Perelman'ın Poincaré varsayımına çözümü. Bir çörek deliğine bir milyon dolar

Poincaré teoreminin özü nedir?

1. E, KIRMIZI saçlı Sophia tarafından kanıtlanmıştır, ancak o aynı zamanda KIRMIZI saçlıdır....
2. Sonuç olarak, Evren küre şeklinde değil, çörek şeklindedir.
3. Poincaré varsayımının orijinal formülasyonundaki anlamı, herhangi bir üç boyutlu deliksiz cisim için, kesmeden ve yapıştırmadan top haline getirilmesini sağlayacak bir dönüşümün olmasıdır. Bu açık görünüyorsa, peki ya uzay üç boyutlu değilse ve on veya on bir boyut içeriyorsa (yani Perelman'ın kanıtladığı Poincaré varsayımının genelleştirilmiş bir formülasyonundan bahsediyoruz)
4. 2 kelimeyle anlatamazsın
5. 1900 yılında Poincaré, bir kürenin tüm homoloji gruplarını içeren üç boyutlu bir manifoldun, bir küreye homeomorfik olduğunu öne sürdü. 1904'te, artık Poincaré küresi olarak adlandırılan bir karşı örnek de buldu ve hipotezinin son versiyonunu formüle etti. Poincaré varsayımını kanıtlama çabaları manifold topolojisinde çok sayıda ilerlemeye yol açmıştır.

   n #10878 için genelleştirilmiş Poincaré varsayımının kanıtları; 5, 1960'ların başında ve 1970'lerde neredeyse eşzamanlı olarak Smale tarafından, bağımsız olarak ve diğer yöntemlerle Stallings (İngilizce) tarafından elde edildi (n #10878; 7 için, onun kanıtı Zeeman (İngilizce) tarafından n = 5 ve 6 durumlarına genişletildi) . Çok daha zor olan n = 4 durumunun kanıtı ancak 1982'de Friedman tarafından elde edildi. Novikov'un Pontryagin'in karakteristik sınıflarının topolojik değişmezliği hakkındaki teoreminden, yüksek boyutlarda homotopi eşdeğeri olan ancak homeomorfik olmayan manifoldların var olduğu sonucu çıkar.

   Orijinal Poincaré varsayımının (ve daha genel Trston varsayımının) kanıtı yalnızca 2002 yılında Grigory Perelman tarafından bulundu. Daha sonra Perelman'ın kanıtı en az üç grup bilim adamı tarafından doğrulandı ve genişletilmiş biçimde sunuldu. 1 Kanıt, ameliyatla birlikte Ricci akışını kullanıyor ve büyük ölçüde Ricci akışını ilk kullanan Hamilton tarafından özetlenen planı takip ediyor.

6. Bu kim
7. Poincare teoremi:
   Poincaré'nin vektör alanları üzerine teoremi
   Bendixson'un Poincaré teoremi
   Poincaré'nin daire homeomorfizmalarının sınıflandırılmasına ilişkin teoremi
   Poincaré'nin homotopi küresine ilişkin varsayımı
   Poincaré'nin dönüş teoremi

   Hangisini soruyorsunuz?

8. Dinamik sistemler teorisinde, Poincaré'nin dairenin homeomorfizmalarının sınıflandırılmasına ilişkin teoremi, yinelenen f eşlemesinin p(f) dönüş sayısına bağlı olarak daire üzerindeki olası ters çevrilebilir dinamik türlerini açıklar. Kabaca konuşursak, haritalama yinelemelerinin dinamiklerinin, karşılık gelen açıya göre dönme dinamiklerine bir dereceye kadar benzer olduğu ortaya çıkıyor.
   Yani bir f çember homeomorfizmi verilsin. Daha sonra:
   1) Dönme sayısı ancak ve ancak f'nin periyodik noktaları varsa rasyoneldir. Bu durumda, dönme sayısının paydası herhangi bir periyodik noktanın periyodudur ve herhangi bir periyodik yörüngenin noktalarının çemberi üzerindeki döngüsel sırası, p(f) üzerindeki dönme yörüngesinin noktalarınınki ile aynıdır. Ayrıca herhangi bir yörünge, hem ileri hem de geri zamanda bir miktar periyodikliğe eğilimlidir (a- ve -w sınır yörüngeleri farklı olabilir).
   2) Eğer f dönüş sayısı irrasyonel ise iki seçenek mümkündür:
   i) her iki f'nin yoğun bir yörüngesi vardır, bu durumda f'nin homeomorfizmi p(f)'nin dönüşüne eşleniktir. Bu durumda f'nin tüm yörüngeleri yoğundur (çünkü bu irrasyonel dönüş için doğrudur);
   ii) her iki f de sistemin tek minimal kümesi olan Cantor değişmez C kümesine sahiptir. Bu durumda tüm yörüngeler hem ileri hem de geri zamanda C yönündedir. Ek olarak, f eşlemesi, p(f) ile dönüşle yarı eşleniktir: 1. derecenin bazı h eşlemeleri için, p o f =R p (f) o h

   Dahası, C kümesi tam olarak h'nin büyüme noktaları kümesidir; başka bir deyişle, topolojik açıdan bakıldığında h, C'nin tamamlayıcı aralıklarını daraltır.

9. İşin özü 1 milyon dolar
10. Onu 1 kişi dışında kimsenin anlamaması
11. Fransız dış politikasında...
12. Burada Lka en iyi cevabı verdi http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Parlak bir matematikçi olan Parisli profesör Henri Poincaré bu bilimin çeşitli alanlarında çalıştı. Einstein'ın 1905'teki çalışmasından bağımsız ve bağımsız olarak Özel Görelilik Teorisinin temel ilkelerini ortaya koydu. Ünlü hipotezini 1904'te formüle etti ve çözülmesi yaklaşık bir yüzyıl sürdü.

    Poincaré, geometrik şekillerin kesintisiz olarak meydana gelen deformasyonlar altında değişmeyen özelliklerinin bilimi olan topolojinin kurucularından biriydi. Örneğin bir balon, parktaki çocuklarda olduğu gibi kolayca çeşitli şekillerde deforme olabilir. Ancak topu bir çörek (ya da geometrik dilde simit) haline getirmek için kesmeniz gerekecek; başka yolu yok. Ve tam tersi: lastik bir çörek alın ve onu bir küreye dönüştürmeye çalışın. Ancak yine de işe yaramayacak. Topolojik özelliklerine göre, bir kürenin ve bir torusun yüzeyleri uyumsuzdur veya homeomorfik değildir. Ancak deliksiz yüzeyler (kapalı yüzeyler) tam tersine homeomorfiktir ve deforme olup küreye dönüşme yeteneğine sahiptir.

    19. yüzyılda küre ve torusun iki boyutlu yüzeyleri hakkında her şeye karar verilmiş olsa da, daha çok boyutlu durumlarda bu süreç çok daha uzun sürüyordu. Aslında bu, modeli çok boyutlu durumlara genişleten Poincaré varsayımının özüdür. Poincaré varsayımı biraz basitleştirerek şunu belirtir: Her basit bağlantılı kapalı n boyutlu manifold, n boyutlu bir küreye homeomorfiktir. Üç boyutlu yüzeylere sahip seçeneğin en zoru olması komik. 1960 yılında hipotez 5 ve üzeri boyutlar için, 1981'de ise n=4 için kanıtlandı. Tökezleyen blok kesinlikle üç boyutluluktu.

