Çeşitli yollar Pisagor teoreminin kanıtı
9. "A" sınıfı öğrencisi
Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 8
Bilim danışmanı:
matematik öğretmeni,
Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 8
Sanat. Novorozhdestvenskaya
Krasnodar bölgesi.
Sanat. Novorozhdestvenskaya
DİPNOT.
Pisagor teoremi haklı olarak geometri dersinde en önemli teorem olarak kabul edilir ve yakından ilgiyi hak eder. Birçok geometrik problemin çözümünün temeli, gelecekte teorik ve pratik geometri derslerinin çalışılmasının temelidir. Teorem, görünümü ve ispat yöntemleriyle ilgili zengin tarihsel materyalle çevrilidir. Geometrinin gelişim tarihini incelemek bu konuya olan sevgiyi aşılar, bilişsel ilginin, genel kültürün ve yaratıcılığın gelişimini teşvik eder ve ayrıca araştırma becerilerini geliştirir.
Arama faaliyeti sonucunda, Pisagor teoreminin ispatına ilişkin bilgiyi yenilemek ve genelleştirmek olan çalışmanın amacına ulaşıldı. Okul ders kitabı sayfalarının ötesine geçerek çeşitli kanıt yöntemlerini bulmak ve değerlendirmek ve konuyla ilgili bilgiyi derinleştirmek mümkündü.
Toplanan materyal bizi ayrıca Pisagor teoreminin büyük bir geometri teoremi olduğuna ve muazzam teorik ve pratik öneme sahip olduğuna ikna ediyor.
Giriiş. Tarihsel referans 5 Ana bölüm 8
3. Sonuç 19
4. Kullanılan literatür 20
1. GİRİŞ. TARİHSEL REFERANS.
Gerçeğin özü bizim için sonsuza kadar olmasıdır.
Onun içgörüsünde en azından bir kez ışığı gördüğümüzde,
Ve bunca yıl sonra Pisagor teoremi
Bizim için de onun için de inkar edilemez, kusursuzdur.
Pisagor sevinmek için tanrılara bir yemin etti:
Sonsuz bilgeliğe dokunduğun için,
Ebedî olanlar sayesinde yüz boğa kesti;
Kurbanın ardından dualar ve övgüler sundu.
O zamandan beri boğalar kokuyu alınca itiyorlar,
Yolun insanları yeniden yeni bir gerçeğe götürdüğünü,
Öfkeyle kükrüyorlar, o yüzden dinlemenin bir anlamı yok,
Bu tür Pisagorlar onlara sonsuza dek korku aşıladı.
Yeni gerçeğe karşı koyamayacak kadar güçsüz olan boğalar,
Ne anlamda? - Sadece gözlerini kapatıyorsun, kükreyorsun, titriyorsun.
Pisagor'un teoremini nasıl kanıtladığı bilinmiyor. Kesin olan şey onun bunu Mısır biliminin güçlü etkisi altında keşfettiğidir. Pisagor teoreminin özel bir durumu - kenarları 3, 4 ve 5 olan bir üçgenin özellikleri - Pisagor'un doğumundan çok önce piramitlerin inşaatçıları tarafından biliniyordu ve kendisi de 20 yıldan fazla bir süre Mısırlı rahiplerle çalıştı. Ünlü teoremini kanıtlayan Pisagor'un tanrılara bir boğa ve diğer kaynaklara göre 100 boğa bile kurban ettiğini söyleyen bir efsane korunmuştur. Ancak bu durum Pisagor'un ahlaki ve dini görüşleri hakkındaki bilgilerle çelişmektedir. Edebi kaynaklarda onun "hayvanları beslemeyi, öldürmeyi bile yasakladığını, çünkü hayvanların da tıpkı bizim gibi ruhları olduğunu" okuyabilirsiniz. Pisagor sadece bal, ekmek, sebze ve ara sıra balık yerdi. Bütün bunlarla bağlantılı olarak şu girişin daha makul olduğu düşünülebilir: "... ve dik üçgende hipotenüsün bacaklara karşılık geldiğini keşfettiğinde bile, buğday hamurundan yapılmış bir boğayı kurban etti."
Pisagor teoreminin popülaritesi o kadar büyük ki, kanıtları kurguda bile bulunuyor, örneğin ünlü İngiliz yazar Huxley'in "Genç Arşimet" hikayesinde. Aynı Kanıt, ancak ikizkenar dik üçgenin özel durumu için Platon'un "Menon" diyaloğunda verilmiştir.
Peri masalı "Ev".
“Uçakların bile uçmadığı çok çok uzaklarda Geometri ülkesi var. Bu sıradışı ülkede muhteşem bir şehir vardı - Teorem şehri. Bir gün bu şehre geldim güzel kız Hipotenüs denir. Bir oda kiralamaya çalıştı ama nereye başvurursa başvursun reddedildi. Sonunda köhne eve yaklaştı ve kapıyı çaldı. Kendisine Dik Açı adını veren bir adam ona kapıyı açtı ve Hipotenüs'ü kendisiyle birlikte yaşamaya davet etti. Hipotenüs, Dik Açı ve Katetes adındaki iki küçük oğlunun yaşadığı evde kaldı. O zamandan beri Right Angle evinde hayat yeni bir şekilde değişti. Hipotenüs pencereye çiçekler, ön bahçeye ise kırmızı güller dikti. Ev dik üçgen şeklini aldı. Her iki bacak da Hipotenüsü gerçekten beğendi ve ondan sonsuza kadar evlerinde kalmasını istedi. Akşamları bu dost canlısı aile, aile masasında toplanır. Right Angle bazen çocuklarıyla saklambaç oynuyor. Çoğu zaman bakmak zorunda kalır ve Hipotenüs o kadar ustaca gizlenir ki bulunması çok zor olabilir. Bir gün oynarken Dik Açı ilginç bir özelliği fark etti: eğer bacakları bulmayı başarırsa, Hipotenüsü bulmak zor olmaz. Yani Dik Açı'nın bu kalıbı çok başarılı bir şekilde kullandığını söylemeliyim. Pisagor teoremi bu dik üçgenin özelliğine dayanmaktadır.”
