Harika sınırlar bulun Bu sadece limitler teorisi üzerine çalışan birçok birinci ve ikinci sınıf öğrencisi için değil aynı zamanda bazı öğretmenler için de zordur.
İlk dikkate değer limitin formülü
İlk dikkate değer sınırın sonuçları
formüllere yazalım
1. 2. 3. 4. Ama kendi başlarına genel formüller Dikkate değer sınırların sınavda veya testte kimseye faydası yoktur. Mesele şu ki, gerçek görevler, yukarıda yazılan formüllere ulaşmanız gerekecek şekilde yapılandırılmıştır. Ve dersleri kaçıran, bu dersi gıyaben okuyan veya ne anlattıklarını her zaman anlamayan öğretmenleri olan öğrencilerin çoğunluğu, en temel örnekleri dikkate değer sınırlara kadar hesaplayamaz. İlk kayda değer limitin formüllerinden, bunların yardımıyla trigonometrik fonksiyonlara sahip ifadeler için sıfır bölü sıfır tipindeki belirsizlikleri incelemenin mümkün olduğunu görüyoruz. İlk önce birkaç örneği ele alalım. harika sınır y ve sonra ikinci dikkate değer limiti inceleyeceğiz.
Örnek 1. sin(7*x)/(5*x) fonksiyonunun limitini bulun
Çözüm: Gördüğünüz gibi limitin altındaki fonksiyon ilk dikkate değer limite yakın ancak fonksiyonun limiti kesinlikle bire eşit değil. Limitlerle ilgili bu tür görevlerde, paydada sinüsün altındaki değişkende bulunan aynı katsayıya sahip bir değişken seçilmelidir. İÇİNDE bu durumda 7'ye bölünüp çarpılmalıdır 
Bazıları için bu tür ayrıntılar gereksiz görünebilir, ancak sınırlarla ilgili zorluk yaşayan çoğu öğrenci için kuralları daha iyi anlamalarına ve teorik materyale hakim olmalarına yardımcı olacaktır.
Ayrıca bir fonksiyonun ters formu varsa bu aynı zamanda ilk harika limittir. Ve hepsi harika limitin bire eşit olması nedeniyle
Aynı kural 1. dikkate değer limitin sonuçları için de geçerlidir. Bu nedenle “İlk dikkate değer limit nedir?” diye sorulursa. Bir birim olduğu konusunda tereddüt etmeden cevap vermelisiniz.
Örnek 2. sin(6x)/tan(11x) fonksiyonunun limitini bulun
Çözüm: Nihai sonucu anlamak için fonksiyonu forma yazalım. 
Dikkate değer limit kurallarını uygulamak için çarpanlara bölün ve çarpın
Daha sonra fonksiyonların çarpımının limitini limitlerin çarpımı yoluyla yazıyoruz. 
Olmadan karmaşık formüller chaska limitini bulduk trigonometrik fonksiyonlar. Asimilasyon için basit formüller Harika limitin 1. sonucunun formülünü, 2 ve 4'ün limitini bulmaya çalışın. Daha karmaşık sorunlara bakacağız.
Örnek 3: Limiti hesaplayın (1-cos(x))/x^2
Çözüm: Değiştirme yoluyla kontrol ettiğimizde 0/0 belirsizlik elde ederiz. Pek çok insan böyle bir örneği dikkate değer bir sınıra nasıl indirgeyeceğini bilmiyor. Burada trigonometrik formül kullanılmalıdır. 
Bu durumda limit net bir forma dönüşecektir. 
Fonksiyonu dikkate değer bir limitin karesine indirmeyi başardık.
Örnek 4. Limiti bulun
Çözüm: Yerine koyarken tanıdık 0/0 özelliğini elde ederiz. Ancak değişken sıfır yerine Pi'ye eğilimlidir. Bu nedenle, ilk dikkate değer limiti uygulamak için, x değişkeninde öyle bir değişiklik yapacağız ki, yeni değişken sıfıra gitsin. Bunu yapmak için paydayı yeni bir değişken olarak belirtiriz: Pi-x=y 
Böylece önceki görevde verilen trigonometrik formülü kullanarak örnek 1 dikkat çekici limite indirgenir.
Örnek 5: Limiti Hesapla 
Çözüm: Başlangıçta limitlerin nasıl basitleştirileceği açık değildir. Ancak bir örnek olduğuna göre, bir cevap da olmalı. Değişkenin birliğe gitmesi gerçeği, ikame sırasında sıfır ile sonsuzun çarpıldığı bir özellik verir, bu nedenle tanjant aşağıdaki formül kullanılarak değiştirilmelidir. 
Bundan sonra gerekli belirsizliği 0/0 elde ederiz. Daha sonra limitteki değişkenleri değiştiririz ve kotanjantın periyodikliğini kullanırız. 
Son ikameler dikkat çekici limitin Sonuç 1'ini kullanmamıza izin veriyor.
İkinci dikkate değer limit üstel değere eşittir
Bu, gerçek limit problemlerinde ulaşılması her zaman kolay olmayan bir klasiktir.
Hesaplamalarda ihtiyacınız olacak limitler ikinci dikkate değer limitin sonuçlarıdır:
1. 