    1980'lerde William Trsten ve Richard Hamilton tarafından önerilen fikirlerini geliştiren Grigory Perelman, üç boyutlu yüzeylere özel bir düzgün evrim denklemi uyguladı. Ve orijinal üç boyutlu yüzeyin (eğer içinde herhangi bir süreksizlik yoksa) zorunlu olarak üç boyutlu bir küreye (bu dört boyutlu bir topun yüzeyidir ve 4 boyutlu olarak var olur) dönüşeceğini göstermeyi başardı. uzay). Bazı uzmanlara göre bu, çözümü matematik bilimi için yeni ufuklar açan yeni neslin fikriydi.

    Perelman'ın bazı nedenlerden dolayı kararını nihai parlaklığa ulaştırma zahmetine girmemesi ilginçtir. Çözümü, Kasım 2002'deki Ricci akışı için entropi formülü ve geometrik uygulamalarının ön baskısında bir bütün olarak tanımladıktan sonra, Mart 2003'te kanıtı tamamladı ve bunu üç manifoldlu ameliyatla ön baskı Ricci akışında sundu ve ayrıca rapor etti. 2003 yılında çeşitli üniversitelerin davetlisi olarak verdiği ders dizisinde yöntem üzerine yoğunlaştı. Hakemlerin hiçbiri önerdiği versiyonda hata bulamadı, ancak Perelman hakemli bir bilimsel yayında bir yayın yayınlamadı (bu özellikle Clay Matematik Enstitüsü Ödülünü almak için gerekli bir koşuldu). Ancak 2006 yılında, onun yöntemine dayanarak, Amerikalı ve Çinli matematikçilerin problemi ayrıntılı ve eksiksiz bir şekilde incelediği, Perelman'ın atladığı noktaları tamamladığı ve Poincaré varsayımının son kanıtını verdiği bir dizi kanıt yayınlandı.

14. Genelleştirilmiş Poincaré varsayımı şunları belirtir:
    Herhangi bir n için, n boyutundaki herhangi bir manifold, ancak ve ancak ona homeomorfik olması durumunda, n boyutundaki bir küreye homotopi eşdeğerdir.
    Orijinal Poincaré varsayımı, n = 3 için genelleştirilmiş varsayımın özel bir durumudur.
    Açıklığa kavuşturmak için mantar toplamak için ormana gidin, Grigory Perelman oraya gider)
15. Poincaré'nin dönüş teoremi ergodik teorinin temel teoremlerinden biridir. Bunun özü, uzayın ölçüyü koruyan bir şekilde kendi üzerine haritalanmasıyla neredeyse her noktanın başlangıçtaki komşuluğuna geri dönmesidir. Teoremin tam formülasyonu aşağıdaki gibidir: 1:
    Sonlu ölçülü bir uzayın ölçüyü koruyan dönüşümü ve ölçülebilir bir küme olsun. Daha sonra herhangi bir doğal
    .
    Bu teoremin beklenmedik bir sonucu var: Bir bölmeyle, biri gazla dolu, diğeri boş olan iki bölmeye bölünmüş bir kapta bölme çıkarılırsa, bir süre sonra tüm gaz molekülleri ortaya çıkıyor. tekrar kabın orijinal kısmında toplanır. Bu paradoksun çözümü, zamanın milyarlarca yıl civarında olmasıdır.
16. Kore'de köpeklerin kesilmesine benzer teoremleri var...

    evren küreseldir... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri

    Dün bilim insanları evrenin donmuş bir madde olduğunu duyurdular... ve bunu kanıtlamak için yüklü miktarda para istediler... Merikolar yine matbaayı çalıştıracak... ukalaların eğlencesi için...

17. Sıfır yerçekiminde nerede yukarı ve aşağı olduğunu kanıtlamaya çalışın.
18. Dün KÜLTÜR üzerine bu sorunun detaylı bir şekilde anlatıldığı harika bir film vardı. Belki hala ellerindedir?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Yandex'e giriş yapın ve Perelman hakkında Film yazın ve filme gidin

Grigori Perelman. reddedici

Vasili Maksimov

Ağustos 2006'da, matematikçilerin Alfred Nobel'in kaprisiyle mahrum bırakıldığı Nobel Ödülü'nün bir tür benzeri olan prestijli Fields Madalyasını alan gezegendeki en iyi matematikçilerin isimleri açıklandı. Fields Madalyası - onur madalyasının yanı sıra, kazananlara on beş bin Kanada doları değerinde bir çek de verilir - Uluslararası Matematikçiler Kongresi tarafından her dört yılda bir verilir. Kanadalı bilim adamı John Charles Fields tarafından kuruldu ve ilk kez 1936'da ödüllendirildi. Fields Madalyası, 1950'den beri matematik biliminin gelişimine yaptığı katkılardan dolayı İspanya Kralı tarafından düzenli olarak kişisel olarak verilmektedir. Ödül kazananlar kırk yaşın altındaki bir ila dört bilim insanı olabilir. Aralarında sekiz Rus'un da bulunduğu kırk dört matematikçi ödülü şimdiden aldı.

Grigori Perelman. Henri Poincaré.

2006 yılında Fransız Wendelin Werner, Avustralyalı Terence Tao ve iki Rus - ABD'de çalışan Andrei Okunkov ve St. Petersburg'dan bilim adamı Grigory Perelman ödüle layık görüldü. Ancak son anda, organizatörlerin açıkladığı gibi Perelman'ın bu prestijli ödülü "prensip nedenleriyle" reddettiği anlaşıldı.

Rus matematikçinin bu kadar abartılı bir hareketi onu tanıyanlar için sürpriz olmadı. Bu, matematik ödüllerini ilk kez reddetmiyor; kararını, tören etkinliklerinden ve ismiyle ilgili gereksiz abartılardan hoşlanmadığını söyleyerek açıklıyor. On yıl önce, 1996'da Perelman, ödüle aday gösterilen bilimsel problemle ilgili çalışmayı tamamlamadığını öne sürerek Avrupa Matematik Kongresi ödülünü reddetti ve bu son kez değildi. Rus matematikçi, kamuoyuna ve bilim camiasına karşı çıkarak insanları şaşırtmayı hayatının hedefi haline getirmiş görünüyordu.

Grigory Yakovlevich Perelman, 13 Haziran 1966'da Leningrad'da doğdu. Küçük yaşlardan itibaren kesin bilimlere düşkündü, ünlü 239. ortaokuldan derinlemesine matematik çalışmasıyla zekice mezun oldu, çok sayıda matematik Olimpiyatı kazandı: örneğin, 1982'de Sovyet okul çocukları ekibinin bir parçası olarak katıldı. Budapeşte'de düzenlenen Uluslararası Matematik Olimpiyatları'nda. Perelman, sınavsız olarak Leningrad Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi'ne kaydoldu ve burada mükemmel notlarla çalıştı ve her seviyedeki matematik yarışmalarını kazanmaya devam etti. Üniversiteden onur derecesiyle mezun olduktan sonra Steklov Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinde yüksek lisans okuluna girdi. Bilimsel danışmanı ünlü matematikçi Akademisyen Aleksandrov'du. Doktora tezini savunan Grigory Perelman enstitüde geometri ve topoloji laboratuvarında kaldı. Alexandrov uzayları teorisi üzerine yaptığı çalışmalar biliniyor; bir takım önemli varsayımlara kanıt bulmayı başardı. Önde gelen Batılı üniversitelerden gelen çok sayıda teklife rağmen Perelman, Rusya'da çalışmayı tercih ediyor.