(A. Okunev'in “Ders için teşekkürler çocuklar” kitabından).
Teoremin mizahi bir formülasyonu:
Eğer bize bir üçgen verilirse
Üstelik dik açıyla,
Bu hipotenüsün karesi
Her zaman kolayca bulabiliriz:
Bacakları kare haline getiriyoruz,
Kuvvetlerin toplamını buluyoruz -
Ve bu kadar basit bir şekilde
Sonucuna geleceğiz.
10. sınıfta cebir, analiz ve geometrinin başlangıcını incelerken, 8. sınıfta tartışılan Pisagor teoremini ispatlama yönteminin yanı sıra başka ispat yöntemlerinin de olduğuna ikna oldum. Bunları değerlendirmenize sunuyorum.
2. ANA BÖLÜM.
Teorem. Dik üçgende bir kare vardır
Hipotenüs bacakların karelerinin toplamına eşittir.
1 YÖNTEM.
Çokgenlerin alanlarının özelliklerini kullanarak hipotenüs ile dik üçgenin kenarları arasında dikkate değer bir ilişki kuracağız.
Kanıt.
AC ve hipotenüs İle(Şekil 1, a).
Hadi bunu kanıtlayalım c²=a²+b².
Kanıt.
Üçgeni kenarları olan bir kareye tamamlayalım a + bŞekil 2'de gösterildiği gibi. 1, b. Bu karenin S alanı (a + b)²'dir. Öte yandan bu kare her birinin alanı ½ olan dört eşit dik açılı üçgenden oluşuyor. ah ve kenarı olan bir kare İle, bu nedenle S = 4 * ½ ah + c² = 2ah + c².
Böylece,
(a + b)² = 2 ah + c²,
c²=a²+b².
Teorem kanıtlandı.
2 YÖNTEM.
“Benzer üçgenler” konusunu inceledikten sonra üçgenlerin benzerliğini Pisagor teoreminin ispatına uygulayabileceğinizi öğrendim. Yani, bir dik üçgenin kenarının, hipotenüsle ve dik kenar ile tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki hipotenüs parçasıyla orantılı ortalama olduğu ifadesini kullandım. dik açı.
Dik açısı C, CD – yüksekliği olan bir dik üçgen düşünün (Şekil 2). Hadi bunu kanıtlayalım AC² +KD² = AB²
.
Kanıt.
Bir dik üçgenin bacağına ilişkin ifadeye dayanarak:
AC = , SV = .
Ortaya çıkan eşitliklerin karesini alıp toplayalım:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), burada AD+DB=AB, o zaman
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Kanıt tamamlandı.
3 YÖNTEM.
Pisagor teoremini kanıtlamak için bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü tanımını uygulayabilirsiniz. Şekil 2'ye bakalım. 3.
Kanıt:
ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgen olsun. C dik açısının tepe noktasından CD yüksekliğini çizelim.
Bir açının kosinüsünün tanımı gereği:
çünkü A = AD/AC = AC/AB. Dolayısıyla AB * AD = AC²
Aynı şekilde,
çünkü B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Dolayısıyla AB * BD = BC².
Ortaya çıkan eşitlikleri terim terim topladığımızda ve AD + DB = AB olduğunu not ettiğimizde şunu elde ederiz:
AC² + güneş² = AB (AD + DB) = AB²
Kanıt tamamlandı.
4 YÖNTEM.
"Dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler" konusunu inceledikten sonra Pisagor teoreminin başka bir şekilde kanıtlanabileceğini düşünüyorum.
Bacakları olan bir dik üçgen düşünün AC ve hipotenüs İle. (Şekil 4).
Hadi bunu kanıtlayalım c²=a²+b².
Kanıt.
günah B= yüksek kalite ; çünkü B= AC , daha sonra elde edilen eşitliklerin karesini alırsak şunu elde ederiz:
günah² B= in²/s²; cos² İÇİNDE= a²/c².
Bunları topladığımızda şunu elde ederiz:
günah² İÇİNDE+cos² B=в²/с²+ а²/с², burada sin² İÇİNDE+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с² dolayısıyla,
c²= a² + b².
Kanıt tamamlandı.
5 YÖNTEM.
Bu ispat, bacaklar üzerinde oluşturulan karelerin kesilmesine (Şekil 5) ve elde edilen parçaların hipotenüs üzerine kurulan bir kareye yerleştirilmesine dayanmaktadır.
6 YÖNTEM.
Yan taraftaki kanıt için Güneş inşa ediyoruz BCD ABC(Şekil 6). Benzer şekillerin alanlarının benzer doğrusal boyutların kareleri ile ilişkili olduğunu biliyoruz:
Birinci eşitlikten ikinciyi çıkarırsak,
c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
7 YÖNTEM.
Verilen(Şekil 7):
ABC,= 90° , güneş= a, AC=b, AB = c.
Kanıtlamak:c2 = a2 +b2.
Kanıt.
Bacağını bırak B A. Bölüme devam edelim kuzeydoğu puan başına İÇİNDE ve bir üçgen oluştur BMD böylece noktalar M Ve A düz çizginin bir tarafında uzanmak CD ve ek olarak, BD =B, bdm= 90°, DM= a ise BMD= ABC iki tarafta ve aralarındaki açı. A noktaları ve M segmentlerle bağlantı kurun AM. Sahibiz MD CD Ve AC. CD, bu düz olduğu anlamına gelir ACçizgiye paralel MDÇünkü MD< АС, sonra düz CD Ve sabah paralel değil. Öyleyse, AMDC- dikdörtgen yamuk.