2. 
3. 
4.
Dikkate değer ikinci limit ve sonuçları sayesinde sıfırın sıfıra bölümü, birin sonsuzun kuvveti, sonsuzun sonsuza bölümü gibi belirsizlikleri, hatta aynı derecede keşfetmek mümkün oluyor. 
Basit örneklerle başlayalım.
Örnek 6. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: 2. dikkate değer limiti doğrudan uygulamak işe yaramayacaktır. Öncelikle üssü parantez içindeki terimin tersi gibi görünecek şekilde dönüştürmelisiniz. 
Bu, 2. dikkate değer limite indirgeme ve esas itibarıyla limitin sonucu için 2. formülü türetme tekniğidir.
Örnek 7. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: Harika bir limitin sonuç 2'sinin formül 3'üne yönelik görevlerimiz var. Sıfırın yerine koymak 0/0 biçiminde bir tekillik verir. Bir kuralın limitini yükseltmek için paydayı, değişken logaritmadakiyle aynı katsayıya sahip olacak şekilde çeviririz. 
Sınavda anlaşılması ve uygulanması da kolaydır. Öğrencilerin limit hesaplamasında yaşadıkları zorluklar aşağıdaki problemlerle başlamaktadır.
Örnek 8. Bir fonksiyonun limitini hesaplama[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Çözüm: Sonsuzun kuvvetine göre tip 1 tekilliğimiz var. Bana inanmıyorsanız her yerde “X” yerine sonsuzluğu koyabilir ve bundan emin olabilirsiniz. Bir kural oluşturmak için payı parantez içindeki paydaya böleriz; bunu yapmak için önce manipülasyonları yaparız. 
İfadeyi limitin yerine koyalım ve onu 2 harika limite çevirelim 
Limit 10'un üstel kuvvetine eşittir. Hem parantez içinde hem de derece içinde değişken içeren terimler olan sabitler herhangi bir "hava durumu" getirmez - bunun hatırlanması gerekir. Ve eğer öğretmenleriniz size “Göstergeyi neden dönüştürmüyorsunuz?” (x-3'teki bu örnek için) sonra şunu söyleyin: "Bir değişken sonsuza doğru gittiğinde, ona 100 ekleyin veya 1000 çıkarın, limit aynı kalacaktır!"
Bu tür limitleri hesaplamanın ikinci bir yolu vardır. Bir sonraki görevde bunun hakkında konuşacağız.
Örnek 9. Sınırı bulun 
Çözüm: Şimdi pay ve paydadaki değişkeni çıkarıp bir özelliği diğerine çevirelim. Nihai değeri elde etmek için dikkate değer limitin Sonuç 2 formülünü kullanırız. 
Örnek 10. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: Verilen sınırı herkes bulamaz. Limiti 2'ye yükseltmek için sin'in (3x) bir değişken olduğunu ve üssü çevirmeniz gerektiğini düşünün. 
Daha sonra göstergeyi bir kuvvetin kuvveti olarak yazıyoruz. 
Ara argümanlar parantez içinde açıklanmıştır. Birinci ve ikinci dikkat çekici limitlerin kullanılması sonucunda küpteki üstel sayıyı elde ettik.
Örnek 11. Bir fonksiyonun limitini hesaplama sin(2*x)/ln(3*x+1)
Çözüm: 0/0 formunda bir belirsizliğimiz var. Ayrıca fonksiyonun hem harika limitleri kullanacak şekilde dönüştürülmesi gerektiğini görüyoruz. Önceki matematiksel dönüşümleri gerçekleştirelim 
Ayrıca, zorluk çekmeden limit şu değeri alacaktır: 
İşlevleri hızlı bir şekilde yazmayı ve bunları birinci veya ikinci harika sınıra indirmeyi öğrenirseniz, ödevlerde, testlerde, modüllerde kendinizi bu kadar özgür hissedeceksiniz. Sınırları bulmak için verilen yöntemleri ezberlemek sizin için zorsa, her zaman sipariş verebilirsiniz. Ölçek sınırlarımıza kadar.
Bunu yapmak için formu doldurun, verileri sağlayın ve örnekler içeren bir dosya ekleyin. Birçok öğrenciye yardım ettik; size de yardımcı olabiliriz!
Kanıt:
İlk önce dizinin durumu için teoremi kanıtlayalım 
Newton'un binom formülüne göre:
Aldığımızı varsayarsak
Bu eşitlikten (1), n arttıkça sağ taraftaki pozitif terimlerin sayısının arttığı sonucu çıkar. Ayrıca n arttıkça sayı azalacağından değerler 
Artıyor. Bu nedenle sıra 
artan ve (2)*sınırlı olduğunu gösteriyoruz. Eşitliğin sağ tarafındaki her parantezi bir parantezle değiştirin, sağ kısım artarsa eşitsizlik elde ederiz
Ortaya çıkan eşitsizliği güçlendirelim, kesirlerin paydalarındaki 3,4,5, ... yerine 2 sayısını koyalım: Terimlerin toplamı formülünü kullanarak parantez içindeki toplamı buluruz. geometrik ilerleme: Bu yüzden 
(3)*
Yani dizi yukarıdan sınırlanmıştır ve (2) ve (3) eşitsizlikleri sağlanmıştır: 
Bu nedenle Weierstrass teoremine (bir dizinin yakınsaklık kriteri) dayanarak dizi 
monoton olarak artar ve sınırlıdır, yani e harfiyle gösterilen bir limiti vardır. Onlar. 