En dikkate değer başarısı, 1904'te yayınlanan ve o zamandan beri kanıtlanamayan ünlü Poincaré varsayımının 2002'deki çözümüydü. Perelman sekiz yıl boyunca bunun üzerinde çalıştı. Poincaré varsayımı en büyük matematik gizemlerinden biri olarak kabul edildi ve çözümü matematik bilimindeki en önemli başarı olarak kabul edildi: evrenin fiziksel ve matematiksel temellerine ilişkin problemlere yönelik araştırmaları anında ilerletecekti. Gezegendeki en önde gelen beyinler bunun çözümünü yalnızca birkaç on yıl içinde öngördüler ve Cambridge, Massachusetts'teki Clay Matematik Enstitüsü, Poincaré problemini milenyumun çözülmemiş yedi matematik problemi arasına dahil etti; her birinin çözümü için bir milyon dolarlık ödül vaat edildi (Milenyum Ödül Sorunları).

Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin (1854–1912) varsayımı (bazen problem olarak da adlandırılır) şu şekilde formüle edilmiştir: herhangi bir kapalı, basit bağlantılı üç boyutlu uzay, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir. Açıklığa kavuşturmak için net bir örnek kullanın: Bir elmayı lastik bantla sararsanız, o zaman prensip olarak bandı sıkarak elmayı bir noktaya sıkıştırabilirsiniz. Aynı bantla donut'u sararsanız ne donut'u ne de lastiğini yırtmadan belli bir noktaya kadar sıkıştıramazsınız. Bu bağlamda elma “basit bağlantılı” figür olarak adlandırılır, ancak çörek basit bağlantılı değildir. Neredeyse yüz yıl önce Poincaré, iki boyutlu bir kürenin basit bağlantılı olduğunu tespit etti ve üç boyutlu bir kürenin de basit bağlantılı olduğunu öne sürdü. Dünyanın en iyi matematikçileri bu hipotezi kanıtlayamadı.

Perelman'ın Clay Institute Ödülü'ne hak kazanmak için çözümünü yalnızca bilimsel dergilerden birinde yayınlaması gerekiyordu ve iki yıl içinde hiç kimse hesaplamalarında bir hata bulamazsa çözüm doğru kabul edilecekti. Ancak Perelman, kararını Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı'nın ön baskı web sitesinde yayınlayarak en başından itibaren kurallardan saptı. Belki de hesaplamalarına bir hatanın girmesinden korkuyordu - benzer bir hikaye matematikte zaten yaşanmıştı. 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın ünlü teoremine bir çözüm önerdi ve birkaç ay sonra hesaplamalarında bir hatanın olduğu ortaya çıktı (her ne kadar daha sonra düzeltilmiş olsa da ve bu his hala devam ediyor). Poincaré varsayımının kanıtına ilişkin henüz resmi bir yayın yok, ancak gezegendeki en iyi matematikçilerin Perelman'ın hesaplamalarının doğruluğunu onaylayan yetkili bir görüşü var.

Fields Madalyası, Poincaré problemini çözdüğü için Grigory Perelman'a verildi. Ancak Rus bilim adamı, şüphesiz hak ettiği ödülü reddetti. Dünya Matematikçiler Birliği (WUM) başkanı İngiliz John Ball, Londra'da düzenlediği basın toplantısında "Gregory bana kendisini uluslararası matematik camiasından ve bu topluluğun dışında izole edilmiş hissettiğini ve bu nedenle ödülü almak istemediğini söyledi" dedi. Madrid.

Grigory Perelman'ın bilimi tamamen bırakacağına dair söylentiler var: Altı ay önce memleketi Steklov Matematik Enstitüsü'nden istifa etti ve artık matematik okumayacağını söylüyorlar. Belki de Rus bilim adamı, ünlü hipotezi kanıtlayarak bilim için elinden gelen her şeyi yaptığına inanıyor. Peki ama bu kadar parlak bir bilim adamının ve olağanüstü bir insanın düşünce akışını kim tartışmayı üstlenecek?.. Perelman her türlü yorumu reddediyor ve The Daily Telegraph gazetesine şunları söyledi: "Söyleyeceklerimin hiçbiri kamuyu en ufak bir şekilde ilgilendirmiyor." Ancak önde gelen bilimsel yayınlar, "Grigory Perelman'ın Poincaré teoremini çözerek geçmişin ve günümüzün en büyük dahileriyle aynı seviyede olduğunu" bildirdikleri değerlendirmelerinde hemfikirdi.

Aylık edebiyat ve gazetecilik dergisi ve yayınevi.

Bilim insanları, 38 yaşındaki Rus matematikçi Grigory Perelman'ın Poincaré problemine doğru çözümü önerdiğine inanıyor. Stanford Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Keith Devlin bunu Exeter'deki (İngiltere) bilim festivalinde söyledi.

Poincaré'nin problemi (problem veya hipotez olarak da adlandırılır), her birinin çözümü için bir milyon dolarlık ödül verdiği en önemli yedi matematik probleminden biridir. Matematiksel fizik laboratuvarının bir çalışanı olan Grigory Perelman'ın elde ettiği sonuçlara bu kadar yaygın ilgi çeken şey de buydu.

Dünyanın dört bir yanındaki bilim adamları, Perelman'ın başarılarını, yazar tarafından Kasım 2002 ve Mart 2003'te Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı'nın ön çalışmaları arşivinin web sitesinde yayınlanan iki ön baskıdan (tam teşekküllü bir bilimsel yayından önceki makaleler) öğrendi.

Clay Enstitüsü'nün Bilimsel Danışma Kurulu tarafından kabul edilen kurallara göre, yeni bir hipotezin "uluslararası itibar" konusunda uzmanlaşmış bir dergide yayınlanması gerekiyor. Ayrıca Enstitünün kurallarına göre, ödülü ödeme kararı nihai olarak "matematik topluluğu" tarafından veriliyor: kanıtın yayınlandıktan sonraki iki yıl içinde çürütülmemesi gerekiyor. Her kanıt dünyanın farklı ülkelerindeki matematikçiler tarafından kontrol edilir.

Poincaré sorunu

13 Haziran 1966'da Leningrad'da çalışan bir ailede doğdu. Derinlemesine matematik çalışmasıyla ünlü 239 numaralı ortaokuldan mezun oldu. 1982'de Sovyet okul çocukları ekibinin bir parçası olarak Budapeşte'de düzenlenen Uluslararası Matematik Olimpiyatlarına katıldı. Leningrad Devlet Üniversitesi'nde matematik ve mekanik derslerine sınavsız kaydoldu. Fakülte, şehir ve tüm Birlik öğrenci matematik olimpiyatlarını kazandı. Lenin bursu aldı. Üniversiteden mezun olduktan sonra Perelman, Steklov Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinde yüksek lisans okuluna girdi. Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı. Matematiksel fizik laboratuvarında çalışır.

Poincaré'nin problemi, manifoldların topolojisi adı verilen alanla - farklı boyutlara sahip özel bir şekilde düzenlenmiş uzaylarla - ilgilidir. İki boyutlu manifoldlar, örneğin üç boyutlu cisimlerin yüzeyi (küre (topun yüzeyi) veya simit (çöreğin yüzeyi)) örneği kullanılarak görselleştirilebilir.

Bir balonun deforme olması (bükülmesi, bükülmesi, çekilmesi, sıkıştırılması, sıkışması, sönmesi veya şişmesi) durumunda başına ne geleceğini hayal etmek kolaydır. Yukarıdaki tüm deformasyonlarla topun şeklini geniş bir aralıkta değiştireceği açıktır. Ancak bir topu asla yüzeyinin sürekliliğini bozmadan, yani parçalamadan donut (ya da tam tersi) haline getiremeyeceğiz. Bu durumda topologlar kürenin (top) torusa (halka) göre homeomorfik olmadığını söylüyor. Bu, bu yüzeylerin birbiriyle eşlenemeyeceği anlamına gelir. Basit bir ifadeyle, küre ve simit topolojik özellikleri bakımından farklıdır. Ve bir balonun yüzeyi, tüm olası deformasyonlara rağmen, tıpkı bir cankurtaran simidinin yüzeyinin bir torusa göre olduğu gibi, bir küreye homeomorfiktir. Başka bir deyişle, açık delikleri olmayan herhangi bir kapalı iki boyutlu yüzey, iki boyutlu bir küre ile aynı topolojik özelliklere sahiptir.

