“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bu sadece fikirlerden oluştuğu içindir... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının veya şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».
G.H.Hardy
İlk bölümde oldukça ilkellerin var olduğuna dikkat çekildi. basit işlevler artık aracılığıyla ifade edilemeyen temel işlevler. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki cebirsel polinomun oranını temsil eder. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.
2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar
Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisi olarak adlandırılır:
nerede ve polinomlardır.
şunu hatırlatalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon) Nderece formun bir fonksiyonu denir
Nerede 
– gerçek sayılar. Örneğin,
– birinci dereceden polinom;
– dördüncü dereceden polinom vb.
Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi halde kesir denir yanlış.
Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesirin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.
Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:
A) 
, B) 
.
Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:
Böylece elde ederiz
.
b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.
2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu
Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:
|
3) |
4) |
,
,bir tamsayı nerede, 
yani ikinci dereceden üç terimli 
gerçek kökleri yoktur.
1. ve 2. türdeki basit kesirlerin integralini almak büyük zorluklar yaratmaz:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.
Formun integralleriyle başlayalım
.
Bu integral genellikle izole edilerek hesaplanır tam kare paydada. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir
veya 
.
Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:
A) 
, B) 
.
Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:
Buradan buluyoruz
b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:
Böylece,
.
İntegrali bulmak için
paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki yerine koyma yoluyla 
görünüşe geliyor
,
ve ikincisi - yukarıda tartışılana.
Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:
.
Çözüm
. Dikkat 
. Paydanın türevini payda izole edelim:
İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır 
:
İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz
Sonunda elde ettik
2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için
Herhangi bir uygun rasyonel kesir 
basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun
Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.
Örnek 1. Adım 2.
.
Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak diğer sonuçta ortaya çıkan kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:
Parantezleri açın ve orijinal integrandın payını elde edilen ifadeye eşitleyin:
Eşitliğin her iki tarafında da x'in aynı kuvvetlerine sahip terimler arıyoruz ve bunlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:
.
Tüm x'leri iptal ederiz ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:
.
Böylece, integralin basit kesirlerin toplamına son açılımı şöyle olur:
.
Örnek 2. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:
Şimdi bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını, fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki karşılık gelen dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitliyoruz:
Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:
Yani buradan
.
Örnek 3. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
Belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:
Önceki örneklerde olduğu gibi bir denklem sistemi oluşturuyoruz:
X'leri azaltırız ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 4. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Önceki örneklerden, orijinal kesrin payını, kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasından ve bu toplamın ortak bir paydaya getirilmesinden sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleyeceğimizi zaten biliyoruz. Bu nedenle, sadece kontrol amacıyla, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
Örnek 5. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya indirgeyerek bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
.
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 6. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
Bu miktarla önceki örneklerde olduğu gibi aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
.
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 7. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Ortaya çıkan miktarla yapılan belirli işlemlerden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:
Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:
.
Örnek 8. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:
.
Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatikliğe getirilmiş eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir teknik vardır. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ediyoruz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ediyoruz.
KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.
Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış Karmaşık sayıların bazı özellikleri ve bunlarla ilgili işlemler.
Basit rasyonel kesirlerin integrali.
Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. Buna denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.
Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
A R(z) – derecesi dereceden küçük olan bir polinom Q(z).
Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.
Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.
3) 
(daha önce çalışıldı).
Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).
Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:
Örnek 1.
Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :
Örnek 2.
Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:
Örnek 3.
Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'nün basit kesirleri olacaktır. türleri:
Yukarıdaki açılımlarda bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:
1. eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.
2. katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (yöntem belirsiz katsayılar). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.
3. kombine yöntem.
Örnek 5. Bir kesri genişletin 
en basitine.
Çözüm:
A ve B katsayılarını bulalım.
Yöntem 1 - özel değer yöntemi:
Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:
Cevap: 
Rasyonel kesirlerin integrali.
Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesirin, paydasının sıfıra eşit olmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali mevcuttur ve temel işlevler, yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar aracılığıyla ifade edilir.
Kanıt.
Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: 
. Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X)
ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.
Yorum. Bu durumda asıl zorluk, paydanın çarpanlara ayrılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.
Örnek 1. İntegrali bulun
Önceki paragraflarda belirtilenlerin tümü, rasyonel kesirlerin entegrasyonu için temel kuralları formüle etmemizi sağlar.
1. Rasyonel bir kesir uygunsuzsa, bir polinom ile uygun bir rasyonel kesrin toplamı olarak temsil edilir (bkz. paragraf 2).
Bu, uygun olmayan bir rasyonel kesirin entegrasyonunu bir polinomun ve uygun bir rasyonel kesirin entegrasyonuna azaltır.
2. Uygun kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.
3. Uygun bir rasyonel kesir, basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır. Bu, uygun bir rasyonel kesirin entegrasyonunu basit kesirlerin entegrasyonuna azaltır.
Örneklere bakalım.
Örnek 1. Bulun.