ABC dik üçgenlerinde ve BMD 1 + 2 = 90° ve 3 + 4 = 90°, ancak = = olduğundan 3 + 2 = 90°; Daha sonra AVM=180° - 90° = 90°. Yamuk olduğu ortaya çıktı AMDCörtüşmeyen üç dik üçgene, ardından alan aksiyomlarına bölünür
(a+b)(a+b)
Eşitsizliğin tüm terimlerini 'ye bölerek şunu elde ederiz:
Ab + c2 + ab = (bir +B) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,
c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
8 YÖNTEM.
Bu yöntem bir dik üçgenin hipotenüsüne ve bacaklarına dayanmaktadır. ABC. Karşılık gelen kareleri oluşturur ve hipotenüs üzerine inşa edilen karenin, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşit olduğunu kanıtlar (Şekil 8).
Kanıt.
1) DBC= Amazon Lojistik= 90°;
DBC+ ABC= Amazon Lojistik+ ABC, Araç, FBC = DBA.
Böylece, FBC=ABD(iki tarafta ve aralarındaki açı).
2) 
,
burada AL DE, BD ortak bir baz olduğundan, DL- toplam yükseklik.
3) 
FB bir vakıf olduğundan, AB- toplam yükseklik.
4) 
5) Benzer şekilde kanıtlanabilir ki 
6) Dönem terimlerini topladığımızda şunu elde ederiz:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Kanıt tamamlandı.
9 YÖNTEM.
Kanıt.
1) izin ver ABDE- tarafı dik üçgenin hipotenüsüne eşit olan bir kare (Şekil 9) ABC= s, BC = a, AC =B).
2) izin ver Bilmiyorum M.Ö. Ve DK = güneş, 1 + 2 = 90° (dik üçgenin dar açıları gibi), 3 + 2 = 90° (karenin açısı gibi), AB= BD(meydanın kenarları).
Araç, ABC= BDK(hipotenüs ve dar açıya göre).
3) İzin ver EL D.K., A.M. E.L. ABC = BDK = DEL = EAM (ayaklı) olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. A Ve B). Daha sonra KS= SANTİMETRE= M.L.= L.K.= A -B.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),İle2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
10 YÖNTEM.
Kanıt, şaka amaçlı "Pisagor pantolonu" olarak adlandırılan bir figür üzerinde yapılabilir (Şekil 10). Onun fikri, yanlara inşa edilen kareleri, birlikte hipotenüsün karesini oluşturan eşit üçgenlere dönüştürmektir.
ABC okla gösterildiği gibi hareket ettirin ve pozisyon alır KDN.Şeklin geri kalanı AKDCB karenin eşit alanı AKDC bu bir paralelkenar AKNB.
Paralelkenar modeli yapıldı AKNB. Paralelkenarı çalışmanın içeriğinde çizildiği gibi yeniden düzenliyoruz. Paralelkenarın eşit alanlı üçgene dönüşümünü göstermek için öğrencilerin önünde model üzerinde bir üçgen kesip aşağı doğru hareket ettiriyoruz. Böylece karenin alanı AKDC dikdörtgenin alanına eşit olduğu ortaya çıktı. Benzer şekilde karenin alanını dikdörtgenin alanına dönüştürüyoruz.
Bir kenarda oluşturulan kare için dönüşüm yapalım A(Şekil 11, a):
a) kare eşit bir paralelkenara dönüştürülür (Şekil 11.6):
b) paralelkenar çeyrek tur döner (Şek. 12):
c) paralelkenar eşit bir dikdörtgene dönüştürülür (Şekil 13): 11 YÖNTEM.
Kanıt:
PCL- düz (Şekil 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Kanıt bitti .
12 YÖNTEM.
Pirinç. Şekil 15, Pisagor teoreminin başka bir orijinal kanıtını göstermektedir.
Burada: C dik açısına sahip ABC üçgeni; çizgi segmenti B.F. dik kuzeydoğu ve buna eşit olan segment OLMAK dik AB ve buna eşit olan segment Reklam dik AC ve ona eşit; puan F, Ç,D aynı hatta ait; dörtgenler ADFB Ve ASVE boyut olarak eşit çünkü ABF = ECB;üçgenler ADF Ve as boyut olarak eşit; her iki eşit dörtgenden paylaştıkları üçgeni çıkarın ABC, aldık
, c2 = a2 +
b2.
Kanıt tamamlandı.
13 YÖNTEM.
Belirli bir dik üçgenin alanı bir tarafta eşittir ,
diğeriyle birlikte, ,
3. SONUÇ.
Arama faaliyeti sonucunda, Pisagor teoreminin ispatına ilişkin bilgiyi yenilemek ve genelleştirmek olan çalışmanın amacına ulaşıldı. Okul ders kitabı sayfalarının ötesine geçerek, bunu kanıtlamanın ve konuyla ilgili bilgiyi derinleştirmenin çeşitli yollarını bulmak ve düşünmek mümkündü.
Topladığım materyaller beni Pisagor teoreminin büyük bir geometri teoremi olduğuna ve muazzam teorik ve pratik öneme sahip olduğuna daha da ikna etti. Sonuç olarak şunu söylemek isterim: Pisagor üçlü teoreminin popülaritesinin nedeni güzelliği, basitliği ve önemidir!
4. KULLANILAN LİTERATÜR.
1. Eğlenceli cebir. . Moskova "Bilim", 1978.
2. “Bir Eylül” gazetesinin haftalık eğitimsel ve metodolojik eki, 24/2001.