TOPOLOJİ, esneme, sıkıştırma veya bükülme gibi sürekli deformasyonlar altında korunan şekillerin (veya uzayların) özelliklerinin incelenmesiyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Sürekli deformasyon, herhangi bir kırılmanın (yani şeklin bütünlüğünün ihlali) veya yapıştırmanın (yani noktalarının belirlenmesi) olmadığı bir şeklin deformasyonudur.
Bir geometrik şeklin diğerine TOPOLOJİK DÖNÜŞÜMÜ, ilk şeklin rastgele bir P noktasının başka bir şeklin P' noktasına eşleştirilmesidir ve bu, aşağıdaki koşulları karşılar: 1) ilk şeklin her P noktası, yalnızca bir tek noktaya karşılık gelmelidir ikinci şeklin P' noktası ve bunun tersi; 2) Eşleme karşılıklı olarak sürekli olmalıdır. Örneğin aynı şekle ait iki P ve N noktası vardır. P noktası N noktasına hareket ettiğinde aralarındaki mesafe sıfıra yaklaşıyorsa, o zaman başka bir şeklin P' ve N' noktaları arasındaki mesafe de sıfıra yönelmelidir veya bunun tersi de geçerlidir.
HOMEOMORFİZM. Topolojik dönüşümler sırasında birbirine dönüşen geometrik şekillere homeomorfik denir. Daire ve bir karenin sınırı homeomorfiktir, çünkü topolojik bir dönüşümle birbirlerine dönüştürülebilirler (yani, kırmadan veya yapıştırmadan bükme ve uzatma, örneğin bir karenin sınırını, etrafındaki daireye kadar uzatma) . Herhangi bir kapalı basit (yani bir daireye homeomorfik) eğrinin, her zaman bu bölgede kalarak bir noktaya kadar daraltılabildiği bir bölgeye basit bağlantılı denir ve bölgenin karşılık gelen özelliği basit bağlantılıdır. Bu bölgenin bazı kapalı basit eğrileri her zaman bu bölgede kalacak şekilde bir noktaya kadar daraltılamıyorsa, o zaman bölgeye çoklu bağlantılı denir ve bölgenin karşılık gelen özelliğine de çoklu bağlantılı denir.

Poincaré'nin problemi üç boyutlu manifoldlar için aynı şeyi belirtir (küre gibi iki boyutlu manifoldlar için bu nokta 19. yüzyılda kanıtlanmıştır). Fransız matematikçinin belirttiği gibi, iki boyutlu bir kürenin en önemli özelliklerinden biri, üzerinde yatan herhangi bir kapalı döngünün (örneğin bir kementin) yüzeyden ayrılmadan bir noktaya çekilebilmesidir. Bir simit için bu her zaman doğru değildir: deliğinden geçen bir ilmek, ya simit kırıldığında ya da ilmeğin kendisi kırıldığında bir noktaya çekilecektir. 1904'te Poincaré, eğer bir döngü kapalı üç boyutlu bir yüzey üzerindeki bir noktaya kadar büzülüyorsa, bu tür bir yüzeyin üç boyutlu bir küreye homeomorfik olduğunu öne sürdü. Bu hipotezi kanıtlamanın son derece zor bir görev olduğu ortaya çıktı.

Hemen açıklığa kavuşturalım: Bahsettiğimiz Poincaré probleminin formülasyonu, pek de zorlanmadan hayal edebileceğimiz üç boyutlu bir toptan değil, üç boyutlu bir küreden, yani dört boyutlu bir kürenin yüzeyinden bahsediyor. hayal edilmesi çok daha zor olan boyutlu bir top. Ancak 1950'lerin sonlarında, yüksek boyutlu manifoldlarla çalışmanın üç ve dört boyutlu manifoldlarla çalışmak yerine çok daha kolay olduğu aniden ortaya çıktı. Açıkçası, netlik eksikliği matematikçilerin araştırmalarında karşılaştıkları temel zorluktan çok uzaktır.

5 ve üzeri boyutlar için Poincaré'ninkine benzer bir problem 1960 yılında Stephen Smale, John Stallings ve Andrew Wallace tarafından çözüldü. Ancak bu bilim adamlarının kullandığı yaklaşımların dört boyutlu manifoldlara uygulanamadığı ortaya çıktı. Onlara göre Poincaré problemi ancak 1981'de Michael Freedman tarafından kanıtlandı. Üç boyutlu durumun en zoru olduğu ortaya çıktı; Grigory Perelman kendi çözümünü öneriyor.

Perelman'ın bir rakibi olduğunu da belirtmekte fayda var. Nisan 2002'de, Southampton Britanya Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Martin Dunwoody, Poincaré problemini çözmek için kendi yöntemini önerdi ve şu anda Clay Enstitüsü'nden gelecek kararı bekliyor.

Uzmanlar, Poincaré probleminin çözülmesinin, karmaşık üç boyutlu nesnelerdeki fiziksel süreçlerin matematiksel olarak tanımlanmasında ciddi bir adım atılmasını mümkün kılacağına ve bilgisayar topolojisinin geliştirilmesine yeni bir ivme kazandıracağına inanıyor. Grigory Perelman'ın önerdiği yöntem geometri ve topolojide yeni bir yönün açılmasına yol açacak. St. Petersburglu matematikçi Fields Ödülü'ne (matematikte verilmeyen Nobel Ödülü'ne benzer) layık olabilir.

Bu arada bazıları Grigory Perelman'ın davranışını tuhaf buluyor. İngiliz gazetesi The Guardian şöyle yazıyor: "Perelman'ın Poincaré sorununu çözme yaklaşımı büyük olasılıkla doğru. Ancak her şey o kadar basit değil. Perelman, çalışmanın tam teşekküllü bir bilimsel yayın olarak yayınlandığına dair kanıt sunmuyor (ön baskılar) Böyle kabul edilmez.) Ve eğer kişi Clay Enstitüsü'nden ödül almak istiyorsa bu da gerekli. Üstelik paraya da hiç ilgi duymuyor."

Görünüşe göre Grigory Perelman için, gerçek bir bilim insanı için olduğu gibi, asıl mesele para değil. Gerçek bir matematikçi, sözde "milenyum problemleri"nden herhangi birini çözmek için ruhunu şeytana satacaktır.

Milenyum Listesi

8 Ağustos 1900'de Paris'teki Uluslararası Matematik Kongresi'nde matematikçi David Hilbert, yirminci yüzyılda çözülmesi gerektiğine inandığı sorunların bir listesini açıkladı. Listede 23 madde vardı. Şu ana kadar bunlardan 21'i çözüldü. Hilbert'in listesindeki çözülmesi gereken son sorun, bilim adamlarının 358 yıldır çözemediği Fermat'ın ünlü teoremiydi. 1994 yılında Britanyalı Andrew Wiles çözümünü önerdi. Bunun doğru olduğu ortaya çıktı.

