızca sıfır çözümü, sıfır değerli bir sisteme karşılık gelir.

Sistem (2)'de ücretsiz olanlardan birini atayacağız. değişken değeri, 1'e eşittir ve geri kalan değişkenler sıfır değere sahiptir. Sonuç olarak, aşağıdaki C matrisinin satırları şeklinde yazdığımız denklem sistemine (2) çözümler elde ediyoruz:

Bu matrisin satır sistemi doğrusal olarak bağımsızdır. Aslında eşitlikten herhangi bir skaler için

eşitlik takip eder

ve dolayısıyla eşitlik

C matrisinin satırlar sisteminin doğrusal açıklığının (1) sisteminin tüm çözümlerinin kümesiyle çakıştığını kanıtlayalım.

Sistemin (1) keyfi çözümü. Daha sonra vektör

aynı zamanda (1) numaralı sistemin çözümüdür ve

Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz!!!

Ne olduğunu anlamak için temel karar sistemi Aynı örneğe ait eğitim videosunu tıklayarak izleyebilirsiniz. Şimdi bütünün açıklamasına geçelim gerekli çalışma. Bu, bu konunun özünü daha ayrıntılı olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.

Doğrusal bir denklemin temel çözüm sistemi nasıl bulunur?

Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini ele alalım:

Bu doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulalım. Başlangıç olarak biz sistemin katsayı matrisini yazmanız gerekir.

Bu matrisi üçgene dönüştürelim.İlk satırı değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(11)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(21)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, birinciyi ikinci satırdan çıkarmanız ve farkı ikinci satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan birinciyi çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(41)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(22)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(32)$ elemanının yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(42)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(52)$ elemanının yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ikincinin 3 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Bunu görüyoruz son üç satır aynı yani üçüncüyü dördüncü ve beşinciden çıkarırsanız sıfır olur.

Bu matrise göre yaz yeni sistem denklemler.

Yalnızca üç doğrusal bağımsız denklemimiz ve beş bilinmeyenimiz olduğunu görüyoruz, dolayısıyla temel çözüm sistemi iki vektörden oluşacaktır. Yani biz son iki bilinmeyeni sağa kaydırmamız gerekiyor.

Artık sol taraftaki bilinmeyenleri sağ taraftaki bilinmeyenlerle ifade etmeye başlıyoruz. Son denklemle başlıyoruz, önce $x_3$'ı ifade ediyoruz, sonra elde edilen sonucu ikinci denklemde yerine koyup $x_2$'yi, sonra da ilk denklemi ifade ediyoruz ve burada $x_1$'ı ifade ediyoruz. Böylece sol taraftaki tüm bilinmeyenleri, sağ taraftaki bilinmeyenler aracılığıyla ifade etmiş olduk.

Daha sonra $x_4$ ve $x_5$ yerine herhangi bir sayıyı değiştirebiliriz ve $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulabiliriz. Bu sayıların her beşi orijinal denklem sistemimizin kökleri olacaktır. Dahil edilen vektörleri bulmak için FSR$x_4$ yerine 1 yazmamız ve $x_5$ yerine 0 yazmamız, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ bulmamız ve sonra da tam tersi $x_4=0$ ve $x_5=1$ bulmamız gerekiyor.

Teknolojimizi geliştirmeye devam edeceğiz temel dönüşümler Açık homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflara göre materyal sıkıcı ve vasat görünebilir, ancak bu izlenim aldatıcıdır. Teknik tekniklerin daha da geliştirilmesine ek olarak, pek çok yeni bilgi Bu yüzden lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen doğrusal denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Bir doğrusal denklem sistemi eğer serbest terim varsa homojendir. herkes Sistemin denklemi sıfırdır. Örneğin:

Kesinlikle açıktır ki homojen bir sistem her zaman tutarlıdır yani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce gözünüze çarpan şey sözde önemsizçözüm . Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, gösterişten uzak demektir. Elbette akademik olarak değil, ama anlaşılır bir şekilde =) ...Neden bu kadar lafı dolaştıralım ki, hadi bu sistemin başka çözümleri var mı öğrenelim:

örnek 1

Çözüm: Homojen bir sistemi çözmek için şunu yazmak gerekir: sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirin. Lütfen burada dikey çubuğu ve serbest terimlerin sıfır sütununu yazmaya gerek olmadığını unutmayın - sonuçta, sıfırlarla ne yaparsanız yapın, bunlar sıfır olarak kalacaktır:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi.

(2) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek bir anlam ifade etmiyor.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir homojen sistem elde edilir ve başvuruyor ters vuruş Gauss yöntemiyle çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Açık bir kriter formüle edelim: homojen bir doğrusal denklem sistemi vardır sadece önemsiz bir çözüm, Eğer sistem matris sıralaması(V bu durumda 3) değişken sayısına eşit (bu durumda – 3 adet).

Hadi ısınalım ve radyomuzu temel dönüşüm dalgasına göre ayarlayalım:

Örnek 2

Homojen bir doğrusal denklem sistemini çözün

Nihayet algoritmayı pekiştirmek için son görevi analiz edelim:

Örnek 7

Homojen bir sistemi çözün, cevabı vektör formunda yazın.

Çözüm: Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

(1) Birinci satırın işareti değiştirildi. Birçok kez karşılaşılan ve bir sonraki eylemi önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanıyan bir tekniğe bir kez daha dikkat çekiyorum.

(1) 2. ve 3. satırlara ilk satır eklendi. İlk satırın 2 ile çarpılması 4. satıra eklendi.

(3) Son üç satır orantılı olup ikisi çıkarılmıştır.

Sonuç olarak standart bir adım matrisi elde edilir ve çözüm tırtıllı yol boyunca devam eder:

– temel değişkenler;
– serbest değişkenler.

Temel değişkenleri serbest değişkenler cinsinden ifade edelim. 2. denklemden:

– 1. denklemde yerine koyun:

Böylece, ortak karar:

Söz konusu örnekte üç serbest değişken bulunduğundan, temel sistem üç vektör içerir.

Üçlü değerlerin yerine koyalım genel çözüme dönüştürün ve koordinatları homojen sistemin her denklemini karşılayan bir vektör elde edin. Ve yine, alınan her vektörü kontrol etmenin şiddetle tavsiye edildiğini tekrar ediyorum - fazla zaman almayacak, ancak sizi hatalardan tamamen koruyacaktır.

Üçlü değerler için vektörü bul

Ve son olarak üçümüz için üçüncü vektörü elde ederiz:

Cevap: , Nerede

Kesirli değerlerden kaçınmak isteyenler üçüzleri düşünüp cevabı eşdeğer formda alabilirler:

Kesirlerden bahsetmişken. Problemde elde edilen matrise bakalım ve kendimize şu soruyu soralım: ilerideki çözümü basitleştirmek mümkün mü? Sonuçta burada önce temel değişkeni kesirlerle, sonra kesirlerle temel değişkeni ifade ettik ve şunu söylemeliyim ki bu süreç en basit ve en keyifli süreç değildi.

İkinci çözüm:

Fikir denemektir diğer temel değişkenleri seç. Matrise bakalım ve üçüncü sütunda iki tanesine dikkat edelim. Peki neden üstte sıfır olmasın? Bir temel dönüşüm daha gerçekleştirelim:

Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu doğrusal denklem sistemine ne ad verilir? homojen :

Herhangi bir homojen sistem her zaman tutarlıdır, çünkü her zaman tutarlıdır. sıfır (önemsiz ) çözüm. Homojen bir sistemin hangi koşullar altında önemsiz olmayan bir çözüme sahip olacağı sorusu ortaya çıkıyor.