3. Geometri 7-9. ve benzeri.
4. Geometri 7-9. ve benzeri.
(Berlin Müzesi'nin 6619 numaralı papirüsüne göre). Cantor'a göre harpedonapteler veya "halat çekiciler" kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenleri kullanarak dik açılar inşa ettiler.
Yapım yöntemlerini çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alalım ve ona bir ucundan 3 m, diğer ucundan 4 metre uzaklıkta renkli bir şerit bağlayalım. Dik açı 3 ila 4 metre uzunluğunda kenarlar arasında olacaktır. Harpedonaptiyanlara, örneğin tüm marangozların kullandığı ahşap bir kare kullanıldığında, inşaat yöntemlerinin gereksiz hale geldiği yönünde itiraz edilebilir. Gerçekten de, böyle bir aletin bulunduğu Mısır çizimleri bilinmektedir, örneğin bir marangozluk atölyesini tasvir eden çizimler.
Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Hammurabi dönemine, yani M.Ö. 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. e. Bir dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Buradan Mezopotamya'da en azından bazı durumlarda dik üçgenlerle hesaplamalar yapabildikleri sonucuna varabiliriz. Van der Waerden (Hollandalı bir matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan da Yunan kaynaklarına ilişkin eleştirel bir çalışmaya dayanarak, yüksek bir olasılığın olduğu sonucuna vardı. Hipotenüsün karesi teoremi Hindistan'da M.Ö. 18. yüzyıldan beri biliniyordu. e.
MÖ 400 civarında. Proclus'a göre Platon, cebir ve geometriyi birleştirerek Pisagor üçlülerini bulmak için bir yöntem verdi. MÖ 300 civarında. e. Pisagor teoreminin en eski aksiyomatik kanıtı Öklid'in Elementlerinde ortaya çıktı.
Formülasyonlar
Geometrik formülasyon:
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Cebirsel formülasyon:
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu , kenarlarının uzunluklarını ve ile gösteririz:
Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir; alan kavramını gerektirmez. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve bir dik üçgenin yalnızca kenar uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.
Converse Pisagor teoremi:
Kanıt
Açık şu an Bu teoremin bilimsel literatürde 367 ispatı kaydedilmiştir. Muhtemelen Pisagor teoremi bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Bu çeşitlilik ancak teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin, kullanılarak) diferansiyel denklemler).
Benzer üçgenler sayesinde
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve tabanını şu şekilde belirtin: H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC. Gösterimi tanıtarak
aldık
Eşdeğer nedir
Bunu topladığımızda şunu elde ederiz
kanıtlanması gereken şey buyduAlan yöntemini kullanan ispatlar
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi, ispatı Pisagor teoreminin ispatından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanır.
Eştamamlama yoluyla kanıt
- Şekil 1'de gösterildiği gibi dört eşit dik üçgeni düzenleyelim.
- Kenarları olan dörtgen Cİki dar açının toplamı 90° ve düz açının toplamı 180° olduğundan karedir.
- Tüm şeklin alanı, bir yandan (a + b) kenarlı bir karenin alanına, diğer yandan dört üçgenin alanlarının toplamına eşittir. iç karenin alanı.
Q.E.D.
Öklid'in kanıtı
Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir.
Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.
DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım.Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir üçgenin alanı verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.
Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Bu eşitlik açıktır: Üçgenlerin her iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir. Yani - AB=AK, AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliği hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle).
BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir.
Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtladık. Bu kanıtın arkasındaki fikir yukarıdaki animasyonla daha da açıklanmaktadır.
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.
Çizimi ele alalım, simetriden görülebileceği gibi, parça kareyi iki özdeş parçaya böler (çünkü üçgenler yapı olarak eşittir).
Nokta etrafında saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli şekillerin eşitliğini görüyoruz.
Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, küçük karelerin (bacaklar üzerine inşa edilmiş) alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan, hipotenüs üzerine inşa edilen büyük karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. Böylece küçük karelerin alanlarının toplamının yarısı büyük karenin alanının yarısına eşit olur ve dolayısıyla ayaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı da üzerine kurulan karenin alanına eşit olur. hipotenüs.
Sonsuz küçük yöntemle kanıt
Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki ispat, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.
Şekilde gösterilen çizime bakıp taraftaki değişimi gözlemlemek A sonsuz küçük yan artışlar için aşağıdaki ilişkiyi yazabiliriz İle Ve A(üçgen benzerliğini kullanarak):
Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak şunu buluruz:
Daha genel ifade her iki bacağın artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için
Bu denklemin integralini alarak ve başlangıç koşullarını kullanarak şunu elde ederiz:
Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz
Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin kenarları ve artışlar arasındaki doğrusal orantılılık nedeniyle ortaya çıkarken, toplam, farklı bacakların artışlarından gelen bağımsız katkılarla ilişkilendirilir.
Bacaklardan birinde bir artış olmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir ( bu durumda bacak). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:
Varyasyonlar ve genellemeler
Üç tarafta benzer geometrik şekiller
Benzer üçgenler için genelleme, yeşil şekillerin alanı A + B = mavi C'nin alanı
Benzer dik üçgenleri kullanan Pisagor teoremi
Öklid, Pisagor teoremini eserinde genelleştirdi Başlangıçlar, kenarlardaki karelerin alanlarını benzer geometrik şekillerin alanlarına genişleterek:
Eğer benzerini inşa edersen geometrik şekiller(bkz. Öklid geometrisi) bir dik üçgenin kenarları üzerindeyse, iki küçük rakamın toplamı büyük rakamın alanına eşit olacaktır.
