Matris yöntemi SLAU çözümleri Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerinin çözümüne uygulanır. Yöntem en iyi şekilde düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.
Bu yöntem başka bir deyişle ters matris yöntemi, Bu şekilde adlandırılmasının nedeni çözümün sıradan bir matris denklemine indirgenmesidir ve bunu çözmek için ters matrisi bulmanız gerekir.
Matris çözüm yöntemi Belirleyicisi sıfırdan büyük veya küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:
Diyelim ki bir SLE (doğrusal denklem sistemi) var. N bilinmiyor (rastgele bir alan üzerinden):
Bu, kolaylıkla matris formuna dönüştürülebileceği anlamına gelir:
AX=B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A−1— matrisi matrise ters çevir A: A −1 (AX)=A −1 B.
Çünkü A −1 A=E, Araç, X=A −1 B. Sağ taraf denklem çözüm sütununu verir başlangıç sistemi. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu matrisin dejenere olmamasıdır. A. Gerekli ve yeterli koşul bu, matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığı anlamına gelir A:
detA≠0.
İçin homojen doğrusal denklem sistemi yani eğer vektör B=0, bunun tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözüm yalnızca şu durumlarda vardır: detayA=0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'un alternatifi.
Böylece SLAE'nin çözümü matris yöntemi formülüne göre üretilmiştir 
. Veya SLAE'nin çözümü şu şekilde bulunur: ters matris A−1.
Bilindiği gibi bir kare matris için A emir N Açık N Orada ters matris A−1 yalnızca determinantı sıfırdan farklıysa. Böylece sistem N doğrusal cebirsel denklemlerİle N Bilinmeyenleri matris yöntemini kullanarak ancak sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında çözeriz.
Bu yöntemi kullanma olasılığında sınırlamalar olmasına ve katsayıların ve sistemlerin büyük değerleri için hesaplama zorlukları olmasına rağmen yüksek sipariş Yöntem bilgisayarda kolaylıkla uygulanabilmektedir.
Homojen olmayan bir SLAE'yi çözme örneği.
Öncelikle bilinmeyen SLAE'lerin katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.
Şimdi bulduk birleşim matrisi ters matrisi belirlemek için onu transpoze edin ve formülde değiştirin.
Değişkenleri formülde değiştirin:
Şimdi ters matris ile serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.
Bu yüzden, x=2; y=1; z=4.
SLAE'nin olağan formundan matris formuna geçerken sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. Örneğin:
Şu şekilde yazılamaz:
Öncelikle sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris gösterimine geçmek gerekir:
Ayrıca bilinmeyen değişkenlerin belirlenmesinde dikkatli olmanız gerekir. x 1, x 2 , …, x n başka harfler de olabilir. Örneğin:
matris formunda bunu şu şekilde yazarız:
Sistemleri matris yöntemini kullanarak çözmek daha iyidir doğrusal denklemler Denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı. Bir sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle bu durumda çözüm için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.
Hizmetin amacı. Bu çevrimiçi hesap makinesini kullanarak bilinmeyenler (x 1, x 2, ..., x n) bir denklem sisteminde hesaplanır. Karar uygulanıyor ters matris yöntemi. Bu durumda:- A matrisinin determinantı hesaplanır;
- başından sonuna kadar cebirsel eklemeler ters A-1 matrisi bulunur;
- Excel'de bir çözüm şablonu oluşturulur;
Talimatlar. Ters matris yöntemini kullanarak bir çözüm elde etmek için matrisin boyutunu belirtmeniz gerekir. Daha sonra, yeni bir iletişim kutusunda A matrisini ve B sonuçlarının vektörünü doldurun.
Ayrıca bkz. Matris denklemlerini çözme.Çözüm algoritması
- A matrisinin determinantı hesaplanır. Determinant sıfır ise çözüm tamamlanmıştır. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
- Determinant sıfırdan farklı olduğunda cebirsel toplamalar yoluyla ters A-1 matrisi bulunur.
- Çözüm vektörü X =(x 1, x 2, ..., x n), ters matrisin sonuç vektörü B ile çarpılmasıyla elde edilir.
Cebirsel eklemeler.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x2 = 0 / -21 = 0
x3 = -21 / -21 = 1
Muayene:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu eski zamanlarda denklemleri kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Matris yöntemi, herhangi bir karmaşıklıktaki SLAE'lere (doğrusal cebirsel denklem sistemleri) çözümler bulmanızı sağlar. SLAE'leri çözme sürecinin tamamı iki ana eylemden oluşur:
Ana matrise göre ters matrisin belirlenmesi:
Ortaya çıkan ters matrisin çözümlerin sütun vektörüyle çarpılması.