İkinci dikkat çekici limitin x'in doğal değerleri için doğru olduğunu bilerek, reel x için ikinci dikkat çekici limiti kanıtlıyoruz, yani şunu kanıtlıyoruz: 
. İki durumu ele alalım:
1. X'in her değeri iki pozitif tamsayı arasında olsun: Bütün parça X. => =>
Eğer , o zaman Bu nedenle, limite göre 
Sahibiz
Limitlerin varlığına ilişkin kritere (bir ara fonksiyonun limiti hakkında) dayanarak 
2. Let . Değiştirmeyi − x = t yapalım, o zaman
Bu iki durumdan şu sonuç çıkıyor 
gerçek x için.
Sonuçlar:
9 .) Sonsuz küçüklerin karşılaştırılması. Sonsuz küçüklerin limitteki eşdeğerleriyle değiştirilmesine ilişkin teorem ve sonsuz küçüklerin ana kısmına ilişkin teorem.
Fonksiyonlar a( X) ve B( X) – b.m. en X ® X 0 .
TANIMLAR.
1 A( X) isminde sonsuz küçük daha fazla yüksek sipariş Nasıl B (X) Eğer
Şunu yazın: a( X) = o(b( X)) .
2)bir( X) Ve B( X)arandı aynı mertebeden sonsuz küçükler, Eğer
nerede CÎℝ ve C¹ 0 .
Şunu yazın: a( X) = Ö(B( X)) .
3 A( X) Ve B( X) arandı eş değer , Eğer
Şunu yazın: a( X) ~ b( X).
4)bir( X) k mertebesinden göreceli sonsuz küçük denir
kesinlikle sonsuz küçük B( X),
eğer sonsuz küçükse A( X)Ve(B( X))k aynı sıraya sahip, yani Eğer
nerede CÎℝ ve C¹ 0 .
TEOREM 6 (sonsuz küçüklerin eşdeğer olanlarla değiştirilmesi üzerine).
İzin vermek A( X), B( X), bir 1 ( X), b1 ( X)– b.m. x'te ® X 0 . Eğer A( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X),
O 
Kanıt: a( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X), Daha sonra
TEOREM 7 (sonsuz küçüğün ana kısmı hakkında).
İzin vermek A( X)Ve B( X)– b.m. x'te ® X 0 , Ve B( X)– b.m. bundan daha yüksek sıra A( X).
= , a beri b( X) – a(’dan daha yüksek sıra) X), o zaman, yani. 
itibaren açıktır ki bir ( X) + b( X) ~ bir( X)
10) Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği (epsilon-delta dilinde, geometrik sınırlar) Tek taraflı süreklilik. Bir aralıkta, bir segmentte süreklilik. Sürekli fonksiyonların özellikleri.
1. Temel tanımlar
İzin vermek F(X) noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır X 0 .
TANIM 1. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 eşitlik doğruysa
Notlar.
1) Teorem 5 §3'e göre eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir:
Durum (2) – tek taraflı limitler dilinde bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinin tanımı.
2) Eşitlik (1) şu şekilde de yazılabilir:
Şöyle diyorlar: “Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli ise X 0 ise limitin ve fonksiyonun işareti yer değiştirebilir."
TANIM 2 (e-d dilinde).
Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 Eğer"e>0 $d>0 çok, Ne
eğer xОU( X 0 , d) (yani | X – X 0 | < d),
sonra f(X)ÎU( F(X 0), e) (yani | F(X) – F(X 0) | < e).
İzin vermek X, X 0 Î D(F) (X 0 – sabit, X - keyfi)
belirtelim :D X= x – x 0 – argüman artışı
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – x noktasında fonksiyonun arttırılması 0
TANIM 3 (geometrik).
Fonksiyon f(X) Açık isminde bir noktada sürekli
X 0
eğer bu noktada argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa yani
Fonksiyona izin ver F(X) aralıkta tanımlanır [ X 0 ; X 0 + d) (aralığında ( X 0 – d; X 0 ]).
TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli
X 0 sağda
(sol
), eşitlik doğruysa
Açıkça görülüyor ki F(X) noktasında süreklidir X 0 Û F(X) noktasında süreklidir X 0 sağa ve sola.
TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir aralık boyunca sürekli e ( A; B) eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.
Fonksiyon f(X) segmentte sürekli olarak adlandırılır [A; B] aralıkta sürekli ise (A; B) ve sınır noktalarında tek yönlü sürekliliğe sahiptir(yani noktada sürekli A sağda, bu noktada B- sol).
11) Kırılma noktaları, sınıflandırılması
TANIM. Eğer fonksiyon f(X) x noktasının bazı komşuluklarında tanımlı 0 , ancak bu noktada sürekli değil, o zaman F(X) x noktasında süreksiz denir 0 , ve konunun kendisi X 0 kırılma noktası denir işlevler f(X) .