Bu genellemenin ana fikri, böyle bir geometrik şeklin alanının, herhangi bir doğrusal boyutunun karesiyle ve özellikle herhangi bir kenarın uzunluğunun karesiyle orantılı olmasıdır. Bu nedenle alanlarla benzer rakamlar için A, B Ve C uzunluklu kenarlar üzerine inşa edilmiştir A, B Ve C, sahibiz:
Ancak Pisagor teoremine göre, A 2 + B 2 = C 2 o zaman A + B = C.
Tam tersi, eğer bunu kanıtlayabilirsek A + B = C Pisagor teoremini kullanmadan benzer üç geometrik şekil için ters yönde hareket ederek teoremin kendisini kanıtlayabiliriz. Örneğin başlangıç merkezi üçgeni üçgen olarak yeniden kullanılabilir. C hipotenüs ve iki benzer dik üçgen ( A Ve B), ortadaki üçgenin yüksekliğine bölünmesiyle oluşturulan diğer iki tarafa inşa edilmiştir. Bu durumda iki küçük üçgenin alanlarının toplamı açıkça üçüncünün alanına eşit olur, dolayısıyla A + B = C ve önceki ispatı yerine getirerek Ters sipariş Pisagor teoremini a 2 + b 2 = c 2 elde ederiz.
Kosinüs teoremi
Pisagor teoremi özel durum keyfi bir üçgenin kenarlarının uzunluklarını ilişkilendiren daha genel bir kosinüs teoremi:
burada θ kenarlar arasındaki açıdır A Ve B.
Eğer θ 90 derece ise o zaman çünkü θ = 0 ve formül olağan Pisagor teoremine göre basitleştirilir.
Serbest Üçgen
Kenarları olan keyfi bir üçgenin seçilen herhangi bir köşesine a, b, c Bir ikizkenar üçgeni, θ tabanındaki eşit açılar seçilen açıya eşit olacak şekilde yazalım. Seçilen θ açısının belirtilen tarafın karşısında bulunduğunu varsayalım. C. Sonuç olarak, kenarın karşısında bulunan θ açısına sahip ABD üçgeni elde ettik. A ve partiler R. İkinci üçgen, kenarın karşısında bulunan θ açısı tarafından oluşturulur. B ve partiler İle uzunluk S, resimde gösterildiği gibi. Sabit İbn Kurra bu üç üçgenin kenarlarının birbiriyle ilişkili olduğunu şu şekilde ileri sürmüştür:
θ açısı π/2'ye yaklaştıkça ikizkenar üçgenin tabanı küçülür ve r ve s kenarları giderek daha az örtüşür. θ = π/2 olduğunda ADB bir dik üçgen haline gelir, R + S = C ve başlangıç Pisagor teoremini elde ederiz.
Argümanlardan birini ele alalım. ABC üçgeninin açıları ABD üçgeniyle aynı fakat ters sıradadır. (İki üçgen var ortak açı B köşesinde her ikisi de θ açısına sahiptir ve aynı zamanda üçgenin açılarının toplamına göre aynı üçüncü açıya sahiptir. Buna göre ABC, alt şekilde gösterildiği gibi DBA üçgeninin ABD yansımasına benzer. Karşıt kenarlar ile θ açısına komşu kenarlar arasındaki ilişkiyi yazalım,
Ayrıca başka bir üçgenin yansıması,
Kesirleri çarpalım ve şu iki oranı toplayalım:
Q.E.D.
Paralelkenarlar aracılığıyla keyfi üçgenler için genelleme
Keyfi üçgenler için genelleme,
yeşil alan arsa = alan mavi
Yukarıdaki şekildeki tezin kanıtı
Dik olmayan üçgenler için kare yerine üç kenarı paralelkenar kullanarak bir genelleme daha yapalım. (kareler özel bir durumdur.) Üstteki şekil, dar açılı bir üçgen için, uzun kenardaki paralelkenarın alanının, uzun kenardaki paralelkenarın diğer iki kenardaki paralelkenarların toplamına eşit olduğunu göstermektedir. kenar şekilde gösterildiği gibi yapılır (oklarla gösterilen boyutlar aynıdır ve alt paralelkenarın kenarlarını belirler). Karelerin paralelkenarlarla değiştirilmesi, MS 4'te İskenderiyeli Pappus tarafından formüle edildiği düşünülen ilk Pisagor teoremine açık bir benzerlik göstermektedir. e.
Alttaki şekil ispatın ilerleyişini göstermektedir. Üçgenin sol tarafına bakalım. Soldaki yeşil paralelkenar aynı alana sahiptir. Sol Taraf mavi paralelkenar çünkü tabanları aynı B ve yükseklik H. Ayrıca, sol yeşil paralelkenar üstteki resimdeki sol yeşil paralelkenarla aynı alana sahiptir çünkü ortak bir tabanı paylaşırlar (üstte). Sol taraftakiüçgen) ve üçgenin o kenarına dik olan toplam yükseklik. Üçgenin sağ tarafı için de benzer mantık yürüterek alttaki paralelkenarın iki yeşil paralelkenarla aynı alana sahip olduğunu kanıtlayacağız.