Bize aşağıdaki biçimde bir SLAE verildiğini varsayalım:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Sistem matrisini yazarak bu denklemi çözmeye başlayalım:
Sağ taraftaki matris:
Ters matrisi tanımlayalım. 2. dereceden bir matrisi şu şekilde bulabilirsiniz: 1 - matrisin kendisi tekil olmamalıdır; 2 - ana köşegendeki elemanları değiştirilir ve ikincil köşegenin elemanları için işareti zıt olana değiştiririz, ardından elde edilen elemanları matrisin determinantına böleriz. Şunu elde ederiz:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
Karşılık gelen elemanları eşitse 2 matris eşit kabul edilir. Sonuç olarak SLAE çözümü için aşağıdaki cevaba sahibiz:
Çevrimiçi olarak matris yöntemini kullanarak bir denklem sistemini nerede çözebilirim?
Denklem sistemini sitemizde çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca denklemin nasıl çözüleceğini web sitemizden öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz.
düşünelim doğrusal cebirsel denklem sistemi(SLAU) nispeten N bilinmiyor X 1 , X 2 , ..., X N :
Bu sistemin “çökmüş” hali şu şekilde yazılabilir:
S N ben=1 A ben X J = b Ben , i=1,2, ..., n.
Matris çarpım kuralına uygun olarak, ele alınan doğrusal denklem sistemi şu şekilde yazılabilir: matris formu Balta=b, Nerede
,
,.
Matris Aİlgili denklemde sütunları karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayıları, satırları ise bilinmeyenlerin katsayıları olan denkleme denir. sistemin matrisi. Sütun matrisi B Elemanları sistem denklemlerinin sağ tarafları olan matrise sağ taraf matrisi veya basitçe denir. sistemin sağ tarafı. Sütun matrisi X Elemanları bilinmeyen bilinmeyenler olan şeye denir sistem çözümü.
şeklinde yazılmış bir doğrusal cebirsel denklem sistemi Balta=b, öyle matris denklemi.
Sistem matrisi ise dejenere olmayan, o zaman ters bir matrisi vardır ve sistemin çözümü Balta=b aşağıdaki formülle verilir:
x=A -1 B.
Örnek Sistemi çöz 
matris yöntemi.
Çözüm sistemin katsayı matrisinin ters matrisini bulalım
İlk satır boyunca genişleterek determinantı hesaplayalım:
O zamandan beri Δ ≠ 0 , O A -1 var.
Ters matris doğru bulundu.
Sisteme bir çözüm bulalım 
Buradan, X 1 = 1, x 2 = 2,x 3 = 3 .
Muayene: 
7. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin uyumluluğuna ilişkin Kronecker-Capelli teoremi.
Doğrusal denklem sistemişu forma sahiptir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j ve b i (i = ; j = ) verilmiştir ve x j bilinmeyen gerçek sayılardır. Matrislerin çarpımı kavramını kullanarak sistemi (5.1) şu şekilde yeniden yazabiliriz:
burada A = (a i j), sistemin (5.1) bilinmeyenleri için katsayılardan oluşan bir matristir; buna denir sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sırasıyla bilinmeyenler x j ve serbest terimler b i'den oluşan sütun vektörleridir.
Sipariş edilen koleksiyon N gerçek sayılara (c 1 , c 2 ,..., c n) denir sistem çözümü(5.1), eğer bu sayıların karşılık gelen x 1, x 2,..., xn değişkenleri yerine konulması sonucunda sistemin her denklemi bir aritmetik kimliğe dönüşürse; başka bir deyişle, AC B olacak şekilde bir C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektörü varsa.
Sistem (5.1) çağrılır eklem yeri, veya çözülebilir, en az bir çözümü varsa. Sistem denir uyumsuz, veya çözülemez, eğer hiçbir çözümü yoksa.
,
A matrisinin sağına serbest terimlerden oluşan bir sütun atanarak oluşturulan matrise denir Sistemin genişletilmiş matrisi.
Sistemin (5.1) uyumluluğu sorunu aşağıdaki teorem ile çözülür.