Notlar.
1) F(X) noktanın tamamlanmamış bir komşuluğunda tanımlanabilir X 0 .
Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen tek yönlü sürekliliğini düşünün.
2) Þ noktasının tanımından X 0 fonksiyonun kırılma noktasıdır F(X) iki durumda:
a) U( X 0 , d)О D(F) , ama için F(X) eşitlik geçerli değildir
b) U * ( X 0 , d)О D(F) .
Temel fonksiyonlar için yalnızca b) durumu mümkündür.
İzin vermek X 0 – fonksiyon kırılma noktası F(X) .
TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası BEN bir nevi eğer fonksiyon f(X)bu noktada solda ve sağda sonlu limitler var.
Bu sınırlar eşitse x noktası 0 isminde çıkarılabilir kırılma noktası , aksi takdirde - atlama noktası .
TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası II bir nevi f fonksiyonunun tek taraflı limitlerinden en az biri ise(X)bu noktada eşit¥ veya mevcut değil.
12) Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri (Weierstrass teoremleri (kanıtsız) ve Cauchy
Weierstrass teoremi
f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli olsun, o zaman
1)f(x) şununla sınırlıdır
2)f(x) aralıktaki en küçük değerini alır ve en yüksek değer
Tanım: Herhangi bir x€ D(f) için m≤f(x) ise m=f fonksiyonunun değerine en küçük değer denir.
Herhangi bir x € D(f) için m≥f(x) ise m=f fonksiyonunun değerinin en büyük olduğu söylenir.
Fonksiyon, segmentin çeşitli noktalarında en küçük/en büyük değeri alabilir.
f(x 3)=f(x 4)=maks
Cauchy'nin teoremi.
f(x) fonksiyonu parça üzerinde sürekli olsun ve x, f(a) ile f(b) arasında bulunan sayı olsun, o zaman f(x 0)= g olacak şekilde en az bir x 0 € noktası vardır.
Bu madde: “İkinci Dikkate Değer Sınır”, şeklin belirsizlikleri çerçevesinde açıklamaya ayrılmıştır:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ve $ ^\infty $.
Ayrıca üstel fonksiyonun logaritması kullanılarak bu tür belirsizlikler ortaya çıkarılabilir ancak bu, başka bir makalede ele alınacak başka bir çözüm yöntemidir.
Formül ve sonuçları
Formül ikinci dikkat çekici limit şu şekilde yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( Where ) e \approx 2,718 $$
Formülden şu çıkıyor sonuçlar limitli örnekleri çözmek için kullanımı çok uygundur: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
İkinci dikkat çekici limitin her zaman üstel bir fonksiyona uygulanamayacağını, yalnızca tabanın birliğe eğilimli olduğu durumlarda uygulanabileceğini belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için önce tabanın sınırını zihinsel olarak hesaplayın ve ardından sonuçlar çıkarın. Bütün bunlar örnek çözümlerde tartışılacaktır.
Çözüm örnekleri
Doğrudan formülü ve sonuçlarını kullanan çözüm örneklerine bakalım. Formülün gerekli olmadığı durumları da analiz edeceğiz. Sadece hazır bir cevabı yazmanız yeterlidir.
| örnek 1 |
| Limiti bulun $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Çözüm |
|
Sınırın içine sonsuzluğu koyalım ve belirsizliğe bakalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Tabanın limitini bulalım: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x))))(x(1+\frac(3)(x)))) = 1 $$ Bire eşit bir taban elde ettik, bu da ikinci dikkate değer limiti zaten uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için fonksiyonun tabanını formüle bir çıkarıp bir ekleyerek ayarlayalım: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ İkinci sonuca bakıyoruz ve cevabı yazıyoruz: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır! |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Örnek 4 |
| Limiti çözün $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Çözüm |
|
Tabanın limitini buluyoruz ve $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ olduğunu görüyoruz, bu da ikinci dikkat çekici limiti uygulayabileceğimiz anlamına geliyor. Standart plana göre derecenin tabanından bir tane ekleyip çıkarıyoruz: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kesri 2. notanın formülüne göre ayarlıyoruz. sınır: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Şimdi dereceyi ayarlayalım. Kuvvet $ \frac(3x^2-2)(6) $ tabanının paydasına eşit bir kesir içermelidir. Bunu yapmak için dereceyi çarpıp bölün ve çözmeye devam edin: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ üssünde yer alan limit şuna eşittir: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Bu nedenle elimizdeki çözüme devam ediyoruz: |
| Cevap |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Sorunun ikinci dikkate değer limite benzer olduğu ancak bu olmadan da çözülebileceği durumları inceleyelim.
“İkinci Dikkate Değer Limit: Çözüm Örnekleri” başlıklı makalede formül, sonuçları incelenmiş ve bu konudaki yaygın problem türleri verilmiştir.