Çözüm. İntegralin altında uygunsuz bir rasyonel kesir bulunur. Parçanın tamamını seçerek şunu elde ederiz:
Buradan,
Bunu dikkate alarak uygun rasyonel kesri genişletelim.
basit kesirlere:
(bkz. formül (18)). Bu yüzden
Böylece nihayet elimizde
Örnek 2. Bul
Çözüm. İntegralin altında uygun bir rasyonel kesir bulunur.
Daha basit kesirlere genişleterek (bkz. formül (16)), şunu elde ederiz:
Bu konuda sunulan materyal, "Rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin temel (basit) kesirlere ayrıştırılması" konusunda sunulan bilgilere dayanmaktadır. Bu materyali okumaya geçmeden önce en azından bu konuya göz atmanızı şiddetle tavsiye ederim. Ayrıca belirsiz integral tablosuna da ihtiyacımız olacak.
Size birkaç terimi hatırlatayım. İlgili başlıkta tartışıldılar, bu yüzden burada kendimi kısa bir formülasyonla sınırlayacağım.
İki polinomun $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ oranına rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir denir. Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.
Temel (basit) rasyonel kesirler dört türden rasyonel kesirlerdir:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide
$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Bu arada, bu kontrol için $x^2$ öncesindeki katsayının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.
Rasyonel kesirlerin (doğru ve uygunsuz) örneklerinin yanı sıra rasyonel bir kesirin temel kesirlere ayrıştırılmasının örnekleri de bulunabilir. Burada sadece bunların entegrasyonuyla ilgili sorularla ilgileneceğiz. Temel kesirlerin integralini almakla başlayalım. Dolayısıyla yukarıdaki dört temel kesir tipinin her birinin aşağıdaki formüller kullanılarak integrali alınması kolaydır. (2) ve (4) tipi kesirlerin integrali alınırken $n=2,3,4,\ldots$ varsayıldığını hatırlatmak isterim. Formül (3) ve (4), $p^2-4q koşulunun yerine getirilmesini gerektirir< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ikamesi yapılır, bundan sonra ortaya çıkan aralık şu şekilde olur: ikiye bölünmüş. Birincisi diferansiyel işaretinin altına girilerek hesaplanacak ve ikincisi $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde olacaktır. Bu integral yineleme ilişkisi kullanılarak alınır
\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)
Böyle bir integralin hesaplanması örnek 7'de tartışılmaktadır (üçüncü bölüme bakınız).
Rasyonel fonksiyonların (rasyonel kesirler) integrallerini hesaplama şeması:
- İntegral temel ise, (1)-(4) formüllerini uygulayın.
- Eğer integral temel değilse, onu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edin ve sonra (1)-(4) formüllerini kullanarak integral alın.
Rasyonel kesirleri entegre etmek için yukarıdaki algoritmanın yadsınamaz bir avantajı vardır - evrenseldir. Onlar. bu algoritmayı kullanarak entegre edebilirsiniz herhangi rasyonel kesir. Bu nedenle belirsiz bir integraldeki değişkenlerin neredeyse tüm değişiklikleri (Euler, Chebyshev, evrensel trigonometrik ikame), bu değişiklikten sonra aralığın altında rasyonel bir kesir elde edecek şekilde yapılır. Daha sonra algoritmayı buna uygulayın. Küçük bir not aldıktan sonra bu algoritmanın doğrudan uygulamasını örneklerle analiz edeceğiz.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Prensip olarak bu integralin, formülün mekanik uygulaması olmadan elde edilmesi kolaydır. Eğer integral işaretinden $7$ sabitini çıkarırsak ve $dx=d(x+9)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Detaylı bilgi için konuya bakmanızı tavsiye ederim. Bu tür integrallerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak açıklıyor. Bu arada formül, bu paragrafta "manuel" çözülürken uygulanan dönüşümlerin aynısıyla kanıtlanmıştır.
2) Yine iki yol var: Hazır formülü kullanın veya onsuz yapın. Formülü uygularsanız $x$'ın (4 numara) önündeki katsayının kaldırılması gerekeceğini dikkate almalısınız. Bunu yapmak için bu dördünü parantezlerden çıkaralım:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$
Şimdi formülü uygulama zamanı:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Formülü kullanmadan yapabilirsiniz. Üstelik sabit 4$'ı parantezlerden çıkarmadan bile. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Bu tür integrallerin bulunmasına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında ikame)” konusunda verilmiştir.
3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ancak bunun gerçekten üçüncü türün temel kesri olduğundan emin olmak için $p^2-4q koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Aynı örneği hazır bir formül kullanmadan çözelim. Paydanın türevini payda izole etmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. Payda yalnız bırakmamız gereken $2x+10$ ifadesidir. Şu ana kadar pay sadece $4x+7$ içeriyor, ancak bu çok uzun sürmeyecek. Pay'a aşağıdaki dönüşümü uygulayalım:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Artık payda gerekli ifade $2x+10$ görünür. İntegralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
İntegrali ikiye bölelim. Buna göre integralin kendisi de "çatallıdır":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
İlk önce ilk integralden bahsedelim, yani. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, integralin payı paydanın diferansiyelini içerir. Kısacası, bunun yerine $( 2x+10)dx$ ifadesinin yerine $d(x^2+10x+34)$ yazıyoruz.