Karışık sayılar
Pisagor teoremi Kartezyen koordinat sisteminde iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için kullanılır ve bu teorem tüm gerçek koordinatlar için geçerlidir: mesafe S iki nokta arasında ( a, b) Ve ( CD) eşittir
Karmaşık sayılar gerçek bileşenli vektörler olarak ele alınırsa formülde herhangi bir sorun olmaz X + ben = (X, sen). . Örneğin mesafe S 0 + 1 arasında Ben ve 1 + 0 Ben vektörün modülü olarak hesaplanır (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), veya
Ancak karmaşık koordinatlara sahip vektörlerle yapılan işlemler için Pisagor formülünde bazı iyileştirmeler yapılması gerekmektedir. Noktalar arasındaki mesafe Karışık sayılar (A, B) Ve ( C, D); A, B, C, Ve D hepsi karmaşık, bunu kullanarak formüle edelim mutlak değerler. Mesafe S vektör farkına dayalı (A − C, B − D) aşağıdaki biçimde: fark olsun A − C = P+ben Q, Nerede P- farkın gerçek kısmı, Q sanal kısımdır ve i = √(−1). Aynı şekilde izin ver B − D = R+ben S. Daha sonra:
için karmaşık eşlenik sayı nerede? Örneğin noktalar arasındaki mesafe (A, B) = (0, 1) Ve (C, D) = (Ben, 0) farkı hesaplayalım (A − C, B − D) = (−Ben, 1) ve karmaşık eşlenikler kullanılmasaydı sonuç 0 olurdu. Bu nedenle, geliştirilmiş formülü kullanarak şunu elde ederiz:
Modül şu şekilde tanımlanır:
Stereometri
Üç boyutlu uzay için Pisagor teoreminin önemli bir genellemesi, adını J.-P.'den alan de Goy teoremidir. de Gois: Eğer bir tetrahedronun dik açısı varsa (bir küpte olduğu gibi), o zaman dik açının karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir. Bu sonuç şu şekilde özetlenebilir: " N boyutlu Pisagor teoremi":
Pisagor teoremi üç boyutlu uzay AD köşegenini üç tarafa bağlar.
Başka bir genelleme: Pisagor teoremi stereometriye aşağıdaki biçimde uygulanabilir. Şekilde gösterildiği gibi dikdörtgen bir paralel yüzlü düşünün. Pisagor teoremini kullanarak BD köşegeninin uzunluğunu bulalım:
üç tarafın bir dik üçgen oluşturduğu yer. AD köşegeninin uzunluğunu bulmak için yatay BD köşegenini ve AB dikey kenarını kullanırız, bunun için yine Pisagor teoremini kullanırız:
veya her şeyi tek bir denklemde yazarsak:
Bu sonuç, vektörün büyüklüğünü belirlemek için kullanılan üç boyutlu bir ifadedir. v(çapraz AD), dik bileşenleri cinsinden ifade edilir ( v k ) (karşılıklı olarak üç dik kenar):
Bu denklem Pisagor teoreminin çok boyutlu uzay için bir genellemesi olarak düşünülebilir. Ancak sonuç aslında Pisagor teoreminin ardışık dik düzlemlerdeki dik üçgen dizisine tekrar tekrar uygulanmasından başka bir şey değildir.
Vektör Uzayı
Dik bir vektör sistemi durumunda, Pisagor teoremi olarak da adlandırılan bir eşitlik vardır:
Bunlar vektörün koordinat eksenlerine izdüşümleri ise, o zaman bu formül Öklid mesafesiyle çakışır - ve vektörün uzunluğunun, bileşenlerinin karelerinin toplamının kareköküne eşit olduğu anlamına gelir.
Bu eşitliğin sonsuz bir vektör sistemi durumundaki benzerine Parseval eşitliği denir.
Öklid dışı geometri
Pisagor teoremi Öklid geometrisinin aksiyomlarından türetilmiştir ve aslında yukarıda yazıldığı haliyle Öklid dışı geometri için geçerli değildir. (Yani Pisagor teoreminin, Öklid'in paralellik varsayımının bir nevi eşdeğeri olduğu ortaya çıkıyor.) Başka bir deyişle, Öklid dışı geometride bir üçgenin kenarları arasındaki ilişki zorunlu olarak Pisagor teoreminden farklı bir biçimde olacaktır. Örneğin, küresel geometride bir dik üçgenin her üç tarafı da (örneğin A, B Ve C Birim kürenin oktantını (sekizinci kısım) sınırlayan ), Pisagor teoremine aykırı olan π/2 uzunluğa sahiptir, çünkü A 2 + B 2 ≠ C 2 .
Burada Öklid dışı geometrinin iki durumunu ele alalım: küresel ve hiperbolik geometri; her iki durumda da, dik üçgenler için Öklid uzayına gelince, Pisagor teoreminin yerini alan sonuç kosinüs teoreminden çıkar.
Bununla birlikte, üçgenin dikdörtgen olması şartının yerine üçgenin iki açısının toplamının üçüncü açıya eşit olması koşulu getirilirse, Pisagor teoremi hiperbolik ve eliptik geometri için geçerliliğini korur. A+B = C. O zaman kenarlar arasındaki ilişki şuna benzer: çapları olan dairelerin alanlarının toplamı A Ve Bçapı olan bir dairenin alanına eşit C.
Küresel geometri
Yarıçaplı bir küre üzerindeki herhangi bir dik üçgen için R(örneğin, bir üçgendeki γ açısı dik ise) kenarlarla A, B, C Taraflar arasındaki ilişki şöyle görünecek:
Bu eşitlik şu şekilde türetilebilir: özel bir durum tüm küresel üçgenler için geçerli olan küresel kosinüs teoremi:
burada cosh hiperbolik kosinüstür. Bu formül, tüm üçgenler için geçerli olan hiperbolik kosinüs teoreminin özel bir durumudur:
burada γ, tepe noktası kenara zıt olan açıdır C.