Teorem 5.2.Homojen bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak temel matrisin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azsa.

Sonuçlar. Bir kare homojen sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse.

Örnek 5.6. Sistemin önemsiz çözümlere sahip olduğu l parametresinin değerlerini belirleyin ve şu çözümleri bulun:

Çözüm. Ana matrisin determinantı sıfıra eşit olduğunda bu sistemin önemsiz olmayan bir çözümü olacaktır:

Dolayısıyla l=3 veya l=2 olduğunda sistem önemsiz değildir. l=3 için sistemin ana matrisinin rütbesi 1'dir. O zaman sadece bir denklem bırakıp şunu varsayalım: sen=A Ve z=B, alıyoruz x=b-a, yani

l=2 için sistemin ana matrisinin rütbesi 2'dir. Daha sonra minör esas olarak seçilir:

basitleştirilmiş bir sistem elde ediyoruz

Buradan bunu buluyoruz x=z/4, y=z/2. İnanmak z=4A, alıyoruz

Homojen bir sistemin tüm çözümlerinin kümesi çok önemli bir değere sahiptir. doğrusal özellik : eğer X sütunları 1 ve X 2 - homojen bir sistemin çözümleri AX = 0, o zaman bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu A X 1 + b X 2 bu sisteme de çözüm olacak. Gerçekten de o zamandan beri balta 1 = 0 Ve balta 2 = 0 , O A(A X 1 + b X 2) = bir balta 1 + b balta 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Bu özellik nedeniyle, eğer doğrusal bir sistemin birden fazla çözümü varsa, bu çözümlerden sonsuz sayıda olacaktır.

Doğrusal bağımsız sütunlar e 1 , e 2 , Ek Homojen bir sistemin çözümleri olanlara denir. temel çözüm sistemi Homojen doğrusal denklem sistemi, eğer bu sistemin genel çözümü bu sütunların doğrusal birleşimi olarak yazılabilirse:

Homojen bir sistem varsa N değişkenler ve sistemin ana matrisinin sırası eşittir R, O k = hayır.

Örnek 5.7. Temel çözüm sistemini bulun sonraki sistem doğrusal denklemler:

Çözüm. Sistemin ana matrisinin sıralamasını bulalım:

Böylece, bu denklem sisteminin çözüm kümesi, doğrusal bir boyut alt uzayı oluşturur. hayır= 5 - 2 = 3. Temel olarak minörü seçelim

Daha sonra, yalnızca temel denklemleri (geri kalanı bu denklemlerin doğrusal bir kombinasyonu olacaktır) ve temel değişkenleri (geri kalanını, sözde serbest değişkenleri sağa kaydırırız) bırakarak, basitleştirilmiş bir denklem sistemi elde ederiz:

İnanmak X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, bulduk

, .

İnanmak A= 1, b = c= 0, ilk temel çözümü elde ederiz; inanmak B= 1, a = c= 0, ikinci temel çözümü elde ederiz; inanmak C= 1, a = b= 0 ise üçüncü temel çözümü elde ederiz. Sonuç olarak, normal temel çözüm sistemi şu şekli alacaktır:

Temel sistemi kullanarak homojen bir sistemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

X = aE 1 + olmak 2 + CE 3. A

Homojen olmayan bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin bazı özelliklerine dikkat edelim. AX=B ve bunların karşılık gelen homojen denklem sistemiyle ilişkileri AX = 0.