Yukarıdaki makaleden sınırın ne olduğunu ve neyle yenildiğini öğrenebilirsiniz - bu ÇOK önemlidir. Neden? Determinantların ne olduğunu anlayamayabilir ve başarılı bir şekilde çözemeyebilirsiniz; türevin ne olduğunu hiç anlayamayabilir ve bunları “A” ile bulabilirsiniz. Ancak sınırın ne olduğunu anlamıyorsanız pratik görevleri çözmek zor olacaktır. Ayrıca örnek çözümlere ve tasarım önerilerime aşina olmanız da iyi bir fikir olacaktır. Tüm bilgiler basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır.
Ve bu dersin amaçları doğrultusunda aşağıdaki öğretim materyallerine ihtiyacımız olacak: Harika Sınırlar Ve Trigonometrik formüller. Sayfada bulunabilirler. Kılavuzların çıktısını almak en iyisidir; çok daha kullanışlıdır ve ayrıca bunlara sıklıkla çevrimdışı olarak başvurmanız gerekecektir.
Olağanüstü sınırları bu kadar özel kılan ne? Bu sınırların dikkat çekici yanı, ünlü matematikçilerin en büyük beyinleri tarafından kanıtlanmış olmaları ve minnettar torunların, bir yığın trigonometrik fonksiyon, logaritma ve kuvvetle ilgili korkunç sınırlardan muzdarip olmak zorunda olmamasıdır. Yani limitleri bulurken teorik olarak kanıtlanmış hazır sonuçları kullanacağız.
Birkaç harika sınır vardır, ancak pratikte vakaların %95'inde yarı zamanlı öğrencilerin iki harika sınırı vardır: İlk harika sınır, İkinci harika sınır. Bunların tarihsel olarak belirlenmiş isimler olduğunu ve örneğin "ilk dikkate değer sınır"dan bahsettiklerinde bununla tavandan alınan rastgele bir sınırı değil, çok spesifik bir şeyi kastettiklerini belirtmek gerekir.
İlk harika sınır
Aşağıdaki sınırı göz önünde bulundurun: (yerel harf “o” yerine Yunanca “alfa” harfini kullanacağım, bu materyalin sunumu açısından daha uygundur).
Limit bulma kuralımıza göre (bkz. makale Sınırlar. Çözüm örnekleri) fonksiyona sıfır koymaya çalışıyoruz: payda sıfır alıyoruz (sıfırın sinüsü sıfırdır) ve paydada da açıkça sıfır var. Bu nedenle, neyse ki açıklanması gerekmeyen bir biçim belirsizliğiyle karşı karşıyayız. Biliyorum matematiksel analiz, şu kanıtlanmıştır:
Bu matematiksel gerçeğe denir İlk harika sınır. Limitin analitik kanıtını vermeyeceğim ama işte burada: geometrik anlamı sınıfta buna bakacağız sonsuz küçük fonksiyonlar.
Sıklıkla pratik görevler işlevler farklı şekilde düzenlenebilir, bu hiçbir şeyi değiştirmez:
- aynı ilk harika sınır.
Ancak pay ve paydayı kendiniz yeniden düzenleyemezsiniz! Formda bir limit verilmişse, hiçbir şeyi yeniden düzenlemeden aynı formda çözülmesi gerekir.
Pratikte sadece bir değişken parametre olarak hareket etmekle kalmaz, aynı zamanda temel fonksiyon, karmaşık fonksiyon. Önemli olan tek şey sıfıra doğru yönelmesidir.
Örnekler:
, , 
, 
Burada , , , 
ve her şey yolunda - ilk harika sınır geçerlidir.
Ancak aşağıdaki girdi sapkınlıktır:
Neden? Polinom sıfıra yönelmediği için beşe yönelir.
Bu arada kısa bir soru: Limit nedir? 
? Cevabı dersin sonunda bulabilirsiniz.
Uygulamada her şey o kadar düzgün değildir; neredeyse hiçbir zaman bir öğrenciye ücretsiz bir limit çözmesi ve kolay bir geçiş yapması teklif edilmez. Hmmm... Bu satırları yazıyorum ve aklıma çok önemli bir fikir geldi - sonuçta, "özgür" matematiksel tanımları ve formülleri ezbere hatırlamak daha iyidir, bu, soru ne zaman sorulacaksa testte paha biçilmez bir yardım sağlayabilir. “iki” ve “üç” arasında karar verilir ve öğretmen öğrenciye basit bir soru sormaya veya çözme teklifinde bulunmaya karar verir. en basit örnek(“belki o(lar) hala neyi biliyordur?!”).
Düşünmeye devam edelim pratik örnekler:
örnek 1
Sınırı bulun
Limitte bir sinüs fark edersek, bu bizi hemen ilk dikkate değer limiti uygulama olasılığı hakkında düşünmeye sevk etmelidir.
Öncelikle limit işaretinin altındaki ifadeye 0'ı koymaya çalışıyoruz (bunu zihinsel olarak veya taslak halinde yapıyoruz):
Yani formda bir belirsizlik var mutlaka belirtin bir karar verirken. Limit işaretinin altındaki ifade ilk harika limite benzer ama bu tam olarak o değil, sinüsün altında ama paydada.
Böyle durumlarda ilk dikkat çeken limiti yapay bir teknik kullanarak kendimiz düzenlememiz gerekiyor. Akıl yürütme şu şekilde olabilir: "sahip olduğumuz sinüsün altında, bu da demek oluyor ki paydaya da girmemiz gerekiyor."
Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:
Yani bu durumda payda yapay olarak 7 ile çarpılır ve aynı yediye bölünür. Artık kaydımız tanıdık bir şekil aldı.
Görev elle çizildiğinde, ilk dikkate değer sınırın basit bir kalemle işaretlenmesi tavsiye edilir:
Ne oldu? Aslında daire içine alınmış ifademiz eserde bir birime dönüşerek yok oldu: 
Şimdi geriye kalan tek şey üç katlı kesirden kurtulmak: 
Çok seviyeli kesirlerin basitleştirilmesini kim unuttu, lütfen referans kitabındaki materyali yenileyin Okul matematik dersi için sıcak formüller .
Hazır. Son cevap:
Kurşun kalemle işaret kullanmak istemiyorsanız çözüm şu şekilde yazılabilir:
“
İlk harika limiti kullanalım 
“
Örnek 2
Sınırı bulun
Limitte yine bir kesir ve bir sinüs görüyoruz. Pay ve paydanın yerine sıfır koymaya çalışıyoruz:
Aslında belirsizlik var ve bu nedenle ilk harika sınırı düzenlemeye çalışmamız gerekiyor. Derste Sınırlar. Çözüm örnekleri Belirsizliğimiz olduğunda pay ve paydayı çarpanlara ayırmamız gerektiği kuralını dikkate aldık. Burada da aynı şey var, dereceleri çarpım (çarpan) olarak temsil edeceğiz:
Önceki örneğe benzer şekilde, dikkat çekici sınırların çevresine bir kalem çiziyoruz (burada bunlardan iki tane var) ve birlik eğiliminde olduklarını belirtiyoruz:
Aslında cevap hazır:
Aşağıdaki örneklerde Paint'te sanat yapmayacağım, bir defterde bir çözümün nasıl doğru bir şekilde çizileceğini düşünüyorum - zaten anlıyorsunuz.
Örnek 3
Sınırı bulun
Limit işaretinin altındaki ifadeye sıfır koyarız:
Açıklanması gereken bir belirsizlik elde edildi. Limitte bir teğet varsa, hemen hemen her zaman iyi bilinen trigonometrik formül kullanılarak sinüs ve kosinüse dönüştürülür (bu arada, kotanjant için de yaklaşık olarak aynı şeyi yaparlar, bkz. metodolojik materyal Sıcak trigonometrik formüller Sayfada Matematiksel formüller, tablolar ve referans materyalleri).
Bu durumda:
Sıfırın kosinüsü bire eşittir ve bundan kurtulmak kolaydır (bire eğilimli olduğunu işaretlemeyi unutmayın):
Bu nedenle, eğer kosinüs limitte bir ÇARPAN ise, o zaman kabaca konuşursak, üründe kaybolan bir birime dönüştürülmesi gerekir.
Burada her şey çarpma ve bölme olmadan daha basit hale geldi. Çarpımda dikkat çeken ilk limit de bire dönüşerek yok oluyor:
Sonuç olarak sonsuzluk elde edilir ve bu olur.
Örnek 4
Sınırı bulun
Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:
Belirsizlik elde edilir (hatırladığımız gibi sıfırın kosinüsü bire eşittir)
Trigonometrik formülü kullanıyoruz. Not alın! Bazı nedenlerden dolayı bu formülün kullanıldığı sınırlamalar çok yaygındır.
Sabit faktörleri sınır simgesinin ötesine taşıyalım:
İlk harika sınırı düzenleyelim:
Burada dikkat çekici tek bir limitimiz var, o da üründe bire dönüşüyor ve yok oluyor:
Üç katlı yapıdan kurtulalım:
Limit aslında çözüldü, kalan sinüsün sıfıra doğru yöneldiğini belirtiyoruz:
Örnek 5
Sınırı bulun 
Bu örnek daha karmaşıktır, kendiniz çözmeye çalışın:
Bazı limitler, bir değişken değiştirilerek 1. dikkat çekici limite düşürülebilir, bunu makalenin biraz ilerisinde okuyabilirsiniz. Sınırları çözme yöntemleri.
İkinci harika sınır
Matematiksel analiz teorisinde şu kanıtlanmıştır:
Bu gerçeğe denir ikinci harika sınır.
Referans: 
irrasyonel bir sayıdır.
Parametre sadece bir değişken değil aynı zamanda karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Önemli olan sonsuzluk için çabalamasıdır.
Örnek 6
Sınırı bulun
Limit işaretinin altındaki ifadenin derece olması, ikinci harika limiti uygulamaya çalışmanız gerektiğinin ilk işaretidir.
Ama önce, her zaman olduğu gibi, ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışıyoruz, bunun nasıl yapıldığına dair prensip derste tartışılıyor. Sınırlar. Çözüm örnekleri.