Nerede G ben metrik tensör denir. Konumun bir fonksiyonu olabilir. Bu tür eğrisel uzaylar Riemann geometrisini içerir: genel örnek. Bu formülasyon aynı zamanda eğrisel koordinatlar kullanıldığında Öklid uzayı için de uygundur. Örneğin kutupsal koordinatlar için:
Vektör çizimleri
Pisagor teoremi bir vektör çarpımının büyüklüğü için iki ifadeyi birbirine bağlar. Çapraz çarpımı tanımlamaya yönelik bir yaklaşım, bunun denklemi karşılamasını gerektirir:
Bu formül nokta çarpımını kullanır. Sağ Taraf denklemine Gram determinantı denir A Ve B bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir. Bu gerekliliğin yanı sıra vektör çarpımının bileşenlerine dik olması şartına dayanarak A Ve B bundan, 0 ve 1 boyutlu uzaydaki önemsiz durumlar dışında, çapraz çarpımın yalnızca üç ve yedi boyutta tanımlandığı sonucu çıkar. Açının tanımını kullanıyoruz N boyutlu uzay:
Bir çapraz çarpımın bu özelliği, büyüklüğünü şu şekilde verir:
Pisagor'un temel trigonometrik özdeşliği sayesinde değerini yazmanın başka bir biçimini elde ederiz:
Çapraz çarpımı tanımlamaya alternatif bir yaklaşım, büyüklüğü için bir ifade kullanmaktır. Daha sonra ters sırayla akıl yürüterek skaler çarpımla bir bağlantı elde ederiz:
Ayrıca bakınız
Notlar
- Tarih konusu: Babil matematiğinde Pisagor teoremi
- ( , s. 351) s. 351
- ( , Cilt I, s. 144)
- Tartışma tarihsel gerçekler(, s. 351) s. 351'de verilmiştir
- Kurt Von Fritz (Nisan 1945). "Metapontumlu Hippasus'un Ölçülemezliğin Keşfi". Matematik Yıllıkları, İkinci Seri(Matematik Yıllıkları) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, “Düğümlü Hikaye”, M., Mir, 1985, s. 7
- Asger Aaboe Matematiğin erken tarihinden bölümler. - Amerika Matematik Derneği, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Python Önerisi kaydeden Elisha Scott Loomis
- Öklid'in Elementler: Kitap VI, Öneri VI 31: “Dik açılı üçgenlerde, dik açıyı gören taraftaki şekil, dik açıyı içeren kenarlardaki benzer ve benzer şekilde tanımlanan şekillere eşittir.”
- Lawrence S. Leff alıntı yapılan çalışma. - Barron'un Eğitim Serisi - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...Pisagor teoreminin genelleştirilmesi // Matematikte büyük anlar (1650'den önce). - Amerika Matematik Derneği, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (tam adı Thābit ibn Kurra ibn Merwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (MS 826-901), Öklid'in Elementleri ve diğer matematik konuları üzerine kapsamlı yazılar yazan, Bağdat'ta yaşayan bir doktordu.
- Aydın Sayılı (Mart 1960). "Sâbit ibn Kurra'nın Pisagor Teoreminin Genelleştirilmesi." IŞİD 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D.Sally, Paul Sally Alıştırma 2.10 (ii) // Atıf yapılan çalışma. - S. 62. - ISBN 0821844032
- Böyle bir yapının ayrıntıları için bkz. George JenningsŞekil 1.32: Genelleştirilmiş Pisagor teoremi // Uygulamalı modern geometri: 150 rakamlı. - 3 üncü. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. PearcyÖğe C: Keyfi norm N-tuple ... // Analize giriş. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Ayrıca bkz. sayfa 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Mathematica ile eğrilerin ve yüzeylerin modern diferansiyel geometrisi. - 3 üncü. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matris analizi. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking alıntı yapılan çalışma. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W.Weisstein CRC kısa matematik ansiklopedisi. - 2.. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R.Pruss
Karekökleri ve irrasyonel denklemlerin (kök işareti altında bir bilinmeyen içeren eşitlikler) nasıl çözüleceğini ilk öğrenmeye başladığınızda, muhtemelen bunların pratik kullanımlarını ilk kez tatmışsınızdır. Çıkarma yeteneği Kare kök Sayılardan yararlanmak Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözmek için de gereklidir. Bu teorem herhangi bir dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını ilişkilendirir.
Bir dik üçgenin bacaklarının uzunlukları (dik açıda buluşan iki kenar) ve harfleriyle belirtilsin ve hipotenüsün uzunluğu (dik açının karşısında bulunan üçgenin en uzun kenarı) şu şekilde belirtilecektir: mektup. Daha sonra karşılık gelen uzunluklar aşağıdaki ilişkiyle ilişkilendirilir:
Bu denklem, diğer iki kenarının uzunluğu bilindiğinde bir dik üçgenin bir kenarının uzunluğunu bulmanızı sağlar. Ayrıca üç kenarının uzunluklarının önceden bilinmesi şartıyla söz konusu üçgenin dik üçgen olup olmadığını tespit etmenizi sağlar.
Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözme
Malzemeyi pekiştirmek için aşağıdaki problemleri Pisagor teoremini kullanarak çözeceğiz.
Yani verilen:
- Bacaklardan birinin uzunluğu 48, hipotenüs 80'dir.
- Bacağın uzunluğu 84, hipotenüs 91'dir.
Gelelim çözüme:
a) Verileri yukarıdaki denklemde yerine koyarsak aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 veya B = -64
Üçgenin bir kenarının uzunluğu ifade edilemediği için negatif sayı ikinci seçenek otomatik olarak atılır.
İlk resmin cevabı: B = 64.
b) İkinci üçgenin bacağının uzunluğu da aynı şekilde bulunur:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 veya B = -35
Önceki durumda olduğu gibi, olumsuz bir karar atılır.
İkinci resmin cevabı: B = 35
Bize şunlar veriliyor:
- Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 45 ve 55, büyük kenarlarının uzunlukları ise 75'tir.
- Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 28 ve 45, büyük kenarlarının uzunlukları ise 53'tür.