Geçen yüzyılın sonunda Gilbert örneğini takip eden birçok matematikçi, 21. yüzyıl için benzer stratejik görevleri formüle etmeye çalıştı. Bu listelerden biri Bostonlu milyarder Landon T. Clay sayesinde geniş çapta tanındı. 1998 yılında, onun fonlarıyla Cambridge'de (Massachusetts, ABD) modern matematiğin en önemli problemlerinden bazılarını çözmek için ödüller kuruldu ve oluşturuldu. 24 Mayıs 2000'de enstitünün uzmanları, ödül için ayrılan milyonlarca doların sayısına göre yedi sorun seçti. Listenin adı Milenyum Ödülü Sorunları:

1. Cook problemi (1971'de formüle edildi)

Diyelim ki büyük bir şirkette çalışıyorsunuz ve arkadaşınızın da orada olduğundan emin olmak istiyorsunuz. Size köşede oturduğunu söylerlerse, bir göz atmanız ve bilginin doğruluğuna ikna olmanız için bir saniye yeterli olacaktır. Bu bilgi olmadan, konuklara bakarak tüm odayı dolaşmak zorunda kalacaksınız. Bu, bir sorunu çözmenin genellikle çözümün doğruluğunu kontrol etmekten daha uzun sürdüğünü göstermektedir.

Stephen Cook sorunu formüle etti: Doğrulama algoritmasından bağımsız olarak, bir sorunun çözümünün doğruluğunu kontrol etmek, çözümün kendisini elde etmekten daha uzun sürebilir mi? Bu problem aynı zamanda mantık ve bilgisayar bilimleri alanında da çözülemeyen problemlerden biridir. Çözümü, veri iletimi ve depolamasında kullanılan kriptografinin temellerinde devrim yaratabilir.

2. Riemann hipotezi (1859'da formüle edilmiştir)

2, 3, 5, 7 gibi bazı tam sayılar iki küçük tam sayının çarpımı olarak ifade edilemez. Bu tür sayılara asal sayılar denir ve saf matematikte ve uygulamalarında önemli bir rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayı dizileri arasındaki dağılımı herhangi bir düzen izlemez. Ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayılar dizisinin özelliklerine ilişkin bir varsayımda bulundu. Riemann Hipotezi kanıtlanırsa, şifreleme bilgimizde devrim niteliğinde bir değişime ve İnternet güvenliğinde benzeri görülmemiş bir ilerlemeye yol açacaktır.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer hipotezi (1960'ta formüle edilmiştir)

Tamsayı katsayılı çeşitli değişkenlerdeki bazı cebirsel denklemlerin çözüm kümesinin açıklamasıyla ilişkilidir. Böyle bir denklemin örneği x 2 + y 2 = z 2 ifadesidir. Öklid bu denklemin çözümlerinin tam bir tanımını verdi, ancak daha karmaşık denklemler için çözüm bulmak son derece zorlaşıyor.

4. Hodge'un hipotezi (1941'de formüle edildi)

20. yüzyılda matematikçiler karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için güçlü bir yöntem keşfettiler. Ana fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılan ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Hodge'un hipotezi, bu tür "yapı taşları" ve nesnelerin özelliklerine ilişkin bazı varsayımlarla ilişkilidir.

5. Navier - Stokes denklemleri (1822'de formüle edilmiştir)

Gölde tekneyle seyrederseniz dalgalar oluşacak, uçakla uçarsanız havada türbülanslı akıntılar oluşacaktır. Bu ve diğer olayların Navier-Stokes denklemleri olarak bilinen denklemlerle tanımlandığı varsayılmaktadır. Bu denklemlerin çözümleri bilinmiyor, hatta nasıl çözüleceği bile bilinmiyor. Bir çözümün var olduğunu ve yeterince düzgün bir fonksiyon olduğunu göstermek gerekir. Bu sorunun çözülmesi, hidro ve aerodinamik hesaplamaların yapılma yöntemlerini önemli ölçüde değiştirecektir.

6. Poincaré problemi (1904'te formüle edildi)

Bir elmanın üzerine paket lastiği çekerseniz, bandı yüzeyden kaldırmadan yavaşça hareket ettirerek bir noktaya kadar sıkıştırabilirsiniz. Öte yandan, aynı lastik bant bir çörek etrafına uygun şekilde gerilirse, bandı yırtmadan veya çörek kırmadan bandı bir noktaya kadar sıkıştırmanın bir yolu yoktur. Bir elmanın yüzeyinin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu, ancak çörek yüzeyinin öyle olmadığını söylüyorlar. Sadece kürenin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu kanıtlamanın o kadar zor olduğu ortaya çıktı ki matematikçiler hala doğru cevabı arıyorlar.

7. Yang-Mills denklemleri (1954'te formüle edilmiştir)

Kuantum fiziğinin denklemleri temel parçacıkların dünyasını tanımlar. Geometri ile parçacık fiziği arasındaki bağlantıyı keşfeden fizikçiler Young ve Mills, denklemlerini yazdılar. Böylece elektromanyetik, zayıf ve güçlü etkileşim teorilerini birleştirmenin bir yolunu buldular. Yang-Mills denklemleri, aslında dünyanın her yerindeki laboratuvarlarda gözlemlenen parçacıkların varlığını ima ediyordu, dolayısıyla Yang-Mills teorisi, bu teori çerçevesinde parçacıkların parçacıklarını tahmin etmenin hâlâ mümkün olmamasına rağmen çoğu fizikçi tarafından kabul ediliyor. temel parçacıkların kütleleri.

Mihail Vitebsky

"Çözülmüş sorun Perelman, Büyük Fransız matematikçinin 1904'te öne sürdüğü bir hipotezi kanıtlamanın gerekliliğidir. Henri Poincaré(1854-1912) ve onun adını taşıyor. Poincaré'nin matematikteki rolü hakkında ansiklopedide söylenenden daha iyi bir şey söylemek zordur: “Poincaré'nin matematik alanındaki çalışmaları bir yandan klasik yönü tamamlarken diğer yandan gelişmenin yolunu açıyor. niceliksel ilişkilerin yanı sıra niteliksel karaktere sahip gerçeklerin de belirlendiği yeni matematik" (TSB, 3. baskı, cilt 2). Poincaré varsayımı tam olarak niteliksel bir yapıya sahiptir - ilgili olduğu ve Poincaré'nin belirleyici bir rol oynadığı tüm matematik alanı (yani topoloji) gibi.

Modern dilde, Poincaré varsayımı şöyle görünür: Sınırı olmayan her basit bağlantılı kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir.

Aşağıdaki paragraflarda bu korkunç sözlü formülün anlamını en azından kısmen ve çok kabaca açıklamaya çalışacağız. Başlangıç ​​olarak, sıradan bir topun yüzeyi olan sıradan bir kürenin iki boyutlu olduğunu (ve topun kendisinin de üç boyutlu olduğunu) not ediyoruz. İki boyutlu bir küre, merkez adı verilen ve küreye ait olmayan seçilmiş bir noktadan eşit uzaklıkta olan üç boyutlu uzayın tüm noktalarından oluşur. Üç boyutlu bir küre, dört boyutlu uzayın merkezinden eşit uzaklıkta olan (küreye ait olmayan) tüm noktalardan oluşur. İki boyutlu kürelerden farklı olarak üç boyutlu küreler müsait değil doğrudan gözlemimizdir ve Vasily İvanoviç'in ünlü şakadaki kare üç terimliyi hayal etmesi ne kadar zorsa, bizim için bunları hayal etmek o kadar zordur. Ancak hepimizin üç boyutlu bir küre içinde olması, yani Evrenimizin üç boyutlu bir küre olması mümkündür.