Bunu fark etmek kolaydır derecenin tabanı ve üs ise yani formda belirsizlik var:
Bu belirsizlik ikinci dikkat çekici limitin yardımıyla tam olarak ortaya çıkıyor. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, ikinci harika sınır gümüş bir tabakta yatmıyor ve yapay olarak düzenlenmesi gerekiyor. Şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: Bu örnekte parametre dır, bu da göstergede de düzenleme yapmamız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için tabanı kuvvete yükseltiyoruz ve ifadenin değişmemesi için kuvvete yükseltiyoruz:
Görev elle tamamlandığında kalemle işaretliyoruz:
Hemen hemen her şey hazır, korkunç derece güzel bir mektuba dönüştü:
Bu durumda limit simgesinin kendisini göstergeye taşıyoruz:
Örnek 7
Sınırı bulun
Dikkat! Bu tür limitlere çok sık rastlanır; lütfen bu örneği çok dikkatli inceleyin.
Limit işaretinin altındaki ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışalım:
Sonuç belirsizliktir. Ancak ikinci dikkate değer sınır, biçimin belirsizliğiyle ilgilidir. Ne yapalım? Derecenin tabanını dönüştürmemiz gerekiyor. Şöyle mantık yürütüyoruz: paydada , yani payda da düzenleme yapmamız gerekiyor.
Dikkate değer ilk limit aşağıdaki eşitliktir:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
$\alpha\to(0)$ için $\sin\alpha\to(0)$ elimizde olduğundan, ilk kayda değer limitin $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliği ortaya çıkardığını söylüyorlar. Genel olarak konuşursak, formül (1)'de $\alpha$ değişkeni yerine, iki koşul karşılandığı sürece sinüs işaretinin altına ve paydaya herhangi bir ifade yerleştirilebilir:
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynı anda sıfıra yönelir; $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlik vardır.
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynıdır.
İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar da sıklıkla kullanılır:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
Bu sayfada on bir örnek çözülmüştür. Örnek 1, formül (2)-(4)'ün ispatına ayrılmıştır. 2, No. 3, No. 4 ve No. 5'teki örnekler ayrıntılı yorumlar içeren çözümler içermektedir. 6-10 numaralı örnekler, önceki örneklerde ayrıntılı açıklamalar verildiği için neredeyse hiç yorum içermeyen çözümler içermektedir. Çözüm, bulunabilecek bazı trigonometrik formülleri kullanır.
$\frac (0) (0)$ belirsizliği ile birlikte trigonometrik fonksiyonların varlığının şu anlama gelmediğini belirtmek isterim: zorunlu başvuru ilk dikkate değer sınır. Bazen basit trigonometrik dönüşümler yeterlidir - örneğin bkz.
Örnek No.1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) olduğunu kanıtlayın (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ve $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, O:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ değişikliğini yapalım. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ koşulundan $y\to(0)$ olur. Ek olarak, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, yani:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.
c) $\alpha=\tg(y)$ yerine koyalım. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ ve $y\to(0)$ koşulları eşdeğerdir. Ek olarak, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, bu nedenle a) noktasının sonuçlarına dayanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.
a), b), c) eşitlikleri sıklıkla ilk dikkate değer limitle birlikte kullanılır.
Örnek No.2
Limiti hesaplayın $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ve $\lim_( x olduğundan \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yani ve kesrin payı ve paydası aynı anda sıfıra yöneliyorsa, burada $\frac(0)(0)$ biçimindeki bir belirsizlikle karşı karşıyayız, yani Tamamlandı. Ek olarak, sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadelerin çakıştığı (yani ve karşılandığı) açıktır:
Yani sayfanın başında listelenen her iki koşul da karşılanmıştır. Buradan formülün uygulanabilir olduğu sonucu çıkar; $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Cevap: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Örnek No.3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, $\frac formundaki bir belirsizlikle uğraşıyoruz (0 )(0)$, yani Tamamlandı. Ancak sinüs işaretinin altındaki ifadeler ile paydadaki ifadeler örtüşmemektedir. Burada paydadaki ifadeyi istediğiniz forma ayarlamanız gerekir. $9x$ ifadesinin paydada olmasına ihtiyacımız var, o zaman bu doğru olacaktır. Aslında paydada $9$ faktörünü kaçırıyoruz ki bunu girmek o kadar da zor değil; sadece paydadaki ifadeyi $9$ ile çarpmanız yeterli. Doğal olarak, $9$ ile çarpma işlemini telafi etmek için hemen $9$'a bölmeniz gerekecektir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Artık paydadaki ve sinüs işaretinin altındaki ifadeler çakışıyor. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin her iki koşulu da karşılandı. Bu nedenle, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Bu da şu anlama geliyor:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Örnek No. 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada formun belirsizliğiyle ilgileniyoruz $\frac(0)(0)$. Ancak birinci dikkat çekici sınırın şekli ihlal edilmiştir. $\sin(5x)$ içeren bir pay, $5x$ paydasını gerektirir. Bu durumda en kolay yol payı $5x$'a bölüp hemen $5x$ ile çarpmaktır. Ek olarak, paydayla benzer bir işlem gerçekleştireceğiz, $\tg(8x)$'ı $8x$ ile çarpıp böleceğiz:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ azaltıp $\frac(5)(8)$ sabitini limit işaretinin dışına çıkarırsak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$'ın ilk dikkat çekici limitin gerekliliklerini tamamen karşıladığını unutmayın. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$'ı bulmak için aşağıdaki formül uygulanabilir:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Örnek No. 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$'ı bulun.