Homojen olmayan bir sistemin genel çözümükarşılık gelen homojen sistem AX = 0'ın genel çözümünün ve homojen olmayan sistemin keyfi özel çözümünün toplamına eşittir. Gerçekten izin ver e 0, homojen olmayan bir sistemin keyfi özel bir çözümüdür, yani. evet 0 = B, Ve e- heterojen bir sistemin genel çözümü, yani. AY=B. Bir eşitliği diğerinden çıkarırsak, şunu elde ederiz:
A(Y-Y 0) = 0, yani Y-Y 0 karşılık gelen homojen sistemin genel çözümüdür balta=0. Buradan, Y-Y 0 = X, veya Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Homojen olmayan sistemin formu AX = B olsun 1 + B 2 . O halde böyle bir sistemin genel çözümü X = X olarak yazılabilir. 1 + X 2 , AX nerede 1 = B 1 ve AX 2 = B 2. Bu özellik herhangi bir maddenin evrensel özelliğini ifade eder. doğrusal sistemler(cebirsel, diferansiyel, fonksiyonel vb.). Fizikte bu özelliğe denir Üstüste binme ilkesi, elektrik ve radyo mühendisliğinde - süperpozisyon ilkesi. Örneğin doğrusal elektrik devreleri teorisinde herhangi bir devredeki akım, her bir enerji kaynağının ayrı ayrı oluşturduğu akımların cebirsel toplamı olarak elde edilebilir.

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır ve önemsiz bir çözümü vardır
. Önemsiz olmayan bir çözümün var olması için matrisin rütbesinin olması gerekir. bilinmeyenlerin sayısından daha azdı:

Temel çözüm sistemi homojen sistem
sütun vektörleri biçiminde bir çözüm sistemi çağırın
kanonik temele karşılık gelen, yani. keyfi sabitlerin bulunduğu temel
dönüşümlü olarak bire eşitlenir, geri kalanı ise sıfıra ayarlanır.

O halde homojen sistemin genel çözümü şu şekildedir:

Nerede
- keyfi sabitler. Başka bir deyişle genel çözüm, temel çözüm sisteminin doğrusal bir birleşimidir.

Böylece, serbest bilinmeyenlere sırasıyla bir değeri verilirse ve diğerleri sıfıra eşitlenirse, genel çözümden temel çözümler elde edilebilir.

Örnek. Sisteme bir çözüm bulalım

Kabul edelim, sonra şu şekilde bir çözüm elde ederiz:

Şimdi temel bir çözüm sistemi oluşturalım:

Genel çözüm şu şekilde yazılacaktır:

Bir homojen doğrusal denklem sisteminin çözümleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Başka bir deyişle, homojen bir sistemin çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonu yine bir çözümdür.

Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek birkaç yüzyıldır matematikçilerin ilgisini çekmektedir. İlk sonuçlar 18. yüzyılda elde edildi. 1750 yılında G. Kramer (1704–1752) kare matrislerin determinantları üzerine çalışmalarını yayınladı ve ters matrisi bulmak için bir algoritma önerdi. 1809'da Gauss, eleme yöntemi olarak bilinen yeni bir çözüm yönteminin ana hatlarını çizdi.

Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi, temel dönüşümler kullanılarak bir denklem sisteminin eşdeğer bir adım (veya üçgen) sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. Bu tür sistemler, tüm bilinmeyenlerin belirli bir sırayla sıralı olarak bulunmasını mümkün kılar.

Sistem (1)'de olduğunu varsayalım.
(ki bu her zaman mümkündür).

(1)

İlk denklemi sözde ile birer birer çarpmak uygun sayılar

ve çarpma sonucunu sistemin karşılık gelen denklemleriyle ekleyerek, birincisi dışındaki tüm denklemlerde bilinmeyenin olmayacağı eşdeğer bir sistem elde ederiz. X 1

(2)

Şimdi (2) sisteminin ikinci denklemini uygun sayılarla çarpalım;

ve bunu alttakilerle ekleyerek değişkeni ortadan kaldırıyoruz üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden.

Bu işleme devam ettikten sonra
elde ettiğimiz adım:

(3)

Sayılardan en az biri ise
sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik çelişkilidir ve sistem (1) tutarsızdır. Tersine, herhangi bir ortak sayı sistemi için
sıfıra eşittir. Sayı (1) sisteminin matrisinin rütbesinden başka bir şey değildir.