Sonucun anlamı budur Perelman fizik ve astronomi için. "Basit bağlantılı, kompakt, üç boyutlu, kenarı olmayan manifold" terimi, Evrenimizin varsayılan özelliklerine dair göstergeler içerir. "Homeomorfik" terimi, belirli bir düzeyde yüksek benzerlik, bir anlamda ayırt edilemezlik anlamına gelir. Bu nedenle, bir bütün olarak formülasyon şu anlama gelir: Eğer Evrenimiz, kenarı olmayan basit bağlantılı kompakt üç boyutlu bir manifoldun tüm özelliklerine sahipse, o zaman - aynı "bilinen anlamda" - üç boyutlu bir küredir.

Basit bağlantılılık kavramı oldukça basit bir kavramdır. Çok elastik bir lastik bant (yani uçları yapıştırılmış bir lastik iplik) hayal edelim, eğer onu tutmazsanız bir noktaya kadar küçülecek. Ayrıca elastik bandımızdan bir noktaya çekildiğinde yerleştirdiğimiz yüzeyin dışına taşmamasını da isteyeceğiz. Böyle bir elastik bandı bir düzlem üzerinde gerer ve serbest bırakırsak, hemen bir noktaya kadar küçülecektir. Bir kürenin yüzeyine, yani kürenin üzerine elastik bir bant yerleştirdiğimizde de aynı şey olacaktır. Bir cankurtaran şamandırasının yüzeyi için durum tamamen farklı olacaktır: iyi niyetli bir okuyucu, söz konusu yüzeyin ötesine geçmeden lastiği bir noktaya çekmenin imkansız olduğu bu yüzeydeki elastik düzenlemelerini kolaylıkla bulacaktır. Bu şeklin sınırları içinde yer alan herhangi bir kapalı kontur, belirtilen sınırların dışına çıkmadan bir noktaya kadar daraltılabiliyorsa, geometrik bir şekle basit bağlantılı denir. Düzlem ile kürenin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu ancak cankurtaran simidinin yüzeyinin basit bir şekilde bağlantılı olmadığını gördük. İçinde bir delik bulunan bir düzlem de basit bir şekilde bağlantılı değildir. Basit bağlantılılık kavramı üç boyutlu şekiller için de geçerlidir. Böylece, bir küp ve bir top basit bir şekilde bağlanır: kalınlıklarında bulunan herhangi bir kapalı kontur bir noktaya kadar daraltılabilir ve daralma işlemi sırasında kontur her zaman bu kalınlıkta kalacaktır. Ancak simit basit bir şekilde bağlantılı değildir: İçinde bir noktaya kadar daraltılamayan bir kontur bulabilirsiniz, böylece büzülme işlemi sırasında kontur her zaman simit hamurunun içinde olur. Çubuk kraker de tek bağlantılı değildir. Üç boyutlu kürenin basit bir şekilde bağlantılı olduğu kanıtlanabilir.

Okuyucunun okulda öğretilen bir parça ile bir aralık arasındaki farkı unutmadığını umuyoruz. Bir doğru parçasının iki ucu vardır; bu uçlardan ve bunların arasında yer alan tüm noktalardan oluşur. Bir aralık yalnızca uçları arasında bulunan tüm noktalardan oluşur; uçların kendileri aralığa dahil edilmez: aralığın, uçları kendisinden çıkarılmış bir bölüm olduğunu ve bir bölümün, uçları eklenen bir aralık olduğunu söyleyebiliriz. BT. Bir aralık ve bir parça, tek boyutlu manifoldların en basit örnekleridir; burada aralık, kenarı olmayan bir manifolddur ve parça, kenarı olan bir manifolddur; bir segment durumunda bir kenar iki uçtan oluşur. Manifoldların tanımlarının altında yatan ana özelliği, manifoldda, kenardaki noktalar (var olmayabilecek) hariç, tüm noktaların komşuluklarının tamamen aynı şekilde düzenlenmesidir.

Bu durumda bir A noktasının komşuluğu, bu A noktasına yakın tüm noktaların toplamıdır. Kenarı olmayan bir manifoldda yaşayan ve bu manifoldun yalnızca kendisine en yakın noktalarını görebilen mikroskobik bir canlı, Varlığın hangi noktada olduğunu belirler: Kendi çevresinde hep aynı şeyi görür. Kenarı olmayan tek boyutlu manifoldlara daha fazla örnek: düz çizginin tamamı, bir daire. Manifold olmayan tek boyutlu bir şekle örnek olarak T harfi şeklindeki bir çizgi verilebilir: komşuluğu diğer noktaların komşuluğuna benzemeyen özel bir nokta vardır - bu üç noktanın bulunduğu noktadır. kesimler buluşuyor. Tek boyutlu bir manifoldun başka bir örneği sekiz rakamlı bir çizgidir; Dört çizgi burada özel bir noktada birleşiyor. Bir düzlem, bir küre ve bir cankurtaran simidinin yüzeyi, kenarı olmayan iki boyutlu manifoldlara örnektir. İçinde bir delik açılmış bir düzlem de bir manifold olacaktır; ancak kenarı olsun veya olmasın, deliğin dış hatlarını nereye yerleştirdiğimize bağlıdır. Bunu bir deliğe yönlendirirsek kenarı olmayan bir manifold elde ederiz; konturu düzlemde bırakırsak, kenarı olan bir manifold elde ederiz, bu kontur da bu görevi görecektir. Elbette burada ideal bir matematiksel kesim aklımızdaydı ve makasla gerçek fiziksel kesimde konturun nereye ait olduğu sorusu hiçbir anlam ifade etmiyor.

Üç boyutlu manifoldlar hakkında birkaç söz. Küre, yüzeyi görevi gören küreyle birlikte, kenarı olan bir manifolddur; belirtilen küre tam olarak bu kenardır. Bu topu çevredeki uzaydan çıkarırsak kenarı olmayan bir manifold elde ederiz. Bir topun yüzeyini soyarsak, matematik jargonunda "zımparalanmış top", daha bilimsel bir dille ise açık bir top elde ederiz. Açık bir topu çevredeki alandan çıkarırsak, kenarı olan bir manifold elde ederiz ve kenar, toptan kopardığımız kürenin aynısı olacaktır. Simit, kabuğuyla birlikte kenarı olan üç boyutlu bir manifolddur ve kabuğunu (sonsuz ince, yani yüzey olarak ele aldığımız) koparırsanız, içinde kenarı olmayan bir manifold elde ederiz. "zımparalanmış simit" şeklinde. Bir bütün olarak uzay, eğer lisede anlaşıldığı gibi anlarsak, kenarı olmayan üç boyutlu bir manifolddur.

Matematiksel kompaktlık kavramı kısmen "kompakt" kelimesinin günlük Rusçadaki anlamını yansıtır: "yakın", "sıkıştırılmış". Geometrik bir şekil, sonsuz sayıda noktasının herhangi bir düzenlemesi için, aynı şeklin noktalarından birinde veya birçok noktasında birikiyorsa kompakt olarak adlandırılır. Bir parça kompakttır: Parçadaki noktaların herhangi bir sonsuz kümesi için, herhangi bir komşuluğu söz konusu kümenin sonsuz sayıda elemanını içeren en azından bir sözde sınır noktası bulunmaktadır. Bir aralık kompakt değildir: sonuna doğru ve yalnızca ona doğru biriken noktaların bir kümesini belirleyebilirsiniz - ancak son, aralığa ait değildir!