Çünkü $\lim_(x\to(0)(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^2=0$, o zaman $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bununla birlikte, ilk dikkate değer limiti uygulamak için paydaki kosinüsten kurtulmalı, sinüslere (daha sonra formülü uygulamak için) veya teğetlere (daha sonra formülü uygulamak için) geçmelisiniz. Bu, aşağıdaki dönüşümle yapılabilir:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Sınıra geri dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesri zaten ilk dikkate değer limit için gereken forma yakındır. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesiriyle biraz çalışalım ve onu ilk kayda değer limite ayarlayalım (paydaki ve sinüs altındaki ifadelerin eşleşmesi gerektiğine dikkat edin):
$$\frac(\sin^2(5x)(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Söz konusu sınıra dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Örnek No. 6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(1-\cos(6x))=0$ ve $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, o zaman $\frac(0)(0)$ belirsizliğiyle uğraşıyoruz. İlk dikkat çeken limitin yardımıyla bunu açığa çıkaralım. Bunu yapmak için kosinüslerden sinüslere geçelim. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Verilen limitteki sinüslere geçerek şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Örnek No. 7
$\alpha\neq'e bağlı olarak $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesaplayın \ beta$.
Ayrıntılı açıklamalar daha önce verilmişti, ancak burada yine $\frac(0)(0)$ belirsizliğinin olduğunu not ediyoruz. Formülü kullanarak kosinüslerden sinüslere geçelim
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Bu formülü kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Örnek No. 8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(\tg(x)-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin(0)=\tg(0)=0$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^3=0$, o zaman burada $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bunu şu şekilde parçalayalım:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Örnek No. 9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ve $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - olduğundan) 3)(2)=0$ ise $\frac(0)(0)$ formunda belirsizlik vardır. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yöneleceği şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde $\alpha \to 0$ değişkeninin olduğuna dikkat edin). En kolay yol $t=x-3$ değişkenini tanıtmaktır. Bununla birlikte, daha sonraki dönüşümlerin kolaylığı açısından (bu fayda aşağıdaki çözüm sürecinde görülebilir), şu değiştirmeyi yapmaya değer: $t=\frac(x-3)(2)$. Bu durumda her iki değişikliğin de geçerli olduğunu unutmayın, sadece ikinci değişiklik kesirlerle daha az çalışmanıza izin verecektir. $x\to(3)$ olduğundan, $t\to(0)$ olur.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ için(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Cevap: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Örnek No. 10
Limiti bulun $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Bir kez daha belirsizlikle karşı karşıyayız $\frac(0)(0)$. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yaklaşacağı şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde değişkenin $\alpha\to(0)$ olduğunu unutmayın). En kolay yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ değişkenini tanıtmaktır. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, $t\to(0)$'a:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sol|\frac(0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Örnek No. 11
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) limitlerini bulun \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Bu durumda ilk harika limiti kullanmak zorunda değiliz. Hem birinci hem de ikinci limitlerin yalnızca trigonometrik fonksiyonları ve sayıları içerdiğini lütfen unutmayın. Çoğu zaman bu tür örneklerde limit işaretinin altında yer alan ifadeyi basitleştirmek mümkündür. Üstelik yukarıda bahsedilen basitleştirme ve bazı faktörlerin azaltılması sonrasında belirsizlik ortadan kalkıyor. Bu örneği tek bir amaç için verdim: Limit işareti altında trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin kullanılması anlamına gelmediğini göstermek.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ olduğunu unutmayın) ve $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (size $\cos\frac(\pi)(2)=0$ olduğunu hatırlatmama izin verin), o zaman elimizde $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşmak. Ancak bu, ilk harika sınırı kullanmamız gerekeceği anlamına gelmez. Belirsizliği ortaya çıkarmak için $\cos^2x=1-\sin^2x$ değerini hesaba katmak yeterlidir:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x)((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich’in çözüm kitabında (No. 475) da benzer bir çözüm var. İkinci limite gelince, bu bölümdeki önceki örneklerde olduğu gibi $\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var. Neden ortaya çıkıyor? Bunun nedeni $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ve $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olmasıdır. Bu değerleri pay ve paydadaki ifadeleri dönüştürmek için kullanırız. Eylemlerimizin amacı pay ve paydadaki toplamları çarpım olarak yazmaktır. Bu arada, genellikle benzer bir türde, yeni değişken sıfıra yönelecek şekilde yapılan bir değişkeni değiştirmek uygundur (örneğin, bu sayfadaki 9 veya 10 numaralı örneklere bakın). Bununla birlikte, bu örnekte değiştirmenin bir anlamı yoktur, ancak istenirse $t=x-\frac(2\pi)(3)$ değişkeninin değiştirilmesinin uygulanması zor değildir.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ için\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Gördüğünüz gibi ilk harika limiti uygulamamıza gerek yoktu. Elbette isterseniz bunu yapabilirsiniz (aşağıdaki nota bakın), ancak bu gerekli değildir.
İlk dikkate değer limiti kullanan çözüm nedir? göster\gizle
İlk dikkate değer limiti kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