Kronecker-Capelli teoremi . Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak A veA matrislerinin sıralarının çakışması durumunda tutarlıdır; r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M çözüm kümesi için üç olasılık vardır:
1) M = (bu durumda sistem tutarsızdır);
2) M bir elementten oluşur, yani. sistemin benzersiz bir çözümü vardır (bu durumda sistem denir) kesin);
3) M birden fazla elemandan oluşur (bu durumda sistem denir) belirsiz). Üçüncü durumda (5.1) sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Sistemin tek çözümü ancak r(A) = n ise vardır. Bu durumda denklem sayısı bilinmeyen sayısından (mn) az değildir; eğer m>n ise m-n denklemleri diğerlerinin sonuçlarıdır. 0 ise Rastgele bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu sistemleri çözebilmeniz gerekir - buna sözde Kramer tipi sistemler: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemler (5.3) aşağıdaki yollardan biriyle çözülür: 1) Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi; 2) Cramer'in formüllerine göre; 3) matris yöntemi. Örnek 2.12. Denklem sistemini inceleyin ve tutarlıysa çözün: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz:
Sistemin ana matrisinin rütbesini hesaplayalım. Örneğin sol üst köşedeki ikinci dereceden minörün = 7 0 olduğu açıktır; onu içeren üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir: Sonuç olarak, sistemin ana matrisinin sıralaması 2'dir, yani. r(A) = 2. Genişletilmiş matris A'nın sırasını hesaplamak için sınırdaki küçük değeri dikkate alın bu, genişletilmiş matris r(A)'nın rütbesinin = 3 olduğu anlamına gelir. r(A) r(A) olduğundan sistem tutarsızdır. Genel olarak denklemler, doğrusal cebirsel denklemler ve sistemleri ile bunları çözme yöntemleri matematikte hem teorik hem de uygulamalı olarak özel bir yere sahiptir. Bunun nedeni fiziksel, ekonomik, teknik ve hatta pedagojik sorunların büyük çoğunluğunun çeşitli denklemler ve sistemleri kullanılarak tanımlanıp çözülebilmesidir. Son zamanlarda matematiksel modelleme, hemen hemen tüm konu alanlarındaki araştırmacılar, bilim adamları ve uygulayıcılar arasında özel bir popülerlik kazanmıştır; bu, çeşitli doğadaki nesneleri, özellikle de karmaşık olarak adlandırılan nesneleri incelemek için iyi bilinen ve kanıtlanmış diğer yöntemlere göre bariz avantajlarıyla açıklanmaktadır. sistemler. Bir matematiksel modelin farklı zamanlarda bilim adamları tarafından verilen çok çeşitli farklı tanımları vardır, ancak bizce en başarılı olanı aşağıdaki ifadedir. Matematiksel model, bir denklemle ifade edilen bir fikirdir. Bu nedenle denklemleri ve sistemlerini oluşturma ve çözme yeteneği, modern bir uzmanın ayrılmaz bir özelliğidir. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntemler Cramer, Jordan-Gauss ve matris yöntemidir. Matris çözüm yöntemi, ters matris kullanarak sıfırdan farklı bir determinantı olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir. A matrisinde bilinmeyen xi miktarlarının katsayılarını yazarsak, bilinmeyen miktarları X vektör sütununda ve serbest terimleri B vektör sütununda toplarsak, doğrusal cebirsel denklemler sistemi şu şekilde yazılabilir: aşağıdaki matris denklemi A · X = B olup, yalnızca A matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında benzersiz bir çözüme sahiptir. Bu durumda denklem sisteminin çözümü aşağıdaki şekilde bulunabilir. X = A-1 · B, Nerede A-1 ters matristir. Matris çözüm yöntemi aşağıdaki gibidir. Bize bir doğrusal denklem sistemi verilsin: N bilinmiyor: Matris formunda yeniden yazılabilir: balta =
B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları: Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A-1 - matrisin tersi matris A: A -1 (balta) = A -1 B Çünkü A -1 A = e, alıyoruz X=A -1 B. Bu denklemin sağ tarafı orijinal sistemin çözüm sütununu verecektir. Bu yöntemin uygulanabilirliğinin koşulu (aynı zamanda genel olarak bir çözümün varlığı) homojen sistem Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu doğrusal denklemler), matrisin dejenere olmamasıdır A. Bunun için gerekli ve yeterli koşul, matrisin determinantının sıfıra eşit olmamasıdır. A:det A≠ 0. Homojen bir doğrusal denklem sistemi için, yani vektör B = 0
, bunun tersi kural doğrudur: sistem balta =
0'ın önemsiz olmayan (yani sıfır olmayan) bir çözümü yalnızca det olması durumunda vardır A= 0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu tür bir bağlantıya Fredholm alternatifi denir. Örnek Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleri. Lineer cebirsel denklem sisteminin bilinmeyenlerinin katsayılarından oluşan matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığından emin olalım. Bir sonraki adım, bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matrisin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini hesaplamaktır. Ters matrisi bulmak için onlara ihtiyaç duyulacak.
.