Sorunu çözelim:
a) Belirli bir üçgenin kısa kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamının, büyük kenarının uzunluğunun karesine eşit olup olmadığını kontrol etmek gerekir:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Bu nedenle ilk üçgen dik üçgen değildir.
b) Aynı işlem şu şekilde yapılır:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Bu nedenle ikinci üçgen bir dik üçgendir.
Öncelikle (-2, -3) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalardan oluşan en büyük parçanın uzunluğunu bulalım. Bunun için kullanıyoruz bilinen formül Dikdörtgen koordinat sistemindeki noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için:
Benzer şekilde, koordinatları (-2, -3) ve (2, 1) olan noktalar arasında kalan parçanın uzunluğunu buluruz:
Son olarak (2, 1) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalar arasındaki parçanın uzunluğunu belirliyoruz:
Eşitlik geçerli olduğundan:
o zaman karşılık gelen üçgen dik açılıdır.
Böylece sorunun cevabını formüle edebiliriz: En kısa uzunluğa sahip kenarların karelerinin toplamı, en uzun uzunluğa sahip kenarın karesine eşit olduğundan, noktalar bir dik üçgenin köşeleridir.
Taban (kesinlikle yatay olarak yerleştirilmiş), pervaz (kesinlikle dikey olarak yerleştirilmiş) ve kablo (çapraz olarak gerilmiş) sırasıyla bir dik üçgen oluşturur, kablonun uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir:
Böylece kablonun uzunluğu yaklaşık 3,6 metre olacaktır.
Verilen: R noktasından P noktasına (üçgenin kenarı) kadar olan mesafe 24, R noktasından Q noktasına (hipotenüs) kadar olan mesafe 26'dır.
O halde Vita'nın sorunu çözmesine yardım edelim. Şekilde gösterilen üçgenin kenarlarının bir dik üçgen oluşturduğu varsayıldığından, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz:
Yani göletin genişliği 10 metredir.
Sergey Valerievich
Pisagor teoremi- Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri olan ilişkiyi kuran
bir dik üçgenin kenarları arasında.
Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor.
Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu.
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulu karenin alanı karelerin alanlarının toplamına eşittir,
bacaklar üzerine inşa edilmiştir.
Pisagor teoreminin cebirsel formülasyonu.
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Yani üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade ederek C ve bacakların uzunlukları A Ve B:
Her iki formülasyon Pisagor teoremi eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir;
alan kavramını gerektirir. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden doğrulanabilir ve
Bir dik üçgenin yalnızca kenarlarının uzunluklarını ölçerek.
Converse Pisagor teoremi.
Bir üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman
sağ üçgen.
Veya başka bir deyişle:
Pozitif sayıların her üçlüsü için A, B Ve C, öyle ki
bacakları olan bir dik üçgen var A Ve B ve hipotenüs C.
İkizkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Eşkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Pisagor teoreminin kanıtları.
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen teorem
Pisagor bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik
yalnızca teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü:
kanıt alan yöntemi, aksiyomatik Ve egzotik kanıtlar(Örneğin,
kullanarak diferansiyel denklemler).
1. Benzer üçgenler kullanılarak Pisagor teoreminin kanıtı.
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı oluşturulan kanıtların en basitidir
doğrudan aksiyomlardan. Özellikle şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve belirtmek
onun temeli H.
Üçgen ACHüçgene benzer ABİki köşede C. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC.
Gösterimi tanıtarak:
şunu elde ederiz:
,
hangisine karşılık gelir -
Katlanmış A 2 ve B 2, şunu elde ederiz:
veya kanıtlanması gereken şey buydu.
2. Pisagor teoreminin alan yöntemini kullanarak ispatı.
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi
Kanıtları Pisagor teoreminin kanıtından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanın.
- Eştamamlayıcılık yoluyla kanıt.
Dört eşit dikdörtgen düzenleyelim
şekilde gösterildiği gibi üçgen
sağda.
Kenarları olan dörtgen C- kare,
iki dar açının toplamı 90° olduğundan
açılmamış açı - 180°.
Bir yandan tüm şeklin alanı eşittir,
kenarlı bir karenin alanı ( a+b) ve diğer taraftan dört üçgenin alanlarının toplamı ve
Q.E.D.
3. Pisagor teoreminin sonsuz küçük yöntemle kanıtı.
Şekilde gösterilen çizime bakıldığında ve
yan değişimi izliyorumA, yapabiliriz
sonsuz için aşağıdaki ilişkiyi yazın
küçük yan artışlarİle Ve A(benzerlik kullanarak
üçgenler):
Değişken ayırma yöntemini kullanarak şunları buluruz:
Her iki tarafta da artış olması durumunda hipotenüsteki değişimin daha genel bir ifadesi:
Bu denklemin integrali alınarak ve başlangıç koşulları kullanılarak şunu elde ederiz:
Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz:
Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık doğrusallık nedeniyle ortaya çıkar.
Üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki orantılılık, toplam ise bağımsız olarak ilişkilidir
farklı bacakların arttırılmasından elde edilen katkılar.
Bacaklardan birinde artış yaşanmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir.
(bu durumda bacak B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:
Pisagor teoremi
Benzer şekilde CBH üçgeni ABC üçgenine benzer. Gösterimi tanıtarak 
1. Dört eşit dik üçgeni şekilde gösterildiği gibi yerleştirin. 
Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir. Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı. DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım.Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir üçgenin alanı verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Eşitlik ortada, üçgenlerin her iki tarafı da eşit ve aralarındaki açı da eşit. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle). BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir. Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtladık. 
Simetriden görülebileceği gibi çizimi ele alalım, CI parçası ABHJ karesini iki özdeş parçaya keser (çünkü ABC ve JHI üçgenleri yapı bakımından eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli CAJI ve GDAB figürlerinin eşitliğini görüyoruz. Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatın son adımı okuyucuya bırakılmıştır.