Şimdi ikinci integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Paydada tam bir kare seçelim: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ayrıca $dx=d(x+5)$ hesabını da hesaba katıyoruz. Şimdi daha önce elde ettiğimiz integrallerin toplamı biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
İlk integralde $u=x^2+10x+34$ değişimini yaparsak, $\int\frac(du)(u)$ biçimini alır ve şunu alır: kullanımı kolay dan ikinci formül. İkinci integrale gelince, $u=x+5$ değişikliği onun için de uygundur, bundan sonra $\int\frac(du)(u^2+9)$ biçimini alacaktır. Bu saf su belirsiz integraller tablosundan onbirinci formül. İntegrallerin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Formülü uygularken aldığımız cevabın aynısını aldık ki bu kesinlikle şaşırtıcı değil. Genel olarak formül, bu integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı yöntemlerle kanıtlanır. Dikkatli okuyucunun burada bir sorusu olabileceğine inanıyorum, bu yüzden onu formüle edeceğim:
Soru No.1
Belirsiz integraller tablosundaki ikinci formülü $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integraline uygularsak, aşağıdakileri elde ederiz:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Çözümde neden modül yoktu?
1. sorunun cevabı
Soru tamamen doğal. Modül yalnızca herhangi bir $x\in R$ için $x^2+10x+34$ ifadesinin sıfırdan büyük olması nedeniyle eksikti. Bunu çeşitli şekillerde göstermek oldukça kolaydır. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan $(x+5)^2+9 > 0$ . Tam kare seçimini kullanmadan farklı düşünebilirsiniz. $10^2-4\cdot 34=-16'dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (eğer bu mantıksal zincir Muhteşem, izlemenizi tavsiye ederim grafik yöntemiİkinci dereceden eşitsizliklerin çözümleri). Her durumda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yani. Bir modül yerine normal parantezleri kullanabilirsiniz.
1 numaralı örneğin tüm noktaları çözüldü, geriye kalan tek şey cevabı yazmak.
Cevap:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Örnek No.2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.
İlk bakışta, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrand kesri üçüncü türün temel kesrine çok benzer; $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Görünüşe göre tek fark, $x^2$'ın önündeki $3$ katsayısıdır, ancak katsayıyı kaldırmak uzun sürmez (parantez dışında koyun). Ancak bu benzerlik ortadadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kesri için $p^2-4q koşulu zorunludur< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
$x^2$ öncesindeki katsayımız bire eşit değil, dolayısıyla $p^2-4q koşulunu kontrol edin< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант ikinci dereceden denklem$x^2+px+q=0$. Diskriminant sıfırdan küçükse $x^2+px+q$ ifadesi çarpanlara ayrılamaz. Kesirimizin paydasında bulunan $3x^2-5x-2$ polinomunun diskriminantını hesaplayalım: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Yani, $D > 0$, dolayısıyla $3x^2-5x-2$ ifadesi çarpanlarına ayrılabilir. Bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı anlamına gelir ve $\int\frac(7x+12)(3x^2-) uygulanır ) 5x-2)dx$ formülünün integraline ulaşmak mümkün değildir.
Eğer verilen rasyonel kesir temel kesir değilse, o zaman temel kesirlerin toplamı olarak temsil edilmesi ve sonra entegre edilmesi gerekir. Kısacası patikadan yararlanın. Rasyonel bir kesirin temel kesirlere nasıl ayrıştırılacağı ayrıntılı olarak yazılmıştır. Paydayı çarpanlara ayırarak başlayalım:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Alt interkal fraksiyonu bu formda sunuyoruz:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$
$A$ ve $B$ katsayılarını bulmak için iki standart yol vardır: belirlenmemiş katsayılar yöntemi ve kısmi değerlerin yerine konulması yöntemi. $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ yerine kısmi değer ikame yöntemini uygulayalım:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Katsayılar bulunduğundan geriye kalan tek şey bitmiş genişlemeyi yazmaktır:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Prensip olarak bu girişi bırakabilirsiniz, ancak daha doğru seçeneği seviyorum:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Orijinal integrale dönersek, ortaya çıkan genişlemeyi onun yerine koyarız. Daha sonra integrali ikiye bölüp her birine formülü uyguluyoruz. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Cevap: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Örnek No.3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.
$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Pay ikinci dereceden bir polinom içerir ve payda üçüncü dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan, yani; 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Tek yapmamız gereken verilen integrali üçe bölüp formülü her birine uygulamak. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Cevap: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Bu konuya ilişkin örneklerin analizinin devamı ikinci bölümde yer almaktadır.