Yerimiz olmadığından bu yorumla sınırlı kalacağız. Diyelim ki ele aldığımız örneklerden kompakt olanları bir segment, bir daire, bir küre, bir simit ve bir simitin yüzeyleri, bir top (küresiyle birlikte), bir simit ve bir simit (birlikte) kabukları). Buna karşılık aralık, düzlem, kumlu top, simit ve çubuk kraker kompakt değildir. Kenarı olmayan üç boyutlu kompakt geometrik şekiller arasında en basit olanı üç boyutlu küredir, ancak bu tür şekiller her zamanki "okul" alanımıza uymuyor. Belki de hipotezle bağlantılı olan kavramların en derini Poincaré homeomorfi kavramıdır. Homeomorfi geometrik aynılığın en yüksek seviyesidir . Şimdi yavaş yavaş yaklaşarak bu kavramın yaklaşık bir açıklamasını vermeye çalışacağız.

Zaten okul geometrisinde iki tür aynılıkla karşılaşıyoruz - şekillerin uyumu ve benzerlikleri. Üst üste bindirildiğinde birbirleriyle çakışmaları durumunda şekillerin uyumlu olarak adlandırıldığını hatırlayın. Okulda uyumlu şekiller birbirinden ayırt edilemiyor gibi görünüyor ve bu nedenle uyumluluğa eşitlik adı veriliyor. Eş figürler tüm detaylarında aynı boyutlara sahiptir. Benzerlik, aynı boyut gerektirmeden, bu boyutların aynı oranları anlamına gelir; bu nedenle benzerlik, şekiller arasındaki uyumdan daha temel bir benzerliği yansıtır. Geometri genel olarak fizikten daha yüksek düzeyde bir soyutlamadır ve fizik, malzeme biliminden daha yüksektir.

Örneğin bilyalı yatağı, bilardo topunu, kroket topunu ve topunu ele alalım. Fizik, yapıldıkları malzeme gibi ayrıntılara girmez, yalnızca hacim, ağırlık, elektriksel iletkenlik vb. Özelliklerle ilgilenir. Matematik için bunların hepsi toplardır ve yalnızca boyutları farklıdır. Topların farklı boyutları varsa, metrik geometri için bunlar farklıdır, ancak benzerlik geometrisi için hepsi aynıdır. Geometri açısından bakıldığında tüm toplar ve tüm küpler benzerdir ancak top ve küp aynı değildir.

Şimdi torusa bakalım. Üstte, şekli direksiyon simidi ve cankurtaran simidi şeklinde olan geometrik figür var. Ansiklopedi, simidi, bir dairenin dairenin dışında bulunan bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir şekil olarak tanımlar. Nazik okuyucuyu, topun ve küpün, simitle birbirine olduğundan daha "benzer" olduğunu anlamaya davet ediyoruz. Aşağıdaki düşünce deneyi, bu sezgisel farkındalığı kesin anlamla doldurmamıza olanak tanır. Bükülebilen, gerilebilen, sıkıştırılabilen ve genel olarak istediğiniz şekilde deforme olabilen, yırtılmayan veya birbirine yapıştırılamayan esnek bir malzemeden yapılmış bir top hayal edelim. Açıkçası, top daha sonra küp haline getirilebilir, ancak simit haline getirilmesi imkansızdır. Ushakov'un açıklayıcı sözlüğü, çubuk krakerleri B harfi şeklinde bir hamur işi (kelimenin tam anlamıyla: tereyağlı bükülmüş çörek gibi) olarak tanımlıyor. Bu harika sözlüğe tüm saygımla, "8 rakamı şeklindeki" kelimeleri bana daha çok geliyor kesin; Ancak homeomorfi kavramında ifade edilen bakış açısına göre 8 rakamı şeklindeki pişirme, B harfi şeklindeki pişirme ve fita şeklindeki pişirme aynı şekle sahiptir. Fırıncıların yukarıda belirtilen esneklik özelliklerine sahip hamur elde edebildiklerini varsaysak bile, gözyaşı ve yapıştırma olmadan bir çörek imkansızdır! - tıpkı son iki unlu mamulün birbirine karışması gibi, ne simit ne de simit haline getirin. Ancak küresel bir çöreği küp veya piramide dönüştürebilirsiniz. Nazik bir okuyucu şüphesiz ne bir çöreğin, ne simitin, ne de simitin dönüştürülemeyeceği olası bir pişirme şekli bulabilecektir.

Bu kavrama isim vermeden homeomorfi ile zaten tanışmış olduk. İki şekil, eğer biri diğerine sürekli (yani kırmadan veya yapıştırmadan) deformasyonla dönüştürülebiliyorsa homeomorfik olarak adlandırılır; bu tür deformasyonların kendilerine homeomorfizma denir. Topun küp ve piramite göre homeomorfik olduğunu, ancak torusa veya çubuk krakere homeomorfik olmadığını ve son iki cismin birbirine homeomorfik olmadığını öğrendik. Okuyucunun, homeomorfi kavramının mekanik dönüşüm açısından yalnızca yaklaşık bir tanımını verdiğimizi anlamasını istiyoruz.

Homeomorfi kavramının felsefi yönüne değinelim. Düşünen bir varlığın geometrik bir şeklin içinde yaşadığını hayal edelim. Olumsuz bu figüre dışarıdan, “dışarıdan” bakma fırsatı buluyor. Onun için içinde yaşadığı figür Evreni oluşturur. Ayrıca çevreleyen figür sürekli deformasyona maruz kaldığında varlığın da onunla birlikte deforme olduğunu düşünelim. Eğer söz konusu şekil bir top ise, o zaman canlı onun top mu, küp mü, piramit mi olduğunu hiçbir şekilde ayırt edemez. Ancak Evreninin simit ya da çubuk kraker şeklinde olmadığına ikna olması mümkündür. Genel olarak bir canlı, kendisini çevreleyen uzayın şeklini ancak homeomorfiye kadar oluşturabilir, yani bu formlar homeomorfik olduğu sürece bir formu diğerinden ayırt edemez.

Matematik için bir hipotezin anlamı PoincaréŞimdi bir hipotezden Poincaré-Perelman teoremine dönüşen bu teori muazzamdır (problemin çözümü için bir milyon doların teklif edilmesi boşuna değildir), tıpkı Perelman'ın bunu kanıtlamak için bulduğu yöntemin öneminin muazzam olması gibi, ancak bu önemi burada açıklamak bizim yeteneğimizi aşar. İşin kozmolojik yönüne gelince, belki de bu hususun önemi gazeteciler tarafından biraz abartılmıştır.

Ancak bazı yetkili uzmanlar, Perelman'ın bilimsel atılımının kara deliklerin oluşum süreçlerinin araştırılmasına yardımcı olabileceğini söylüyor. Bu arada kara delikler, dünyanın bilinebilirliği hakkındaki tezin doğrudan çürütülmesine hizmet ediyor - 70 yıl boyunca zavallı kafalarımıza zorla dayatılan o en gelişmiş, tek gerçek ve her şeye gücü yeten öğretinin temel hükümlerinden biri. Sonuçta fiziğin öğrettiği gibi prensipte bu deliklerden gelen hiçbir sinyal bize ulaşamaz, dolayısıyla orada neler olduğunu bulmak imkansızdır. Genel olarak Evrenimizin bir bütün olarak nasıl çalıştığı hakkında çok az şey biliyoruz ve bunu öğrenip öğrenemeyeceğimiz de şüpheli. Ve yapısıyla ilgili sorunun anlamı tam olarak belli değil. Öğretime göre bu sorunun şu sorulardan biri olması mümkündür. Buda, Olumsuz bir cevap var. Fizik yalnızca bilinen gerçeklerle az çok eşleşen cihaz modellerini sunar. Bu durumda fizik, kural olarak, matematik tarafından kendisine sağlanan önceden geliştirilmiş hazırlıkları kullanır.

Matematik elbette Evrenin herhangi bir geometrik özelliğini belirleme iddiasında değildir. Ancak diğer bilimlerin keşfettiği özellikleri anlamamızı sağlar. Dahası. Hayal edilmesi zor olan bazı özellikleri daha anlaşılır hale getirmemizi sağlar, bunun nasıl olabileceğini açıklar. Bu tür olası (vurguluyoruz: sadece mümkün!) özellikler arasında Evrenin sonluluğu ve yönlendirilemezliği de yer alıyor.

Uzun zamandır Evrenin geometrik yapısının akla gelebilecek tek modeli üç boyutlu Öklid uzayı, yani liseden beri herkesin bildiği uzaydı. Bu alan sonsuzdur; başka hiçbir fikrin mümkün olmadığı görülüyordu; Evrenin sonluluğunu düşünmek çılgınca görünüyordu. Ancak artık Evrenin sonluluğu fikri, onun sonsuzluğu fikrinden daha az meşru değildir. Özellikle üç boyutlu küre sonludur. Fizikçilerle iletişim kurduğumda bazılarının "büyük olasılıkla" diye yanıtladığı izlenimini edindim. Evren sonsuzdur” derken diğerleri “büyük olasılıkla Evren sonludur” dedi.

Uspensky V.A. , Matematiğin özrü veya manevi kültürün bir parçası olarak matematik hakkında, “Yeni Dünya” dergisi, 2007, N 12, s. 141-145.

Hemen hemen her insan, hatta matematikle hiç ilgisi olmayanlar bile “Poincaré varsayımı” kelimesini duymuştur ancak özünün ne olduğunu herkes açıklayamaz. Birçokları için yüksek matematik çok karmaşık ve anlaşılması zor bir şey gibi görünüyor. Bu nedenle Poincaré hipotezinin ne anlama geldiğini basit kelimelerle anlamaya çalışalım.

İçerik:

Poincaré'nin varsayımı nedir?

Hipotezin orijinal formülasyonu şu şekildedir: " Sınırsız her kompakt basit bağlantılı üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir».

Top geometrik üç boyutlu bir cisimdir, yüzeyine küre denir, iki boyutludur ve bu küreye ait olmayan bir noktadan - topun merkezinden - eşit uzaklıkta olan üç boyutlu uzay noktalarından oluşur. . İki boyutlu kürelerin yanı sıra, dört boyutlu uzayın birçok noktasından oluşan ve küreye ait olmayan bir noktadan - onun merkezinden - eşit uzaklıkta olan üç boyutlu küreler de vardır. İki boyutlu küreleri kendi gözlerimizle görebiliyorsak, o zaman üç boyutlu olanlar görsel algımıza tabi değildir.

Evreni görme fırsatımız olmadığı için onun tüm insanlığın yaşadığı üç boyutlu küre olduğunu varsayabiliriz. Poincaré varsayımının özü budur. Yani Evren şu özelliklere sahiptir: üç boyutluluk, sınırsızlık, basit bağlantılılık, kompaktlık. Hipotezdeki "homeomorfi" kavramı, Evren durumunda en yüksek benzerlik, benzerlik - ayırt edilemezlik anlamına gelir.

Poincare kimdir?

Jules Henri Poincaré- 1854'te Fransa'da doğan en büyük matematikçi. İlgi alanları sadece matematik bilimiyle sınırlı değildi; fizik, mekanik, astronomi ve felsefe okudu. St. Petersburg Bilimler Akademisi de dahil olmak üzere dünya çapında 30'dan fazla bilimsel akademinin üyesiydi. Tüm zamanların ve halkların tarihçileri, David Hilbert ve Henri Poincaré'yi dünyanın en büyük matematikçileri arasında sayarlar. 1904'te bilim adamı, bugün "Poincaré varsayımı" olarak bilinen bir varsayımı içeren ünlü bir makale yayınladı. Matematikçiler için çalışmanın çok zor olduğu şeyin üç boyutlu uzay olduğu ortaya çıktı; diğer durumlar için kanıt bulmak da zor değildi. Yaklaşık bir yüzyıl boyunca bu teoremin doğruluğu kanıtlandı.

21. yüzyılın başında, milenyumun sorunları listesine alınan bu bilimsel sorunun çözümü için Cambridge'de bir milyon ABD doları tutarında bir ödül belirlendi. Bunu yalnızca St. Petersburg'dan bir Rus matematikçi Grigory Perelman üç boyutlu bir küre için yapabildi. Bu başarısından dolayı 2006 yılında Fields Madalyası ile ödüllendirildi ancak bu madalyayı almayı reddetti.

Poincaré'nin bilimsel faaliyetlerinin esasına göre Aşağıdaki başarılar atfedilebilir:

• topolojinin temeli (çeşitli olay ve süreçlerin teorik temellerinin geliştirilmesi);
• niteliksel bir diferansiyel denklem teorisinin oluşturulması;
• özel görelilik teorisinin temeli haline gelen amorf fonksiyonlar teorisinin geliştirilmesi;
• dönüş teoremini ortaya koymak;
• gök mekaniğinin en yeni, en etkili yöntemlerinin geliştirilmesi.

Hipotezin kanıtı

Basitçe bağlanmış üç boyutlu bir alana geometrik özellikler atanır ve aralarında açı oluşturacak mesafeler bulunan metrik öğelere bölünür. Basitleştirmek için, Öklid düzleminde her noktada 1'e eşit teğet vektörlerin düzgün kapalı bir eğriye çizildiği tek boyutlu bir manifoldu örnek olarak alıyoruz.Eğriyi geçerken vektör belirli bir açısal hızla döner. eğriliğe eşittir. Çizgi ne kadar çok bükülürse eğrilik de o kadar büyük olur. Hız vektörü çizginin böldüğü düzlemin içine doğru döndürülürse eğrilik pozitif bir eğime, dışarı doğru döndürülürse ise negatif bir eğime sahip olur. Bükülme yerlerinde eğrilik 0'a eşittir. Artık eğrinin her noktasına açısal hız vektörüne dik ve uzunluğu eğriliğin değerine eşit olan bir vektör atanır. Eğrilik pozitif olduğunda içe doğru, negatif olduğunda ise dışa doğru çevrilir. Karşılık gelen vektör, düzlemdeki her noktanın hareket ettiği yönü ve hızı belirler. Herhangi bir yere kapalı bir eğri çizerseniz, o zaman böyle bir evrimle bir daireye dönüşecektir. Bu, kanıtlanması gereken üç boyutlu uzay için doğrudur.

Örnek: Balon kırılmadan deforme edildiğinde farklı şekillere dönüştürülebilir. Ancak simit yapamazsınız; bunu yapmak için kesmeniz yeterlidir. Ve tam tersi, bir simitle sağlam bir top yapamazsınız. Deformasyon sırasında herhangi bir süreksizlik olmaksızın başka herhangi bir yüzeyden bir küre elde etmek mümkündür. Bu, bu yüzeyin bir topa homeomorfik olduğunu gösterir. Herhangi bir top, tek düğümlü bir iplikle bağlanabilir, ancak bunu bir çörek ile yapmak imkansızdır.

Bir top, deforme olabilen ve bir noktaya katlanabilen en basit üç boyutlu düzlemdir ve bunun tersi de geçerlidir.

Önemli! Poincaré varsayımı, kapalı bir n boyutlu manifoldun, kendisine homeomorfik olması durumunda n boyutlu bir küreye eşdeğer olduğunu belirtir. Çok boyutlu düzlemler teorisinin geliştirilmesinde başlangıç ​​noktası oldu.